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IUFRONT — Sede MéridaAv. Principal Los
Próceres Sector Santa Bárbara
IUFRONT – SEDE MERIDA
Realizado por:
Ing. Marjorie J. Uzcátegui S.
Mérida, enero de 2002
Antecedentes:
La mayoria de las antiguas civilizaciones se encontraron con serios problemas para representar los nümeros. El uso de sistemas de numeración exccesivaamente complicados, como el romano, suposo un considerable entorpecimiento en el progreso de las Matemáticas. Fueron los Hindúes quienes dieron con la solución al describir el concepto de cero y emplear el valor proporcional de las cifras. Los descubrimientos de los matemáticos hindúes fueron transmitidos al mundo occidental a través de los árabes y por este motivo los números que empleamos en la actualidad se denominan arábigos.
Sistema de Numeración: es un conjunto de reglas que sirven para expresar y escribir los números.
1.1 El Conjunto De Los Números Naturales.
Llamamos número natural a cada uno de los números empleados para contar, y se anota:
N = {1,2,3,4,5,.....}
Propiedades más utilizadas de los Números Naturales:
Suma: Los elementos con los cuales efectuamos una suma se llama sumados. El resultado de la operación se llama total o suma.
El conjunto de los números naturales está cerrado bajo la operación suma. Esto significa que si tomamos dos números naturales y los sumamos, esta suma es tambien un número natural.
Ejemplos:1. 2 N, 3 N por lo tanto 2 + 3 = 5 N2. 5 N, 9 N por lo tanto 5 + 9 = 14 N
Esta propiedad indica que al efectuar la suma, el orden de los sumandos no altera el total o suma.
Ejemplos:1. 2 + 3 = 5 y 3 + 2 = 5 2. 4 + 5 = 9 y 5 + 4 = 9
Esta propiedad indica que no importa el orden en que agrupemos los sumandos, el total o suma no se altera.
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Propiedad de Clausura: Si a N y b N, entonces a + b N
Propiedad de Conmutativa: Si a N y b N, entonces a + b = b + a
Propiedad de Asociativa: Si a N , b N y c N , entonces (a + b) + c = a + ( b + c)
Ejemplos:1. 2 + ( 5 + 6 ) = ( 2 + 5 ) + 6 = 13 2. 5 + ( 4 + 9 ) = ( 5 + 4 ) + 9 = 18
Multiplicación: los elementos con los cuales efectuamos la multiplicación se llaman factores. El resultado de esta operación se llama producto. El producto de a y b se puede escribir en distintas formas:
a x b = (a)(b) = a b = ab.
La ausencia del simbolo de operación entre a y b indica multiplicación.Si a x b = c, decimos que: a es factor o divisor de c
b es factor o divisor de c c es multiplo de b y de a
El conjunto de los números naturales está cerrado bajo la operación multiplicación. Esto significa que si tomamos dos números naturales y los multiplicamos, el producto tambien será un número natural.
Ejemplos:1. 2 N, 3 N por lo tanto 2( 3 ) = 6 N2. 5 N, 4 N por lo tanto 5 ( 4 ) = 20 N
Esta propiedad indica que al multiplicar dos números naturales , el orden de los sumandos no altera el producto..
Ejemplos:1. 2 3 = 6 y 3 2 = 6 2. 4 7 = 28 y 7 4 = 28
Esta propiedad indica que no importa la forma en que agrupemos los términos, el producto no se altera.
Ejemplos:1. 2 ( 5 6 ) = ( 2 5 ) 6 = 60 2. 5 ( 4 9 ) = ( 5 4 ) 9 = 180
La ley distributiva relaciona las operaciones de suma y multiplicación.
Ejemplos:
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Propiedad de Clausura: Si a N y b N, entonces ab N
Propiedad de Conmutativa: Si a N y b N, entonces a b = b a
Propiedad de Asociativa: Si a N , b N y c N , entonces (a b) c = a ( b c)
Ley Distributiva de la Multiplicación: Si a N , b N y c N, entonces ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c )
1. 3( 4 + 5) = ( 3 4 ) + ( 3 5 ) = 272. 9(10 + 7 ) = ( 9 10 ) + ( 9 7 ) = 153
Resta: El resultado de esta operación se llama diferencia o resta. La resta entre a y b se puede escribir en distintas formas:
Las propiedades conmutativa, asociativa y de clausura no se aplica en la resta.
Ejemplos:1. 5 N, 2 N por lo tanto 5 – 2 = 3 N2. 9 N, 4 N por lo tanto 9 - 4 = 5 N3. 3 N, 6 N por lo tanto 3 - 6 = N No se verifica la propiedad de
clausura.4. 6 – 3 3 – 6 No se verifica la propiedad
conmutativa5. 5 – ( 3 – 2 ) ( 5 – 3 ) – 2 es decir 0 -4. No se verifica la propiedad
asociativa
El número 0: Suponiendo que a = b; entonces a - b = a – a = c tal que c + a = a, pero no existe c N que satisfaga la condición. Introducimos un simbolo nuevo denominado cero y lo representamos con el simbolo 0. El número 0 tiene las siguientes propiedades.
Las propiedades conmutativa, asociativa y de clausura no se aplica en la resta.
División:
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Si a N y b N, a – b = c sí existe c N y se verifica que c + b = a a es factor o divisor de c b es factor o divisor de c c es multiplo de b y de a
0 + 0 = 0 a + 0 = a = 0 + a para todo a N
0 0 = 0 a 0 = 0 = 0 a para todo a N
Si existe un c N tal que a b = c, decimos que divide el al número a o que b es factor de a y que a es multiplo de c y b. Decimos también que a es divisible por c y por b. Todo número diferente de 0 es divisible por sí mismo y por 1.
Ejemplos:1. 15 3 = 5 porque 5 3 = 152 36 12 = 3 porque 3 12 = 36
En general, para los números naturales n y r decimos que n es multiplo de r si existe un elemnto N, digamos t, tal que n = r.t. Cualquier número n es multiplo de sí mismo, ya que n.1 = n, y todo número es multiplo de 1, ya que 1.n = n. El número 1 se llama identidad bajo multiplicación porque 1.n = n.1 = n
1.2 El Conjunto De Los Números Enteros.
Son los números naturales positivos y negativos.
Se denoptan por la letra Z, donde Z = {.... - 4,-3, - 2, - 1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ........}
1.3 El Conjunto De Los Números Racionales.
Son los números formados por los enteros más las fracciones
Se denoptan por la letra Q, donde Q = {.... – 5 ,........- ......., 0 , ...... , .........
4 ........}
Cuando tenemos que dividir dos números, puede que la división no sea exacta, es decir
que el dividendo no es multiplo del divisor , por ejemplo : , etc en este caso la
operación no puede realizarse y se deja indicada, a esta operación indicada se le denomina fracción o quebrado.
Multiplo de un número.
MULTIPLO DE UN NÚMERO ES: el nímero que contiene a este un número exacto de veces.
Ejemplo:
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Si a N y b N, a b = c sí existe c N y se verifica que c b = a a se llama dividendo b se llama divisor c se llama cociente.
Los multiplos de un númerro se determinan multiplicando dicho numero por todos los números enteros.
Ejemplo:
Para indicar que un númeroe s múltiplo de otro anotamos que se lee “b es
múltiplo de a”. Pôr lo general, los múltiplos de un número se anotan con dicho número seguido de la letra N
Ejemplo:
Un número es par cuando es múltiplo de 2 y es impar cuando no es múltiplo de 2.
Para determinar si un número es múltiplo de otro, se realiza la división del mayor entre
el menor y si la división es exacta el dividendo es múlltiplo del divisor.
Propiedades:
Todo número tienen infinitos múltiplos El cero múltiplo de cualquier número Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad. Los múltiplos de dicho número exceptuando el cero y dicho número son mayores
que él.
Minimo Cómun Multiplo:
El mínimo común múltiplo de varios números es el menor múltiplo común a todos ellos, distinto de cero y se denota como m.c.m. Para determinar el m.c.m de varios números se les descompone en sus factores primos y despues se multiplica los factores comunes y no comunes elevandolos al mayor exponente, teniendo en cuenta que solo se debe tomar una sola vez cada fáctor.
Ejemplo:Hallar el m .c.m de 12 y 18
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Potenciación de números racionales.
Propiedades:
1.2.3.4. Potencia de un producto
5. Potencia de un cociente
6. Producto de Potencia de igual base
7. Cociente de potencia de igual
base8. Potencia de una Potencia
Radicación.Raíz de un número real. Dada la ecuación an = b, tal que n es un número entero diferente de cero, si nos dan a y n para calcular b es un problema de potenciación. Si nos dan b y n, para calcular a estamos en optro tipo de cálculo llamado radicación y la igualdad anterior la anotamos así;
Calculo de raices
La ecuación xn = a, en forma de radicales se escribe como , que es lo mismo que despejar la x donde
Podemos observar que la n que esta potenciando pasa al otro miembro en forma de raíz, es decir:
La radicación es la operación inversa de la potenciación.
Ejemplos:
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Propiedades:
1. Raiz de una
potencia2. Raíz de un
producto.
3. Raiz de un cociente
4. Multiplicación de raíces de igual base
5. División de raíces de igual base
6. Potencia de una
Raíz7. Raíz de una raíz
8. Amplicación de radicales
Productos Notables.Se denominan productos notables a determinados productos con expresiones algebraicas que cumplen reglas fijas, por lo cual su resultado puede escribirse directamente sin necesidad de efectuar la multiplicación.
1. Cuadrado de la suma de dos términos: 2. Cuadrado de una diferencia: 3. Suma por diferencia: 4. Producto de la forma: 5. Cubo de la suma de dos términos: 6. Cubo de la diferencia de dos términos:
Factorización.
Es un proceso matemático que permite transformar un polinomio en el producto indicado de dos o más factores. A esta operación se le denomina factorización de polinomios. Un polinomio se considera primo cuando solo es divisible por sí mismo y
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por la unidad. Mientras que será compuesto cuando se puede representar por el producto indicado de dos o más factores.
1 Factorización por fáctor común: Si en un polinomio todo sus términos tienen el mismo factor, a ese factor se le denomina factor comín. El mismo puede ser un número o o varias letras. Procedimientos para factorizar1.1 Comparamos el término más sencillo con los otros términos para
determinar cual es el factor común.1.2 Dividimos cada término del polinomio entre el factor común1.3 El polinomio es igual al producto del factor común por la suma
algebraica de estos cocientes.
Ejemplos: Factorizar cada uno de las siguientes polinomios
2 Factorización de la Diferencia de cuadrados:
Cuando un binomio esta formulado por la diferencia de dos términos que tienen raíz cuadrada exacta, se puede factorizar de la siguiente manera:1.1 Determinamos la raíz cuadrada de cada uno de los términos que forman el
binomio.1.2 La factorización es i8gual al producto de dos parentesis, en cuyo interior
se escriben la suma y la diferencia de raíces de distintos términos
Ejemplos: Factorizar cada uno de las siguientes binomios.
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3. Factorización de trinomios cuadrados perfectos:
Cuando elevamos al cuadrado un binomio siempre se obtiene un trinomio,.que se denomina trimonio cuadrado perfecto. Inversamente, si nos dan un trinomio cuadrado perfecto lo podemos escribir en forma del binomio cuadrado que lo genera.Reglas a seguir:
1.1 Ordenamos el trinomio con relación a una de sus tres letras, y para que sea factorizable se debe cumplir que el primero y el tercer termino tengan el mismo signo de raiz cuadrada.
1.2 Obtenemos las raíces del primeo y segundo término1.3 Si es factorizable se debe cumplir, el doble del producto de las raíces sea
igual a dos términos1.4 Si todo lo anterior se cumple, dentro de un paréntesis elevado al cuadrado
escribiremos las raíces separadas por el signo del segundo término del polinomio ordenado.
Ejemplos: Factorizar cada uno de las siguientes trinomios.
4 Factorización de trnomios de la forma:
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Para que un trinomio cuya forma general es sea factorizable despues de ordenado se tiene que cumplir:1.1 El coeficiente del primer término debe ser 11.2 El primer término tiene que poseer una raíz exacta1.3 El segundo término esta formado por el producto de un número por la raíz
del primer término.1.4 El tercer termino es un número.
Procedimiento a seguir:
1.1 Hacemos los tanteos necesarios para encontrar dos números cuyo producto sea igual al término independiente y su suma algebraica igual al cociente del segundo término. Cuando el tercer término es positivo los números que buiscamos tienen el mismo signo, cuando son negativos los signos son diferentes.
1.2 La factorización es igual al producto de dos paréntesis en cuyo interior, escribiremos un binomio formado po la raíz del primer término y cada uno de los números.
Ejemplos:
5 Factorización por agrupación de términos semejantes:
Para este tipo de factorización no hay reglas prácticas, pues cada caso es diferente, ya que se deben aplicar los casos vistos anteriormente.
Ejemplos:
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Fracciones Algebraicas.
Se denomina fracción algebraica a la expresión de la forma , en donde el
polinomio que forma el denominador no puede valer cero.Para simplicar una fracción se debe seguir los siguientes pasos:
1. Factorizamos los polinomios que forman el numerador y el denominador.2. Dividimos el numerador y el denominador por los factores comunes a ambos
elevados a su menor exponente, es decir dividimos el numerador y el denominaor por el M.C.D de los polinomios.
Ejemplos: Simplificar cada una de las siguientes fracciones algebraicas.
Ejemplos: Simplificar cada una de las siguientes fracciones algebraicas.
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Adicción y sustracción de fracciones algebraicas.
Para simplicar una fracciones numéricas se debe seguir los siguientes pasos:
1 Simplificamos las fracciones hasta que sean irreducibles2 Hallamos el m.c.m de los denominadores3 La fracción resultante tiene como denominador el m.c.m de los denominadores, y
como numerador la suma algebraica que resulta de multiplicar cada numerador por el cociente que resulta de dividir el m.c.m entre cada uno de los denominadores.
Ejemplos: Simplificar cada una de las siguientes fracciones algebraicas.
Multiplicaión de fracciones algebraicas.
Se procede igual que en las fracciones numéricas, solo que para facilitar los calculos se recomienda factorizar los polinomios que forman cada fracción y dejar el producto indicado, para observar si existe factores comunes en el numerador y el denominador y así poder realizar la simplificación.
Ejemplos: Simplificar cada uno de las siguientes productos
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División de fracciones algebraicas.
Se procede igual que en las fracciones numéricas, es decir, se multiplica la fracción dividiendo por la fracción inversa del divisor.
Ejemplos: Simplificar cada una de las siguientes divisiones.
Multiplicación y División de fracciones combinadas.
Ejemplos: Simplificar cada una de las siguientes operaciones.
Fracciones Combinadas.
Se denominan fraciones compuesta a las que tienen su numerador o su denominador , o ambos formados por fracciones.Ejemplos: Simplificar cada una de las siguientes fracciones.
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Racionalización.Racionalizar el denominador. Caso I
Se presenta cuando hay que eacionalizar el denominador de una fracción siendo el denominador un mononio.
Regla básica:
Se deben multiplicar los dos terminos de la fracción por el radical, del mismo indice que el denominador, que multiplicado por éste de cómo producto una cantidad racional.
Ejemplos: Racionalizar el denominador de
Racionalizar el denominador. Caso II
Expresiones conjugadas. Dos expresiones ue contienen radicales de segundo grado como y o y , que difiere solamente en el signo que une sus términos, se dice que son conjugadas. Así, pues la conjugada de
.
Ejemplos: Racionalizar el denominador de
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Racionalizar el denominador. Caso III
Para racionalizar el denominador de una expresión que contiene tres radicales de segundo grado hay que verificar dos opeaciones como se indica.
Ejemplos: Racionalizar el denominador de
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