212
Michael Havsteen & Ove Hedegaard Opgaver i erhvervsøkonomi med supplerende noter ø Jurist- og Økonomforbundets Forlag 2003

Teknisk økonomi Opgave Bog

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Teknisk økonomi Opgave Bog

Michael Havsteen & Ove Hedegaard

Opgaver i erhvervsøkonomimed supplerende noter

øJurist- og Økonomforbundets Forlag

2003

Page 2: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgaver i erhvervsøkonomimed supplerende noter

© 2003 by Jurist- og økonomforbundets Forlag

Alle rettigheder forbeholdes.Mekanisk, fotografisk eller anden gengivelse ellermangfoldiggørelse af denne bog eller dele heraf er

uden forlagets skriftlige samtykke ikke tilladtifølge gældende dansk lov om ophavsret.

Omslag: Focus Marketing ApS/CompositionTryk: Gentofte Tryk

Indbinding: Damm’s Forlagsbogbinderi, Randers

Printed in Denmark 2003ISBN 87-574-1005-4

Jurist- og økonomforbundets ForlagLyngbyvej 17Postboks 2702

2100 København Ø

Telefon: 39 13 55 00Telefax: 39 13 55 55e-mail: [email protected]

Homepage: www.djoef-forlag.dk

Page 3: Teknisk økonomi Opgave Bog

Indhold

Forord.7

Del i Opgaver

Kapitel i

Anvendelse af matematik 11

Kapitel 2

Virksomheden og dens omverden 17

Kapitel 3

Likviditet og rentabilitet 31

Kapitel 4

Efterspørgsel og markedsformer 47

Kapitel 5

Produktions- og omkostningsstruktur 57

Kapitel 6

Pris/mængde optimering 73

1. En vare på et marked 73

2. En vare på flere markeder 85

3. Flervareproduktion med og uden knap kapacitet 89

4. Flervareproduktion under forenet produktion 93

5. Afsætningsmæssig sammenhæng 96

Kapitel 7

Lineær Programmering 99

Page 4: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 8

Lagerstyring 105

Facitliste 109

Del 2 Supplerende noter

Note i

Behandling af rabatter 137

Note 2

Afsætningsfunktioner 155

Note 3

Vandret og lodret addition af lineære funktioner 163

Note 4

Konvertering af lineære funktioner 177

Note 5

Flervareproduktion 181

Note 6

Kontrakter 197

Note 7

Brug af grafer 207

Note 8

Konstruktion af grafer 209

6

Page 5: Teknisk økonomi Opgave Bog

Forord

Gevinstmaksimering

Profitmaksimering

Optimal

Mængde & Pris

(Q & P)

/Efterspørgsel: Omkostninger:

(Betinger P, der betinger Q) (Betinget af Q)

• P • ATC,AVC,AFC

•MR •MC

• TR • TC,TVC,TFC

/Optimeringsmetoder:

• Marginalmetoden (MR & MC)

• Totalmetoden (TR & TVC)

• Gennemsnitsmetoden (P & AVC)

• Mv.

Optimeringssituationer:

• Pris/mængde optimering

• Lineær programmering

• Lagermodeller

• Mv.

Page 6: Teknisk økonomi Opgave Bog

ErhvervsØkonomien hviler på en forudsætning om gevinstmaksimering. Gevinsten er i reglen profit — udledt under forudsætning af “alt andet lige”. I virkelighedens verden er alt andet næsten aldrig lige, og derfor er mange af de modeller,som der arbejdes med i den traditionelle erhvervsøkonomi, mere eller mindre realistiske. Når modellerne alligevel finder anvendelse, er det fordi, de siger nogetom den måde prisfastsættelsesmekanismerne fungerer på. De giver os et holdepunkt i en kompleks omverden, og gør det muligt at tilpasse modellerne til denvirkelighed, de forsøger at beskrive.

Den grundlæggende erhvervsøkonomiske tankegang kan beskrives ud fra figurenpå foregående side, hvor omdrejningspunktet er et ønske om at maksimerer virksomhedens profit, Gevinstmaksimering eller Profitmaksimering. Figuren dannerudgangspunkt for opgavesamlingens struktur.

Givet gevinstmaksimering er opgaven at finde den kombination af mængde (Q)og prisen (P), der giver den største profit. I princippet er der uendeligt mangekombinationer af mængde og pris. Kunsten består i at finde frem til netop denkombination, der maksimerer profitten.

Uden et begrebsapparat er det en opgave, der er vanskelig at løse, og man skalvære mere end heldig, hvis man finder frem til den rigtige kombination af mængde og pris.

ErhvervsØkonomien stiller et begrebsapparat til rådighed i form af tre grundlæggende optimeringsmetoder, nemlig marginalmetoden, totalmetoden og gennemsnitsmetoden. Alle tre metoder er relateret til hinanden, men anviser i princippettre forskellige måder at nå det samme mål på — nemlig den optimale kombinationaf mængde og pris.

I hver af det tre optimeringsmetoder indgår der på samme tid et element af efterspørgsel og omkostninger. Det er således en forudsætning, at man har viden ombåde omkostninger og efterspørgsel, for overhovedet at kunne anvende en af detre metoder.

Har man de informationer, der er behov for, kan man frit vælge, hvilken fremgangsmåde man vil benytte sig af. De tre optimeringsmetoder kan efterfølgendevarieres i det uendelige i forskellige optimeringssituationer. Det gælderpris/mængde optimering (en vare på et marked, flervareproduktion, en vare påflere markeder), lineær programmering, lagermodeller mv.

Opgavesamlingen følger som nævnt figurens struktur og er inddelt i tre hovedområder.

8

Page 7: Teknisk økonomi Opgave Bog

I det første hovedområde fokuseres der på virksomhedens placering i samfundet

ligesom virksomhedens målsætning vurderes. Endvidere er der lagt op til en vur

dering af virksomhedens finansielle situation, og endelig er der inddraget en ræk

ke opgaver med i brug af matematik, der erfaringsmæssigt viser sig at være lidt

“rustent” hos en del studerende.

Kapitel 1: Anvendelse af matematik

Kapitel 2: Virksomhed og dens omverden

Kapitel 3: Likviditet og rentabilitet

I det andet hovedområde arbejdes der med de to selvstændige områder, der dan

ner baggrund for brug af optimeringsmetoderne:

Kapitel 4: Efterspørgsel og markedsformer

Kapitel 5: Produktions- og omkostningsstruktur

Hvorefter der i det tredje hovedområde optimeres ud fra forskellige optimerings

situationer:

Kapitel 6: Pris/mængde optimering

Kapitel 7: Lineær programmering

Kapitel 8: Lagerstyring

Som supplement til opgavesamlingen er i lighed med tidligere medtaget en række

noter, der understøtter de områder, som ofte volder problemer, når stoffet skal

tilegnes.

København, juni 2003

Michael Havsteen

Ove Hedegaard

9

Page 8: Teknisk økonomi Opgave Bog
Page 9: Teknisk økonomi Opgave Bog

KAPITEL i

Anvendelse af matematik

Opgave 1.1

Normalt anvender man i forbindelse med matematiske problemer betegnelsen x

for en uafhængig variabel og y for en afhængig variabel.

Giv eksempler på uafhængige og afhængige variable, der kunne tænkes at være

relevante i forbindelse med erhvervsØkonomiske problemstillinger.

Skitser grafisk eksempler på forskellige sammenhænge mellem uafhængige og

afhængige variable inden for erhvervsØkonomi.

Opgave 1.2

Redegør for sammenhængen mellem regnereglerne: Differentation, integration,

gange og dividere.

Differentier følgende funktioner:

1. P=f(Q)=a

2. TC=f(Q)=182

3. P=2Q2

4. P=—lQ3

5. P=O,5Q2

6. TR=f(Q)=1OQ

7. TR=f(Q)=—Q2

8. P = 45Q — O,5Q2

11

Page 10: Teknisk økonomi Opgave Bog

9. P=Q3—8Q2+57Q+2

10. TR=100Q-lOQ2

11. TC=182—56Q

12. P=3Q31Q2

Opgave 1.3

Der er givet tre forskellige funktionssammenhænge mellem priser og mængder:

1. P=—0,1Q+60

2. P=0,6Q2—13 Q+70

3. P=—H-25Q

Skitser forløbet af hver af disse tre funktioner.

Diskuter konsekvenserne af ændringer i konstanterne.

Opgave 1.4

Det oplyses, at der til en pris på 120,00 kr. pr. stk. kan sælges 15 stk. pr. dag, oghvis prisen sættes ned til 40,00 kr. pr. stk., stiger salget til 55 stk. pr. dag.

Bestem ligningen for en lineær afsætningsfunktion gennem disse to punkter såvelmatematisk som grafisk.

Hvor mange stk. kan man forvente at sælge pr. uge, hvis prisen sættes til 100 kr. pr.stk.?

Hvad skal prisen være, hvis man vil opnå et salg på 60 stk. pr. uge?

Opgave 1.5

En lineær afsætningsfunktion går gennem punktet pris = 30,00 kr. og mængde =40stk. og har hældningskoefficienten —0,5.

Bestem afsætningsfunktionens ligning og vis den grafisk.

Hvad udtrykker hældningskoefficienten?

Ved hvilken pris forsvinder hele efterspørgslen?

12

Page 11: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 1.6

Givet afsætningsfunktionerne for to delmarkeder:

P=—2Q+ 150

P=—0,5 . Q+50

Bestem den tilhørende funktion for den samlede afsætning.

Opgave 1.7

En virksomheds afsætningsfunktion er givet som:

P= —+5O—0lQ

Bestem omsætning og MR som funktion af Q såvel matematisk som grafisk.

Opgave 1.8

En virksomhed har studeret forløbet af omkostningerne i produktionen og har

fundet frem til, at lønomkostningerne for de første 150 stk. pr. dag er 8,00 kr. pr.

stk. Skal der laves mere end 150 stk. pr. dag, har man en aftale om[åt der kan

produceres op til og med 50 stk. pr. dag på overtid. Timelønnen povertid er

50% højere end på normaltid.

Omkostningerne til råvarer afhænger også af, hvor mange stk. der skal produce

res pr. dag. Skal der produceres mindre end 100 stk. pr. dag, er råvareprisen 20

kr. pr. stk. Overstiger produktionen 100 stk. pr. dag, giver leverandøren 15% ra

bat på den mængde, der ligger ud over de 100 stk. Råvarer kan ikke gemmes fra

dag til dag.

Bestem de samlede omkostninger som funktion af den producerede mængde for

mængden gående fra 0 til 200 stk. pr. dag. Omkostningerne skal vises både gra

fisk og matematisk.

Page 12: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 1.9

En virksomhed har observeret følgende sammenhørende værdier for solgt mængde og total omsætning:

Solgt mængde i stk. Total omsætning i kr.

10 400

20 600

30 600

40 400

Bestem virksomhedens omsætnings-, prisafsætningsafsætnings- og MR-funktioner såvel matematisk som grafisk.

Opgave 1.10

En virksomhed har observeret følgende samnienhØrende værdier for pris og solgtmængde:

Pris pr. stk. Solgt mængde

32 2

18 4

8 6

2 8

0 10

Bestem virksomhedens omsætnings-, prisafsætningsafsætnings- og MRfunktioner såvel matematisk som grafisk.

14 (

Page 13: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 1.11

En virksomhed har observeret følgende sammenhørende værdier for pris og solgt

mængde:

Pris pr. stk. Solgt mængde

126 1

-66 2

36 4

26 6

21 8

18 10

Bestem virksomhedens omsætnings-, prisafsætningsafsætnings- og MR

funktioner såvel matematisk som grafisk.

15

Page 14: Teknisk økonomi Opgave Bog

7

Page 15: Teknisk økonomi Opgave Bog

KAPITEL 2

Virksomheden og dens omverden

Opgave 2.1 — Målsætning

Til bekæmpelse af Creutzfeldt-Jakobs sygdom, bedre kendt som kogalskab, er der

over de næste 4 år afsat 80 mio. kr. til sygdomsbekæmpelse. Man kan forvente at

rede op mod 4 menneskeliv over de næste 4 år. På såvel hjemmemarkedet som

eksportmarkeder er sygdommen i øjeblikket under kontrol, om end der stadig er

mulighed for yderligere udbrud uden fremtidigt opsyn.

I radioavisen kunne man for nylig høre denne prioritering anfægtet, idet en

trafikforsker havde fundet, at man for de samme penge vil kunne rede op mod 16

menneskeliv på årsbasis.

Spørgsmål

1. Antag at der er tale om gevinstmaksimering — i så fald, hvori

består gevinsten?

2. Har tidshorisonten betydning for, hvorledes der prioriteres

mellem de to alternativer?

Opgave 2.2 — Begreber

Diskuter hvad der forstås ved:

1. Virksomheden som et åbent dynamisk system

• Giv eksempler på åbne og lukkede systemer

• Redegør for forhold, der er vigtige ved fastlæggelse af systemets grænser

17

Page 16: Teknisk økonomi Opgave Bog

2. En koalition

3. Interessentbalancen

4. Den nære og vide omverden

5. Ekstroverte og introverte interessenter

6. En konflikt/synergi matrice

Opgave 2.3 — Nære- og vide omverden

Giv eksempler på interessenter der indgår i den nære og vide omverden for etrevisionskontor.

Opgave 2.4 — Målsætning og interessentanalyse

Shell stod for nogen tid tilbage overfor at skulle afhænde en udtjent boreplatformved navn Brent Spar.

Efter planen var det meningen, at platformen skulle sænkes i Nordsøen. Det fikGreenpeace til at gå på barrikaderne og gennemføre aktioner mod sænkningen. Iløbet af kort tid rejste der sig en mediestorm. Det lykkedes Greenpeace at sættefokus på, at boreplatformen indeholdt store mængder olie, der kunne skade miljøet. Resultatet blev, at Shell fandt en anden løsning, der faktisk viste sig at væredårligere.

Spørgsmål

1. Redegør for hvilke målsætninger såvel Shell som Greenpeace kan havearbejdet efter i forbindelse med sænkning af boreplatformen

2. Identificer relevante interessenter for Greenpeace

3. Udarbejd en koalitionsmålsætning for Shell

Opgave 2.5— Interessentanalyse

I forbindelse med ELSAM’s planer om at udvide sit aktivitetsområde til også atlevere el-kraft til det tidligere DDR, har ELSAM i forbindelse med den påtænktelinieføring mødt modstand imod den traditionelle fremføring af el via luftledninger.

18

Page 17: Teknisk økonomi Opgave Bog

I de områder, der vil blive berørt af linieføringen, har der rejst sig en folkelig

opinion, der ud fra miljøhensyn har krævet, at højspændingskablerne til Tyskland

graves ned i undergrunden.

Spørgsmål

1. Udarbejd med udgangspunkt i PEST modellens niveau 3 en analyse af

Elsams omverden?

2. Som ansat i ELSAM bedes du udarbejde en interessentanalyse i forbindelse

med de overvejelser, ELSAM bør gøre sig i forbindelse med beslutningen

om, hvilken linieføring, der skal vælges.

Opgave 2.6 — Markedsdefinition

Diskuter hvad der forstås ved et marked, og hvorledes et sådan kan defineres.

Opgave 2.7 — Markedsdefinition

For hver, af de efterfølgende virksomheder bedes du diskutere:

• Hvilke grundlæggende behov tilfredsstiller virksomhedens produkter

• Hvilke substitutter står virksomhedens produkter overfor?

• Afgrænsningen af virksomhedens marked

Virksomheder

En schweizisk fabrikant af ure, der sælger dyre kvalitets ure, på verdenspian

2. En Champagneproducent

3. En IT-virksomhed, der har specialiseret sig i håndtering af billeder og lyd på

intemettet, og som udvilder specialtilpassede helhedsløsninger

4. En trikotagefabrik, der designer og producerer modestrikvarer til kvinder

5. En servicevirksomhed, der sælger, installerer og vedligeholder tyverialarrner

til mindre virksomheder og private husstande

6. En grossistvirksomhed, der forhandler sportstøj til fodboldldubber på

Sjælland

19

Page 18: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 2.8 — Tid, beslutningsniveauer

Diskuter hvilken indflydelse tiden har for bestemmelse af en virksomheds

Målsætning, marked og konkurrenter

Hvori består forskellen mellem strategiske, taktiske og operationelle beslutninger ivirksomheden?

Opgave 2.9 — Porter

VindmØlleindustrien står i disse år over for mange nye indtrængende konkurrenter på verdensmarkedet. Siden starten, der mest var præget af idealisme og noglefå ildsjæles forsøg på at forbedre miljøet, har Danmark gennem de to bØrsnoterede virksomheder — NEG Micon og Vestas — tilkæmpet sig 60 pct. af verdensmarkedet.

Indtil videre er denne vækst sket på det danske, tyske og amerikanske marked. Enstor del af den nye vækst forventes fremover at ske på det amerikanske, spanskeog nordiske marked.

I takt med at industrien er vokset på verdenspian, er der dukket nye virksomhederop. De har øjnet chancen for vækst på nye markeder. Især en amerikansk virksomhed, med stor kapacitet og kapital i ryggen, er dukket op på det amerikanskemarked. Denne virksomhed har intentioner om at erobre markedsandele på verdenspian. Ligeledes har en tidligere spansk Vestas samarbejdspartner slået sig oppå det spanske marked, dvs, med dansk teknologi og knowhow.

NEG Micon’s og Vestas tidligere vækstrater forventes bl.a. på denne baggrundikke at fortsætte med samme hastighed som tidligere.

Vindmølleproducenterne anvender en skov af lokale underleverandører, der letkan udskiftes. Imidlertid er især en leverandør af vindmøllevinger særdeles væsentlig på verdenspian, idet virksomhed som den eneste leverer vinger til stort setalle vindmølleproducenter i verden. Vestas og NEG Micon udgør naturligvis enstor del af afsætningen for denne virksomhed, men leverandøren er på ingen måde afhængig, idet den har et vidt spektre af kunder i kundeporteføljen.

Kunderne i vindmØllebranchen udgøres dels af private investorer, elselskaber,foreninger, statslige indkøb mv. Især de amerikanske vindmølleinvesteringer bærer præg af en vis størrelse men ellers udgør hver enkelt ordre en mindre del afden samlede kundemasse.

20

Page 19: Teknisk økonomi Opgave Bog

På længere sigt kan Kina og de østeuropæiske lande også blive interessante mar

keder.

Spørgsmål

1. Hvori består forskellen mellem en omverdensanalyse og en brancheanaly

se?

2. Redegør for hvad formålet er med at gennemføre en brancheanalyse

3. Fastlæg en tidshorisont og afgræns markedet for vindmøllebranchen

4. Udarbejd, med udgangspunkt i Porter, en brancheanalyse for vindmølle-

branchen

5. Karakteriser konkurrenceintensiteten i vindmøllebranchen

6. Giv et forslag til, hvilken generisk strategi de danske vindmølleproducen

ter bør følge i fremtiden?

Opgave 2.10 — Porters diamantmodel

1. Hvori består forskellen mellem Porters five forces og Porters Diamantmo

del?

2. Udarbejd, med udgangspunkt i foregående opgave, en analyse af vindmøl

lebranchen og giv et bud på hovedårsagerne til, at den danske vindmølle-

industri er slået igennem på verdenspian.

Opgave 2.11 (SWOT)

Encyclopædia Britannica har gennem århundreder udgivet det engelske national-

leksikon i bogform. Med internettes udbredelse op gennem I 990’erne og nye ef

fektive datalagringsmedier og billedbehandlingsmetoder, stod man over for nye

konkurrenter, der effektivt og billigt var i stand til at kopiere og distribuere den

viden, som møjsommeligt var oparbejdet gennem generationer. Man havde gen

nem generationer arbejdet med freelance medarbejdere, der hver især besidder

særlig stor ekspertise på hver deres felt. Ingen af disse var dog særligt loyale over

for Encyclopædia Britannica. Enkelte steder i virksomheden havde man TT

ekspertise, som trods alt var relativt begrænset.

Encyclopædia Britannica har altid haft en stor og loyal kundeskare. En stor del af

kunderne erhverver leksikonet af prestigehensyn, bla. fordi det syner godt, at

21

Page 20: Teknisk økonomi Opgave Bog

have det stående i bogreolen, men naturligvis er der også praktiske formål forbundet med at erhverve leksikonet.

Spørgsmål

i Identificer interne forhold med relevans for Encyclopædia Britanicas situation.

2. Identificer eksterne forhold med relevans for Encyclopædia Britanicas situation.

3. GennemfØr en analyse, hvor de interne forhold sættes over for de eksterneforhold.

4. Udarbejd en idé for virksomheden på baggrund af idégrundlaget (SWOT).

Opgave 2.12 — Bostonmatricen

Med udgangspunkt i Bostonmatricen bedes du redegøre for nedenståendespørgsmål:

i. Hvorledes vil du placere et produkt med lav markedsandel og stor markedstilvækst?

2. Hvorledes vil du placere følgende produkter:

• Skrivemaskiner

• Grøn Tuborg

• Danske vindmøller

• Flyvemaskiner drevet på solenergi

3. Find eksempler på “dogs”, “cash cows”, “question marks” og “stars”4. Kan Bostonmatricen anvendes til at indpiacere virksomheder?

5. Hvilken situation står en virksomhed i, når den på langt sigt har I “cashcow” og i “dog”?

6. Hvorledes håndteres et produkt, der er karakteriseret ved at være en “dog”.

Opgave 2.13 — PLC-modellen

Med udgangspunkt i PLC-modellen (Product Life Cycle) bedes du redegøre fornedenstående spørgsmål:

22

Page 21: Teknisk økonomi Opgave Bog

1. Giv eksempler på produkter, der befinder sig i hver af de fire faser.

2. Antag at du repræsenterer den storste virksomhed på markedet og netop

står overfor at lancere et nyt lovende produkt på markedet. Hvilken strate

gi vil du vælge?

3. Antag at du repræsenterer den mindste virksomhed på markedet og netop

står overfor at producerer et nyt lovende produkt på markedet. Hvilken

strategi vil du vælge?

4. Hvorledes kan Bostonmatricen og PLC — modellen understøtte hinanden?

Opgave 2.14— AKF-modellen

1. Redegør for, hvorledes aktivitets-, kapacitets- og finansielstyring hænger

sammen, og hvorfor det er vigtigt at anskue modellen ud fra en helhedsbe

tragtning

2. Redegør for, hvad AKF - modellen efter din mening kan anvendes til?

3. Tænk på din egen arbejdsplads og vurder dens aktivitetsmæssige, kapaci

tetsmæssige og finansielle styrke. Er der balance imellem de tre områder?

4. Redegør for, hvad forskellen er på styringsområder og styringsopgaver?

5. Redegør for, hvilke styringsopgaver, der følger i forlængelse af de tre sty

ringsområder hver for sig og som helhed.

Opgave 2.15 — Osted Savværk A/S

Du hedder Jens Peter Larsen og er - efter uddannelse fra Handelshøjskolen - blevet

ansat i direktions-sekretariatet i Super-Dania-koncernen. Her beskæftiger du dig

med alle mulige driftstekniske spørgsmål rundt om i koncernens virksomheder. En

dag modtager du et notat fra direktionssekretariatets chef, underdirektør Holger

Madsen, med en ny arbejdsopgave.

Kære Jens Peter!

Du ved, at vi pr. 1. januar har købt Osted Savværk A/S. Det er sket,

fordi vi fandt, at det var den billigste måde at få dækket vores store

palleforbrug på. Samtidig ville vi skaffe os større leveringssikkerhed,

idet vii de sidste par år har oplevet flere svigt hos vor hidtidige pallele

verandør.

23

Page 22: Teknisk økonomi Opgave Bog

Osted Savværk fremstiller nu udelukkende paller i forskellige størrelser. Vi regner med at købe for 6 mio. kr. heraf hos Osted Savværk. Resten af den nødvendige omsætning må Osted Savværk skaffe sig vedsalg til tredjemand. Vi betaler i øvrigt fuld markedspris for vore paller.Rabatten på vort pallekøb skal vi have via det overskud, som OstedSavværk efterhånden må skabe under sin nye ejer og sin nye direktør,Arne Erichsen.

Arne Erichsen har med stor omhu udarbejdet forkalkuler for samtligepalletyper, der produceres. Der er hidtil ikke foretaget nogen efterkalkuler, hverken totalt eller stikprøvevis. Jeg har dog for nylig - for enkelte palletyper - kontrolleret følgende:

• antal anvendt meter bræddetræ

• antal anvendte søm

• antal anvendt meter klodsetræ

• arbejdsminutter

• materiale- og arbejdsspildtid

Jeg har således kontrolleret den fulde forkalkule. Det så altsammenfornuftigt ud i forhold til forkalkulen, idet den samlede afvigelse i kroner var på under 3%. Ved beregningen af kostprisen på brædder ogklodser har Arne Erichsen til selve indkøbsprisen for råtræet omhyggeligt lagt kørsels- og andre indkøbsomkostninger.

På basis af oplysninger fra den tidligere ejer og efter eget skøn regnerArne Erichsen med, at svindet fra råtræ til klodser andrager 35%. Dettetal er for nylig blevet anset for rimeligt og sandsynligt af TrætekniskAfd., Teknologisk Institut. Det ser jeg derfor ingen anledning til atkontrollere yderligere.

Jeg må således konkludere, at kostprisen for brædder og klodser er rimeligt kalkuleret.

Med venlig hilsen

Holger Madsen

24

Page 23: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kort redegørelse for produktionsgangen på Osted Savværk A/S

1. Arne Erichsen indkøber råtræet fra skovene omkring Osted. Det drejer sig

om gran (ca. 90%) og blandet løv (poppel, bøg, eg, birk Ca. 10%).

2. Råtræet leveres fra skovene pr. lastbil og losses ind på savværkets råvarela

ger ved hjælp af en gaffeltruck.

3. Stammerne er Ca. 3 meter lange, og diameteren varierer fra 11-33 cm.

4. Af grantræet fremstilles pallebrædderne i følgende proces

• Råtræet afkortes på en afkorter til ønsket slutlængde

• Råtræet opskæres til ønsket slutdimension i bredden. Samtidig afbarkes

det

• Det således fremstillede tilskæres derefter i en multisav i ønsket sluttyk

kelse

• Det monteringsfærdige bræt bringes til et pallesamlingssted

5. Af løvtræet fremstilles primært palleklodserne på i almindelighed 3x3x4

tommer.

Det sker efter samme proces som for bræddernes vedkommende.

6. På pallesamlingsstedet samles brædder og klodser i en sømmemaskine til

færdige paller.

7. Transport fra råvarelager til afkorter sker på gaffeltruck. Der er næsten

ingen transport mellem de enkelte maskiner, fordi de - meget rationelt - er

opstillet lige efter hinanden. Transport af brædder og klodser til pallesam

lingsstederne sker dog på gaffeltruck. Det samme gælder transporten fra

pallesamlingsstedet til færdigvarelager.

25

Page 24: Teknisk økonomi Opgave Bog

Skitsemæssigt resultatbudget for Osted Savværk AISLån efter Super-Danias overtagelse år l/l-l9xx i 1.000 kr.

Nettoomsætning 1.000 kr. 1.000 kr.

Super-Dania 6.000

Andre palle-købere 4.000 10.000

Materialeforbrug 3.000

Arbejdsløn ( 7.500

DB 2.500

Gager, dir. + formand 600

Gager, kontorpersonale 250

Kontorartikler 200

Telefonomkostninger 300

Rejser- og repræsentation 200

Transport og forsendelse 100

Afskrivninger, maskiner 300

Afskrivninger, inventar 200 2.150

Ordinært overskud før renter 350

Renter 200

Resultat før skat 150

Beregnet skat 75

Nettoresultat 75

Bemærkninger til budgettet:

1. Budgettet er udarbejdet af Arne Erichsen og Holger Madsen i fællesskab sombaggrund for købet af savværket.

2. Budgettet forudsætter en fuldstændig omlægning af savværket til palleproduktion.

3. Hidtil har savværket kun produceret paller for 2 mio. kr. pr. år, hvoraf den enemio. har været til Super-Dania.

4. Arne Erichsen og Holger Madsen har brugt 112 dag til inspektion af Osted Savværk inden overtagelsen. Konklusionen var, at maskiner og bygninger var temmelig gamle, men fortsat brugbare.

26

Page 25: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål

1. Udarbejd en SWOT analyse og i forlængelse heraf en idé for Osted Sav

værk.

2. Udarbejd en karakteristik af Osted Savværk AIS’s situation ud fra AKF

modellen.

3. Hvilke konsekvenser giver resultatet af spørgsmål 2 anledning til?

Opgave 2.16— Skovby Omnibus

Skovby Omnibus (SO) er en mellemstor vognmandsforretning, der varetager passa

gertransport. Der udføres såvel offentlig rutetrafik (faste busruter) som chartertrafik

(turistkørsel mv.). SO er beliggende i Skovby i Storstrøms Amt.

SO blev grundlagt i 1922. Virksomheden er i dag et personligt ansvarligt selskab,

der ejes og ledes af direktør B. Hjul. Han er formand for den lokale sammenslutning

af vognmænd i amtet og desuden medlem af Centralforeningen af Rutebilejere i

Danmark. Hjul er her bla. medlem af forhandlingsudvalget, der forhandler kontrak

ter med Amtsrådsforeningen.

SO råder over i alt 13 busser, der består af følgende:

• 8 rene rutevogne på gule nummerplader

• 2 moderne turistvogne på hvide plader

• 3 kombinerede busser på hvide plader, der kan anvendes til både rute- og turist-

kørsel.

Tidligere kunne man tilpasse ruteme efter efterspørgslen. Efter oprettelsen af Am

tets Trafikselskab er alt styret af kontrakter og reguleringer. Der er således ingen

effektiv konkurrence. Hver vognmand får tildelt sit område, som ingen andre får

koncession på. Alle billetindtægteme går til amtet. Til gengæld får man en fast beta

ling, uanset om der kommer mange eller ingen passagerer. Dette er fastlagt i

standardkontrakten med amtet. Kontrakten gælder for en 5-årsperiode, (se bilag 1).

Lønningerne forhandles centralt med Chaufførernes Fagforbund. Husleje og renter

m.m. er faste. Det er snart kun brændstof og værkstedsonikostningerne, som er vari

able. Og nu skal kommunerne jo spare, og det går ud over skolernes samt de andre

institutioners udflugtsbudgetter. Busserne må i dag køre uden pauser, helst 15-20

timer i døgnet. I forlængelse heraf kan der på et døgn godt arbejde 8 forskellige

chauffører.

27

Page 26: Teknisk økonomi Opgave Bog

Til trods for disse administrative problemer er der kun ansat 2 damer i administrationen. B. Hjul varetager selv en stor del af driftsplanlægningen.

SO varetager selv de fleste reparations- og vedligeholdelsesarbejder på busserne.Reparations- og vedligeholdelsesomkostningerne er stigende, bla. på grund af øgede reservedelspriser og lønninger.

SO skal i Centralforeningen om kort tid forhandle en ny 5-års-kontrakt med Amtsrådsforeningen. Dette kan måske give os nogle forbedringer i økonomien. Efter dengamle kontrakt blev brændstoffet reguleret efter engrosprisindekset. Dette skal ihvert fald ændres.

Værksted/vedligehold

Alle reparationer og al vedligeholdelse foregår (som kutymen er i branchen) påvirksomhedens eget værksted. Der er en værkfører og to tilknyttede mekanikere.Hovedvægten lægges på forebyggende vedligeholdelse. Der er stor forskel på deenkelte selskabers evne til at forvalte disse omkostninger. Der er selskaber, som harlavere omkostninger pr. bus set i forhold til SO.

Rengøring

Al rengøring foregår om natten og i de tidlige morgentimer. Samtlige busser rengøres hver nat. Arbejdet skal være færdigt, inden der køres fra garagen mellem kl.05.00 og 06.00. Samtidig påfyldes brændstof.

Planlægning

B. Hjul har deltaget i Amtsrådsforeningens kurser om planlægning og normtal. Hankender branchens gennemsnitlige omkostninger

• pr. bus

• pr. kørt kilometer

• pr. driftstime

Konkurrenceforhold

I sit område har SO “monopol’. Men det betyder ikke, at der er fri bane til at tjenepenge. Amtsrådsforeningen er en dygtig modpart i forhandlingerne og “spiller deenkelte rutebilselskaber ud mod hinanden” ved hele tiden at referere til en, der erbilligere. På turistvognskørsel er konkurrencen hård.

28

Page 27: Teknisk økonomi Opgave Bog

Ruteplanlægning

Ruteplanlægningen er i dag rent manuel. Der planlægges ud fra de enkelte ruter og

udnyttelse af busserne. Chaufførerne kommer ind i anden runde, selv om udnyttel

sen af disse kan blive lav. De mange hviletidsbestemmelser, 11-timers-reglen mm.

samt lokale regler om skifteholdsarbejde gør det ikke nemmere. Der er mange spild-

timer.

Spørgsmål

1. Opstil en interessentanalyse og skitser de forskellige interessenters overvejelser i

forbindelse med forhandlingerne til en ny rammekontrakt med Amtsrådsforenin

gen.

2. Med udgangspunkt i virksomhedsbeskrivelsen skal der gives en karakteristik af

virksomhedens situation ud fra AKF — modellen.

3. Hvilke konsekvenser giver resultatet af spørgsmål 2 anledning til?

29

Page 28: Teknisk økonomi Opgave Bog

Bilag i — Skovby Omnibus

Standardkontrakt med AmtsrådsforeningenAlle aftaler med de enkelte amtskommuner om rutebilkØrsel bliver styret af en fælles ranimekontrakt, indgået mellem Centralforeningen af Rutebilejere i Danmark ogAmtsrådsforeningen.

I kontrakten fastlægges, hvilke faktorer der kan give basis for refusion af omkostninger, samt hvorledes disse refusioner reguleres, hvis der sker udviklinger i prisniveauet.

Følgende faktorer indgår i dag i rammekontrakten:

1. Antal busser, den enkelte vognmand skal have til disposition for at afvikle den aftalte busdrift

2. Antal kilometer, der skal køres om året

3. Antal timer, der skal afvikles om året

4. Specielle forhold, der kan give ekstra afregning

De lokale aftaler forhandles dels på basis af “normtal” udarbejdet af Amtsrådsforeningen dels på basis af den enkelte vognmands egne tal. Den løbende afregningsker ud fra basispriser for bla. antal busser og antal sæder pr. bus.

De enkelte “basispriser” pristalsreguleres derefter ifølge bestemmelser i kontrakten,der er fælles for alle, og de kan ikke afviges. Reguleringen sker på basis af kendte,“neutrale” indeks, f.eks. forbrugerindeks, lØnindeks m.m. For de fleste punkter udarbejdes et vægtet indeks, baseret på et gennemsnit af flere af disse officielle indeksudarbejdet af Danmarks Statistik.

Den sidste rammekontrakt har været gældende for perioden 1988-1992.

30

//

Page 29: Teknisk økonomi Opgave Bog

KAPITEL 3

Likviditet og rentabilitet

Enhver virksomhed har to basale opgaver i relation til dens Økonomistyring.

Det er vigtigt at:

1. Sikre rentabiliteten, i form af lønsomhed og indtjening.

2. Styre likviditeten, dvs, virksomhedens evne til at “svare enhver sit” i den

rækkefølge, hvori betalingsforpligtelserne forfalder.

Den finansielle styring indgår som en del af virksomhedens samlede styring og

bør derfor gå hånd i hånd med aktivitets- og kapacitetsstyringen.

Rentabiliteten måles bla. ud fra virksomhedens evne til at generere omsætning på

baggrund af de aktiver, den har valgt at placere sine midler i. Jo større omsætning

man kan skabe fra år til år med de samme maskiner desto bedre er udgangspunk

tet for at forbedre lønsomheden. Dette forhold benævnes i reglen virksomhedens

kapitaltilpasning, der bla. måles gennem nøgletallet aktivernes omsætningsha

stighed. Men kapitaltilpasningen kan ikke stå alene når rentabiliteten vurderes.

Hvad nytter det, at virksomheden kan skabe omsætning, hvis den ikke samtidig

kan generere et fornuftigt overskud? Til at vurdere dette anvendes bla. nøgletal

let overskudsgrad, der således viser, hvor god virksomheden er til at skabe over

skud på baggrund af dens omsætning. Jo bedre den er i stand til at styre sine om

kostninger desto større et overskud kan der hjemtages. I regnskabsanalysen be

nævnes dette forhold i reglen indtægts-/omkostnings tilpasningen.

Man kan således sige at indtægts-/omkostningstilpasningen er relateret til virk

somhedens drift eller resultatopgorelse, mens kapitaltilpasningen er relateret til

virksomhedens middelanvendelse, dvs, aktiverne i balancen. Dette forhold kom

mer bla. til udtryk i Du Pont Pyramidens to grene repræsenteret via nøgletallene

overskudsgrad og aktivernes omsætningshastighed. Passiverne er repræsenteret

ved virksomhedens evne til at forrente fremmed- og egenkapital.

31

Page 30: Teknisk økonomi Opgave Bog

I tilknytning hertil kan der således udledes en lang række nØgletal, der i mere eller mindre grad forfiner den samlede vurdering af virksomhedens rentabilitet.

Rentabilitetsaiialyse

Regnskabsanalyse

Kapitaleiis Aflastningsgradforre,,tni,ij

Relaterede nØgletal:

Egenkapitalensfor. Overskudsgrad Aktivernes

: Fremmedkap.for. omsætningshastighed

Indtægts—/omkostnings Kapitaltilpasiiiiigeii

tilpasningen

Figur 3.1

Likviditet

Likviditetsbeskrivel- Soliditet &

L likviditet

Relaterede Relaterede

nøgletal: nøgletal:

• Beholdnings- Soliditetsgradforskydning

• CulTent ratio• Ind- og udbe- I Quick ration

taling I• Pengestrøms

analyse

Heroverfor står likviditetsslyringen, der stiller krav til den administrative overvågning af virksomhedens likvider, og som har til formål at sikre, at der er tilstrækkelig likviditet. En virksomhed, der ikke kan svare enhver sit, kan begæreskonkurs. En virksomhed, der ikke har tilstrækkeligt likvidt beredskab, kan ikkeudnytte de muligheder, der eksisterer i omverden osv. Virksomhedens finansielleberedskab skal på den ene side være stærkt nok til at modstå omverdens ydrekrav, men må på den anden side ikke være så stort, at likvide midler ligger maktive hen. Uanset om der er få eller for mange likvide midler, er det udtryk for dår

32

Relaterede nøgletal:

• Dækningsgrad

• Indekstal for omkostninger. og omsætning

• Kapacitetetsgrad

• Nulpunktsomsætning

• Sikkerhedsmargin

Relaterede nøgletal:

• Anlægsaktivernes oms.h.

• Varelagrenes oms.h.

• Varedebitorernes oms.h.

• Varekreditorernes oms.h.

Page 31: Teknisk økonomi Opgave Bog

lig likviditetsstyring. Virksomhedens evne til at modstå tab, dvs, dens soliditet,

måles bla. gennem nØgletallet soliditetsgrad. Likviditetens udvikling over tid

vurderes via en række forskellige beskrivelsesmodeller, hvor vi her koncentrerer

os om beholdningsforskydningsmodellen samt ind- og udbetalingsmodellen.

ccigave3.1

Hvor i består forskellen mellem “shareholders” og “stakeholders”, og hvorledes

har disse indflydelse på virksomhedens målsætning og adfærd?

Opgave 3.2

1. Redegør for, hvad en rentabilitets- og likviditetsanalyse kan anvendes til.

2. Hvorledes passer en vurdering af virksomhedens fremtidige konkurrence-

evne ind i denne sammenhæng?

3. Hvilke informationskilder kan fortælle noget om virksomhedens fremtidi

ge konkurrenceevne?

Opgave 3.3

1. Redegør for, hvilke interessenter, der kan have interesse i virksomhedens

regnskabsaflæggelse?

2. Giv en vurdering af, hvilke motiver der kan ligge bag deres Ønske om

regnskabsaflæggelsen.

pgave 3.4k

1. Hvilke hovedelementer indgår i et årsregnskab?

2. Indgår de samme elementer i et årsregnskab for en service-, produktions

og handeisvirksomhed?

33

Page 32: Teknisk økonomi Opgave Bog

(Opgave 3.5

‘1. Hvori består forskellen mellem et årsregnskab og et budget?

2. Hvilken tidsmæssig periode knytter sig til en resultatopgØrelse?

3. Hvilken tidsmæssig periode knytter sig til en balance?

Opgav36

1. Hvilke hovedposter indgår i en resultatopgørelse?

2. Hvilke hovedelementer indgår i en balance?

3. Hvad sker der med resultatopgørelsens overskud ved regnskabsperiodensafslutning?

(Opgave 3.

1. Hvad forstås ved indtægts-/omkostningstilpasning?

2. Hvad forstås ved kapitaltilpasningen?

3. Hvad forstås ved rentabilitet?

4. Hvorfor indgår kapitalens forrentning i en rentabilitets analyse?

5. Hvad forstås ved soliditet?

( Opgave 3

1. Opstil Du Pont Pyramiden

2. Hvad repræsenterer hver af Du Pont Pyramidens to “grene”?

3. Hvorledes kan afkastningsgraden tolkes, og hvad kan den anvendes til?

4. Hvilken yderligere information opstår ved at anvende aktivernes omsætningshastighed og overskudsgraden, frem for kun at anvende afkastningsgraden?

5. Redegør for, hvorledes Øvrige nØgletal med relevans for rentabiliteten kantolkes.

6. Hvor mange år skal medtages for at give et fornuftigt billede af virksomheden?

34

Page 33: Teknisk økonomi Opgave Bog

7. Hvorfor er det vigtigt at se analysen af virksomheden over en årrække?

8. Kan nøgletal anvendes til at vurdere virksomheder på tværs af brancher?

Opgave 3.9

Rentabilitet

Virksomheden Novo Pharma AIS står over for følgende nøgletal:

År2 År3

16,6 19,4

8,4 6,5

1,98 2,98

Åri

Afkastningsrad i pct.: 14,4

Overskudsgrad i pct.: 9,5

Aktivernes oms.h 1,52

1. Vurder virksomhedens rentabilitet ud fra afkastningsgraden? ( ‘e

2. Vurder dernæst virksomhedens rentabilitet ud fra en samlet vurdering af

de tre nøgletal og giv en vurdering af virksomhedens situation.

3. Er der behov for yderligere nøgletal og i så fald hvilke?

Opgave 3.10

Virksomheden Alfa AIS står over for følgende nøgletal:

t

Åri År2 År3 År4 År5

Egenkapitalens forrentning i pct.: 15,7 20,1 23,0 24,6 25,6

Fremmedkapitalens forrentning i pct.: 5,3 4,7 3,9 3,2 2,1

1. Kan virksomhedens ejere være tilfredse med forrentningen af egenkapita

len?

2. Såfremt årets resultat har været faldende over perioden, hvad betyder det

da for egenkapitalen?

3. Fremmedkapitalens forrentning (finansielle omkostningerlgæld) er falden

de over perioden — er dette positivt eller negativt for virksomheden?

Opgave 3.11

1. Hvad udtrykker soliditetsgraden?

2. Indgår varelageret i current ratio?

År4 År5

20,8 21,3

5,7 5,1

3,65 4,18

35

Page 34: Teknisk økonomi Opgave Bog

3. Hvad udtrykker quick ratio?

4. Hvor stor skal værdien af current og quick ratio være før, der er tale om envirksomhed med likvide problemer?

5. Der stilles stØrre krav til stØrrelsen på current ration end til quick ratio,hvorfor?

6. Hvad udtrykker likvidernes omsætningshastighed?

Opgave 3.12

Virksomheden Roventa A/S står over for følgende nøgletal:

Åri År2 År3 År4 År5

Soliditetsgradipct.: 35,2 33,3 17,5 17,1 15,3

Quick ratio: 0,88 0,88 0,58 0,58 0,51

Currentratio: 1,52 1,54 1,19 1,18- 1,14

1. Såfremt du havde mulighed for at låne virksomheden penge, ville du dagøre dette?

2. Hvad kan forklare, at såvel quick ratio som current ration er faldende i perioden?

Opgave 3.13

Redegør for hvad der forstås ved:

1. At være likvid

2. Likvide midler

3. Den likvide beholdning

4. Indtægt og udgift

5. Indbetaling og udbetaling

Opgave 3.14

1. Redegør for forskellige aspekter, der gør det relevant at gennemføre likviditetsstyring.

2. Er det godt at have rigelig likviditet?

36

Page 35: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 3.15

Virksomheden Dandex AIS lægger vægt på følgende delmål i forbindelse med

likviditetsstryingen:

• At skabe overblik

• At forstå sammenhængen mellem drift og likviditet (fra handling til beta-

ling)

• At skabe information, der kan handles efter

Man er for nylig blevet præsenteret for følgende likviditetsbudget for et af virk

somhedens produkter, angivet i 10.000 1cr.:

Åri

Dritsindbetalinger:

flrFiAht1rir 187kr.

Likviditetsbidrag: 11 kr.

1. Diskuter Dandex AIS delmålsætninger i relation til det angivne likviditets

budget.

Direktøren har bedt om yderligere specifikation og har på denne baggrund mod

taget følgende likviditetsbudget fordelt på måneder:

i fmamj a s o n d ialt

2. Diskuter Dandex AlS delmålsætninger i forhold til likviditetsbudget.

3. Direktøren overvejer at bede om en kassekredit i den lokale bank. Hvor

stor skal denne kassekredit være, og hvor lang tid skal den som minimum

løbe over?

4. Banken har bedt om yderligere specifikation på art eller enkeltdispositio

ner — er dette relevant?

198 1cr.

Driftsinbetalinger 12 13 15 16 19 19 21 19 18 16 16 14 198

Driftsudbetalinger 17 17 19 171 17 15 14 13 13 14 16 15 187

Likviditetsbidrag -5 -4 -4 1L2 4 7 6 5 2 0 -1 11

Akkumuleret likviditetsbidrag -5 -9k-13 - 14- 1 2 -8 -l 5 10 12 12 1 l 11

37

Page 36: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 3.16

Diskuter forskellen på et kasseregnskab, ind- og udbetalingsmetoden samt beholdningsforskydningsmetoden.

Opgave 3.17

Amartas A/S er en stor multinational produktionsvirksomhed.

1. Diskuter virksomhedens muligheder for at gennemføre likviditetsbeskrivelse i forhold til en stadehandlers meget lille virksomhed

• der ikke har nævneværdige investeringer i anlæg eller lagre

• der hverken yder eller modtager kredit

• hvis udbetalinger og indbetalinger sker med meget lille tidsforskydning

Opgave 3.18

1. Redegør for, om der i forbindelse med driftens likviditetsbidrag bør tagesudgangspunkt i indtjeningsbidraget, dækningsbidraget eller virksomhedens resultat ved brug af beholdningsforskydningsmetoden.

2. Redegør for, hvorledes afskrivninger påvirker driftens likviditetsbidrag.

3. Opstil den generelle model til brug ved beholdningsforskydningsmetoden.

Opgave 3.19

Surtsey Vandpumper A/S er i færd med at udvikle en ny model af deres vandpumper til det asiatiske marked. Den japanske leverandør har for de næste 5 kvartaler, samt indeværende kvartal, leveret en række oplysninger om forventet salg.På denne baggrund har Amartas A/S opstillet følgende budget angivet i kr. medhenblik på fastlæggelse af likviditeten. Tallene for de enkelte kvartaler er angivetultimo.

38

Page 37: Teknisk økonomi Opgave Bog

År 1 Ar i År 1 År 2 År 2 År 2

2. Kvart 3. Kvart 4. Kvart 1 Kvart 2. Kvart 3. Kvart

Omsætning 338.450 350.000 260.000 400.000 500.000 2.000.000

—Variable omkostninger 116.040 120.000 91.000 156.000 210.000 820.000

= Dækningsbidrag 222.410 230.000 169.000 244.000 290.000 1.180.000

—Kontante kapacitets

omkostninger 48.350 50.000 55.000 53.000 58.300 64.130

=Indtjeningsbidrag 174.060 180.000 114.000 191.000 231.700 1.115.870

-Afskrivninger 58.020 60.000 73.800 90.774 111.652 137.332

= Resultat før skat 116.040 120.000 40.200 100.226 120.048 978.538

Varelagre 35.827 89.900 67.980 30.000 700.980 200.870

Debitorer 68.000 50.090 46.000 78.987 68.000 350.089

Kreditorer 120.000 89.000 250.080 63.000 120.000 260.870

1. Bestem, med udgangspunkt i tabellens oplysninger og ved hjælp af be

holdningsforskydningsmetoden, driftens akkumulerede likviditetsbidrag

for 3. kvartal år 1 til og med 3. kvartal år 2.

2. Såfremt der er behov for en kassekredit, hvor stor skal denne da være?

Opgave 3.20

Hvis virksomhedens aktier handles på børsen, opstår en naturlig interesse for at

vurdere virksomhedens indtjening og værdi i forhold til kursen på aktierne.

1. Redegør for, hvad der forstås ved: Årets resultat/antal aktier

2. Redegør for, hvad der forstås ved nøgletallet Price/earning.

3. Redegør for, hvad der forstås ved den indre værdipr. aktie.

4. Redegør for, hvad der forstås ved nøgletallet: Kurs/indre værdi.

39

Page 38: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 3.21

Virksomheden EGTOFTE AIS har over en 3 års periode opnået de neden for viste resultater. Analyser regnskaberne og vurder virksomhedens udvikling.

Driftsresultat

19X5 19X6 19X7Bruttosalg 97.900 95.135 102.300Rabatter 2.024 42.36 5.330Nettosalg 95.876 90.899 96.970Vareforbrug 48.691 44.924 48.600Arbejdsløn 13.349 14.198 15.500Produktomkostninger 62.040 59.122 64.100Bruttoavance 33.836 31.777 32.870Produktionsomkostninger 10.345 6.487 7.100Handelsomkostninger 13.876 17.112 21.000Administration 1.987 2.201 2.500Fællesomkostninger 26.208 25.800 30.600Driftsresultat 7.628 5.977 2.270Afskrivninger 1.145 1.102 0

Før renter 6.483 4.875 2.270Renter 3.145 3.369 3.600Resultat før skat 3.338 1.505 —1.330Skat 1.669 753 0

40

Page 39: Teknisk økonomi Opgave Bog

Balance

Aktiver

19X5 19X6 19X7

Kasse mm. 250 222 2OO

Debitorer 15.698 22.234 25.000 (2

Andre tilgodehavender 976 505 1.000 (2

Varelager 32.345 42.426 48.600

Omsætnings aktiver 49.269 65.387 74.800

Værdipapirer 2.569 678 O’

Driftsmidler 6.787 5.957 (4

Ejendomme 8.703 8.690 8.690

Aktiverialt 67.328 80.712 89.447

Passiver

Bankgæld mm. 28.765 30.869 42.850 ‘

Varekreditorer 8.564 9.856 9.000

Andre kreditorer 12.932 21.933 21.000 (5

Skyldig skat og moms 1.065 1.598 1.800 (6

Kortfrist. gæld 51.326 64.283 74.650

Prioritetsgæld 6.329 6.043 5.741 (7

AIS kapital 2.000 2.000 2.000

Friereserver 7.633 8.386 7.056(8

Passiver i alt 67.328 80.712 89.447

Noter:

1) Pga. af den forværrede situation og det stadig stigende lager, har det været

nødvendigt at tære på kassen, sælge værdipapirer og øge bankgælden

2) Debitorernes omsætningshastighed ventes at stige

3) Varelagerets omsætningshastighed ventes at falde yderligere

4) Ingen salg/anskaffelser. Ingen afskrivning

5) Kreditoreme ventes at ville stramme kreditpolitikken

6) Stiger pga. af stigning i omsætning

7) Prioritetsgælden skal stadig afdrages

8) De frie reserver falder

41

Page 40: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 3.22

Virksomheden FLUXUS er i fuld gang med at planlægge aktiviteterne for næsteår, og har (som udgangspunkt for planlægningen) opstillet et foreløbigt regnskabfor indeværende år:

Man har i ledelsen diskuteret flere alternative tiltag for det kommende år og ønsker nu at få foretaget en nærmere økonomisk analyse af de mulige konsekvenseraf de forskellige forslag (se de følgende tre forslag).

Foreløbig resultatopgørelse for indeværende år (i 1.000 kr.)

Eksportmarkedet Hjemmemarkedet I alt

Omsætning 175.000 56.000 231.000

- Variable omkostninger

Materialeomkostninger 56.000 14.000

Lønomkostninger 84.000 140.000 21.000 35.000 175.000

Dækningsbidrag 35.000 21.000 56.000

Markedsføringsomkostninger 16.800 5.600 22.400

Markedsføringsbidrag 18.200 15.400 33.600

Kontante kapacitetsomkost

ninger 25.200

Indtjeningsbidrag 8.400

Afskrivninger 875

Resultat før renter 7.525

Renteomkostninger, netto 1.750

Årets resultat 5.775

42

Page 41: Teknisk økonomi Opgave Bog

Foreløbig balance pr. 31.12. indeværende år

Aktiver Passiver

Anlægsaktiver Egenkapital

Ejendom 19.075 Saldopr. 1.1.2003 21.700

Maskiner 4.200 + Årets resultat 5.775

Omsætningsaktiver Saldo pr. 31.12. 2003 27.475

Varelager i alt 17.500

Varedebitorer, eksport 21.875 Gæld

Varedebitorer, hjemme

Markedet 5.600 Langfristet gæld

Likvide beholdninger 1.400 Kreditforeningslån 4.865

Kortfristet gæld

Kassekredit 9.310

LeverandØrgæld 28.000

Gældialt 42.175

Aktiver i alt 69.650 Passiver i alt 69.650

Forslag]

Eksportsælgerne har foreslået, at man sænker priserne på eksportmarkedet med

5% i gennemsnit. Man har vurderet priselasticiteten på eksportmarkedet til at væ

re —2 under forudsætning af, at man ikke iværksætter andre tiltag på eksportmar

kedet.

Forslag 2

Sælgerne på hjemmemarkedet mener, at man gør alt for lidt ud af markedsførin

gen. De er overbeviste om, at en øgning af markedsføringsomkostningerne med

25% vil resultere i en forøgelse af den solgte mængde på 20%.

Forslag 3

Eksportsælgerne har også et andet forslag til forøgelse af eksportsalget. De kan

berette, at konkurrenterne giver bedre kreditbetingelser. De foreslår derfor, at

kredittiden øges fra 45 til 60 dage, hvilket de regner med, vil øge salget med 7%.

43

Page 42: Teknisk økonomi Opgave Bog

Den forøgede likviditetsbinding forventes finansieret via kassekreditten, hvor derbetales 10% p.a. i renter.

Spørgsmål]

Vurder hver af de tre forslag ud fra en økonomisk synsvinkel.

Uanset resultatet af vurderingen i spørgsmål i beslutter ledelsen sig for at:

• Fastholde priserne på eksportmarkedet

• øge markedsføringsomkostningerne på hjenmiemarkedet med 25%

• øge kredittiden på eksportmarkedet fra 45 til 60 dage

Ud over disse tiltag har man følgende forventninger til det kommende år:

• De kontante kapacitetsomkostninger forbliver uændrede

• Maskinerne afskrives med 30%

• Renteomkostningerne forventes at stige til 1.925.000 kr.

• Afdrag på kreditforeningslån næste år på 140.000 kr.

• I øvrigt forventer man uændrede omsætningshastigheder på varelager, varedebitorer hjemmemarkedet samt på leverandører

Spørgsmål 2

Udarbejd et resultatbudget for det kommende år.

Spørgsmål 3

Opstil likviditetsbudgettet pr. 31.12. det kommende år.

Opgave 3.23

En virksomhed overvejer at påbegynde produktion af et nyt produkt. Man harderfor foretaget en række undersøgelser af afsætningsmulighederne og hvilkeomkostninger, der kan forventes at opstå i forbindelse med den nye produktion.

Virksomheden har tilstrækkelig kapacitet til at kunne klare den øgede produktion,men må dog regne med at ansætte yderligere medarbejdere. Man forventer, atlønomkostningerne vil øge med 20.000 kr. pr. måned.

Det forventes, at man det første år vil kunne afsætte 12.000 stk. af det nye produkt til en pris på kr. 100,- pr. stk.

44

Page 43: Teknisk økonomi Opgave Bog

Salget er noget ujævnt fordelt over året. Man regner med, at det vil fordele sig

med 15%, 25%, 35% og 25% pr. kvartal. Prognosen for første kvartal det efter

følgende år lyder på, at man vil kunne sælge 3.000 stk. Salget inden for den en

kelte kvartal antages at fordele sig ligeligt på de tre måneder.

Fra virksomhedens øvrige aktiviteter har man et ret godt billede af, hvordan kun

derne plejer at betale. Man mener, at dette betalingsmønster også vil gælde for det

nye produkt. 30% af salget foregår normalt som kontantsalg, 30% sælges med i

måneds kredit, 25% med 2 måneders kredit, mens de sidste 15% først kommer

hjem efter 3 måneder.

Omkostningerne til produktionen udgøres af materialer og løn. Der skal bruges

for 30,- kr. til råvarer pr. stk. færdigvare. Ved køb af råvarer betales halvdelen

kontant og resten efter 2 måneder. For at sikre et jævnt forløb i produktionen an

ses det for nødvendigt hele tiden at have et råvarelager, der svarer til de to kom

mende måneders forventede salg.

Produktionen planlægges at starte 1.1 .200x. Ultimo år 200x-1 indkøbes råvarer til

de to første måneders forventede salg.

Før man træffer den endelige beslutning om at starte den nye produktion, har

virksomhedens ledelse ønsket at danne sig et overblik over de likviditetsmæssige

konsekvenser af den nye produktion.

Du bedes opstille et kvartalsopdelt likviditetsbudget for 200x og beregne den lø

bende akkumulerede likviditetspåvirkning.

45

Page 44: Teknisk økonomi Opgave Bog
Page 45: Teknisk økonomi Opgave Bog

KAPITEL 4

Efterspørgsel og markedsformer

Prisafsætningsfunktion

Prisafsætningsfunktionen er helt afgørende i erhvervsØkonomien. Hvorledes pris

afsætningsfunktionen fastlægges, og hvordan den indgår i en større sammenhæng

er derfor vigtigt at forstå. Til prisafsætningsfunktionen knytter sig en række be

greber, der ud over forståelse for denne, også gør det muligt at fastlægge funktio

nens udseende og placering i planet.

Det gælder især elasticiteter, der fortæller, hvorledes mængden ændres, når der

ændres i f.eks. pris, indkomst, population mv. Når prisafsætningsfunktionen først

er fastlagt kan TR og MR udledes. P, MR og TR repræsenterer således efter

spørgselssiden i optimeringensmetoderne: Total-, marginal- og gennemsnitsme

toden.

Prisafsætningsfunktionen gælder for den enkelte virksomhed og er bla. betinget

af den konkunenceform, der gør sig gældende på det marked virksomheden be

finder sig på.

Det er endnu for tidligt at kunne anvende optimeringsmetoderne og dermed finde

optimaiog P. Det lader sig først gøre, når omkostninger (i form af bla. TVC,

MC og AVC) kendes, og dermed kan sammenstilles med TR, MR og P.

47

Page 46: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 4.1 — Fastlæggelse af prisafsætningsfunktionen.

For hver af følgende sæt af oplysninger ønskes afsætningsfunktionen fastlagt,matematisk og grafisk:

1. (P,Q) = (14,3) & (6,15)

2. (P,Q)=(12,5)&ep(P=8)=—l

3. (P,Q)=(9, 8)&ep(P=3)=—0,25

4. (P,Q)=(l0,4) &ep(Q=6)=—l

5. (P,Q)=(8,5)&ep(Q=2,5)=—5

6. (P,Q)=(8,2)&a=—2

7. ep(P = 9) = —9 & ep(P = 2) = —0,25

8. ep(P = 8) = —4 & ep(Q = 12) = 0,25

9. ep(P = 6) = 3 & x = —1/3

10. ep(Q=3)=—3&ep(Q=9)=—113

11. ep(Q =6) = 3 & O( = 0,25

12. cL=—0,5&oe=—0,5

Opgave 4.2 — Individ, marked og virksomhed.

1. Redegør for, hvad der forstås ved en “alt andet lige” forudsætning.

2. Redegør for de indbyrdes sammenhænge mellem individernes efterspørgseisfunktioner, markedets samlede efterspørgsel og virksomhedens prisafsætningsfunktionen.

3. Redegør for, hvilke parametre der indgår i “alt andet lige” forudsætningenved bestemmelse af:

• Individets efterspørgselskurve

• Markedets samlede efterspørgselskurve

• Virksomhedens prisafsætningsfunktion

4. Hvilke forhold betinger prisafsætningsfunktionens udseende?

: Giver det mening at tale om virksomhedens indkomstafsætningsfunktion?

48

Page 47: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 4.3 — Typer af varer

1. Redegør for, hvad der forstås ved følgende typer af goder, og kom med

eksempler på produkter, du mener, der passer til hver af kategorierne:

• Langvarige og kortvarige goder

• Normale goder og inferiøre goder

• Komplementære varer og substituerende produkter

• Luksus varer og nødvendighedsvarer

• Priselastiske og prisuelastiske goder

• Giffengoder

2. Hvilke variable i form af pris, indkomst mv. kan typisk knyttes til de for

skellige typer af goder?

3. Hvorfor er det subjektivt om en vare klassificeres som for eksempel en

luksusvare eller en nødvendighedsvare?

Opgave 4.4 — Bevægelser i funktioner som følge af alt andet lige

1. Under forudsætning af “alt andet lige”, hvor prisen er den uafhængige va

riabel, hvorledes vil markedets samlede efterspørgsel da påvirkes ved æn

dringer i prisen?

2. Antag “alt andet lige”, hvor prisen er den uafhængige variabel. Hvorledes

ændres markedets samlede efterspørgselsfunktion sig, hvis der sker et ni

veauskift i parameteren indkomst for et:

• Normalt gode

• Inferiørt gode

Opgave 4.5 — Elasticiteter

1. Hvad tror du, der menes med at elasticiteter er et “følsomhedsmål”?

2. Findes der kun én elasticitet?

3. Hvad forstås der ved, at elasticiteter er et relativt mål frem for et absolut

mål?

49

Page 48: Teknisk økonomi Opgave Bog

4. Er prisafsætningsfunktionen udtrykt som en ret linie et relativt mål eller etabsolut mål?

5. Opstil formien for priselasticiteten

6. Hvad betyder det for mængden hvis prisen sættes op med i pct., og der ertale om en priselasticitet på —2?

7. Hvad forstås der ved en punktpriselasticitet?

8. Hvad forstås der ved “Buepriselasticiteten” eller “Arc price elasticity”?

Opgave 4.6 — Elasticiteter

i. Opstil en generel formel for elasticiteter, hvor X udtrykker den uafhængige variabel, og hvor Q udtrykker den afhængige varibel

2. Lad på skift X i formlen herover udtrykke indkomst, reklame, population,prisen på varen og prisen på andre varer. Fortolk dernæst, hvad formiengenerelt udtrykker

3. Hvad betyder det for mængden, hvis reklameindsatsen øges med 10% ogreklameelasticiteten er 2,25

4. Indtegn en linie for henholdsvis E1 og der angiver styrken af elasticiteten, og indplacer herefter forskellige varetyper på akserne

5. Angiv priselasticitetens udvikling for en retliniet prisafsætningsfunktion

Opgave 4.7 — Punktpriselasticitet

Virksomheden Nova Pharma står overfor følgende afsætningsfunktion ved salg afdet samme produkt til hjemmemarkedet i Danmark og eksportmarkedet i Polen.

Q står for antal solgte enheder på årsbasis:

P=—0,5 . Q+30.000 ;0<Q<20.000

P = —0,25. Q + 25.000 ; 20.000 < Q < 100.000

i. Indtegn prisafsætningsfunktionen og angiv på denne, hvorledes Ep varierer ved gennemløb af definitionsintervallet

2. Hvad bliver priselasticitet, når prisen er 20.000?

50

Page 49: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 4.8 — Ep sammenhænge

Givet følgende prisafsætningsfunktioner for to marked, bedes du udlede prisela

sticiteten ved P = 10.000 og P = 20.000 for begge markeder (Q: antal stk. pr. år.):

P=—O,5Q+30.000 ;0<Q<60.000

P=—0,25 Q+30.000 ;0<Q<120.000

PPrøv at forklare sammenhængen i E ved hjælp af formien E

= —

Opgave 4.9 — Alt andet ulige

Direktør Kvistgård har fundet følgende efterspørgselssainmenhænge for salget af

Kvistgård Brændeovne i Danmark:

Qf (P, N, I, Pa, Ph, R, P0)

Den afhængige variabel er udtrykt ved:

• Q = efterspurgt mængde af Kvistgård Brændeovne pr. år.

De uafhængige variabel er udtrykt ved:

• P = prisen på Kvistgård Brændeovne

• N = Populationen

• I = disponibel indkomst

• Pa = prisen på konkurrentens produkt Avnø Brændeovne.

• = prisen på brænde

• P0 = prisen på olie

• R = reklameindsatsen i relation til Kvistgård Brændeovne.

1. Redegør for, hvorledes du tror, hver uafhængig variabel har indflydelse på

den efterspurgte mængde af Q.

Opgave 4.10— Prisafsætningsfunktion

Antag, at Kvistgård har estimeret følgende udtryk for salget af Kvistgård Bræn

deovne fundet ved lineær regressionsanalyse. Afhængige og uafhængige variable

svarer til variablene i foregående opgave:

Q = 40.000 — 1OP + 0,75N + 0,051 + 6Pa - 8Ph + 0,05R + 400P0

51

Page 50: Teknisk økonomi Opgave Bog

1. Angiv ændringen i antallet af efterspurgte Kvistgård Brændeovne pr. år

(Q) for hver gang en uafhængig variabel stiger med én enhed.

2. Udled værdien for Q, hvis den gennemsnitlige værdi for:

• P=8.000kr.stk.

• N = 250.000 personer i målgruppen

• I = 300.000 kr. pr. år

• Pa = 7000 kr. pr. stk.

• Ph = 1000 kr. pr. kubikmeter

• R = 500.000 kr. pr. år.

• P0 = 8 kr. pr. liter.

3. Udled prisafsætningsfunktionen og gengiv den grafisk under forudsætningaf “alt andet lige” for ovenstående værdier af de uafhængige variable

4. Tolk forløbet af afsætningsfunktionen og vurder hvor realistisk “alt andetlige” forudsætningen er

5. Udled fra Prisafsætningsfunktionen MR og TR.

6. Diskuter endvidere, hvad begreberne P, MR og TR kan anvendes til

Opgave 4.11 — Sammenhæng mellem P, MR, TR og E

00MR210Af5ætt104105

Figur 4.1

Skitser TR-kurvens forløb og forklar sammenhængen mellem pris-, marginal- ogtotalomsætningsfunktionerne (kom herunder ind på priselasticiteter).

52

Page 51: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 4.12 — MR som udtryk for tangenthældning

I grafen herunder ses TR funktionen udtrykt ved følgende funktion:

TR=—2Q2+l00Q ;0<Q<50

TR

Kr.l.400

00403’O_4’O 50

Figur 4.2

Ved følgende Q værdier fås følgende hældninger til tangenterne:

• Q10 =Tu=60

• Q=20 =T=20

• Q=25 =Tu=0

• Q=30 =T1=—20

• Q40 Tu=60

1. Indtegn parablen for TR på et stykke A4 papir og indtegn dernæst tangen

ter til de ovenfor angivne Q værdier på parablen. Angiv tangenthældninger

på de tangenter, du har indtegnet

2. Opstil et koordinatsystem umiddelbart under parablen for TR. Der

anvendes den samme Q akse, mens tangenthældningen udgør værdi aksen

3. Afsæt dernæst tangenthældningerne og de tilhørende Q værdier i det nye

koordinatsystem

4. Forbind punkterne og forsøg at finde et funktionsudtryk hertil

53

Page 52: Teknisk økonomi Opgave Bog

5. Differentier dernæst TR og sammenlign med den funktion du fandt underpunkt 5

6. Diskuter hvorvidt fremgangsmåden kan anvendes ved udledning af P

Opgave 4.13 — Prispolitik

Den voksende miljøbevidsthed resulterer bla. i mindre energikrævende hårdehvidevarer og andre elektriske apparater til brug i private husholdninger.

Diskuter hvilken konsekvens denne udvikling kan tænkes at få for NESA’s afsætningsfunktion og i forlængelse heraf, hvilke prispolitiske konsekvenser dette børfå for NESA.

Opgave 4.14 — Konkurrenceformer

Diskuter hvilken konkurrenceform følgende virksomheder arbejder under:

1. Bagerforretninger på Østerbro

2. Frisører på Frederiksberg

3. Renholdningsselskabet R98

4. TDC

5. Carlsberg

6. Hovedstadens Trafikselskab

7. International handel med korn

8. International godstransport med skib

Opgave 4.15 — Konkurrence og prisafsætningsfunktion

1. Diskuter, hvad der kendetegner konkurrencen på et marked med en megetflad prisafsætningsfunktion i forhold til en stejl prisafsætningsfunktion

2. Hvordan kommer dette til udtryk via E

3. Giv et bud på, hvad der kan forårsage ændringer i konkurrencevilkårene

54

Page 53: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 4.16 — Pris eller pararneterteori

Nedenstående viser en skematisk og principiel fremstilling af sammenhængene

mellem individ, marked og prisafsætningsfunktion.

Summen af alle individernes

eftersporgselskurve. udledt via

indferenskumrver

:liuuie.

T’irksomnhedens kan forholde sig passivt.

og “vente “ på atfå tildelt en del af mar

kedseftersporgslen. eller den kan forsoge

at påvirke forbrugerne via de andre

hanlingsparametre design. kvalitet, ser

vice mv,

J’irksomnhedens markedsandel.

Betinget afantal virksomheder,

produktlyper, den pris der

tages muum Markedsandelen

konnner til udtmyk via Prisaf—

sætningsfunktionen.

1. Diskuter, hvad du tror, der forstås ved følgende udsagn: “Pris eller

parameterteori”?

2. Hvilke andre parameter end prisen kan anvendes i konkurrencen?

3. Kender du nogle konkurrenceformer, hvor prisen er sat ud af kraft?

4. Kender du nogle konkurrenceformer, hvor der alene konkurreres på pri

sen?

5. Diskuter, hvorvidt pilene går begge veje i figuren herover.

Markedets

samlede

efterspørgselskurve

Individers

efterspørgsel

Figur 4.3

virksomliedens

prisafsætnings

funktion

55

Page 54: Teknisk økonomi Opgave Bog
Page 55: Teknisk økonomi Opgave Bog

KAPITEL 5

Produktions- og omkostningsstruktur

Opgave 5.1

En virksomhed fremstiller en vare, hvortil der bruges/kan bruges to forskellige

råvarer, idet de to råvarer (f.eks. træ og plastic) helt eller delvist kan erstatte hin

anden.

100 stykker af den færdige vare kan fremstilles ved brug af forskellige mængder

af de to råvarer, f.eks.

Råvare 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Råvare2 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

Andre kombinationer kan også bruges, idet der kan interpoleres lineært mellem

de opgivne værdier.

Spørgsmål i

Hvad bliver den optimale (billigste) kombination af råvarer til fremstilling af 100

stk. af færdigvaren, hvis prisen på Råvare 1 er 10 kr. pr. enhed og prisen på Råva

re 2 er 6 kr. pr. enhed?

Hvad bliver svaret, hvis prisen på Råvare 2 ændres til 4 kr. pr. enhed? Råvare 1 er

uændret.

Hvad bliver svaret, hvis prisen på Råvare 2 er 5 1cr. pr. enhed? Råvare 1 er stadig

uændret.

57

Page 56: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål 2

Hvad bliver den samlede omkostning til fremstilling af 100 stk. af færdigvaren ihver af de tre situationer?

Spørgsmål 3

Under forudsætning af fuld proportionalitet i produktionen (dvs, en procentuelændring af input giver samme procentuelle ændring af output) hvad bliver da ekspansionsvejen med hver af de tre priskombinationer?

Opgave 5.2

Til et andet af virksomhedens produkter skal der altid bruges tre enheder af Råvare i og to enheder af Råvare 2.

Spørgsmål]

Hvad bliver den optimale (billigste) kombination af råvarer til fremstilling af 100stk. af færdigvaren, hvis prisen på Råvare 1 er 10 kr. pr. enhed, og prisen på Rå-vare 2 er 6 kr. pr. enhed?

Hvad bliver svaret, hvis prisen på Råvare 2 ændres til 4 kr. pr. enhed? Råvare 1 eruændret.

Hvad bliver svaret, hvis prisen på Råvare 2 er 5 kr. pr. enhed? Råvare 1 er stadiguændret.

Spørgsmål 2

Hvad bliver den samlede omkostning til fremstilling af 100 stk. af færdigvaren ihver af de tre situationer?

Spørgsmål 3

Under forudsætning af fuld proportionalitet i produktionen (dvs, en procentuelændring af input giver samme procentuelle ændring af output) hvad bliver da ekspansionsvejen med hver af de tre priskombinationer?

Opgave 5.3

Det sidste produkt, vi skal se på, trækker også på to forskellige råvarer, der kuntil en vis grad kan erstatte hinanden og da i varierende mængdeforhold. Man har

58

Page 57: Teknisk økonomi Opgave Bog

udført en række forsøg i produktionen og har fundet frem til, at 100 stk. af fær

digvaren kan produceres med

Råvare i 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30

Råvare2 66 36 26 21 18 16 12 11 10 9 8

En af virksomhedens medarbejdere, som er ret god til matematik, har leget lidt

med tallene og fundet ud af, at sammenhænge mellem Råvare i og Råvare 2 kan

udtrykkes som en funktion.

Spørgsmål i

Bestem funktionssammenhængen mellem forbruget af Råvare i og Råvare 2.

Spørgsmål 2

Hvis Råvare 1 koster 6 kr. pr. enhed og Råvare 2 koster 10 kr. pr. enhed, hvad

bliver da den laveste omkostning til fremstilling af 100 stk. af færdigvaren?

Spørgsmål 3

Under forudsætning af fuld proportionalitet i produktionen (dvs, en procentuel

ændring af input giver samme procentuelle ændring af output) hvad bliver da eks

pansionsvejen?

Opgave 5.4

En produktionsvirksomhed har konstateret en MRTS (Marginal Rate of Technical

substitution) mellem to råvarer, der kan substituere hinanden på —2,4, dvs, den

samme produktion kan opnås ved at ændre på forbruget af de to råvarer således,

AF2at = —24.

z\F i

Det oplyses i øvrigt, at prisen på Råvare i er 10 kr. pr. enhed og prisen på Råvare

2 er 6 kr. pr. enhed.

Hvad bør virksomheden gøre for at forbedre sin økonomi?

59

Page 58: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.5

En underleverandør har fundet at det marginale produkt fra den sidst ansatte

medarbejder er 2.40 pr9ducerede enheder pr. dag, og at medarbejderen skal have

1.200 kr. i løn om dagen.

UnderleverandØren kan, som alternativt til at hyre yderligere arbejdskraft, leje

maskiner. Den sidst lejede maskine har givet et marginalprodukt på 720 produce

rede enheder pr. dag. Det koster 1.800 kr. om dagen at leje en maskine.

Spørgsmål i

Hvorfor optimerer underleverandøren ikke sit output eller minimerer sin omkost

ninger på langt sigt?

Spørgsmål 2

Hvad kan underleverandØren gøre for at maksimere sit output eller minimere sine

omkostninger?

Spørgsmål 3

Redegør for hvorledes man ud fra en generel teoretisk betragtning kan udlede

“total variabel cost” (TVC) ved hjælp af produktionsfunktionen på langt sigt og

under forudsætning af konstante priser på inputfaktorerne.

(Spørgsmål 3 løses uaffiængigt af teksten til spørgsmål i og 2, men alene ud fra

en teoretisk betragtning).

UnderleverandØrens omkostningsfunktion på langt sigt kan udtrykkes som:

TVC=1/3Q3— 8,5Q2 + 50Q.

Spørgsmål 4

Indtegn grafen i et koordinatsystem og forklar forløbet af TVC ud fra “returns to

scale”.

Opgave 5.6

Sonja Hansen, som ejer et duplikeringsfirma på Frederiksberg, øjner nogle store

muligheder, efter at Handelshøjskolen er flyttet til Solbjerg Plads og tilsynela

dende bare udvider og udvider. Hun ser et klart behov for professionel bistand til

de studerende i forbindelse med trykning og indbinding af diverse opgaver og

60

Page 59: Teknisk økonomi Opgave Bog

rapporter. Yderligere vil der måske i fremtiden også blive brug for professionel

bistand med lærebøger og “print on demand”.

Medarbejdere 0 1 2 3 4 5 6

Total produkticin 0 12 22 30 36 40 42

Spørgsmål i

Bestem den marginale produktion pr. medarbejder som funktion af antallet af

medarbejdere.

Sonja Hansen regner med at bruge studentermedhjælpere, som hun forventer at

skulle betale 500 kr. pr. dag (hun regner ikke med, at de vil have mere end 4 ti

mers arbejde om dagen). Produktionen er opgjort i enheder å 100 sider, som giver

en gennemsnitlig fortjeneste på 125 kr. pr. enhed.

Spørgsmål 2

Hvor mange studentermedhjælpere skal Sonja ansætte for at opnå den størst mu

lige fortjeneste?

Opgave 5.7

NESA’s omkostninger påvirkes i høj grad af, hvordan elektricitetsforbruget forde

ler sig over døgnets 24 timer. Der vil kunne opnås betydelige besparelser, hvis en

del af forbruget kan flyttes fra dagtimerne til aften og nat. For at motivere forbru

gerne til at ændre forbrugsmønster tilbyder NESA privatkunderne to forskellige

tarifsystemer:

I Normaltarif

enhedspris (øre/kWh) 52

abonnement (kr/år) 480

II Dobbeittarif

hverdag i dagtid (øre/kWh) 78

øvrig tid (øre/kWh) 25

abonnement (kr/år) 750

61

Page 60: Teknisk økonomi Opgave Bog

Det gennemsnitlige forbrug pr. år for en privat kunde er på 4.250 kWh.

Vil det for en gennemsnitskunde kunne betale sig at få installeret specialmåler,der også kan registrere tidspunktet for forbruget?

Hvor stor en del af forbruget skal i givet fald registreres som natforbrug, for atdet skal være lønsomt for forbrugeren?

Anskaffelse af måler samt installationsomkostninger afholdes af NESA.

Opgave 5.8

En virksomhed bruger i sin produktion en råvare, der forhandles på det internationale marked, der kan opfattes som et homogent marked. Dagsprisen for råvaren er iøjeblikket 10,00 kr. pr. enhed.

Bestem total-, marginal- og gennemsnitsomkostningen som funktion af mængden,

såvel matematisk som grafisk.

Opgave 5.9

a. En virksomhed er alene om at benytte et meget sjældent råstof i sinproduktion. På grund af råstoffets sjældne forekomst stiger råstofprisen med

efterspørgslen. Det forventes, at prisen ved en efterspørgsel på 1 enhed vilvære 10,50 kr. Forventer udbyderen en samlet efterspørgsel på 10 enheder,

vil han fra starten sætte prisen til 15,00 kr. pr. enhed. Prisen for mængdermellem 1 og 10 enheder forventes at variere lineært.

b. En virksomhed har gennem grundige analyser fundet frem til, at de totale

variable omkostninger kan udtrykkes som:

TVC=0,5 Q2+ l0Q.

Bestem total-, marginal- og gennemsnitsomkostningen som funktion af mængden,såvel matematisk som grafisk for hver af de to situationer.

Opgave 5.10

a. En produktionsvirksomhed kan ved at øge produktionen opnå en betydelig

effektivisering. Ved en produktion på 1 stk. pr. dag bliver de samledevariable omkostninger på 9,75 kr., mens man ved en produktion på 15 stk.

62

Page 61: Teknisk økonomi Opgave Bog

pr. dag kan komme ned på en gennemsnitlig variabel omkostning pr. stk. på

6,25 kr.

b. En reparationsvirksomhed har fundet ud af, at jo flere reparationer man

laver af samme slags pr. dag, jo hurtigere går det. Har man kun en enkelt

reparation på en dag, koster det 9,50 kr., men kommer man op på 15 ens

reparationer på en dag, kan den sidste laves for 2,50 kr.

c. En virksomhed har gennem grundige analyser fundet frem til, at de totale

variable omkostninger kan udtrykkes som:

TVC=—0,25. Q2+ 10 Q.

Bestem total-, marginal- og gennemsnitsomkostningen som funktion af mængden,

såvel matematisk som grafisk for hver af de tre situationer.

Opgave 5.11

De variable omkostninger er ved en produktion på i stk. pr. dag på 9,50 kr. Ved en

produktion på 8 stk. pr. dag er de gennemsnitlige variable omkostninger faldet til

6,00 kr. pr. stk. øges produktionen ud over 8 stk. pr. dag, begynder de

gennemsnitlige variable omkostninger at stige, og ved en produktion på 15 stk. pr.

dag er de gennemsnitlige variable omkostninger nået op på 7,75 kr. pr. stk. Såvel

faldet som stigningen i gennemsnitlige variable omkostninger antages at være

lineære.

Bestem total-, marginal- og gennemsnitsomkostningen som funktion af mængden,

såvel matematisk som grafisk.

Opgave 5.12

En mindre marmeladefabrik har indgået kontrakt med en række frugtavlere om

levering af frugt til fabrikken. Aftalen indebærer, at frugtavleme er sikret afsætning

af deres produktion til en fast pris af 8,00 kr. pr. kg. Kontrakterne sikrer fabrikken

leverancer af op til 8 tons frugt til den aftalte pris. Såfremt fabrikken skal bruge

mere end 8 tons frugt, må man sætte afregningsprisen i vejret for at få flere avlere

til at levere. Man regner med, at det er nødvendigt at øge afregningsprisen med

63

Page 62: Teknisk økonomi Opgave Bog

0,25 kr. pr. kg for hver ekstra tons, man Ønsker at opkøbe. Den endelige

afregningspris, der først kendes, når frugtsæsonen er slut, gælder for hele den

opkøbte mængde; altså også for kontraktleverandørerne.

Bestem total- marginal og gennemsnitsomkostningen som funktion af mængden,

såvel matematisk som grafisk.

Opgave 5.13

En virksomhed køber ind hver dag af en bestemt råvare med meget kort

holdbarhed. Prisen på råvaren er 10,00 kr. pr. enhed, sålænge man køber 7 enheder

eller derunder pr. dag. Overstiger indkøbet 7 enheder pr. dag, opnår man en

akkumuleret kvantumsrabat på 20% på hele dagens indkøb

Bestem total-, marginal- og gennemsnitsomkostningen som funktion af mængden,

såvel matematisk som grafisk.

Opgave 5.14

En råvareleverandør tilbyder at levere til og med 8 enheder pr. dag til en fast pris af

10,00 kr. pr. enhed. På leverancer ud over 8 enheder pr. dag ydes en rabat på 40%

af den oprindelige pris.

Bestem total-, marginal- og gennemsnitsomkostningen som funktion af mængden,

såvel matematisk som grafisk.

Opgave 5.15

En produktionsvirksomhed har en noget gammel maskine, der kan producere max.

8 emner pr. dag til en fast omkostning af 10,00 kr. pr. stk. Skal der produceres

mere, er man nødt til at udvide produktionskapaciteten ved at indføre toholdsskift,

hvilket koster 20,00 kr. pr. dag i forøgede faste omkostninger. Indfører man

toholdsskift kan man på andet skift opnå nogle rationaliseringsfordele og rabatter

på råvarer således, at stykprisen kommer ned på 6,00 kr. pr. emne.

Bestem total-, marginal- og gennemsnitsomkostningen som funktion af mængden

såvel matematisk som grafisk.

64

Page 63: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.16

Med udgangspunkt i nedenstående oplysninger Ønskes for produktionsintervallet 1-

8 enheder følgende beregnet:

A. de totale omkostninger = TC

B. de variable omkostninger = TVC

C. de totale gennemsnitsomkostninger = AC

D. de variable gennemsnitsomkostninger = AVC

E. de faste gennemsnitsomkostninger = AFC

F. marginalomkostninger = MC

Følgende oplysninger foreligger:

1. AFCfor5stk. er 1.008,00kr.

2. AVC for 4 stk. er 850,00 kr.

3. TC forøges med 900,00 kr. ved en produktionsudvidelse fra 4 til 5 stk.

4. AC er 1.740,00 kr. ved en produktion på 6 stk.

5. TC for 7 stk. er 11.840,00 kr.

6. TVC forøges med 2.000,00 kr., når produktionen udvides fra 7 til 8 stk.

7. AFC + AVC for 2 stk. er 3.470,00 kr.

8. AC formindskes med 890,00 kr., når produktionen forøges fra 2 til 3 stk.

9. en produktionsudvidelse fra 0 til i stk. medfører en omkostningsøgning på

1.000,00 kr.

Opgave 5.17

En virksomhed kan producere til og med 50 stk. pr. skift. På grund af

indlæringseffekt samt mere rationel tilrettelæggelse falder tidsforbruget pr. stk., jo

flere man producerer på et skift. Det gennemsnitlige tidsforbrug i timer kan

udtrykkes som:

Gennemsnitlig tidsforbrug = —0,2 Q + 25

Udtrykket for tidsforbruget er det samme på alle 3 skift.

Timeløn for 1. skift er 100,00 kr. For 2. og 3. skift er der et tillæg på henholdsvis

50% og 100%.

65

Page 64: Teknisk økonomi Opgave Bog

Bestem AVC, MC og TVC, såvel matematisk som grafisk, for en produktion fra i

til 150 stk. pr. døgn.

Første skift ligger fra kl. 8°° til 1600, 2. skift fra kl. 1600 til 24°° og 3. skift fra kl. 00

til 800 næste morgen.

Opgave 5.18

En grossistvirksomhed køber ind hver dag på grønttorvet. Man har konstateret, at

så længe man køber 100 kg eller derunder af en bestemt vare, er noteringen rimelig

fast på 7,00 kr. pr. kg. Skal man en dag bruge mere end 100 kg, stiger noteringen

derefter med 0,02 kr. pr. kg for hver kg, man efterspørger ud over de 100 kg.

(NB! Noteringen er den pris, samtlige solgte varer afregnes til den pågældende

lag).

Bestem marginal-, gennemsnits- og total variable omkostningsfunktioner, såvel

matematisk som grafisk.

Opgave 5.19

En virksomhed har fundet frem til en total omkostningsfunktion, der kan udtrykkes

som:

TC=5 Q2+ 10.Q+50.000.

Bestem marginal-, gennemsnits- og total variable omkostningsfunktioner, såvel

matematisk som grafisk.

Opgave 5.20

En virksomhed har gennem længere tid studeret omkostningerne forbundet med

produktionen af en bestemt vare og har fundet frem til, at de marginale

omkostninger ved at producere den første enhed er 99,00 kr. Herefter falder de

marginale omkostninger med 1,00 kr. pr. stk., man yderligere producerer, indtil

man når ned på en omkostning på 50,00 kr. ved produktionen af enhed nr. 50. I

produktionsintervallet 50-100 stk. er MC konstant 50,00 kr. Ved produktion

herudover stiger de marginale omkostningerne pr. stk. med 0,50 kl. for hver

yderligere enhed.

Bestem marginal-, gennemsnits- og totalomkostningsfunktioner, såvel matematisk

som grafisk.

66

Page 65: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.21

Orion Lamper A/S har fundet en niche inden for produktion af udendørslamper i

form af lamper, der kan tåle ekstreme vejrforhold. Lamperne er produceret efter

den skandinaviske designtradition, som lægger vægt på klarhed og enkle linier.

Tankegangen er en stil uden overflødige detaljer samtidig med, at krav om ro

busthed, driftsikkerhed og lavt energiforbrug overholdes.

Orion har et godt billede af afsætning og omkostninger forbundet med salg og

produktion af en af virksomhedens hæderkronede produkter: “Arctic” lampen. En

af underleverandørerne, der leverer varmegalvaniserede skærme til lampen har på

månedsbasis tilbudt en akkumuleret kvantumsrabat på 33’/3%, der udløses ved

indkøb af skærm nummer 1000 til produktion af den pågældende lampe. Såfremt

man i en måned indkøber 1000 skærme eller mere, udløses der således i den på

gældende måned en akkumuleret kvantumsrabat på 331/3% på hele månedens køb.

Til produktion af “Arctic” lampen skal der anvendes i skærm pr. lampe, der uden

rabat koster 150 kr. pr. stk. Herudover er der en række øvrige variable enheds

omkostninger, der beløber sig til 100 kr. pr. lampe.

Produktionschefen overvejer, om han skal tage imod tilbudet om akkumuleret

kvantumsrabat. Skærme, der ikke finder anvendelse, kan ikke lagres, men kan

bortskaffes uden yderligere omkostninger.

Spørgsmål i

Opstil MC funktionen, matematisk og grafisk, ud fra de to principielle måder MC

kan opstilles på i forbindelse med akkumuleret kvantumsrabat.

Spørgsmål 2

Udled for de to principielle MC- metoder i spørgsmål 4.1 funktionsudtrykket for

TVC, grafisk og matematematisk.

Spørgsmål 3

Hvad bliver svaret til de to foregående spørgsmål, hvis det koster 10 kr. i destruk

tionsomkostninger for hver skærm, der skal destrueres?

67

Page 66: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.22

Virksomheden Farm Machines har 3 produktionsanlæg (A, B og C), der klipper og

bukker jemprofiler til fjedertandsharven “Kultirap”. Når disse anlæg er i drift,

betjenes de hver af i medarbejder. I den udstrækning, der ikke er behov for et eller

flere af anlæggene, hjemsendes de pågældende medarbejdere, medmindre de kan

beskæftiges med andre opgaver i virksomheden. Personalet aflønnes med 120,00

kr/time og har en 37 timers arbejdsuge. Personalet er villig til at arbejde op til 3

timer over dagligt, under forudsætning af at den normale arbejdstid er 100%

udnyttet. Ved overarbejde forhøjes timelønnen med 50%.

For “Kultirap” gælder, at:

• Maskine A kan idippede og bukkede profiler til 4 harver på en time• Maskine B kan producere til 3 harver på en time• Maskine C har en kapacitet svarende til 2 harver pr. time

Beregn og vis grafisk, hvorledes de marginale lønomkostninger, gennem

snitslønomkostninger og totallønomkostninger på ugebasis afhænger af den

producerede mængde harver.

Etabler 2 afbildninger: en med marginal- og gennemsnitsomkostning samt en med

total omkostningskurver.

Opgave 5.23

Korsbæk Dagblad trykker en reklameavis til lokalområdet.

Materialeomkostningeme udgør pr. avis 0,80 kr. til papir og 0,30 kr. til andre

omkostninger. Afhængigt af månedsforbruget af papir er det muligt at opnå større

eller mindre kvantumsrabatter på månedsindkøbet af denne råvare. En månedlig

produktion på:

• 10.000 aviser medfører en rabat på 10%• 20.000 aviser medfører 20% rabat• 40.000 aviser medfører 30% rabat

Beregn og vis grafisk, hvorledes marginal-, gennemsnits- og totalomkostning på

månedsbasis afhænger af antallet af trykte aviser.

Etabler 2 afbildninger: en med marginal- og gennemsnitsomkostning samt en med

alle 3 omkostningskurver.

68

Page 67: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.24

For nogle år siden begyndte W.C. Christiansen at producere udsugningshætter, dels

fordi der var leveringstid på den type produkter, og dels fordi man havde personale

med den nødvendige ekspertise. Denne produktion er blevet en succes, hvorfor

man i dag har en afdeling med 4 højt specialiserede medarbejdere til at producere

udsugningshætterne. Disse medarbejdere er fast ansatte med en månedsløn på

19.000,00 kr. Afdelingen kan producere 80 udsugningshætter om måneden.

Man kan endvidere købe produktion af yderligere anlæg på et elektromekanisk

værksted, idet man leverer de komplette sæt råvarer og får leveret færdige

udsugningshætter. Ved månedsordrer under 11 stk. beregner dette værksted sig

4.000,00 kr/stk., mens man ved større ordrer tager 2.500,00 kr/stk.

Desuden kan der yderligere ansættes en eller to “løse’ medarbejdere således at

forstå, at disse ansættes for én måned ad gangen. En medarbejder yderligere

medfører, at man kan producere yderligere 15 enheder, mens den 2. medarbejder

medfører en yderligere mulig produktion på 10 enheder pr. måned.

Beregn og vis grafisk, hvorledes marginal-, gennemsnits- og totallønomkostninger

på månedsbasis affiænger af den producerede mængde udsugningshætter

Etabler 2 afhildninger: en med marginal- og gennemsnitsomkostning samt en med

alle 3 omkostningskurver.

Opgave 5.25

Sikker Dataservice har netop afsluttet udviklingen af et nyt produkt. Man er derfor

ved at træffe beslutning om priser for produktet og de servicebesøg, dette vil kræve.

I denne sammenhæng ønskes en beskrivelse af de omkostninger, der er knyttet til

servicebesøg.

Tidsforbruget pr. servicebesøg vil afhænge af hvor mange månedlige servicebesøg,

der gennemføres, idet rutine spiller en stor rolle. I samarbejde med medarbejderne

har man udarbejdet en beskrivelse af sammenhængen mellem antal besøg pr.

måned og det gennemsnitlige tidsforbrug pr. besøg:

69

Page 68: Teknisk økonomi Opgave Bog

Antal servicebesøg Gennemsnitligt tids

pr. måned. forbrug pr. besøg målt i

timer

1 8

10 4

50 3

100 2

Den medarbejder, der udfører servicebesøget, er på timeløn og får en løn på 170,00kr/time. En servicevogn med udstyr leases for 8.000,00 kr. pr. måned (alleomkostninger er inkluderet heri). En servicevogn har en kapacitet på 50servicebesøg pr. måned.

Beregn og vis grafisk, hvorledes marginalomkostning, gennemsnitsomkostning ogtotalomkostning på månedsbasis afhænger af antallet af servicebesøg.

Etabler 2 afbildninger: en med marginal- og gennemsnitsomkostning samt en medalle 3 omkostningskurver.

Opgave 5.26

Kr.25

20

15

10 MC

5.

0 i i i I IQ0 20 40 60 80 100

Figur 5.1

Giv en kort beskrivelse af MC-kurvens forløb og indtegn den tilhørende AVCkurve.

70

Page 69: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.27

02008’O1

Figur 5.2

Giv en kort beskrivelse af MC-kurvens forløb og indtegn den tilhørende AVC

kurve.

Opgave 5.28

Kr.25

_______________________

15MC

5,

________________

5I I I I — I I

20 40 60 80 100 120

-25

-35

-45

-55

Figur 5.3

Giv en kort beskrivelse af MC-kurvens forløb og indtegn den tilhørende AVC

kurve.

Vis en alternativ måde at tegne MC-kurven på.

71

Page 70: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.29

Kr.

Figur 5.4

Forklar AVC kurvens forløb og vis forløbet af MC og TVC

72

Page 71: Teknisk økonomi Opgave Bog

KAPITEL 6

Pris/mængde optimering

Afsnit i En vare på et marked

Fuldkonwnen konkurrence

Opgave 6.1.1

En virksomhed producerer og sælger en vare på et homogent marked.

Marginalomkostningen for den pågældende vare er givet som:

MC = 0,005. Q2 — i

. Q + 60,

hvor Q er produktionen pr. måned.

Markedsprisen for varen er i øjeblikket 50,50 kr. pr. stk.

Spørgsmål]:

Bestem virksomhedens optimale produktion, såvel grafisk som matematisk.

Beregn det samlede dækningsbidrag pr. måned.

Det oplyses, at de faste omkostninger pr. måned beløber sig til 2.000 kr. for det

omtalte produkt.

Spørgsmål 2:

Der forventes et fremtidigt fald i markedsprisen.

Hvor langt må prisen gå ned på kort og på lang sigt, før virksomheden bør trække

sig ud af markedet?

73

Page 72: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 6.1.2

Jens Olsen ejer et mindre firma, der samler og afprøver elektroniske komponenter.Virksomheden er i en stærk konkurrencesituation med et stort antal andrevirksomheder, der alle anvender samme teknologi og råvarer som Olsensvirksomhed. De totale produktionsomkostninger (TC) i 1000,00 kr/måned er vist itabellen nedenfor som funktion af mængden (Q) i 1000 enheder/måned.

Q i 1.000 stk. TC i 1.000 kr.

0 6,0

1 9,0

2 11,0

3 12,6

4 14,8

5 18,5

6 23,7

7 31,5

8 43,4

9 60,3

10 86,3

Spørgsmål]

Beregn de gennemsnitlige totale omkostninger (ATC), de gennemsnitlige variableomkostninger (AVC) og marginalomkostningeme (MC) som funktion af Q og tegnen graf over disse funktioner.

Hvad vil ligevægtsprisen og afsætningen blive for Olsens virksomhed på langt sigt?

Hvis den totale efterspørgsel er 450.000 enheder, hvad vil antallet af virksomhederi branchen så blive på langt sigt?

I tilfælde af kortvarige konjunkturudsving, hvad er den laveste pris virksomhedenvil afsætte til?

74

Page 73: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål 2

Der er nu 100 virksomheder i branchen, og efterspørgselskurven er:

QD=820—100P,

hvor efterspørgslen (QD) er i 100.000 stk. pr. måned.

Tegn branchens udbuds- og efterspørgselskurver. Hvad er ligevægtsprisen og

ligevægtsmængden?

Spørgsmål 3

Efterspørgselskurven skifter pludselig til:

QD = 1070 — 100P.

Hvilken ligevægt vil der på kort sigt opstå for pris og mængde?

Hvor meget vil Olsens virksomhed producere, og hvor stort bliver overskuddet?

Hvor mange virksomheder vil der på langt sigt være i branchen under disse

efterspørgselsforhold?

Spørgsmål 4

Efterspørgselskurven skifter pludselig til:

QD=570— lOOP.

Hvilken ligevægt vil der på kort sigt opstå for pris og mængde?

Hvor meget vil Olsens virksomhed producere, og hvor stort bliver overskuddet?

Hvor mange virksomheder vil der på langt sigt være i branchen under disse

efterspørgselsforhold?

Opgave 6.1.3

En producent, der producerer til et homogent marked, står over for en markedspris

på 50,00 kr. pr. stk.

Hans stykomkostninger er voksende ved voksende produktion og kan beskrives ved

MC-funktionen:

MC = 30,00 kr. for enhed nr. 20

MC-funktionens hældningskoefficient er 0,25

Bestem den optimale produktion ved hjælp af såvel marginal- som

totalbetragtningen og såvel grafisk som matematisk.

Beregn det optimale dækningsbidrag.

75

Page 74: Teknisk økonomi Opgave Bog

Monopol

Opgave 6.1.4

Et handeisfirma står over for en faldende lineær afsætningsfunktion. Man sælger iØjeblikket 500 stk. pr. uge til en pris af 75,00 1cr. pr. stk. og opnår herved den størstmulige omsætning. Man har fundet frem til, at de gennemsnitlige variable

omkostninger kan udtrykkes som:

AVC = 57—0,005 Q for Q < 500 stk. pr. uge

AVC = 52+ for Q > 500 stk. pr. uge

Bestem den optimale pris og mængde, såvel matematisk som grafisk.

Beregn hvor meget virksomhedens dækningsbidrag kan Øges ved at ændre prisen

fra 75,00 kr. pr. stk. til den optimale pris.

Opgave 6.1.5

En virksomhed fremstiller et enkelt produkt, som det har monopol på. Enmarkedsundersøgelse har vist, at omsætningen pr. måned kan udtrykkes som:

TR=—0,5Q2+500Q.

Virksomhedens samlede omkostninger pr. måned er givet ved:

TC=0,lQ2+l0•Q+l.500. /

Beregn den optimale pris, mængde, dækningsbidrag samt de variable gennemsnits

omkostninger.

Virksomheden valgte at sætte prisen til 275,00 kr. pr. stk. Hvor meget tabte man pr.måned ved denne beslutning?

Opgave 6.1.6

En handeisvirksomhed sælger i Øjeblikket 500 stk. pr. måned af en vare til en prispå 100,00 1cr. pr. stk. Gennem en række markedsanalyser har man fundet frem til, athvis man sætter prisen op med 10,00 1cr. pr. stk., vil salget pr. måned falde med 20stk., mens en prisnedsættelse på 10,00 1cr. pr. stk. kun vil give en salgsfremgang på

76

Page 75: Teknisk økonomi Opgave Bog

10 enheder mere pr. måned. Afsætningsfunktionen forudsættes i Øvrigt at være

lineær for både prisforhøjelser og prisnedsættelser.

Bestem afsætnings- marginalomsætnings-, og totalomsætningsfunktioner, såvel

matematisk som grafisk.

Opgave 6.1.7

For en given vare kan der til en pris af 56,25 kr. pr. stk. afsættes 50 stk. pr. uge.

Priselasticiteten ved en pris på 56,25 kr. er lig med —3.

De variable gennemsnitsomkostninger (AVC) er 31,25 kr. ved en produktion på 50

stk. og 37,50 kr. ved en produktion på 100 stk.

Både afsætnings- og AVC—funktionen antages at være lineær.

Bestem den optimale pris og mængde ved hjælp af såvel marginal- som total

betragtningen og såvel grafisk som matematisk.

Beregn det optimale dækningsbidrag.

Opgave 6.1.8

AIS Selvgjort er en mindre “iværksætter virksomhed” i Herlev med Ca. 10 ansatte,

der har specialiseret sig i at forhandle, udvikle og producere enkle værktøjer til “gør

det selv” folk. Virksomheden har udviklet et nyt universalværktøj, som produceres

på virksomhedens fabrik i Herlev, hvor produktionsafdelingen sammen med

regnskabsafdelingen har opstillet nogle beregninger over produktionsomkostninger

og tidsforbrug. Til hver produceret enhed medgår materialer for 150,00 kr.

Tidsforbruget, der medgår til fremstilling af det nye universalværktøj, varierer

afhængig af produktionens størrelse. Ved meget lave produktionsmængder (1 stk.

pr. kvartal) er det gennemsnitlige tidsforbrug 2 mandtimer pr. stk. Det

gennemsnitlige tidsforbrug falder derefter lineært for at nå sit minimum ved 800

stk. pr. kvartal, hvor det gennemsnitlige tidsforbrug er nede på i mandtime pr. stk.

800 stk. pr. kvartal er samtidigt det maksimale, der kan produceres inden for

normal arbejdstid. Det er dog muligt at øge produktionen ved at indføre to- eller

treholdsskift. Det vil selvfølgelig ændre omkostningsbilledet noget at indføre to

eller treholdsskift:

• Omkostningerne for dagholdet forbliver uændrede

• Timelønnen på aftenholdet ligger 50% over lønnen på dagtid

• Natholdet skal have tillæg på 100%

77

Page 76: Teknisk økonomi Opgave Bog

Hertil kommer at de faste omkostninger ved overgang til flerholdsskift også stiger.Man regner her med en ekstraomkostning pr. kvartal på 20.000,00 kr. ved overgangtil toholdsdrift og yderligere 20.000,00 kr. pr. kvartal ved overgang til treholdsdrift.

Man forventer, at på såvel aften- som nathold kan der produceres med ettidsforbrug på 1 mandtime pr. produceret enhed, og at der pr. skift er 800mandtimer til rådighed pr. kvartal. Timelønnen for de timelønnede arbejdere, dermedvirker ved produktionen, er 100,00 kr. pr. time på dagholdet.

Salgsafdelingen er på grundlag af en omfattende analyse af “gør det selv” markedetkommet frem til, at det nye universalværktøj til en pris på 600,00 kr. pr. stk. frafabrik vil kunne sælges i et antal af 1.000 stk. pr. kvartal. Priselasticiteten ved enpris på 600,00 kr. pr. stk. har man vurderet til at være —2. Salget tænkes at foregå

via to grossistkæder og et antal forhandlere.

Spørgsmål

Hvad bliver den optimale pris for det nye universalværktøj?

Hvor meget skal man producere pr. kvartal?

Hvad bliver den maksimale fortjeneste pr. kvartal?

Opgave 6.1.9

En fødevareforretning sælger bl.a. en let fordærvelig vare, som købes ind hvermorgen, og som skal sælges samme dag. Det, man ikke får solgt samme dag, måsmides ud. Varen købes normalt fra en grossist til en pris af 2,50 kr. pr. stk., mennu har forretningens indehaver fundet ud af, at hun kan få varen direkte fraproducenten 40% billigere, forudsat at hun køber mindst 1.000 stk. pr. dag.

Hvad bliver den optimale pris og mængde samt dækningsbidrag, forretningen kanopnå, hvis:

Spørgsmål i

Afsætningsfunktionen er: P = —0,005. Q + 6?

Spørgsmål 2

Afsætningsfunktionen er: P = —0,0035 Q + 6?

78

Page 77: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål 3

Afsætningsfunktionen er: P = —0,0025 Q + 6?

Spørgsmål 4

Afsætningsfunktionen er: P = —0,002 Q + 6?

Det viser sig nu muligt at forlænge holdbarheden for varen således, at det man ikke

sælger samme dag, kan gives en specialbehandling, som bevirker at holdbarheden

for praktiske formål bliver ubegrænset. Specialbehandlingen koster 0,50 kr. pr. stk.

for de enheder, der får specialbehandlingen.

Hvad bliver svarene til spørgsmål i til 4 under disse ændrede forudsætninger?

Opgave 6.1.10

En virksomhed har opstillet følgende produktkalkule for et af sine produkter:

Ved en produktion på 500 stk. pr. måned ser kalkulen ud som følger i kr/stk.:

Materialer excl. elkomponenter 50,00

Elkomponenter 75,00

Fremstillingstid 45 min. 75,00

Montagetid 30 min 50,00

Andel af faste omkostninger 500,00

Samlet fremstillingspris pr. stk. 750,00

øges produktionen til 1000 stk. pr. måned, som er det maksimale, der kan produce

res pr. måned med det anskaffede produktionsanlæg, kan der opnås visse rationali

seringsfordele, og kalkulen ser da således ud:

Materialer excl. elkomponenter 40,00

Elkomponenter 60,00

Fremstillingstid 36 min. 60,00

Montagetid 24 min. 40,00

Andel af faste omkostninger 250,00

Samlet fremstillingspris pr. stk. 450,00

Ved beregning af variable omkostninger ved andre mængder, kan der interpoleres

lineært.

Arbejdslønnen udgør 100,00 kr. pr. time.

79

Page 78: Teknisk økonomi Opgave Bog

Salgsafdelingen har gennem en omfattende analyse fundet frem til, at produktet bør

afsættes gennem to kanaler, dels bør det sælges gennem en landsdækkende detail

handelskæde, og dels bør det sælges gennem selvstændige byggemarkeder.

Gennem en række forhandlinger med den landsdækkende kædes indkøbsafdeling

er man kommet frem til følgende alternative priser og mængder pr. måned:

(P; Q) = (1200,00; 200) og (700,00; 450).

Men man regner dog med, at andre kombinationer kan komme på tale. Det antages,

at sammenhængen mellem mængde pr. måned og prisen er en lineær funktion.

For det samlede salg pr. måned til selvstændige elektrikere og byggemarkeder har

salgsafdelingen estimeret en efterspørgselsfunktion, der kan udtrykkes som:

P = —2/3. Q + 800.

Spørgsmål i

Under forudsætning af, at man holder samme pris til de to salgskanaler, hvad bliver

da den optimale pris, den optimale produktion pr. måned samt det maksimale dæk

ningsbidrag pr. måned?

I salgsafdelingen er man af den opfattelse, at da der er tale om to uafhængige salgs-

kanaler, må man kunne sælge til to forskellige priser og dermed opnå en større for

tjeneste. Det vil ganske vist medføre ekstra omkostninger på 15.000,00 kr. pr. må

ned til administration.

Spørgsmål 2

Har salgsafdelingen ret?

Hvis ja: Hvad bliver da den optimale mængde pr. måned, og hvilke priser skal man

tage?

Opgave 6.1.11

Et bageri, der opererer under monopolistisk konkurrence, har en efter

spørgselsfunktion på:

Q= 1400— 140P,

hvor Q er antal brød pr. uge og P er prisen pr. brød i kr.

Bageriets marginale omkostninger er 2,00 kr. pr. brød ved en produktion på 600

brød eller derunder pr. uge. Mellem 600 og 800 brød pr. uge stiger marginal

80

Page 79: Teknisk økonomi Opgave Bog

omkostningerne lineært til 4,00 kr. pr. brød. Bageriet har kapacitet til maksimalt

800 brød pr. uge.

1. Vis grafisk afsætnings-, marginal omsætnings— og marginal omkostnings

funktionerne.

2. Beregn bageriets optimale produktion pr. uge og den optimale pris.

3. Hvis grafen, som du tegnede i spørgsmål 1, repræsenterer den langsigtede

optimale pris/mængde for bageriet, og firmaet har positiv økonomisk

overskud, hvad vil der så ske, når “industrien’ tilpasser sig på længere sigt,

således at det nærmer sig et fuldkoniment konkunencemarked?

Hvordan vil denne tilpasning på langt sigt se ud på diagrammet?

81

Page 80: Teknisk økonomi Opgave Bog

Oligopol

Opgave 6.1.12

En virksomhed med et vist prisførerskab sælger i øjeblikket 60 stk. pr. dag af en

vare til en pris af 70,00 kr. pr. stk. Man føler sig ikke helt sikre på prisførerskabet

og vurderer, at ikke alle vil følge med, hvis man sætter prisen op. Derimod vurderer

man, at alle vil følge med, hvis prisen sættes ned.

Man vurderer derfor afsætningsfunktionens hældningskoefficient ved en

prisforhøjelse til at være —0,25, mens den ved en prisreduktion vurderes til at være

—0,5.

Virksomhedens samlede omkostninger er bestemt ved:

TC = 0,125. Q2 +30 Q + 750.

Bestem den optimale pris og mængde, såvel grafisk som matematisk.

Beregn det optimale dækningsbidrag samt den optimale fortjeneste.

Opgave 6.1.13

En oligopolist har følgende lineære marginale omkostningsfunktion:

MC=l + 0,5Q.

Ved priser under 5,00 kr. kan firmaet forvente følgende efterspørgsel:

P=—Q+9.

Ved priser over 5,00 kr. er efterspørgslen:

P=—0,25 . Q+6.

Tegn firmaets efterspørgsels- og marginale omsætningsfunktion samt firmaets

marginale omkostningsfunktion.

Inden for hvilket interval af marginalomkostninger kan firmaet holde samme pris

og mængde?

82

Page 81: Teknisk økonomi Opgave Bog

Horisontal karteldannelse

Opgave 6.1.14

Bestyrerne af General House og Westing Electric, to konkurrerende firmaer, der

sælger produkter, der faktisk er identiske, har besluttet sig til at indlede et

samarbejde. Bl.a. vil de samarbejde om at fastsætte priser og tilpasse deres output i

overensstemmelse hermed.

De har følgende omkostningsfunktioner:

General House:

MC (marginale omkostninger) = ½ + Q.ATC (gennemsnitlig total omkostning) = ½ + ½ Q.

Westing Electric:

MC (marginale omkostning) = ½ + Q13.

ATC (gennemsnitlig total omkostning) = ½ + 1/6 Q.

Markedets samlede efterspørgsel er givet ved:

Q= l6—2P

1. Under forudsætning af at markedet er homogent, og at der kan antages

fuldkommen konkurrence bedes du tegne efterspørgsel, marginal

omsætning, marginal omkostning og den totale gennemsnitlige omkostning.

Brug diagrammet til at bestemme markedets pris og efterspørgsel, hvis du

antager, at hvert firma maximerer sin profit uden at samarbejde med den

anden

2. Antag nu, at de to firmaer har besluttet at samarbejde. Bestem markedets

pris og efterspørgsel og beregn hvert firmas totale indtægt, totale udgift og

overskud. Går det bedre for firmaerne nu, end da de var konkurrenter?

Hvorfor eller hvorfor ikke?

83

Page 82: Teknisk økonomi Opgave Bog

Vertikal karteldannelse

Opgave 6.1.15

Et markeds samlede efterspørgsel af en bestemt vare er givet som:

PMked = —0,05. Q + 100.

Produktionen og distributionen foregår i flere led.

Producenten, der fremstiller varen, har en MC funktion på:

MCproducent = 0,025. Q + 15.

Producenten sælger varen til en grossist, der sælger den videre til en detaillist, der

sælger til den endelige forbruger. Det forudsættes, at der er monopol i alle tre led.

Spørgsmål i

Under forudsætning af,

1. at der ikke løber ekstra omkostninger på, hverken hos grossisten ellerdetaillisten

2. at de tre led optimerer hver for sig uden at tale sammen,hvad bliver da optimale priser og mængder i hvert led?

Hvor stort bliver hvert enkelt leds dækningsbidrag?

Spørgsmål 2

De tre direktører bliver nu medlemmer af samme loge, og ved en middag i logen

kommer de til at diskutere, om ikke de kunne øge deres fortjeneste, hvis de

koordinerede tingene lidt.

Kan de øge den samlede fortjeneste?

Hvis ja, hvad bliver da det største samlede DB, de kan opnå?

Spørgsmål 3

Hvad sker der, hvis der hos både grossisten og detaillisten løber håndteringsom

kostninger på 5,00 kr. pr. stk. på?

Besvar spørgsmål i og 2 under de nye forudsætninger.

84

Page 83: Teknisk økonomi Opgave Bog

Afsnit 2 En vare på flere markeder

Opgave 6.2.1

Givet to afsætningsfunktioner:

P=—2 Q+ 150

P = —0,5. Q +50

De to afsætningsfunktioner er udtryk for afsætningen af den samme vare til to

forskellige segmenter på samme marked.

Bestem den samlede afsætningsfunktion, totalomsætning og marginale omsætning,

såvel matematisk som grafisk, hvis varen sælges til samme pris på de to

markedssegmenter, og hvis varen sælges til forskellige priser.

Opgave 6.2.2

Denne opgave er en overbygning af opgave 6.1.5. Forudsætningerne er altså dem,

du fandt frem til i denne opgave.

På en international messe, hvor det nye produkt for første gang præsenteres

internationalt, vækker såvel produktets funktion som design stor opmærksomhed,

og en stor tysk forhandler tilbyder at aftage alt det, han kan få til en fast pris på

390,00 kr. pr. stk.

Spørgsmål

Skal man sælge til den tyske forhandler’?

Hvis ja, hvad bliver da den maksimale fortjeneste pr. kvartal?

Opgave 6.2.3

Max Hansen er ansat som salgschef i et elektronikfirma, der producerer forskellige

typer af printplader. Han har i mange år drømt om at blive selvstændig og mener

nu, at muligheden er der. Han har foretaget en række sonderinger af markedet for

printplader og har bl.a. fået tilsagn fra en af sine nuværende kunder om, at kunden

85

Page 84: Teknisk økonomi Opgave Bog

vil indgå en fast kontrakt med Max Hansen om at aftage 1.000 printplader pr. år til

en fast pris af 550,00 kr. pr. stk.

Max Hansen mener, at han vil kunne producere printplader, der er absolut

konkurrencedygtige, men han erkender også, at markedet er vanskeligt og

konkulTencen hård. Han vurderer, at han med en salgspris på 850,00 kr. pr. stk.,

som svarer meget godt til den nuværende markedspris på tilsvarende printplader,

vil kunne erobre 5% af markedet, som totalt er på 150.000 stk. på årsbasis. På

grund af den hårde konkurrence regner Max Hansen ikke med, at han kan afvige

særlig meget fra markedsprisen, men han har dog alligevel vurderet, at en

prisforhøjelse på 25,00 kr. pr. stk. vil resultere i, at salget på årsbasis vil falde med

1.000 stk., mens en prisreduktion på 25,00 kr. pr. stk. vil blive mødt med

tilsvarende prisreduktioner fra andre leverandører. På den anden side vil en lavere

markedspris nok øge den samlede efterspørgsel, så alt i alt regner Max Hansen

med, at en prisreduktion på 25,00 kr. pr. stk. vil øge afsætningen med 250 stk. pr.

ar.

For at komme i gang som selvstændig forventer Max Hansen umiddelbart inden

produktionsstart at skulle investere 5.000.000 kr. i produktionsudstyr, samt 500.000

kr. til lokaler, markedsføring mm. De løbende udgifter udgør 500.000 kr. pr.

kvartal incl, løn til medarbejdere. Max Hansen er villig til i en periode at gå ned i

levestandard, så han regner med, at han i hvert fald det første år vil kunne nøjesmed at trække 30.000 kr. ud af firmaet pr. måned.

Produktionen af printplader medfører selvfølgelig også nogle råvareomkostninger.

Folk med indgående kendskab til produktionsteknologien har fortalt, at Max

Hansen med det påtænkte produktionsudstyr, skal regne med variable

omkostninger til råvarer (som er de eneste variable omkostninger) på 250,00 kr. pr.

stk. for en produktion op til 6.000 stk. pr. år. Overstiger produktionen 6.000 stk. pr.

år regner man i branchen med jævnt stigende germemsnitlige variable

omkostninger p.g.a. stigende spildprocent. Omkostningerne kan udtrykkes som:

AVC = 0,03. Q + 70,

hvor Q er den producerede mængde pr. år.

Spørgsmål

Hvis Max Hansen beslutter sig for at starte egen virksomhed, hvad bliver da det

største dækningsbidrag, han kan opnå pr. år, og skal han i givet fald indgå

kontrakten med sin gamle kunde?

86

Page 85: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 6.2.4

En virksomhed producerer komponenter, der indgår i en række andre firmaers

færdige produkter. Man har estimeret afsætningsfunktionen på ugebasis til at være:

P=—0,5. Q+ 120.

Man har nu fået kontakt med en mulig ny kunde, som gerne vil indgå en fast

kontrakt på leverance af 30 stk. pr. uge til en fast pris af 70,00 kr. pr. stk. Såvel

mængden 30 stk. pr. uge som prisen skal ligge fast.

Hvad bliver den optimale pris og mængde på det almindelige marked, og skal man

tage kontrakten eller ej?

Hvis MC kan udtrykkes ved hver af de følgende funktioner, hvad bliver det

maksimale samlede dækningsbidrag pr. uge?

Spørgsmål]

MC =0,5• Q+47,50

Spørgsmål 2

MC=0,5 Q+42,50

Spørgsmål 3

MC = 0,5 Q + 37,50

Spørgsmål 4

MC = 0,5. Q + 32,50

Opgave 6.2.5

En virksomhed sælger vaskepulver til to markeder. Salgsafdelingen har estimeret

følgende sammenhæng mellem salg i kg pr. måned og pris:

Marked 1: P = —0,004 Q +40

Marked 2: P = —0,0025. Q + 30

Ved salg af vaskepulveret medgår der omkostninger til markedsføring og pakning,

der kan udtrykkes som:

MC=0,OOl .Q+5

87

Page 86: Teknisk økonomi Opgave Bog

Ved salg af vaskepulveret på marked i påløber endvidere ekstraomkostninger til

distribution, udtrykt ved:

MC=O,0005 Q.

Spørgsmål]

Under forudsætning af, at virksomheden holder samme pris på de to markeder,

hvad bliver da den optimale pris og mængde samt det optimale dækningsbidrag pr.

måned?

Spørgsmål 2

Efter salgsafdelingens vurdering er det muligt at prisdifferentiere.

Hvad bliver de optimale priser og mængder samt det maksimale dækningsbidrag

pr. måned, forudsat at virksomheden prisdifferentierer?

88

Page 87: Teknisk økonomi Opgave Bog

Afsnit 3 Flervareproduktion med og uden knap kapacitet

Opgave 6.3.1

Givet to afsætningsfunktioner:

P=—2Q+150- I

P=—0,5 . Q+50

De to afsætningsfunktioner viser afsætningen for to forskellige varer. Den første

vare tager to timer at producere, mens den anden kun tager en halv time.

Bestem afsætningsfunktionerne, totalomsætning og marginal omsætning, såvel

matematisk som grafisk med timer som uafhængig variabel.

Opgave 6.3.2

Et produktionsanlæg benyttes til produktion af to forskellige varer.

Det ene produkt sælges på et marked, hvor der til en pris på 60,00 kr. pr. stk. kun

kan afsættes 10 stk. pr. dag, mens man ved at sætte prisen ned til 30,00 kr. kan

komme op på et salg på 30 stk. pr. dag. Produktionsomkostningerne for denne vare

er kraftigt stigende ved stigende produktion. Ved en produktion på 10 stk. er de

totale variable omkostninger 200,00 kr., mens de samlede variable omkostninger

ved en produktion på 30 stk. er steget til 900,00 kr. Det antages, at de variable

gennemsnits-omkostninger kan beskrives ved en lineær funktion.

Det andet produkt har konstante variable omkostninger på 10,00 kr. pr. stk. uanset

produceret mængde. Dette produkt afsættes på et marked, hvor man til en pris af

25,00 kr. pr. stk. vil kunne afsætte 25 stk. pr. dag. Det er samtidig den pris og

mængde, der giver den absolut største omsætning for dette produkt.

Bestem den optimale pris og mængde, såvel grafisk som matematisk for de to

produkter, under forudsætning af:

1. Ubegrænset produktionskapacitet2. En begrænsning i produktionskapacitet der kun tillader, at der

tilsammen produceres 30 stk. af de to produkter pr. dag.Beregn det optimale dækningsbidrag samt den optimale fortjeneste under de to

forudsætninger.

89

Page 88: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 6.3.3

En virksomhed producerer og sælger 3 typer videomaskiner til hjemmemarkedet.

Ved en pris på 8000,00 kr. for video A kan virksomheden sælge 6 stk. pr. måned.

Stiger prisen til 11.000,00 kr. forsvinder efterspørgslen på video A.

Af video B kan virksomheden sælge 10 stk. pr. måned til en pris af 4.000 kr. Den

maksimale efterspørgsel efter video B er 30 stk. pr. måned.

Følgende sammenhæng mellem efterspørgsel i stk. pr. måned og pris gælder for

video C:

P=—250 Q+4.000

De 3 videoers omkostningsfunktioner kan udtrykkes som følger:

A: MC=500.Q+2.000

B: AVC =50• Q + 1.000

C: TC=125.Q2+l.000Q

Den maksimale kapacitet til rådighed i montageafdelingen er 30 timer pr. måned.

Kapacitetstrækket pr. video er 2 timer.

Hvad er virksomhedens optimale priser og mængder samt optimale

dækningsbidrag?

Opgave 6.3.4

Revisor H.V. Mortensen har sit eget revisionsfirma, en enkeltmandsvirksomhed

med ham selv som eneste revisionsuddannede medarbejder.

H.V. Mortensen har hidtil beregnet sit revisionshonorar på basis af den tid, han

bruger på de enkelte opgaver. I de seneste år har han imidlertid konstateret en

mindre tilfredsstillende udvikling i sin nettoindkomst, og årsagen er, mener han, at

han er blevet for dygtig, han har stadig mindre tid på de enkelte opgaver, hvorved

honorarerne er blevet mindre, men dette har ikke i tilstrækkeligt omfang resulteret i

ny tilgang af klienter. Desuden har Mortensen følt, at han har måttet bruge

uforholdsmæssigt meget af sin tid på registrering af timeforbrug og på ubehagelige

diskussioner om honorarets størrelse.

I december 1990 sidder H.V. Mortensen og overvejer situationen. Han er klar over,

at han i januar og frem til 15. februar 1991 helt vil være optaget af assistance til

lønmodtagere med udfyldelse af selvangivelsen. Han beslutter sig nu til at forsøge

90

Page 89: Teknisk økonomi Opgave Bog

at markedsføre sin ekspertise med et fast prissystem således, at klienterne på

forhånd kender prisen for hans assistance og således, at han selv drager fordel af at

kunne arbejde hurtigt.

H.V. Mortensen skønner på basis af sin årelange erfaring, at markedsføring af 2

produkter:

1. Udfyldelse af selvangivelse for lønmodtagere uden fast ejendom

2. Udfyldelse af selvangivelse for lønmodtagere med fast ejendom

vil give en tilstrækkelig god tilpasning til de forskellige opgavers kompleksitet.

Men prisfastsættelsen på disse 2 produkter er H.V. Mortensen usikker overfor. Han

søger derfor kontakt med en 1. års HA-studerende, Jens Hansen, som tidligere har

underholdt ham med indviklede redegørelser for, hvordan man bør fastsætte priser

under forskellige omstændigheder.

I fællesskab finder revisor Mortensen og Jens Hansen frem til følgende tekniske og

økonomiske forhold for virksomheden:

Mortensens gennemsnitlige tidsforbrug for de to produkter er henholdsvis 2,5 og 3

timer. Mortensen kræver for sin arbejdsindsats et personligt honorar på 125,00 kr.

pr. time. Dog vil han, såfremt han skal arbejde mere end 35 timer pr. uge, forlange

yderligere 5 kr. i timen for hver time, de 35 timer bliver overskredet med. Alle

øvrige omkostninger, der varierer med produktionens størrelse, er så ubetydelige, at

der i denne sammenhæng kan ses bort fra dem. M.h.t. klienternes reaktion på

forskellige priser skønner Mortensen, at al efterspørgsel efter produkt i vil falde

væk ved priser over 875,00 kr., og at efterspørgslen vil stige med 4 stk. pr. uge for

hver 125,00 kr’s nedsættelse af prisen fra de 875,00 kr. For produkt 2-klienterne, er

de tilsvarende tal 1.500,00 kr. og 2 stk. pr. 150,00 kr’s nedsættelse.

Herefter erklærer Jens Hansen, at det skulle være muligt at finde optimalpriserne på

de to produkter, og han går i gang med beregningen.

Spørgsmål i

Hvilke priser bør Jens Hansen nå frem til?

Spørgsmål 2

Revisor Mortensen har hidtil været indstillet på, at arbejde op til 60 timer om

ugen i perioden med selvangivelser. Men han beslutter nu, at han i år højest vil

arbejde 50 timer om ugen. Får denne begrænsning indflydelse på de foregående

beregninger?

91

Page 90: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål 3

Revisor Mortensen beslutter nu, efter samråd med sin læge, at han højest vil ar

bejde 35 timer om ugen. Får denne begrænsning indflydelse på de foregående

beregninger?

Spørgsmål 4

Efter i en periode at have arbejdet 35 timer om ugen, får revisor Mortensen det en

smule bedre, og han overvejer at udvide sin arbejdstid til 37 timer om ugen. Hvor

meget vil han kunne tjene ved denne udvidelse?

Opgave 6.3.5

En virksomhed sælger to slags vaskepulver, NYHVIDT og SUPERVASK, i 1 kg

pakninger. De to slags vaskepulver bliver pakket på samme anlæg, der har en

kapacitet på 40 timer pr. uge, hvilket svarer til at anlægget kan pakke enten 1000 kg

NYHVIDT eller 1200 kg SUPERVASK pr. uge.

Salgsafdelingen har estimeret følgende sammenhæng mellem afsat mængde i kg pr.

uge og pris pr. kg:

NYHVIDT: P = —0,02 Q +60

SUPERVASK: — P = —0,02 Q +36

Ved salg af vaskepulveret medgår omkostninger til materialer, løn m.v.

Nedenstående sammenhæng mellem afsat mængde og omkostninger er estimeret:

NYHVIDT: MC = 0,01. Q +20

SUPERVASK: TC = 0,005. Q2 +6 Q

Hvad er virksomhedens optimale pris, mængde - kombination og optimale

dækningsbidrag?

92

Page 91: Teknisk økonomi Opgave Bog

Afsnit 4 Flervareproduktion under forenet produktion

Opgave 6.4.1

Givet to afsætningsfunktioner:

P=—2 Q+ 150

P=—0,5 Q+50

De to afsætningsfunktioner viser afsætningen af to forskellige varer, der dog altid

sælges samlet i forholdet 1:2. Dvs. 1 stk. af Vare i sammen med 2 stk. af Vare 2.

Bestem den samlede afsætningsfunktion, totalomsætning og marginaleomsætning,

såvel matematisk som grafisk.

Opgave 6.4.2

I en produktionsproces fremkommer der dels et hovedprodukt og dels et biprodukt.

Hovedproduktet afsættes på et marked, hvor der uanset pris højest kan afsættes 200

stk. pr. uge, og hvor der ikke vil kunne afsættes noget som helst, hvis prisen er over

100,00 kr. pr. stk.

Biproduktet har begrænset afsætningsmulighed og vil ikke kunne sælges, hvis

prisen sættes til over 20,00 kr. pr. stk. Ved et salg af 40 stk. pr. uge af biproduktet

er priselasticiteten nøjagtig —1. Såfremt biproduktet ikke sælges, skal det

destrueres, hvilket koster 5,00 kr. pr. stk.

Omkostningerne ved produktionen er givet ved:

MC=0,l Q+25

Bestem den optimale pris og mængde, såvel grafisk som matematisk for såvel

hoved- som biprodukt.

Opgave 6.4.3

Vores virksomhed fra opgave 6.4.2 opdager, at der udover det gamle marked findes

et helt nyt uopdyrket marked for det samme produkt. På det nye marked har man

fundet frem til, at priselasticiteten er —1,5 ved en pris på 30,00 kr., hvortil der

svarer et salg på 20 stk. pr. dag.

93

Page 92: Teknisk økonomi Opgave Bog

Bestem den optimale pris og mængde, såvel grafisk som matematisk under

forudsætning af:

1. Varen sælges til samme pris på begge markeder2. De to markeder kan holdes adskilte. Varen kan derfor sælges til

forskellige priser på de to markederBeregn det optimale dækningsbidrag samt den optimale fortjeneste under de to

forudsætninger.

Opgave 6.4.4

En af vore kendte kokke startede for et par år siden produktionen af færdige

middagsretter i portioner til 4 personer. Han har nu henvendt sig. for at få hjælp til

løsningen af et prisfastsættelse- og produktionsplanlægningsproblem. Retterne er

baserede på kvalitets-råvarer, og udbudet af råvarer er begrænset. Med den

råvareproduktion, der finder sted i dag, kan der pr. måned købes hjem til en

produktion af 6.000 stk. 4 portioners færdigretter til en fast pris af 50,00 kr. pr. 4

portioners færdigret.

Hvis producenten af færdigretter ønsker at udvide produktionen ud over 6.000 stk.

4 portioners retter pr. måned, forventer han, at afregningspriseme for råvarer må

sættes op for at få flere producenter frem. Han forventer, at for hver 1.000 ekstra 4

portioners retter, han ønsker at producere, må afregningsprisen for råvarer øges

med 2,50 kr. pr. 4 portioners ret. Dvs. afregningsprisen forventes at stige lineært,

således at afregningsprisen for råvarer bliver 52,50 kr. pr. 4 portioner, hvis der skal

skaffes råvarer til 7.000 4 portioners færdigretter. Da den endelige afregningspris

for råvarer gælder den samlede råvareleverance, mener han, at det kan blive en dyr

spøg at hæve råvareprisen for at kunne øge produktionen.

Også på afsætningssiden forekommer situationen ret uoverskuelig. Til at begynde

med producerede og solgte vores kok udelukkende under eget navn og afsatte de

færdige retter til en række delikatesseforretninger.

Nu har FDB rettet henvendelse og spurgt, om han er interesseret i at levere

færdigretter til Brugsen under deres navn. Oven i alt dette er nu kommet, at

virksomheden er blevet så stor, at de lokale myndigheder er blevet opmærksom på

visse miljøproblemer med affald fra virksomheden. Det er dog et problem, der kan

løses, idet affaldet inden for visse grænser kan afsættes til lokale svineproducenter,

og det, der ikke kan afsættes til svineproducenter, kan mod at betale en afgift

sendes til destruktion.

94

Page 93: Teknisk økonomi Opgave Bog

Vores kok, som er noget af en kunstner inden for sit område, er efterhånden godt

træt af administrative og økonomiske problemer, så han er på nippet til at opgive

virksomheden, da han også føler sig meget usikker på, om de beslutninger og

dispositioner, han foretager, er de rigtige. Han har dog gjort et sidste desperat

forsøg og fået et marketingfirma til at analysere afsætningsmulighederne, og de har

opstillet følgende afsætningsfunktioner:

Delikatesseforretninger: P = —1/200 Q + 135

FDB: P=—l/l00.Q+90

Affald til svineproducenter: P = —1/600 Q + 20

Destruktion og bortkørsel: 10,00 kr. pr. enhed.

Alle oplysninger er her angivet for 4 portioners færdigretter.

Hvordan bør kokken prisfastsætte?

Hvor mange færdigretter skal han producere?

Hvad bliver hans dækningsbidrag pr. måned?

Kokken overvejer også at starte diner tranportable. Det vil medføre et ekstra træk

på køkkenpersonalet, gryder, potter og pander, som med de nuværende lokaliteter

ikke kan udvides yderligere.

Diskuter de løsnings- og modelmæssige konsekvenser denne udvidelse af aktivi

teterne får.

95

Page 94: Teknisk økonomi Opgave Bog

Afsnit 5 Afsætningsmæssig sammenhæng

Opgave 6.5.1

Virksomheden Bord og Bænk producerer en række forskellige udendørs møbler

så som haveborde, stole, bænke m.m. Et af virksomhedens succesprodukter er et

havebord med 4 stole fremstillet af trykimprægneret svensk fyrretræ. Det samlede

sæt sælges dels til byggemarkeder og dels direkte til private.

Til private sælges sættet for 3.700 kr., hvilket giver et salg på 5.000 sæt pr. år.

Det er salgsafdelingens vurdering, at det giver den optimale pris/mængde kombi

nation på det private marked.

Afsætningsfunktionen til byggemarkeder har man estimeret til at være:

p= !.Q+4000

Produktionsomkostningerne består af materialer og løn samt diverse direkte vari

able omkostninger, hvilket i alt beløber sig til 1.000 kr. pr. sæt. Hertil kommer

dog, at der ved salg til private løber 200 kr. på i forsendelsesomkostninger.

Spørgsmål i

Bestem de optimale priser og mængder på hver af de to markeder og beregn det

samlede dækningsbidrag.

Bord og Bænk har nu planer om at introduceret et nyt sæt havemøbler i en mere

luksuriøs udførelse. Det nye sæt skalfremstilles i teaktræ med messing beslag og

skal kun sælges gennem specielle havecentre. Afsætningsfunktionen forventes at

blive:

P=—0,1 . Q+5.000

mens omkostningerne forventes at blive på 1 .85flJr. pr sæt. Hertil kommer dog

yderligere, at introduktionen af den nye model forventes at medføre et fald i sal

get af den gamle model. Det er salgsafdelingen vurdering, at for hver 2 sæt, der

sælges af den nye model, vil man miste salget af 1 sæt af den gamle model.

Spørgsmål 2

Bestem optimal pris og mængde for den nye model og beregn det samlede dæk

ningsbidrag, når det forudsættes, at de optimale priser på fyrretræssættet fasthol

96

Page 95: Teknisk økonomi Opgave Bog

des, og at det tabte salg fordeler sig med 1/3 på det private marked og 2/3 til byg

gemarkeder.

Opgave 6.5.2

Bord og Bænk fremstiller også et udendørs bord med fast monterede bænke som

især sælges til institutioner og grundejerforeninger. Der sælges i øjeblikket

12.000 stk. på årsbasis til en pris af 4.000 kr. pr. stk. Man har indtil nu valgt ikke

at prisdifferentiere, selvom det nok ville være en fordel, da man har en formod

ning om, at grundejerforeninger er mindre prisfølsomme end institutioner. Prisen

på 4.000 kr. pr. stk. giver et salg til grundejerforeninger på 4.000 stk. pr. år, og

salgsafdelingen vurderer, at priselasticiteten ved denne pris og mængde er —1. Til

institutioner kan der ved en pris på 4.000 kr. pr. stk. sælges 8.000 stk. pr år, og

her har salgsafdelingen vurderet priselasticiteten til at være —2.

Produktionsomkostningerne er givet ved:

MC=0,l .Q+900

Spørgsmål i

Hvor meget kunne virksomheden øge sit dækningsbidrag ved at ændre på prisen,

forudsat man stadig Ønsker at holde samme pris til begge kundekategorier?

Spørgsmål 2

Hvad bliver den optimale pris og mængde på hver af de to markeder, hvis man

vælger at prisdifferentiere?

Bord og Bænk har netop fået en henvendelse fra en sammenslutning af køben

havnske institutioner, som er interesserede i at indgå en aftale om en årlig leve

ring af 1.000 borde med fast monterede bænke. Salgsafdelingen vurderer, at det

vil betyde en reduktion i salget på 10% på institutionsmarkedet, hvis man indgår

en sådan aftale.

Spørgsmål 3

Hvad er den laveste pris Bord og Bænk kan accepterer, hvis man ikke Ønsker at

lide tab ved indgåelsen af aftalen?

97

Page 96: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 6.5.3

Konfektionsfabrikken Luxembourg har fået designet en skjorte og et slips, som

dels kan bruges hver for sig og dels udgør et meget flot samlet sæt.

Priser og mængder for hver af de to produkter er, som det ser ud i øjeblikket, føl

gende:

Pris pr. stk. Salg i stk. pr. år Omsætning i kr.

Skjorter 300,00kr. 15.000 4.500.000

Slips 100,00kr. 7.000 700.000

Ialt 5.200.000

Fabrikkens indehaver vurderer, at priselasticiteten for skjorter er —2,5 samt at

priskrydselasticiteten mellem skjorter og slips er —2 ved prisændringer på skjor

ter.

Indehaveren overvejer at sætte prisen på skjorter ned med 10% og vil i denne

forbindelse gerne have en vurdering af, hvad det vil betyde for fabrikkens om

sætning.

98

Page 97: Teknisk økonomi Opgave Bog

KAPITEL 7

Opgave 7.1

Lineær Programmering

To typer af transportskibe er til rådighed til en redningsaktion, der består i at

overflytte nØdstedte flygtninge til en flygtningelejr. HØjkomrnissæren for flygtninge

har fået tilsagn om ubegrænset frivillig arbejdskraft, hvorimod antallet af skibe,

brændstof samt den tid, det kræver at efterse og reparere skibene, er begrænset.

Følgende oplysninger er indhentet:

Skibstyper Energiforbrug Disponibelt Passager

i liter antal skibe kapacitet pr. skib

A 10.0001 26 2.000

B 20.0001 15 3.000

Maksimalt disponibelt brændstof er anslået til i alt 400.000 i og kapaciteten for

eftersyn og reparation begrænser antallet af skibe til maksimalt 30.

Spørgsmål

Hvor mange skibe af type A og B skal sendes på redningsaktionen for at

maksimere antallet af overflyttede flygtninge?

99

Page 98: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 7.2

Fremstillingen af mØtrikker i en given virksomhed foregår i 3 hovedprocesser:

• opskæring (af 6-kantet metalvare)• udboring• gevinddrejningMed følgende produktionstider pr. møtrik og kapaciteter pr. dag:

Proces Møtrik type 1 Møtrik type 2 Kapacitet

pr. dag

Opskæring i sek. i sek. 28.800 sek.

Udboring 5 sek. 3 sek. 115.200 sek.

Gevinddrejning 10 sek. 20 sek. 489.600 sek.

Idet det antages, at virksomheden kan sælge enhver mængde af de 2 produkter,

møtrik 1 og møtrik 2, til et konstant dækningsbidrag på henholdsvis 3 og 4 øre,

bedes du bestemme det optimale produktionsprogram.

Opgave 7.3

En virksomhed producerer to varer, X1 og X2, i forenet produktion med variabelt

mængdeforhold. Produktionen gennemføres ved anvendelse af 3 maskiner, A1, A2

og A3, der højst kan udnyttes henholdsvis 72, 64 og 60 timer i den betragtede

periode. Begge varer skal successivt behandles på alle tre maskiner:

Antal maskintimer pr. kg på maskinen:

A1 A2 A3

VareX1 i 4 6

VareX2 12 8 4

Af tekniske grunde er det umuligt at producere mere end fire gange så mange kg af

vare X2 som af vare X1, ligesom det er umuligt at producere mere end to gange så

mange kg af vare X1 som af vare X2.

100

Page 99: Teknisk økonomi Opgave Bog

1. Bestem grafisk det område, inden for hvilket produktionen af de to

varer kan varieres.

2. Idet det oplyses, at fortjenesten på X1 og X2 er henholdsvis 5,00 kr.

og 15,00 kr. pr. kg, bestemmes grafisk den produktion, der giver

størst fortjeneste. Fortjenesten pr. kg er for begge varer uafhængig af

den producerede mængde.

Opgave 7.4

En mindre industrivirksomhed står over for en række problemer, som de har bedt

dig om at se på og hjælpe dem med at løse.

I en af afdelingerne anskaffede man for tre år siden et nyt produktionsanlæg

bestående af to procesanlæg til i alt 2.000.000 kr. Det forventes, at anlægget vil

kunne holde i 10 år, dog med ret kraftigt stigende drifts- og vedligeholdelsesom

kostninger. Man regner med, at anlægget taber 200.000 kr. i værdi pr. år, og at det

efter 10 år er værdiløst. På anlægget produceres der to produkter, hvoraf det ene er

en standardudgave, mens det andet er en luksusudgave. Den væsentligste forskel

består i, at luksusudgaven kræver større omhu, og derfor tager længere tid i begge

procesenheder. For standardvaren skal der i proces I bruges 3 min. pr. stk., mens

der i proces II kan behandles 15 stk. pr. time. Af luksusudgaven - der som sagt

kræver stølTe omhu - kan der i proces I behandles 10 stk. pr. time, mens proces II

tager 5 min. pr. stk. Begge de to processer kræver 2 mand til en løn af 75,00 kr. pr.

time.

Der benyttes den samme råvare til fremstilling af de to færdigvarer, og virksom

heden har her indgået en kontrakt, som sikrer, at man kan få leveret op til 25.200

råvareemner pr. år. Der skal bruges et råvareemne til hver færdigvare, uanset om

det er Standard eller Luksus. Råvaren koster 12,50 kr. pr. stk. Salgspriserne for

Standard og Luksus er henholdsvis 60,00 kr. og 75.00 kr. pr. stk.

Spørgsmål]

Bestem grafisk og/eller matematisk den optimale produktion pr. dag af standard- og

luksusudgaven, når det oplyses, at virksomheden regner med 225 arbejdsdage å 8

timer pr. år.

Hvor stor bliver den årlige fortjeneste, når den optimale produktionsplan følges?

101

Page 100: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål 2

Hvilken værdi har ekstra råvarer for virksomheden?

Hvad er det maksimale antal råvarer, virksomheden vil være interesseret i givet dennuværende produktionskapacitet?

Hvor meget skal prisen på Luksus ændres, for at den optimale løsning i spørgsmåli bliver en anden?

Opgave 7.5

En virksomhed står over for et produktionsplanlægningsproblem for en mindre delaf virksomhedens produktion. I en af afdelingerne fremstiller man to produkter Aog B ud fra samme råvare.

Råvareleverandøren kan maksimalt levere 60 tons råvare pr. uge til en pris af600,00 kr. pr. tons.

Produktion af 1 tons færdigvare A kræver 1 1/2 tons råvare, mens 1 tons færdigvareB kræver i 1/3 tons råvare.

Råvaren skal passere to på hinanden følgende procesanlæg, som kan indstilles tilenten at producere færdigvare A eller færdigvare B.

Omstilling af procesanlæggene tager ingen tid.

Det første procesanlæg er meget energikrævende, og det koster 250,00 kr. atbehandle i tons af færdigvare A og 200,00 kr. at behandle i tons af færdigvare B.

Det første procesanlæg er i øjeblikket bemandet 40 timer pr. uge, og det tager 40min, at behandle i tons af vare A, mens 1 tons af vare B tager 80 min.

I det andet procesanlæg, der er bemandet 30 timer pr. uge, kan der ses bort fra alleomkostninger. Det tager her i time at behandle i tons af vare A, mens vare B kanbehandles på 20 min. pr. tons.

Der er indgået en langtidskontrakt med en kunde om levering af mindst 10 tons Apr. uge.

Salgsafdelingen forventer at kunne afsætte op til 25 tons af vare B til en pris på1.100,00 kr. pr. tons, mens der forventes at være ubegrænsede afsætningsmulig

heder for A til en pris af 1.300,00 kr. pr. tons.

Afdelingen beskæftiger kun fastansatte månedslønnede medarbejdere.

102

Page 101: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål i

Bestem den optimale produktion af de to varer ved hjælp af en grafisk fremstilling.

Spørgsmål 2

Beregn (evt, på grundlag af aflæsninger på figuren) det maksimale afdelings

dækningsbidrag.

Spørgsmål 3

Hvordan påvirkes den optimale løsning, hvis råvareleverandøren tilbyder yderligere

leverancer?

Opgave 7.6

Virksomheden Farm Machines producerer en række forskellige maskiner til små og

mellemstore landbrug, bla. 3 forskellige harver.

Produktionen af harver er skilt ud fra den øvrige produktion og foregår i en afde

ung, der kun beskæftiger sig med denne ene produktgruppe.

Fremstilling af harver foregår i tre processer:

• klipning og bukning af rammejern• svejsning• montage og maling

Uanset hvilken harvetype det drejer sig om, er det de samme maskiner og medar

bejdere, der bruges til klipning og bukning af rammejern.

Type i kan klippes og bukkes på en time, mens type 2 tager to timer og endelig kan

type 3 klares på en halv time. Der er i alt 700 timer pr. kvartal til rådighed til klip

ning og bukning af rammejern.

Til svejsning har man opbygget 3 svejselinier tilpasset med en linie til hver af de tre

harvetyper. De tre svejselinier er hver til rådighed i 600 timer pr. kvartal. Det tager

3 timer at svejse en type i harve, 2 timer for en harve af type 2 og endelig tager

type 3 harven 6 timer at svejse. Den sidste proces montage og maling tager 2 timer

pr. harve uanset type, og virksomheden disponerer her over 1.200 timer pr. kvartal.

Fortjenesten pr. harve har man beregnet til:

• 3.000,OOkr.fortypei• 4.000,00kr. fortype2• 2.500,00 kr. for type 3

103

Page 102: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål]

Beregn den optimale kvartalsproduktion af harver for Farm Machines under forudsætning af, at man kan sælge alle de harver, man har kapacitet til, til de fastsattepriser.

Hvilken værdi har ekstra kapacitet i:

• klippe- og bukke afdelingen?• svejselinierne?• montage og maling?

Spørgsmål 2

Hvad bliver svarene til ovenstående spørgsmål, hvis montage og maling tager 4timer pr. harve?

104

Page 103: Teknisk økonomi Opgave Bog

KAPITEL 8

Lagerstyring

Opgave 8.1

Grosserer Olsen har som en af sine aktiviteter køb af båndoptagere fra en fabrik

og videresalg til detailforretninger. Købsprisen er 1.000,00 kr/stk., og

afsætningen er 12.000 stk/år. Afsætningen er rimelig konstant og jævnt fordelt

hen over året. Hidtil har Olsen anvendt en ordrestørrelse på 2.000 stk., idet han

modtager en sending med 2.000 båndoptagere hver anden måned. Når en sending

lige er ankommet, har han et lager på 2.000 stk. Derefter formindskes lageret

jævnt hen over tiden som følge af detaillisternes efterspørgsel; efter to måneder er

lageret nået ned på 0 stk., og på dette tidspunkt ankommer den næste sending.

Foruden selve købsprisen regner Olsen med to slags omkostninger:

• ordreomkostninger• lageromkostninger

Ordreomkostningerne beskrives ved, at der påløber omkostninger på 5.000,00 kr.,

hver gang en ordre fra Olsen til fabrikken effektueres. Dette beløb er fast,

uafhængig af ordrestørrelsen.

Lageroinkostningerne beskrives ved, at der påløber omkostninger på 12% af

lagerinvesteringen opgjort til købspris. Hvis lageret helt hypotetisk var konstant

pa 100 stk. ville mvesteringen være

(100) stk. . (1.000,00 kr/stk.) = 100.000,00 kr.,

og lageromkostningerne ville være 12.000,00 kr. pr. år.

Hvis lageret var jævnt faldende over året, fra 200 stk. den 1. jan. til 0 stk. den 31.

december, ville gennemsnittet være 100 stk. Gennemsnitsinvesteringen ville være

100.000,00 kr., og lageromkostningerne ville være 12.000,00 kr. pr. år.

105

Page 104: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål i

Find de samlede årlige ordre- og lageromkostninger ved den hidtidige

ordrestØlTelse på 2.000 stk.

Olsen spekulerer på, om en ændring af ordrestØrrelsen ville være omkostnings

besparende. Ved at sænke ordrestørrelsen ville han bla. opnå, at gennemsnits

lageret (og dermed årlige lageromkostninger) blev mindre. Ved at hæve

ordrestØrrelsen ville han bl.a. opnå at antallet af sendinger pr. år (og dermed de

årlige ordreomkostninger) blev mindre. Olsen bestemmer sig for at anskue

ordrestØrrelsen som en beslutningsvariabel, som han kalder x. Den hidtidige

lagerpolitik kan således karakteriseres ved udsagnet x = 2.000 stk.

Spørgsmål 2

Find de samlede årlige ordre- og lageromkostninger som funktion af

ordrestØrrelsen x, ledsaget af en grafisk fremstilling.

Spørgsmål 3

Find den samlede ordrestØrrelse, således at de samlede årlige ordre- og

lageromkostninger minimeres.

Mens Olsen overvejer disse spørgsmål, kommer der et brev fra fabrikken. Heri

tilbyder fabrikken rabat til grossister med store ordrestØrrelser. Mere specifikt er

prisen fortsat 1.000,00 kr/stk. ved ordrestØrrelser under 4.000 stk. Ved or

drestØrrelser på 4.000 stk. og derover nedsættes prisen til 900,00 kr/stk. for alle

båndoptagere i sendingen.

Under en middag i Societetet diskuterer Olsen fabrikkens rabattilbud med en

konkurrent, grosserer Anton Mannhard. Mannhard oplyser, at han for sit

vedkommende vil fortsætte sin hidtidige lagerpolitik. Alt taget i betragtning

mener Mannhard, vil en accept af tilbudet ikke nedsætte de totale omkostninger.

Spørgsmål 4

Find den optimale ordrestØrrelse, når hensyn tages til muligheden for rabat.

Olsen fører andre varer end båndoptagere. Han er usikker på, om den i det

foregående anvendte model også kan anvendes ved varer med andre kendetegn.

Diskuter modellens begrænsede forudsætninger og antyd, hvordan man kunne

forestille sig mere almene lagermodeller.

106

Page 105: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 8.2

En stølTe produktionsvirksomhed køber to forskellige halvfabrikata hjem den

første i hvert kvartal. Indkøbene, der betales kontant, finansieres via en kassekre

dit, hvor der betales 10% p.a. Af hensyn til forenklingen af beregningerne antages

rentetilskrivningen kun at finde sted en gang om året.

Forbrug pr. år Indkobspris Ordreomkost

ning

Vare A 36.000 stk. 80,00 kr/stk. 9.000 kr. pr. gang

Vare B 12.000 stk. 150,00 kr/stk. 2.500 kr. pr. gang

For vare A gives der en kvantumsrabt på 3/4% på indkøbsprisen, hvis der aftages

15.000 stk. eller mere pr. gang.

Spørgsmål i

Bestem virksomhedens optimale indkøbspolitik og beregn ændringen i omkost

ninger på årsbasis ved at gå fra den nuværende indkøbspolitik til den optimale.

Spørgsmål 2

På grund af almindelig likviditetsstramning ønsker virksomheden at reducere ka

pitalbindingen i lageret til maksimalt 350.000 kr.

Hvilken ordrepolitik vil du foreslå virksomheden under disse betingelser?

107

Page 106: Teknisk økonomi Opgave Bog
Page 107: Teknisk økonomi Opgave Bog

Facitliste

Kapitel i

Opgave 1.1

Verbal

Opgave 1.2

1. 0

2. 0

3. 4Q

4. —3Q2

5. —1Q

6. 10

7. —2Q

8. 45—Q

9. 3Q2—16Q+57

10. 100—20Q

11. —56

12. 3

Opgave 1.3

Grafer

Opgave 1.4

P=—2 Q+ 150

Q =25 stk.

P=3Okr.

109

Page 108: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 1.5

P=—0,5 . Q+50

50kr.

Opgave 1.6

P=—2Q+ 150

P=—0,4Q+70

Opgave 1.7

Omsætning = 175 +

MR=50—0,2 Q

Opgave 1.8

MC =28

MC =25

MC =29

TVC =28 QTVC =25 Q + 300

TVC =29 Q — 900

Opgave 1.9

Omsætning =

Afsætning =

MR =

Opgave 1.10

0,5 Q2 10 •Q+50

Opgave 1.11

120

Q

0<Q 100

100<Q150

150<Q200

0<Q 100

100<Q 150

150<Q200

0<Q50

50Q

50 Q—0,1 .Q2

—Q2 +50• Q

—Q+50

—2Q+50

110

Page 109: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 2

Alle opgaverne i kapitel 2 er af verbal diskuterende karakter, hvorfor der ikke er

nogen egentlig facitliste.

111

Page 110: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 3

Opgave 3.1—3.18

Verbale

Opgave 3.19

Spørgsmål 1: 1.526.308 kr.

Spørgsmål 2: 0 kr.

Opgave 3.20

Verbal

Opgave 3.21

Kommenterede nøgletal

Opgave 3.22

Alternativ 1: Dårligt —6.125

Alternativ 2: Godt +2.800

Alternativ 3: Godt +1.517

Opgave 3.23

Akkumuleret likviditetspåvirkning: 445.000 kr.

112

Page 111: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 4

Opgave 4.1

1: P=—2/3Q+16

2: P=—0,8Q+16

3: P=—0,75Q+15

4: P=—1,25Q+15

5: P=—0,8Q+12

6: P=—2Q+12

7: Ingen entydig løsning P = —a Q + 10

8: P=—213Q+l0

9: P=—113Q+8

10: Ingen entydig løsning P = —a Q + 12

11: P=—0,25Q+6

12: Ingen entydig løsning P = —0,5. Q + b

Opgave 4.2 — 4.6

Verbal

Opgave 4.7

Grafisk

Prisstigning: ep = —2

Prisfald: ep =

Opgave 4.8

P = 10.000: ep = —0,5 for begge markeder

P = 20.000: ep = —2 for begge markeder

Opgave 4.9

Verbal

113

Page 112: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 4.10

1. Stigning på en i de uafhængige variable

• P=—lo

• N=0,75

• I=O,05

• Pa6

• R=0,05

• P0=40O

2. 224.700 stk.

3. P=—O,1Q+30.470

4. Verbal

5. MR = —0,2 Q + 30.470 TR = —0,1 Q2 + 30.470 Q6. Verbal

Opgave 4.11

Grafisk og verbal svar

Opgave 4.12

Grafisk og verbale svar

MR=—4 . Q+l00

Opgave 4.13 — 4.16

Verbal svar

114

Page 113: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 5

Opgave 5.1

Spørgsmål 1

Ri = 100

R2 = 200

Alle kombinationer lige gode

Spørgsmål 2

1.000 ks.

800 kr.

1.000kr.

Spørgsmål 3

R1-aksen

R2-aksen

Enhver ret linie i første kvadrant der går gennem origo.

Opgave 5.2

Spørgsmål i

Rl = 300 og R2 = 200 uanset råvarepriser

Spørgsmål 2

4.200kr.

3.800 kr.

4.000 kr.

Spørgsmål 3

2

R2 = Ri uanset priskombination

Opgave 5.3

Spørgsmål i

R2 = +6Ri

115

Page 114: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål 2

180 kr.

Spørgsmål 3

R2= 1,2Rl

Opgave 5.4

Forbruget af råvare 1 bør Øges og forbruget af råvare 2 reduceres.

Opgave 5.5

Verbale besvarelser til alle spørgsmål

Opgave 5.6

Spørgsmål 1

Medarbejdere

Marginalproduktion

Spørgsmål 2

4 medarbejdere

Opgave 5.7

2.595 kWh på nattarif

Opgave 5.8

AVC=MC= 10

TVC= 10Q

Opgave 5.9

a: AVC=0,5.Q+lO

b: AVC=0,5Q+10

MC=Q+ 10

MC = Q + 10

TVC=0,5 Q2+ 10Q

TVC=0,5. Q2+ 10Q

Opgave 5.10

a: AVC = —0,25. Q + 10

b: AVC = —0,25. Q + 10

c: AVC=—0,25Q+l0

MC=—0,5. Q+ 10

MC=—0,5 Q+ 10

MC=—0,5 Q+ 10

TVC = —0,25 Q2 + l0Q

TVC = —0,25 .Q2 + lOQ

TVC = —0,25 .Q2 + 10Q

0 1 2 3 4 5 6

0 12 10 8 6 4 2

116

Page 115: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.11

AVC=

TVC =

MC =

Opgave 5.12

Q8

—0,5 Q+ 10

—0,5Q2+10Q

—Q+ 10

Q>8

0,25. Q +4

0,25 Q2+4 Q

0,5 Q+4

AVC=

TVC =

MC =

Opgave 5.13

AVC=

TVC =

MC =

Opgave 5.14

AVC=

TVC =

MC =

Opgave 5.15

AVC =

TVC =

MC =

Q8 Q>8

8 0,25Q+6

8Q 0,25Q2+6Q

8 0,5Q+6

Q7 Q>8 Q=8

10 8 8

10Q 8Q 64

10 8 —6

Q8 Q>8

10 6+321Q

10Q 6Q+32

10 6

Q8 Q>9 Q=9

10 6+52/Q 11,78

10Q 6Q+52 106

10 6 26

117

Page 116: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.16

Der gives kun værdierne for Q = 5:

Q TC TVC FC AC AVC AFC MC

5 9.340 4.300 5.040 1.868 860 1.008 900

Opgave 5.17

1. skift 2. skift

AVC = —20 Q + 2.500 —30 Q + 6.750— 187.500/Q

TVC = —20 Q2 + 2.500 Q —30 Q2 + 6.750 Q — 187.500

MC= —40 Q+2.500 —60 Q+6.750

3. skift

AVC = —40 Q +13.000 — 712.5001Q

TVC = —40 Q2 + 13.000 Q —712.500

MC= —80Q+13.000

Opgave 5.18

Q100 Q>100

AVC= 7 0,02Q+5

TVC= 7Q 0,02Q2+5Q

MC= 7 0,04Q+5

Opgave 5.19

TC= 5Q2+10.Q+50.000

TVC= 5Q2-f-10Q

MC= 10Q+10

AVC= 5.Q+10

Opgave 5.20

Q50 50<Q100 Q>100

MC = —Q + 100 50 0,5 QTVC = —0,5

. Q2 + 100 Q 50 Q + 1.250 0,25Q2+ 3.750

AVC = —0,5. Q + 100 50 + 1.250/Q 0,25 + 3.7501Q

118

Page 117: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.22

Opgave 5.23

0<Q< 10.000

MC= 1,1

TVC= 1,1Q

AVC= 1,1

Q=20.000

MC = —1.598,98

TVC= 18.800

AVC= 0,94

40.000<Q

MC= 0,86

TVC= 0,86Q

1,02 1,02

20.000<Q<40.000 Q = 40.000

0,94 —3.199,06

Opgave 5.2]

MC=250 0<Q<1.000 MC=250 0<Q666,66

MC = —49.750 Q = 1.000 MC = 100 666,66< Q 1.000

MC = 200 1.000 < Q MC = 200 1.000 < Q

A normaltid B normaltid C normaltid

0<Q148 148<Q259 259<Q333

MC= 30 40 60

TVC = 30 Q 40 Q — 1.480 60 Q — 6.660

AVC= 30 40—1.480/Q 60—6.660/Q

A overtid B overtid C overtid

333<Q393 393<Q438 438<Q468

MC= 45 60 90

TVC = 45. Q — 1.665 60 Q — 7.560 90 Q — 20.700

AVC= 45—1.6651Q 60—7.560/Q 90—20.7001Q

Q= 10.000

—798,90

10.200 1,02Q

10.000 < Q < 20.000

1,02

0,94 Q 34.400

0,94 0,86

AVC= 0,86

Page 118: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 5.24

Q TVC MC AVC1-80 0 0 0,00

81 4000 4.000 49,38

84 16.000 4.000 190,48

85 19.000 3.000 223,53

86 19.000 0 220,93

95 19.000 0 200,00

96 23.000 4.000 239,58

99 35.000 4.000 353,54

100 38.000 3.000 380,00

101 38.000 0 376,24

105 38.000 0 361,90

106 42.000 4.000 396,23

109 54.000 4.000 495,41

110 56.500 2.500 513,64

111 57.000 500 513,51

112 57.000 0 508,93

116 65.500 3.500 525,86

119 73.000 4.000 613,45

120 75.500 2.500 629,17

Opgave 5.25

B=1 1<B10

MC= 9.360 1.511,11—151,11B

AVC = 9.360 1.435,55 — 75,55 . B + 8.000/B

TVC = 9.360 1.435,55 . B — 75,55 . B2 + 8.000

10<B50 B=51

MC = 726,75 — 8,50 B 8.336,60

120

Page 119: Teknisk økonomi Opgave Bog

AVC = 722,50 — 4,25 B + 8.000/B 820,32

TVC = 722,50 . B —4,25 B2 + 8000 41.836,60

51 <B 100

MC= 683,40—6,80 B

AVC= 680—3,40•B+ 16.000/B

TVC = 680 B — 3,40 B2 + 16.000

Opgave 5.26 — 5.29

Verbale og grafiske besvarelser

121

Page 120: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 6, afsnit i

Opgave 6.1.1

Spørgsmål i

Optimal produktion 190 stk. pr. måned

Dækningsbidrag = 4.813,33 kr. pr. måned.

Spørgsmål 2

På kort sigt bliver laveste pris 22,50 kr.

På lang sigt bliver laveste pris 77,00 kr.

Opgave 6.1.2

Spørgsmål i

Q TC ATC MC TVC AVC

1000 stk. 1000 kr. kr. kr. 1000 kr. kr.

0 6 0

1 9 9 3 3 3

2 11 5,5 2 5 2,5

3 12,6 4,2 1,6 6,6 2,2

4 14,8 3,7 2,2 8,8 2,2

5 18,5 3,7 3,7 12,5 2,5

6 23,7 3,95 5,2 17,7 2,95

7 31,5 4,5 7,8 25,5 3,64

8 43,4 5,43 11,9 37,4 4,68

9 60,3 6,7 16,9 54,3 6,03

10 86,3 8,63 26 80,3 8,03

Pris på lang sigt kr. 3,70

Antal virksomheder på lang sigt = 100

Pris på kort sigt kr. 2,20

Spørgsmål 2

Ligevægtspris = 3,40

Ligevægtsmængde = 480.000 enheder.

122

Page 121: Teknisk økonomi Opgave Bog

Spørgsmål 3

Ligevægtspris = 4,90

Ligevægtsmængde = 580.000 enheder.

Jens Olsen vil producere 5.800 enheder.

Overskud 5.832 kr.

Antal virksomheder = 156

Spørgsmål 4

Ligevægtspris 2,00 kr. eller 2,20 kr.

Argumenter for og imod samt konsekvenser af det ene eller det andet.

Hvor meget Olsen vil producere og hvor mange virksomheder der bliver på lang

sigt, afhænger af foregående.

Spørgsmål 2

Laveste pris er min. AVC = 22,50 kr.

Q = 150 stk. pr. måned

Dækningsbidrag =0

Opgave 6.1.3

Optimal: Pris: 50,00 kr.

Mængde: 100 stk.

Dækningsbidrag: 1.250,00 kr.

Opgave 6.1.4

Optimal pris og mængde: pris = 101,85 kr.; Q = 321 stk. pr. uge

Dækningsbidrag = 14.912,05 kr.

Forøgelse i Dækningsbidrag = 4.662,05 kr.

Opgave 6.1.5

Optimal pris og mængde: pris = 295,83 kr.; Q = 408,33 stk.

Dækningsbidrag = 100.041,57 kr.

Tab pr. måned = 1.041,57 kr.

123

Page 122: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 6.1.6

Q500 Q>500

P= —0,5•Q+350 —Q+600

TR = —0,5. Q2 + 350 Q —Q2 + 600 Q

MR= —Q+350 —2Q+600

Opgave 6.1.7

Optimal: Pris: 56,25 kr.

Mængde: 50 stk.

Dækningsbidrag: 1.250,00 kr.

Opgave 6.1.8

Optimal: Pris: 660,00 kr.

Mængde: 800 stk.

Fortjeneste: 328.000 kr. pr. kvartal

Opgave 6.1.9

Spørgsmål i

Optimal: Pris: 4,25 kr.

Mængde: 350 stk.

Dækningsbidrag: 612,50 kr.

Spørgsmål 2

Optimal: Pris: 3,00 kr.

Mængde: 857 stk.

Dækningsbidrag: 1071,00 kr.

Spørgsmål 3

Optimal: Pris: 3,50 kr.

Mængde: 1.000 stk.

Dækningsbidrag: 2.000,00 kr.

Spørgsmål 4

Optimal: Pris: 3,75 kr.

Mængde: 1.125 stk.

Dækningsbidrag: 2.531,25 kr.

124

Page 123: Teknisk økonomi Opgave Bog

Ved specialbehandling, er det kun interessant at kigge på de løsninger, hvor

Q<l .000:

Optimal: Spørgsmål 1 Spørgsmål 2 Spørgsmål 3

Pris ikr.: 3,78 3,70 3,66

Mængde: 444 stk. 666 stk. 1.000 stk.

Dækningsbidrag i kr.: 888,90 1.333,33 2.000,00

Opgave 6.1.10

Spørgsmål 1

Optimal: Pris: 562,50 kr.

Mængde: 875 stk.

Dækningsbidrag: 306.250,00 kr.

Spørgsmål 2

Qkæde = 368,75

Pkæde = 862,50.

Qselvstændige = 506,25

Pselvstændige = 462,50.

Samlet DB = 351.250 kr.

Opgave 6.1.11

Spørgsmål i

P = —Q/140 + 10 MR = —Q170 + 10

Q<600 MC =2

600<Q<800 MC = 0,01. Q —4

Spørgsmål 2

Optimal pris og mængde brød pr. uge: P = 6,00 og Q = 560

Spørgsmål 3

Reduceret efterspørgsel, fladere efterspørgselsfunktion.

125

Page 124: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 6.1.12

Optimal: Pris: 70,00 kr.

Mængde: 60 stk.

Dækningsbidrag: 1.950,00 kr.

Fortjeneste 1.200 kr.

Opgave 6.1.13

MC = 0,5. Q + 1

P=—Q+9 MR=—2Q+9 forP<5,00 ellerQ>4

P=—O,25Q+6 MR=—0,5Q+6 forP>5,00 ellerQ<4

MC for Q = 4 skal ligge mellem 1 og 4, hvilket giver Po = 5,00 og Qopt = 4

Opgave 6.1.14

Spørgsmål 1

Den optimale pris = 3 og mængde = 10

Fordeling mellem GH og WE:

GH: WE:

Q: 2,5 7,5

Omsætning: 7,500 22,500

Omkostning: 475 13,125

Dækningsbidrag: 9,375

Spørgsmål 2

Den optimale pris = 5 og mængde = 6

GH: WE:

Q: 1,5 4,5

Omsætning: 7,500 22,500

Omkostning: 5,625

Dækningsbidrag: 16,875

126

Page 125: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 6.1.15

Spørgsmål 1

Producent Grossist Detaillist

Q: 200 200 200

Pris: 60,00 80,00 90,00

Dækningsbidrag: 8.500 4.000 2.000

Total DB: 14.500

Spørgsmål 2

Ved at koordinere tingene, øges den samlede fortjeneste til: 28.900

(prisen = 66,00 og mængden = 680)

Spørgsmål 3

(1)

Producent Grossist Detaillist

Q: 176,47 176,47 176,47

Pris: 54,70 77,35 91,18

Dækningsbidrag: 6.617 3.115 1.558

Total DB: 11.290

(2)

Det samlede dækningsbidrag bliver nu: 22.500

(pris = 70,00 og mængde = 600)

127

Page 126: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 6, afsnit 2

Opgave 6.2.1

Samme pris

0<Q<50

—2. Q + 150

—4Q+ 150

—2Q2+150Q

Pris =

MR =

TR =

Forskellige priser

Afsætningsfunktionen har ingen

0< Q <25

MR = —4•Q+ 150

50<Q

—0,4 Q + 70

—0,8Q+70

—0,4 Q2 +70• Q

mening ved forskellige priser

25 <Q—0,8•Q+70

Opgave 6.2.2

Udbygning af opgave 6.1.5

Optimal ved salg til tysk forhandler:

Qtotai 2.400 stk.

QSk: 1.550 stk.

Qdanmark 850 stk.

Samlet fortjeneste: 392.750,00 kr.

Opgave 6.2.3

Optimal Med kontrakt Uden kontrakt

Dækningsbidrag: 4.162.500 kr. 4.162.500 kr.

Det er altså ligegyldigt, om Max Hansen indgår kontrakten eller ej.

Ptysk

PDanmark:

390,00 kr.

645,00 kr.

Opgave 4.2.4

1. P=95,83 Q=48,33 DB= 1.752 Ingenkontraktsalg

2. P=94,17 Q=51,66 DB =2.002 Ingenkontraktsalg

3a. P = 92,50 Q = 55 DB = 2.269 Ingen kontraktsalg

3b. P = 97,50 Q =45 DB = 2.269 Med kontraktsalg

4. P = 95,83 Q = 48,33 DB = 2.652 Med kontraktsalg

128

Page 127: Teknisk økonomi Opgave Bog

Opgave 6.2.5

Samme pris

Optimal: Pris: 23,26 kr.

Mængde: 6881 stk.

Dækningsbidrag: 97.595 kr.

Forskellige priser

Optimal: Marked i Marked 2

Pris: 26,79 1cr. 20,96 1cr.

Mængde: 3303 stk. 3616 stk.

Samlet DB: 103.027 1cr.

129

Page 128: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 6, afsnit 3

Opgave 6.3.1

Produkt 1

2 timer pr. stk.

—0,5 T+75

—T +75

—0,5 . T +75 . T

Opgave 6.3.2

Ubegrænset produktionskapacitet:

Vare 1. P=52,50

Vare 2. P=30,00

Begrænset kapacitet

Vare 1. P=55,00

Vare2. P=33,33

Opgave 3.3.3

Video A

Q= 5,16

Pris= 8416,66

Samlet DB = 54.868

Opgave 6.3.4

Uden fast ejendom: P = 628,44

Med fast ejendom: P = 979,20

Opgave 6.3.5

NYHVIDT

Q= 622,97

47,54

Samlet DB = 23.674

Produkt 2

En halv time pr. stk.

—2T+ 100

—4T+ 100

—2 . T + 100 . T

Video B Video C

SUPERVASK

452,46

26,95

2,33

3416,66

MR =

TR =

Q=15

Q =20

Q=13,33

Q= 16,67

DB = 450

DB = 400

DB = 444

DB = 389

7,5

4500

Q=7,89

Q = 6,95 Samlet DB = 6.613

130

Page 129: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 6, afsnit 4

Opgave 6.4.]

Psæt=—4 Q+250

MRsæt=—8 . Q+250

TR=—4 Q2+ 250 Q

Opgave 6.4.2

Forenet produktion: lodret addition af MR, skæring mellem MR total og MC.

QHoved = 63,64 PHoved = 68,18

QBj. salg = 50 PBj, salg = 7,50

QBi,dest = 13,64 Dest omk = 5,00

Samlet DB = 2.852

Opgave 6.4.3

i vare på flere markeder samt forenet produktion: Først vandret addition på

markeder derefter lodret addition på produkter.

Samme pris på begge markeder:

QHoved = 63,64 Plloved = 68,18

QBj, salg = 50 PBi salg = 7,50

QBi, dest = 13,64 Dest omk = 5,00

Samlet DB = 2.852 Kun salg til marked i

Forskellige priser:

QHoved, Ml = 61,11 PHoved, Ml = 69,44

QHoved, M2 = 27,78 PHoved, M2 = 44,44

QB1, salg = 50 PBi salg = 7,50

QBi, dest = 38,89 Dest omk = 5,00

Samlet DB = 3.042 Salg til begge markeder.

Opgave 6.4.4

Der er her dels tale om en vare på flere (to) markeder med forskellige priser og

dels tale om forenet produktion. Den principielle fremgangsmåde er først

fastlæggelse af hovedproduktets MR ved vandret addition af MR for de to

131

Page 130: Teknisk økonomi Opgave Bog

markeder, derefter lodret addition af hovedproduktets samlede MR og

biproduktets MR.

Optimal pris og mængde: P1 = 104,17 kr. for 4 portioner

Qi = 6.166,67 retter for 4 pers.

P2 = 81,67 kr. for 4 portioner

Q2 = 833,33 retter for 4 pers.

PAf = 8,33 kr. for 4 portioner

QAf = 7.000 4 personers

Samlet DB = 401.250 kr.

132

Page 131: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 6, afsnit 5

Opgave 6.5.1

Spørgsmål 1

Pprivate = 3.700

Qprivate = 5.000

Pbyg = 2.500

Qbyg = 9.000

DB i alt = 26.000.000

Spørgsmål 2

Pteak = 3.800

Qteak = 12.000

Nyt DB i alt = 38.400.000

- Opgave 6.5.2

Spørgsmål i

Forøgelse i DB = 250.000

Spørgsmål 2

Pgrundejere = 5.000

Qgrundejere = 3.000

Pinstitutioner = 4.000

Qinstitutioner = 8.000

Spørgsmål 3

Laveste pris 3.601,63

Opgave 6.5.3

Omsætningen stiger med 702.500 Kr.

133

Page 132: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 7

Opgave 7.1

A skibe = 20 B skibe = 10 Flygtninge = 70.000

Opgave 7.2

Type 1 = 8.640 Type 2 = 20.160 DB = 106.560 Øre

Opgave 7.3

X1=4,8 X2=5,6 DB= 108kr.

Opgave 7.4

Spørgsmål i

Standard = 18.000 Luksus = 7.200 DB = 792.000 1cr.

Spørgsmål 2

Værdi af ekstra råvarer = 10,00 kr. pr. enhed.

Max antal råvareenheder = 27.000=> DB = 810.000

Prisen på Luksus kan variere mellem 70,00 kr. og 77,50 kr.

Opgave 7.5

Spørgsmål 1

Optimale produktion: A = 24 B = 18

Spørgsmål 2

Max. DB = 5.400 kr. pr. uge for afdeling

Spørgsmål 3

Yderligere råvarer har ingen interesse.

Opgave 7.6

Spørgsmål 1

Tl = 200

T2 = 225

T3 = 100

134

Page 133: Teknisk økonomi Opgave Bog

Skyggepris: Klip ogbuk 2.000,00

Svejse Ti 333,00

SvejseT2 0,00

Svejse T3 250,00

Montage og maling 0,00

Spørgsmål 2

Ti =0

T2= 300

T3 =0

Skyggepris Klip ogbuk 0,00

Svejse Ti 0,00

SvejseT2 0,00

Svejse T3 0,00

Montage og maling 750,00

135

Page 134: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kapitel 8

Opgave 8.1

Spørgsmål i

150.000 kr.

Spørgsmål 2

60.000.000IQ + 60 QSpørgsmål 3

Q= 1.000

Spørgsmål 4

Q=4.000

Opgave 8.2

Spørgsmål i

QA=9.000

QB = 2.000

136

Page 135: Teknisk økonomi Opgave Bog

NOTE i

Behandling af rabatter

I forbindelse med fastlæggelse afomkostningsfunktioner vil der ofte optræde ra

batter ved indkøb af feks. råvarer, der indgår i produktionen.

Der skelnes her mellem to typer af rabatter:

Den ene type, der betegnes som almindelig rabat eller simpel rabat,

er en rabatform, hvor der gives rabat på indkøb ud over en vis

mængde. Dvs, den mængde, der ligger under rabatpunktet, betales

der fuld pris for, og kun de enheder, der ligger ud over rabatpunktet,

betales med en lavere pris.

Den anden type, der betegnes som en akkumuleret kvantuinsrabat, er

en rabatform, hvor der gives rabat på det samlede indkøb, hvis det

overstiger en vis mængde pr. tidsperiode, feks. pr. år. Det betyder, at

hvis den rabatgivende mængde overskrides, udløses der en bonusbe

taling enten ved årets udgang eller på det tidspunkt, rabatpunktet pas

seres.

Den akkumulerede kvantumsrabat kan også være knyttet til den en

kelte ordre, feks. hvis den enkelte ordre overstiger en vis mængde el

ler et vist beløb, udløses der en samlet rabat på ordren. Denne kon

struktion anvendes meget ofte for at få kunderne til at afgive færre,

men større ordrer. Herved sparer leverandøren håndteringsomkost

ninger, som oftest afhænger af antallet af ordrer, men som ikke i

samme grad påvirkes af ordrestørrelsen.

I det følgende vil der blive vist en række forskellige rabatsituationer, som vil bli

ve løst såvel grafisk som matematisk. Der vii til de grafiske fremstillinger gen

nemgående blive brugt følgende værdier:

137

Page 136: Teknisk økonomi Opgave Bog

Pris uden rabat a = 10,- kr. pr. stk.

Rabat mængde Qr = 50 stk.

Rabat b =20%

Bortskaffelsesomkostninger d = 5,- kr. pr. stk.

Almindelig rabat

Ved almindelig rabat (hvor det kun er den mængde, der ligger ud over rabat-

mængden, der ydes rabat på), er der ikke noget incitament til at købe mere hjem,

end der er brug for. Derfor er bortskaffelsesomkostninger ikke relevante.

MC =a forQ<Qr

MC =a.(1—b) forQ>Qr

TVC =a.Q forQ<Qr

TVC =aQr+a(1—b)(Q—Qr)=

aQ—ab(Q—Qr) forQ>Q

AVC =a forQ<Q.

AVC =a—ab(l—) forQ>Qr

Med de anvendte værdier giver det:

MC=a 10,00 for Q<50

MC = a (1 — b)10 (1 —0,2) = 8,00 for Q > 50

TVC=aQ 10Q forQ<50

TVC=a Qr+a (1—b). (Q_Q)=

aQ-a.b. (QQr)

l0Q—l00,2(Q—50)= 8.Q+100 forQ>50

AVC=a 10,00 for Q<50

AVC=a—ab (1—Q

l0_10.02(1_2)= 8+ forQ>50Q Q

138

Page 137: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr.

I 00McOc4I05,07

Figur 1.1

Kr.700

002’03’04’056’07

Figur 1.2

Akkumuleret kvantumsrabat uden bortskaffelsesomkostning

Der kan ved arbejdet med akkumuleret kvantumsrabat arbejdes med to forskelli

ge tankemodeller, der både grafisk og matematisk ser lidt forskellige ud.

I det ene tilfælde opereres med prisen a kr. pr. stk. helt op til mængden Qr, hvor

rabatten udløses som et stort bonusbelØb.

Det kommer matematisk og grafisk til at se ud som følger:

MC =a Q<Qr

MC =a•(1—b)—ab(Qr—l) Q=Qr

MC =a•(1—b) Q>Qr

139

Page 138: Teknisk økonomi Opgave Bog

AVC =a

AVC =a(1—b)

TVC =aQ

TVC =a(1—b)Q

Med de anvendte værdier giver det:

MC =a

MC

15

10

5

0

-5

-10

-15

Figur 1.3

=aQ

=a(1-b)Q

10. (1 —0,2). Q =

Q<Qr

Q> Qr

Q <Qr

Q > Qr

10,00 Q<50

—90,00 Q = 50

8,00 Q>50

10,00 Q<50

8,00 Q>50

10Q Q<50

8Q Q>50

QrI IQ

60 70

=a (1 —b)—ab (Qr 1)

10 (1 — 0,2) — 100,2(50 — 1) =

=a(1—b) 10(1—0,2)=

=a

= a(1 — b) 10 (1 — 0,2) =

MC

AVC

AVC

TVC

TVC

Kr.

MC

10 20 30 40

-90

140

Page 139: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr.12

10AVC

8

6

4

2Qr

0 I I I I I

0 10 20 30 40 50 60 70

Figur 1.4

Kr.600

0

O<2’O3’O4’O5O7

Figur 1.5

En anden måde at se på problemet på er at sige, at der må findes et Q, hvor

0 < Qn < Qr, og for hvilket det må gælde:

aQn=a(1—b)Qr dvs.

Qn(11))Qr

Skal der bruges en mængde i intervallet Q < Q < Qr, vil det gælde, at

a (1 — b). Qr < a Q, hvorfor der købes mængden Qr.

141

Page 140: Teknisk økonomi Opgave Bog

Matematisk og grafisk giver denne tankegang følgende:

AVC =a

AVC =a•(l—b)Q

AVC =a•(1—b)

TVC =aQ

TVC =a(1—b)Q

TVC =a(l—b)Q

Med de anvendte værdier giver det følgende:

MC =a

MC =0

MC =a(1—b)= 10(1—0,2)

AVC =a

forQ<(l —b) Qr

for (1 — b). Qr <Q< Qr

for Q > Qr

forQ<(1 —b) Qr

for (1 — b). Qr <Q< Qr

for Q> Qr

forQ<(1 —b) Qr

for (1 — b). Qr <Q< Qr

for Q> Qr

10,00 for Q<40

0,00 for 40 <Q< 50

8,00 for Q>50

10,00 for Q<40

for 40 Q 50

8,00 for Q > 50

1OQ forQ<40

400 for40<Q<50

8.Q forQ>50

MC =a

MC

MC

=0

=a (1—b)

AVC =a(l—b)------=Q

10(1—02) =

Q

AVC =a(1 —b)= 10(1 —0,2)=

TVC

TVC

TVC

=a Q=

=a(l—b)Q, 10(10,2)50

=a (1—b) Q= 10 (1—0,2) Q

142

Page 141: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr.

14

12

MC10

8

6

4

2

__________________

Qn

_____

0 I I0 10 20 30 40 50 60 70 80

Figur 1.6

Kr.12

AVC10

8

6

4

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Figur 1.7

Kr.600

500

400

300

nil

200

100

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Figur 1.8

143

Page 142: Teknisk økonomi Opgave Bog

Akkumuleret rabat med bortskaffelsesomkostninger

Hvis der, for at opnå en akkuinuleret kvantumsrabat, er købt mere hjem, end man

skal bruge, kan der være ekstra omkostninger forbundet med at skaffe sig af med

overskydende enheder. Herved bliver beregningen noget mere kompliceret.

Problemet opstår kun, hvis behovet ligger i intervallet Q, < Q < Qr, hvor det kan

være relevant at købe mængden Qr for at opnå kvantumsrabatten. Spørgsmålet er

imidlertid, hvordan bortskaffelsesomkostningen påvirker dels mængden, Q, og

dels MC, AVC og TVC?

Q, kan beregnes som den mængde, hvor det er ligegyldigt, om man køber til den

fulde pris, eller man køber så meget, at man opnår at få kvantumsrabatten, selvom

der så skal destrueres en vis mængde.

aQ =a(l-b)Qr+d(Qr-Qn)

Qn QrabQ

a+d

Det letteste her er at tage udgangspunkt i TVC, som bliver:

TVC =aQ forQ<Qr_abQra+d

TVC = a (1 b) Qr+d (QrQ)

=(a+d—ab)Qr—dQ forQr—abQr

<Q<Qra+d

TVC =a(l—b)Q forQ>Qr

AVC =a forQ<Qr—abQr

a+d

AVC =(a+d—ab) —d forQr—ab <Q<QrQ a+d

AVC =a(l—b) forQ>Qr

abQMC =a forQ<Qr—

a+d

MC =—d forQr_abQ <Q<Qra+d

MC =a(l—b) forQ>Qr

Med de anvendte værdier fås:

TVC = a Q 10 Q for Q <43,33

144

Page 143: Teknisk økonomi Opgave Bog

TVC =a(1—b)Qr+d(Qr—Q)=

10(1 —0,2). 50+5 (50—Q)=

650—5.Q for43,33<Q<50

TVC =a(1—b)Q=

10(1—0,2)Q= 8Q forQ>50

AVC = a 10,00 for Q <43,33

AVC =(a+d—ab)—d=Q

(10+5—100,2) —5=Q

for 43,33 < Q< 50

AVC = a (1 — b) = 10 (1 — 0,2) 8,00 for Q > 50

MC =a 10,00 for Q<43,33

MC = —d —5,00 for 43,33 < Q < 50

MC = a (1 — b) = 10 (1 — 0,2) = 8,00 for Q > 50

Kr.15

10MC

5

o _Qri iQ

10 20 30 40 60 70-5

-10

Figur 1.9

145

Page 144: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr.12

AVC10

8

6

4

2

0 i i i 1Qn 1Qr

0 10 20 30 40 50 60 70

Figur 1.10

Kr.600

500

TVC400

300

io:

200

0 10 20 30 40 50 60 70

Figur 1.11

146

Page 145: Teknisk økonomi Opgave Bog

Sammenfatning

Nedenstående figur sammenfatter de forskellige rabatsituationer. Efterfølgende er

der givet en uddybet grafiskfortolkning afde forskellige situationer med akkumu

leret kvantumsrabat.’

batterj

Uden bortskaffelse

Rabat anvendes Rabat anvendes i

andet sted produktion

_______________

Mc = a-abQ

Notation

• a = oprindelig pris = 10 kr.

• b=rabat=2OpCt.

• d = bortskaffelsesomkOstninger = 5 kr.

• Qr = udløsende enhed = rabatmængde = 50 stk.

• Q = adfærdsændrende mængde

I dette afsnit og næstfølgende afsnit er y-aksen angivet i kroner og x-aksen i stk., når intet er anført.

Simpel rabat

mc

Lmuleret kvantumsraba

Med bortskaffelse

mcfr

Qn = Qr-aQra+d

Q=Q.(1-b)Q

Figur 1.12

147

Page 146: Teknisk økonomi Opgave Bog

Akkumuleret kvantumsrabat uden bortskaffelsesomkostninger

Situationen kan som nævnt opfattes på to måder:

1. Rabatten, der opnås, trækkes ud og anvendes andet sted

2. Den rabat, der opnås, bruges til at købe enheder hos leverandøren, hvorved

disse enhederne i princippet bliver gratis

Situation 1: Enheden, der udløser rabatten, købes til den oprindelige pris på a kro

ner. Herfra trækkes rabatten på a b Qr kroner, hvorved MC kan udtrykkes som:

Rabat anvendes • MC = oprindelige pris — rabatandet sted

• MC=a—abQr

• MC=10—l00250=—90

Rabat = a.b.Qr • Rabatten på —90 kr. ved Qr udtrykker i

V—vc princippet en negativ omkostning og

repræsenterer således en “indtægt” på

mc

90 kr. ved indkøb af næste enhed.

Mc = a-a.b.Qr

Figur 1.13

Situation 2: Her indkasseres rabatten ved at købe Q, enheder, som man derefter

vælger at købe enheder for hos leverandøren. Den oprindelige pris for varen er a

(10 kr). Da vi kan få en rabat på a b Qr, svarende til 100 kr., betyder dette, at vi

kan få 10 enheder “gratis” for rabatten på 100 kr. De 10 enheder betales således

via rabatten. Antallet af gratis enheder kan derfor udtrykkes som:

• Gratis enheder = rabat/oprindelig pris

• Gratis enheder = a b Qr/a = b Qr

• Qn = Qr — gratisenheder

• Qn = Qr — b Qr = Qr (1b)

• Q= 50 0,8 = 40 stk.

148

Page 147: Teknisk økonomi Opgave Bog

Situationen kan derfor grafisk udtrykkes som følger:

Rabat anvendes i

produktion • = Qr (1b)

• TVCs hældning er 0 mellem Q

Åog Qr, fordi enheder herimellem i

Rabat = a’b.Qr princippet er gratis at erhverve.

Herved bliver MC= 0 i intervallettvc

_______

mellem Q, og Qr

• Skal der anvendes mellem Q, og

AQr enheder, kan det derfor bedre} betale sig at indkassere rabatten

mcE og smide de enheder væk man

Qn = Qr (1-b) ikke skal bruge, frem for at betale

fuld pris for alle Qr enheder.

Figur 1.14

Bemærk, at såfremt MR skærer flere stede (som vist på skitsen herunder), skal

alle skæringer undersøges.

MRMC

Figur 1.15

Akkumuleret kvantumsrabat med bortskaffelse

Ved den akkumulerede kvantumsrabat står beslutningstager i princippet over for

valget mellem en dyr og en billig løsning. Frem til Qn vælges den billige løsning,

der svarer til a Q. Fra Q og frem kan det bedre betale sig at indkassere rabatten

og bortskaffe de enheder, der ikke finder anvendelse til prisen d. For hver yderli

gere anvendt enhed spares bortskaffelse. Derfor bliver MC mellem Q, og Q. lig

med sparet bortskaffelse, altså en negativ omkostning, hvilket i princippet svarer

til en indtægt på —d kr.

149

Page 148: Teknisk økonomi Opgave Bog

Akkumule ret kvantumsrabat med bortskaffelsesomkostninge r

700Kr

600 Punkt A (Q=50): TVC uden rabat

500 Pu=O)N%.: /

TVC med rabat og bortskaf

felse 4 Rabat: A -

400 —Wc

WC forløb uden rabat

300 - WC med bortskaffelse

ETVC—

80

Figur 1.16

Situation 1: Beslutningstager anvender 0 enheder i produktionen:

Antag at en beslutningstager står overfor at skulle indkøbe nul enheder til brug i

produktionen. Han har to muligheder:

1. Billig løsning: Køber 0 enheder

2. Dyr løsning: Køber 50 enheder til fuld pris. Indkasserer rabatten og bort-

skaffer dernæst 50 enheder

Købes 0 enheder er prisen selvsagt 0 kr. Prisen for alternativ 2 kan udledes på

følgende måde:

Købes 50 enheder er prisen: (TVC = a Qr) = 10 50 = 500 ki.

— Dernæst indkasseres rabatten: (Rabat = a• b• Qr) = 10 0,2 50 = 100 kr.

+ Bortskaffelse af 50 stk. 5 kr/stk.: (Bortskaffelse = d Q) = 5 . 50 = 250 kr.

I alt: (fuld pris — rabat + bortskaffelse = 500 — 100 + 250) = 650 kr.

For beslutningstageren svarer dette til valget mellem enten at købe 0 enheder til 0

kr. eller at købe 0 enheder til 650 kr. Givet gevinstmaksimering er valget ikke

svært. På grafen herover svarer dette til at vælge mellem punktet C og D.

150

Page 149: Teknisk økonomi Opgave Bog

Betragtes nu situationen, hvor der anvendes 1 enhed i produktionen frem for 0

enheder, indses det hurtigt, at næste enhed ved den dyre løsning bliver —d kr. bil

ligere, svarende til sparet bortskaffelse på 5 kr.

Situation 2: Beslutningstager anvender i enhed i produktionen:

Anvendes i enhed er der stadig 2 muligheder for beslutningstager:

1. Billig løsning: Køber i enhed

2. Dyr løsning: Køber 50 enheder til fuld pris; indkasserer rabatten og bort-

skaffer dernæst 49 enheder

Der bortskaffes nu kun 49 enheder mod tidligere 50 stk. idet den ene enhed ind

går i produktionen. I modsætning til Situation i, hvor der skulle anvendes 0 en

heder, står beslutningstager derfor overfor at købe 1 enhed til prisen 10 kr. eller i

enhed til prisen 645 kr., som fremkommer på følgende måde:

Der købes 50 stk. til prisen 500 kr., herfra trækkes rabatten på 100 kr.

Derefter lægges 245 kr. til, for at bortskaffe de 49 enheder til en pris af 5

kr. pr. stk.

Det svarer til at TVC med bortskaffelse kan udregnes som:

TVC — rabat + bortskaffelse = 500 — 100 + 245 = 645 kr.

For hver yderligere anvendt enhed falder indkøbsprisen således med 5 b., sva

rende til sparet bortskaffelsesomkostning på —d.

Figur 1.17

700

Akkumuleret kvantumsrabat med bortskaffelsesom kostninger

.,....v___400 TVC

TVCfodøbL

TVC med bc

°240 60 80

151

Page 150: Teknisk økonomi Opgave Bog

Situation 3: Skift ved Q17Så længe Q ligger under Q, er den billige løsning på a Q at foretrække. Fra Q,og frem til Qr kan det bedre betale sig at indkassere rabatten og bortskaffe ikke

anvendte enheder. Det vil sige, der sker et skift mellem den dyre og billige løs

ning ved Q. Q kan udledes ud fra samme tankegang som tidligere:

• Gratis enheder = rabat/varens pris

• Gratis enheder = a b QrI(a+d)

• Qn = Qr — gratisenheder

• Qn = Qr — a b QrI(a+d)

Idet hver enhed nu er blevet d kroner dyrere, således at prisen for en ikke anvendt

enheder er (a+d), forskydes Q mod højre på Q-aksen som følge af, at man kan få

færre gratis enheder for den samme rabat. I det anvendte eksempel bliver Q, der

for 43’/3 stk. (50 — 100/15) mod tidligere 40 stk. (50 — 100/10) uden bortskaffel

sesomkostninger. Alternativt kunne man i denne situation vælge at lade leveran

døren beholde de enheder, man ikke skal anvende (såfremt det lader sig gøre),

hvorved Qn forbliver ved 40 stk. Der kan således opstilles en lang række alterna

tive situationer med udgangspunkt i de ovenfor skitserede tankegange.

Akkumuleret kvantumsrabat med bortskaffelsesomkostninger

7001Dyr løsning

6001

E1 ci.=-d500

400

3OOBillig løsning

01 - —

0 20 40Qn Qr60 80

Figur 1.18

Q

TVC

TVC forløb uden rabat

TVC med bortskaffelse

152

Page 151: Teknisk økonomi Opgave Bog

Akkumuleret kvantumsrabat med bortskaffelsesomkostninger

12

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

Figur 1.20

Q

MC ved bortskaffelse

TVC

TVC forløb uden rabat

TVC med bortskaffelse

700

Dyr løsning

600

500=a•(l-b)

400

l1n

80

Figur 1.19

MC ved bortskaffelse

10kr.

= X kr

20 40 60

-d = -5

153

Page 152: Teknisk økonomi Opgave Bog
Page 153: Teknisk økonomi Opgave Bog

NOTE 2

Afsætningsfunktioner

Det forudsættes i det følgende, at der er tale om lineære afsætningsfunktioner, der

kan udtrykkes som:

P=oLQ+f3

hvor P er prisen pr. enhed, og Q er afsat mængde pr. tidsenhed.

Problemet består nu i at bestemme o, der er afsætningsfunktionens hældnings

koefficient, og B, der er afsætningsfunktionens skæring medprisaksen.

Det kan gøres, hvis der ud fra de givne oplysninger kan opstilles to ligninger med

to ubekendte, a og B. Der er mange muligheder for at give de nødvendige og til

strækkelige oplysninger til bestemmelse af afsætningsfunktionen. I det følgende vil

nogle af de hyppigst forekommende kombinationer blive gennemgået.

Priselasticitet, ep.

Definition: e =P (dP

Den relative mængdeændring divideret med den relative prisændring.

Betegner P og Q henholdsvis pris og mængde for et punkt på afsætningsfunktionen

og a afsætningsfunktionens hældningskoefficient, kan der ud fra definitionen på

priselasticitet udledes forskellige formler, som afhængig af de givne oplysninger

kan være nyttige. Omskrives definitionsudtrykket en lille smule ved at sætte på en

fælles brøkstreg fås:

155

Page 154: Teknisk økonomi Opgave Bog

dQ Pep = divideres her igennem med dQ får vi:

dP. Q

P dPe = er det samme som hældningskoefficienten o,

dP dQ

hvilket giver:

Pe

eLQ

hvor ep er udtrykt ved samhØrende pris og mængde samt afsætningsfunktionens

hældningskoefficient.

Betegner Pax og Qmax afsætningsfunktionens skæringspunkter med henholdsvis

pris-aksen og mængde-aksen, mens P og Q stadigvæk er et punkt på afsætnings

funktionen, kan hældningskoefficienten udtrykkes som en prisændring divideret

med den tilsvarende mængdeændring. Ændres prisen fra Pmax til P ændres mæng

den fra 0 til Q, dvs. hældningen kan udtrykkes som:

‘max’= indsættes i e = fås0-Q

P

___

ep= =PmPQ 1Pmax

Kr.

200180160

Qg

140120 B

10080604020

0 20 40 60 80

Figur 2.1

156

Page 155: Teknisk økonomi Opgave Bog

Leger man lidt med et par ensvinldede trekanter, får man:

CD DE= idet

AB BC

OB = DC = P

AB = Pmax —

OD=BC=Q

DEQmaxQfås

= Q — Qmax hvilket umiddelbart medfører atPPmax Q

e = — Qrnax

Q

ep = —l svarer til afsætningsfunktionens midtpunkt. Det er det samme som den pris

og mængde, der giver maksimal omsætning, eller hvor MR bliver 0 (nul).

Ofte vil man være i en situation, hvor man udmærket kender sin pris og mængde

samt sit dækningsbidrag. Man har måske også en rimelig god fornemmelse afpris

elasticiteten udtrykt som en procentuel ændring i mængde ved en procentuel æn

dring i prisen. Men man har måske ikke nogen sikker fornemmelse af, om den

valgte pris er optimal eller ej.

Det er dog muligt at opstille en formel, der giver en sammenhæng mellem prisela

sticiteten og dækningsbidraget i optimalsituationen.

I optimalsituationen gælder: ep =

Ved hjælp af denne sammenhæng kan man ved forskellige værdier på priselastici

teten beregne det optimale dækningsbidrag (udtrykt som procent af salgsprisen) og

f.eks. opstille følgende lille tabel:

Priselasticiteten DB i procent af salgspris

2 50

3 33,33

4 25

5 20

10 10

25 4

50 2

157

Page 156: Teknisk økonomi Opgave Bog

Ved hjælp af lidt matematik kan sammenhængen mellem priselasticiteten og dæk

ningsbidraget i optimalsituationen udledes. I optimalsituationen gælder, at MR =

MC. MR er defineret som differentialet af omsætningen, der er givet som P*Q,

dvs.:

d(P.Q) dPMR= =P+Q•—=P+oLQ

dQ dQ

hvor X er afsætningsfunktionens hældningskoefficient.

Da MR = MC i optimalsituationen kan vi skrive:

MC=P+xQ

Divideres igennem med P fås:

P P

er det samme som det giver nu:P ep

MC

P ep

Ganges igennem med ep samtidig med, at der flyttes lidt rundt på elementerne, fås:

( MC’IeI 1————— 1=—i eller

PJ

—Pe =

P - MC

Idet’P - MC er det samme som DB, fås den ovenfor nævnte sammenhæng mellem

ep, DB og prisen:

Pe

- DB

Denne sammenhæng gælder kun ved optimal pris. Omvendt kan vi sige, at hvis

forholdet er opfyldt, har vi den optimale pris.

Fastlæggelse af afsætningsfunktioner

Det følgende skema giver en oversigt over de kombinationer af oplysninger, der

muliggør opstillingen af de nødvendige ligninger.

158

Page 157: Teknisk økonomi Opgave Bog

Et punkt En pris og En mængde og (X

(P,Q) tilhørende ep tilhørende e

Et punkt 1

(P,Q)

Enprisog 2 5

tilhørende ep

En mængde og 3 6 8

tilhørende ep

c 4 7 9 10

De i skemaet angivne kombinationer (1 - 10) bliver i det følgende gennemgået.

Givet to punkterP1,Q1 ogP2,Q2

x bestemmes direkte som:

Pi — P2

Herefter bestemmes 13 ved at indsætte P1, Qi og a i ligningen

P1=aQ1+B eller

B=P1 —OL Qi

2. Givet et punkt, P1, Qi og priselasticiteten ep ved en given pris P2.

Der kan her være tale om to situationer

a. P1 er lig med P2, dvs. vi kender et punkt på afsætningsfunktionen og

priselasticiteten i dette punkt.

b. P1 er forskellig fra P2, dvs. vi kender et punkt på afsætningsfunktio

nen og priselasticiteten ved en anden pris.

2a. x bestemmes direkte som

PI

eQ1

Herefter bestemmes B ved at indsætte P1, Qi og x i ligningen:

P1 = x• Qi + B eller

B=Pi —c Qi

159

Page 158: Teknisk økonomi Opgave Bog

2b. Denne situation er lidt mere kompliceret. Vi skal her benytte, at:

Pep =

11max

Pheraf bestemmes: =

ep

Vi kender dermed 2 punkter, (P,Q) = (P1,Q1)og (Pmax,O), hvorefter

metode i kan benyttes.

3. Givet et punkt, P1, Qi, og priselasticiteten ep ved en given mængde Q2.

Situationen minder meget om metode 2. Der kan her igen være tale om to

situationer

a. Qi er lig med Q2 dvs. vi kender et punkt på afsætningsfunktionen og

priselasticiteten i dette punkt.

b. Qi er forskellig fra Q2, dvs. vi kender et punkt på afsætningsfunktio

nen og priselasticiteten ved en anden mængde

3a. c bestemmes direkte som

PI

(e Q1)

Herefter bestemmes B ved at indsætte P, Qi og c i ligningen

P1 = o’. Qi + B eller

B = P1 — a Qi

3b. Denne situation er lidt mere kompliceret. Vi skal her benytte, at:

— Q — Qrnaxe

heraf bestemmes: Qrnax Q e Q

Vi kender dermed 2 punkter, (P,Q) = (P1,Q1)og (O,Qrnax), hvorefter metode i

kan benyttes.

4. Givet et punkt og afsætningsfunktionens hældningskoefficient.

B bestemmes ved at indsætte P1, Qi og o i ligningen

P1 = a Qi + B eller

B = — a Qi

5. Givet to priser med tilhørende priselasticiteter.

Kan ikke løses.

160

Page 159: Teknisk økonomi Opgave Bog

6. Givet en pris med tilhørende priselasticitet og en mængde med tilhørende

priselasticitet.

‘max bestenimes ved at benytte:

Pe =

— ‘max

Qrnax bestemmes ved at benytte:

eP

Det giver nu to punkter på afsætningsfunktionen:

(P,Q) = (Pmax, 0) og (0, Qrnax),

hvorefter metode 1 kan benyttes.

7. Givet en pris med tilhørende priselasticitet samt afsætningsfunktionens

hældningskoefficient:

P

eQ

Indsættes o, P og ep fås en ligning til bestemmelse af Q. Vi kender nu et

punkt og afsætningsfunktionens hældningskoefficient og kan derefter benyt

te metode 4.

8. Givet to mængder med tilhørende priselasticiteter.

Kan ikke løses.

9. Givet en mængde med tilhørende priselasticitet samt afsætningsfunktionens

hældningskoefficient:

P

eQ

Indsættes a, Q og ep, fås en ligning til bestemmelse af P. Vi kender nu et

punkt og afsætningsfunktionens hældningskoefficient og kan derefter benyt

te metode 4.

10. Kun afsætningsfunktionens hældningskoefficient er kendt.

Afsætningsfunktionen kan ikke bestemmes på dette grundlag.

161

Page 160: Teknisk økonomi Opgave Bog

Specialsituationer

Givet Medfører

ep = —l Afsætningsfunktionens midtpunkt

Pmax =2 P

Qrnax 2 QMaksimal omsætning

MR =0

Maksimal omsætning Afsætningsfunktionens midtpunkt

Pmax 2 P

Qrnax 2 Q

ep =

MR =0

En mængde Q og til- Qrnax = Q — ep Qhørende ep

En Pris P og tilhØren-max

deep e

Optimal pris oge — —-—

mængde‘ -

- DB - MC - P

162

Page 161: Teknisk økonomi Opgave Bog

NOTE 3

Vandret og lodret addition af lineære

funktioner

Hvornår, hvorfor og hvordan?

I forbindelse med behandling og løsning af en række erhvervsøkonomiske pro

blemstillinger er der ofte behov for at foretage aggregeringer eller sammenlæg

finger afmængder eller beløb.

Den normale praksis inden for økonomi, når man udtrykker sig enten matematisk

eller grafisk, er, at mængder afsættes ud af den vandrette akse svarende til x

aksen, mens den lodrette akse svarende til y-aksen repræsenterer beløb målt i kr.

Når vi taler om:

vandret addition, menes der normalt en summering af mængder

lodret addition, menes der en sunimering af beløb

Det er derfor helt afgørende, at man har gjort sig klart, hvad formålet med additi

onen er for at kunne afgøre, om der er brug for en vandret eller en lodret addition.

ønsker vi f.eks. at bestemme det samlede salg af en vare til en given pris på en

række markeder, så holdes prisen fast, og vi summerer salget i styk fra de forskel

lige markeder. Ændres prisen, kan vi forvente, at salget på de enkelte markeder

også ændrer sig, men vi får stadig det samlede salg til en given pris ved at sum

mere mængderne fra de forskellige markeder, altså en vandret addition.

ønsker vi derimod at bestemme de samlede variable omkostninger, der måske

består af omkostninger til råvarer, omkostninger til lønninger, omkostninger til

energi m.m. ved et bestemt produktionsniveau (mængde), så er det en lodret ad

dition, der er brug for. Ændres produktionsniveauet, må vi forvente, at de enkelte

163

Page 162: Teknisk økonomi Opgave Bog

omkostningselementer ændrer sig, men vi får stadig de samlede omkostninger

ved at summere de enkelte elementer.

I det følgende vil først vandret addition og dernæst lodret addition blive gennem

gået og forklaret.

Vandret addition - Hvornår og hvorfor?

Vandret addition af forskellige forbrugeres efterspørgsel

Kender vi for alle priser den enkelte forbrugers efterspørgsel efter en gi

ven vare, får vi markedets samlede efterspørgsel ved at addere de enkelte

forbrugeres efterspørgsel ved en given pris.

Vandret addition af forskellige markeders efterspørgsel

På samme måde, som vi kan summere de enkelte forbrugeres efterspørg

sel ved forskellige priser, kan vi også summere forskellige markeders ef

terspørgsel ved forskellige priser. På denne måde fås en virksomheds

samlede afsætning af en given vare til en række forskellige markeder ved

forskellige priser. Det skal her understreges, at prisen på samtlige marke

der er den samme. Ændres prisen, gælder prisændringen for samtlige

markeder.

Vandret addering af forskellige markeders MR-funktioner

Sælges den samme vare på flere forskellige markeder og til forskellige

priser, har det ikke nogen mening at tale om det samlede salg til en given

pris, da en given pris ikke findes.

Det, som det derimod kan være relevant at undersøge, er, ved hvilke

mængder der opnås samme marginal revenue, MR, på de forskellige

markeder. For at fordelingen af mængder på de forskellige markeder skal

være optimal, må det gælde, at den sidst solgte enhed på hvert marked

skal give samme marginal revenue. Hvis ikke det er tilfældet, vil det kun

ne svare sig at overføre varer fra det marked, der har den laveste

marginal revenue til det marked, der har den højeste.

Kender vi MR-funktionerne for samtlige markeder, kan vi nu for enhver

MR-værdi bestemme den tilsvarende mængde pr. marked. Den totale

164

Page 163: Teknisk økonomi Opgave Bog

mængde svarende til en given MR-værdi fås nu ved at summere mæng

derne for alle markeder, altså en vandret addition afMR-funktionerne.

Vandret addition af marginal contribution

Er der tale om flere forskellige varer, der trækker på samme knappe res

source, kan vi ikke længere bruge samme MR for sidst solgte enhed som

optimeringskriterium. De marginale omkostninger kan være vidt forskel

lige, og kriteriet bliver da, at:

marginal contribution, Mcon = MR — MC

skal være den samme for den sidst producerede enhed af samtlige pro

dukter, der trækker på samme knappe ressource.

Bemærk, at Mcon ikke skal udtrykkes pr. vareenhed, men pr. knap res

sourceenhed, hvorfor en konvertering af funktioner fra vareenhed til ka

pacitetsenhed kan blive nødvendig.

Kender vi for samtlige produkter Mcon-funktionerne udtrykt i kapacitetsenheder,

kan vi nu for enhver Mcon-værdi bestemme det tilsvarende kapacitetsforbrug pr.

produkt. Det totale kapacitetsforbrug svarende til en given Mcon værdi fås nu

ved at summere kapacitetsforbruget for alle produkter, altså en vandret addition

afMcon-funktionerne.

Vandret addition af virksomheders udbudsfunktioner

Kendes udbudet af en given vare fra en række virksomheder som funk

tion af markedsprisen, fås det samlede udbud ved for enhver markeds

pris at summere udbudet fra de enkelte virksomheder.

Vandret addition - Hvordan?

Antag følgende to afsætningsfunktioner for samme vare på to delmarkeder:

Markedl. P=—1,5Q+75

Marked2. P=—l Q+50

165

Page 164: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr.

0’048’0l

Figur 3.1

Matematisk løsning

Så længe prisen ligger mellem 50,- og 75,- kr. pr. stk. sælges kun til mar

ked 1.

Salget til marked i ved en pris på 50,- kr. fås af:

P=—l,5Q+75=50 = Q=16,67

Afsætningen for totalmarkedet bliver for priser over kr. 50,- lig med af

sætningen til marked 1.

P=—1,5.Q+75 for0<Q<16,67

For Q> 16,67 findes den samlede afsætning ved at løse de to afsætnings

funktioner med hensyn til Q, addere koefficienterne og derefter løse den

fremkomne ligning med hensyn til P:

P=—1,5 Q+75= Q=—0,67 P+50

P=—1Q+50= Q=—1P+50

Q=—1,67P+100= P=—0,6Q+60

P=—l,5 Q+75 forQ< 16,67

P=—0,6Q+60 forl6,67<Q<l00

166

Page 165: Teknisk økonomi Opgave Bog

Numerisk/tabularisk løsning

Bestem de interessante værdier af P. Det vil her sige:

75,- kr., som er den pris, hvor salget til marked 1 starter,

50,- kr., som er den pris, hvor salget til marked 2 starter og

0,- kr., som er den lavest tænkelige pris på begge markeder.

Beregn for hver af de interessante priser salget i stk. pr. marked samt

det samlede salg:

Pris Q marked 1 Q marked 2 Q total

75 0 0 0

50 16,66667 0 16,66667

0 50 50 100

Samhørende værdier i Pris og Q-total søjlen giver punkter på den totale

afsæningsfunktion. Ved at bestemme de lineære funktioner, der forbin

der de tre punkter fås:

P=—l,5 Q+75 forQ< 16,67

P=—0,6Q+60 forl6,67<Q<100

Grafisk løsning

Ved en ren grafisk vandret addition lægger man i princippet en række vandrette

linier hen over de grafer, der skal adderes. Derefter måles afstanden på hver af de

vandrette linier fra den lodrette akse og ud til de enkelte grafer. Alle afstande på

samme vandrette linie summeres og afsættes i et nyt koordinatsystem.

167

Page 166: Teknisk økonomi Opgave Bog

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Kr. Marked i

b\

cl

dlN

e11 I I

0 20 40 60 80 100

Figur 3.2

Kr.

Q

Marked 280

70

60

50

40

30

20

10

0

d2

ï2

Figur 3.3

0 20 40 60 80 100

Q

168

Page 167: Teknisk økonomi Opgave Bog

N

b\

cl+l+

Afs2

d1 + d2

1e1+e2

Med lidt Øvelse finder man hurtigt ud af, at det som regel er ganske få

linier, der behøves.

I det viste eksempel er det de to markeders skæringspunkter med hen

holdsvis den lodrette og den vandrette akse, der har interesse.

Prisen 75,- b. er den absolutte Øvre grænse for afsætning for marked 1

og dermed også for det totale marked. Ved en pris på 50,- b. vågner

marked 2 op. Salget til marked i er her b1, og til marked 2 er det 0, det

samlede salg til det totale marked bliver følgelig b1 stk.

Endelig bliver salget til de to delmarkeder henholdsvis e1 og e2, hvis pri

sen sættes helt i bund, altså lig med 0. Det samlede salg bliver here1+e2.

Vi har nu fastlagt de tre punkter, der er nødvendige for at tegne afsæt

ningsfunktionen for det totale marked.

Bemærk i Øvrigt, at forarbejdet og tankegangen ved den grafiske og den

tabulariske metode er helt den samme.

Antag at vi står over for to markeder, hvor afsætningen på det ene mar

ked på grund af de konkurrenceforhold, der råder på dette marked, kan

beskrives som:

P=—116Q+850 for0<Q<900

P=—213Q+1300 for900<Q

Kr. Total marked80

70

60

50

40

30

20

10

0

200

Figur 3.4

40 60 80 100

Et lidt større eksempel

169

Page 168: Teknisk økonomi Opgave Bog

Det andet marked består i virkeligheden af to delsegmenter, og den sam

lede afsætning til de to segmenter kan udtrykkes ved:

P=—1/2Q+500 for0<Q<300

P=—114•Q+425 for300<Q

De to markeders afsætningsfunktioner er vist på den følgende figur:

Kr.900

800d1

ed2\ I

I I

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Figur 3.5

Under forudsætning af, at varen sælges til samme pris på begge de to

markeder, fås den samlede afsætning ved en vandret addition af de to

markeders afsætningsfunktioner. En matematisk addition af de to afsæt

ningsfunktioner vil blive meget besværlig, da begge afsætningsfunktioner

har knæk, hvilket bevirker, at der bliver flere forskellige kombinationer,

der skal holdes styr på, ligesom det bliver vanskeligt at holde rede på to

talfunktionens definitionsintervaller. Den letteste måde at foretage sam

menlægningen på er ved at anvende den numerisk/tabulariske metode.

For marked i findes let at:

Pris på 850,00 kr. svarer til Q lig med 0

Pris på 700,00 kr. svarer til Q lig med 900 stk. (fås ved at indsæt

te Q = 900 i afsætningsfunktionen)

170

Page 169: Teknisk økonomi Opgave Bog

For marked 2 fås på tilsvarende måde:

Pris på 500,00 kr. svarer til Q lig med 0

Pris på 350,00 kr. svarer til Q lig med 300 stk.

Vi har nu følgende interessante priser:

Pris 850,00 kr. (marked 1 vågner)

Pris 700,00 kr. (marked 1 knækker)

Pris 500,00 kr. (marked 2 vågner)

Pris 350,00 kr. (marked 2 knækker)

Pris 0,00 kr. (max afsætning både på marked 1 og 2)

Tabellen til bestemmelse af den samlede afsætning får nu følgende ud

seende:

Pris Qi Q2 Q total

850 0 0 0

700 900 0 900

500 1200 0 1200

350 1425 300 1725

0 1950 1700 3650

Det giver 5 samhørende værdier for P og Q:

(P;Q) =(850; 0), (700; 900), (500; 1200), (350; 1725) og (0; 3650)

Afsættes de fem punkter i et koordinatsystem og forbindes med rette lini

er, fås en samlet afsætningsfunktion som vist i den følgende figur.

Er der behov for at kende den samlede afsætningsfunktion matematisk, er

det heller ikke noget problem. Det er blot at opstille den rette linies lig

ning, der går gennem de to punkter, som afgrænser den del af afsætnings

funktionen, man er interesseret i.

171

Page 170: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr.900

6°0etsalg

0 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000

Figur 3.6

Matematisk bliver den samlede prisafsætningsfunktion:

P=—1/6Q+850 for0<Q<900

P = —2/3. Q + 1300 for 900 < Q < 1200

P=—2/7 Q+842,86 for 1200<Q< 1725

P=—2/ll Q+663,63 for 1725<Q

Lodret addition - Hvornår og hvorfor?

Lodret addition af afsætningsfunktioner

I visse situationer kan det være ret uinteressant, hvilken pris der kan op

nås for en bestemt vare. Hvis varen fremkommer ved en produktion, hvor

der altid fremkommer flere forskellige varer i et fast mængdeforhold

(forenet produktion), er det prisen for den samlede produktion, der har

interesse.

Ved produktion af ilt og brint ud fra vand kan det for så vidt være lige

gyldigt, om prisen på ilt er dårlig, hvis bare prisen på brint er tilstrække

lig god. Det vi derfor interesserer os for i sådanne situationer er, hvilken

samlet pris der kan opnås for ilt og brint, når de skal afsættes i det for

hold, som produktionen bestemmer.

172

Page 171: Teknisk økonomi Opgave Bog

For ethvert givet produktionsniveau bestemmes den samlede afsætnings

funktion, ved at lægge priserne på ilt og brint sammen, altså en lodret

addition.

Man skal dog lige være opmærksom på, at de to afsætningsfunktioner for

henholdsvis ilt og brint først skal være konverterede til samme dispone

ringsenhed feks. liter vand, som er råvaren.

Lodret addition af MR-funktioner

Ofte er det den samlede MR-funktion, man har brug for i forbindelse

med forenet produktion.

Den kan fås ved at lave en lodret addition af afsætningsfunktionerne og

derefter udlede den hertil hørende MR-funktion. Man kan også først be

stemme MR-funktionerne for hvert enkelt produkt for sig og derefter fo

retage en lodret addition af MR-funktionerne.

Der gælder de samme bemærkninger om konvertering til samme dispone

ringsenhed som under lodret addition af afsætningsfunktioner.

Lodret addition af omkostningsfunktioner

Omkostninger består oftest af flere elementer, f.eks. materialer, løn, ener

gi osv. Skal man bruge de samlede omkostninger som gennemsnit, AVC,

som marginal, MC, eller som total, TVC, må man for den eller de aktuel

le produktionsniveauer lægge de enkelte elementer sammen, altså en lod

ret addition.

Uanset om de enkelte omkostningstyper kendes som AVC, MC eller

TVC, kan den samlede AVC, MC, eller TVC bestemmes ved lodret addi

tion, blot skal alle omkostningstyper være samme kategori, før additionen

foretages.

I øvrigt gælder de sædvanlige regneregler for omregning mellem AVC,

MC og TVC på alle aggregeringsniveauer.

Lodret addition - Hvordan?

Antag følgende to afsætningsfunktioner for to varer, der altid produceres i for

holdet 1:1, dvs, den ene vare kan ikke fremstilles, uden at der også fremstilles

lige så mange enheder af den anden vare:

173

Page 172: Teknisk økonomi Opgave Bog

P1=—l,5 Q+ 150

P21 Q2+50

Matematisk løsning

For at beregne den samlede pris, der kan opnås ved forskellige produkti

onsniveauer, indsættes den aktuelle mængde i hver af de to afsætnings

funktioner, og de to beregnede priser lægges simpelthen sammen. Rent

matematisk gøres det ved at addere koefficienterne i de to funktioner:

P1= —l,5Qi+150

P2= —1Q2+ 50

P= —2,5Q+200

Man skal her være opmærksom på, at vare 2 skærer Q-aksen ved Q = 50,

mens vare i først skærer ved Q = 100. Afhængig af, om priserne kan bli

ve negative eller ej, kan de to funktioner have forskellige definitionsin

tervaller, som der må tages hensyn til. Det kan derfor tænkes, at det kun

har mening at tale om en adderet afsætningsfunktion, så længe Q er min

dre end eller lig med 50 stk. For Q større end 50 stk. vil det kun have

mening at tale om salg af vare 1. Hvis det er tilfældet fås:

P=—2,5Q+200 forQ<50

P=—1,5Q+150 for5o<Q<100

Numerisk/tabularisk løsning

Bestem de interessante værdier af Q. Det vil her sige:

Q = 0 som er det punkt, hvor de to afsætningsfunktioner

starter,

Q = 50 som er den mængde, ved hvilken vare 2 skærer

mængdeaksen og dermed stopper, og endelig

Q = 100 hvor vare i skærer mængdeaksen og stopper.

For hver af de interessante Q-værdier beregnes de tilsvarende priser for

de to varer. De to priser lægges sammen for at beregne den samlede pris,

der kan opnås.

174

Page 173: Teknisk økonomi Opgave Bog

Q P vare i P vare 2 total

0 150 50 200

50 75 0 75

100 0 0 0

Sanihørende værdier af Q og P-total søjlerne giver punkter på den samle

de afsætningsfunktion. Ved at bestemme de lineære funktioner, der for

binder de tre punkter, fås:

P=—2,5Q+200 forQ<50

P=—1,5Q+150 for50<Q<100

Grafisk løsning

Ved en ren grafisk lodret addition lægger man i princippet en række lodrette lini

er hen over de grafer, der skal adderes. Derefter måles afstanden på hver af de

lodrette linier fra den vandrette akse og op til de enkelte grafer. Alle afstande på

samme lodrette linie summeres og afsættes i et nyt koordinatsystem.

Vare i200

180

160

10080

a1

20c1

0 20 40 60 80 100 120

Figur 3.7

/175

Page 174: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr. Vare 2200

180

160

140

120

100

80

60

40

20 .a2

o i 1Q

0 20 40 60 80 100 120

Figur 3.8

Kr. Samlet pris

120a+a

b+

20C1

0 20 40 60 80 100 120

Figur 3.9

Som ved grafisk vandret addition vil man hurtigt finde ud af, at det er

ganske få lodrette linier, der behøves.

I det viste eksempel er det den lodrette akse, prisaksen, der har interesse,

samt de to afsætningsfunktioners skæring med mængdeaksen.

Igen ser man, hvor tæt den numerisk/tabulariske og den grafiske metode

følger hinanden.

176

Page 175: Teknisk økonomi Opgave Bog

NOTE 4

Konvertering af lineære funktioner

Der vil ofte være behov for at udtrykke funktioner ved hjælp af en anden uaf

hængig variabel, end den der umiddelbart anvendes. Det vil typisk være nødven

digt i forbindelse med vandrette og lodrette additioner affunktioner. Her er det

altafgørende, at alle funktioner er udtrykt i den samme variabel, før additionen

laves.

Ved vandrette additioner vil det ofte være nødvendigt at udtrykke funktionerne i

kapacitetsenheder. Det kan være mandtimer eller maskintimer eller lignende, så

man for afsætningsfunktionerne eller MR-funktionerne eller de funktioner, der nu

måtte være tale om, får udtrykt pris eller MR pr. kapacitetsenhed i stedet for pr.

enhed af varerne.

Ved lodret addition skal funktionerne være udtrykt i samme enhed, før man går i

gang med additionen. Også her kan det være kapacitetsenheder, der skal bruges,

men ofte vil det være råvareenheder, der er den mest hensigtsmæssige fælles en

hed at benytte.

Konvertering af funktioner kan gøres på forskellig måde, og i det følgende skal

vises både en matematisk og en mere intuitiv grafisk metode.

Grafisk metode

Ved denne metode koncentrerer man sig om funktionens skæringspunkter med

akserne. For at vise fremgangsmåden vil vi tage udgangspunkt i et lille eksempel.

Antag at en vare har en afsætningsfunktion, der kan udtrykkes ved:

P=—2 Q+ 100

Det oplyses desuden, at det tager 2 timer at fremstille et stk. af varen. Hvordan

ser afsætningsfunktionen da ud udtrykt i timer?

177

Page 176: Teknisk økonomi Opgave Bog

Det letteste er at starte med mængdeaksen. Sættes prisen på varen til 0 kr., kan

der afsættes 50 stk. Hertil skal der bruges 100 timer, dvs., den nye afsætnings

funktion må skære den vandrette akse ved 100 timer.

Ser vi derefter på den lodrette akse, er den højeste pris, der kan opnås 100,- kr.

Afsætningen bliver ganske vist 0 stk. Skal vi derfor finde en timepris, der lige

netop bevirker, at ingen vil købe varen, kan vi opnå dette ved at sætte timeprisen

til 50,- kr. Da der skal bruges 2 timer pr. produceret enhed, svarer det netop til en

stk. pris på 100,- kr.

Vi har altså de to skæringspunkter med henholdsvis den vandrette og den lodrette

akse, når vi vil udtrykke afsætningsfunktionen i timer, ved henholdsvis 100 timer

og 50,- kr., hvilket giver:

P=—0,5 •T+50

1

pr time=-0,SxT+50

eller Timer

0 20 40 60 80 100 120

Figur 4.1

Skal der i stedet kun bruges 0,5 time til at fremstille et stk. af varen, skal der til

produktionen af 50 stk., som er det maksimale, der kan afsættes, bruges 25 timer.

Skal prisen pr. stk. op på 100,- kr., skal timeprisen sættes til 200,- kr. pr. time.

Det giver følgende afsætningsfunktion udtrykt i timer:

P = —8 . T + 200

178

Page 177: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr.200

150Pris pr. time = -8 x T+200

100

50 Pris pr. stk. = -2 x Q+100

0 IQ eller Timer

0 20 40 60 80 100 120

Figur 4.2

Matematisk metode

Antag den lineære afsætningsfunktion P = a Q + b. Det oplyses nu, at der til

fremstillingen af hver enhed af varen bruges k kapacitetsenheder. Hvordan ser

afsætningsfunktionen da ud, når den udtrykkes i kapacitetsenheder?

Givet:

Pvare = a• Qvare + b

i stk. af varen bruger k kapacitetsenheder

eller

1 kapacitetsenhed giver stk. af varen

For at få udtrykt prisen pr. kapacitetsenhed er det nødvendigt at gå via total reve

nue eller total omsætningen.

TR = a Qvare2 + b• Qvare

Den samlede omsætning skal blive den samme, enten vi udtrykker det ved, at vi

producerer Qvare stk. af varen, eller ved at vi bruger Qkap kapacitetsenheder. Her

kan k være større end, lig med eller mindre end 1.

Da der skal bruges k kapacitetsenheder til at fremstille et styk af varen, må det

gælde, at

Qkap = k. Qvare eller Qvare =

179

Page 178: Teknisk økonomi Opgave Bog

Indsættes i stedet for Qvare i udtrykket for oms. fås

Oms=a.]+b.J = jQkap2+Q1cap

Da omsætningen kan udtrykkes enten som Pvare Qvare eller som Pkap Qkap has vi,

at

Oms‘kap —

kap

Dvs., prisen pr. kapacitetsenhed kan nu udtrykkes som:

a bPkap = Qkap +

Sagt med andre ord:

For at udtrykke prisen pr. kapacitetsenhed skal hældningskoefficienten divideres

med k2 og konstantledet med k, hvor k er antallet af kapacitetsenheder, der bruges

for at fremstille et stk. af den aktuelle vare.

180

Page 179: Teknisk økonomi Opgave Bog

NOTE 5

Flervareproduktion

I virkelighedens verden vil der så godt som altid være tale omflervareproduktion.

Det hører til sjældenhederne, at en virksomhed eller en afdeling kun producerer

en bestemt vare. Der vil så godt som altid være tale om et større antal produkter,

eventuelt samme vare i forskellige varianter. De forskellige produkter vil oftest

gensidigt påvirke hinanden både afsætnings- og produktionsmæssigt. Vi skal her

se nærmere på nogle hovedtyper afproduktionsmæssige sammenhænge, idet vi i

første omgang ser bort fra afsætningsmæssige sammenhænge.

Der er to helt centrale spørgsmål, man må stille sig og have afklaret, når der er

tale om flervareproduktion, før man kan gå i gang med en analyse af

produktionsforholdene:

For det første må det klarlægges, hvordan produkterne hænger sammen

produktionsteknisk:

Er sammenhængen begrænset til, at produkterne trækker på den samme

knappe produktionskapacitet i form af maskiner og medarbejdere?

Kompliceres forholdene af, at der er en omkostningsmæssig sam

menhæng mellem produkterne således, at produktionsomkostningerne for

et produkt aflænger afproduktionsniveauetfor de øvrige produkter?

Er produktionsprocessen af en sådan karakter, at produkterne i

virkeligheden ikke kan produceres hver for sig, men at produktion af en

vare automatisk medfører produktion afen ellerflere andre produkter?

Det andet spørgsmål, der må tages stilling til, er, hvilken fælles naturlig

disponeringsenhed der skal anvendes ved analysen. Den mest hensigtsmæssige

disponeringsenhed afhænger i høj grad af, hvilken produktionsmæssig

sammenhæng der gør sig gældende.

Page 180: Teknisk økonomi Opgave Bog

Er der tale om træk påfælles knap produktionskapacitet, vil det ofte være

kapacitetsenheder (maskintimer, mandtimer o.l.), der vil være den

naturlige disponeringsenhed, idet det centrale her bliver at få den

økonomisk bedste udnyttelse af de knappe ressourcer.

Er der derimod tale om, at det ene produkt ikke kan produceres, uden atder fremkommer bestemte mængder af et eller flere andre produkter

(hvilket ofte vil være tilfældet ved kemiske processer), vil det ofte være

råvareenheder, der vil være den naturlige disponerings- og regneenhed.

Problemet her består i at vurdere de samlede indtægter og omkostninger,

der er forbundet med at behandle yderligere råvareenheder.

Uanset om analysen af flervareproduktionen fører frem til den ene eller den

anden disponeringsenhed, vil det næsten altid være nødvendigt at foretage

omregninger eller konverteringer for at få de forskellige relevante indtægter og

omkostninger, der er knyttet til de enkelte produkter, udtrykt i den fælles

disponeringsenhed.

For at få de grundlæggende ræsonnementer klart frem vil vi skelne mellem trehovedtyper afproduktionsmæssige sammenhænge og opstille løsningsmodellerfor hver af dem. Praksis vil normalt være mere kompliceret, og de tre hovedtyper

vil sjældent optræde i ren form, idet der ofte vil optræde forskellige kombi

nationer af de tre hovedtyper.

I det følgende vil hver af de tre hovedtyper blive præsenteret med deres

væsentlige karakteristika, hvorefter deres generelle løsningsmodeller vil blive

opstillet.

Hovedtype i

Ingen omkostningsmæssig sammenhæng, men trækpåfælles produktions-

kapacitet.

Der er her tale om en produktion, hvor der produceres to eller flere

produkter, og hvor produkterne trækker på de samme knappe ressourcer.

Det kan være de samme maskiner eller de samme medarbejdere. Det er

en forudsætning for denne hovedtype, at der ikke er nogen omkostnings

mæssig sammenhæng mellem produkterne, dvs, at omkostningerne ved

produktionen af et af produkterne er helt uafhængig af, hvor meget eller

hvor lidt der produceres af de øvrige produkter. Dette betyder bl.a., at

182

Page 181: Teknisk økonomi Opgave Bog

prisen for forbrugte ressourceenheder (maskintimer, mandtimer ol.) er

konstant, uanset hvor i produktionsforløbet ressourcetrækket finder sted.

Et eksempel kunne være et bryggeri, der producerer øl og mineralvand.

De to produkter fremstilles hver for sig, de er omkostningsmæssigt

uafhængige; men produkterne trækker på samme tappeanlæg, som udgør

en knap kapacitet.

Hvordan skal tappekapaciteten fordeles på de to• produkter for at opnå

den størst mulige samlede fortjeneste?

Hovedtype 2

Omkostningsmæssig sammenhæng med eller tiden træk på fælles

produktionskapacitet.

Der er her tale om en produktion, hvor der produceres to eller flere

produkter, og hvor omkostningerne ved produktion af det ene produkt

afhænger af hvor meget eller hvor lidt der produceres af de øvrige

produkter.

Det vil typisk være tilfældet, hvor flere produkter anvender samme

råvare, og hvor prisen på denne råvare afhænger af det samlede køb af

den pågældende råvare. Et andet eksempel kunne være, hvor flere

produkter trækker på samme ressourcer, og hvor prisen pr. ressource

enhed afhænger af, hvor meget der totalt bruges af den pågældende

ressource.

Et eksempel kan være en plasticfabrik, der fremstiller en række

forskellige plasticprodukter. Prisen på plasticgranulat, der anvendes som

råvare for alle produkter, afhænger af, hvor meget der købes totalt på

årsbasis.

Hvor meget skal der produceres af hver af de forskellige produkter for at

optimere den samlede fortj eneste?

Hovedtype 3

Forenet produktion bruges som betegnelse for en produktionsproces,

hvor der fremkonimerflere produkter i etfast mængdeforhold.

183

Page 182: Teknisk økonomi Opgave Bog

Der er her tale om en produktionsproces, hvor hver råvareenhed, der

behandles, resulterer i flere forskellige produkter i etfast mængdeforhold.

Dvs. Ønsker man at ændre produktionen af et af produkterne, resulterer

det automatisk i en proportional ændring af de Øvrige produkter.

Et eksempel er spaltning af vand til ilt og brint. Her fremkommer de to

færdige produkter i forholdet 1:2, og det kan der ikke ændres ved.

Hvor meget vand skal der spaltes, for at den samlede fortjeneste bliver

størst mulig?

Løsningsmodel til hovedtype i

Under forudsætning af, at vi kender de enkelte produkters afsætningsmuligheder

og deres omkostningsfunktioner, kan vi i første omgang bestemme den optimale

pris/mængde kombination for hvert produkt for sig på hel traditionel vis som en

vare på et eller flere markeder. Viser det sig, at den optimale produktion af

samtlige produkter ikke overstiger den samlede kapacitet, er problemet løst, og vi

behøver ikke at spekulere mere over den produktionsmæssige sammenhæng.

Overskrider den samlede optimale produktion den til rådighed værende kapacitet,

har vi et problem. Vi må så til at se på, hvilket dækningsbidrag de enkelte

produkter giver pr. knap kapacitetsenhed, og derefter vælge de produkter, der

giver det største dækningsbidrag pr. kapacitetsenhed.

Fremgangsmåden er følgende:

1. Bestem for hvert enkelt produkt GRDB (grænse-dæknings

bidraget) eller Mcon (marginal contribution) som:

Mcon = MR - MC

2. Konverter om nødvendigt de enkelte produkters Mcon til fælles

disponeringsenhed (enheden for den knappe ressource f.eks.

maskintimer)

3. Bestem total Mcon ved vandret addition af de enkelte

produkters Mcon

4. Indsæt max kapaciteten i den totale Mcon funktion. Det giver

Mcon for sidst anvendte ressourceenhed.

5. Samtlige produkter skal give samme marginal contribution for

den sidst anvendte ressourceenhed (hvis dette ikke er tilfældet,

184

Page 183: Teknisk økonomi Opgave Bog

vil det være lønsomt at omfordele ressourceforbruget). Det giver

en række ligninger til bestemmelse af ressourceforbruget til hvert

enkelt produkt:

Mcon1 = Mcon0

Mcon2 = Mcon0

Mcon, er det enkelte produkts marginal contribution pr. knap

ressourceenhed, og Mcon0 er den under punkt 4 beregnede

marginal contribution for sidst anvendte ressourceenhed

6. Ud fra det beregnede ressourceforbrug til hvert enkelt produkt be

regnes, hvor meget der skal produceres af hvert produkt. Herefter

bestemmes priserne ved at indsætte i afsætningsfunktionerne

Eksempel på Hovedtype i

En virksomhed producerer to forskellige varer på det samme produktionsanlæg,

der har en kapacitet på 50 timer pr. uge.

For produkt] har man antaget følgende afsætningsfunktion : P = —1,5. Q + 175

Omkostningerne ved produktionen af produkt 1 er givet ved: MC = i. Q + 25

Det tager 2 timer på produktionsanlægget at producere et stk. af produkt 1

For produkt 2 har man antaget følgende afsætningsfunktion : P = —0,5. Q + 40

Omkostningerne ved produktionen af produkt 2 er givet ved: MC = 15

Det tager 0,5 timer på produktionsanlægget at producere et stk. af produkt 2

Produkt i

P = —1,5.Q+175

MR = 3.Q+175

MC = 1Q+25

Tidsforbrug: 2 timer pr. produceret enhed

Produkt 2

P = —0,5.Q+40

MR = —lQ +40

MC = 15

Tidsforbrug: 0,5 time pr. produceret enhed

Maksimum kapacitet: 50 timer

185

Page 184: Teknisk økonomi Opgave Bog

Uden hensyn til kapacitetsbegrænsning

Produkt 1 MR = MC giver

Q = 37,5 svarende til et timeforbrug på 75 timer

Produkt 2 MR = MC giver

Q = 25 svarende til et timeforbrug på 12,5 timer

Vi har altså et problem, da 75T + 12,5T = 87,5T. Dette samlede timeforbrug

overskrider kapaciteten på 50T.

Under hensyntagen til kapacitetsgrænsen

Punkt i Bestemmelse af Mcon pr. produkt

Produkt 1 MR — MC: (—3. Q + 175) — (1

. Q + 25) = —4 Q + 150

Produkt 2 MR — MC: (—1. Q + 40) — 15 = —1

. Q + 25

Punkt 2 Konvertering af Mcon pr. produkt til Mcon pr. time pr. pro

dukt

Produkt i Mcon = —1 . T + 75

Produkt 2 Mcon = —4 . T + 50

Punkt 3 Vandret addition af Mcon pr. time pr. produkt til Mcon total

Mcon total = —1 . T + 75 for I < 25

Mcon total = —0,8 . T + 70 for T> 25

Punkt 4 Indsæt max kapacitet i Mcon total

Mcon total = —0,8 . 50 + 70 = 30

Punkt 5 Sæt hvert produkts Mcon pr. time lig med beregnet Mcon

total

Produktl —1T+75=30= T=45

Produkt2 —4T+50=30= T=5

Punkt 6 Ud fra det beregnede ressourceforbrug til hvert enkelt

produkt beregnes den tilhørende produktion

Produkt i T =45 = Q = 22,5

Produkt 2 T = 5 Q = 10

186

Page 185: Teknisk økonomi Opgave Bog

40

35

30

25

20

15

10•

5.

0

80706050403020100

Kr. Produkt 1 - Salg i stk.200

150 Afsætning

0 20 40 60 80 100 120

Figur 5.1

Produkt 2 - Salg i stk

\Afning

MR

I i

0 20 40 60 80 100 120

Figur 5.2

Kr. Mcon i timer

Piodukt 1

Timer

0 20 40 60 80 100 120

Figur 5.3

187

Page 186: Teknisk økonomi Opgave Bog

Mcon total i timer

Max kapacitet

1Timer

0 20 40 60 80 100 120

Figur 5.4

Løsningsmodel til hovedtype 2

Omkostningsmæssig sammenhæng betyder, at omkostningerne for det ene

produkt ikke kun afhænger af dette produkt, men også påvirkes af, hvor meget

der produceres af andre produkter.

Det kan f.eks. være tilfældet:

Hvor flere produkter benytter den samme råvare, og hvor prisen på

råvaren varierer afhængigt af, hvor meget der bruges af den

Hvor de samme medarbejdere fremstiller flere forskellige produkter, og

hvor lØnsatsen afhænger af, hvornår den pågældende vare produceres.

Der kan feks. være forskellige lønsatser, afhængig af om produktionen

foregår på normaltid, eller om den finder sted på overtid

Det vil her være forkert at belaste den enkelte vareenhed med prisen for de

råvarer, der netop bruges, eller med den lønsats, der gælder netop på det

tidspunkt, hvor varen produceres.

Ved blot at ændre på den rækkefølge, hvori de forskellige varer produceres,

ændres deres omkostninger.

I sådanne situationer er det derfor nødvendigt at se på produktionen af de

forskellige varer under et, uden hensyn til i hvilken rækkefølge de rent faktisk

produceres. Det gælder således om at finde frem til, hvor meget der skal

produceres af hver af de forskellige varer, der omkostningsmæssigt hænger

188

Page 187: Teknisk økonomi Opgave Bog

sammen, for at opnå den største fortjeneste. Den mest hensigtsmæssige

rækkefølge i selve produktionen kan så overlades til produktionsplanlægningen.

Tankegangen i modellen er, at der hele tiden skal satses på det produkt, der giver

det højeste MR. Herved sikrer man sig hele tiden at få den størst mulige

indtjening til dækning af omkostningerne.

Fremgangsmåden er følgende:

1. For hvert produkt bestemmes MR

2. MR for hvert produkt reduceres med evt. produktspecifikke MC

MRreduceret = MR — MCproduktspecifik

3. Konverter om nødvendigt de enkelte produkters MRreduceret til

fælles disponeringsenhed

4. Bestem MR0ved vandret addition af MRreduceret

5. Find skæring mellem MR0 og MCfælles, hvor MCfælles er den eller

de omkostninger, der udgør den omkostningsmæssige sammen

hæng

6. Samtlige produkter skal give samme MRreduceret for sidste dispo

neringsenhed (hvis dette ikke er tilfældet vil det være lønsomt at

foretage en omfordeling). Det giver en række ligninger til

bestemmelse af forbrug af disponeringsenheder pr. produkt:

MRreduceret,1 = MRtotai

MRreduceret2 = MRtotai

osv.

MRtotai er løsningen fra punkt 5, og MRreduceret,i er de

enkelte produkters reducerede MR fra punkt 3

7. Ud fra det nu beregnede forbrug af disponeringsenheder pr.

produkt beregnes, hvor meget der skal produceres af hvert

produkt. Herefter bestemmes prisen ved at indsætte mængden i

afsætningsfunktionen.

Eksempel på hovedtype 2

En virksomhed producerer og sælger et produkt i to forskellige varianter: En

standard og en luksus udgave.

Produktionen af de to produkter er et langt stykke ad vejen identisk. Først til sidst

afgøres det, om produktemnet skal færdiggøres som standard eller som luksus.

189

Page 188: Teknisk økonomi Opgave Bog

Marginalomkostningerne ved den fælles del af produktionen kan udtrykkes som:

MC fælles = 0,25 Q + 30

Færdiggørelsesomkostningerne for standardproduktet beløber sig til:

MC standard = 25

Færdiggørelsesomkostningerne for luksusudgaven beløber sig til:

MC luksus = 0,5 Q + 50

Afsætningsmulighederne for de to produkter er vurderet til henholdsvis:

Standard: P = —l Q + 75

Luksus: P = —1,25. Q + 125

Punkt i Bestemmelse af MR for hvert produkt

MR standard = 2 Q + 75

MR luksus = 2,5. Q + 125

Punkt 2 Bestemmelse af MR reduceret for hvert produkt

MRreduceret = MR— MCspecifik

MRred. standard = 2 Q + 50

MRred. luksus = 3. Q + 75

Punkt 3 Konvertering til fælles disponeringsenhed

Det er ikke nødvendigt at konvertere, da der ikke står noget om, at løn

eller tidsforbrug er forskellig for de to produkter

Punkt 4 Vandret addition af de reducerede MR funktioner

MRreduceret Qstandard Qluksus Qtotal

75 0 0 0

50 0 8,333333 8,333333

0 25 25 50

MRred. tot. = —3. Q +75 for Q < 8,33333

MRred.tot = —1,2 Q + 60 for Q> 8,33333

Punkt 5 Skæring mellem tot. og MCfæIles

—1,2 Q+60=0,25 . Q+30

Q = 20,69 MRreduceret for sidste enhed = 35,17

190

Page 189: Teknisk økonomi Opgave Bog

7,42 stk.

Pstandard = 67,58 ks

MR red. luksus = 35,17 Qluksus = 13,28 stk.

108,40 kr.

Samlet omsætning 1.941,00 kr.

Samlede særomkostninger 893,59 kr.

Samlede fællesomkostninger 674,21 kr.

Samlet DB 373,20 kr.

Punkt 6 Samtlige produkter skal give samme MR1.educeret for sidste dis

poneringsenhed

MR red. standard = 35,17 Qstandard =

luksus =

Kr. Standard8070605040302010

0

%%ætng

MCspecifik

I I

140

120

100

80

60

40

20

0

0 20 40 60 80 100

Figur 5.5

Kr. Luksus

Afsætning

0 20 40 60 80 100

Figur 5.6

191

Page 190: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr.

IOt2IOM:4IO5I

Figur 5.7

Løsningsmodel til hovedtype 3

Forenet produktion er en meget hyppigt forekommende produktionsform. Ved de

fleste produktioner fremkommer enten flere produkter eller et hovedprodukt og et

eller flere biprodukter, som måske og måske ikke har en salgsværdi.

Slagter man f.eks. et får, bliver der et styk skind, to køller, en ryg, to stk. bov osv.,

samt noget affald, indvolde og lignende, som måske medfører nogle destruktions

omkostninger. Der er her tale om forenet produktion med en række forskellige

produkter i et fast mængdeforhold.

I forbindelse med forenet produktion vil der ofte være tale om flere niveauer i

produktionen. De produkter, der fremkommer ved den første opskæring af fåret,

behøver ikke nødvendigvis at være de endelige produkter. Et eller flere af

produkterne fra første niveau kan være råvare for en yderligere bearbejdning,

f.eks. kan ryggen enten sælges som ryg, eller den kan skæres yderligere op og

sælges som lammekoteletter.

For at analysere forenet produktion og fastlægge det optimale produktionsniveau

må vi se på alle produkter under et. Dvs. vi må vurdere den samlede indtjening

(fra et skind, to køller, en ryg, to stk. bov osv.) i forhold til omkostningerne (ved

at købe og slagte yderligere et får samt skaffe affaldet af vejen) for at afgøre, om

vi skal øge eller reducere slagteaktiviteten.

192

Page 191: Teknisk økonomi Opgave Bog

Fremgangsmåden er følgende:

1. For hvert produkt bestemmes MR

2. MR for hvert produkt reduceres med evt. produktspecifikke MC

MRreduceret = MR— MCproduktspecifik

3. Konverter om nødvendigt de enkelte produkters MRreduceret til

fælles disponeringsenhed

4. Bestem MR0ved lodret addition af MRreduceret

5. Find skæring mellem MR0og MCfæJles, hvor MCfælles er den eller

de omkostninger, der ikke kan henføres til et enkelt af

produkterne. Skæringspunktet giver det optimale antal

disponeringsenheder

6. Ud fra det optimale antal disponeringsenheder beregnes, hvor

meget det resulterer i af hvert enkelt produkt. Herefter

bestemmes priserne ved at indsætte mængderne i de enkelte

produkters afsætningsfunktioner

Eksempel på hovedtype 3

I en produktionsproces fremkommer to produkter i forholdet 2:3. Dvs, hver gang

der behandles 1 råvareenhed fremkommer 2 enheder af vare 1 og 3 af vare 2.

For vare 1, der er hovedproduktet, er afsætningsfunktionen givet ved:

Pvare i = —0,5 Qhoved + 500

For vare 2, der er et biprodukt med begrænset afsætning, er afsætningsfunktio

nen:

Pvare2 = 0,25 Q1 + 100

For overhovedet at kunne sælge biproduktet skal det videreforarbejdes. Omkost

ningerne er her:

biprod. = 0,333333 Qbi + 20

Ikke solgte enheder af biproduktet skal destrueres, hvilket koster 10,- kr. pr. stk.

Omkostningerne i den fælles del af produktionen, herunder omkostninger til råva

rer, er pr. behandlet råvareenhed

MCforenet = 0,5 Qråvare + 182,5

193

Page 192: Teknisk økonomi Opgave Bog

Punkt i Bestemmelse af MR for hvert produkt

MRliovedprod = 1 Q + 500

MRhiprodukt = —0,5. Q + 100

Punkt 2 Bestemmelse af MR reduceret for hvert produkt

MRreduceret = IVIR— ÊVlCspecifik

MRred. hovedprod. = 1 Q + 500

MRred. biprod. = 0,83333. Q + 80

Punkt 3 Konvertering til fælles disponeringsenhed

Råvareenheder vælges som disponeringsenhed.

MRhovedprod. = 4• Qråvare + 1000

MRbiprod = 7,5 Qråvare + 240

Falder MR for biproduktet til under —10,- kr. pr. stk., svarende til —30,- pr. be

handlet råvareenhed, kan det bedre betale sig at destruere yderligere enheder afbiproduktet. Derfor:

MRbjprod. = 7,5 Qrgvare + 240 for Qråvare < 36

MRbiprod. = —30 for Qråvare> 36

Punkt 4 Lodret addition af MRI.educeret

MRtotai = —11,5 Qråvare + 1240 for Qråvare < 36

MRtotai = 4 Qrgvare + 970 for Qråvare> 36

Punkt 5 Skæring mellem MR0og MCfæIIes

4 Qråvare + 970 = 0,5. Qråvare + 182,5

Qråvare = 175

Punkt 6 Ud fra det optimale antal disponeringsenheder beregnes,

hvor meget det resulterer i af hvert enkelt produkt

Qhoved = Qrå 2 = 350 Phoved = 325

Qbi Qrå3 525

Biproduktet sælges så længe, at MR biprodukt reduceret > —10,- kr. der

efter destrueres biproduktet.

Qbi salg = 108 Pbiprod. 72,9999

Qbj destruktion = 417

194

Page 193: Teknisk økonomi Opgave Bog

Beregning af samlet dækningsbidrag

Omsætning hovedprodukt 113.750 kr.

Omsætning biprodukt 7.884 kr.

Samlet omsætning 121.634 kr.

Destruktionsomkostninger 4.170 kr.

Videre forarbejdning af biprodukt

108 . (20+56)/2 4.104 kr.

Fællesomkostninger

175 . (182,5+270)/2 39.594 kr. 47.868 kr.

Samlet dækningsbidrag 73.766 kr.

Kr.500

450

400

350 Afsætning

300

250

200 MR150

100

o i i i i i9Hovedproyukt

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Figur 5.8

195

Page 194: Teknisk økonomi Opgave Bog

Kr.100

MCspec fik80

tnin

QBiprodukt

20red

MR

10 200 300 400 500-20

Figur 5.9

Kr. MR pr. råvareenhed1300

1100 MRTotal

900

MR700

. Hovedprodukt

500

300 MC.rælles

100 MR Biprodukt QRåva eder\I I I

-100 50 100 150 200 250

Figur 5.10

196

Page 195: Teknisk økonomi Opgave Bog

NOTE 6

Kontrakter

Kontrakter udgør en speciel gruppe af afsætningsfunktioner, som ofte kræver en

særlig behandling. Kontrakter vil normalt have en fast pris pr. vareenhed og der

for på mange måder minde om et homogent marked med fuldkommen konkur

rence.

Forskellen på kontrakter og et homogent marked er mængdemæssige krav. Hvor

afsætningsmulighederne til den givne markedspris, set fra den enkelte udbyder er

ubegrænsede på det homogene marked, vil der normalt være knyttet mængde

mæssige krav til en kontrakt. Der kan være tale om såvel minimums mængder,

som skal leveres, hvis kontrakten indgås, som maksimumsmængder der ikke kan

overskrides.

Kravene til mængden er særdeles velegnet til en systematisering af, hvordan for

skellige typer af kontrakter behandles i forbindelse med fastlæggelse af optimale

pris/mængde kombinationer. Der kan være tale om følgende kontraktformer:

1. Hverken minimums eller maksimums krav til mængde2. Mængden fastlagt på forhånd3. Kun minimums krav til mængden4. Kun maksimums krav til mængden5. Både minimums og maksimums krav til mængden

For at opstille metoder til håndtering af hver af de fem situationer vil vi betragte

en virksomhed, der har et veletableret marked, hvor virksomheden står over for

en faldende afsætningsfunktion givet ved:

P=—O,OO1 Q+500

MR=—O,002 Q+500

og en omkostningsfunktion givet ved:

MC=O,0005 Q+50

Virksomhedens optimale pris/mængde kombination kan enten findes matematisk

eller grafisk og bliver:

197

Page 196: Teknisk økonomi Opgave Bog

Q =180.000stk.

P = 320,00kr.

Omsætning 57.600.000 kr.

TVC 17.100.000kr.

DB 40.500.000kr.

Graferne for afsætning, MR og MC er vist i figur 6.1

0 100.000 200.000 300.000 400.000 500.000

Figur 6.1

Vi vil nu se, hvilke konsekvenser hver af de 5 kontraktformer får forpris/mængde fastsættelsen på det etablerede marked og for det samlede dækningsbidrag. Det forudsættes, at alle kontrakter er med en fast pris på 200,00 kr.pr. stk.

Hverken minimums eller maksimums krav til mængden.

Dette svarer helt til, at virksomheden får adgang til et nyt homogent marked,f.eks. et eksportmarked, hvor der kan afsættes ubegrænset til den givne markedspris.

Det kan grafisk illustreres som vist på figur 6.2

198

Page 197: Teknisk økonomi Opgave Bog

0 100.000 200.000 300.000 400.000 500.000

Figur 6.2

Der sælges til det oprindelige marked, så længe MR her er større end 200 kr.,

hvorefter der skiftes til kontrakten indtil MR = MC.

For det oprindelige marked fås:

MR = —0,002 Q + 500 = 200 = Q = 150.000 stk.

P = 350,00kr.

Sættes MR = MC fås:

MR = MC

200=0,0005Q+50 = Q =300.000stk.

Heraf går de 150.000 stk. til det oprindelige marked, hvorfor der bliver 150.000

stk. til kontrakten

Omsætning på det oprindelige marked: 52.500.000 kr.

Omsætning på kontrakten: 30.000.000 kr.

TVC: 37.500.000kr.

DB 45.000.000kr.

Dvs, kontrakten giver en forbedring i DB på 4.500.000 kr. (45.000.000 kr. —

40.500.000 kr).

Fast mængde og pris

Ligger såvel prisen som mængden fast på kontrakten med f.eks. 200.000 stk. å

200 kr., får vi en situation som vist på figur 6.3. Problemet her er, at MC skærer

MR inde i kontrakten, så det bedste for virksomheden ville være kun at opfylde

199

Page 198: Teknisk økonomi Opgave Bog

en del af kontrakten. Det kan blot ikke lade sig gøre! Vi har en “take it or leave

it” situation: enten tager vi kontrakten, eller også tager vi den ikke!

500

400

300 MC

100

I0 100.000 200.000 300.000 400.000 500.000

Figur 6.3

Den enkleste måde at håndtere denne situation på er at undersøge de to mulighe

der hver for sig. Undlader vi at tage kontrakten ved vi allerede, at det samlede DB

bliver på 40.500.000 kr. Accepterer vi kontrakten, kan vi starte med at reservere

produktionskapacitet til kontrakten og derefter se, hvor meget det nu vil være

lønsomt at afsætte på det oprindelige marked. Det kan grafisk illustreres som vist

på figur 6.4.

3000Pnmndehibmd

0 100.000 200.000 300.000 400.000 500.000

Figur 6.4

200

Page 199: Teknisk økonomi Opgave Bog

De første 200.000 stk. reserveres til kontrakten, hvorefter eventuelt yderligere

salg foregår på det oprindelige marked. Optimeringsproblemet løses ved at paral

lelforskyde MR for det oprindelige marked 200.000 stk. mod højre og først lade

den begynde, hvor kontrakten slutter. Den forskudte MR kan udtrykkes som:

MR=—0,002 Q+900

Skæringspunktet mellem MC og den forskudte MR bliver ved Q = 340.000 stk.

Dvs, ud over kontrakten på 200.000 stk. bliver der et salg på 140.000 stk. til en

pris af 360,00 kr. pr. stk. Dækningsbidraget med kontrakten kan nu beregnes:

Omsætning på det oprindelige marked: 50.400.000 kr.

Omsætning på kontrakten: 40.000.000 kr.

TVC: 45.900.000kr.

DB 44.500.000kr.

Da dækningsbidraget uden kontrakten, hvor der kun var salg til det oprindelige

marked, var på 40.500.000 kr., kan dækningsbidraget Øges med 4.000.000 1cr. ved

at antage kontrakten. Det er altså en god forretning.

Kun minimumskrav til mængden

Er der et minimumskrav til kontrakten på 100.000 stk. men ikke nogen Øvre

grænse, er der igen to muligheder:

1. Afvise kontrakten2. Sige ja til kontrakten, hvorved vi forpligtiger os til at levere mindst

100.000 stk. til kontraktkunden

Dækningsbidraget ved ikke at tage kontrakten kender vi allerede, spørgsmålet

bliver derfor, hvis vi siger ja til kontrakten, om der skal leveres mere end 100.000

stk. til den faste pris af 200,00 kr. pr. stk. Situationen kan illustreres som vist på

figur 6.5.

Page 200: Teknisk økonomi Opgave Bog

10:

IQ0 100.000 200.000 300.000 400.000 500.000

Figur6.5

Først reserveres 100.000 stk. til opfyldelse af kontraktens minimumskrav; derefter afsættes der til det oprindelige marked, så længe MR her er stØrre end 200,hvorefter der igen afsættes til den faste pris på 200,00 kr. pr. stk. på kontraktenindtil MR = MC.

Den totale mængde bliver nu på 300.000 stk., hvoraf de 150.000 stk. går til detoprindelige marked, og de resterende 150.000 stk. går til kontraktkunden. Dækningsbidraget i denne situalion kan nu beregnes som:

Omsætning på det oprindelige marked: 52.500.000 kr.

Omsætning på kontrakten: 30.000.000 kr.

TVC: 37.500.000 1cr.

DB 45.000.000kr.

En forøgelse af dækningsbidraget på 4.500.000 kr. i forhold til ikke at tage kontrakten (45.000.000 kr. — 40.500.000 kr.).

Kun maksimumskrav til kontrakten

Kontraktkunden vil højest aftage 200.000 stk., men accepterer enhver mængde,der er mindre. Igen er en graf velegnet til af få et overblik over situationen somvist på figur 6.6.

202

Page 201: Teknisk økonomi Opgave Bog

10 I Q0 100.000 200.000 300.000 400.000 500.000

Figur 6.6

Afsætningen starter på det oprindelige marked, hvor der afsættes så længe MR er

større end 200. Herefter skiftes der til kontrakten med de næste 200.000 stk.,

hvorefter salget eventuelt fortsætte på det oprindelige marked. Med de givne af

sætnings- og omkostningsforhold giver det en total mængde på 300.000 stk. for

delt med 150.000 stk. til det oprindelige marked og andre 150.000 stk. til kon

trakten. Resultatet fås som:

Omsætning på det oprindelige marked: 52.500.000 kr.

Omsætning på kontrakten: 30.000.000 kr.

TVC: 37.500.000 kr.

DB 45.000.000kr.

Det er i denne situation ikke nødvendigt at undersøge resultatet uden kontrakt, da

der kun vil blive solgt på kontrakt, såfremt kontrakten er mere lønsom en det op

rindelige marked.

Både minimums og maksimums krav til kontrakten

Antager vi, at kontraktkunden kræver at få leveret mellem 50.000 stk. og 100.000

stk., deles kontrakten op i to dele:

1. En fast del på 50.000 stk.2. En del med maksimumskrav på 50.000 stk.

Her er det nødvendigt, for at være på den sikre side, at undersøge resultatet både

med og uden kontrakt. Situationen med kontrakten, hvor denne er opdelt i to, er

vist på figur 6.7.

203

Page 202: Teknisk økonomi Opgave Bog

o 50.000 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000 350.000

Figur 6.7

Den samlede optimale mængde bliver i denne situation på 260.000 stk. Af figuren fremgår det, at kontrakten skal udnyttes maksimalt, dvs, der skal leveres100.000 stk. på kontrakten, mens de resterende 160.000 stk. sælges på det oprindelige marked. De Økonomiske konsekvenser heraf bliver:

Omsætning på det oprindelige marked: 54.400.000 kr.

Omsætning på kontrakten: 20.000.000 kr.

TVC: 29.900.000kr.

DB 44.500.000kr.

Der kan altså hentes yderligere 4.000.000 kr. hjem ved at tage kontrakten(44.500.000 b. — 40.500.000 kr.).

Afsætningsmæssig sammenhæng

Hvis kontrakten indgås med en eksisterende kunde må det forventes, at det vilpåvirke afsætningen på det oprindelige marked. Den mængde, som kontraktkunden tidligere aftog, vil nu blive trukket ud af det oprindelige marked, hvorvedafsætningsfunktionen kommer til at ligge lavere. Det kan også tænkes, at indgåelse af en kontrakt med en eksisterende kunde kan resultere i et pres fra de Øvrigekunder i retning af lavere priser. Findes der en afsætningsmæssig sammenhængaf den ene eller den anden art, er det den samlede effekt af at antage kontrakten,der skal sammenlignes med situationen uden kontrakt.

Bruges den sidste situation med en kontrakt med både minimums og maksimumsgrænse og antages det, at indgåelse af kontrakten vil betyde, at for enhver given

204

Page 203: Teknisk økonomi Opgave Bog

pris vil salget på det oprindelige marked blive 20% mindre. Det betyder, at ved

indgåelse af kontrakten ændres prisafsætningsfunktionen på det oprindelige mar

ked fra:

P=—0,00l Q+500

til

P = —0,00125. Q + 500

MR = —0,0025. Q + 500

Det samlede forlØb af MR og MC bliver nu:

_HR_

0 50.000 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000

Figur 6.8

Den totale optimale mængde bliver nu på 233.333 stk., hvoraf de 100.000 stk. går

til kontrakten, og de sidste 133.333 stk. sælges på det oprindelige marked til en

pris af 333,33 kr. pr. stk. Det samlede resultat, under forudsætning af at kontrak

ten indgås, bliver nu:

Omsætning på det oprindelige marked: 44.443.888 kr.

Omsætning på kontrakten: 20.000.000 kr.

TVC: 25.277.722kr.

DB 39.166.166kr.

Kontrakten er nu ikke længere lønsom, men vil resultere i en reduktion af dæk

ningsbidraget på 1.333.834 kr. (39.166.166 kr. —40.500.000 kr.).

205

Page 204: Teknisk økonomi Opgave Bog
Page 205: Teknisk økonomi Opgave Bog

NOTE 7

Brug af grafer

Inden for Økonomien bruges grafer i stor udstrækning.

140Ki.

TVC

120

100

80

20

0

0 5 10 15 20 25 30

14

8

Q0 i i i I

0 5 10 15 20 25 30

Figur 7.1

207

Page 206: Teknisk økonomi Opgave Bog

De bruges dels til at forklare og vise forskellige Økonomiske sammenhænge ogdels til at løse Økonomiske problemer.

Et eksempel på den første type er vist i de foregående to figurer, der viser sammenhængen mellem TVC, AVC og MC.

Løsning af et økonomisk problem ved hjælp af grafer kunne f.eks. være bestemmelse af den optimale pris og mængde for en vare, som sælges på et marked, derkan beskrives ved:

P=—l Q+50 for0<Q2O

P=—0,5Q+40 for20Q<8O

MC=0,2Q+lO foro<Q

60 Kr.

30ætng

P0 MC

0 20 40 60 80 100

Figur 7.2

Af grafen kan det aflæses, at den optimale mængde bliver Ca. 25 stk., og den optimale pris er Ca. 28 kr. pr. enhed (matematisk bestemt bliver mængden 25 stk. ogprisen 27,50 kr).

208

Page 207: Teknisk økonomi Opgave Bog

NOTE 8

Konstruktion af grafer

Der er en række spørgsmål, der bliver stillet gang på gang af de studerende i for

bindelse med konstruktioner af grafer i Excel:

1. Hvordan får jeg et skarpt knæk på en graf?

2. Hvordan laver jeg en lodret streg, f.eks. en kapacitetsgrænse?

3. Hvordan tegner jeg en graf, der svarer til en matematisk funktion?

4. Hvordan tegner jeg en lukket figur, f. eks. en cirkel?

I det følgende vil der blive vist eksempler på løsninger til hver af de fire spørgs

mål, idet de to første dog vil blive vist sammen.

Skarpe knæk og lodrette streger

Den følgende figur kunne være et eksempel på forløbet af en MC-funktion

4035

Kapacitetsgrænse

-5 200 400 6 0 800 1.000-10-15 Akkumuleret rabat

Figur 8.1

209

Page 208: Teknisk økonomi Opgave Bog

MC’en er konstant 10 kr. for de første 200 stk. Derefter stiger den lineært til 20kr. over de næste 200 stk. for derefter igen at forblive konstant på 20 kr. for denæste 100 stk. Ved en mængde på 500 stk. stiger MC brat fra 20 kr. til 30 kr.,som gælder for de næste 100 stk. Det styres i Excel ved at angive Q-værdien 2gange med forskellige MC-værdier, henholdsvis 20 kr. og 30 kr.

Overstiger produktionen 600 stk., udløses der en akkumuleret kvantumsrabat, deri grafen vises som en lodret streg, der går ned under Q-aksen. Efter 600 stk. ligger MC konstant på 25 kr. Ved Q = 600 skal der bruges i alt 3 forskellige MC-værdier. Igen gøres det ved at anføre Q-værdien 3 gange med forskellige MC-værdier.

Endelig er der i grafen vist, hvordan en kapacitetsgrænse kan tegnes ind. Det erher gjort ved en mængde på 800 stk.. Det gøres ved i en søjle for sig at dobbeltdefinere Q = 800 og igen med to forskellige y-værdier.

Hele grafen er konstrueret i Excel ved at indtaste værdierne, der er vist i den følgende tabel.

A B C1 Q MC Kapacitet2 0 io[_______3 100 10

4 200 10

5 300 15

6 400 20

7 500 20

8 500 30

9 600 30

10 600 -10

11 600 25

12 700 25

13 800 25 014 800 25 3515 900 25

16 1.000 25

Grafen tegnes lettest ved at klikke på “Guiden Diagram”. Her vælges XY-punkt,hvorefter der kan vælges mellem grafer med skarpe knæk eller udglattede grafer.

210

Page 209: Teknisk økonomi Opgave Bog

Her er valgt grafer med skarpe knæk. Følges guiden vil man ret hurtigt kunne få

lavet den ønskede graf i Excel.

For at få grafen flyttet over til f. eks. et Word-dokument klikkes en gang på gra

fen i Excel. Derefter trykkes “Ctrl + c”. Herved placeres en kopi af grafen i Offi

ce Pakkens udklipsholder, hvorfra den kan kopieres over i andre dokumenter.

Skal grafen over i et Word-dokument, aktiveres Word-dokumentet, curseren pla

ceres på det sted, grafen skal indsættes, hvorefter der trykkes “Ctrl+v”. Grafen vil

nu være kopieret ind i Word-dokumentet. Ved at dobbelt-klikke på grafen kan der

redigeres videre på grafen, man kan f.eks. lægge tekster ind, ændre stregtykkel

ser, ændre skrifttyper og skriftstørrelse osv.

Matematisk funktion til graf

100Skal der tegnes en graf efter en funktion f. eks. y = +20 gøres det relativt

x

let ved at opbygge en tabel i Excel.

I den første søjle indtastes relevante x-værdier. I det følgende eksempel er indta

stet tallene fra 1 til 30 i første søjle. I anden søjle, celle B3, indtastes forskriften

for funktionen, som i dette tilfælde hedder:

=A$1/A3 + B$l

Bruger man låste referencer, A$l for konstanten 100 og B$1 for konstanten 20,

kan grafens form og beliggenhed ændres ved blot at ændre på værdierne i celle

Al og Bl.

Ved at trække i celle B3’s nederste højre hjørne kopieres forskriften til de efter

følgende celler i søjle B.

Når tabellen er opbygget bruges “Guiden diagram”. Igen vælges XY-punkt, hvor

efter der vælges udglattede kurver. Den fremkomne graf overføres til f. eks. et

Word-dokument på samme måde som tidligere forklaret. Et lille udsnit af Excel

arket er vist i den følgende tabel.

Page 210: Teknisk økonomi Opgave Bog

A B

i 100 20

2 X Y

3 i 120

4 2 70

5 3 53,33333

6 4 45

7 5 40

8 6 36,66667

9 7 34,28571

10 8 32,5

140

Figur 8.2

Grafer som lukkede figurer

Der kan undertiden være behov for at få tegnet lukkede figurer, f. eks. cirkler,ellipser og lignende. Dvs, figurer, hvor der til hver x-værdi svarer flere y-værdier.Det gøres relativt let ved at opdele figuren i flere enkeltgrafer - ofte ved at indlægge vandrette symmetrilinier.

Den følgende figur er tegnet med tabellen vist på næste side.

212

Page 211: Teknisk økonomi Opgave Bog

35y

yla y2a

2Oc

5x

0- i i I I I

0 5 10 15 20 25

Figur 8.3

A B C D E

1 x yla y2a ylb y2b

2 20 10 10

3 25,5 4,5 10

4 0 20 20

5 0,25 22,22205 17,77795

6 0,5 23,1225 16,8775

7 0,75 23,79967 16,20033

8 1 24,3589 15,6411

9 2 26 14

10 3 27,14143 12,85857 -

11 4 28 12

12 5 28,66025 11,33975

13 5,5 28,93029 11,06971 25,5003 25,4997

14 6 29,16515 10,83485 27,56155 23,43845

15 7 29,53939 10,46061 28,8541 22,1459

16 8 29,79796 10,20204 29,53113 21,46887

17 9 29,94987 10,05013 29,88748 21,11252

18 10 30 10 30 21

19 1129,94987 10,05013 29,88748 21,11252

20 12 29,79796 10,20204 29,53113 21,46887

21 13 29,53939 10,46061 28,8541 22,1459

213

Page 212: Teknisk økonomi Opgave Bog

LL ‘ti- 29, lOD l.D IU,&i4 2/,56155 23,4384523 14,5 28,93029 11,06971 25,50033 25,4996724 15 28,66025 11,3397525 16 28 1226 17 27,14143 12,8585727 18 26 1428 19 24,3589 15,641129 19,25 23,79967 16,2003330 19,5 23,1225 16,877531 19,75 22,22205 17,7779532 20 20 20

Der skal knyttes et par kommentarer til ovenstående tabel. I søjle A indtastes derelevante x værdier. Bemærk, at inddelingen fra 0 til i samt fra 19 til 20 er finerefor at få en pæn krumning.

I cellerne B2 til D3 er indtastet de 6 konstanter, der bestemmer form og beliggenhed af de to ellipser.

Formien der benyttes er:

(y — a)2 + (x — c)2 = b2,

der efter lidt omskrivning giver:

/7 2 /7 7y=a+b—(x—c) eller y=a—b—(x—c).

I cellerne B4 til E4 indtastes formlerne for yla, y2a, yib og y2b som:

B$2+KVROD(C$2’2-(A4-D$2y’2)

B$2_KVROD(C$2A2(A4D$2)A2)

B$3+KVROD(C$3A2(A4D$3y\2)

Igen bruges låste referencer til de tre konstanter, der skal bruges til hver ellipse.Ellipserne defineres som to halvdele, yla og y2a for den yderste ellipse, og ylbog y2b for den mindre inderste ellipse. For at lukke den inderste ellipse er detnødvendigt at finde de to x-værdier, hvor de to tilsvarende y-værdier bliver ens.Det gøres lettest med målsøgning, hvor f.eks. celle F13 defineres som:=D13—E13. Celle F 13 skal nu antage værdien 0 ved at ændre på værdien i celleA13, x-værdien for den ene ende af den inderste ellipse.

214