TEMA 2: POTENCIAS DE BASE ENTERA

DEFINICIN DE POTENCIA La base de la potencia es el factor que se repite. El exponente indica el nmero de veces que se repite.Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacin de factores iguales.210210 es una potencia de base 2 y exponente 10.

POTENCIAS DE BASE ENTERAHasta ahora las potencias tenan base natural (la base no tena signo).

A partir de hoy veremos potencias como estas:

SIGNO DEL RESULTADO de una potencia de base negativaSi la base es negativa y el exponente es par, el resultado ser positivo.

Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado ser negativo.

UNA COSA IMPORTANTSIMAEs conveniente acostumbrarse al uso de los parntesis.

Fijaos en los dos ejemplos que vienen a la derecha.

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE= (3 3) (3 3 3 3 ) (3 3 3 3 3) =32 34 35 311 = 32+4+511 factores con la misma base; con el exponente igual a la suma de los exponentes de los factores.El producto de varias potencias de la misma base es una potencia:SENCILLO, NO?VAMOS A PRACTICAR UN POCO

EJERCICIOS-EJEMPLO de productode potencias con la misma base

COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE(3)5 : (3)2(3)5 : (3)2 = (3)5 2El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia que tiene: la misma base; el exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.

UNA PROPIEDAD IMPORTANTE1. (2)7 : (2)3 = (2)73 = (2)4El cociente 64 : 64 = 1Pero si aplicamos la propiedad, 64 : 64 = 644 = 60Se admite que:60 = 1; (13)0 = 1a0 = 12. (5)6 : (5)3 = (5)6-3 = (5)3

EJERCICIOS-EJEMPLO de cocientede potencias con la misma base

POTENCIA DE POTENCIAEjercicio.Una potencia de una potencia es otra potencia que tiene:(3)2 (3)2 (3)2 (3)2 es un producto de cuatro factores iguales. 1. (3)3[(3)3]2 = (3)62. 52[(52)]2 = 543. (7)4[(7)4]2 = (7)8Por tanto, puede escribirse como potencia de base (3)2 y exponente 4.Se dice que es una potencia de potencia.[(3)]4 = (3)2 (3)2 (3)2 (3)2 = (3)2 + 2 + 2 + 2 = (3)2 4 = (3)8 la misma base que la potencia de partida; el exponente igual al producto de los exponentes.Escribe en forma de potencia los cuadrados y los cubos de las siguientes potencias[(3)3]3 = (3)9[(52)]3 = 56[(7)4]3 = (7)12

OPERACIONES CON POTENCIASEJEMPLOS2. Escribe como una potencia de base 11, 13 y 7, respectivamente:a) (116)7 b) (138)4 c) (79)8 1167 = 1142 1384 = 1332798 = 772 3. Escribe como potencia de potencia:a) 56 b) 715 c) 325 (53)2 = (52)3(73)5 = (75)3 (35)51. Escribe como una potencia de la misma base los siguientes productos:a) 23 23 b) 23 23 23 c) 54 54 54 (23)2 (23)3 (54)3

CUADRADOS PERFECTOSUn cuadrado perfecto es un nmero que se puede obtener como resultado de multiplicar otro nmero consigo mismo.EJEMPLOS:

RAZ CUADRADA EXACTAObserva la figura:Tiene 36 puntos colocados en forma de cuadrado.El nmero 36 es un cuadrado perfecto: 36 = 62 y puede asociarse a un cuadrado con 6 puntos en cada lado.Decimos que la raz cuadrada de 36 es 6. La raz cuadrada de un nmero es otro nmero que elevado al cuadrado es igual al primero.El nmero que est bajo el signo radical se llama radicando.Lo escribimos as:

RAZ CUADRADA ENTERALa raz cuadrada entera de un nmero es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que dicho nmero.El nmero 43 no es un cuadrado perfecto. Por tanto, no representa un cuadrado ni tiene raz cuadrada exacta. Observa:6 es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 43.Se dice que 6 es la raz cuadrada entera de 43, y se escribe:El resto de la raz cuadrada de un nmero es igual a la diferencia entre el nmero y el cuadrado de su raz entera. 62 = 36 < 43 < 72 = 49Como 43 62 = 7, el resto de la raz cuadrada entera de 43 es 7.Ejemplos:Nmero: 35 36 37 42 43 44 48 49 50Raz: 5 6 6 6 6 6 6 7 7Resto: 9 0 1 6 7 8 12 0 1

CLCULO DE LA RAZ CUADRADACalculemos3. Restar del primer grupo el cuadrado de su raz entera. Comprobacin: 252 + 18 = 625 + 18 = 643Aadir a la diferencia las dos cifras siguientes del radicando.4. Multiplicar por 2 la primera cifra de la raz: 2 2 = 4. Calcular el mayor entero d tal que 4dd se pueda restar del radicando; d ser la segunda cifra de la raz.5. Restar de la diferencia anterior 45 5 = 225. Ese nmero es 5: 45 5 = 225Luego: 1. Dividir el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha.2422 435445 5 = 2252 2518

CONTINUACINContinuamos con8. Restar 1509 del resto anterior: 1800 1509 = 291 Comprobacin: 25,32 + 18 = 640,09 + 2,91 = 6437. Multiplicar por 2 la raz entera: 25 2 = 50 y encontrar el mayor entero d tal que 50dd sea menor que 1 800. Ese nmero es 3: 503 3 = 1509.Luego: 6. Colocar la coma decimal en la raz y en el radicando. Aadir al radicando y al resto anterior un grupo de dos ceros.3 es la primera cifra decimal de la raz.503 3 = 150915092913,