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TEOREMAS DE CIRCUITO ELÉCTRICOS CONTENIDO: TEOREMAS DE CIRCUITOS EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS 1. Teorema de Boucherot El teorema de Boucherot, ideado por Paul Boucherot, permite la resolución del cálculo total de potencias en circuitos de corriente alterna. De acuerdo con este teorema, las potencias activa y reactiva totales en un circuito, vienen dadas por la suma de las potencias activa y reactiva, respectivamente, de cada una de sus cargas. De forma analítica: Seguidamente se demostrarán ambas igualdades para un receptor serie y para otro paralelo.

Teoremas de circuito eléctricos

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  • 1. TEOREMAS DE CIRCUITO ELCTRICOS CONTENIDO: TEOREMAS DE CIRCUITOS EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS1. Teorema de Boucherot El teorema de Boucherot, ideado por Paul Boucherot, permite la resolucin del clculo total de potencias en circuitos de corriente alterna. De acuerdo con este teorema, las potencias activa y reactiva totales en un circuito, vienen dadas por la suma de las potencias activa y reactiva, respectivamente, de cada una de sus cargas. De forma analtica:Seguidamente se demostrarn ambas igualdades para un receptor serie y para otro paralelo. 2. Receptor en serie

2. Figura 1: Receptor serie, a, y diagrama fasorial, b. Sea el circuito serie de la figura 1a. Aplicando la ley de OhmTomando la intensidad en el origen de fases (figura 1b),y sustituyendoPor otro lado, el valor depuede expresarse como (ver figura 1b):Comparando ambas igualdadesFinalmente si multiplicamos ambas expresiones por I, se deduce 3. 3. Receptor en paraleloFigura 2: Receptor paralelo, a, y diagrama fasorial, b. Sea el circuito paralelo y su correspondiente diagrama fasorial, figuras 2a y 2b respectivamente. Las componentes activa y rectiva de la corriente total, e , vienen dadas como suma de las componentes parciales de cada una de la corrientes que circulan por cada rama:Sustituyendo por sus valores:Y si estas expresiones se multiplican por V, se obtieneQue es el mismo resultado que para un receptor serie. En ambos casos, generalizando 4. Que es lo que se deseaba demostrar. 4. Potencia aparente totalFigura 3: Tringulo de potencias de una instalacin con tres receptores, el 1 y el 2 inductivos y el 3 capacitivo. Los dos puntos anteriores no implican que la potencia aparente total de un sistema se obtenga como suma de las potencias aparentes parciales:Grficamente, para efectuar el balance de potencias de una instalacin, es necesario obtener el tringulo total de potencias como suma de los tringulos de potencia parciales de cada receptor. Si por ejemplo tuviramos tres receptores, dos inductivos y uno capacitivo, su tringulo de potencias sera similar al mostrado en la figura 3, donde se deduce que 5. 5. Anlisis de circuitosUn circuito elctrico es un grupo de componentes interconectados. El anlisis de circuitos es el proceso de calcular intensidades, tensiones o potencias. Existen muchas tcnicas para lograrlo, Sin embargo, se asume que los componentes de los circuitos son lineales. Los mtodos descritos en este artculo solo se aplican al anlisis de circuitos lineales salvo en los casos expresamente establecidos. Para entender este artculo se necesitan saber las partes bsicas de un circuito as como sus leyes fundamentales. 6. Circuitos equivalentesUn procedimiento muy til en el anlisis de circuitos es simplificar el circuito al reducir su nmero de componentes. Esto se puede hacer al reemplazar los componentes actuales con otros componentes mucho ms sencillos y que produzcan el mismo efecto. Una tcnica particular podra reducir directamente el nmero de componentes, por ejemplo al combinar las resistencias en serie. Por otro lado, se podra simplemente cambiar la forma en que esta conectado un componente para posteriormente reducir el circuito de una manera ms fcil. Por ejemplo, Se podra transformar una fuente de tensin por una fuente de corriente 6. usando el teorema de Norton para que despus se pueda combinar la resistencia interna de la fuente con las resistencias en paralelo de un circuito. Un circuito resistivo es un circuito compuesto de solo resistores, fuentes de corriente ideales, y fuentes de tensin ideales. Si las fuentes son constantes (CC), el resultado es un circuito de corriente continua. El anlisis de circuitos es el proceso de resolver las tensiones y corrientes presentes en un circuito. Los principios para solucionar un circuito resumidos aqu tambin se pueden aplicar para el anlisis de fasores de circuitos de corriente alterna. Se dice que dos circuitos son equivalentes respecto a una pareja de terminales cuando la tensin y la corriente que fluye a travs de ellos son iguales. si implica para todos los valores reales de terminales ab y xy, entonces circuit 1 y circuit 2 son equivalentes, para lasLo anterior es la definicin de circuitos de dos terminales. Para circuitos de ms de dos terminales, las tensiones y corrientes de todos los terminales deben mantener la misma relacin. Por ejemplo, los circuitos estrella y delta son circuitos de seis terminales y por lo tanto requieren tres ecuaciones simultneas para especificar completamente su equivalencia. 7. Impedancias en serie y en paralelo Cualquier circuito de dos terminales puede reducirse a una simple impedancia sumando las que se encuentran en serie o en paralelo, as: Impedancias en serie:Impedancias en paralelo: 8. Transformacin estrella-tringulo 7. Transformacin estrella-tringulo Una red elctrica de impedancias con ms de dos terminales no puede reducirse a un circuito equivalente de una sola impedancia. Una red de n terminales puede, como mximo, reducirse a n impedancias. Para una red de tres terminales, las tres impedancias pueden expresarse como un red delta () de tres nodos o una red estrella (Y) de cuatro nodos. Estas dos redes son equivalentes y las transformaciones de cada una de ellas son expresadas ms abajo. Una red general con un nmero arbitrario de terminales no puede reducirse al mnimo nmero de impedancias usando solamente combinaciones en serie o en paralelo. En general, se deben usar las transformaciones Y- y -Y. Puede demostrarse que esto bastar para encontrar la red ms simplificada para cualquier red arbitraria con aplicaciones sucesivas en serie, paralelo, Y- y -Y. No se requieren transformaciones ms complejas. 9. Ecuaciones para la transformacin Tringulo-Estrella10. Ecuaciones para la transformacin Estrella-Tringulo11. Forma general de la eliminacin de nodos en la red Las transformaciones estrella-tringulo y tringulo-estrella son casos especiales del algoritmo general de la eliminacin de nodos de una red resistiva. Cualquier nodo conectado por N resistores 1 .... N pueden reemplazarse por resistores conectados en los N nodos restantes. La resistencia entre cualquier nodo x e y est dada por: 8. Para una estrella-tringulo (N=3) se reduce a:Para una reduccin en serie (N=2) se reduce a:12. Transformacin de fuentesUna fuente no ideal con una impedancia interna puede representarse como una fuente de tensin ideal o una fuente de corriente ideal ms la impedancia. Estas dos formas son equivalentes y las transformaciones son dadas a continuacin. Si las dos redes son equivalentes con respecto a las terminales ab, entonces V e I deben ser idnticas para ambas redes. Adems,o El teorema de Norton establece que cualquier red de dos terminales puede reducirse a una fuente ideal de corriente y a una resistencia en paralelo. El teorema de Thvenin establece que cualquier red de dos terminales puede reducirse a una fuente ideal de tensin y a una resistencia en serie.13.Redes simplesAlgunos circuitos sencillos pueden analizarse sin la necesidad de aplicar mtodos de anlisis. 9. Divisor de tensinDos o ms resistencias conectadas en serie forman un divisor de tensin. De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff o ley de las mallas, la tensin total es suma de las tensiones parciales en cada resistencia, por lo que seleccionando valores adecuados de las mismas, se puede dividir una tensin en los valores ms pequeos que se deseen. La tensin en bornes de la resistencia , en un divisor de tensin de n resistencias cuya tensin total es V, viene dada por:En el caso particular de un divisor de dos resistencias, es posible determinar las tensiones en bornes de cada resistencia, VAB y VBC, en funcin de la tensin total, VAC, sin tener que calcular previamente la intensidad. Para ello se utilizan las siguientes ecuaciones de fcil deduccin:Divisor de corrienteDos o ms resistencias conectadas en paralelo forman un divisor de intensidad. De acuerdo con la primera ley de Kirchhoff o ley de los nodos, la suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. Seleccionando valores adecuados de resistencias se puede dividir una corriente en los valores ms pequeos que se deseen. 10. En el caso particular de un divisor de dos resistencias, es posible determinar las corrientes parciales que circulan por cada resistencia, I1 e I2, en funcin de la corriente total, I, sin tener que calcular previamente la cada de tensin en la asociacin. Para ello se utilizan las siguientes ecuaciones de fcil deduccin:14. Anlisis de nodos1. Marque todos los nodos en el circuito. Seleccione arbitrariamente cualquier nodo como de referencia. 2. Defina una variable de tensin para todos los nodos restantes. Estas variables de tensin deben definirse como la tensin con respecto al nodo de referencia. 3. Escriba una ecuacin aplicando LCK para cualquier nodo excepto el de referencia. 4. Resuelva el sistema de ecuaciones resultante. 15. Anlisis de mallas1. Cuente el nmero de mallas existentes en el circuito. Asigne una corriente de malla a cada una de ellas. 2. Escriba una ecuacin LVK para cualquier malla cuya corriente sea desconocida. 3. Resuelva las ecuaciones resultantes. 11. 16. Superposicin En este mtodo, se calcula el efecto de cada fuente por separado. Al analizar una fuente, se reemplazan las fuentes restantes por un cortocircuito para las fuentes de tensin o por un circuito abierto para las fuentes de corriente. La corriente que fluye en el componente o la tensin del componente es calculada al sumar todas las tensiones y corrientes individuales. Este mtodo funciona siempre y cuando se usen componentes lineales en el circuito. Ntese que para calcular los valores de cada fuente tambin se pueden usar anlisis de malla y de nodos. 17. Diseo de transformadoresUn pequeo transformador. En ingeniera electrnica, se entiende por diseo de transformadores al clculo, proyeccin y confeccin de los transformadores, ests mquinas elctricas, indispensables para el uso de la electricidad residencial como tambin para las subestaciones, son capaces de elevar o disminuir los niveles de tensin e intensidad de la corriente elctrica, para que haga funcionar un determinado elemento o factor.18. Relacin de transformacin Existe una relacin directa entre el voltaje del bobinado primario y secundario de un transformador, este depende siempre del nmero de vueltas de alambre que tengan las dos o ms bobinas del transformador.En donde Rt es la relacin de transformacin, es igual al nmero de vueltas del secundario sobre el nmero de vueltas del primario. 12. Un ejemplo: si un transformador posee un bobinado primario de 440 y un secundario de 880 vueltas la relacin de transformacin ser:En el caso que el primario fuese de 110V, al multiplicar queda:El voltaje del secundario es 220V, este sera un transformador elevador, ya que el voltaje secundario es mayor que el primario. 19. Leyes bsicas de transformacinLos voltajes de las bobinas son directamente proporcionales al nmero de vueltas de la bobina:Los voltajes son inversamente proporcionales a las intensidades de las corrientes elctricas:Las intensidades de las corrientes son inversamente proporcionales al nmero de vueltas de alambre: 13. 20. Clculo de la tensin por medio del rea del ncleo En el caso que se consiga un ncleo para construir un transformador (ya sea de uno en desuso, quemado o chapas recicladas), es posible calcular las vueltas de las bobinas del transformador, mediante el producto del ancho de las chapas del transformador por el largo del ncleo. Para el caso de tener un ncleo de 3,5 cm de largo por 3,3 cm de ancho, primero se deben multiplicar ambas medidas:El valor obtenido se tiene que dividir por la constante 42 de la siguiente forma:Entonces, cada 3,6 vueltas de alambre de cobre en la bobina se obtendr un voltio. Si el transformador es de 220V en el primario, se deber multiplicar: 3,6220 = 792, este ltimo resultado son las espiras de alambre del bobinado primario. Esto es indiferente para el secundario. 21. Clculo de la potencia mediante el rea del ncleoEl alambre de cobre es indispensable para la construccin de un transformador. Para informarnos cuantos cm2 posee el ncleo de un determinado transformador, debemos hacer la siguiente ecuacin:En donde An es el rea del ncleo y Pbs la potencia del bobinado secundario, resultando que: el rea del ncleo es igual a la raz cuadrada de la potencia del transformador (o del bobinado secundario). Ejemplo, si tenemos un transformador 14. cuyo bobina secundaria es de 25V y 5A, su potencia ser 125W, ya que el producto de la intensidad y el voltaje da como resultado la potencia.El resultado es el rea que tendr que tener el transformador, se recomienda siempre emplear un ncleo un poco ms grande de lo obtenido en los clculos. En el caso que tengamos un ncleo de transformador y que tengamos que averiguar su potencia, debemos invertir el proceso; multiplicar los lados del ncleo y elevarlo al cuadrado, as obtendremos en W la mxima potencia:22. Clculo de la intensidad mediante la potencia Teniendo 125W de potencia, podemos saber fcilmente mediante la ley de Ohm, se deben realizar dos frmulas para averiguar ambas intensidades, reemplazando en la frmula las dos tensiones:Despejamos para el primario:Para el secundario:Una vez que hayamos averiguado el amperaje de cada bobinado, lo que debemos hacer es buscar aquellas cifras obtenidas en la tabla que muestra la tolerancia de intensidad que posee cada calibre de alambre AWG. Para el bobinado primario basta con usar alambre calibre 25 (0,45 mm), para el secundario un calibre 16 (5,2 mm).23. Teorema de Kennelly 15. El teorema de Kennelly, llamado as en homenaje a Arthur Edwin Kennelly, permite determinar la carga equivalente en estrella a una dada en tringulo y viceversa. El teorema tambin se le suele llamar de transformacin estrellatringulo (escrito Y-) o transformacin te-delta (escrito T-).Ecuaciones de transformacin En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones de transformacin en funcin de las impedancias y de las admitancias. Ecuaciones de KennellyTransformacin -Y En funcin de las impedanciasEn funcin de las admitanciasTransformacin Y- En funcin de las impedanciasEn funcin de las admitancias 16. Demostracin A continuacin se demuestra analticamente las ecuaciones de Kennelly. Circuito Tringulo a estrellaFigura 1. Equivalencia entre cargas en estrella (izquierda) y tringulo (derecha). Supongamos conocidos los valores ZAB, ZBC y ZAC de la carga en tringulo de la figura 1 y deseamos obtener los valores ZAT, ZBT y ZCT de su equivalente en estrella. Para ello obtendremos en ambos circuitos las impedancias equivalentes respecto de los puntos A-B, B-C y A-C y las igualaremos puesto que son cargas equivalentes (observe que en la estrella quedan siempre dos impedancias en serie, mientras que en el tringulo quedan dos en serie con la tercera en paralelo): 17. Las ecuaciones de Kennelly se obtienen a partir de las anteriores del siguiente modo: 1. Sumando las ecuaciones (1) y (3) y restando el resultado de la (2) 2. Sumando las ecuaciones (1) y (2) y restando el resultado de la (3) 3. Sumando las ecuaciones (2) y (3) y restando el resultado de la (1) Estrella a tringulo Supongamos ahora el caso opuesto, esto es, conocidos los valores ZAT, ZBT y ZCT de la estrella de la figura 1, deseamos obtener los valores Z AB, ZBC y ZAC de la carga en tringulo equivalente. Para ello se tomarn las ecuaciones de transformacin -Y, donde por simplificacin de notacin tomaremosquedando las ecuaciones siguientes:;;Realizando las tres multiplicaciones binarias posibles entre ellas, se obtieneY sumndolas 18. Dividamos el primer miembro por el valor deY dividiendo el segundo miembro por::Igualando ambos resultados obtenemos una de las ecuaciones de transformacin. Las otras dos pueden obtenerse del mismo modo dividiendo pory24. Leyes de KirchhoffLas leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservacin de la energa y la carga en los circuitos elctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingeniera elctrica. Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente de las ecuaciones de Maxwell, pero Kirchhoff precedi a Maxwell y gracias a Georg Ohm su trabajo fue 19. generalizado. Estas leyes son muy utilizadas en ingeniera elctrica e ingeniera elctronica para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito elctrico.Ley de corrientes de KirchhoffLa corriente que pasa por un nodo es igual a la corriente que sale del mismo. i1 + i4 = i2 + i3 Esta ley tambin es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es comn que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que: En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a ceroEsta frmula es vlida tambin para circuitos complejos:La ley se basa en el principio de la conservacin de la carga donde la carga en couloumbs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. 20. Densidad de carga variante La LCK slo es vlida si la densidad de carga se mantiene constante en el punto en el que se aplica. Considere la corriente entrando en una lmina de un capacitor. Si uno se imagina una superficie cerrada alrededor de esa lmina, la corriente entra a travs del dispositivo, pero no sale, violando la LCK. Adems, la corriente a travs de una superficie cerrada alrededor de todo el capacitor cumplir la LCK entrante por una lmina sea balanceada por la corriente que sale de la otra lmina, que es lo que se hace en anlisis de circuitos, aunque cabe resaltar que hay un problema al considerar una sola lmina. Otro ejemplo muy comn es la corriente en una antena donde la corriente entra del alimentador del transmisor pero no hay corriente que salga del otro lado. Maxwell introdujo el concepto de corriente de desplazamiento para describir estas situaciones. La corriente que fluye en la lmina de un capacitor es igual al aumento de la acumulacin de la carga y adems es igual a la tasa de cambio del flujo elctrico debido a la carga (el flujo elctrico tambin se mide en Coulombs, como una carga elctrica en el SIU). Esta tasa de cambio del flujo , es lo que Maxwell llam corriente de desplazamiento :Cuando la corriente de desplazamiento se incluye, la ley de Kirchhoff se cumple de nuevo. Las corrientes de desplazamiento no son corrientes reales debido a que no constan de cargas en movimiento, deberan verse ms como un factor de correccin para hacer que la LCK se cumpla. En el caso de la lmina del capacitor, la corriente entrante de la lmina es cancelada por una corriente de desplazamiento que sale de la lmina y entra por la otra lmina. Esto tambin puede expresarse en trminos del vector campo al tomar la Ley de Ampere de la divergencia con la correccin de Maxwell y combinando la ley de Gauss, obteniendo:Esto es simplemente la ecuacin de la conservacin de la carga (en forma integral, dice que la corriente que fluye a travs de una superficie cerrada es igual a la tasa de prdida de carga del volumen encerrado (Teorema de Divergencia). La ley de Kirchhoff es equivalente a decir que la divergencia de la corriente es cero, para un tiempo invariante p, o siempre verdad si la corriente de desplazamiento est incluida en J. 21. 25. Ley de tensiones de KirchhoffLey de tensiones de Kirchhoff, en este caso v4= v1+v2+v3. No se tiene en cuenta a v5 porque no forma parte de la malla que estamos analizando. Esta ley es llamada tambin Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff o ley de mallas de Kirchhoff y es comn que se use la sigla LVK para referirse a esta ley. En un lazo cerrado, la suma de todas las cadas de tensin es igual a la tensin total suministrada. De forma equivalente, la suma algebraica de las diferencias de potencial elctrico en un lazo es igual a cero.De igual manera que con la corriente, los voltajes tambin pueden ser complejos, as:Esta ley se basa en la conservacin de un campo potencial de energa. Dado una diferencia de potencial, una carga que ha completado un lazo cerrado no gana o pierde energa al regresar al potencial inicial. Esta ley es cierta incluso cuando hay resistencia en el circuito. La validez de esta ley puede explicarse al considerar que una carga no regresa a su punto de partida, debido a la disipacin de energa. Una carga simplemente terminar en el terminal negativo, en vez de el positivo. Esto significa que toda la energa dada por la 22. diferencia de potencial ha sido completamente consumida por la resistencia, la cual la transformar en calor. Tericamente, y, dado que las tensiones tienen un signo, esto se traduce con un signo positivo al recorrer un circuito desde un mayor potencial a otro menor, y al revs: con un signo negativo al recorrer un circuito desde un menor potencial a otro mayor. En resumen, la ley de tensin de Kirchhoff no tiene nada que ver con la ganancia o prdida de energa de los componentes electrnicos (Resistores, capacitores, etc. ). Es una ley que est relacionada con el campo potencial generado por fuentes de tensin. En este campo potencial, sin importar que componentes electrnicos estn presentes, la ganancia o prdida de la energa dada por el campo potencial debe ser cero cuando una carga completa un lazo. Campo elctrico y potencial elctrico La ley de tensin de Kirchhoff puede verse como una consecuencia del principio de la conservacin de la energa. Considerando ese potencial elctrico se define como una integral de lnea, sobre un campo elctrico, la ley de tensin de Kirchhoff puede expresarse como:Que dice que la integral de lnea del campo elctrico alrededor de un lazo cerrado es cero. Para regresar a una forma ms especial, esta integral puede "partirse" para conseguir el voltaje de un componente en especfico.Caso prctico Asumiendo una red elctrica consistente en dos fuentes y tres resistencias, disponemos la siguiente resolucin: 23. De acuerdo con la primera ley de Kirchhoff (ley de los nodos), tenemos:La segunda ley de Kirchhoff (ley de las mallas), aplicada a la malla segn el circuito cerrado s1, nos hace obtener:La segunda ley de Kirchhoff (ley de las mallas), aplicada a la malla segn el circuito cerrado s2, por su parte:Debido a lo anterior, se nos plantea un sistema de ecuaciones con las incgnitas :Dadas las magnitudes: , la solucin definitiva sera: 24. Se puede observar que tiene signo negativo, lo cual significa que la direccin de es inversa respecto de lo que hemos asumido en un principio (la direccin de -en rojo- definida en la imagen). 26. Teorema de NortonUna caja negra que contiene exclusivamente fuentes de tensin, fuentes de corriente y resistencias puede ser sustituida por un circuito Norton equivalente. El teorema de Norton para circuitos elctricos es dual del teorema de Thvenin. Se conoce as en honor al ingeniero Edward Lawry Norton, de los Laboratorios Bell, que lo public en un informe interno en el ao 1926. 1 El alemn Hans Ferdinand Mayer lleg a la misma conclusin de forma simultnea e independiente. Establece que cualquier circuito lineal se puede sustituir por una fuente equivalente de intensidad en paralelo con una impedancia equivalente. Al sustituir un generador de corriente por uno de tensin, el borne positivo del generador de tensin deber coincidir con el borne positivo del generador de corriente y viceversa. Clculo del circuito Norton equivalente Para calcular el circuito Norton equivalente: 1. Se calcula la corriente de salida, IAB, cuando se cortocircuita la salida, es decir, cuando se pone una carga nula entre A y B. Esta corriente es INo. 2. Se calcula la tensin de salida, VAB, cuando no se conecta ninguna carga externa, es decir, con una resistencia infinita entre A y B. RNo es igual a VAB dividido entre INo. 25. El circuito equivalente consiste en una fuente de corriente INo, en paralelo con una resistencia RNo. Circuito Thvenin equivalente a un circuito NortonPara analizar la equivalencia entre un circuito Thvenin y un circuito Norton pueden utilizarse las siguientes ecuaciones:Ejemplo de un circuito equivalente NortonPaso 1: El circuito originalPaso 2: Calculando la intensidad de salida equivalente al circuito actualPaso 3: Calculando la Paso 4: El circuito resistencia equivalente al circuito equivalente actualEn el ejemplo, Itotal viene dado por:Usando la regla del divisor, la intensidad de corriente elctrica tiene que ser:Y la resistencia Norton equivalente sera: 26. Por lo tanto, el circuito equivalente consiste en una fuente de intensidad de 3.75mA en paralelo con una resistencia de 2 k 27. Teorema de reciprocidad Es un teorema muy usado en anlisis de circuitos. El teorema de reciprocidad cuenta con dos enunciados que en trminos generales nos dice:En cualquier red bilateral real pasiva, si la fuente de tensin simple Vx en la rama x produce la respuesta en corriente Iy en la rama y, entonces la eliminacin de la fuente de tensin en la rama x y su insercin en la rama y producira la respuesta en corriente Iy Primer enunciado Indica que si la excitacin en la entrada de un circuito produce una corriente i a la salida, la misma excitacin aplicada en la salida producir la misma corriente i a la entrada del mismo circuito. Es decir el resultado es el mismo si se intercambia la excitacin y la respuesta en un circuito. As:Segundo enunciado La intensidad i que circula por una rama de un circuito lineal y pasivo, cuando se intercala una fuente de tensin en otra rama, es la misma que circulara por esta ltima si la fuente de tensin se intercalase en la primera. 27. Ejemplo simple En el siguiente circuito se tiene una fuente de tensin en corriente directa de 10 Voltios, entre 1 y 2, que alimenta una red de resistencias.Si ahora se cambian de posicin la fuente de tensin y el ampermetro, quedando la fuente de tensin entre 3 y 4, y el ampermetro entre 1 y 2, como se muestra en el siguiente diagrama:Se observa que en el ampermetro se lee una corriente de 20 mA. En conclusin se puede afirmar que: "El hecho de intercambiar la posicin relativa de los puntos de insercin de la fuente y del ampermetro no modifica los valores medidos".28. Teorema de superposicin El teorema de superposicin slo se puede utilizar en el caso de circuitos elctricos lineales, es decir circuitos formados nicamente por componentes lineales (en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de voltaje a sus extremidades). 28. El teorema de superposicin ayuda a encontrar: Valores de voltaje, en una posicin de un circuito, que tiene ms de una fuente de voltaje. Valores de corriente, en un circuito con ms de una fuente de voltaje. Este teorema establece que el efecto que dos o ms fuentes tienen sobre una resistencia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto. Por ejemplo, si el voltaje total de un circuito dependiese de dos fuentes de tensin:Inters del teorema En principio, el teorema de superposicin puede utilizarse para calcular circuitos haciendo clculos parciales, como hemos hecho en el ejemplo precedente. Pero eso no presenta ningn inters prctico porque la aplicacin del teorema alarga los clculos en lugar de simplificarlos. Hay que hacer un clculo separado por cada fuente de voltaje y de corriente y el hecho de eliminar los otros generadores no simplifica mucho o nada el circuito total. Otros mtodos de clculo son mucho ms tiles. El verdadero inters del teorema de superposicin es terico. El teorema justifica mtodos de trabajo con circuitos que simplifican verdaderamente los clculos. Por ejemplo, justifica que se hagan separadamente los clculos de corriente continua y los clculos de seales (corriente alterna) en circuitos con Componentes activos (transistores, amplificadores operacionales, etc.). Otro mtodo justificado por el teorema de superposicin es el de la descomposicin de una seal no sinusoidal en suma de seales sinusoidales (ver descomposicin en serie de Fourier). Se reemplaza un generador de voltaje o de corriente por un conjunto (tal vez infinito) de fuentes de voltaje en serie o de fuentes de corriente en paralelo. Cada una de las fuentes corresponde a una de las frecuencias de la descomposicin. Por supuesto no se har un clculo separado para cada una de las frecuencias, sino un clculo nico con la frecuencia en forma literal. El resultado final ser la suma de los resultados obtenidos remplazando, en el clculo nico, la frecuencia por cada una de las frecuencias de la serie de Fourier. El enorme inters de esto es el de poder utilizar 29. el clculo con el formalismo de impedancias cuando las seales no son sinusoidales. EjemploEn medio: circuito con slo la fuente de voltaje.En el circuito de arriba de la figura de la izquierda, calculemos el voltaje en el punto A utilizando el teorema de superposicin. Como hay dos generadores, hay que hacer dos clculos intermedios.En el primer clculo, conservamos la fuente de voltaje de la izquierda y remplazamos la fuente de corriente por un circuito abierto. El voltaje parcial obtenido es:: En el segundo clculo, guardamos la fuente de corriente de derecha y remplazamos la fuente de voltaje por un cortocircuito. El voltaje obtenido es::El voltaje que buscamos es la suma de los dos voltajes parciales:: 30. 29. Teorema de sustitucin El Teorema de Sustitucin establece lo siguiente:Figura 1. De manera ms simple el teorema establece que para la equivalencia de rama, la Tensin y la Corriente en las terminales a y b deben ser los mismos. Considerando el circuito de la figura 1 en donde la Tensin y la Corriente a travs de la rama a-b estn determinados. En la figura 2 se muestran varias ramas equivalentes a-a' obtenidas gracias al uso del Teorema de Sustitucin.Figura 2 Ramas Equivalentes.Observe que para cada rama equivalente, la tensin en las terminales y la corriente son los mismos, tambin considere que la respuesta del resto del circuito de la figura 1 no cambia, al sustituir cualquiera de las ramas equivalentes. Como se mostro para las ramas equivalentes de una sola fuente de la figura 2 una diferencia de potencial y una corriente conocidas en una red pueden ser reemplazadas por una fuente de tensin y una fuente de corriente respectivamente. Debe comprenderse que este teorema no debe ser utilizado para resolver redes con dos o ms fuentes que no estn en serie o en paralelo. Para aplicarlo, un valor 31. de diferencia de potencial o de corriente debe ser conocido o encontrado usando alguna tcnica de anlisis de circuitos elctricos. Una aplicacin del teorema de sustitucin se muestra en la figura 3 ; Observe que en la figura, la diferencia de potencial conocida V fue reemplazada por una fuente de tensin, permitiendo aislar la porcin de red que incluye , y .Figura 3 Demostracin del efecto de conocer una tensin en algn punto en una red compleja. La equivalencia de la fuente de corriente de la red anterior se muestra en la figura 4, donde una corriente conocida es reemplazada por una fuente ideal de corriente permitiendo aislar y .Figura 4 Demostracin del efecto de conocer una corriente en algn punto en una red compleja. Las aplicaciones de este teorema son muchas y es muy utilizado en en anlisis de redes complejas o circuitos electrnicos muy grandes, donde en la mayora de los casos es posible expresar todo en circuitos equivalentes conociendo corrientes o tensiones y resistencias, una aplicacin ms se da en el anlisis de redes puente donde V = 0 e I = 0 se reemplazan por un corto circuito y un circuito abierto respectivamente. 32. Figura 5 Efecto de la utilizacin del Teorema de Sustitucin en redes puente.30. Teorema de Tellegen El teorema de Tellegen es uno de los ms poderosos teoremas del anlisis de redes. Muchos de los teoremas de distribucin de energa y de los principios del anlisis de redes pueden derivarse de l. Fue publicado en 1952 por Bernard Tellegen. Bsicamente, el teorema le da una relacin simple a las magnitudes que satisfacen las leyes de Kirchhoff en los circuitos elctricos. El teorema de Tellegen se puede aplicar a una gran multitud de sistemas de redes. Las suposiciones bsicas de los sistemas son la conservacin del flujo de muchas cantidades (Ley de corriente de Kirchhoff, LCK) y el conjunto de potenciales en los nodos de una red (Ley de tensiones de Kirchhoff, LVK). El teorema de Tellegen nos brinda una herramienta til en el anlisis de sistemas complejos de redes como los circuitos elctricos, redes metabolicas y biolgicas, redes de ductos y redes de procesos qumicos. El teorema Tiene una gran cantidad de aplicaciones, que van desde circuitos con elementos activos y pasivos, lineales y no lineales, y fuentes que varen con el tiempo. La gran generalidad del teorema se deriva del hecho de que la nica condicin para aplicarse es que se cumpla con las dos leyes de kirchoff. Si se considera la convencin de signo pasivo (la corriente se dirige del terminal positivo al negativo), siendo e , las tensiones y corrientes instantneas respectivamente, el teorema de Tellegen establece que: 33. Dado que el producto de la tensin por la corriente instantnea representa la potencia instantnea, el teorema de Tellegen representa la conservacin de la potencia en un circuito, es decir que la suma de las potencias suministradas por las fuentes equivale a las potencias absorbidas por las resistencias. 31. Teorema de Thvenin En la teora de circuitos elctricos, el teorema de Thvenin establece que si una parte de un circuito elctrico lineal est comprendida entre dos terminales A y B, esta parte en cuestin puede sustituirse por un circuito equivalente que est constituido nicamente por un generador de tensin en serie con una impedancia, de forma que al conectar un elemento entre los dos terminales A y B, la tensin que cae en l y la intensidad que lo atraviesa son las mismas tanto en el circuito real como en el equivalente. El teorema de Thvenin fue enunciado por primera vez por el cientfico alemn Hermann von Helmholtz en el ao 1853,1 pero fue redescubierto en 1883 por el ingeniero de telgrafos francs Lon Charles Thvenin (18571926), de quien toma su nombre.2 3 El teorema de Thvenin es el dual del teorema de Norton. Tensin de ThveninLa tensin de thvenin Vth se define como la tensin que aparece entre los terminales de la carga cuando se desconecta la resistencia de la carga. Debido a esto, la tensin de thvenin se denomina, a veces, tensin en circuito abierto (Vca) 34. Resistencia (impedancia) de Thvenin La impedancia de Thvenin simula la cada de potencial que se observa entre las terminales A y B cuando fluye corriente a travs de ellos. La impedancia de Thevenin es tal que:Siendo el voltaje que aparece entre los terminales A y B cuando fluye por ellos una corriente y el voltaje entre los mismos terminales cuando fluye una corriente Una forma de obtener la impedancia Thevenin es calcular la impedancia que se "ve" desde los terminales A y B de la carga cuando esta est desconectada del circuito y todas las fuentes de tensin e intensidad han sido anuladas. Para anular una fuente de tensin, la sustituimos por un circuito cerrado. Si la fuente es de intensidad, se sustituye por un circuito abierto. Para calcular la impedancia Thevenin, debemos observar el circuito, diferenciando dos casos: circuito con nicamente fuentes independientes (no dependen de los componentes del circuito), o circuito con fuentes dependientes. Para el primer caso, anulamos las fuentes del sistema, haciendo las sustituciones antes mencionadas. La impedancia de Thvenin ser la equivalente a todas aquellas impedancias que, de colocarse una fuente de tensin en el lugar de donde se sustrajo la impedancia de carga, soportan una intensidad. Para el segundo caso, anulamos todas las fuentes independientes, pero no las dependientes. Introducimos una fuente de tensin (o de corriente) de prueba ( ) entre los terminales A y B. Resolvemos el circuito, y calculamos la intensidad de corriente que circula por la fuente de prueba. Tendremos que la impedancia Thevenin vendr dada porSi queremos calcular la impedancia de Thevenin sin tener que desconectar ninguna fuente un mtodo sencillo consiste en reemplazar la impedancia de carga por un cortocircuito y calcular la corriente que fluye a travs de este corto. La impedancia Thvenin estar dada entonces por: 35. De esta manera se puede obtener la impedancia de Thvenin con mediciones directas sobre el circuito real a simular. EjemploEn primer lugar, calculamos la tensin de Thvenin entre los terminales A y B de la carga; para ello, la desconectamos del circuito. Una vez hecho esto, podemos observar que la resistencia de 10 est en circuito abierto y no circula corriente a travs de ella, con lo que no produce ninguna cada de tensin. En estos momentos, el circuito que necesitamos estudiar para calcular la tensin de Thvenin est formado nicamente por la fuente de tensin de 100 V en serie con dos resistencias de 20 y 5 . Como la carga RL est en paralelo con la resistencia de 5 (recordar que no circula intensidad a travs de la resistencia de 10 ), la diferencia de potencial entre los terminales A y B es igual que la tensin que cae en la resistencia de 5 (ver tambin Divisor de tensin), con lo que la tensin de Thvenin resulta:Para calcular la resistencia de Thvenin, desconectamos la carga del circuito y anulamos la fuente de tensin sustituyndola por un cortocircuito. Si colocsemos una fuente de tensin (de cualquier valor) entre los terminales A y B, veramos que las tres resistencias soportaran una intensidad. Por lo tanto, hallamos la equivalente a las tres: las resistencias de 20 y 5 estn conectadas en paralelo y estas estn conectadas en serie con la resistencia de 10 , entonces: 36. TEOREMA DE SUPERPOSICIN EJEMPLO DE CALCULOCalcular el voltaje en el punto A del circuito mostrado en la figura 1. Como el circuito es estimulado por dos fuentes de energa, ser necesario realizar un primer clculo, estimulando el circuito solamente con la fuente de voltaje, por lo cual se sustituir a la fuente de corriente por un cortocircuito. Se obtendr entonces el circuito de la figura 2.Figura 2. Circuito estimulado solo por la fuente de voltaje.Figura 2. Circuito estimulado solo por la fuente de voltaje. El voltaje parcial obtenido ser: VA1= I Z2 = I Z2= VA1= V0 (Z2 / Z1+Z2). Ahora ser necesario desactivar la fuente de voltaje, sustituyndola por un circuito abierto y activar la fuente de corriente. Se obtendr entonces el circuito de la figura 3.Figura 3. Circuito estimulado solo por la fuente de corriente. Ahora el voltaje parcial ser: VA2= I0 Z= I0 (Z1 * Z2 / Z1 + Z2). El resultado final se obtiene sumando los dos resultados parciales obtenidos, o sea: V2= VA1 + VA2= V0 (Z2 / Z1+Z2) + I0 (Z1 * Z2 / Z1 + Z2)= (V0Z2 + I0 Z1 Z2) / (Z1 + Z2) Figura 2 (Click para ampliar) Analizaremos los dos circuitos de la Fig. 3, en los cuales siempre se considera la fuente dependiente y, nicamente, un generador independiente. Figura 3 Para la Fig. 3a se tiene: 12 - 2i1 = (3+1)i1 i1 = 2A Para la Fig. 2b se tiene: -2i2 = 1i2 + 3(i2 + 6) i2 = -3A 37. La corriente que circula por la resistencia de 3 ser: i(3) = i1 + (i2 + 6) = 2 + (-3 + 6) = 5A P = 3i2 = 75 w PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN Este principio, que se aplica a redes lineales, tiene por objeto calcular la respuesta en un elemento de un circuito, cuando existen varias fuentes, y dice lo siguiente: La respuesta de un circuito lineal, a varias fuentes independientes de excitacin actuando simultneamente, es igual a la suma de las respuestas que se obtendran cuando actuase cada una de ellas por separado. La prueba de este Teorema puede establecerse directamente por un anlisis de mallas, como vamos a ver analizando el circuito de la Fig. 1.Figura 1Ecuacion 1 De donde se deduce que, por ejemplo, la corriente i1 bale:Ecuacin 2 Donde 11 y 21 indican los menores adjuntos de la matriz de impedancias y z el determinante de la misma. Todas ellas son funciones de las impedancias de la red. En general, para una red de n mallas, la corriente en una malla genrica j valdr:Ecuacin 3 38. En consecuencia, ij puede considerarse como la suma lineal de n componentes de corrienteEcuacion 4 Debidas a cada generador de malla vgk, actuando independientemente de las otras fuentes. Debe hacerse notar que, para que deje de actuar un generador de tensin, debe anularse su tensin (vg = 0), es decir, se ha de cortocircuitar; mientras que para anular un generador de corriente (i = 0) se debe dejar abierto. Debe tenerse en cuenta tambin que, al aplicar superposicin, la potencia disipada en una resistencia no puede calcularse sumando las potencias debidas a las componentes individuales de corriente, sino que debe calcularse previamente la corriente total y, despus, proceder al clculo de potencia (P = I 2R). Esto es as porque, como sabemos, la relacin entre la potencia y la intensidad no es lineal sino cuadrtica. En general, la resolucin de un circuito elctrico por el principio de superposicin es un procedimiento pesimista, ya que es bastante lento, comparado con el anlisis de mallas o nudos. Sin embargo, cuando se tiene una red excitada con generadores de diferentes frecuencias, constituye el nico procedimiento vlido para determinar la respuesta del circuito. Cuando se tienen fuentes dependientes en la red, stas deben mantenerse intactas, debiendo figurar en cada uno de los circuitos en los que se desdobla la red. La razn de ello es que las fuentes dependientes, por su propia naturaleza, dependen de la tensin o corriente de alguna parte del circuito. Veamos el ejemplo de la Fig. 2, donde nos piden obtener la potencia disipada por la resistencia de 3. 39. Figura 2 Analizaremos los dos circuitos de la Fig. 3, en los cuales siempre se considera la fuente dependiente y, nicamente, un generador independiente.Figura 3 Para la Fig. 3a se tiene: 12 - 2i1 = (3+1)i1 i1 = 2A Para la Fig. 2b se tiene: -2i2 = 1i2 + 3(i2 + 6) i2 = -3A La corriente que circula por la resistencia de 3 ser: i(3) = i1 + (i2 + 6) = 2 + (-3 + 6) = 5A P = 3i2 = 75 w32. EJERCICIOS PROPUESTOS CON SU SOLUCIN1. 40. R1R2R3R450505050Corriente(mA) 10005016,674,995Potencia(W)2,50,8335 0,24975Voltaje(V)502. Rellene el siguiente cuadro con el voltaje, la corriente y la potencia elctrica disipada por cada resistor. 3. Sobre un resistor de 10 se mantiene una corriente de 5 A durante 4 minutos. Cuntos coulomb y cuantos electrones pasan a travs de la seccin transversal del resistor durante ese tiempo. Sol. 1,2 x 103 Coul; 7,5 x 1021 electrones. 4. En un alambre de cobre de 0,10 pulgadas de dimetro existe una pequea corriente de 1 x 10-16 A. Calcular la velocidad de arrastre de los electrones. Sol. 1,5 x 10-15 m/s 5. El rea de la seccin transversal del riel de acero de un tranva es de 7,1 pulgadas cuadradas. Cul es la resistencia de 10 millas de riel?. La resistividad el acero es de 6 x 10-7 .m. Sol. 2,1R1 Voltaje(V)R2R31616482.6674.000Corriente(A) 1.333Potencia(W) 0,021328 0,042672 0,192 6. Rellene el siguiente cuadro con el voltaje, la corriente y la potencia elctrica disipada por cada resistor: 41. R1R2R3R42.807.004.204.20Corriente(mA) 14001400700700Potencia(W)9,82,942,94Voltaje(V)3,927. Calcule la diferencia de potencial entre a y b, as como la corriente, el voltaje y la potencia consumida por cada resistor: Sol. 0,001 VR1 Voltaje(V)R2R30.00740.0065 0.1383R4R5R6R80.13830.13830.138314.99 42. Corriente( 2.306 mA) Potencia( W)2.3063.4583.4582.3063.45814.990,01706 0,0149 0,47824 0,47824 0,31891 0,47824 0,22470 44 89 14 14 98 14 018. Rellene el siguiente cuadro con el voltaje, la corriente y la potencia elctrica disipada por cada resistor: 9. Un alambre de cobre y uno de hierro, de la misma longitud, estn sometidos a la misma diferencia de potencial. Cul debe ser la relacin entre sus radios para que la corriente a travs de ellos sea la misma?.Puede ocurrir que la densidad de corriente sea la misma en los dos alambres, escogiendo adecuadamente sus radios?. Sol. 2,4 siendo mayor el del hierra; No 10. Un alambre de nicromo (es una aleacin de nquel y cromo que se usa comnmente en los elementos calefactores) tiene una longitud de 1 m; el rea de su seccin transversal es 1 mm2 y transporta una corriente de 4 A cuando se aplica una diferencia de potencial de 2 V entre sus extremos. Cul es la conductividad del nicromo?. Sol. 2 x 106 SiemensR1 Voltaje(V)R2R30.2502.2509.750750812.5Corriente (mA) 62.50 Potencia(W)0,015625 1,68757,92187511. Determine la corriente, el voltaje y la potencia que consume cada resistor en la red mostrada: 12. Se fabrican dos conductores de la misma longitud con el mismo material. El conductor A es un alambre slido de 1 mm de dimetro. El conductor B es 43. un tubo de 2 mm de dimetro. Cul es la relacin RA/RB entre las resistencias medidas entre sus extremos?. Sol. 3,00 13. El embobinado de cobre de un motor tiene una resistencia de 50 a 20C cuando el motor esta inactivo. Despus de funcionar por varias horas, la resistencia aumenta a 58 . Cul es la temperatura del embobinado?. Sol. 61 C 14. Un tubo de rayos X opera con una diferencia de potencial de 80 kV y consume una corriente de 7 mA, Cul es la potencia que disipa, expresada en vatios?. Sol. 560 W 15. Un calefactor de inmersin de 500 W se coloca en un recipiente que contiene 2 litros de agua a 20 C. Cunto tiempo tardar en elevarse la temperatura del agua hasta su temperatura de ebullicin, suponiendo que el agua absorbe el 80 % de la energa disponible?:Cunto tiempo ms tardar en evaporarse la mitad del agua?. Sol. 28 min; 1,6 horas.Resistencia 7 ( )34282011.5Voltaje(V)3,328 0,14763 2,0988 0,5726 3,7536 4,616 0,1892 0,630 5Corriente (mA)475,5 49,21524,7 286,3 469,2 230,8 189,2 420Potencia(W 1,582 0,0073 1,1012 0,1639 1,7612 1,0654 0,0358 0,2646 ) 7 44. 16. Determine la corriente, el voltaje y la potencia consumida por cada resistor en la red presentada a continuacin: 17. Un calefactor por radiacin, de 1250 W, se fabrica de tal forma que opera a 115 V. Cul ser la corriente en el calefactor?.cul ser la resistencia de la bobina calefactora?. Cuntas kilocaloras irradia el calefactor en una hora? Sol. 11 A; 11 ; 1100 Kcal18. Calcule el circuito equivalente Norton del resistor de 4 A (de arriba hacia abajo). Sol. 6,7; 10,7519. Calcule el circuito equivalente Thevenin del resistor de 2 . Sol. 5,65 ; 13,043 V 20. Un acelerador lineal de electrones produce un haz pulsado de electrones. La corriente de pulso es de 0,50 A y la duracin del pulso es de 0,10 s. Cuntos electrones se aceleran en cada pulso?. Cul es la corriente promedio de una maquina que opera a una frecuencia de 500 pulsos/s?. 45. Si los electrones se aceleran hasta 50 MeV de energa, Cul es la potencia de salida, promedio y de pico, del acelerador?. Sol. 3,1 x 1011; 25 A; 1200 W (en promedio); 2,5 x 107 W (valor pico)21. Aplicando el teorema de Superposicin calclese la corriente que pasa por el resistor de 10 . Sol. 523,7 mA 22. Una batera de 6 V establece una corriente de 5 A en un circuito externo durante 6 minutos. En cuanto se reduce la energa qumica de la batera?. Sol. 1,1 x 104 J 23. En un circuito en serie simple circula una corriente de 5 A. Cuando se aade una resistencia de 2 W en serie, la corriente decae a 4 A. Cul es la resistencia original del circuito?. Sol. 8 24. Una resistencia de 0,10 W debe generar energa trmica con un ritmo de 10 W al conectarse a una batera cuya fem es de 1,5 V. Cul es la resistencia interna de la batera?. Cul es la diferencia de potencial que existe a travs de la resistencia?. Sol. 0,050 ; 1,0 V 25. Utilizando solamente dos embobinados con resistencia (conectados en serie, en paralelo o por separado), un estudiante puede obtener resistencias de 3, 4, 12 y 16 . Cules son las resistencias individuales de las bobinas?. Sol. 4 y 12 . 46. 26. Dos bateras cuyas fem y resistencias internas son 1, r1 y 2, r2 respectivamente, se conectan en paralelo. Demostrar que la fem efectiva de esta combinacin es:; en donde r queda definida mediante:27. Doce resistencias, cada una de resistencia R, se interconectan formando un cubo. Determinar la resistencia equivalente RAB de una arista. Calcular la resistencia equivalente RBC de la diagonal de una de las caras. Determinar la resistencia equivalente RAC de una diagonal del cubo. Sol. 7/12 R; R; 5/6 R 28. Se establece una corriente en un tubo de descarga de gas al aplicar una diferencia de potencial suficientemente elevada entre los dos electrodos del tubo. El gas se ioniza; los electrones se mueven hacia la terminal positiva y los iones positivos hacia la terminal negativa, Cul es la magnitud y sentido de la corriente en un tubo de descarga de hidrgeno en el cual pasan por una seccin transversal del tubo 3,1 x 1018 electrones y 1,1 x 1018 protones cada segundo?. Sol. 0,67 A; sentido contrario a la carga negativa. 29. Una banda de un generador electroesttico tiene 50 cm de ancho y se mueve a razn de 30 m/s, la banda lleva la carga a la esfera con una rapidez correspondiente a 104 A. Calcule la densidad de carga en la banda. Sol. 0,066 x 10-4 Col/m2 30. Una barra cuadrada de aluminio tiene 1 m de largo y 5 mm de lado. Cul es la resistencia entre sus extremos?. Cul debe ser el dimetro de una barra de cobre circular de 1 m para que tenga la misma resistencia? Sol. 1,13 x 10-3 ; 4,4 x 10-3 m 31. A que temperatura duplicar su resistencia un conductor de cobre con respecto a su resistencia a 0 C?. Es valida esa misma temperatura para todos los conductores de cobre, cualquiera que sea su forma o tamao?. Sol. 256 C; S