Tema 1. Repaso de Teoría de Circuitos · 1.1) Conceptos preliminares. Concepto de circuito, elementos de un circuito 1.2) Leyes fundamentales de los circuitos eléctricos: Leyes

Tema 1.

Repaso de Teoría de Circuitos

Joaquín Vaquero López

Joaquín Vaquero López 1Electrónica, 2007

1.1) Conceptos preliminares. Concepto de circuito, elementos de un circuito

1.2) Leyes fundamentales de los circuitos eléctricos: Leyes de Kirchhoff

1.3) Principio de Superposición

1.4) Teoremas de reducción de circuitos: Equivalente de Thévenin y Norton

1.5) Divisores de voltaje y corriente

1.6) Característica I-V, función de transferencia, recta de carga

1.7) Método gráfico de resolución de circuitos

1.8) Circuitos RC (1er orden). Función de transferencia compleja

Electrónica, 2007

Repaso de Teoría de Circuitos: índice

Joaquín Vaquero López 2

Conceptos preliminares

CIRCUITO: Asociación de elementos activos o pasivos conectados en serie/paralelo por donde puedecircular corriente. Modelo matemático simplificado de una instalación real.

Se utiliza para estudiar (análisis y síntesis) la respuesta de un sistema eléctrico ante un estímulo.Señales de entrada, salida y función de transferencia.

Aplicable a circuitos lineales y cuasilineales.

VARIABLES FUNDAMENTALES: I, V y P

Convenios de signos. Múltiplos y submúltiplos. Notación (v, V, u, U)

ELEMENTOS DE UN CIRCUITO:

Son los modelos matemáticos de los dispositivos físicos reales de un circuito. Modelos de parámetros concentrados.

Activos: fuente de tensión/corriente - continua/alterna – dependientes/independientes.

Pasivos: R,L,C.

Relación entre voltaje y corriente en cada uno de estos elementos. Potencia y energía.

ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS SERIE/PARALELO

Concepto de impedancia-admitancia-immitancia.

Electrónica, 2007 Joaquín Vaquero López 3

Electrónica, 2007

Característica I-V de un elemento de un circuito:

Describe la relación entre la corriente que circula por el elemento y el voltaje através de sus terminales.

Recta de carga:

Gráfica I-V determina todos los puntos de operación permitidos de dichodispositivo en el circuito en que se halla.

Fundamental: entender qué nos dice una gráfica.

Característica I-V. Recta de carga


Electrónica, 2007

Ejemplos:



Electrónica, 2007

Ejemplos:

Recta de carga

Característica I-V de entrada de un transistor

Punto de operación Q

IBQ

VBEQ



Electrónica, 2007

Ejemplos:


Ley de conservación de la carga y la energía para describir relación voltaje-corriente en cualquier red, lineal o no:

1ª.- La suma de caídas de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado es cero.

2ª.- La suma de todas las corrientes que entren en cualquier nodo de un circuitoes igual a cero.

Nodo: Punto donde se conectan tres o más conductores.

Rama: Elemento o grupo de elementos con 2 terminales. Tramo entre dosnudos

Malla/lazo: cualquier camino cerrado que pueda se definido en el circuito.

Resolver un circuito: calcular todas las intensidades que circulan por cadaelemento del circuito y las tensiones que caen en cada uno de ellos. NOhay una única forma de resolverlo.

Electrónica, 2007

Leyes fundamentales: Leyes de Kirchoff


21 ·· ibiav

Electrónica, 2007

ELEMENTO LINEAL: aquel cuya característica v-i es de la forma:

ó

con a, b, c, d constantes.

En general a, b, c, d pueden ser operadores lineales (derivada o integral)

la característica v-i es de la forma:

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: en todo sistema lineal, la respuesta del

circuito debida a una suma de entradas, será igual a la suma de las

respuestas de cada una de las entradas aplicadas individualmente.

Notar que podemos aplicar superposición aunque no todas las fuentes se

apliquen en la misma localización.

dtibdt

diav 2

1

21 ·· vdvci

Principio de superposición


Electrónica, 2007

Equivalente de Thévenin:

Cualquier circuito resistivo (contiene únicamente resistencias y fuentes)puede ser representado por un circuito más sencillo, formado sólo por unasola fuente de voltaje y una resistencia en serie. Este circuito se denomina“Equivalente de Thévenin” del circuito original.

Vth representa todas las fuentes.

Rth representa todas las resistencias.

Equivalente de Norton:

Aquí la fuente independiente es una fuente de corriente, Ith, y la resistenciaequivalente está conectada en paralelo.

Teoremas de reducción de circuitos


Divisor de tensión:

Las impedancias son atravesadas por la misma corriente

Divisor de corriente:

Las impedancias está sometidas a la misma tensión

21

22

21

11

222111

21

21

·;

·

·;·

RR

VRV

RR

VRV

RIVRIVRR

VII

ii

i

21

12

21

21

2

1121

212211

·;

·

;··

RR

IRI

RR

IRI

R

RIIIII

IIIRIRI

ii

ii

i

R1

R2

Vi

V1

V2

R1 R2Vi I1 I2

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Divisores de tensión y corriente


Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuacióndiferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjuntocualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elementoalmacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.

Régimen transitorio: Solución a la ec.dif. homogénea, que es la respuesta

natural del sistema.

Régimen permanente: Solución a la ec.dif. completa, que es la respuesta del

sistema forzada por una excitación exterior.

Ejemplo 1: Circuito RC

VinR

Ci

Electrónica, 2007

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

t

Cin dttiC

utiRtv0

)(1

)0()(·)(

0)(1

)0()(·0

t

C dttiC

utiR

Homogénea:

Completa:


fRC ·21

;

Electrónica, 2007

Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)

Solución homogénea:

Condiciones iniciales:

Solución tipo:

Tensión en el condensador:

Constante de tiempo:

;0)(1

)0()(·0

t

C dttiC

utiR

teKti ·)(

R

VitvVu inC

00 )0(0)(;)0(

RC

t

eR

Vti

·)( 0

000 ·)( VeVVtu RC

t

C

0)0( VuC

t

CC dttiC

utu0

)(1

)0()(RC

t

C eVtu

·)( 0

%95

·3

%63



)(·)0()0()( tfefftft

Electrónica, 2007


Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):


Solución tipo:

Tensión en el condensador:

Solución genérica a los sistemas de 1er orden:

t

Cin dttiC

utiRtv0

)(1

)0()(·)(

)0()·()(

0

0 C

t

RC

t

inC ueVVtu

inRC

t

inC VeVVtu

)·()( 0

t

CC dttiC

utu0

)(1

)0()(

teKti ·)(

R

VViVtvVu in

ininC0

0 )0(;)(;)0(

RC

t

in eR

VVti

·)( 0



Electrónica, 2007


Solución completa. Excitación senoidal. Características de las funciones senoidales:

1.- La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal con excitación senoidal es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.

2.- La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.

3.- La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su integral.

4.- Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier función periódica puede representarse como una combinación lineal de un número finito de funciones senoidales.

5.- Los alternadores generan tensión con forma senoidales. Es una forma de onda fácil de obtener.

6.- La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de distinta frecuencia nos da información del sistema.



iinI ,

Electrónica, 2007


Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:

Solución tipo:

Particularizando para:

(Ec.trascendentes mediante métodos

numéricos, vectorialmente

ó mediante complejos)

t

Cin dttiC

utiRtv0

)(1

)0()(·)(

)·cos()( iin tIti

2;0

tt

)·cos()( vinin tVtv siendo

)·cos()sin(1

)0()cos(· viniinCiin tVtIC

utIR

)·cos()sin(1

)0()cos(· viniinCiin VIC

uIR

)·sin()cos(1

)0()sin(· viniinCiin VIC

uIR

comodidad porpara izandoparticular 0)0( Cu



C

Iin

inIR

inV

i

v

2

2

22

)(·

C

IIRV in

inin

Electrónica, 2007


Resolución vectorialmente (trigonometría).

Módulo:

Argumento:

Solución:

Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados

RCarctgvi

1;

2

2

)(

1

CR

VI in

in

)cos(

)(

1)(

2

2

vin t

CR

Vti

)(1

)(

1)(

2

2

vin

C tsenC

CR

Vtu



tjj

in

tj

iniin eeIeItIti ii

ReRe)·cos()()(

j

t

tj

e

)cos( t

)( tsen

tjj

in

tjj

in

tjj

in eeVeeIjC

eeIR Vii

·

11·

Electrónica, 2007


Resolución mediante complejos

Euler:

Solución tipo:

Solución para régimen senoidal permanente

)()cos(

)()cos(

tsenjte

tsenjte

tj

tj

tj

tj

etsen

et

Im)(

Re)cos(

)2

(

2

2

·

)(

1;·

1

V

iVij

inj

in

jinj

in e

CR

VeIe

CjR

VeI

)

2(

2

2

·Re

)(

1Re

Vi

jinj

in e

CR

VeI



tjj

in

tjj

in eeItieeVtu iV ·)(;·)(

Electrónica, 2007

Respuesta de los elementos pasivos básicos al régimen senoidal permanente:

Resistencia Bobina Condensador

)()( tiRtu

tjj

in

tjj

in eeIReeV iV ··

in

in

I

VR

2 iV

Corriente y la tensión en fase

dt

diLtu )(

tjj

in

tjj

in eeILjeeV iV ··

2··

iV j

in

j

in eILeV

inin ILV

LjZL

La corriente retrasa 90º a la tensión

iV 2 Vi

dt

duCti )(

tjj

in

tjij

in eeVCjeeI V ··

2··

Vi j

in

j

in eVCeI

inin VCI

CjZC

1

La corriente adelanta 90º a la tensión

2 Vi



RCjV

VjH

RCj

V

CjR

VCj

Vin

outin

in

out

1

1)(

11

·1

Vin

R

Cj

1Vout

tj

ininin eVtVtv Re)·cos()( Siendo

Electrónica, 2007

)·cos()(1

Re)(·Re2

tRC

VejHeVV injtj

inout

Ejemplo 1: Circuito RC. Función de transferencia.

Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.

Función de transferencia.

Módulo Fase o argumento

2)(1

1)(

RCV

VjH

in

out

)()0()( RCarctgarctg

V

VjH

in

out



Electrónica, 2007

Ejemplo 1: Circuito RC.


Función de transferencia. Representación gráfica.




Ejemplo 1: Circuito RC.

Resolución a la completa.

La particular es el régimen permanente, resuelta mediante complejos.

La homogénea es la respuesta transitoria:

Solución tipo

La solución completa resulta

Con la condición inicial

RC

t

inC eKt

RC

Vtu

·)·cos()(1

)(2

Electrónica, 2007

t

C eKtu ·)(

0)0( VuC

RC

t

C eKtu

·)(

)·cos()(1 2

0 RC

VVK in

RC

t

ininC e

RC

VVt

RC

Vtu

·)·cos(

)(1)·cos(

)(1)(

20

2



RC

t

inRC

t

ininout et

RC

Ve

RC

Vt

RC

VV )·cos()cos(·

)(1)··cos(

)(1)·cos(

)(1 222

Electrónica, 2007

Ejemplo 1: Circuito RC. Tensión (rojo) y corriente (azul) en C. F= 60Hz; R=10K; C= 1,5uF



VinR

L

Electrónica, 2007

Solución a la homogénea (transitorio):

Ejemplo 2: Circuito RL


Solución tipo:

Tensión en la resistencia:

Constante de tiempo:

dt

diLtiRtvin )(·)(

0)(· dt

diLtiR

Homogénea:

Completa:

teKti ·)(

RIutvIi Lin ·)0(;0)(;)0( 00 tL

R

eIti·

0·)(

tL

R

L eRIdt

diLtu

·

0 ··)(

fR

L·2

1;

%95

·3

%63



dt

diLtiRtvin )(·)(

Electrónica, 2007


Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):

Condiciones iniciales y finales:

Solución genérica a los sistemas de 1er orden:

Tensión en la bobina:

tL

R

ininL eIRVtu·

)··()(

dt

diLtuL )(

R

ViVtvIi in

inin )(;)(;)0( 0

)(·)0()0()( tfefftft

R

Ve

R

VIti in

tL

R

in

·

0 ·)(



Electrónica, 2007


Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:

Solución tipo:

Particularizando para:

dt

diLtiRtvin )(·)(

)·cos()( iin tIti

2;0

tt

)·cos()( vinin tVtv siendo

)·cos()sin(·)cos(· viniiniin tVtILtIR

)·cos()sin(·)cos(· viniiniin VILIR

)·sin()cos(·)sin(· viniiniin VILIR iinI ,



LIin

i

Vin

RI in

v

Electrónica, 2007


Resolución vectorialmente.

Módulo:

Argumento:

Solución:

R

Larctgvi

;

2222 ·)(·inin

ILIRVin 22 )( LR

VI in

in

)cos()(

)(22

vin t

LR

Vti )(

)()(

22

v

inL tsenL

LR

Vtu



Vin

R

VoutLj

Electrónica, 2007

)(·

1

)2

·cos(

1

Re)(·Re22

2

tsen

L

R

Vt

L

R

VejHeVV inin

jtj

inout

Ejemplo 2: Circuito RL. Función de transferencia.


Función de transferencia.


LjR

Lj

V

VjH

LjR

VLjV

in

outinout

)(

·

2

1

1)(

L

RV

VjH

in

out

2)()(

R

Larctgarctg

V

VjH

in

out

R

LarctgeVtVtv tj

ininin

ySiendo Re)·cos()(



Electrónica, 2007

Ejemplo 2: Circuito RL. Tensión (rojo) y corriente (azul) en L. F= 60 Hz; R=10K; L= 1,5mH



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