Datu bāzes sistēmu matemātiskie pamati

Relāciju algebra Relāciju datu bāzes sistēma

Objektu algebra Objektu datu bāzes sistēma

Relāciju algebra + Objektu algebra Relāciju objektu datu bāzes

sistēma1

Temporālā algebra Temporālā (laika) datu bāzes sistēma

Laika algebra ir vispārēja algebras forma, kas definē datu modeli, kā organizēt laika datus. Laika datu modelis var atbalstīt:1) derīgo (reālo) laiku (laiks, kurā derīga datu vērtība);2) darījuma (transakciju) laiku (laiks, kad datu vērtība tiek ierakstīta datu bāzē);3) abi iepriekšējie kopā (bitemporal).Tātad algebra var definēt attiecīgi katram gadījumam, derīgo laika relāciju algebrai, darījuma laiku relāciju algebrai vai bitemporalo laiku relāciju algebrai.

Temporālā algebra ietver arī papildus operācijas relāciju algebrai laika datu manipulēšanai. Piemēram, laika šķēle (slice), laika sadalīšana, laika pārstrukturēšanas darbības un citas.

1 https://dzone.com/articles/object-relational-algebra

1

Algebra

Algebra, ir mācība par matemātiskiem simboliem un to manipulēšanas likumiem. Tā ir vienojošs pavediens gandrīz visai matemātikai. Ir:

1) elementārā algebra;2) abstraktā (specializētā) algebra.

2

Loģika

Loģika ir zinātne par domāšanu, kura nodarbojas ar domāšanas veidu un likumu pētīšanu. Loģika ļauj pamatot savu viedokli un nenonākt pretrunās pašam ar sevi. Viens no loģikas svarīgākajiem uzdevumiem ir iemācīt apzināti izmantot loģikas likumus un domāšanas formas. Tā ļauj izprast jēdzienus un izdarīt spriedumus un secinājumus. Tiek lietotas vērtības: patiess, nepatiess.

Laika loģika ir jebkura noteikumu sistēma un simbolisms, kas pārstāv laiku un argumentāciju par priekšlikumiem.Laika loģikai ir divu veidu operatori:

1) loģiskie operatori. Operatori ir parasta operatora, kas darbojas patiesību.

2) modālie operatori. Tie ir operators, kas veido priekšlikumus no ierosinājumiem.Termins "modālie operatori" attiecas uz darbības režīmu. Tie ir tādi vārdi "vajag", "vajadzētu", "nevar", "nedrīkst", "var", "gribu" un "drīkst" iespēju vai nepieciešamību.

3

Allena laika intervālu (pareizi būtu teikt laika periodu) algebra2

1983. gadā J. F. Allens publicēja rakstu, kurā viņš definēja 13 attiecības starp laika periodiem. Tās ir:1) atšķirīgas, jo nevienu noteiktu periodu pāri nevar saistīt ar vairāk nekā vienu no attiecībām;2) izsmeļošas, jo katru no definētajiem periodu pāriem raksturo viena no attiecībām;3) kvalitatīvas, nevis kvantitatīvas, jo netiek ņemti vērā laika periodu atstarpes.Šīs attiecības un operācijas uz tām veido Alena intervāla algebru.

2 https://www.ics.uci.edu/~alspaugh/cls/shr/allen.html

4

Allena definētās attiecības starp laika periodiem

atrasties saskarties daļēji kopā iekļaut kopējs vienādspriekšā nosegt pabeigt sākums

Six pairs of the relations are converses (pretēji, apgriezti).  For example, the converse of "a precedes b" is "b preceded by a"; whenever the first relation is true, its converse is true also.  Table 2 lists the relations with each one beside its converse.  The thirteenth, "equals", is its own converse.  Each pair of converse relation symbols consists of the lowercase and uppercase of the same letter (e.g. p and P; the uppercase letters represent the relations Allen defined as converses). 

5

Vienkāršas periodu attiecības6

Satiek (meets)Pirms (before)Pārsegums (overlaps)

Vienāds (equals)

Sākums (starts) Beigas (finishes)

Laika periodu attiecību binārā taksonomija3

3 T. Johnston, R. Weis. Managing Time in Relational Databases. Morgan Kaufman, 2010.

Laika periodu attiecību binārā taksonomija

Pārklājas (intersects) Izslēgt (excludes)

Piepildīt (fills)

Aizņemt (occupies)

Sakārtot rindā (aligns)Laikā (during)

7

8

Noteiktie un nenoteiktie periodi

Noteiktam periodam (definite period) sākuma un beigu laiki ir zināmi.

Nenoteiktam periodam (indefinite period) nav precīzi zināmi sākuma un beigu laiki.

Nenoteiktam periodiem tiek piekārtotas visas iespējamās attiecības.

A un B Before Meets OverlapsB un C Before Meets

9

Periodu attiecības. Piemērs "Gaismas ieslēgšana"

Jānis nebija istabā, kad es nospiedu slēdzi, lai ieslēgtu gaismu.

Pieņemam: a - laiks, kad Jānis bija istabā b - laiks, kad es nospiedu slēdzic – laiks, kad ir ieslēgta gaisma 

a a (pmMP) b blaiks, kad Jānis bija

istabā

precedes laiks, kad es nospiedu slēdzi

meets

is Met by

is Procede by

b (mo) claiks, kad es

nospiedu slēdzi

meets laiks, kad ir ieslēgta gaisma 

overlaps

There is a general relation for every combination of the thirteen basic relations:  213 or 8192 of them.  Each of the basic relations is a relation, of course, as are all their combinations.  The full relation (pmoFDseSdfOMP) holds between two intervals about whom nothing is known. 

a b

a

a

a

b

b

b

b c

b c

10

Attiecību izvedums, secinājumsInference of relations

a (pseSdfOMP) c

laiks, kad Jānis bija

istabā

precedes

laiks, kad ir ieslēgta gaisma 

Starts

equal

Started by

during

finishes

Overlap

Meet

Precedes

a c

acaca

cac

ac

ac

ac

ac

a b

b c

ab

b c

b a

b c

11

Attiecību un to kompozīciju biežums (n – biežums)12

Temporal GIS algebra rastra un vektoru tipa grafikai4

The temporal part of the temporal GIS algebra is designed to be used as is in the temporal vector algebra and the temporal raster algebra. Hence it works with Space Time DataSets of any type (STRDS, STVDS). The algebra provides methods select maps from STDS based on their temporal relations. It is also possible to temporally shift maps, to create temporal buffer and to snap time instances to create a valid temporal topology. These operations can be assigned to space time datasets or to the results of operations between space time datasets.

4 http://trac.osgeo.org/grass/wiki/Grass7/TemporalGISAlgebra

13

Temporālās algebras sinonīmi

Historical algebras Valid-time algebras Transaction-time algebras Bitemporal algebras

Temporal algebra is a generic term for an algebra defined for a data model that

organizes temporal data. A temporal data model may support Valid-time (the

time over which a data value is valid), Transaction-time (time when a data value

is recorded in the database), or both (Bitemporal). So an algebra can be defined

for each case, a Valid-time relational algebra, a Transaction-time relational

algebra, or a Bitemporal relational algebra, respectively. Temporal algebras

include the temporal versions of relational algebra operations in addition to new

operations for manipulating temporal data like Time-slice, Rollback, Temporal

Coalesce, temporal restructuring operations, and others.

14

Temporal Relational Algebra

Temporal Relational Algebra (TRA) is the extension to RA. TRA is a set of operators that includes all the RA operators and with the addition of new temporal specific operators. The evaluation of a query in TRA using the information of just a snapshot of the historic database (a particular tick) would mean that the classical relational operators1 have their normal meaning, are consistent.

15

Relāciju algebras galvenās darbības (atgādinājums) Operations of relational algebra

1. Selekcija (selection).

2. Projekcija (projection).

3. Dekarta reizinājums (cartezian multiplication).

4. Savienojums (joining).

5. Dabiskais savienojums (natural joining).

6. Pārklājums (overlay).

7. Apvienošana (union).

8. Starpība (difference).

9. Dalīšana (division).

16

SQL vaicājuma izpildes relāciju algebras darbības

select KD_NUM, IELA, RAJONSfrom Namipasumswhere RAJONS='Centra' and SUBSTR(KD_NUM,11,3)='001'

1. Selekcija – tiek veikta datu atlasīšana, pēc WHERE rindā uzdotajiem nosacījumiem 2. Projekcija – atlasa tikai vaicājumā uzdotās kolonnas

KD_NUM IELA M_NU KORP RAJONS1000100123001 Skolas 15   Centra1000302036001 Skolas 2a 1 Centra1001101223002 Dārzciema 100   Latgales1001272123003 Grīvas 11 19 Kurzems1001156163002 Valkas 12   Latgales1000100123002 Dzirciema 12 2 Kurzems1001202000007 Skolas 50 1 Centra 1001230001004 Vienības gatve 109   Vidzemes1000222222001 Ģertrūdes 20   Centra1000101256001 Elizabetes 65   Centra1001161259002 Bērzu 22 2 Zemgales1001281256006 Slokas 13   Kurzems1000100902003 Višķu 22   Latgales1000300995005 vaidelotes 60 2 Kurzems1001281299008 Dārzciema 100   Latgales

1000100123001 Skolas 15   Centra1000302036001 Skolas 2a 1 Centra1000222222001 Ģertrūdes 20   Centra1000101256001 Elizabetes 65   Centra

1000100123001 Skolas Centra 1000302036001 Skolas Centra 1000222222001 Ģertrūdes Centra1000101256001 Elizabetes Centra

Selekcijas rezultāts

Projekcijas rezultāts

Selekcija

Selekcija

17

Temporālās algebras pamatdarbības

1. Projekcija (kolonu atlase):

- ne temporāla projekcija;

- temporāla projekcija.

2. Atlase (rindu atlase);

3. Reizinājums (tabulu rakstu savienojums) (multiplication);

4. Apvienojums (apvieno laika periodus) (interval union);

5. Starpība (tabulu rakstu starpība) (difference);

6. Intervāla sadalīšana (unfold - atvērt)

7. Laika punktu (periodu) apvienošana periodā (fold – iesaiņot).

18

Periodu kanoniskās formas (canonical forms of periods)

Periodi :{ [d1, d2], [d3, d5], [d4, d7] } d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7

1. Izvērstā (expanded) periodu kanoniskā forma { [d1, d2], [d3,d4], [d4,d5], [d5, d6], [d6, d7} }

d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7

2. Sakļautā (consolidated) periodu kanoniskā forma { [d1, d2], [d3, d7] }

d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7

19

Temporal Normal Form Tuples will have the following structure: (a1,….,an) [start, end] in a relation R, where start and end are the temporal time attributes (referring to ticks) and define the time period for when the tuple exists. This temporal structure is applied and stored in a relational database as R(a1,….,an,start,end), a set of attributes.

All periods that are stored in the relational database are and must be maximal.

That is to say, for any tuple R(a1,….,an,start,end) there must be no other matching tuple R(a1,….,an,start',end') where the non-temporal attributes a1,….,an are identical and the temporal attributes, the intervals overlap by confirming to start ≤ end'+1 and end ≥ start-1 (that overlap or touch each other). Thus, adding the constraint that all such intervals are maximal gives the temporal normal form (TNF). In order for an interval to be a valid interval in the bounded model, the fact 0 ≤ start ≤ end ≤ n (n is the last tick t of the historic database Dn) must be obeyed. The reasons for choosing the TNF (time interval associated with tuples): 1. Produces a compact database, making it efficient in storage, whereby overlapping intervals of two tuples are replaced by a single interval for a single tuple. 2. Without the normal form, the primary keys of relations would be seen to have duplicates at some time. For example, if we have a relation R with a single attribute that is also its primary key and have stored in the database R = { (a) [2, 5], (a) [5, 10] }, then at tick 5, the primary key x is seen to be duplicated. 3. Implementation of the query language would be complicated. For example, if we want to find if R(x) held for the interval, then in the TNF database we need only check once that R(a) is stored in the database as holding for some interval that encloses. However, for a non-TNF database, we must merge all overlapping tuples to see if together they enclose.

20

Piemēra temporālā datu bāze

tabula DARBINIEKI

Uzvards Amats Periods2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Koks māceklis [2010, 2012)Koks māceklis [2012, 2014)

Koks strādnieks [2014, ∞)Celms strādnieks [2008, 2010)Celms meistars [2010, 2015)Celms meistars [2015, ∞)Egle meistars [2008, 2012)Egle meistars [2012, 2014)Egle vadītājs [2014, ∞)Priede vadītājs [2008, 2012)Priede vadītājs [2012, 2015)

tabula ATALGOJUMS

Amats Alga Periods2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

māceklis 400 [2008, 2012)māceklis 450 [2012, ∞) strādnieks 600 [2008, 2010)strādnieks 700 [2010, 2014)strādnieks 800 [2014, ∞)meistars 900 [2008, 2011)meistars 1000 [2011, 2015)

21

meistars 1200 [2015, ∞)vadītājs 1200 [2008, 2012)vadītājs 1400 [2012, ∞)

22

ProjekcijaProjekcija ir unāra operācija, kurā izvēlas relācijas kolonnu

apakškopu. Tā tiek iegūta:

1) atlasot attiecīgus atribūtus no relāciju shēmas R;

2) izslēdzot dublējošos ierakstus no palikušajiem.

Temporālajā datu bāzē projekcija ne vienmēr dod temporālu relāciju.

Uzvards AmatsKoks māceklisKoks māceklisKoks strādnieksCelms strādnieksCelms meistarsCelms meistarsEgle meistarsEgle meistarsEgle vadītājsPriede vadītājsPriede vadītājs

πUZVARDS, AMATS (Darbinieki)

select UZVARDS, AMATSfrom Darbinieki

23

Temporālās normālformas ievērošana projekcijāProjekcijas sākotnējais rezultāts

Uzvards Periods2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Koks [2010, 2012)Koks [2012, 2014)Koks [2014, ∞)Celms [2008, 2010)Celms [2010, 2015)Celms [2015, ∞)Egle [2008, 2012)Egle [2012, 2014)Egle [2014, ∞)Priede [2008, 2012)Priede [2012, 2015)

Projekcija pēc pārveidojumiem, lai tiktu ievērota temporālā normālformaUzvards Periods

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017Koks [2010, ∞)Celms [2008, ∞)Egle [2008, ∞)Priede [2008, 2015]

24

Atlase (selection)Atlase vienmēr atgriež temporālu relāciju, nemaina rezultāta relācijas shēmu.

Temporāla atlase dod iespēju lietot laika predikātus un līdz ar to paplašina datu

izgūšanas iespējas. Lieto laika predikātus (izteiksmes patiess/nepatiess).

Periods = [datums1, datums2)(Darbinieki)

tabula

tabula DARBINIEKI

Uzvards Amats Periods2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Koks māceklis [2010, 2012)

Koks māceklis [2012, 2014)Koks strādnieks [2014, ∞)Celms strādnieks [2008, 2010)Celms meistars [2010, 2015)Celms meistars [2015, ∞)Egle meistars [2008, 2012)Egle meistars [2012, 2014)Egle vadītājs [2014, ∞)Priede vadītājs [2008, 2012)Priede vadītājs [2012, 2015)

atribūts Periodi

V1V2V3V4

[datums1, datums2)

25

select *

from DARBINIEKI

where VALID(A) CONTAINS INTERVAL [datums1, datums2);

Reizinājums (multiplication)Temporālajām relācijām eksistē specifisks reizinājums. Darbības princips ir

sekojošs:

1) izvēlas tikai tos kortežus, kuriem laika periodi pārklājas;

2) rezultātā iekļauj šo periodu pārklājumu. Šis reizinājums sastopams arī zem

nosaukuma „konkurējošais reizinājums”.

select *

from Darbinieki A, Atalgojums B

where B.AMATS = A.MATS and VALID(A) OVERLAPS VALID(B);

a1 Start_EndV1V2V3V4

a2 Start_EndVE1VE2VE3VE4RezultātsV3,VE2V3,VE3

26

27

Temporālā reizinājuma piemērs

A.AMATS = B.AMATS

a)

b)

c)

d)

Darbinieki AUZVARDS AMATS D_NO D_LIDZKoks palīgs 11-03-2001 17-11-2002Koks strādnieks 18-11-2002 24-05-2005Koks meistars 25-05-2005Zars palīgs 10-01-2001 11-09-2001Zars strādnieks 12-09-2001 24-07-2003Zars meistars 25-07-2003

Atalgojums BAMATS ALGA A_NO A_LIDZpalīgs 200 02-03-2000 15-04-2002palīgs 250 16-04-2002strādnieks 350 02-03-2000 01-01-2003strādnieks 450 02-01-2003meistars 500 02-03-2000 09-07-2004meistars 600 10-07-2004

28

Ir periodu pārklājums [SAKUMS, BEIGAS], ja:

( D_NO >= A_NO un A_LIDZ >= D_NO ) vai

( D_NO < A_NO un D_LIDZ >=A_NO)

Pārklājuma periods [SAKUMS, BEIGAS]:

Ja D_NO >= A_NO, tad SAKUMS = D_NO

Ja D_NO < A_NO, tad SAKUMS = A_NO

Ja D_LIDZ >= A_LIDZ, tad BEIGAS = A_LIDZ

Ja D_LIDZ < A_LIDZ, tad BEIGAS = D_LIDZ

UZVARDS AMATS D_NO D_LIDZ ALGA A_NO A_LIDZKoks palīgs 11-03-2001 17-11-2002 200 02-03-2000 15-04-2002Koks palīgs 11-03-2001 17-11-2002 250 16-04-2002

UZVARDS AMATS SAKUMS BEIGAS ALGAKoks palīgs 11-03-2001 15-04-2002 200Koks palīgs 16-04-2002 17-11-2002 250

29

Apvienojums (union)Apvienojums veido rakstus ar apvienotiem laika intervāliem.

X

Y

X È Y

select DISTINCT

from Atalgojums A, Darbinieki B

where A.AMATS = B.AMATS AND B.AMATS = 'vadītājs';

a1 PeriodiV1V2

Rezultējošais

periods

30

Starpība - (difference)Starpība dod visus pirmā operanda rakstus, kuru laika intervāli nesakrīt ar otrā operanda rakstu laika intervāliem.

X Y X - Y

a1 Start_EndV1V2

31

Temporālās algebras operācija Unfold (sadalīt,

atklāt)

1. Ar Unfold operāciju var sadalīt laika periodu:

a) laika punktos, atbilstoši dotajai granularitātei;

b) mazākos periodos, atbilstoši nosacījumiem.

Laika granula (punkts)

Periods

a) Granulas

b) Mazāki periodi

2. Ja ir relāciju shēma R(A, T), kurā r = {(a, [t1, tn)} un doto

intervālu ir nepieciešams sadalīt, tad Unfold operācija var būt

definēta sekojoši:

Unfold(R) = R´(A, T) un r´ = {(a, [t1, t2)), ..., (a, [tn-1, tn))} vai

r´ = {(a, t1), ..., (a, tn)}, ja atribūta T vērtības ir

laika punkti.

3. Operācija Unfold virtuāli izveido tā saucamo laika sēriju, kura

sastāv no visiem esošiem laika punktiem konkrētajā relācijā.

32

Temporālās algebras operācija Fold (apvienot,

iesaiņot)

1. Fold operācija laika punktu kopu transformē laika periodā,

atbilstoši izvēlētai laika granularitātei.

Laika granula (punkts)

Laika punktu

kopa

Periods

2. Starp operācijām Fold un Unfold pastāv sakarība:

Fold(Unfold(R)) = R

3. Ar operāciju Fold, izmantojot jaunus nosacījumus, var izveidot

jaunus vajadzīgus periodus.

33