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8/18/2019 Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal http://slidepdf.com/reader/full/tema-08-regimen-estacionario-senoidal 1/24  Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 1 8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA EN R.E.S. En los circuitos excitados con fuentes (de tensión o corriente) cuya forma de onda es senoidal se establecen corrientes y tensiones que también son senoidales. El manejo de las expresiones temporales de las funciones senoidales puede ser muy tedioso y una de las virtudes de la ingeniería es desarrollar métodos simplificados pero rigurosos que permitan resolver los problemas con facilidad. Por eso en lugar de manejar las expresiones temporales, en los circuitos de c.a. se utilizan los fasores que responden al álgebra de los números complejos y permiten pasar de ellos a las expresiones temporales con suma facilidad, de hecho las funciones senoidales apenas se usan en la resolución de los circuitos de c.a. El estudio se limita al funcionamiento en Régimen Estacionario Senoidal (R.E.S) o llamado también régimen permanente que es el que se establece en un circuito después de un tiempo inicial (denominado régimen transitorio) cuando ya se extinguieron los efectos de carga inicial de los condensadores y circulación de corrientes en las bobinas y constituye una solución particular de la ecuación diferencial del circuito. En primer lugar se verá la forma en que las magnitudes senoidales se representan en los circuitos eléctricos de c.a. u(t) = U max .cos(  t+  ) u(t) + C.E + C.E U U=U   La expresión temporal de la fuente es  ) cos(  ) cos(  ) u max         

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 1

8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA EN R.E.S.

En los circuitos excitados con fuentes (de tensión o corriente) cuya forma de

onda es senoidal se establecen corrientes y tensiones que también son senoidales.

El manejo de las expresiones temporales de las funciones senoidales puede

ser muy tedioso y una de las virtudes de la ingeniería es desarrollar métodos

simplificados pero rigurosos que permitan resolver los problemas con facilidad.

Por eso en lugar de manejar las expresiones temporales, en los circuitos de

c.a. se utilizan los fasores que responden al álgebra de los números complejos y

permiten pasar de ellos a las expresiones temporales con suma facilidad, de hecho las

funciones senoidales apenas se usan en la resolución de los circuitos de c.a.

El estudio se limita al funcionamiento en Régimen Estacionario Senoidal

(R.E.S) o llamado también régimen permanente que es el que se establece en un

circuito después de un tiempo inicial (denominado régimen transitorio) cuando ya se

extinguieron los efectos de carga inicial de los condensadores y circulación de

corrientes en las bobinas y constituye una solución particular de la ecuación diferencial

del circuito.

En primer lugar se verá la forma en que las magnitudes senoidales se

representan en los circuitos eléctricos de c.a.

u(t) = U max .cos( t+ )

u(t)

+

C.E

+

C.EU

U=U

La expresión temporal de la fuente es

)t cos( U 2 )t cos( U )t ( u max

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8/18/2019 Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 2

donde U max es el valor de pico (amplitud) y U es el valor eficaz, la expresión anterior se

puede expresar por

)U Re( 2 )t U Re( 2 )t U Re( )t ( u max

quedando finalmente el complejo U para identificar a la fuente, U es un complejo de

fase variable pero se supone (a no ser que se diga otra cosa) que la frecuencia son 50

Hz y por tanto no es necesario especificar y su módulo es el valor eficaz de la onda

senoidal porque es el valor que miden los voltímetros, el valor de U en forma polar es

U siendo la fase inicial (valor del ángulo en t = 0 ).

Dado que el comportamiento del circuito es indiferente del instante en que se

empieza a estudiar la fase inicial de un solo fasor se puede tomar cero (fasor de

referencia), las fases de todos los demás fasores del circuito (tensiones y corrientes)

se tienen que referir a la del fasor de referencia.

Con esa transformación lo que se está haciendo es un sencillo cambio de

variable, de una función senoidal se pasa a un número complejo

Para la función “cos”

U )t cos( U 2 )t cos( U max

Para la función “sen” se pone previamente en la forma “cos”

90 U )90 t cos( U 2 )t ( Usen2 )t ( senU max

Esta transformación también se puede aplicar a la derivada y a la integral de

una función senoidal, así para la derivada

U j U 90 90 U )90 t cos( U 2

)t ( senU 2 dt

)t cos( U 2 d

dt

)t cos( U d

dt

))t ( u( d ))t ( u( D max

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8/18/2019 Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 3

La conclusión es que la derivada )f ( dt

d )f ( D siendo (f ) una función senoidal se

puede representar como un nuevo fasor cuyo valor es el del fasor de la misma función

multiplicado por j 90 F j )f ( D y en el caso de la integral F

j

1 )f (

D

1

8.1. Compor tamiento de los elemento s ideales tipo en r.e.s

Resistencia

C.E

I

U

R

Su ecuación de definición en corriente alterna en la forma de impedancia es

R .I U y en la forma de admitancia GU R

U I

Los parámetros resistencia R y conductancia G son números reales lo cual es

un caso particular de un complejo que tiene la parte imaginaria nula o bien argumento

nulo (R =R+j0 = R 0, G = G+j0 = G 0 )

Siendo R (y G) un número real se puede ver que la tensión y la intensidad

están en fase dado que la fase inicial no se altera

C.E

I=15 30 A

UR=4

U=60 30 V

IU

Representación fasorial

t

u(t)

Representación temporal

i(t)

Page 4: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

8/18/2019 Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 4

Bobina

C.E

I

U

L

Su ecuación de definición general esdt

d N

dt

di L )t ( u

o bien en función del

operador “D” NDLDi )t ( u , por lo visto anteriormente la derivada de una función

senoidal pasa a ser F j )f ( D

La ecuación de definición de la bobina en R.E.S en la forma de impedancia es

I L j U y en función del flujo magnético N j U

El valor que multiplica a “I “ L j es la impedancia compleja de una bobina

pura, como se ve es un complejo cuya parte real es cero y la parte imaginaria positiva,

se le denomina “reactancia inductiva” y se denota por “ jX L”

90 LL j L j 0 jX L así si la inductancia de la bobina anterior fuera L = 0,1/

Henrios y la frecuencia 50 Hz se tendría

10 j 1,0

50 2 j L j jX L

Por tanto la ecuación de definición de la bobina pura en forma de impedancia

queda: I jX U L .

En la forma admitancia la ecuación de definición para c.a es U jB jX U I LL

,

El valor que multiplica a “U “LL X

j

jX

1 es la admitancia compleja de una

bobina pura, como se ve es un complejo cuya parte real es cero y la parte imaginaria

negativa, se le denomina “susceptancia inductiva” y se denota por “ jBL”

90 L

1

L

1 j

X

j 0 jB

LL

su valor es el inverso de la reactancia inductiva.

Page 5: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

8/18/2019 Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 5

Para la misma bobina su valor como susceptancia (admitancia) sería

S1,0 j 90 1,0 10

j

X

j jBL

Re

Im

jX L

Plano complejo de impedancias

Re

Im

jBL

Plano complejo de admitancias

BobinaI

U

Como se puede ver de la ecuación de definición I jX U L al ser 90 1 j la

tensión en una bobina es un fasor que adelanta 90º respecto de la intensidad, o bien

la intensidad retrasa 90º respecto a la tensión, lo mismo se puede ver en la expresión

U jBI L la intensidad retrasa 90º respecto a la tensión.

C.E

I=10 -60

U

jX L=j10

U=100 30

U

I

Representación fasorial Representación temporal

u(t)

i(t)

Condensador

C.E

I

U

C

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 6

Su ecuación de definición general esdt

duC )t ( i o bien en función del

operador “D” CDu )t ( i , igual que para la bobina en c.a el operador “D” pasa a ser

“ j " con lo que la ecuación de definición del condensador en la forma admitancia es:

U C j I

El valor que multiplica a U es la admitancia compleja de una capacidad pura,

como se ve es un complejo cuya parte real es cero y la parte imaginaria positiva, se le

denomina “susceptancia capacitiva” y se denota por “jBC ” 90 C C j 0 jBC

por tanto para un condensador se tiene U jBU C j I C

En la forma impedancia la ecuación de definición para c.a es I B

j

jB

I U

C C

,

El valor que multiplica a “I “C

1 j

B

j

C

es la impedancia compleja de una

capacidad pura, como se ve es un complejo cuya parte real es cero y la parte

imaginaria negativa, se le denomina “reactancia capacitiva” y se denota por “j X C ”

90

B

1

B

j 0 jX

C C

C

su valor es el inverso de la susceptancia capacitiva.

Re

Im

jBC

Plano complejo de admitancias

Re

Im

jX C

Plano complejo de impedancias

Condensador

I

U

De las ecuaciones de definición se aprecia que la corriente en un condensador

adelanta 90º respecto a su tensión, o bien la tensión retrasa 90º respecto de la

corriente.

Page 7: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 7

C.E

I=10 120

U

jjBC =j0,1 S

U=100 30

UI

Representación fasorial Representación temporal

u(t)

i(t)

Transform ador ideal

U 1 U 2

1

1’

2

2’

I 1

N 1 N 2

I 2

C.E.1

C.E.2

Las ecuaciones de definición en c.a para las referencias indicadas quedan en

la forma:

1ª ecuación del transformador ideal: rt N

N

U

U

2

1

2

1

2ª ecuación del transformador ideal:rt

1

N

N

I

I

1

2

2

1

Dado que el cociente N 1 /N 2 es siempre un número real las tensiones están en

fase entre sí y las corrientes también están en fase entre sí.

El desfase entre las corrientes y tensiones en el secundario y en el primario

depende de lo que se esté alimentando, si el C.E 2 fuera simplemente una resistencia

la tensión U 2 y la intensidad I 2 estarían en fase y lo mismo ocurriría para el primario.

8.2. Leyes de Kirch off

Naturalmente las leyes de Kirchoff no cambian por el hecho de que un circuito

sea de c.a pero sin embargo hay que ser muy cuidadoso con su formulación ya que sepueden dar sorpresas inesperadas.

Page 8: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 8

Supongamos que aplicando la 1ª ley de Kirchoff se quiere saber la corriente

total que entra en el circuito de la figura siguiente conociendo los valores de los

módulos (valores eficaces) de las corrientes que salen por los elementos pasivos (que

son los valores que medirían los amperímetros)

I t = I R + I L +I C

5A

U10A 10A

I t

R L C

El primer impulso sería decir que la corriente total son 25 A pero en realidad el

valor de la corriente es de 5 A ¿por qué?

La bobina y el condensador están sometidos a la misma tensión, en el caso de

la bobina la corriente retrasa 90º respecto de la tensión mientras que en el

condensador adelanta 90º, al tener el mismo módulo resulta que son corrientes

opuestas y su suma es cero, queda solamente la corriente en la resistencia.

I t = I R + I L +I C

5A

U10A 10A

I t

R L C

I R

I C

I L

U

Otro ejemplo, en este caso de la 2ª ley de Kirchoff, se quiere saber la

tensión aplicada al circuito conociendo los módulos de las tensiones en los elementos

(que son los valores que medirían los voltímetros)

Page 9: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 9

I R

U t = U R + U L +U C

U t 100V

L

100V50V

C

U R

U L

U C

I

Nuevamente la tensión no son 250 V como aparenta sino solamente 50 V. La

razón es similar a la anterior, en este caso la corriente es la misma en todos los

elementos, la tensión en la bobina adelanta 90º respecto a la intensidad pero en el

condensador retrasa 90º siendo por tanto de sentido contrario, al ser sus módulos

iguales la suma es nula, solo queda la tensión en la resistencia.

En los circuitos de c.a hay que utilizar el álgebra de los números complejos,

es decir, las magnitudes solo están correctamente definidas conociendo su módulo y

argumento. En consecuencia solo se pueden sumar directamente los módulos de

las magnitudes (corrientes, tensiones,..) cuando sus fases sean iguales.

8.3. Combinacio nes de elementos en r.e.s. Impedancia yadmitancia com plejas

Las combinaciones de elementos en circuitos de c.a siguen las mismas reglas

ya vistas pero ahora trabajando con números complejos.

Aso ciación serie (elementos recorr idos po r la mism a corr iente)

La asociación serie de elementos presenta una impedancia compleja total que

es la suma de las impedancias complejas de los elementos. Lo más cómodo es

representar los elementos por sus impedancias y expresar éstas en la forma binómica,

la impedancia del conjunto será una impedancia compleja cuya parte real es la suma

de las partes reales y otro tanto ocurre con las partes imaginarias (con su signo).

La parte real de una impedancia compleja se denomina resistencia (R ) y la

parte imaginaria se denomina reactancia (X ) jX R Z

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 10

I R

U 1=R.I

U t = U 1 + U 2 +U 3

U 2 =j L.I U 3=(-j/ C).I

I

Z eq

-j/( C)

j L

R

j L

-j/( C)

R

Z eq jX eq

eqeqeqeq Z Z jX R )C

1L( j R

C

1 j L j R Z

En el ejemplo anterior la reactancia inductiva de la bobina es mayor que la

reactancia capacitiva del condensador y la reactancia total es positiva, se dice que la

impedancia equivalente es parcialmente inductiva, si fuera al revés la reactancia

total sería negativa y entonces la impedancia equivalente sería parcialmente

capacitiva.

También se puede dar el caso de que las reactancias inductiva y capacitiva

fueran numéricamente iguales pero de signo contrario entonces la reactancia del

conjunto sería nula, la suma de la bobina más el condensador sería un cortocircuito,

en ese caso se diría que la bobina y el condensador están en resonancia, lo que

significa físicamente que la energía almacenada en el campo magnético de la bobina

se traspasa al campo eléctrico del condensador y viceversa y así sucesivamente.

Divisor d e tensión

Para la figura siguiente se quiere determinar la impedancia del conjunto y las

tensiones parciales en los elementos.

I Z 1=10 30

U 1 U 2 U 3

Z 2 =3 75 Z 3=5 -15

U tot

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 11

Dado que los elementos vienen dados por sus impedancias en la forma polar

se pasan a la forma binómica.

5 j 66 ,8 30 10 Z 1

897 ,2 j 776 ,0 75 3Z 2

294,1 j 829,415 5 Z 3

Se suman: 838 ,24719,15 603,6 j 265 ,14Z eq

Al estar recorridos por la misma corriente la asociación serie de elementos

constituye un divisor de tensión, la tensión total se reparte de forma proporcional alas impedancias respectivas según la expresión

eq

i tot i Z

Z U U

Por tanto:

tot tot 1 U 162 ,5 636 ,0 838 ,24719,15

30 10 U U

tot tot 2 U 162 ,50 19,0 838 ,24719,15

75 3U U

tot tot 3 U 838 ,39318 ,0 838 ,24719,15

15 5 U U

El módulo de la tensión en el elemento 1 es el 63,6% de la total, en el 2 el 19%

y en el 3 el 31,8% y además están desfasadas los ángulos indicados respecto a la

tensión total.

Page 12: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 12

I Z 1=10 30

U 1 U 2 U 3

Z 2 =3 75 Z 3=5 -15

U tot

U tot U 1

U 2

U 3

Como se puede ver la suma directa de los módulos da mayor que la totalidad,

es consecuencia de lo dicho con anterioridad respecto al álgebra de los complejos.

Hay que apreciar que aunque la impedancia compleja se denota por “Z “ no

es un fasor (número complejo de fase variable), al ser la impedancia el cociente entre

la tensión y la corriente su fase es fija porque la posición relativa de los fasores de

tensión y corriente se mantienen invariables.

I Z=2 45

U

U=2 45.I

I 2 45

R

jX

Aso ciación paralelo (elementos sometidos a la misma tensión)

La asociación en paralelo de elementos presenta una admitancia compleja total

que es la suma de las admitancias complejas de los elementos. Lo más cómodo es

representar los elementos por sus admitancias y expresar éstas en la forma binómica,

la admitancia del conjunto será una admitancia compleja cuya parte real es la suma de

las partes reales y otro tanto ocurre con las partes imaginarias (con su signo).

La parte real de una admitancia compleja se denomina conductancia (G ) y la

parte imaginaria se denomina susceptancia (B ) jBGY

Page 13: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 13

I 1=G.U

I t = I 1 + I 2 +I 3

I 2 =(-j/ L).U

I 1U

G

j C

-j/( L)

G

Y eq jBeq

I 3=j C.U

I 2 I 3U

I t I t

Y eq

eqeq jBG )L

1C ( j GL

1 j C j GY

En el ejemplo anterior la susceptancia capacitiva del condensador es mayor

que la susceptancia inductiva de la bobina y la susceptancia total es positiva, se dice

que la admitancia equivalente es parcialmente capacitiva, si fuera al revés la

susceptancia total sería negativa y entonces la admitancia equivalente sería

parcialmente inductiva.

También se puede dar el caso de que las susceptancias inductiva y capacitiva

fueran numéricamente iguales pero de signo contrario entonces la susceptancia del

conjunto sería nula, la suma de la bobina más el condensador sería un circuito abierto,

en ese caso se diría que la bobina y el condensador están en resonancia, lo que

significa físicamente que la energía almacenada en el campo magnético de la bobina

se traspasa al campo eléctrico del condensador y viceversa y así sucesivamente.

Divisor de intensidad

Para la figura siguiente se quiere determinar la admitancia del conjunto y las

corrientes parciales en los elementos.

Y 1=10 30

U

Y 2 =3 75 Y 3=5 -15I tot

I 1 I 2 I 3

Page 14: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 14

Dado que los elementos vienen dados por sus admitancias en la forma polar se

pasan a la forma binómica.

5 j 66 ,8 30 10 Y 1

897 ,2 j 776 ,0 75 3Y 2

294,1 j 829,415 5 Y 3

Se suman: 838 ,24719,15 603,6 j 265 ,14Y eq

Al estar sometidos a la misma tensión la asociación serie de elementos

constituye un divisor de intensidad, la intensidad total se reparte de formaproporcional a las admitancias respectivas según la expresión

eq

i tot i

Y

Y I I

Por tanto:

tot tot 1 I 162 ,5 636 ,0 838 ,24719,15

30 10 I I

tot tot 2 I 162 ,50 19,0 838 ,24719,15

75 3I I

tot tot 3 I 838 ,39318 ,0 838 ,24719,15

15 5 I I

El módulo de la corriente en el elemento 1 es el 63,6% de la total, en el 2 el

19% y en el 3 el 31,8% y además están desfasadas los ángulos indicados respecto a

la intensidad total.

Page 15: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

8/18/2019 Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

http://slidepdf.com/reader/full/tema-08-regimen-estacionario-senoidal 15/24

Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 15

Y 1=10 30

U

Y 2 =3 75 Y 3=5 -15I tot

I 1 I 2 I 3

I tot I 1

I 2

I 3

Como se puede ver la suma directa de los módulos da mayor que la totalidad,

es consecuencia de lo dicho con anterioridad respecto al álgebra de los complejos.

Hay que apreciar que aunque la admitancia compleja se denota por “Y “ no

es un fasor (número complejo de fase variable), al ser la admitancia el cociente entre

la corriente y la tensión su fase es fija porque la posición relativa de los fasores de

tensión y corriente se mantienen invariables.

Y=2 45

I

I=2 45.U

U 2 45

G

jB

U

Cualquier combinación de elementos pasivos se puede reducir a un solo

elemento equivalente (que produce los mismos efectos que la combinación original) y

este se puede expresar en la forma de impedancia o admitancia compleja.

Page 16: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

8/18/2019 Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 16

C.E

pasivoU

I

C.E

U

I

C.E

U

I

C.E

R

jX

jBG

U R

U X

I G I B

=

=

Al expresarlo en forma de impedancia la parte real e imaginaria están en serie

y por lo tanto la tensión total se reparte entre sus componentes, al expresarlo en forma

de admitancia la parte real e imaginaria quedan en paralelo y por lo tanto la corriente

total se reparte entre sus componentes.

Se puede pasar de la forma de impedancia a la de admitancia o viceversa

simplemente determinando el complejo inverso.

Supongamos para concretar que en la figura anterior los valores son

V 0 100 U e A30 10 I

En forma de impedancia se tendría

5 j 66 ,8 30 10 30 10

0 100

I

U Z Z I U

66 ,8 R 5 j jX

En forma de admitancia se tendría

05 ,0 j 0866 ,0 30 1,0 0 100

30 10

U

I Y Y U I

10866 ,0 G

105 ,0 j jB

Un error muy común y que es necesario evitar es determinar el inverso de

una impedancia (o de una admitancia) por la suma de los inversos de sus

componentes.

Page 17: Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

8/18/2019 Tema 08. Régimen Estacionario Senoidal

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 17

Lo correcto es:

jBG X R

jX

X R

R

X R

jX R

jX R

1

Z

1Y jX R Z

2 2 2 2 2 2

Hacer jX

1

R

1Y jX R Z es incorrecto

Se puede apreciar en el ejemplo anterior que66 ,8

10866 ,0 G y

5 j

105 ,0 j jB

Relaciones tensión –corr iente en fu nción d el carácter d el circu ito

En un circuito pasivo que tenga un carácter parcialmente inductivo se tiene:

Su impedancia tiene la parte imaginaria positiva y por tanto su argumento es

positivo

Su admitancia (inverso de la impedancia) tiene la parte imaginaria negativa y

por tanto su argumento es negativo

La corriente retrasa respecto de la tensión un ángulo igual al argumento de la

impedancia siendo menor de 90º

C.EinductivoU

IR

jX

Z

G

jB

Y

U

I

En un circuito pasivo que tenga un carácter parcialmente capacitivo se tiene:

Su admitancia tiene la parte imaginaria positiva y por tanto su argumento es

positivo

Su impedancia (inverso de la admitancia) tiene la parte imaginaria negativa

y por tanto su argumento es negativo

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 18

La corriente adelanta respecto de la tensión un ángulo igual al argumento

de la admitancia siendo menor de 90º

C.EcapacitivoU

IG

jB

Y

R

jX

Z

I

U

8.4. Aso ciaciones de elemento s serie-paralelo

Siguen las formas vistas anteriormente, lo más cómodo es expresar los

elementos serie como impedancia y los paralelo como admitancia, formulándolos en

forma binómica, cuando de un elemento o asociación sea necesario pasar de la forma

impedancia a la de admitancia o viceversa lo mejor es pasar esos elementos a la

forma polar y determinar su inverso.

Se quiere determinar el equivalente del conjunto y expresarlo en las formas de

impedancia y admitancia

1

2 3

4

5 6

Se suman sus impedancias

Se suman sus impedancias

Los elementos 2 y 3 están en serie conviene expresarlos como impedancias en

forma binómica: 2 2 2 jX R Z 333 jX R Z y determinar su equivalente

)32 32 32 32 32 X X ( j R R jX R Z

.

Los elementos 5 y 6 también están en serie 5 5 5 jX R Z 6 6 6 jX R Z

también se determina su equivalente )6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 X X ( j R R jX R Z .

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1

2+3

4

5+6

Se suman sus admitancias

El resultante 2+3 está en paralelo con el 4, conviene pasar 2+3 a la forma de

admitancia en forma binómica y expresar 4 también como admitancia binómica.

32 32 32 )32 32 32 Z Z X X ( j R R Z

32 32 32 32 32 32

32 jBGY Z

1

Z

1Y

Con lo anterior se tiene el elemento 2+3 expresado como admitancia en la

forma binómica.

Se expresa el elemento 4 como admitancia binómica: 444 jBGY

Se suman Y 2+3 e Y 4 :

432 432 432 432 4432 32 432 432 jBG )BB( j GG jBG jBGY Y Y

Se pasa esta última a la forma impedancia para sumarla con el elemento 1

1 2+3+4

5+6

Se suman sus impedancias

432 432 432 432 432 432 Y Y jBGY

432 432 432 432 432 432 432

432 jX R Z Y Y

1Z

432 1432 1432 1432 1432 1432 1 Z jX R ) X X ( j R R Z Z

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1+2+3+4

5+6

Se suman sus admitancias

432 1432 1432 1432 1432 1432 1 Z Z jX R Z

432 1432 1432 1432 1432 1432 1432 1

432 1 jBGY Z

1

Z

1Y

6 5 6 5 6 5 )6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 Z Z ) X X ( j R R jX R Z

6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5

6 5 jBGY Z

1

Z

1Y

Finalmente queda.

eqeqeq6 5 432 16 5 432 16 5 432 1 Y Y )BB( j GGY Y

eqeqeqeq

eqY 1

Y 1Z

8.5. Trans fo rm ación estr ella triángulo

Sigue las mismas reglas ya vistas pero utilizando las impedancias complejas.

C

A BZ AB= Z BA

Z CA= Z AC

Z BC = Z CB

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Se puede sustituir el triángulo anterior por tres elementos pasivos formando

una estrella sin que se alteren los valores de tensión e intensidad en el resto del

circuito, es decir, se puede pasar a una configuración en estrella equivalente.

C

A B

Z AN Z BN

Z CN

N

Los valores de las impedancias en estrella equivalente obtenidas de las

originales del triángulo vienen dadas por:

CABC AB

AC AB

AN Z Z Z

Z Z Z

CABC AB

BC BA

BN Z Z Z

Z Z Z

CABC AB

CACB

CN Z Z Z

Z Z Z

Cuando las impedancias del triángulo son iguales entonces las equivalentes en

la estrella son 1/3 de las del triángulo.

De igual forma de una configuración en estrella de impedancias conocidas se

puede pasar a otra en triángulo equivalente

C

A B

Z AN Z BN

Z CN

N

Los valores de las impedancias en triángulo equivalente obtenidas de las

originales en estrella vienen dadas por:

CN

BN AN

BN AN ABZ

Z Z Z Z Z

AN

CN BN CN BN BC Z

Z Z Z Z Z

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BN

CN AN

CN AN CAZ

Z Z Z Z Z

C

A BZ AB= Z BA

Z CA= Z AC

Z BC = Z CB

Cuando las impedancias de la estrella son iguales entonces las equivalentes en

triángulo son 3 veces las de la estrella.

EJERCICIOS TEMA 8

1. Determinar la corriente y la tensión U en el circuito siguiente (f = 50 Hz)

+

I

50 0

5

0,2 S10

0,1/ H

U

2/ mF

U = 23,57 45 V, I = 3,33..0 A

2. Determinar la corriente I y la tensión U en el circuito siguiente (f = 50 Hz)

+

I

50 90

5 0,2 S

10 0,1/ H

U

2/ mF

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Fundamentos de Electrotecnia. Tema 8: Circuitos de corriente alterna en R.E.S. 23

I = 6,2017 150,2551 A, U = 13,869930,69 V

3. Calcular I(t) que circula por la resistencia de 1 Ω usando el teorema de superposición.

Eg= 10 cos 100 t Ig = 20 sen (100 t -60)

I(t) = 12,5418.2.cos(100 t+39,14) A

4. Determina el voltaje V A en el siguiente circuito, conV1(t) = 10 cos (100 t) y V2 (t) = 20 cos (100 t +30) voltios.

U A(t) =5,6534.2.cos(100 t+8,09) A

5. Determina el valor de la intensidad en el condensador aplicando el teorema de Thévenin.

I = 0,8304-48,3664 A

V1

+

~

1KΩ

1KΩ

1 F

A

~

V2

+

1μF 1KΩ

100 ∟0 +

~

60 jΩ 20Ω

I(t)

20Ω 20Ω -10 jΩ

Eg+

~

L = 10 mH

R = 1Ω I(t)

Ig

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