TEMA 1: NÚMEROS REALES

INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido

Trigonometría MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-1

TRIGONOMETRÍA.- La palabra trigonometría procede de “trígono” (triángulo) y “metría” (medida), es decir “medición de triángulos”. Consiste en

calcular algunos elementos de los triángulos (lados o ángulos) conocidos otros, normalmente se dice “resolver un triángulo”.

FORMAS DE MEDIR LOS ÁNGULOS.- Vamos a ver dos formas:

TIPO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS

Siste

ma s

exage

simales

Grados Radianes

0o 0

30o 6

60o 3

90o 2

120o 3

2

150o 6

5

Siste

ma r

adial

180o

210o 6

7

240o 3

4

270o 2

3

300o 3

5

330o 6

11

360o 2

Pág. 137 el 2 –algunos- y 3 –algunos-.




RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.-

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO (0º a 90º).- Dado un triángulo rectángulo

)90A( , se definen:

El seno de un ángulo agudo (B) como el cociente entre

el cateto opuesto (b) y la hipotenusa (a). a

bBsen

El coseno de un ángulo agudo (B) como el cociente

entre el cateto contiguo (c) y la hipotenusa (a). a

cBcos

La tangente de un ángulo agudo (B) como el cociente

entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. c

bBtg

NOTA.- De forma idéntica se pueden definir las razones del otro ángulo agudo (C).

De las definiciones anteriores se pueden deducir, de forma muy fácil, las siguientes expresiones:

1) Otra expresión para la tangente

cos

sentg (Dividiendo seno entre coseno)

2) Relación fundamental de la trigonometría 1cossen 22 (Aplicando el Teorema Pitágoras)

3) Otra expresión muy utilizada

2

2

cos

11tg (Divido la expresión anterior entre coseno cuadrado)

Demostrar las tres expresiones anteriores / Pág. 106 el 1® y 2®.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO (0º a 360º).- Las definiciones anteriores se

pueden aplicar a cualquier ángulo del primer cuadrante, ya que se forma el triángulo rectángulo que vemos en

la figura.

Además se puede demostrar, por semejanza de triángulos,

que las razones trigonométricas no dependen del radio.

Sus definiciones son:

x

ytg;

r

xcos;

r

ysen

Como no dependen del radio lo más cómodo es tomar 1r , se

llama circunferencia trigonométrica o goniométrica. Las

expresiones quedan:

x

ytg;xcos;ysen




Estas nuevas definiciones se pueden extender a los

demás cuadrantes.

Recordad que:

Y teniendo en cuenta que el seno tiene los mismos signos

de la coordenada “y”, y el coseno la “x”. Los signos de cada

razón trigonométrica serían:

Se puede demostrar que en la circunferencia goniométrica

la tangente queda representada por:

Pág. 107 el 1, 2, 3 y 4.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS FUERA DEL INTERVALO (0º a 360º).- Vamos a

dividirlo en dos casos:

a) Ángulos de 360º o mayores. Un ángulo mayor de 360° mide más de una vuelta .

Veamos algunos ejemplos:

Un ángulo de 390º=360º+30º, s i lo representamos co inc ide con un ángulo de

30º .

Un ángulo de 750º=2·360º+30º, s i lo representamos coincide con un

ángulo de 30º.




Si queremos pasar un ángulo a la pr imera vuelta , d iv idimos el ángulo

entre 360º. El coc iente es el número de vueltas que dan y e l resto es

ángulo resultante que corresponde a la pr imera vuelta.

En general n360

Como la posición final es la misma, con la diferencia del número de vueltas, esto nos indica que las razones

trigonométricas van a coincidir, es decir:

tgtgcoscossensen

b) Ángulos negativos. El ángu lo negat ivo mide menos de 0º .

Los ángulos negat ivos g iran en e l sent ido horar io , es dec ir , en e l sent ido

en que se mueven las agujas de un reloj .

Un ángulo negativo lo podemos transformar en un ángulo

posit ivo sumándole 360º.

En general 360

Ahora las razones trigonométricas son algo más complicadas de calcular. Nos basaremos en los dibujos:

tg)360(tg)(tg

cos)360(cos)(cos

sen)360(sen)(sen

Pág. 108 el 1 –algunos- y 2 –algunos-.




RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS.- Vamos a ver

varios casos:

TIPO DEFINICIÓN RAZONES TRIGUNOMÉTRICAS GRAFICA

Ángulos

complementarios

Son aquellos que

suman 90º, es decir:

º90

tg

1

sen

cos)º90(tg

sen)º90(cos

cos)º90(sen

Ángulos

suplementarios

Son aquellos que

suman 180º, es

decir:

º180

tg)º180(tg

cos)º180(cos

sen)º180(sen

Ángulos que

difieren en 90º

Son aquellos que

difieren en 90º, es

decir:

º90

tg

1

sen

cos)º90(tg

sen)º90(cos

cos)º90(sen

Ángulos que

difieren en

180º

Son aquellos que

difieren en 180º, es

decir:

º180

tg)º180(tg

cos)º180(cos

sen)º180(sen

Ángulos

opuestos

Son de la misma

magnitud pero de

signo distinto:

tg)(tg

cos)(cos

sen)(sen

Pág. 111 el 1®, 1 –algunos- y 2 –algunos-.




RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.-

Destacan dos casos:

Pág. 112 el 1®, 2® y 3®.

Algunos resultados muy utilizados:

Pág. 113 el 1®, 1 -algunos y 2.




EJEMPLOS DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS (OBLICUÁNGULOS).-

Vamos a ver varios casos que se suelen presentar:







DOS IMPORTANTES TEOREMAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS CUALESQUIERA.-

Teorema de los senos

Pág. 117 el 1® y 2®.

Teorema del coseno

Pág. 119 el 1® y 8 -algunos.




FÓRMULAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.-

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS (No demostramos nada).-

Pág. 130 el 1® / pág. 131 el 1® / pág. 132 el 1® / pág. 133 el 1®.




ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.-

Pág. 134 el 1® Y 2® / pág. 135 el 3®.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.-

FUNCIÓN SENO y=sen x

Ángulos en grados 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o 360o

Radianes x 0 6

3

2

3

2

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

6

11 2

sen x 0 2

1

2

3 1

2

3

2

1 0

2

1

2

3 1

2

3

2

1 0

Propiedades:

1) Es una función periódica de periodo 2 .

2) Su dominio es ),(D .

3) Se recorrido es 1,1

FUNCIÓN COSENO y=cos x


Radianes x 0 6

3

2

3

2

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

6

11 2

cos x 1 2

3

2

1 0

2

1

2

3 -1

2

3

2

1 0

2

1

2

3 1

Propiedades:

1) Es una función periódica de periodo 2 .

2) Su dominio es ),(D .

3) Se recorrido es 1,1




FUNCIÓN TANGENTE y=tg x


Radianes x 0 6

3

2

3

2

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

6

11 2

tg x 0 3

3 3 3

3

3 0

3

3 3 3

3

3 0

Propiedades:

1) Es una función periódica de periodo .

2) Su dominio es

...,2

3,

2

3,

2RD

.

3) Se recorrido es ),(

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