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Teorema de Pitágoras Problemas de aplicación

En el siguiente documento se desarrolla el Teorema de Pitágoras a través de la resolución de

problemas de la vida cotidiana en donde sea necesaria su aplicación.

REVISTA DIGITAL: Aprendamos Matema ticas

Nú mero2

Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.

1 INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

Gran parte del conocimiento matemático fue desarrollado en civilizaciones antiguas como

Babilonia, Grecia, Egipto, China, India, árabe y Maya. Cada una desarrolló su propio sistema de

Numeración, y se interesaron por resolver problemas propios de la época.

La civilización griega nace alrededor de dos mil ochocientos años a.C, fue cuna de grandes

matemáticos y pensadores como Thales de Mileto, Pitágoras de Samos y Aristóteles, entre otros.

Los siglos cinco y cuatro a.C. corresponden al apogeo de grandes ciudades como Esparta y Atenas.

Ellos se preocuparon por resolver problemas de área y volumen de distintas figuras y cuerpos, lo

cual se ve reflejado en su asombrosa arquitectura, con edificios como el Partenón y el Erecteion.

Figura N°1: Partenón y Erecteion

Pitágoras (1582 – 1500 a.C) fue un matemático, músico y filósofo

griego nacido en la Isla de Samos. Cerca del año 1530 se estableció en la

isla de Crotona, al sur de Italia, en donde fundó su escuela Pitagórica. Él

y sus discípulos constituyeron una secta en la cual, el principio

fundamental era que todas las cosas están constituidas por números. El

pentagrama fue el símbolo secreto que los identificaba, ver figura N°2.

La música fue fundamental para ellos, ya que les permitió conectar las

matemáticas y el arte, precisamente, encontraron la proporción

numérica en que se basan las armonías musicales. Figura N°2: Pentagrama

Otro aporte importantísimo de esta escuela a la humanidad, fue el

descubrimiento de los números Irracionales, mateniéndolo por mucho tiempo

en secreto. Sin embargo, se dice que Hipaso de Metaponto, uno de sus

miembros, rompió el silencio, y ante tal acto de desobediencia, fue expulsado y

ejecutado; aunque también existen otras versiones, como una en donde se dice

que los pitagóricos hicieron una tumba con su nombre, indicando que estaba

muerto para ellos. Además, su estudio de la Escuela Pitagórica en el área de la

geometría es sumamente valioso, uno de sus legados más reconocidos es el

famoso Teorema de Pitágoras, que a continuación nos proponemos estudiar.

Figura N°3: Pitágoras

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2 ÍNDICE

ÍNDICE

Introducción……………………………………………………………………………………………….1

1. Chocolates y Matemáticas…………….…………………………….………………………………3

2. Generalizando un poco: El Teorema de Pitágoras…….……………………………….5

3. Cálculo de medidas: Problemas de aplicación

3.1 Comparando velocidades………………..………………………………………………6

3.2 Acceso para todos…………………………………………………………………………..7

4. Movilicemos lo aprendido…………………………………………………………………………10

5. Bibliografía……………………………………………………………………………………………..11

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3 Chocolates y Matemáticas

Chocolates y Matemáticas

Considere la siguiente situación:

“El papá de Anita y Susanita compró tres chocolates de forma cuadrada en el

supermercado. Cuando llegó a su casa, los colocó sobre una mesa y, en ese instante, se

percató de que se podía formar un triángulo rectángulo con los lados de los chocolates,

tal como se muestra en la figura N°4:

Figura 4: Barras de chocolate

Él quiso sacar provecho de esta situación, midió los lados de cada chocolate

determinando que sus medidas eran 3cm, 4cm y 5cm, respectivamente. Luego

llamó a sus dos hijas y les dijo: __”Chicas, aquí hay tres chocolates, uno pequeño,

uno mediano y uno grande, una de ustedes puede elegir el chocolate grande y

la otra el mediano junto con el pequeño, ¿Qué opción prefieren?”__

De acuerdo con la situación planteada anteriormente, conteste:

1. ¿Cuál de las opciones que plantea el papá es la más conveniente? ¿por qué?

2. Si Anita elige comerse el chocolate grande, y Susanita los otros dos, ¿Cuál de las dos come

mayor cantidad?

3. ¿Podrías utilizar un procedimiento matemático que verifique tu respuesta anterior?

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4 Chocolates y Matemáticas

Comprobando resultados

Una estrategia que se puede implementar en la resolución del problema anterior es determinar el

área de cada chocolate y compararlas. Veamos:

Primero que nada, recordemos que para calcular el área de

un cuadrado debemos elevar al cuadrado el lado, es decir:

𝐴∎ = ℓ2

Ahora sí, calculemos el área del cuadrado pequeño 𝐴1:

𝐴1 = 32 = 9

Luego el área del cuadrado mediano 𝐴2:

𝐴2 = 42 = 16

Después el área del cuadrado grande 𝐴3: Figura N°5

𝐴3 = 52 = 25

Finalmente, sumamos las áreas correspondientes al cuadrado mediano y pequeña, para comprar

dicha suma con el área del cuadrado más grande:

𝐴1 + 𝐴2 = 9 + 16 = 25

Es decir: 𝐴1 + 𝐴2 = 𝐴3

Por lo tanto, Anita y Susanita comieron igual cantidad de chocolates.

∎

Del problema anterior se desprende el siguiente resultado:

32 + 42 = 52

Donde, 3 y 4 son los catetos del triángulo rectángulo y 5 es la

hipotenusa.

Figura N°6

Al elevar al cuadrado cada uno de los lados de un triángulo rectángulo

llegamos a la siguiente conclusión: La suma de los cuadrados de los

dos lados menores es igual que el cuadrado del lado mayor.

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5 Generalizando un poco: El Teorema de Pitágoras

Generalizando un poco: El Teorema de Pitágoras

En el problema denominado “Chocolates y Matemáticas”, se probó que la suma de las

áreas correspondientes a los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo,

es equivalente al área del cuadrado descrito por la hipotenusa de dicho triángulo.

¿Se podrá generalizar tal afirmación?, es decir, ¿tal propiedad se cumple para todo

triángulo rectángulo? Bien, para dar respuesta a estas interrogantes a continuación se

presenta el Teorema de Pitágoras:

Figura N°7

Vemos que cuando decimos “la suma de los cuadrados de los catetos”, estamos hablando

de la suma de las áreas de los cuadrados que se forman con los catetos, y cuando indicamos “es

igual que el cuadrado de la hipotenusa”, corresponde al área del cuadrado determinado por la

hipotenusa.

Entonces, Teorema de Pitágoras nos permite generalizar los resultados obtenidos en el

problema de los chocolates y las matemáticas, es decir, en todo triángulo rectángulo siempre se

cumple que la suma de las áreas correspondientes a los cuadrados construidos sobre los catetos

de un triángulo rectángulo es equivalente al área del cuadrado descrito por la hipotenusa de

dicho triángulo.

Por ejemplo:

TEOREMA DE PITÁGORAS

“En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los

catetos es igual que el cuadrado de la hipotenusa”

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

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6 Cálculo de medidas: Problemas de aplicación

52 + 122 = 132

125 + 144 = 169

169 = 169

Figura N°8

Cálculo de medidas: Problemas de aplicación

1. Comparando velocidades

Un avión alza vuelo desde cierto punto en una pista de aterrizaje, 30 segundos después, al

pasar sobre un árbol que se encuentra a 400m del punto de despegue, se encuentra una

altura de 300m; mientras que otro avión que despega del mismo punto, tarda 40

segundos en pasar sobre el mismo árbol, pero a una altura 100m mayor que el anterior.

Ver figura 9

A partir de la información anterior, conteste:

a. ¿La distancia recorrida por los dos aviones es la misma?

b. ¿Cuál es la distancia recorrida por ambas aviones?

c. ¿En cuál de ellos la velocidad es mayor?

Figura N°9

Solución:

Para la primera interrogante, por simple observación, la distancia que recorre el avión

que vuela a una altura mayor, es mayor que la distancia recorrida por el otro, sin embargo, es

preciso comprobar tal afirmación.

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7 Cálculo de medidas: Problemas de aplicación

Eliminamos el cuadrado de la

variable sacando raíz cuadrada

al otro miembro de la ecuación.

Primero que nada debemos acomodar los datos dados en el enunciado, para ello,

construimos un par de triángulos rectángulos que nos permitan visualizar la información para cada

avión. Ver figuras N°10 y N°11.

Figura N°10 Figura N°11

En las figuras anteriores se muestran un par de triángulos rectángulos con las respectivas

medidas de sus catetos y las hipotenusas son incógnitas, precisamente, ellas representan la

distancia recorrida por los aviones, según cada caso. Entonces, el problema requiere del cálculo de

las hipotenusas de ambos triángulos, pero ¿Cómo hacerlo?

Es aquí donde aplicamos el Teorema de Pitágoras que analizamos en el apartado anterior,

el cual nos indica que la suma de los cuadrados de los catetos es igual que el cuadrado de la

hipotenusa. Es decir:

3002 + 4002 = 𝑥2 Para el triángulo de la figura N°10.

4002 + 4002 = 𝑦2 Para el triángulo de la figura N°11.

Ahora bien, tan solo nos queda despejar las incógnitas de ambas ecuaciones:

3002 + 4002 = 𝑥2 4002 + 4002 = 𝑦2

90000 + 160000 = 𝑥2 160000 + 160000 = 𝑦2

250 000 = 𝑥2 320 000 = 𝑦2

√250 000 = 𝑥 √320 000 = 𝑦

500 = 𝑥 400√2 = 𝑦

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8 Cálculo de medidas: Problemas de aplicación

De esta forma, tenemos que el primer avión ha recorrido 500m en 30 segundos, mientras

que el otro 400√2𝑚, aproximadamente 565,69𝑚 en 40segundos, es decir la distancia recorrida

por el segundo es mayor que la distancia recorrida por el primero.

Finalmente, necesitamos saber las velocidades de ambos para saber cuál de ellos va más

rápido que el otro. Recordemos que la velocidad es la distancia recorrida entre el tiempo

transcurrido (𝑣 =𝑑

𝑡), por lo cual se cumple que:

Velocidad del primer avión = 𝑣1 =500𝑚

30𝑠≈ 16,67𝑚/𝑠

Velocidad del segundo avión = 𝑣2 =400√2𝑚

40𝑠≈ 14,14𝑚/𝑠

Por lo tanto, la velocidad del primer avión es mayor que la velocidad del segundo.

∎

2. Acceso para todos

Cierto grupo de ingenieros hizo un estudio sobre la accesibilidad de las distintas áreas del

colegio, para todos los miembros de la comunidad educativa. En tal estudio se indicó que las

rampas construidas no son las apropiadas, ya que su pendiente (inclinación) es muy grande, por lo

cual, para la rampa que da acceso al pabellón de matemáticas sugirieron que su longitud fuera de

al menos 6m.

Si se instala dicha rampa, trabajando con las condiciones sugeridas, y sabiendo que la

altura del terreno es de 1m, ¿Cuál es la distancia que existirá desde dónde empieza la rampa,

hasta el pie de la terraza?

Figura N°13

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Solución:

De nuevo hacemos un bosquejo de la situación planteada, tal como lo muestra la figura

N°12.

Figura N°13

En este caso, conocemos la medida de la hipotenusa (longitud de la rampa), un cateto

(altura del terreno), y falta determinar el otro cateto, es decir la distancia desde dónde inicia la

rampa y el pie de la terraza, para ello también empleamos el Teorema de Pitágoras, en este caso

tenemos:

12 + 𝑥2 = 62

Despejamos 𝑥 en la ecuación anterior:

1 + 𝑥2 = 36

𝑥2 = 36 − 1

𝑥2 = 35

𝑥 = √35 ≈ 5,92

Por lo tanto, la distancia que existirá desde dónde empieza la rampa, hasta el pie de

la terraza será, aproximadamente, 5,92m.

∎

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10 MOVILICEMOS LO APRENDIDO

MOVILICEMOS LO APRENDIDO

A continuación se le presentan distintos problemas que requieren de la aplicación del

teorema de Pitágoras para su solución, resuelva cada uno de ellos.

a) Un corredor recorre desde su casa 1500m hacia el norte, luego dobla hacia el oeste y

camina 2000m más. ¿Cuál es la distancia más corta que debe recorrer para devolverse

hasta su punto de partida?

b) Una princesa se encontraba en la torre de un palacio, cuando llegó un príncipe valiente a

rescatarla. Si la ventana de la torre está a 6m de altura y la longitud de la escalera es de

10m, ¿a qué distancia se debe colocar la escalera con respecto a la torre, para que esta

llegue a la ventana donde está la princesa?

c) Desde lo alto del mástil principal de un barco pesquero, de 3m de altura, se amarra una

cuerda hasta cierto punto de la cubierta, ubicado a 2m del pie del mástil. ¿Cuál es la

longitud de la cuerda?

d) Si un cable tensor de 15m de longitud, se amarra desde lo alto de un poste hasta un punto

en el suelo ubicado a 9m del pie del poste, ¿cuál es la altura del poste?

e) Dos ciclistas parten de un punto al mismo tiempo. Si ambos viajan a la misma velocidad

pero uno hacia el este y el otro hacia el sur, y después de media hora la distancia entre

ellos es de 10√2𝑘𝑚, determine:

La distancia recorrida por cada ciclista.

La velocidad de cada uno de ellos.

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11 BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA

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12 BIBLIOGRAFÍA

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