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Descripción del teorema de Bloch y demostración.
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Separación del problema en dos,
Estudio de los electrones en el potencial
creado por los iones.
Estudio de los iones
Aproximación de Born-Oppenheimer.
Los iones se suponen estáticos.
Modelo estático
Se considera la interacción de Coulomb,
autoconsistencia.
Aproximación monoelectrónica
Iones en una red periódica, potencial
periódico. Teorema de Bloch
Eliminados grados de
libertad electrónicos.
Dinámica de fonones
Iones tratados clásicamente,
energía de cohesión
Potencial iónico eliminado.
Modelo de Sommerfeld
(estadística de Fermi-Dirac).
Potencial iónico eliminado.
Modelo de Drude
(estadística de Maxwell-Boltzmann).
∑ ∑∑ ++−
+∂∂−
∂∂−=
<i ji jiil l
GUe
mMH )(),(
22
2
2
22
2
22
ururrru
hh No es posible resolver este
Hamiltoniano para un sistema
de 1023 partículas:
APROXIMACIONES
FES. Electrones en un potencial periódico.
Este modelo a pesar de dar algunos
buenos resultados no da cuenta de varios
comportamiento experimentales.
Necesitamos considerar la interacción con
los iones
FES. Electrones en un potencial periódico.
FES. Electrones en un potencial periódico.
� �� � ���� � �
��
� ��Potencial real que sufren
los electrones
��
2��� � ��� Ψ � �Ψ
La notación usada en este apartado es la siguiente:
H(0) operador hamiltoniano y |0� y la función de onda antes de la traslación
H(��) operador hamiltoniano y ���� y la función de onda tras la traslación
|0�= Ψ(��) y ����= Ψ(��+��)
FES. Electrones en un potencial periódico.
Teorema de Bloch
Es decir que la solución |� � � es solución de la misma
ecuación satisfecha por |0�. Analizamos como están
ligadas estas dos soluciones. Hay dos opciones
Por tanto para cualquier función de onda que satisface la ecuación de
Schrödinger existe un vector � tal que una traslación de vector de red l equivale
a multiplicar la función por un factor exp(i� ��)
Cada función de estado distinta puede tener un vector de onda � distinto,
pero todas han de satisfacer esta ecuación. Esta condición es muy restrictiva
y se debe a la invariancia traslacional de la red.
FES. Electrones en un potencial periódico.
Este es el teorema de Bloch para el que
existen demostraciones rigurosas en la
teoría de grupos
FES. Electrones en un potencial periódico.
Reducción a la primera Zona de Brillouin
FES. Electrones en un potencial periódico.
Electrones libres en el esquema reducido
Reducción a la primera zona de Brillouin en 2DReducción a la primera zona de Brillouin en 1D
FES. Electrones en un potencial periódico.
Recuento del número de estados.
Condiciones de contorno cíclicas o de Born-
von Kármán
FES. Electrones en un potencial periódico.
El número de vectores k permitidos (en la
primera zona) coincide con el número de
celdillas en el cristal.
La densidad de estados permitidos en el
espacio reciproco en V/8π3 (mismo resultado
que vimos en electrones libres)
Densidad de estados
en el espacio recíproco
Paso de suma a
integral
FES. Demostración alternativa del Teorema de Bloch
Se presenta a continuación una demostración directa del teorema de Bloch usando la
ecuación de Schrödinger. (Ashcroft)
FES. Demostración alternativa del Teorema de Bloch
Estas ecuaciones son
equivalentes a la ecuación de
Schröndinger, una vez se ha
asumido un potencial
periódico.
Son una conjunto de
ecuaciones una por cada vector
de la rede recíproca (K en la
notación utilizada)
FES. Demostración alternativa del Teorema de Bloch
Por tanto recuperamos el teorema de Bloch, por el cual las funciones de
onda compatibles con un sistema cristalino se pueden escribir como una
onda plana multiplicada por una función periódica con la periodicidad de la
red.
