Tema 3: Campos estáticos Índice (I)

Campos ElectromagnéticosCurso 2010/2011

Ingeniería IndustrialDpto.Física Aplicada III

Tema 3: Campos Estáticos1

Campos Electromagnéticos

Tema 3: Campos estáticos




Índice (I)

Ecuaciones en el caso estacionario Electrostática

Solución del problema electrostático Cálculo de campos mediante Ley de Gauss Energía electrostática Desarrollo multipolar

El dipolo eléctrico




Índice (II)

Campo magnético de corrientes estacionarias

Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart

Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar

Dipolo magnético




Caso estacionario

Ecuaciones de Maxwell:

Suponemos distribuciones de carga y corriente estacionarias:

No dependen del tiempo

No dependen del tiempo




Las ecuaciones de Maxwell quedan entonces:

Quedan definidos dos problemas desacoplados (el campo eléctrico no aparece en las fuentes del campo magnético ni viceversa)

Cada pareja de ecuaciones puede resolverse usando el Teorema de Helmholtz: campo electrostático y campo magnetostático

Caso estacionario

Electrostática

Magnetostática




Electrostática

Solución:

Con:

Teorema de Helmholtz:

Solución:

Electrostática:

Con:

Potencial electrostático




Campo eléctrico

Expresión para el campo eléctrico en función de ρ:

Usando:




Ejemplo: carga puntual

Sobre una carga en la carga ejerce una fuerza :

Ley de Coulomb




Diferencia de potencial

El potencial es en principio una herramienta matemática útil para calcular el campo electrostático

Conocido el campo eléctrico es posible también obtener valores de diferencia de potencial

Diferencia de potencial entre dos puntos:




Supongamos una región donde existe un campo eléctrico

Sea una carga puntual q que traemos desde el infinito hasta un punto Hacemos el proceso muy lentamente (cuasi-estático) : fuerza que ejerce el campo eléctrico en cada

instante : fuerza que debemos ejercer sobre la carga

We : Trabajo realizado por la fuerza eléctrica

W : trabajo realizado por nosotros sobre la carga

Significado físico del potencial




Significado físico del potencial

Balance energético:

El potencial electrostático en un puntorepresenta el trabajo realizado sobre

la unidad de carga para llevarla desdeel infinito hasta ese punto mediante un

proceso cuasi-estático




Energía potencial de interacción

Puede definirse para fuerzas conservativas La energía potencial de interacción entre un campo

eléctrico y una carga puntual situada en un punto es el trabajo realizado para traer la carga desde el infinito hasta dicho punto mediante un proceso cuasiestático:

La fuerza electrostática es conservativa y deriva de un potencial, que es la propia U:




Relaciones en electrostática

Falta




Ecuaciones de Poisson y Laplace

En una región libre de cargas (ρ=0) :

V es un campo escalar armónico

Ecuación de Poisson

Ecuación de Laplace




Relaciones en electrostática




Cálculo del campo a partir de ρ




Cálculo del campo a partir de ρ El cálculo directo del campo requiere resolver en realidad

tres integrales (vector) El cálculo a través de V suele ser más sencillo

Este camino no puede emplearse en el caso de fuentes idealizadas que se extienden hasta el infinito: V diverge

Ejemplos: hilo de carga infinito, plano cargado... La razón es que en este caso no se cumplen los requisitos

que exige el teorema de Helmholtz (ausencia de fuentes en el infinito)

Para este caso sí es posible realizar un cálculo directo del campo eléctrico o aún mejor...

Aprovechar la simetría del problema idealizado para calcular el campo eléctrico mediante Ley de Gauss




Ley de Gauss

Forma integral de la Ley de Gauss:

Se cumple siempre En situaciones de alta simetría permite calcular el

campo eléctrico evitando la integración directa Simetrías posibles: plana, esférica y cilíndrica




Cálculo del campo mediante Ley de Gauss

Ejemplo: carga puntual en el origen

● Simetría esférica: forma general del campo:

● Argumentos de simetría:

● Ley de Gauss: superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen




Esfera uniformemente cargada en superficie

Simetría esférica: igual que carga puntual

Ley de Gauss con superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen:

Caso r<R: no hay carga dentro de Sr





Caso r>R: toda la carga se encuentra dentro de la superficie gaussiana

El campo eléctrico es nulo en el interior de la esfera cargada, mientras que fuera es el mismo campo que crearía una carga puntual de valor

igual a la carga total en la superficie de la esfera que estuviese situada en el centro de la esfera




Esfera uniformemente cargada en volumen

Simetría esférica:

Ley de Gauss con superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen:

Caso r<R:

El campo aumenta linealmente con r





Caso r>R: toda la carga se encuentra dentro de la superficie gaussiana

El campo eléctrico en el exterior de la esfera de carga el mismo campo que crearía una carga puntual de valor igual a la carga total de la esfera y que estuviese situada en el centro de la esfera

En este caso no aparece una discontinuidad del campo eléctrico en la superficie de la esfera, ya que no hay ρS




Hilo infinito cargado

Argumentos de simetría: simetría cilíndrica

Ley de Gauss con superficie gaussiana = cilindro de radio r y altura L coaxial con el hilo




Plano infinito de carga

Simetría plana:

Ley de Gauss: superficie gaussiana=cilindro recto de S arbitraria

Es impar

Además




Plano infinito de carga

Entonces:

Se cumple la condición de discontinuidad del campo:




Índice (I)







Energía electrostática

En general, la energía almacenada por el campo eléctrico es:

En electrostática puede obtenerse una expresión alternativa en función del potencial y la densidad de carga:

Y la integral queda:

Extendido a la región donde hay fuentes




Energía electrostática ¿Cómo se llega a la conclusión de que el primer término

es nulo?

SR puede hacerse infinitamente grande: esfera que rodea a todo el espacio

Cuando , pero el integrando decrece más rápido:

Teorema de la divergencia




Energía electrostática

En electrostática:

Es el trabajo necesario para traer las cargas que conforman la distribución de cargas ρ desde el infinito hasta el lugar que ocupan mediante un proceso cuasiestático

Para distribuciones superficiales:




Ejemplo

Energía de una esfera de radio R uniformemente cargada

Método 1:




Ejemplo


Método 2:




Ejemplo


Haciendo : energía de una carga puntual

La carga puntual es una idealización que supone una energía almacenada infinita

(El trabajo necesario para llevar todos los dq a un mismo punto es infinito)




Energía de una distribución de cargas puntuales

El potencial creado por la carga i-ésima evaluadosobre ella misma es infinito

Porque incluye la parte de energía debida a la formación de las cargas puntuales




Energía de una distribución de cargas puntuales

Obtenemos una expresión útil si eliminamos el término divergente:

Se usa el potencial creado en la posición de cada carga por todas las demás cargas

En este caso UE representa la energía necesaria para traer todas las cargas puntuales desde el infinito hasta sus posiciones actuales mediante un proceso cuasi-estático, pero sin incluir la energía necesaria para crear cada carga puntual, que es infinita




Índice (I)







Desarrollo multipolar

Determinar el campo electrostático y el potencial en cualquier punto debido a una distribución de carga ρ arbitraria puede ser complicado en general:

Desarrollo multipolar: se trata de analizar el campo electrostático creado por la distribución de carga cuando el punto de observación está alejado de ella Permite simplificar el problema Permite definir un concepto útil: dipolo eléctrico





Si el punto campo está muy alejado de la fuente:

Tiende al potencial de una carga puntual (lógico). Veamos que obtenemos si hacemos una aproximación más cuidadosa...





Cuando





● Tiene la forma del potencial de una carga puntual:

● Donde Q es la carga de la distribución:

● Este término domina a grandes distancias cuando Q≠0

Potencial dipolar




Potencial dipolar

Potencial dipolar:● Domina a grandes distancias cuando Q=0● Decae como r-2

● No posee simetría radial

Se define: Momento dipolar de la distribución




El dipolo eléctrico Sistema más sencillo que no presenta el primer término

del desarrollo multipolar Importancia para el modelado de la reacción de materiales

dieléctricos (no conductores) frente al campo eléctrico Sistema constituido por dos cargas iguales y de signo

contrario separadas por una distancia d :

Momento dipolar del dipolo




Potencial del dipolo

Esta expresión es correcta en el caso límite (dipolo ideal):

Superficies equipotenciales:(línea discontinua)




Campo eléctrico del dipolo

Decae como

Tiene simetría axial

El campo producido por el dipolo puede calcularse del potencial:

Resultado:

Ver: http://www.falstad.com/vector3de/




Interacción de un dipolo con un campo eléctrico externo

Energía de interacción:

Siendo el punto medio del dipolo

La energía de interacción en mínima cuando el campo eléctrico y el momento dipolar son paralelos




Fuerza sobre un dipolo

Fuerza sobre el dipolo: con

Un campo eléctrico uniforme no ejerce fuerza neta sobre un dipolo

Electrostática no es función de




Campo uniforme:

Si el campo no es uniforme aparece una fuerza neta:

Fuerza sobre un dipolo

El dipolo tiende a girar, pero no se desplaza

El dipolo tiende a girar y desplazarse hacia la zona de campo eléctrico más intenso




Momento sobre un dipolo

El momento es nulo cuando el dipolo y el campo eléctrico son paralelos y máximo cuando son perpendiculares

Conclusión: el dipolo tiende a alinearse con el campo




Índice (I)







Índice (II)




Dipolo magnético




Ecuaciones de Maxwell en el caso estacionario:

Magnetostática implica que la corriente ha de ser solenoidal:

Las líneas de corriente son cerradas La carga neta en cada punto no varía con el tiempo

Caso estacionario

Electrostática

Magnetostática

Condición de corriente estacionaria




Solución del problema de la magnetostática

Solución:

Con:

Teorema de Helmholtz:

Solución:

Magnetostática:

Con:

Potencial vector magnético




Campo magnético

Expresión para el campo magnético en función de :

Usando:




Corrientes filiformes

Gran interés práctico Se pueden particularizar las fórmulas si hacemos el

cambio:

Obtenemos:

En magnetostática se suele calcular el campo sin pasar por el potencial vector




Ejemplo: campo magnético de un hilo finito

( Coord. cilíndricas )

Cambio:




Ejemplo: campo magnético de un hilo finito

Campo del hilo infinito:




Ley de Biot-Savart Sean dos espiras de corriente:

La espira 2 crea un campomagnético que realiza una fuerzasobre la espira 1:

Pero a su vez:

Combinado ambas expresiones:




Fuerza entre hilos paralelos

La fuerza es atractiva para corrientes con el mismo sentido y repulsiva si tienen sentido contrario

La fuerza es proporcional a las intensidades e inversamente proporcional a la distancia entre los hilos




Índice (II)




Dipolo magnético




Ley de Ampere

Donde: es la intensidad que atraviesa cualquier superficie

que se apoye en El signo de la intensidad viene dado por la regla de la

mano derecha La Ley de Ampere nos permite calcular el campo

magnético en situaciones con simetría de revolución (axial)




Simetría

Simetrías de revolución Campo toroidal:

Campo poloidal:

(coordenadas cilíndricas)

Teorema:

Si es poloidal es toroidal

es poloidalSi es toroidal

Ejemplo: campo magnético de un hilo infinito

Ejemplo: campo magnético de una espira




Cálculo de campos mediante Ley de Ampere

Hilo recto infinito:

Simetría axial:

También se puede ver así:

Poloidal Toroidal

Producto vectorial




Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Camino de integración: circunferencia

centrada en el hilo:

con:




Cálculo de campos mediante Ley de Ampere

Campo del hilo recto infinito:

Las líneas de campo son circunferencias centradas en el hilo

Sentido del campo: regla de la mano derecha

El módulo del campo decrece como la inversa de la distancia al hilo




Cilindro de corriente superficial Simetría:

Línea de integración: circunferencia centrada en el eje z de radio r Caso r<R:

Caso r>R:

Poloidal Toroidal




Cilindro de corriente volumétrica Simetría:

Línea de integración: circunferencia centrada en el eje z de radio r

Solución (se deja como ejercicio):

Poloidal Toroidal

El campo dentro crece con la distancia al eje y fuera es el mismo que el de un hilo infinito de corriente I situado en el eje z

El campo dentro crece con la distancia al eje y fuera es el mismo que el de un hilo infinito de corriente I situado en el eje z




Cuerpo toroidal

Bobinado uniforme (N vueltas) de un hilo que transporta una corriente I sobre un cuerpo toroidal




Cuerpo toroidal

Simetría:

Ley de Ampere: circunferencia de radio r centrada en eje z Caso exterior:

Caso interior:

Poloidal Toroidal




visualización del campo de un toroide




Solenoide recto infinito

Podemos considerar una corriente superficial:

donde n =densidad de bobinado Simetría:

Puede usarse un argumento adicional para simplificar aún más la forma del campo ...

Toroidal Poloidal





Ley de inexistencia de monopolos: La aplicamos en un cilindro de altura d y radio r

como el de la figura:

De donde:

Entonces, y el campo es de la forma:

ya que





Aplicamos Ley de Ampere con camino de integración: el rectángulo de la figura

Como el campo sólo tiene componente según z solo contribuyen los segmentos verticales:

De donde:




Solenoide recto infinito La Ley de Ampere nos da la diferencia entre el

campo interior y el exterior:

Esta diferencia es independiente de ri y re

Se deduce que el campo es uniforme en cada región (interior y exterior)

Dado que el solenoide recto infinito puede considerarse un toroide de radio de revolución infinito, se deduce que el campo magnético en el exterior debe ser nulo

Entonces la solución es:




Índice (II)




Dipolo magnético




Energía magnetostática

En general, la energía almacenada por el campo magnético es:

En magnetostática puede obtenerse una expresión alternativa en función del potencial vector y la densidad de corriente:

Y la integral queda:

Extendido a la región donde hay fuentes




Energía de un conjunto de n espiras

Para corrientes filiformes:

Flujo del campo magnético a través de la espira i

definimos:




Energía de espiras: ejemplo

Solenoide toroidal de N espiras y sección rectangular: Método 1:




Energía de espiras: ejemplo

Solenoide toroidal de N espiras y sección rectangular: Método 2:




Índice (II)




Dipolo magnético





Potencial vector de la espira:

Para puntos lejanos hemos visto que:

Entonces:

El primer término no nulo del desarrollo es el término dipolar




Momento dipolar magnético El término dipolar del potencial vector se puede escribir

(no lo demostramos aquí):

Momento dipolar magnético de una espira:

Para espiras planas (caso habitual):

Cualquier superficie que se apoye en la curva que define la espira

Módulo: el de la sup. plana limitada por la espiraDirección: perpendicular al plano de la espiraSentido: regla de la mano derecha para sentido de circulación definido en la espira




Campo magnético creado por un dipolo magnético

Campo magnético que crea un dipolo magnético:

Misma forma que el campo eléctrico de un dipolo eléctrico

Esta expresión es correcta “suficientemente lejos” de cualquier espira de corriente

Esta expresión es exacta si se trata de un dipolo ideal: Espira de área que tiende a cero e intensidad de corriente

que tiende a infinito




Interacción de un dipolo magnético con un campo externo Existe un fuerte paralelismo en las fórmulas con el caso

de interacción de un dipolo eléctrico con un campo eléctrico

No vamos a demostrar las del caso magnético: Energía de interacción: Fuerza sobre el dipolo magnético: Momento de las fuerzas sobre el dipolo: La tendencia del dipolo magnético es:

Orientarse paralelamente al campo magnético externo Desplazarse hacia las zonas de campo más intenso




Resumen Tema 3 (I) En situación estacionaria las ecuaciones de Maxwell se

desacoplan y pueden estudiarse por separado el problema eléctrico y magnético

Existe una solución para las ecuaciones de la electrostática a partir del teorema de Helmholtz

El campo electrostático puede obtenerse a partir del gradiente de un campo escalar: potencial electrostático

El potencial electrostático tiene sentido físico Su expresión integral en función de la densidad de carga

estacionaria es más fácil de evaluar que la del campo eléctrico

La Ley de Gauss nos permite calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo eléctrico en situaciones de alta simetría




Resumen Tema 3 (II) Existe una expresión específica para calcular la energía

asociada al campo electrostático Coincide con el trabajo necesario para llevar toda la carga

de la distribución que crea el campo desde el infinito a su posición

El desarrollo multipolar nos permite obtener una aproximación del campo eléctrico para puntos “lejos” de la distribución de carga

El campo de una distribución con carga neta nula viene dominado por el término dipolar

El ejemplo más sencillo de este tipo de distribución es el dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico sufrirá fuerzas y momentos ante la presencia de un campos eléctrico externo




Resumen Tema 3 (III)

Las ecuaciones de Maxwell para el campo magnético en el caso estacionario pueden resolverse con el teorema de Helmholtz: magnetostática

La solución para el campo magnético tienen la forma de una expresión integral en función de la densidad de corriente

Esta expresión se puede particularizar con facilidad para el caso práctico de corrientes filiformes

La Ley de Ampere nos permite calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo magnético en situaciones con alta simetría de revolución

Existe una expresión específica para calcular la energía asociada al campo magnetostático




Resumen Tema 3 (y IV) El desarrollo multipolar nos permite obtener una aproximación

del campo magnético para puntos “lejos” de una espira de corriente

El primer término de la aproximación del campo magnético es el término dipolar

El campo magnético dipolar se escribe en función del momento dipolar magnético, que depende del área de la espira y de la intensidad que la recorre

Una espira “pequeña” constituye un dipolo magnético: el campo magnético que crea coincide esencialmente con el término dipolar del desarrollo

Un dipolo magnético sufrirá fuerzas y momentos ante la presencia de un campo magnético externo

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