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TEMA 8: INTEGRALES TRIPLES 1. UN EJEMPLO QUE CONDUCE AL CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE Supóngase un cuerpo material W, que ocupa una región R cerrada y acotada en el espacio, siendo (P) ó (x,y,z) la densidad de distribución de masas en cada punto P = (x,y,z) de R. Se trata de hallar la masa de dicho cuerpo. Para ello se efectúa una partición P de R en subregiones elementales R k (k=1,.......,N) R deR o k k interior de respectivos volúmenes V(R k ), siendo R R k k N 1 y R R o i o j si i j . En cada región elemental R k se escoge un punto arbitrario P k (x k ,y k ,z k ) y se supone como aproximación que en cada R k la densidad es constante e igual a (x k ,y k ,z k ). La masa M(W) del cuerpo W será aproximadamente : M W x y z VR k k k k k N , , 1 1

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TEMA 8: INTEGRALES TRIPLES

1. UN EJEMPLO QUE CONDUCE AL CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE

Supóngase un cuerpo material

W, que ocupa una región R cerrada y

acotada en el espacio, siendo (P) ó

(x,y,z) la densidad de distribución de

masas en cada punto P = (x,y,z) de R.

Se trata de hallar la masa de dicho

cuerpo.

Para ello se efectúa una partición P de R en subregiones elementales Rk

(k=1,.......,N) R de Ro

k k

interior de respectivos volúmenes V(Rk), siendo R R k

k

N

1

y R Ro

i

o

j si i j .

En cada región elemental Rk se escoge un punto arbitrario Pk(xk,yk,zk) y se

supone como aproximación que en cada Rk la densidad es constante e igual a (xk,yk,zk).

La masa M(W) del cuerpo W será aproximadamente :

M W x y z V Rk k k kk

N

, ,

1

Intuitivamente se ve que estas aproximaciones a M(W) serán tanto mejores

cuanto menor sea el diámetro d(P) de la correspondiente partición P.

Puede imaginarse la masa de W, como un cierto límite de las sumas anteriores.

En esta idea se apoya el concepto integral triple.

No significa que una integral represente únicamente una masa. El concepto es

más amplio y se utilizará en cualquier problema real cuya resolución conduzca a

considerar ciertos limites de sumas como las anteriores citadas.

2. CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE

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Es una generalización del concepto de integral doble.

Se considera ahora una función f(x,y,z) definida y acotada en una región R

cerrada y acotada del espacio. Se efectúa una partición P de R en las subregiones

elementales Rk (k = 1,.......N) cubicables, tal como antes se ha indicado. Sea P el

conjunto de tales particiones de R.

Actuando de forma análoga a la vista para las integrales dobles, tras la elección

de un punto Pk(xk,yk,zk) en cada Rk, se consideran las sumas de Riemann de f(x,y,z) en

R, correspondientes a las diversas particiones P de R y a las funciones de elección e:

S P eR ( , ) f x y z V Rk k k kk

N

, ,1

Se dice entonces que f(x,y,z) es integrable en R si existe el limite dirigido de

las sumas de Riemann anteriores. En este caso, dicho limite recibe el nombre de

integral triple de f(x,y,z) en R.

Se escribe : lim( ) P 0 f x y z V Rk k k k

k

N

, ,

1

f x y z dVR

( , , )

Si se hubiese considerado la partición en intervalos se escribiría :

S P eR ( , ) f x y z x y zk k kk

p

j

m

i j ki

n

, ,111

Y el límite antes citado suele designarse como:

f x y z dxdydzR

( , , )

3.CASOS PARTICULARES DE FUNCIONES INTEGRABLES

Puede demostrarse que, de forma análoga al caso de las integrales dobles, se

verifica :

a) Si f(x,y,z) es continua en una región R del espacio, cerrada y acotada, entonces f es

integrable en R.

b) También es f(x,y,z) integrable en R si, siendo acotada en tal región, es continua en la

misma excepto a lo sumo en un conjunto A de puntos de medida nula, por ejemplo el

conjunto de puntos de una superficie de área finita (Un conjunto A del espacio se dice

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de medida nula, si puede ser recubierto con un conjunto finito o numerable de

intervalos del espacio, cuya suma de volúmenes sea tan pequeña como se quiera).

4.PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES

Como en el caso de las integrales dobles, las triples cumplen también las

propiedades de linealidad, aditividad respecto a la región de integración, leyes de

monotonía y el teorema de la media, cuyos enunciados son análogos a los

correspondientes para las integrales dobles.

5. INTEGRALES TRIPLES IMPROPIAS

El concepto y definiciones son análogos a los vistos para las integrales dobles.

6. CALCULO DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS

CARTESIANAS.

En general, no se calcula una integral triple a partir de su definición como límite

dirigido de unas sumas de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando es

necesario recurrir a hallar valores aproximados, utilizando métodos numéricos.

Para calcular valores exactos, se aplica la versión tridimensional del teorema de

Fubini visto para las integrales dobles que permitía resolverlas mediante reiteración de

integrales simples. En el caso de integrales triples, se necesitarán tres integrales simples

reiteradas.

De forma análoga a lo visto para las integrales dobles, puede demostrarse ahora:

6.1Caso en que la región R es un intervalo

“Si ( , , ) / , , ,x y z R a x a b y b c z c31 2 1 2 1 2

y f(x,y,z) es integrable en , entonces :

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f x y z dxdydzR

( , , ) dx dy f x y z dza

a

b

b

c

c

1

2

1

2

1

2

( , , ) (1)

pudiendo variarse el orden de integración (6 formas distintas)

6.2 Casos de regiones de forma especial

6.2.1 Sea R la region de la Figura, es

decir:

R x y z R x y Rx y z x y

( , , ) / ( , ) ,

( , )

3

1 2 ( , ) donde

R es la proyección de R sobre el

plano XY. (R es tal que cualquier recta

paralela al eje OZ sólo cortará a la

superficie frontera de R en dos puntos a lo

sumo, o en un segmento).

Entonces: Si f(x,y.z) es continua en R, se verifica :

f x y z dxdydzR

( , , ) dxdy f x y z dz

Rx y

x y

( , , )( , )

( , )

1

2

(2)

Análogamente para las regiones R que cumplan las condiciones equivalentes

respecto a los otros ejes. Habría así otras dos formas posibles , proyectando sobre los

planos XZ ó YZ.

6.2.2 Si a su vez es :

R x y R x y x( , ) / a x b , ( )21 2 ( )

descomponiendo la integral doble de (2) extendida a R , en dos integrales simples

reiteradas, resulta :

f x y z dxdydzR

( , , ) dx dy f x y z dza

b

x

x

x y

x y

1

2

1

2

( )

( )

( , )

( , )

( , , ) (3)

4

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También podría haberse hecho un cambio de variables en tal integral doble

sobre R .

6.2.3

Si pudiera determinarse fácilmente

la sección Rz de R por cada plano

perpendicular al eje OZ, a la altura z, se

tendría: f x y z dxdydzR

( , , ) =

dz f x y z dxdya

b

Rz

( , , ) (4)

Analogamente si se consideran secciones por planos perpendiculares a los otros ejes.

6.3 Otras regiones de integracion

Si la región R no es de uno los tipos citados anteriormente, se intenta

descomponerla en subregiones Ri (i = 1,......,n) sin elementos interiores comunes,

siendo los Ri de los modelos antes citados.

Por la propiedad de la aditividad respecto a la región de integración, es :

f x y z dxdydzR

( , , )

f x y z dxdydzR

i

n

i

( , , )1

7. CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES TRIPLES

Como ampliación al caso de tres variables, de lo visto en el caso bidimensional,

se obtienen los resultados siguientes, que se enuncian sin demostrar:

7.1 Fórmula de cambio de variable

Sean R* y R dos regiones

en los espacios (u,v,w) y (x,y,z)

respectivamente.

Sea :

( , , )( , , )( , , )

x x u v wy u v wz u v w

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un homeomorfismo de R* sobre R continuamente diferenciable sobre R* y tal que el

jacobiano J del mismo no cambie de signo en R*.

Sea f(x,y,z) continua sobre R. Entonces :

f x y z dxdydzR

( , , )

f x u v w y u v w z u v w J u v w dudvdwR

( , , ), ( , , ), ( , , ) ( , , )* (5)

Como en el caso de las transformaciones en el plano, también aquí las

coordenadas cartesianas (u,v,w) de un punto P*de R*, se designan como coordenadas

curvilineas del correspondiente P=(x,y,z) de R.

La superficie en R correspondiente a u=uo, recibe el nombre de superficie

coordenada u=uo. Analogamente las superficies coordenadas v=vo ó w=wo.

El J representa un factor de ampliación o reducción local del volumen, al

aplicar .

El elemento de volumen en R en coordenadas curvilineas es :

dV= J u v w dudvdw ( , , )

7.2 Caso particular de coordenadas cilíndricas (Semipolares)

La posición de un punto P en el

espacio se determina por los tres valores

(r,,z), donde r,,son las coordenadas

polares de la proyección P de P, sobre el

plano XOY.

Las superficies coordenadas r=cte, =cte,

z=cte representan respectivamente

cilindros circulares con eje OZ,

semiplanos que pasan por el eje OZ y

planos paralelos

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al plano XY.

El cambio de coodenadas es : :cosx r

y r senz z

y

Jsen

r sen r

coscos

00

0 0 1 = r

Por tanto : Si f(x,y,z,) es continua en R, resulta :

f x y z dxdydzR

( , , ) f r r sen z r drd dzR

cos , ,* (6)

La expresión dV = r dr d dz es el elemento de volumen en coordenadas

cilindricas.

Estas coordenadas son especialmente útiles para trabajar con regiones limitadas

por superficies cilindricas de revolución en torno al eje Z, planos que contienen a dicho

eje y planos perpendiculares al mismo (Es decir para regiones limitadas por superficies

coordenadas).

Nota Obsérvese que la expresión para el elemento de volumen puede obtenerse

simplemente por consideraciones geométricas.

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7.3 Caso particular de coordenadas esfericas (Polares del espacio)

La posición de un punto P(x,y,z)

en el espacio se determina por los tres

valores (,,) mostrados en la Figura..

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Las superficies coordenadas = cte, = cte, = cte, son respectivamente esferas con centro en el origen

de coordenadas, semiplanos por el eje z, y conos de revolución en torno al eje OZ.

Es siempre : 0 0 0 2

El cambio de coordenadas es :cos

cos

x seny sen senz

Y se verifica : Jsen sen sensen sen sen sen

sen

cos cos coscos cos

cos 0

J sen 2

Por tanto : Si f(x,y,z) es continua en R, resulta :

f x y z dxdydzR

( , , ) f sen sen sen sen d d dR

cos , , cos 2 .. (7)

El elemento de volumen en coodenadas esfericas es : dV sen d d d 2