Tema 1: Nociones Básicas de Lógica y Geometría. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento del conjunto. Nociones de Teoría De Conjuntos Definición

Tema 1: Nociones Básicas de Lógica y Geometría

Cada uno de los objetos en la colección es un elemento del conjunto.

Nociones de Teoría De ConjuntosDefiniciónUn Conjunto: es una colección de objetos de cualquier naturaleza: personas, números, colores, letras, figuras, etc.

NOTACIÓNA,B,C,D…. Letras mayúsculas

Por ejemplo, el conjunto de los colores de la bandera:

A = {Amarillo, Azul, Rojo}

Nociones de Teoría De Conjuntos

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos.

- Un conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse.- Un conjunto infinito es un conjunto no numerable.

Si un conjunto no tiene elementos, se dice que es un conjunto vacío .

Notación: A= Ø. Se lee A es un conjunto vacio

Nociones de Teoría De ConjuntosLos conjuntos se definen por Extensión o por Comprensión.

-Un conjunto por Extensión expresa uno por uno sus elementos.

- Un conjunto por Comprensión enuncia las propiedades o características de todos y cada uno de sus elementosEjemplo, A = {los días de la semana}

Estos dos conjuntos contienen los mismos elementos, pero el primero, está definido por extensión y el segundo por comprensión.Nota: no siempre un conjunto por extensión puede definirse por comprensión. Ejemplo, B= {perro, zapato, televisor}.De igual manera un conjunto definido por comprensión puede expresarse por extensión. Ejemplo, B= {las estellas del cielo}.

Ejemplo, A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}


Si x es un elemento del conjunto A se dice que x pertenece al conjunto A y se denota de la siguiente manera: x A. ∈

Si x no es un elemento del conjunto A se dice que x no pertenece al conjunto A, y se denota así: x A..∉

Ejemplo, Sea A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}Se puede decir que el elemento lunes A∈

Ejemplo, Sea A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}Se puede decir que el elemento zapato A∉


Subconjunto. Si todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B entonces diremos que A es un subconjunto de B y escribiremos A B ⊂ .Ejemplo, A = {lunes, miércoles, domingo} y B = {los días de la semana}entonces A B .⊂

• Conjunto Universal. Es aquel conjunto respecto del cual todos los conjuntos que se consideran dentro de cierta aplicación son subconjuntos. Ejemplo, A = {el plano}

Nota: En Geometría Plana, todas las figuras son subconjuntos del plano, el cual representa en este caso el conjunto universal.

Nociones de Teoría De ConjuntosConjuntos disjuntos. Son aquellos que no tienen elementos en común.Ejemplo, A = {los días de la semana}B= {perro, zapato, televisor}.Ay B son conjuntos disyuntos

• Unión de conjuntos. La unión de dos conjuntos A y B es una operación que da como resultado un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, o a B, o a ambos y sedenota escribiendo A B , que se leerá “A unión B”.∪Ejemplo, A = {lunes, pato, martes, zapato, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}B= {perro, jueves, zapato, televisor}.A B = {lunes, pato, martes, zapato, miércoles, perro, jueves, viernes, sábado, ∪domingo, televisor}

Nociones de Teoría De Conjuntos• Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B es una operación que da como resultado un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B, y se denota escribiendo A∩B , que se leerá “A intersección B”. Si los conjuntos son disjuntos se tendrá que su intersección es vacía, es decir, A∩B =∅

Ejemplo 1, A = {lunes, pato, martes, zapato, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}B= {lunes, perro, pato, jueves, zapato, televisor}A∩B = {lunes, pato, zapato, jueves, televisor}

Ejemplo 2, C = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}D= {perro, pato, zapato, televisor}C∩D =∅

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES• Los números racionales: son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Su conjunto se representa con la letra Q.

• El conjunto de los números reales: resulta de la unión del conjunto de los números racionales con el de los números irracionales. Su conjunto se representa con la letra R. Se tiene así que:R. = Q ∪ I .

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1

15

2

3

3

5

2

1,,,,, Ej.:

• Los números irracionales: son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Su conjunto se representa con la letra I.

3Ejemplo, ,π ,e

TÓPICOS DE LÓGICA MATEMÁTICA• Proposición: es una oración gramatical que es falsa o que es verdadera, pero no ambas cosas a la vez. Notación: p, q, r, s, .. se utilizan letras minúsculas, generalmente Comentario: podemos distinguir si una oración es una proposición cuando de ella tiene sentido afirmar que es o bien verdadera, o bien falsa.Ejemplo,Desde esta mañana está lloviendo, Es una proposición de la cual es posible afirmar si es verdadera o falsa.Sin embargo, la oración:El diablo existe, No es proposición pues su afirmación o negación no es universal , ya que esta difiere entre personas de diferentes creencias.

TÓPICOS DE LÓGICA MATEMÁTICA• Negación de una proposición: Es una proposición que representa la negación de otra.

Se denota anteponiendo el operador a la proposición.∼La proposición ∼ p (léase no p) es la negación de la proposición p y p es la negación de la proposición ∼ p .

Si p es verdadera entonces p es falsa; si p es falsa ∼entonces p es verdadera. Por ∼ último, ∼∼ p = p (la doble negación de una proposición es igual a dicha proposición).

TÓPICOS DE LÓGICA MATEMÁTICA

Implicación lógica: es una proposición que establece una relación de causalidad entre dos proposiciones. A la primera proposición se le llama antecedente (o hipótesis) y a la segunda consecuente (o tesis).

• Como proposición que es, una implicación puede ser falsa o verdadera

y podremos asegurar que es falsa sólo cuando se verifique que siendo verdadero el antecedente ocurra que es falso el consecuente.

TÓPICOS DE LÓGICA MATEMÁTICA• Si llamamos p al antecedente y q al consecuente, la

implicación se escribe:p →q

y se leerá “p implica a q”, o “si p, entonces q”, o “p es una condición suficiente para q”, o “q es una condición necesaria para p”.

TÓPICOS DE LÓGICA MATEMÁTICA

• Si p es el antecedente y q es el consecuente, diremos también que p →q es la implicación directa. q → p es su recíproco.

∼ p→ q es su ∼ contrario. ∼ q→ p es su ∼ contrarrecíproco.

• El directo y el contrarrecíproco son equivalentes lógicos, es decir, si uno es verdadero el otro también lo es y si uno es falso el otro también es falso; • Lo mismo ocurrirá con el recíproco y el contrario (son

equivalentes lógicos).

TÓPICOS DE LÓGICA MATEMÁTICASilogismo. Es una forma de razonamiento por la que del contraste de dos proposiciones o premisas se extrae una conclusión.Formas válidas de razonamiento. Si se tiene que p →q es verdadera, disponemos entonces de dos formas válidas de razonamiento o silogismos:

p → q

qp

b) Dada la implicación y conociendo que no se cumple el consecuente, concluir que se no se da el antecedente, lo cual se resume escribiendo:

a) Dada la implicación y conociendo que se cumple el antecedente, concluir que se da el consecuente, lo cual se resume escribiendo:

p → q

q

p~

~

Nota: Tiene sentido aplicar estas formas de razonamiento cuando sepamos que p →q sea verdadera.

TÓPICOS DE LÓGICA MATEMÁTICAFormas no válidas de razonamiento. Ocurren cuando se altera la secuencia de los silogismos anteriores. Aun si se tiene que p →q es verdadera, puede llegarse a resultados erróneoscuando se emplea alguna de las siguientes formas no válidas de razonamiento:a) Dada la implicación, presumir que por darse el consecuente, entonces se da el antecedente, lo cual se resume escribiendo:

b) Dada la implicación, presumir que por no darse el antecedente, entonces no se da el consecuente, lo cual se resume escribiendo:

p → q

pq

p → q

p

q~

~

Nota: Aun si los resultados obtenidos a través de estas formas no válidas de razonamiento fuesen verdaderos, lo serán por casualidad, y por lo tanto carecen totalmente de validez.

TÓPICOS DE LÓGICA MATEMÁTICA• Doble implicación, bicondicional o equivalencia lógica Es una proposición formada por el directo y el recíproco simultáneamente.

Tal proposición afirma que se cumple tanto p →q como q → p por lo cual cualquiera de las dos proposiciones que la constituyen (p ó q) puede tomarse como antecedente y la otra como consecuente, de modo que da lo mismo escribir p ↔q que escribir q ↔ p .

Notación:p ↔q , se lee “p si y sólo si q” o “p es una condición necesaria y suficiente para q”.

Nota: Una doble implicación, bicondicional o equivalencia lógica será verdadera sólo si se verifica que tanto el directo como el recíproco son verdaderos.


Subconjunto. Si todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B entonces diremos que A es un subconjunto de B y escribiremos A B ⊂ .Ejemplo, A = {lunes, miércoles, domingo} y B = {los días de la semana}entonces A B .⊂

• Conjunto Universal. Es aquel conjunto respecto del cual todos los conjuntos que se consideran dentro de cierta aplicación son subconjuntos. Ejemplo, A = {el plano}

Nota: En Geometría Plana, todas las figuras son subconjuntos del plano, el cual representa en este caso el conjunto universal.

Nociones de Teoría De ConjuntosConjuntos disjuntos. Son aquellos que no tienen elementos en común.Ejemplo, A = {los días de la semana}B= {perro, zapato, televisor}.Ay B son conjuntos disyuntos

• Unión de conjuntos. La unión de dos conjuntos A y B es una operación que da como resultado un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, o a B, o a ambos y sedenota escribiendo A B , que se leerá “A unión B”.∪Ejemplo, A = {lunes, pato, martes, zapato, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}B= {perro, , jueves, zapato, televisor}.A B = {lunes, pato, martes, zapato, miércoles, perro, jueves, viernes, sábado, ∪domingo, televisor}

Nociones de Teoría De Conjuntos• Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B es una operación que da como resultado un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B, y se denota escribiendo A∩B , que se leerá “A intersección B”. Si los conjuntos son disjuntos se tendrá que su intersección es vacía, es decir, A∩B =∅

Ejemplos, A = {lunes, pato, martes, zapato, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}B= {lunes, perro, , jueves, zapato, televisor}A∩B = {lunes. pato, zapato, perro, jueves, televisor}

C = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}D= {perro, pato, zapato, televisor}C∩D =∅

El Conjunto de los Números Reales• Los números racionales: son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Su conjunto se representa con la letra Q.

• El conjunto de los números reales: resulta de la unión del conjunto de los números racionales con el de los números irracionales. Su conjunto se representa con la letra R. Se tiene así queR. = Q ø .∪

• Los números irracionales: son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Su conjunto se representa con la letra ø. Ej.: 2, 3,π ,e

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1

15

2

3

3

5

2

1,,,,, Ej.:

Tópicos de Lógica Matemática• Proposición: es una oración gramatical que es falsa o que es verdadera, pero no ambas cosas a la vez. Notación: p, q, r, s, .. se utilizan letras minúsculas, generalmente Comentario: podemos distinguir si una oración es una proposición cuando de ella tiene sentido afirmar que es o bien verdadera, o bien falsa.Ejemplo,Desde esta mañana está lloviendo, es una proposición de la cual es posible afirmar si es verdadera o falsa.Sin embargo, el diablo existe, no es proposición pues su afirmación o negación no es universal , ya que esta difiere entre personas de diferentes creencias.

• Negación de una proposición: Es una proposición que representa la negación de otra.

Se denota anteponiendo el operador a la proposición.∼La proposición ∼ p (léase no p) es la negación de la proposición p y p es la negación de la proposición ∼ p .

Si p es verdadera entonces p es falsa; si p es falsa ∼entonces p es verdadera. Por ∼ último, ∼∼ p = p (la doble negación de una proposición es igual a dicha proposición).

Tópicos de Lógica Matemática

Implicación lógica: es una proposición que establece una relación de causalidad entre dos proposiciones. A la primera proposición se le llama antecedente (o hipótesis) y a la segunda consecuente (o tesis).

• Como proposición que es, una implicación puede ser falsa o verdadera

y podremos asegurar que es falsa sólo cuando se verifique que siendo verdadero el antecedente ocurra que es falso el consecuente.


• Si llamamos p al antecedente y q al consecuente, la implicación se escribe:

p →q y se leerá “p implica a q”, o “si p, entonces q”, o “p es una condición suficiente para q”, o “q es una condición necesaria para p”.


• Si p es el antecedente y q es el consecuente, diremos también que p →q es la implicación directa. q → p es su recíproco.

∼ p→ q es su ∼ contrario. ∼ q→ p es su ∼ contrarrecíproco.

• El directo y el contrarrecíproco son equivalentes lógicos, es decir, si uno es verdadero el otro también lo es y si uno es falso el otro también es falso; • Lo mismo ocurrirá con el recíproco y el contrario (son

equivalentes lógicos).


Silogismo. Es una forma de razonamiento por la que del contraste de dos proposiciones o premisas se extrae una conclusión.Formas válidas de razonamiento. Si se tiene que p →q es verdadera, disponemos entonces de dos formas válidas de razonamiento o silogismos:

p → q

qp

b) Dada la implicación y conociendo que no se cumple el consecuente, concluir que se no se da el antecedente, lo cual se resume escribiendo:

a) Dada la implicación y conociendo que se cumple el antecedente, concluir que se da el consecuente, lo cual se resume escribiendo:

p → q

q

p~

~

Nota: Tiene sentido aplicar estas formas de razonamiento cuando sepamos que p →q sea verdadera.


Formas no válidas de razonamiento. Ocurren cuando se altera la secuencia de los silogismos anteriores. Aun si se tiene que p →q es verdadera, puede llegarse a resultados erróneoscuando se emplea alguna de las siguientes formas no válidas de razonamiento:a) Dada la implicación, presumir que por darse el consecuente, entonces se da el antecedente, lo cual se resume escribiendo:

b) Dada la implicación, presumir que por no darse el antecedente, entonces no se da el consecuente, lo cual se resume escribiendo:

p → q

pq

p → q

p

q~

~

Nota: Aun si los resultados obtenidos a través de estas formas no válidas de razonamiento fuesen verdaderos, lo serán por casualidad, y por lo tanto carecen totalmente de validez.


• Doble implicación, bicondicional o equivalencia lógica Es una proposición formada por el directo y el recíproco simultáneamente.

Tal proposición afirma que se cumple tanto p →q como q → p por lo cual cualquiera de las dos proposiciones que la constituyen (p ó q) puede tomarse como antecedente y la otra como consecuente, de modo que da lo mismo escribir p ↔q que escribir q ↔ p .

Notación:p ↔q , se lee “p si y sólo si q” o “p es una condición necesaria y suficiente para q”.

Nota: Una doble implicación, bicondicional o equivalencia lógica será verdadera sólo si se verifica que tanto el directo como el recíproco son verdaderos.


• Axioma: es una proposición que se acepta como verdadera sin previa demostración.• Teorema: es una proposición que ha sido previamente demostrada.• Corolario: es un proposición que se deduce en forma trivial a partir de un teorema.• Conjetura: es una proposición de la cual no ha sido demostrada ni su veracidad ni su falsedad.

Nota: Los matemáticos constantemente se plantean conjeturas a sí mismos y a la comunidad de matemáticos; cuando una de ellas llega a demostrarse como verdadera, se convierte en unteorema.


• Definición: es un convenio sobre el significado preciso de un término. Toda definición es una doble implicación, por lo cual es siempre válido utilizar tanto su directo como su recíproco. Para definir cualquier objeto matemático debe asegurarse previamente su existencia.

• Término primitivo: es aquel que no se define.• Demostración: Una implicación será verdadera cuando al cumplirse el antecedente se cumpla también el consecuente, y se cumpla siempre, necesariamente, sin excepciones. Por lo tanto, una manera usualmente sencilla de demostrar que una implicación es falsa consiste en mostrar un ejemplo que la contradiga, es decir, un ejemplo en el que se dé el antecedente y que sin embargo no se dé el consecuente. A un tal ejemplo se le llama contraejemplo.


Un sistema axiomático debe contener los siguientes elementos:

Un conjunto de términos indefinidos que constituyen la base de vocabulario.

Un conjunto de proposiciones iniciales no demostradas (axiomas).

Leyes de la lógica.Un conjunto de teoremas que enuncian las

propiedades de los términos indefinidos.

Sistema Axiomático

Para demostrar que una implicación es verdadera se dispone de dos caminos:a) En forma directa, basada precisamente en la implicación en su forma directa, que consiste en suponer que ocurre el antecedente (hipótesis) y luego, mediante una serie de razonamientos lógicos, llegar a que también ocurre el consecuente (tesis).b) Por reducción al absurdo, basada en el contrarrecíproco de la implicación, que consiste en suponer la negación de la tesis (esto es, suponer que a pesar de que se da la hipótesis, no seda la tesis) y, mediante una serie de razonamientos lógicos, llegar a alguna contradicción, bien sea con la propia hipótesis o con cualquier otra verdad previamente establecida (un axioma, un teorema, un corolario, una definición, etc.).


El término Geometría se deriva de Geo- Tierra = Metria = Metros= Medida, los griegos tomaron la Geometría de los egipcios y la rehicieron comenzando con Thales de Mileto y Pitágoras y terminaron con Euclides con su obra “Elementos”. Arquímedes es quien trabaja con Geometría del espacio.

La geometría es una ciencia que se ocupa del estudio de las figuras geométricas, entendidas éstas como conjuntos de puntos, cualquier conjunto de puntos. Al conjunto de todos los puntos lo llamamos espacio. Se trata en este caso del espacio euclidiano o espacio tridimensional, el que comúnmente identificamos con las dimensiones de “largo, ancho y alto”.

Nociones Geométricas

Un sistema axiomático debe contener los siguientes elementos:

Un conjunto de términos indefinidos que constituyen la base de vocabulario.

Un conjunto de proposiciones iniciales no demostradas (axiomas).

Leyes de la lógica.Un conjunto de teoremas que enuncian las

propiedades de los términos indefinidos.

Sistema Axiomático

• Compatibles: ningún axioma debe contradecir a otro, ni deben haber contradicciones entre los teoremas que se deduzcan de ellos.

•Independientes: no deben haber axiomas que se deduzcan de otros axiomas.

•Completos: deben permitir demostrar la verdad o falsedad de cualquier proposición que se deriva de ellos.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

TERMINOS INDEFINIDOS: son los términos raíces o bases de quienes se tiene sola una noción intuitiva y que son la base para la formulación de los axiomas: Los términos indefinidos a considerar son: punto, recta y plano.

Sistema Axiomático

1. Leer y entender el enunciado del teorema.2. Realizar una figura alusiva al enunciado en lo posible.3. Expresar la hipótesis en los mismos términos de la

figura.4. Expresar la tesis en los mismos términos de la figura.5. Formular las proposiciones y justificarlas por medio

de: axiomas, teoremas, corolarios, definiciones, construcciones, procedimientos matemáticos y lógicos.

6. Mediante los pasos anteriores llegar a la conclusión

PASOS TENTATIVOS PARA UNA DEMOSTRACIÓN

Reflejan ideas simples e intuitivas acerca de cómo están relacionados los términos indefinidos: punto, recta, plano. I.1.- Existen infinitos puntos cuyo conjunto llamaremos espacio. I.2.- Los puntos del espacio se encuentran agrupados en conjuntos parciales de infinitos puntos llamados planos y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados rectas. I.3.- Por dos puntos distintos pasa una sola recta.

AXIOMAS DE INCIDENCIA (I)

DEFINICIÓN: Los puntos que están sobre una recta se dice que están alineados y los que están sobre un plano se les llaman Coplanares. I.4.- Tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene. I.5.- Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está contenida en el plano.

Notaciones: Para denotar los Puntos se usan las primeras letras del alfabeto en Mayúscula: A, B, C, D, P, Q.Para denotar las Rectas se usan las letras del alfabeto en Minúscula a partir de r, s, t, l, m, n… Para denotar los Planos se usan las primeras letras del alfabeto griego: , , , , …

TEOREMA : Una recta l y un punto P exterior a ella determinan un único plano que los contiene. Hipótesis A y B l están alineados P es exterior a l P l

P no está alineado con A y B por hipótesisl y P determinan un único plano por axioma (Tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene)

.Pl

A.

B.

Tesisl y P determinan un único plano

En conclusión: el teorema una recta l y un punto P exterior a ella determinan un único plano que los contiene, es verdadero

TEOREMA : Dos rectas distintas s y t no se cortan o se cortan en un punto. Por reducción al absurdo, al negar la tesis queda: Hipótesis temporal: s y t se cortan en dos o más puntos.

por 2 puntos pasan 2 ó más rectas. Esto contradice el Axioma:( Por dos puntos distintos pasa una sola recta)Luego, s y t no se cortan o se cortan en un punto.

. .t

s

En conclusión: el teorema dos rectas distintas s y t no se cortan o se cortan en un punto, es verdadero

TEOREMA: Dos rectas s y t que se cortan determinan un único plano que las contiene.

ts

PBA ...

Hipótesiss y t que se cortan en P Tesiss y t determinan un único plano

Por el axioma Por dos puntos distintos pasa una sola recta

Proposiones JustificacionesA y P t B y P s

A , B y P no están alineados A , B a rectas distintasLuego, Existe un solo plano que las contiene. En conclusión: el teorema Dos rectas s y t que se cortan determinan un único plano que las contiene, es verdadero

DEFINICIÓN: Dos rectas Coplanarias están en un mismo plano. t

s

Las rectas Cruzadas no son coplanarias.

ts

l

’

TEOREMA 4: Si una recta t corta a un plano que no la contiene, la intersección es un punto.

Por reducción al absurdo. La recta t corta al plano en dos o más puntosSi la intersección es de 2 puntos , t

Contradice la hipótesis. Luego, t =

t

t

HipótesisLa recta t corta al plano El plano no contiene a t Tesis t =

En conclusión: el teorema Si una recta t corta a un plano que no la contiene, la intersección es un punto, es verdadero

.

. .

P

P1P2

Estos axiomas se refieren a la posición relativa de los puntos en una recta y en el plano . 01.- Todo punto O situado en una recta, determina dos únicas regiones de puntos llamadas SEMI-RECTAS.

Notación:

AXIOMAS DE ORDEN Y SEPARACION (O)

Origen de semirrectas

X O Y

Semirrectas opuestas

.

OYOX y

Definición: Sean A , B y C tres puntos distintos de una recta , se dice que B está entre A y C. Sii A y C están en semirrectas opuestas de B.

Definición: B separa los puntos A y C sii B está entre A y C.

Axioma 02.- De tres puntos distintos A, B y C en una recta , uno y solo uno de ellos está entre los otros dos.

.A

..B C

,


DEFINICIÓN SEGMENTO: sean A y B , llámese segmento de extremos A y B al conjunto de puntos situados entre A y B

.A

..B C

A..C

Notación: AB

Definición: sean A, B y C , Decimos que C está en la prolongación de sii B está entre A y C.

,


AB

03. AXIOMA DE LA DIVISION DEL PLANO ADP: Toda recta l divide al plano en dos únicas regiones de puntos llamadas SEMIPLANOS de borde l de tal manera que: El segmento que une dos puntos del semiplano distintos corta la recta l

El segmento que une dos puntos de un mismo semiplano, no corta a la recta l.

.D

.A .

B

.C


l

S.1. A todo le corresponde un único número AB real y positivo llamado la longitud de .S.2. Si C está entre A y B, entonces AB = AC + CB.Definición: Dos segmentos son congruentes sii tienen la misma longitud , es decir

S.3. (Axioma de la construcción de un segmento) Dado un número real > 0 se puede construir en una semirrecta dada partir de su origen, un único segmento de longitud m.

AB

AB

CDABCDAB

AXIOMAS SOBRE LA MEDICION DEL SEGMENTO (S)

Definición Punto MedioM es un punto medio de , si M está entre A y B y además

Definición: Ángulo: la unión de dos semirrectas distintas que tienen origen común se denomina ángulo. El punto común se llama vértice y las semirrectas, lados del ángulo. Notación : AOB,

.A

..M C

AB

MBAM

.O

.A

.B

DEFINICIÓN: Interior de un Ángulo Se denomina así a la intersección del semiplano de borde que contiene a B con el semiplano de borde que contiene a A.

DEFINICIÓN: El conjunto de puntos del plano que no pertenece al ángulo ni a su interior se denomina Exterior del ángulo

OA OB

..

A

.B

O. X

Definición. Angulo Llano: es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas.

Definición. Angulo Adyacente: es el que contiene un lado común y los otros dos lados son semirrectas opuestas.

es adyacente a

.A

..B

.A

..B

.C

O

O

Definición: Ángulos Opuestos por el Vértice (OPV): son aquellos cuyos lados del uno son semirrectas opuestas de los lados del otro.

AOB es OPV con COB AOC es OPV con DOB

Definición: Rayo Interior de un Ángulo: es la semirecta de origen, el vértice del ángulo cuyos puntos son interiores a él.

es rayo interior del

.O.A .B

.C

.D

. .B

.xO

.A

OX AOB

A.1 A todo A se le asigna un número real m(A ) llamado MEDIDA DEL A, tal que 0 < m (A) < 180. Si A es llano, m (A ) = 180.

A.2. Si es un rayo interior al AOB, entonces m(AOB) = m ( AOX) + m (BOX). (Suma de ángulos) = AOX = XOB m (AOX )+ m ( XOB) = m ( AOB)

AXIOMAS SOBRE MEDICIÓN DE ANGULOS (A)

. .B

.x

O

.A

DEFINICIÓN: Dos ángulos son congruentes sii tienen la misma medida. Es decir, A B m ( A ) = m ( B ) A.3. AXIOMA DE LACONSTRUCCIÓN DE UN ÁNGULO: Dado un número tal que 0 < < 180, se puede construir a partir de una semirecta dada, y en uno de sus semiplanos un único ángulo cuya medida sea

AXIOMAS SOBRE MEDICIÓN DE ANGULOS

.O

AXIOMAS SOBRE MEDICIÓN DE ANGULOS

DEFINICIÓN: y son complementarios sii m () + m ( )= 90

y B son suplementarios sii m ( ) + m ( )= 180

O

O

.

.

TEOREMA: Los ángulos adyacentes son suplementarios.

HipótesisAOB y BOC son adyacentesTesismAOB + mBOC = 180 .

A..C

.B

O

Proposiciones Justificaciones

1.- m AOC=180 OCAO y son semirectas opuestas.2.- m AOC= mAOB + mBOC POR EL AXIOMA: Suma de ángulos

3.- mAOB + mBOC = 180 Sustitución de 1 en 2

4.- mAOB y mBOC Son suplementarios

En conclusión: el teorema Los ángulos adyacentes son suplementarios., es verdadero

TEOREMA: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes

.O

.A

.B

.C

.D

HipótesisAOB y COD son opuestos por el vérticeAOC y BOD son opuestos por el vértice

AOB CODTesisAOC BOD

Proposiciones Justificaciones1.- m AOB + mBOD = 180 • Por el axioma: Suma de ángulos.

Def. de ángulo llano

2.- m COD + mBOD = 180 • Por el axioma: Suma de ángulos. Def. de ángulo llano

• Igual. entre1 y 2. Reducción términos semejantes

3.- m COD + mBOD = m AOB + mBOD

Luego, AOB CODEn conclusión: el teorema los ángulos adyacentes son suplementarios, es verdadero

B

.x

O

.A

DEFINICION. Bisectriz de un Ángulo. Es el rayo interior al ángulo que lo divide en 2 ángulos iguales.

Notación:

OX AOB es rayo interior del

. .

Definiciones

α es recto m (α ) = 90

β es agudo m ( β ) < 90

λ es obtuso 90 < m ( λ ) < 180

O

β

O

α

O

λ

.

.

.

DEFINICIÓN RECTAS PERPENDICULARES: Son las que se cortan formando un ángulo recto. Notación: l t

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: Es la recta perpendicular al segmento por su punto medio.

O

t

l

.O

l

A

B

.

TEOREMA: Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares.

1

2HipótesisAOB adyacente a BOC 1 y 2 son bisectrices de los AOB y BOC

Tesis .A

..C

.B

O1 2

Proposiciones Justificaciones1.- m < AOC = 180 Def. de ángulo llano

2.- m < AOC = + AXIOMA Suma de ángulos

3.- + = 180 PM Transitividad 1 y 2

4.- = /2 + /2 1 es bisectriz de < BOC


1


Tesis.

A..C

.B

O1 2

Proposiciones Justificaciones

1.- m < AOC = 180 Def. de ángulo llano

2.- m < AOC = + AXIOMA Suma de ángulos

3.- + = 180 PM Transitividad 1 y 2

4.- = /2 + /2 1 es bisectriz de < BOC


1


Tesis.

A..C

.B

O1 2

Proposiciones Justificaciones5.- m < = /2 + /2 Suma de ángulos

6.- /2 + /2 + /2 + /2 = 180 Sustitución de 4 y 5 en 3

7.- 2(/2) +2( /2) = 180 Suma de términos semejantes

8.- /2 + /2 = 90 Simplificación

9.- Definición de ángulo rectoEn conclusión: el teorema las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares, es verdadero

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Tema 1: Nociones Básicas de Lógica y Geometría. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento del conjunto. Nociones de Teoría De Conjuntos Definición