TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU

PREDDIPLOMSKI STRUČNI STUDIJ MEHATRONIKE

Ivan Herceg

Modeliranje i upravljanje sustavom stabilizacije

kugle na gredi

ZAVRŠNI RAD br. 3

Zagreb, srpanj, 2014.

TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU

PREDDIPLOMSKI STRUČNI STUDIJ MEHATRONIKE

Ivan Herceg

JMBAG: 0035168461

Modeliranje i upravljanje sustavom stabilizacije

kugle na gredi

ZAVRŠNI RAD br. 3

Zagreb, srpanj, 2014.

Ovim putem želim se zahvaliti mentoru dr. sc. Toniju Bjažiću, što je prihvatio

mentorstvo za ovaj rad, te što je svojom pristupačnošću, pružanjem korisnih savjeta i

nesebičnim pružanjem znanja pomogao pri izradi istog.

Konačno zahvaljujem se roditeljima, sestri, cijeloj obitelji i prijateljima koji su

me tokom cijelog studija bodrili i bili mi podrška.

SADRŽAJ

POPIS OZNAKA ......................................................................................................................................... 5

1. UVOD ................................................................................................................................................ 6

2. MATEMATIČKI MODEL KUGLE .......................................................................................................... 7

3. MATEMATIČKI MODEL GREDE ........................................................................................................... 12

4. IZRADA MATEMATIČKOG MODELA ELEKTROMOTORNOG POGONA ................................................ 15

5. PROJEKTIRANJE REGULATORA ........................................................................................................... 19

5.1. PROJEKTIRANJE REGULATORA MOMENTA ISTOSMJERNOG MOTORA S NEZAVISNOM I

KONSTANTNOM UZBUDOM ............................................................................................................... 19

5.2. PROJEKTIRANJE REGULATORA BRZINE VRTNJE ISTOSMJERNOG MOTORA S NEZAVISNOM I

KONSTANTNOM UZBUDOM ............................................................................................................... 23

5.3. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE ISTOSMJERNOG MOTORA S NEZAVISNOM I

KONSTANTNOM UZBUDOM ............................................................................................................... 30

5.4. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE .......................................................................... 32

5.4.1. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE DT1 ........................................................... 34

5.4.2. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE PDT1 ......................................................... 39

6. ZAKLJUČAK...................................................................................................................................... 49

LITERATURA ........................................................................................................................................ 50

SAŽETAK ............................................................................................................................................. 51

SUMMARY .......................................................................................................................................... 52

ŽIVOTOPIS .......................................................................................................................................... 53

POPIS OZNAKA

Oznaka Jedinica Opis

Polumjer kugle

Masa kugle

Inercija kugle

Pozicija kugle u odnosu na ishodište

Ubrzanje Zemljine sile teže

Sila trenja kugle

Brzina kugle

Akceleracija kugle

Kutna brzina kugle

Kutno ubrzanje kugle

Komponenta gravitacijske sile u smjeru osi x

Sila inercije kugle

Moment inercije kugle

Moment kugle

Duljina grede

Masa grede

Inercija grede

6 | P a g e

1. UVOD

Ovaj završni rad odabran je zbog zanimljivosti upravljivih i samoupravljivih

strojeva. Jedan od njih je i samobalansirajući robot koji se sam održava samo na dva

kotača. Budući da na Preddiplomskom stručnom studiju mehatronike studenti slušaju

kolegije koji se dotiču samo pojedinih dijelova takvih uređaja, prirodno se nameće

potreba za integracijom tako stečenih znanja u jedan cjeloviti mehatronički sustav. Za

temu završnog rada odabran je sličan uređaj, balansiranje kugle na gredi. Takav

školski primjer mehatroničkog sustava bi svakako bio pogodan da budući studenti

lakše usvajaju temeljna znanja na pojedinačnim predmetima studija mehatronike.

Za razliku od robota koji se balansira oko ravnotežnog položaja, problem koji

se javlja kod kugle na gredi je ako na kuglu u ravnotežnom položaju u nekom trenutku

djeluje neki poremećaj, prstom ju pomaknemo iz ravnotežnog položaja, motor bi

trebao uz pomoć senzora i regulatora kuglu ponovo vratiti u početni položaj. Kako bi

to ostvarili moramo poznavati sve parametre sustava regulacije (motora, kugle i

grede), fizikalne pojave i njihove matematičke jednadžbe kako bi pomoću Matlaba

napravili matematički model cijelog sustava te pomoću Matlaba i stečenog znanja

projektirali regulator pozicije kugle. U ovom radu biti će opisan sustav regulacije ali

samo simulacija (matematički model), koja se kasnije može u nekom drugom radu

realizirati u fizičkom smislu.

U drugom poglavlju opisan je matematički model kugle, u trećem matematički

model grede, a u četvrtom matematički model motora. U petom poglavlju objedinjeni

su matematički modeli kugle, grede i motora te su projektirani regulatori momenta,

brzine vrtnje i pozicije istosmjernog motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom, te

konačno položaja kugle na gredi. Zaključna razmatranja dana su u šestom poglavlju,

a korištena literatura u posljednjem poglavlju ovog rada.

7 | P a g e

2. MATEMATIČKI MODEL KUGLE

Kako bi pomoću Matlaba mogli napraviti matematički model kugle [6] moramo

poznavati sve parametre kugle i kako se kugla ponaša na gredi pod nekim kutom

na udaljenosti od sredine grede.

Sl. 2.1. Sustav stabilizacije kugle na gredi

8 | P a g e

Sl. 2.2. Model kugle i grede

Moment inercije kugle određen je izrazom:

gdje su:

polumjer kugle

masa kugle

Na slici 2.3. vidimo sile koje djeluju na kuglu na gredi pod kutom . U daljnjem tekstu

biti će ispisane sve jednadžbe [2] svih sila i momenata na slici.

9 | P a g e

Sl. 2.3. Sile koje djeluju na kuglicu

Brzina kugle

Sila ubrzanja kugle

Komponenta gravitacijske sile u smjeru osi x

Moment inercije kugle

Sila trenja kugle

10 | P a g e

Suma svih sila u osi x jednaka je:

( ) (

)

(1)

Na slici 2.4. vidimo matematički model u Matlabu opisan jednadžbom (1) i njezin

odziv na jediničnu skokovitu pobudu na slici 2.5.

Simulacija prestaje kad kugla prijeđe polovicu grede, kugla ima fizičko ograničenje od

0.2 m u oba smjera od ishodišta grede.

11 | P a g e

Sl. 2.4. Matematički model kugle u Matlabu

Sl. 2.5. Odziv kugle na jediničnu skokovitu pobudu

12 | P a g e

3. MATEMATIČKI MODEL GREDE

Kako bi pomoću Matlaba mogli napraviti matematički model grede moramo

poznavati sve parametre grede i kako se greda ponaša kada se vrti oko ishodišta

0. Na slici 3.1 vidimo sve momente i sile koje djeluju na gredu.

Sl. 3.1. Sile i momenti koji djeluju na gredu

Moment inercije grede određen je izrazom:

gdje su:

duljina grede

masa grede

13 | P a g e

Matematički model grede dobije se tako da se izjednače svi momenti oko ishodišta 0

sa slike 3.1. Iz toga slijede iduće jednadžbe:

(2)

te se iz jednadžbe (2) napravi model u Matlabu, gdje su:

moment motora

moment tereta

moment sile grede

moment sile motora

komponenta gravitacijske sile u smjeru osi x

14 | P a g e

Sl. 3.2. Matematički model grede u Matlabu

15 | P a g e

4. IZRADA MATEMATIČKOG MODELA ELEKTROMOTORNOG POGONA

Za izradu matematičkog modela elektromotornog pogona [3],[4] odabran je

istosmjerni motor s nezavisnom i konstantnom uzbudom, GR 63x55, 100W.

Parametri motora:

Nazivni napon

Nazivna brzina vrtnje

Nazivni moment

Naziva struja

Struja motora bez opterećenja

Brzina vrtnje praznog hoda

Inercija rotora

Mehaničko ograničenje brzine vrtnje

Induktivitet armature

Konstanta motora

16 | P a g e

Otpor armature

-

Mn K2

Nazivna snaga

Koeficijent viskoznog trenja

Sl. 4.1. Ovisnost struje o moment (crna), ovisnost brzine vrtnje o momentu

(plava),ovisnost korisnosti motora o momentu (zelena) [9]

U ovom potpoglavlju izradit će se simulacijski model nereguliranog

istosmjernog elektromotornog pogona s nezavisnom i konstantnom uzbudom

napajanog iz tranzistorskog pojačala snage koji će se kasnije koristiti za projektiranje

regulatora momenta, brzine vrtnje i pozicije motora.

17 | P a g e

Sl. 4.2. Model nereguliranog istosmjernog

elektromotornog pogona s nezavisnom i konstantnom uzbudom

gdje su:

– pojačanje choppera

– vremenska konstanta choppera

Na slici 4.3. vidi se odaziv sustava modela sa slike 4.2. na jediničnu skokovitu

pobudu na ulazu s jediničnim skokovitim momentom tereta koji počinje djelovati u

petoj sekundi. Sa te slike može se zaključiti da se do pete sekunde motor vrtio u

18 | P a g e

jednu stranu te kad je u petoj sekundi počeo djelovati moment tereta motor se

počeo okretati u suprotnom smjeru. Kako bi zadržali isti smjer vrtnje te isti broj

okretaja trebamo imati regulatore momenta i brzine vrtnje, koji će biti opisani u

idućem poglavlju.

Sl. 4.3. Odziv brzine vrtnje na jediničnu skokovitu promjenu referentne veličine i

jediničnu promjenu momenta tereta u petoj sekundi

19 | P a g e

5. PROJEKTIRANJE REGULATORA

U 5. poglavlju obradit će se projektiranje regulatora momenta, brzine vrtnje i

pozicije elektromotornog pogona s konstantnom i nezavisnom uzbudom te regulator

pozicije kugle. Svaki regulator biti će opisan u posebnom potpoglavlju.

5.1. PROJEKTIRANJE REGULATORA MOMENTA ISTOSMJERNOG MOTORA S

NEZAVISNOM I KONSTANTNOM UZBUDOM

Za projektiranje regulatora momenta potreban je matematički model motora

(slika 4.2), povratna veza (senzor) opisana PT1 članom i PI regulator, slika 5.1.

Parametri strujnog senzora određeni su izrazima:

Sl. 5.1. Matematički model regulacije momenta istosmjernog elektromotornog pogona

s nezavisnom i konstantnom uzbudom

20 | P a g e

Za analitičko određivanje PI regulatora potrebno je regulacijski krug, koji je

četvrtog reda, a to vidimo po broju vremenskih konstanti u nazivniku, aproksimirati

sustavom drugog reda. To se postiže zanemarivanjem mehaničkih veličina, koje se

mijenjaju puno sporije od električnih veličina (struja armature) i zanemaruje se utjecaj

protuelektromotorne sile E koja se linearno mijenja s brzinom vrtnje. Dodatno

sniženje postiže se odabirom integralne vremenske konstante regulatora tako da

bude jednaka najvećoj vremenskoj konstanti sustava, a to je (to se zove

projektiranje regulatora po tehničkom optimumu) i pribrojavanju vremenske konstante

choppera vremenskoj konstanti strujnog senzora jer je puno manja od .

Tako se dobiva pojednostavljena blokovska shema koja je drugog reda, slika

5.2.

Sl. 5.2. Pojednostavljena blokovska shema sustava regulacije momenta istosmjernog

motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom

21 | P a g e

Prema slici 5.2 lako se izračuna prijenosna funkcija ( )

( ), a to se radi pomoću

algebre blokova [7].

( )

( )

Koeficijent pojačanja otvorenog kruga s regulatorom struje

.

Usporedbom parametara nazivnika s parametrima nazivnika opće prijenosne funkcije

PT2 elementa dobiju se relacije:

Sređivanjem te dvije formule dobije se formulu za :

gdje je ζ – relativni koeficijent prigušenja. Ovisno o tome kakav odziv se želi postići,

aperiodski ili s prigušenim oscilacijama, takav ζ odabiremo. Za strujni regulator nastoji

se postići tzv. kvaziaperiodski odziv s nadvišenjem od 4.3 %, a za to je ζ = √

. Time

22 | P a g e

se dobiva

te se konačno dobiva izraz za koeficijent pojačanja PI

regulatora:

Prijenosnu funkciju zatvorene strujne petlje može se aproksimirati PT1 elementom

( )

( )

gdje su:

Koeficijent pojačanja zatvorene strujne petlje

Vremenska konstanta zatvorene strujne petlje

Na slici 5.3 vidi se odziv struje armature sa slike 5.2 na jediničnu skokovitu pobudu.

Sl. 5.3. Odziv struje armature na zadanu vrijednost

23 | P a g e

5.2. PROJEKTIRANJE REGULATORA BRZINE VRTNJE ISTOSMJERNOG

MOTORA S NEZAVISNOM I KONSTANTNOM UZBUDOM

Za određivanje parametara PI regulatora brzine vrtnje istosmjernog motora s

nezavisnom i konstantnom uzbudom potrebni su: PI regulator, povratna veza (senzor)

te aproksimirana prijenosna funkcija strujne petlje, vidljivo na slici 5.4.

Parametri senzora brzine su:

( )

Sl. 5.4 .Pojednostavljena blokovska shema sustava regulacije brzine vrtnje

istosmjernog motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom

Parametri PI regulatora dobivaju se pomoću simetričnog optimuma [1], na

sljedeći način: integralna vremenska konstanta regulatora dobiva se pomoću

sljedećih formula:

, je zadano nadvišenje odziva u postocima

24 | P a g e

a pojačanje regulatora dobiva se pomoću formula:

(

)

(

)

(

)

Sl. 5.5. Odziv brzine vrtnje na jediničnu skokovitu pobudu

25 | P a g e

Sl. 5.6. Bodeov prikaz frekvencijskih karakteristika otvorenog kruga s regulatorom

Prijenosna funkcija zatvorene petlje regulacije brzine vrtnje može se

aproksimirati PT1 elementom:

( )

( )

Koeficijent pojačanja zatvorene petlje regulacije brzine vrtnje

Vremenska konstanta zatvorene petlje regulacije brzine vrtnje

26 | P a g e

Iz slike 5.5 vidi se da je odziv sustava dobar za male promjene brzine vrtnje, no

sada će se isprobati kako se sustav ponaša kada se podigne brzina vrtnje na 3000

o/min, te se u nekom trenutku spusti na 100 o/min. Prvo će biti prikazan odziv

sustava te potom kavi su izlazi iz regulatora struje i brzine vrtnje. Iz slike 5.7 sve se

čini u redu jer se izlaz sustava ponaša prihvatljivo, no izlazi iz regulatora struje i

regulatora brzine vrtnje nisu u redu jer izlaz iz regulatora ima napon u rasponu od [-

10V, 10V], a iz slike 5.8 vidi se da su ti iznosi i do 100 puta veći. Moguće rješenje za

taj slučaj je korištenje anti wind-up regulatora s ograničenjem napona tako da ne

prelazi granicu od [-10V, 10V]. Sa slike 5.11 vidi se da je izlaz brzine vrtnje kakav se

želi postići samo što ubrzanje na 3000 okretaja nije tako brzo kao bez ograničenja

napona na izlazu iz regulatora, a sa slika 5.12 i 5.13 vidi se da izlazi iz regulatora

struje i brzine vrtnje više ne prelaze granicu od [-10V, 10V].

Sl. 5.7. Odziv sustava regulacije brzine vrtnje

27 | P a g e

Sl. 5.8. Odziv na izlazu iz regulatora struje

Sl. 5.9. Odziv na izlazu iz regulatora brzine vrtnje

28 | P a g e

Sl. 5.10. Slika sustava regulacije brzine vrtnje i struje pomoću anti wind-up regulatora

Sl. 5.11. Odziv izlaza anti wind-up regulatora brzine vrtnje

29 | P a g e

Sl. 5.12. Odziv na izlazu anti wind-up regulatora struje

Sl. 5.13. Odziv na izlazu anti wind-up regulatora brzine vrtnje

30 | P a g e

5.3. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE ISTOSMJERNOG MOTORA S

NEZAVISNOM I KONSTANTNOM UZBUDOM

Za određivanje parametara regulatora pozicije istosmjernog motora s

nezavisnom i konstantnom uzbudom potrebni su: P regulator, povratna veza (senzor)

te aproksimirana prijenosna funkcija zatvorene petlje regulacije brzine vrtnje, vidljivo

na slici 5.14.

Parametri senzora pozicije:

Sl. 5.14. Pojednostavljena blokovska shema sustava regulacije pozicije istosmjernog

motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom

Za regulaciju pozicije istosmjernog motora s nezavisnom i konstantnom

uzbudom potreban je P regulator, zbog toga što je u otvorenom regulacijskom krugu

pozicije integralno djelovanje prisutno kao dio procesa, a moment tereta se

kompenzira u regulacijskom krugu brzine vrtnje. Koeficijent pojačanja P regulatora

dobiva se prema formuli iz poglavlja 5.1,

31 | P a g e

gdje je :

Sl. 5.15. Odziv sustava regulacije pozicije na jediničnu skokovitu pobudu

Iz slike 5.15 može se vidjeti odziv sustava regulacije pozicije na jediničnu

skokovitu pobudu te se taj odziv aproksimira PT1 elementom, kako bi se dobila

prijenosnu funkcija cijelog motora.

( )

( )

gdje su i , očitani iz slike 5.14.

32 | P a g e

5.4. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE

Za određivanje parametara regulatora pozicije kugle potrebna je prijenosna

funkcija cijelog sustava, koji je opisan matematičkim modelom kugle, grede i motora,

koji je aproksimiran PT1 elementom. Na temelju Bodeovog dijagrama ove funkcije

odabire se potreban regulator za regulaciju pozicije kugle na gredi. Prijenosna

funkcija i Bodeovi dijagrami rade se pomoću Matlaba.

Sl. 5.16. Pojednostavljeni model cijelog sustava

Prijenosna funkcija pojednostavljenog modela sustava:

( )

( )

33 | P a g e

Sl. 5.17. Bodeov dijagram prijenosne funkcije

Iz Bodeovog dijagrama vidi se da je sustav nestabilan jer je krivulja faznog

djela karakteristike na presječnoj frekvenciji ispod -180°, a za taj sustav treba izabrati

PDT1 regulator s derivacijskom vremenskom konstantom većom od vremenske

konstante ili DT1 regulator [5],[8] kako bi se podigla fazna krivulja na presječnoj

frekvenciji iznad -180°.

34 | P a g e

5.4.1. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE DT1

Za odabir DT1 regulatora treba odrediti derivacijsku vremensku konstantu i

vremensku konstantu na osnovu Bodeovog dijagrama prijenosne funkcije

otvorenog kruga regulacije pozicije kugle:

( )

( ) ( ) ( )

U prijenosnoj funkciji otvorenog kruga regulacije pozicije kugle dvije su

nepoznanice i , a da bi se upotrijebio jedan od dva načina odabira parametara

regulatora, simetrični ili tehnički optimum, treba biti poznata jedna od te dvije

vremenske konstante pa se odabire da je vremenska konstanta

.

Vremenska konstanta dobije se iz sljedećih formula:

, je zadano nadvišenje odziva u postocima

( )

( )

35 | P a g e

Sl. 5.18. Model sustava s DT1 regulatorom

Sl. 5.19. Bodeov prikaz frekvencijskih karakteristika otvorenog kruga s regulatorom

36 | P a g e

Sl. 5.20. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu za veći pomak, x=16 cm

Sl. 5.21. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle za veći pomak, x=16 cm

37 | P a g e

Iz slike 5.21 vidi se da izlaz iz regulatora pozicije kugle prelazi 10 V. Kako bi se

smanjila maksimalna vrijednost izlaza iz regulatora pozicije kugle mora se povećati

vremenska konstanta ili na ulazu dodati limiter ulaza (rampa). Time se postiže

sporiji odziv, ali zato vrijednost izlaza iz regulatora ne prelazi vrijednost od 10 V.

Sl. 5.23. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu za manji pomak, x=3 cm

38 | P a g e

Sl. 5.24. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle za manji pomak, x=3 cm

39 | P a g e

5.4.2. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE PDT1

Za odabir PDT1 regulatora, osim derivacijske vremenske konstante i

vremenske konstante , treba još odrediti pojačanje regulatora na osnovu

Bodeovog dijagrama prijenosne funkcije otvorenog kruga regulacije pozicije kugle:

( )

( )

( ) ( ) ( )

U prijenosnoj funkciji otvorenog kruga regulacije pozicije kugle tri su

nepoznanice , i , a da bi se upotrijebio odabir parametara regulatora prema

simetričnom optimumu, treba biti poznata jedna od dvije vremenske konstante pa se

odabire da je vremenska konstanta

. Vremenska konstanta mora biti

najveća vremenska konstanta u prijenosnoj funkciji otvorenog kruga, zbog toga jer se

nalazi u brojniku i prva mora dizati faznu krivulju da bi na presječnoj frekvenciji prošla

iznad –180°.

Vremenska konstanta i pojačanje regulatora izračunaju se iz sljedećih

formula:

, je zadano nadvišenje odziva u postocima

( )

(

)

40 | P a g e

Sl. 5.25. Model sustava s PDT1 regulatorom

Sl. 5.26. Bodeov dijagram otvorenog regulacijskog kruga pozicije kugle

41 | P a g e

Sl. 5.27. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle za veći pomak, x=15 cm

Sl. 5.28. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu za veći pomak, x=15 cm

42 | P a g e

Sl. 5.29. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle za manji pomak, x=3 cm

Sl. 5.30. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu za manji pomak, x=3 cm

43 | P a g e

Sa slika 5.20, 5.21, 5.27, 5.28 vidi se razlika između DT1 i PDT1 regulatora.

DT1 regulator ima brži odziv, a PDT1 ima povoljnije ponašanje izlaza iz regulatora te

se uzima PDT1 regulator za stabilizaciju kugle na gredi.

Na slici 5.27 vidi se da izlaz iz regulatora pozicije kugle prelazi 10 V, kako bi se

smanjila maksimalna vrijednost izlaza iz regulatora pozicije kugle mora se na ulazu

dodati limiter nagiba referentne veličine (rampa). Time se postiže sporiji odziv, ali zato

vrijednost izlaza iz regulatora ne prelazi 10 V.

Ako se želi provjeriti do koje bi maksimalne udaljenosti PDT1 regulator mogao

bez problema regulirati poziciju kugle, vidi se da je to 19 cm (slika 5.31) s tim da bi

bez limitera ulaza kugla prošla granicu od 20 cm, koliko iznosi jedna polovica grede, i

regulator bi otišao u zasićenje. Regulator s limiterom na ulazu možda je dva do tri

puta sporiji, ali zato može regulirati kuglu skoro pa na kraju grede i regulator ne odlazi

u zasićenje.

Sl. 5.31. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu s limiterom ulaza

44 | P a g e

Sl. 5.32. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle s limiterom ulaza

Sl. 5.33. Model sustava s PDT1 regulatorom i limiterom ulaza

45 | P a g e

Na slikama 5.38 i 5.39 vidi se kakav je odziv pomaka na zadanu veličinu x uz

prisutnost Coulombovog trenja. Sustav se stabilizira, ali se vide male oscilacije oko

zadane pozicije. Ove oscilacije se ne mogu ukloniti uz prisustvo Coulombovog trenja,

ali se mogu smanjiti s odabirom motora koji ima slabije izraženo Coulombovo trenje.

Simulacija sa slike 5.38 je uz 80% Coulombovog trenja i 20% viskoznog trenja u

odnosu na iznos momenta trenja za nazivne uvjete.

Sl. 5.34. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu (motor s viskoznim i Coulombovim

trenjem)

46 | P a g e

Sl. 5.35. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu (povećana slika 5.38)

Matematički model sustav stabilizacije kugle na gredi prikazan je na slikama

5.36, 5.37, 5.38, a sa slika 5.37 i 5.34 vide se razlike modela sa i bez Coulombovog

trenja.

Sl. 5.36. Model cijelog sustava (kugla i greda)

47 | P a g e

Sl. 5.37. Model cijelog sustava (motor s viskoznim i Coulombovim trenjem)

Sl.5.38. Model cijelog sustava (regulatori)

48 | P a g e

Sl. 5.39. Model cijelog sustava (motor s viskoznim trenjem)

49 | P a g e

6. ZAKLJUČAK

Problem koji se javlja kod kugle na gredi je ako se kugla pomakne iz

ravnotežnog položaja u nekom trenutku, npr. prstom ju pomaknemo iz ravnotežnog

položaja, motor bi trebao uz pomoć senzora i regulatora kuglu ponovo vratiti u početni

položaj.

Ovaj rad opisuje potrebne matematičke modele i postupke projektiranja

regulatora, kojima se postiže stabilizacija kugle na gredi. Stabilizacija je ostvarena

pomoću regulatora momenta, brzine vrtnje i pozicije istosmjernog motora s

nezavisnom i konstantnom uzbudom, te regulatora pozicije kugle.

Sami regulatori projektirani su bilo analitičkim putem bilo korištenjem

Bodeovog prikaza frekvencijskih karakteristika, uz prijenosne funkcije otvorenog

kruga s regulatorom koje su ekvivalentne istovjetnim prijenosnim funkcijama u slučaju

korištenja tehničkog i simetričnog optimuma.

Ovisno kako brzi odziv želimo i na kojoj poziciji regulirati kuglu možemo

pomoću matematičkog modela u Matlabu odabrati potreban regulator pozicije kugle,

DT1 ili PDT1, sa ili bez limitera na ulazu i vidjeti kako će se sustav ponašati. Za

konačnu realizaciju sustava odabran je PDT1 regulator s limiterom nagiba referentne

veličine.

Na temelju ovog rada u budućnosti se može izraditi maketa za pokazivanje

studentima kako bi vidjeli ima li razlike između odziva matematičkog modela i fizičkog

modela (makete), te kako bi lakše vizualizirali inače relativno teško gradivo koje se

krije iza ovog rada. Isto tako, maketa bi mogla poslužiti za demonstraciju naprednijih

algoritama upravljanja na specijalističkim studijama, zasnovanih na opisu sustava u

prostoru stanja.

50 | P a g e

LITERATURA

[1] P. Crnošija i T. Bjažić, Osnove automatike I. dio: Analiza i sinteza kontinuiranih

sustava – teorija i primjena. Zagreb: Element, 2011.

[2] A. Kirarslan, A. Mathew i J. Jose, Mini Project: Ball Beam. 2012.

[3] B. Skalicki i J. Grilec, Električni strojevi i pogoni. Zagreb 2005.

[4] T. Bjažić, Laboratorijske vježbe iz predmeta: Elektromotorni pogoni u mehatronici.

Zagreb, 2013.

[5] T. Bjažić, Laboratorijske vježbe iz predmeta: Sinteza sustava upravljanja. Zagreb,

2014.

[6] T. Bjažić, Laboratorijske vježbe iz predmeta: Modeliranje i simuliranje procesa.

Zagreb, 2014.

[7] T. Bjažić, Laboratorijske vježbe iz predmeta: Upravljanje i regulacija. Zagreb,

2013.

[8] T. Bjažić Laboratorijske vježbe iz predmeta: Elementi automatizacije. Zagreb,

2013.

[9] GR63x55 manual

51 | P a g e

SAŽETAK

Ovaj rad opisuje proces projektiranja regulatora za mehatronički sustav kugle

na gredi. Napravljeni su matematički modeli kugle, grede i istosmjernog motora s

nezavisnom i konstantnom uzbudom, pomoću jednadžbi koje ih opisuju, te su

prikazani u Matlabu. Pomoću tih modela projektirani su regulatori momenta, brzine

vrtnje i pozicije istosmjernog motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom i

regulatori pozicije kugle, PDT1 i DT1 tipa. Sami regulatori projektirani su analitičkim

putem i korištenjem Bodeovog prikaza frekvencijskih karakteristika, uz prijenosne

funkcije otvorenog kruga s regulatorom koje su ekvivalentne istovjetnim prijenosnim

funkcijama u slučaju korištenja tehničkog i simetričnog optimuma. Na temelju odziva

kugle na zadanu veličinu, između regulatora DT1 i PDT1, odabran je PDT1 regulator

koji ima malo sporije odzive na zadanu veličinu, ali ima prihvatljivije odzive izlaza iz

regulatora pozicije.

52 | P a g e

SUMMARY

This paper describes the process of designing the controller for the ball and

beam mechatronic system. Mathematical models of ball, beam and separately excited

DC motor were modeled and presented in Matlab by using equations that describe

them. With help of these models, controllers for torque, speed and position of a DC

motor were designed, as well as the ball position controllers (PDT1 and DT1). The

controllers are designed by analytical procedures and by using Bode plots of open

loop frequency characteristics equivalent to the cases of technical and symmetric

optimum design procedures. Based on the ball position response to the input value,

PDT1 controller was selected over DT1 controller. More acceptable responses from

the position controller gave advantage to PDT1 controller, in spite of a slightly slower

response time.

53 | P a g e

ŽIVOTOPIS

Ivan Herceg rođen je 25. travnja 1988. godine u Zagrebu. Osnovnu školu

pohađao je u O.Š. Gornje Jesenje. Poslije osnovne škole upisao se u S.Š. Krapina

smjer: Računalni tehničar za strojarstvo. U četvrtom razredu srednje škole išao je na

županijsko natjecanje iz crtanja u računalnom programu Catia te ostvario 6. mjesto i

odlazak na državno natjecanje u kojemu je ostvario 7. mjesto. Nakon srednje škole

2007. godine upisuje Fakultet strojarstva i brodogradnje u Zagrebu. 2012. Godine

upisuje se na Preddiplomski stručni studij mehatronike, Tehničkog veleučilišta u

Zagrebu.