TD hydraulique générale MEPA - engees.unistra.frengees.unistra.fr/fileadmin/user_upload/pdf/shu/TD_hydraulique... · TRAVAUX DIRIGES FORMATION ... FORCE HYDROSTATIQUE SUR DES PAROIS:

José VAZQUEZ

ECOLE NATIONALE DU GENIE DE L’EAU ET DE L’ENVIRONNEMENT DE STRASBOURG

HYDRAULIQUE

GENERALE

TRAVAUX DIRIGES

FORMATION Mastère Eau Potable et Assainissement

José VAZQUEZ

Sommaire

1. HYDROSTATIQUE ....................................................................................................................................1 1.1. VARIATION VERTICALE DE PRESSION : EXERCICES BASIQUES .....................................................................1 1.2. VARIATION VERTICALE DE PRESSION : EXERCICES DE SYNTHESE ...............................................................6 1.3. FORCE HYDROSTATIQUE SUR DES PAROIS : EXERCICES BASIQUES ............................................................11 1.4. FORCE HYDROSTATIQUE SUR DES PAROIS : EXERCICES DE SYNTHESE.......................................................15 1.5. FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES : EXERCICES BASIQUES .........................................31 1.6. FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES : EXERCICES DE SYNTHESE ...................................32 2. HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS ...........................................................................38 2.1. EQUATION DE BERNOULLI ........................................................................................................................38 2.2. THEOREME D’EULER ................................................................................................................................41 3. HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES REELS : ................................................................................43 3.1. APPLICATIONS AUX CONDUITES EN CHARGES: EXERCICES BASIQUES........................................................43 3.2. APPLICATIONS AUX CONDUITES EN CHARGES: EXERCICES DE SYNTHESE ..................................................57

Hydrostatique

José VAZQUEZ 1

1. Hydrostatique

1.1. Variation verticale de pression : Exercices basiques

1.1.1. Calculer la pression absolue et relative en Pa et en bars d’un point à une profondeur de 6m dans un réservoir à surface libre rempli d’eau.

(1.589 bar, 0.589 bar)

1.1.2. Même question pour un point à une profondeur de 9m dans une huile de pétrole de densité 0,75.

(1.66 bar, 66217 Pa)

1.1.3. Quelle profondeur d’huile de pétrole de densité 0,75 produit une pression relative de 2,75 bars? Quelle profondeur d’eau produit la même pression ?

(Hhuile=37.4 m, Heau= 28m)

1.1.4. Trouver la pression relative au fond du réservoir contenant de l’eau sous pression.

Pression manométrique 500KPa

(519,6.103 Pa)

Hydrostatique

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1.1.5. Calculer la pression manométrique en bars en A due à la dénivellation du mercure, de densité 13,57 dans le manomètre en U.

(Pa=1.01 bar)

1.1.6. Les récipients A et B contiennent de l’eau aux pressions respectives 2,80 et 1,40 bar. Déterminer la dénivellation h du mercure du manomètre différentiel.

(h=1.3 m)

Hydrostatique

José VAZQUEZ 3

1.1.7. Trouver la différence de pression entre A et B.

(13.3 kPa)

1.1.8. Pour une pression manométrique en A de -0.110 bar, trouver la densité du liquide B contenu dans le manomètre de la figure suivante.

(d=0.8)

Hydrostatique

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1.1.9. Le réservoir à surface libre de la figure ci-dessous possède deux piézomètres A et B et contient deux liquides non miscibles. Trouver la hauteur de la surface liquide dans le piézomètre A et B ainsi que la pression au fond du réservoir. (Densité A : 0.72, densité B : 2.36)

(ha=2 m, hb=0.82 m, 18,98.103 Pa)

1.1.10. Pour un manomètre affichant en A -17650 Pa, déterminer la hauteur des liquides dans les colonnes ouvertes du piézomètre E, F et G ainsi que la hauteur de mercure dans le manomètre en U.

Mercure

(HLH=-2.57 m, HNM=0.3 m, HQR=2.69 m, h1=0.61 m)

Hydrostatique

José VAZQUEZ 5

1.1.11. Un manomètre différentiel est fixé entre deux sections A et B d’un tuyau horizontal où s’écoule de l’eau. La dénivellation du mercure dans le manomètre est de 0,60m. Quelle condition faut-il respecter pour appliquer l’équation de l’hydrostatique ? Calculer la différence de pression en Pa entre les sections A et B.

(7.56 mCE)

1.1.12. La chute de pression à travers le dispositif X où s’écoule de l’eau, doit être mesurée à l’aide d’un manomètre différentiel utilisant de l’huile de densité 0.75 comme fluide manométrique. Trouver la différence de hauteur de pression entre A et B.

(2.02 mCE)

Hydrostatique

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1.2. Variation verticale de pression : Exercices de synthèse

1.2.1. La hauteur de pression au niveau A-A est de 0.09m d’eau. Les poids spécifiques du gaz et de l’air sont respectivement de 5,5 et de 12,4N/m3. Calculer la hauteur h du manomètre à eau mesurant la pression du gaz au point B.

Poulie

Masse Masse

AIR

(0.153 mCE)

Hydrostatique

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1.2.2. Mesure de la hauteur d’eau dans un réservoir

d

Eau

Mercure

Manomètreh

x

B

C

A

D

• Déterminer la valeur de x (position du point C) sachant que h=20m, d=0.5m et que la

pression relative au point D vaut 9.104 Pa. ρmercure =13,6.103 Kg/m3. ρeau =103 Kg/m3.

• Le manomètre en D indique maintenant la pression 5.104 Pa. Déterminer la hauteur h dans le réservoir.

(x=32cm ; 15,9m)

Hydrostatique

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1.2.3. Calculs de hauteurs dans deux réservoirs

Liquide 3ρ3

Manomètre

hPression atmosphérique

Liquide 2ρ2

Z3Z1

Liquide 2ρ2

Liquide 2

Liquide 1ρ1

Z2

Bien que les deux réservoirs soient en communication, il ne se produit aucun écoulement. La pression hydrostatique est vérifiée dans tout le circuit. Les altitudes Z1, Z2,… sont toutes données en fonction de la même référence. Toutes les pressions sont relatives. Les liquides 1, 2 et 3 sont incompressibles. On appelle P32 la pression relative entre les liquides 3 et 2. De même, on appelle P12 la pression relative entre les liquides 1 et 2. La pression mesurée par le manomètre est notée PM. Relation d’équilibre statique

• Déterminer une relation entre Z1, Z2, Z3, ρ1, ρ2, ρ3, h et PM.

Détermination des altitudes Une mesure de la différence d’altitude entre Z3 et Z2 donne : Z3 – Z2=5m. ρ1=1,4.103 Kg/m3 ; ρ2=2,1.103 Kg/m3 ; ρ3=0,9.103 Kg/m3

h=15m ; Z1=10,3m ; PM=6,95.104 Pa. • Déterminer les valeurs de Z2 et Z3. • Les altitudes Z2 et Z3 varient-elles en fonction de h ?

Z2=4m ; Z3=9m)

Hydrostatique

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1.2.4. Calculs de hauteurs dans deux réservoirs

Liquide 1 ρ1= 0,75.103 kg/m3

Z1A

Liquide 2 ρ2= 103 kg/m3

Manomètre 1

Z12

Z3A

Z23

Liquide 2 ρ2= 103 kg/m3

Liquide 3 ρ3= 1,3.103 kg/m3

Liquide 2

AIR Sous Pression AIR

Sous Pression

Manomètre 2

AIR

PdR

Bien que les deux réservoirs soient en communication en partie supérieure par l’intermédiaire d’une conduite d’air sous pression et en partie inférieure grâce à une conduite pleine du liquide 2, il ne se produit aucun écoulement. La pression hydrostatique est vérifiée dans tout le circuit. Les altitudes Z1A, Z12,… sont toutes données en fonction du plan de référence (PdR). Toutes les pressions sont relatives par rapport à la pression atmosphérique. Chaque cuve est cylindrique et indéformable. On supposera que les liquides 1 et 3 restent dans leurs cuves respectives. Les liquides 1, 2 et 3 sont incompressibles. Première expérience : On mesure les valeurs suivantes : Z12=12m ; Z3A- Z23=4m ; Pmano 1=1.2bar ; Pmano 2=3bar.

• Déterminer les altitudes Z3A, Z23, Z1A. Deuxième expérience : On mesure les valeurs suivantes : Pmano 1=2.7bar ; Pmano 2=4.1bar.

• Déterminer les altitudes Z1A, Z12, Z3A, Z23.

Comparaison Comparer les valeurs de Z des deux expériences. Qu’en déduisez-vous ? (Z3A=17.15m, Z23=13.15m, Z1A=20.46m ; Z1A=16.39m, Z12=7.93m, Z3A=13.07m, Z23=9.07m)

Hydrostatique

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1.2.5. Calcul des pressions et hauteurs dans trois réservoirs

Liquide 1ρ1= 0,75.103 kg/m3

ManomètreZ1=22m

Pression atmosphérique


Manomètre

AIRPression : 1bar

AIRPression : 0.8bar

Z2

Z3=12m

Z4=15m

Z5




Liquide 2 Liquide 2

Bien que les trois réservoirs soient en communication, il ne se produit aucun écoulement. La pression hydrostatique est vérifiée dans tout le circuit. Les altitudes Z1, Z2,… sont toutes données en fonction de la même référence. Toutes les pressions sont relatives. • Déterminer les altitudes Z2, Z5 ainsi que la pression entre les liquides 1 et 2 et la pression

entre les liquides 3 et 2.

Hydrostatique

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1.3. Force hydrostatique sur des parois : Exercices basiques

1.3.1. Un barrage en ciment de 10 m de large contient de l’eau sur une hauteur de 6m. Déterminer l’action de l’eau sur le barrage. Calculer la stabilité du barrage.

(F=1.76 MN, y=4 m)

1.3.2. Un barrage en ciment de 20m de large contient de l’eau sur une hauteur de 14m. Déterminer la pression de l’eau sur le barrage. Calculer la stabilité du barrage.

(Fh=19.2MN, y=9.33m ; Fv=6.47MN, x=1.5m)

Hydrostatique

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1.3.3. Calculer la force résultante P due à l’action de l’eau sur la surface rectangulaire de 3m × 6m en AB et CD.

25° 4m

Rectangle 3×6m

Rectangle 3×6m

(AB : 1.235 MN, y=7.43 m ;CD : 930 kN ,y=12.7m ; hauteur=5.37 m)

1.3.4. Calculer la force résultante P due à l’action de l’eau sur la surface triangulaire de 3m × 6m dont le sommet est en C avec un angle de 45°.

3m 6m

(514.7 kN, ;Y=8.67m ; h=6.06 m)

1.3.5. Le réservoir de la figure suivante contient de l’eau et de l’huile. Trouver la force résultante agissant sur le côté ABC qui a 1,20m de large.

(F=112.3 kN, y=3.23 m)

Hydrostatique

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1.3.6. Dans la figure ci-dessous, les surfaces des cylindres A et B sont respectivement de 40 et 4000cm2. La masse en A est de 10 kg et la masse en B de 4000kg. Les récipients et les conduits sont remplis d’eau. Quelle force F assurera l’équilibre ?

(F=98 N)

1.3.7. L’eau monte jusqu’au niveau E dans le conduit fixé au réservoir ABCD. On néglige le poids du réservoir et du conduit. Déterminer et positionner la force résultante agissant par la surface AB qui a 2,50m de large, déterminer la force totale s’exerçant sur le fond du réservoir et comparer le poids total de l’eau avec la force totale s’exerçant sur le fond du réservoir. Expliquer la différence.

FAB=0.23MN, y=4.77m ; Ffond=839kN , Poids=298kN; PAD=541kN)

Hydrostatique

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1.3.8. La porte AB de la figure ci-dessous à 1,20m de large et peut pivoter autour de A. Le manomètre G affiche -0,147 bar et le réservoir de droite est rempli d’huile de densité 0,75. Quelle force horizontale doit être appliquée en B pour assurer l’équilibre de la porte AB ?

(F=26.7 kN)

1.3.9. Forces sur un auget On fait l’étude de l’auget qui est constitué par la partie circulaire. Cet auget fait 10m de long. Déterminer l’intensité, la position et la direction de la force de l’eau sur l’auget. Nota : la position du centre de gravité de ¼ de disque par rapport à un de ses axes de symétrie est :

π.3R.4

4m 5m

B

A

(F=5.03MN ; distance / A = 3.867m ; distance / B = 3.17m)

Hydrostatique

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1.4. Force hydrostatique sur des parois : Exercices de synthèse

1.4.1. Action de l’eau sur une vanne secteur

45°

45°

A

B

C

D

Surface libre

1m

1m

1m

Point derotation dela vanne

Vanne fermée Vanne ouverte

La vanne est constituée des parois AB, BC et CD. Les surfaces AB, BC et CD sont rectangulaires et ont une largeur de 2m.

1.4.1.1. La vanne est fermée et la surface libre est au point B • Déterminer l’action de l’eau sur la vanne secteur (intensité, direction et position). Tracer la

position et la direction sur le graphique de la page suivante. • Sur quel axe faut-il placer le point de rotation de la vanne secteur pour que cette vanne n’ait pas

tendance à tourner ? Tracer l’axe sur le graphique de la page suivante. (F=6.94KN ; y=0.67m)

1.4.1.2. La vanne est fermée et la surface libre est au point C • Déterminer l’action de l’eau sur la surface AB (intensité, direction et position). Tracer la

position et la direction sur le graphique de la page suivante. • Déterminer l’action de l’eau sur la surface BC (intensité, direction et position). Tracer la

position et la direction sur le graphique de la page suivante. • Déterminer l’action de l’eau sur la vanne secteur (intensité, direction). On ne demande pas la

position. • Où faut-il placer le point de rotation de la vanne secteur pour que cette vanne n’ait pas tendance

à tourner ? Placer le point sur le graphique de la page suivante. (F=34.15KN ; angle = 33.3°)

Hydrostatique

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La surface libre est au point B

A

B

C

D

Surface libre


La surface libre est au point C

A

B

C

D

Surface libre


Hydrostatique

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1.4.2. Action de l’eau sur une vanne de régulation

b

hα

β

Surface libre

Masse M

Masse volumique : ρ

A Barre delongueur L

b

α

h

Surface libre

Paroi de la vanne

h

Surface libre

Face 1

Face 2

Position fermée Position ouverte

La paroi de la vanne est rectangulaire de hauteur b et de largeur c. On suppose que quelque soit la position de la vanne, l’eau n’agit que sur la face 1. Sur la face 2, on a la pression atmosphérique. La pression sur la face 1 est supposée hydrostatique et est créée par la hauteur d’eau h.

Hydrostatique

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1.4.2.1.Courbe de fonctionnement de la vanne • Déterminer l’action de l’eau sur la vanne en intensité, direction et position en fonction de ρ, g,

b, c et α. • En faisant l’équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre h et les

variables ρ, g, b, c, α, β, L et M. En prenant pour valeur numérique : ρ=103 kg/m3, g=9.81 m/s2, b=0.4 m, c=0.2 m, β=30°, L=1 m et M=80 kg, • Compléter le tableau et le graphique suivant : α (°) 90° 75° 60° 45° 30° 15° 0° h (m) (4.5 ; 5.0 ; 5.2 ; 5 ; 4.6 ; 3.9 ; 2.9)

Evolution de la hauteur en fonction de l'angle

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0102030405060708090

Angle (°)

Haut

eur (

m)

1.4.2.2.Exploitation de la courbe de fonctionnement • A partir de quelle hauteur d’eau dans le bassin la vanne commence à s’ouvrir ? • Une butée permet une ouverture maximale de la vanne à α=20°, que ce passe t’il si la hauteur

d’eau dans le bassin dépasse 5.2m ? • Dans le bassin on atteint 6m. L’eau commence à diminuer, à partir de quelle hauteur d’eau la

vanne commence à se refermer ? (h=4.5m ; angle = 20° ; h=4.2m)

Hydrostatique

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1.4.3. Equilibre de trois pistons

M1

M2

M3 D D

D

Z1

Z2

Z3

D12

D23

P1

P2

P3

α



EAU

Barre d’équilibre

Piston

D2 D3 D1


La chambre au-dessus du piston est à la pression atmosphérique. Au-dessous de chaque piston on a les pressions respectives P1, P2 et P3. Chaque piston a une masse de M1, M2 et M3. La hauteur D de chaque piston est identique. Le diamètre de chaque piston est respectivement D1, D2 et D3. L’ensemble du dispositif est à l’équilibre. L’eau est stagnante. L’objectif de cette étude est de déterminer les altitudes Z1, Z2 et Z3, les pressions P1, P2 et P3 ainsi que l’angle α. Equilibre des forces de pressions

Déterminer une relation entre ρ, g, P1, P2, Z1 et Z2.

Déterminer une relation entre ρ, g, P2, P3, Z2 et Z3.

Relation géométrique Déterminer une relation géométrique entre Z1, Z2, D12 et α.

Déterminer une relation géométrique entre Z2, Z3, D23 et α.

Equilibre des pistons

Hydrostatique

José VAZQUEZ 20

M1

M2

M3

Z1

Z2

Z3



EAU

F1

F2

F3

Piston 2

Piston 1

Piston 3

P1

P2

P3

D2 D1


D3

On appelle Fi les forces résultantes de la barre d’équilibre sur les pistons.

En faisant l’équilibre statique des forces sur le piston 1, déterminer une relation entre g, F1, M1, P1 et D1.

Faire de même pour le piston 2 et 3.

Equilibre de la barre

D12

D23

α Barre

d’équilibre

F1

F2

F3

En faisant l’équilibre statique des forces sur la barre, déterminer une relation entre F1, F2 et

F3.

En écrivant l’équilibre des moments par rapport au point d’application de la force F2, déterminer une relation entre F1, F3, D12 et D23.

Application numérique On prendra pour référence Z2=0. M1=20kg M2=50kg M3=30kg

D12=0.25m D23=0.35m

D1=0.1m D2=0.2m D3=0.15m

Calculer Z1 et Z3, les pressions P1, P2 et P3, les forces F1, F2 et F3 ainsi que l’angle α.

Hydrostatique

José VAZQUEZ 21

1.4.4. Etude d’une vanne de chasse L’objectif de cette étude est l’équilibre d’une vanne de chasse en réseau d’assainissement. La vanne est de forme circulaire plane. Elle est disposée à l’intérieur d’une conduite également circulaire à l’amont mais rectangulaire à l’aval. Ainsi, la rotation de la vanne peut avoir lieu quand l’axe de rotation horizontal de celle-ci n’est pas au centre de la conduite. On suppose que l’eau n’agit que sur la face amont et que les forces de pression dynamique sont négligeables par rapport aux forces de pression statique. On se placera en hydrostatique.

Axe de la conduite

Conduite circulaire

Conduite circulaire

Conduite rectangulaire

Axe de rotation de la vanne h

h est la hauteur d’eau dans la canalisation amont. Les relations suivantes rappellent les caractéristiques géométriques d’une section circulaire.

ξ v v’

R

G ξ

φ

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

3

2

34 4

4sinv R 1

3 2 sin 2

v v ' R 1 cos

RS 2 sin 22

1 cos 2R RI 4 sin 416 9 2 sin 2ξξ

⎛ ⎞ϕ= −⎜ ⎟⎜ ⎟ϕ− ϕ⎝ ⎠+ = − ϕ

= ϕ− ϕ

− ϕ= ϕ− ϕ −

ϕ− ϕ

Les graphiques suivants représentent : v et v’ en fonction de l’angle φ pour d=1.6m.

S et Iξξ en fonction de l’angle φ pour d=1.6m.

Hydrostatique

José VAZQUEZ 22

v et v' en fonction de l'angle phi pour d=1.6m

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Angle phi (degré)

haut

eur (

m)

v(m)v'(m)

Evolution de la surface et de l'inertie pour d=1.6m

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

angle Phi (degré)

Surf

ace

(m2)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Iner

tie (m

4)

surface (m2)Inertie (m4)

Hydrostatique

José VAZQUEZ 23

Les positions extrêmes possibles pour la vanne sont représentées sur le schéma suivant :

Vanne en position fermée

Vanne en position ouverte

Butée (point d’arrêt)

Butée (point d’arrêt)

Axe de rotation de la vanne

Etude de l’équilibre de la vanne sans eau La vanne est une plaque métallique circulaire de diamètre d, d’épaisseur constante e et de masse volumique ρacier.

Calculer le poids (Pvanne) de la vanne et placer son point d’application.

Dans quelle zone doit-on placer l’axe de rotation de la vanne pour que celle-ci ait toujours tendance à se refermer quand il n’y a plus d’eau à l’amont ? Faire un schéma.

Application numérique : calculer Pvanne pour d=1.6m, e=5mm, ρacier=7850kg/m3.

Etude de la vanne en position verticale fermée

Vanne en position fermée

h Feau yp

yP/fond

Déterminer l’intensité Feau en fonction de v’ et S,

Déterminer la position par rapport au fond du canal (yp/fond) de l’action de l’eau sur la vanne en fonction de v, v’, S et Iξξ.

Application numérique :

En utilisant les graphiques précédents, compléter le tableau suivant :

Hydrostatique

José VAZQUEZ 24

Hauteur d’eau (m) 0 0.4 0.8 1.2 1.6

v’

v

S

Iξξ

yp/fond

Feau

Tracer l’évolution du centre de gravité et du centre de poussé en fonction de h sur le graphique suivant :

Centre de gravité et centre de poussée par rapport au fond du canal en fonction de h

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Hauteur d'eau : h (m)

Hau

teur

(m)

Dans quelle zone doit-on placer le centre de rotation pour que la vanne commence à s’ouvrir

sous l’action de l’eau pour une hauteur de 0.8m ?

Quelle remarque peut-on faire par rapport au résultat du § 2.1 ?

Tracer l’évolution de Feau en fonction de h sur le graphique suivant :

Hydrostatique

José VAZQUEZ 25

Evolution de la force de pression en fonction de la hauteur

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.0 2000.0 4000.0 6000.0 8000.0 10000.0 12000.0 14000.0 16000.0

Force (N)

Hau

teur

(m)

Etude de la vanne en position inclinée : la vanne est partiellement plongée dans l’eau La vanne étant en équilibre en position inclinée, la hauteur de l’eau est au-dessus de 0.8m. Afin de permettre à la vanne de pouvoir se fermer sans eau, on ajoute une masse à la vanne en partie inférieure pour abaisser le centre de gravité global de la vanne. On appellera cette force Fmasse.

Ajout d’une masse

Fmasse

h

d

d-c

yp

yc

dα

Quelle est la valeur maximale que peut prendre φ pour garantir que la vanne soit toujours

partiellement plongée dans l’eau ?

Montrer, à partir d’un raisonnement géométrique que :

Hydrostatique

José VAZQUEZ 26

( )h d cy

sin− −

=α

et ( )y d c R 1 cos+ − = − ϕ

Déterminer l’action de l’eau sur la vanne Feau en fonction de S, v’, ρ, g et α.

Déterminer la position yp en fonction de S, v’ et Iξξ.

En faisant l’équilibre des moments de la vanne par rapport au centre de rotation, montrer que :

( ) ( ) ( )eau p vanne masseF . y y P . c d 2 .cos F . d c .cos− + − α = − α Montrer que :

( ) ( )( ) ( )masse vanne

p

F . d c P . c d / 2.g.v '.S. R 1 cos d c y

tan− − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤ρ − ϕ − − − =⎣ ⎦ α

Calcul de Fmasse : On désire que la vanne soit à l’équilibre à un angle de α=67.5° pour une hauteur d’eau de 85% du diamètre. On prendra d=1.6m ; c=1.27m.

o Calculer y.

o Calculer φ.

o Calculer Iξξ., v’, S en utilisant les graphiques précédents.

o Calculer yp.

o Montrer que Fmasse=22.5kN

On désire maintenant tracer l’évolution de h (hauteur d’eau) en fonction de α (angle de rotation de la vanne). Pour cela, on se fixera φ et on calculera dans l’ordre : v’, S, Iξξ, yp, y, α et enfin h. Compléter le tableau suivant :

φ 90° 120° 140° 165° 180°

v’

S

Iξξ

yp

y

α 90°

h 0.8m

On prendra d=1.6m ; c=1.27m. A partir de quelle hauteur d’eau et angle de rotation, la vanne est entièrement immergée ? Tracer h en fonction de α sur le graphique suivant :

Hydrostatique

José VAZQUEZ 27

Evolution de la hauteur d'eau en fonction de la rotation de la vanne (alpha)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

alpha (degré)

haut

eur (

m)

Etude de la vanne en position inclinée : la vanne est totalement plongée dans l’eau

h

d

d-c

yp

ycd

αyG

G

Dans le cas où la vanne est entièrement plongée dans l’eau, calculer : S et Iξξ.

Montrer, à partir d’un raisonnement géométrique, que :

Hydrostatique

José VAZQUEZ 28

( )h d cy

sin− −

=α

est toujours valable.

Montrer que yG (la profondeur du centre de gravité de la vanne dans le repère y) est donnée par la relation :

( ) ( )G

h d cy c d / 2

sin− −

= − −α

Déterminer l’action de l’eau sur la vanne Feau en fonction de S, ρ, g, yG et α.

Déterminer le centre de poussée yp en fonction de S, yG et Iξξ.

En faisant l’équilibre des moments de la vanne par rapport au centre de rotation, montrer que :

( ) ( ) ( )eau p vanne masseF . y y P . c d 2 .cos F . d c .cos− + − α = − α En utilisant la relation précédente, montrer que :

( ) ( ) ( )G G p masse vanne.g.y .sin .S. y c d / 2 y F . d c P . c d / 2 .cos⎡ ⎤ρ α + − − = − − − α⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ Montrer qu’on peut en déduire yG :

( ) ( )( ) ( )

masse vanneG

F . d c P . c d / 2 Iy

.g.S. tan . c d / 2 S. c d / 2ξξ− − −⎡ ⎤⎣ ⎦= +

ρ α − −

On désire maintenant tracer l’évolution de h (hauteur d’eau) en fonction de α (angle de rotation de la vanne). Pour cela, on se fixera α et on calculera dans l’ordre : yG et h. Compléter le tableau suivant :

α 58.7° 30° 15° 0°

yG

h

Tracer h en fonction de α sur le graphique précédent.

Exploitation de la courbe h en fonction de α

A partir de quelle hauteur d’eau la vanne n’est plus en équilibre ? Dans ce cas, quel est l’angle de rotation de la vanne ?

Que ce passe t-il si la hauteur d’eau dépasse cette valeur ?

En supposant que la hauteur d’eau à dépasser la hauteur limite précédente, à partir de quelle hauteur d’eau la vanne va à nouveau se refermer ? Dans ce cas, quel est l’angle d’équilibre ?

Hydrostatique

José VAZQUEZ 29

1.4.5. Stabilité d’un barrage L’objectif de cette étude est le dimensionnement géométrique d’un barrage en forme de L en fonction du niveau d’eau. Deux formes d’instabilité seront étudiées : le basculement et le glissement. On rappelle que :

• l’instabilité au basculement se vérifie en faisant l’équilibre des moments par rapport au point de basculement,

• l’instabilité au glissement se vérifie en garantissant que l’on ne soit pas dans la zone de glissement du sol.

Le critère d’instabilité du sol peut être défini dans le plan de Mohr par une zone de glissement (figure 1). σ : est la contrainte normale, τ : est la contrainte de cisaillement. Le critère est donc défini par :

( ). tanτ ≤ σ ϕ : Zone sans glissement On prendra 25ϕ = ° .

σ

τ

Zone sans glissement

Zone de glissement

Courbes limites

ϕ

Figure 1

Les dimensions du barrage que l’on étudie sont représentées sur la figure suivante :

L’eau agit sur les surfaces CD et DE. Sur la surface BC, on ne supposera aucune action. Le barrage est en béton avec une densité d=2,5. Le barrage fait 1 mètre de large.

H L

0.5m

0.5m

A

D C

B

E

Sol Sol

Sol

Stabilité du barrage au basculement

• Déterminer le poids du barrage et positionner son centre de gravité par rapport au point A en fonction des variables H, L, g, d et ρ (masse volumique de l’eau).

• Déterminer l’intensité, la direction et la position de la force des pressions de l’eau sur la paroi ED.

• Déterminer l’intensité, la direction et la position de la force des pressions de l’eau sur la paroi DC.

• En écrivant l’équilibre des moments des forces précédentes par rapport au point A, montrer que pour garantir la stabilité au basculement du barrage, il faut que :

2 32 0.15625 0.3125H 0.25H 0.167HL L 0

0.625 0.5H+ − −

+ + >+

Hydrostatique

José VAZQUEZ 30

• Déterminer et tracer sur le graphique suivant la longueur L minimale pour les hauteurs d’eau (H) suivantes :

H (m) 2 3 4 5

Lbasculement

Stabilité du barrage au glissement

• En supposant que la distribution des contraintes normales du barrage sur le sol sur la surface AB est homogène (constante), déterminer la contrainte normale σ.

• En supposant que la distribution des contraintes de cisaillement du barrage sur le sol sur la surface AB est homogène (constante), déterminer la contrainte de cisaillement τ.

• En utilisant le critère de non glissement défini précédemment, montrer que :

( ) ( )2H 1, 25. H 0,5

2 tanL

H 1, 25

− +ϕ

≥+

• Déterminer et tracer sur le graphique suivant la longueur L minimale pour les hauteurs d’eau (H) suivantes :

H (m) 2 3 4 5

Lglissement

Stabilité d'un barrage

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 1 2 3

Longueur (m)

Hau

teur

d'e

au (m

)

Exploitation du graphique

• Pour une hauteur d’eau de 2m, quelle est la condition de stabilité la plus pénalisante ? • Même question pour une hauteur de 4m ? • A partir de quelle hauteur change-t-on de critère de stabilité ?

Hydrostatique

José VAZQUEZ 31

1.5. Forces hydrostatiques sur des corps immergés : exercices basiques

1.5.1. Une pierre pèse 9kg à l’air et 5kg quand elle est immergée dans l’eau. Calculer le volume de la pierre et sa densité.

(V=0.004m3, d=2.25)

1.5.2. Un aréomètre pèse 0,0216N et présente une tige cylindrique à son extrémité supérieure de 2,80mm de diamètre. Calculer la différence d’enfoncement h entre les aréomètres.

(h=22.8mm)

1.5.3. Déterminer l’enfoncement dans l’eau d’un tronc d’arbre de densité 0,425 de 2,40m de diamètre et de 4,50m de long.

(θ=83°)

Hydrostatique

José VAZQUEZ 32

1.6. Forces hydrostatiques sur des corps immergés : exercices de synthèse


Flotteur

b h

α

Surface libre

A

b

L

Vanne

β

Face 2

Face 1

h

Surface libre

Face 2

Face 1

h

Surface libre

h Surface libre

Position fermée Positions ouvertes

La vanne est rectangulaire de hauteur b et de largeur c. On suppose que quelle que soit la position de la vanne, l’eau n’agit que sur la face 1. Sur la face 2, on a la pression atmosphérique. La pression sur la face 1 est supposée hydrostatique et est créée par la hauteur d’eau h. Dans l’équilibre qui sera demandé, les poids du flotteur et de la vanne sont négligeables par rapport aux autres forces en présence. Dans le cas où la vanne ne touche pas l’eau, le moment par rapport au point A dû au poids du flotteur est légèrement supérieur à celui de la vanne afin de faire tourner le système de telle sorte qu’il n’y ait que le flotteur qui soit en contact avec l’eau. Le flotteur n’est pas forcément toujours au niveau de la surface libre. Valeurs numériques : ρ=103 kg/m3, g=9.81 m/s2, b=0.5m, c=0.6m, Volume flotteur : Vol =0.2 m3, L=2m, β=45°.

Hydrostatique

José VAZQUEZ 33

1.6.1.1.Position de contact de la vanne avec l’eau • Dessiner la position de la vanne et du flotteur de telle sorte que la vanne commence à

toucher l’eau. • Déterminer une relation entre α, b, L et β permettant de calculer l’angle α. Application numérique : • Montrer que α= 36.46° vérifie la relation précédente. • Déterminer la hauteur d’eau minimale dans ce cas. (hmini=0.2m)

1.6.1.2.Courbe de fonctionnement de la vanne pour h≥b et le flotteur est au niveau de la surface libre

Flotteur

b h

α

Surface libre

A

b

L

Vanne

β

α

• Déterminer une relation géométrique entre h, b, L, β et α. • Quel type de force (Far) agit sur le flotteur pour maintenir la vanne au niveau de la surface

libre ? Application numérique : • Compléter le tableau suivant :

α (°) 45° 60° 80° 100° 120° h (m) 0.5 1.02 1.65 2.14 2.43

1.6.1.3.Courbe de fonctionnement de la vanne pour h≥b et le flotteur est entièrement dans l’eau

Flotteur

b h

α

Surface libre

A

b

L

Vanne

β

Hydrostatique

José VAZQUEZ 34

• Déterminer l’action de l’eau sur la vanne en intensité (Fps), direction et position en fonction de ρ, g, b, c, h et α.

• Déterminer la valeur de la force (Far) en intensité, direction et position en fonction de ρ, g, et Vol.

• En faisant l’équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre Far et Fps ainsi que les variables b, L, h, α et β.

• Déterminer à partir de la relation précédente une relation entre h et b, c, L, α , Vol et β. Application numérique : • Compléter le tableau suivant :

α (°) 20° 45° 60° 80° 100° 120° h (m) 5.22 5.6 5.36 4.54 3.23 1.59

1.6.1.4.Exploitation des courbes de fonctionnement • Sur le graphique suivant, tracer h en fonction de α pour les tableaux des questions 2.2. et 2.3. • Déterminer la valeur h à partir de laquelle le flotteur est entièrement immergé. (2.3m) • Déterminer, dans ce cas, la rotation α maximale de la vanne.(112°) • A partir de quelle hauteur d’eau l’équilibre entre les forces (Far) et (Fps) ne peut plus être

réalisé ? (5.6m)

Evolution de la hauteur en fonction de α

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

α (°)

h(m

)

Hydrostatique

José VAZQUEZ 35


Dh

α

Surface libre

Masse volumique : ρ

A

D

L

Vanne

Flotteur

h’ B

surface S

h

Surface libre

Face 2

Face 1

Surface libre

Face 2Face 1

Position fermée Position ouverte

La vanne sur le schéma ci-dessus est circulaire de diamètre D. On suppose que quelque soit la position de la vanne, l’eau n’agit que sur la face 1. Sur la face 2, on a la pression atmosphérique. La pression sur la face 1 est supposée hydrostatique et est créée par la hauteur d’eau h. Cette hauteur d’eau est toujours supposée supérieure à D. Le poids du flotteur est négligeable par rapport aux autres forces en présence. Quelque soit la position verticale du flotteur, la surface S du flotteur reste toujours horizontale.

1.6.2.1.Courbe de fonctionnement de la vanne • Déterminer l’action de l’eau sur la vanne en intensité (Fps), direction et position en fonction

de ρ, g, D, L et α. • Quel type de force agit sur le flotteur pour équilibrer la vanne ? • Déterminer cette force (Far) en intensité, direction et position en fonction de ρ, g, h’ et S. • Quelle est la valeur maximale de la force (Far) ?

Hydrostatique

José VAZQUEZ 36

• En faisant l’équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre Far et les variables ρ, g, D, L et α.

• Déterminer une relation géométrique entre h, D, L et α. En prenant pour valeur numérique : ρ=103 kg/m3, g=9.81 m/s2, D=0.3 m, L=5 m, S=0.25m². • Compléter le tableau et le graphique suivant : α (°) 0° 15° 30° 45° 60° 75° h (m) Far (N) Fps (N) Fps/ Far

Far(N)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0Hauteur (m)

Far

(N)

1.6.2.2.Exploitation de la courbe de fonctionnement • Déterminer la valeur minimale de B pour que la régulation puisse se faire jusqu’à 5m. • Déterminer, dans ce cas, la rotation de la vanne. • Expliquer physiquement pourquoi la position α=90° est impossible.

Hydrostatique

José VAZQUEZ 37

1.6.2.3.Courbe de fonctionnement globale On suppose maintenant que le flotteur est entièrement plongé dans l’eau.

Surface libre

Face 2 Face 1

• Déterminer l’action de l’eau sur la vanne en intensité (Fps), direction et position en fonction de ρ, g, D, h et α.

• En faisant l’équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre Far et les variables ρ, g, D, L, h et α.

• Déterminer h en fonction de B, S, ρ, g, D, L, h et α. • Compléter le tableau suivant :

En prenant pour valeur numérique : ρ=103 kg/m3, g=9.81 m/s2, D=0.3 m, L=5 m, S=0.25m², B=12.1cm α (°) 0° 15° 30° 45° 60° h (m)

• Sur le graphique suivant, on tracera h=f(α) pour les valeurs du tableau précédent ainsi que

pour les valeurs du tableau de la page précédente.

Hauteur d'eau en fonction de l'angle de rotation de la vanne

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Angle de rotation de la vanne (°)

Hau

teur

d'e

au (m

)

Hydrodynamique des liquides parfaits

José VAZQUEZ 38

2. Hydrodynamique des liquides parfaits

2.1. Equation de Bernoulli

2.1.1. Un très grand réservoir à niveau d’eau constant alimente une conduite en charge. Déterminer la vitesse au point 2. Déterminer la pression relative au point 1.

(V2=17.3m/s, H1=2mCE)

2.1.2. Déterminer le débit en fonction de la charge dans le tube Venturi.

QS

SS

g pg

=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

2

1

2

1

2. ..

*∆ρ


José VAZQUEZ 39

2.1.3. De l’eau circule dans une turbine à un débit de 0,214 m3/s et les pressions relatives en A et B sont respectivement de 147,5kPa et de

-34,5 kPa. Calculer la puissance fournie par l’eau à la turbine.

(P=42kW)

2.1.4. Une conduite en charge est alimentée par un réservoir à niveau d’eau constant. Déterminer la vitesse de sortie U3, la vitesse U2 ainsi que la puissance maximale que la conduite peut produire. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge totale. D2=4m, D3=3m, H=200m

(U3=62.6m/s, U2=35.2m/s, 868 MW)


José VAZQUEZ 40

2.1.5. La surface libre d’un très grand réservoir est soumise à une pression absolue de 1,3 atm. L’eau du réservoir est pompée afin d’alimenter un jet. Déterminer la puissance hydraulique de la pompe. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge totale.

(5.9kW)

2.1.6. Tube de Pitot. Déterminer la vitesse du fluide en fonction des poids volumiques et de la charge ∆h.

Vo g h m= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 1. . .∆

ρρ


José VAZQUEZ 41

2.2. Théorème d’Euler

2.2.1. Un coude à 90° de rayon de courbure 300mm est parcouru par de l’eau à un débit de 25 l/s. La pression effective en 1 est de 8bars. Déterminer l’action de l’eau sur le coude.

(Rx=-6.3kN, Ry=6.3kN)

2.2.2. Déterminer en grandeur et en direction l’action de l’eau sur le Té de raccordement. (Les pressions sont absolues)

(Rx=24.5 kN, Ry=-13.5 kN)

2.2.3. Calculer en grandeur et en direction l’action de l’eau sur la tuyère 2-3-4.

(Rx=-21.2kN, Ry=-9.2kN)


José VAZQUEZ 42

2.2.4. Action de l’eau sur un té et action d’un jet sur une surface

2.2.4.1. Té de raccordement

x

y

O

0

1

2

Q1=0.6q0

U1=0.6U0

p1=patm

Q2

U2=0.4U0p2=patm

Q0=0.1 m3/sU0=90 m/sp0=patm

α=60°

Un Té de raccordement a la forme et les caractéristiques de la figure précédente. On négligera le poids de l’eau. Déterminer l’intensité et la direction de la résultante de l’action de l’eau sur le Té.

2.2.4.2. Action d’un jet sur une surface

x

y

O

0

1

2Q1=0.6q0

U1=0.6U0

p1=patm

Q2

U2=0.4U0

p2=patm

Q0=0.1 m3/sU0=90 m/sp0=patm

α=60°

Surface

On considère maintenant un jet horizontal. Celui-ci heurte la plaque, représentée en trait épais sur la figure précédente. Calculer l’intensité et la direction de la résultante de l’action du jet sur la surface. (Rx=9.9kN ; Ry=-1.56kN)

Hydrodynamique des liquides réels

José VAZQUEZ 43

3. Hydrodynamique des liquides réels : Applications aux conduites en charges

3.1. Applications aux conduites en charges: exercices basiques

3.1.1. Déterminer la vitesse critique pour du fuel de viscosité cinématique 4,47.10-6 m2/s et pour de l’eau (ν=10-6 m2/s) circulant chacun dans un tuyau de 150mm de diamètre.

(Vfuel=0.059m/s, Veau=0.013m/s)

3.1.2. Déterminer le type d’écoulement ayant lieu dans un tuyau de diamètre respectif : 60 et 1200mm pour des vitesses variant entre 0,4m/s et 3m/s.

D V Re 60 0.4 24.103 60 3 180.103 1200 0.4 0.48.106 1200 3 3.6.106

3.1.3. Déterminer la perte de charge, due à l’écoulement d’une huile de viscosité 9.10-6 m2/s dans un tuyau neuf en fonte moulée (ε=0,25mm) de diamètre 200 et de longueur 300m. Q=120l/s

(Colebrook=0.023 ; ∆h=25.7m)

3.1.4. De l’eau coule dans un tuyau zingué (ε=0,25mm) de diamètre 300. La perte de charge est de 2 m pour un tronçon de 1 km. Déterminer le débit.

(Q=55l/s)

3.1.5. Une installation comporte une conduite en fonte (ε=0,5) de diamètre 250mm et de longueur 1825m. On considère que les pertes de charges sont linéaires. Déterminer le débit de l’installation. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge.

(Q=88l/s)


José VAZQUEZ 44

3.1.6. Déterminer le diamètre d’un tuyau en acier soudé (ε=0,05mm) utilisé pour transporter 250l/s de l’eau (ν=10-6 m2/s) à une distance de 10km avec une perte de charge de 25m.

(DN 500)

3.1.7. Soit le dispositif suivant :

z = 15 m

z = 10 m

D1 = 0,25 m D2= 0,50 m

50 m

20 m

50 m

20 m

0.5v²/(2g)

0.25v²/(2g)0.25v²/(2g)

v²/(2g)

On prendra pour tout l’exercice λ = 3.10-2 et g = 10m/s2. • Calculer le débit Q circulant dans ces canalisations. • Tracer la ligne de charge et la ligne pièzométrique.

(Q=150l/s)

3.1.8. On veut faire écouler de l'eau de la cote z0 = 240 m à la cote z1 = 232 m en la remontant au préalable au point C à la cote zC = 244,20 m.

La prise d'eau en A est à la cote 232,25 m et a la forme d'un convergent où la

perte de charge est j VgA = 0 05

2

2

, , V désignant la vitesse moyenne de l'eau

dans la conduite. Le débouché B est assez brusque à la cote zB = 230 m, sa perte de charge est

j VgB = 0 5

2

2

, .


José VAZQUEZ 45

Un dispositif d'amorçage est prévu au coude C où la perte de charge

singulière est j VgC = 0 25

2

2

, . Les longueurs des parties droites de la conduite

sont AC = L1 = 30 m et CB = L2 = 20 m. Le diamètre de la canalisation est constant entre A et B et vaut 500 mm. Le coefficient de perte de charge linéaire est λ = 8.10-2. • Calculer le débit Q circulant dans cette canalisation sans se préoccuper de

l'éventuel problème de cavitation au point C. • Calculer les pressions relatives aux points A, B, C' (juste à l'amont de C)

et C'' (juste à l'aval de C). • Tracer la ligne de charge et la ligne piézomètrique entre A et B. • Analyser ce qui se passe au point C. En déduire le débit réel en B.

(Q=830l/s, C’’=-9.75m)

3.1.9. La fonte Pont à Mousson a une rugosité de ε=0,1mm. Calculer la charge aux points 3 et 4. Déterminer l’énergie prélevée au fluide et la puissance électrique produite (rendement=0.81). Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge.

(H3=1183m, H4=711m, Ef=556kW, Ee=450kW)


José VAZQUEZ 46

3.1.10. La fonte Pont à Mousson et la fonte Bonna ont une rugosité de ε=0,1mm. Calculer la puissance que la pompe P doit fournir au fluide. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge.

(1.047MW)

3.1.11. Les conduites sont en fonte Pont à Mousson. Calculer la puissance de transmission si le rendement de la pompe est de 85%. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge.(ε=0,1mm)

(395kW)


José VAZQUEZ 47

3.1.12. Calculer la puissance que la pompe doit fournir au fluide. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. (ε=0,1mm)

(31.3kW)

3.1.13. Les caractéristiques des conduites sont précisées ci-dessous. Calculer la charge en A, B et C. Calculer la puissance électrique consommée par les groupes électro-pompe G1 et G2. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. (ε=0,1mm)


José VAZQUEZ 48

(Ha=395.6mCE, Hb=393.1mCE, Hc=332.4mCE, P1=220kW, P2=106kW)

3.1.14. Pompe alimentant deux conduites en parallèles

Une station de pompage alimente en même temps deux réservoirs R1 et R2. Les conduites 1 et 2 ont pour caractéristiques :


José VAZQUEZ 49

φ (mm) Longueur (m) ε (mm) Q (l/s) Conduite 1 150 1226 0.10 34 Conduite 2 200 2380 0.10 28.3

Sur chaque conduite, on dispose d’un clapet anti-retour à battant et d’une vanne papillon. Le coefficient de perte de charge est estimé à :

vanne papillon Clapet à battantConduite 1 K=1.5 K=9.5 Conduite 2 K=33 K=42

Les pertes de charges dans le té (A0, A1, A2) sont négligées. La pompe a un rendement hydraulique de 79 %. Le moteur et le transformateur alimentant la pompe ont un rendement de 92 %.

A0 A1

A2

6

6,5

DN 200DN 150

DN 200

x

y

30°

1. Charge totale au point A • Déterminer la charge totale relative au point A en écrivant Bernoulli entre A

et le réservoir R1. • Déterminer la charge totale relative au point A en écrivant Bernoulli entre A

et le réservoir R2. • Que constatez-vous ? 2. Pompe • Calculer la puissance électrique fournie à la pompe. 3. Ligne de charge • Tracer la ligne de charge et la ligne piézométrique. 4. Té de raccordement • Calculer en grandeur et en direction l’action de l’eau sur le té de

raccordement. (HA=120mCE ; P=95kW ; Rx = -14.55kN ; Ry = -17.29kN)


José VAZQUEZ 50

3.1.15. Conduites gravitaires en parallèles alimentant une turbine

Plaque circulaire

Une turbine est alimentée en même temps par deux réservoirs A et B. Les conduites 1 et 2 ont pour caractéristiques :

φ (mm) Longueur (m) ε (mm) Q (l/s) Conduite 1 300 7225 0.10 110 Conduite 2 200 3570 0.10 ?

On néglige les pertes de charges singulières dans les conduites AC et BC. La turbine à un rendement hydraulique de 92 %. 1. Débit • Déterminer le débit dans la conduite 2. (On utilisera la charge en C) 2. Turbine • Calculer la puissance que la turbine peut fournir à un alternateur. 3. Action sur une surface plane On place une plaque circulaire de diamètre = 5m inclinée à 30° par rapport à la verticale dans la paroi du réservoir 1. le centre de la plaque se situe à 10m de la surface de l’eau. • Calculer l’intensité, la direction et la position verticale de la force de l’eau

s’exerçant sur la paroi circulaire. (Q=41l/s ; P=26.4kW ; F=1.92MN)


José VAZQUEZ 51

3.1.16. Etude du profil en long d’une conduite gravitaire

1720

1812

R2

R1A

G

C

D

F

E

H

B

Une conduite gravitaire fait transiter de l’eau entre deux réservoirs. Elle a une rugosité relative de ε = 0.25 mm. On négligera les pertes de charge singulières. Les longueurs sont fournies dans le tableau suivant :

A-B B-C C-D D-E E-F F-G G-H Longueur (m) 748 2243 6728 5980 3738 8223 2990

1. Diamètre • Calculer le diamètre de la conduite pour que l’installation débite

1,24m3/s. 2. Régulation du débit On désire réguler le débit entre les deux réservoirs à un débit de 0.827m3/s par l’intermédiaire d’une vanne. • Calculez la perte de charge (mCE) absorbée par la vanne. 3. Positionnement de la vanne et ligne de charge • Positionner la vanne. Tracer, sur le graphique, la ligne piézométrique avec

et sans la vanne. Justifier le positionnement de la vanne. (DN 900 ; P=406kW)


José VAZQUEZ 52

3.1.17. Point de fonctionnement d’une installation Pour les pertes de charges dans les canalisations, on utilisera les tables et les relations de Lechapt et Calmon. On supposera les relations valables pour les vitesses données.

72m

75m

157m

Crépine

Coude 1

Cône

Coude 2

Canalisation 1

Coude 3

Canalisation 2

Coude 4

R 1

R 2

A B

Un pompage alimente un réservoir R2 à partir d’un réservoir R1. Chaque élément a les caractéristiques suivantes :

Elément Caractéristiques Crépine DN 125, K = 3 Coude 1 90°, DN 125, Rayon= 3 DN Cône DN 125/100, L=0.1m Canalisation 1 DN 100, L=3m, ε=0.1mm Coude 2 90°, DN 100, Rayon= 3 DN Coude 3 45°, DN 80, Rayon= 2 DN Canalisation 2 DN 80, L=80m, , ε=0.1mm Coude 4 45°, DN 80, Rayon= 2 DN On néglige la perte de charge à l’entrée du réservoir R2. La pompe a un rendement hydraulique de 78 %. Le moteur et le transformateur alimentant la pompe ont un rendement de 92 %. • Pression en A et B

• Déterminer la charge totale au point A à l’entrée de la pompe en (mCE) en fonction du débit Q de l’installation.


José VAZQUEZ 53

• Compléter le tableau suivant :

Q (m3/s) VA2/2g PdC crépine

(mCE) PdC coude 1 (mCE)

PdC cône (mCE)

PdC (mCE) canalisation 1

PdC coude 2 (mCE)

HA (mCE)

0.00

0.005

0.010

0.015

• Déterminer la charge totale au point B à la sortie de la pompe en (mCE) en fonction du débit Q

de l’installation.

• Compléter le tableau suivant : Q (m3/s) PdC coude

3 et 4(mCE) PdC (mCE) canalisation 2

VB2/2g

(mCE) HB (mCE)

0.00

0.005

0.01

0.015

Que peut-on dire de la perte de charge dans les coudes 3 et 4 ? • Pompe La courbe de fonctionnement de la pompe est fournie dans le tableau suivant : Q (m3/s) 0.000 0.005 0.010 0.015 HMT (mCE) 95.0 94.0 90.0 82.0


José VAZQUEZ 54

• Tracer les courbes caractéristiques et déterminer le point de fonctionnement de l’installation.

•

point de fonctionnement

80

82

84

86

88

90

92

94

96

98

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016m3/s

mC

E

• Calculer la puissance consommée par le groupe électro-pompe.

• On change le DN80 par un DN125. Tracer les courbes caractéristiques et déterminer le point de fonctionnement de l’installation.

• Calculer la puissance consommée par le groupe électro-pompe dans ce cas.

• Le pompage se fait pour 800m3/jour . Sachant que le kilowattheure est vendu 10 cents, quelle économie réalise-t-on entre les deux solutions sur 1 an?

(Point de fonctionnement : 10l/s ; 89.8 mCE ; Point de fonctionnement : 12.5l/s ; 86 mCE ; 448€/an)


José VAZQUEZ 55

3.1.18. Conduites gravitaires multiples

R1

R3

R2Conduite 1

Conduite 3

Conduite 2E1E2

E3

651m

728m

702.5m

Trois réservoirs sont reliés par des conduites gravitaires. Les conduites 1, 2 et 3 ont pour caractéristiques :

φ (mm) Longueur (m) ε (mm) λ coefficient de perte de charge Conduite 1 300 3280 0.1 0.015 Conduite 2 300 2890 0.1 0.016 Conduite 3 450 720 0.1 Inconnu

Au niveau du raccordement des trois conduites, pour l’écoulement de E1 vers E3 le coefficient de perte de charge est de KE1E3 = 2.5 et pour l’écoulement E2 vers E3 le coefficient de perte de charge est de KE2E3 = 1. On considère les altitudes hE1 = hE2 = hE3 = 654m.

• Nota : pour calculer la perte de charge de E1 vers E3 on prendra la vitesse dans E1 et pour la perte de charge de E2 vers E3 on prendra la vitesse dans E2.


José VAZQUEZ 56

Débit On mesure une vitesse de 2.36m/s dans la conduite 3.

• Déterminer la vitesse dans les conduites 1 et 2 en utilisant Bernoulli. • Vérifier les valeurs de λ1 et λ2 des conduites 1 et 2 en utilisant Colebrook. • Vérifier l’équation de continuité dans le Té.

Té de raccordement

E1

E3

E2

30°

60°

y x

On considère les altitudes hE1 = hE2 = hE3 = 654m.

• Déterminer la pression relative en E1, E2 et E3. • Calculer en grandeur et en direction l’action de l’eau sur le Té dans le repère (x,y).


José VAZQUEZ 57

3.2. Applications aux conduites en charges: exercices de synthèse

3.2.1. Courbes caractéristiques et point de fonctionnement d’une installation

Réserve d’eau

Puits

Châteaud’eauVanne 1

Vanne 2

1

2

3

N1E

N1S

N2E

N2S

JTronçon 1

Tronçon 2

Tronçon 3

K

Pompe 1

Pompe 2

Clapet

Clapet

On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon. Caractéristiques du réseau : Tronçon 1 2 3 Nœud amont – nœud aval N1E - J N2E - J J - K Diamètre (mm) 300 250 350 Longueur (m) 4000 5000 15000 Rugosité ε (mm) 0.1 0.1 0.1 Cotes topographiques (m) : Réserve d’eau Point 1 40 Puits Point 2 20 Château d’eau Point 3 50 Caractéristiques des pompes :

HMT (m) 100 98.5 90 77.8 65.5 Pompe 1 Q (l/s) 0 30 80 120 150 HMT (m) 150 145.4 117.8 77.6 37 Pompe 2 Q (l/s) 0 30 80 120 150


José VAZQUEZ 58

3.2.1.1. Préliminaire

• Calculer g2

V2

pour un débit maximal de 150l/s dans chaque tronçon.

• Comparer les valeurs trouvées par rapport aux valeurs de HMT des pompes. Quelle hypothèse peut-on formuler ?

3.2.1.2. La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est fermée. • En écrivant Bernouilli entre la surface libre (1) de la réserve d’eau et N1E, déterminer

la charge totale H1E. • En écrivant Bernouilli entre le point N1S et J, déterminer la charge totale H1S en

fonction du débit (Q1) dans le tronçon 1 et de la charge totale HJ. • En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HJ en fonction de Q1 :

Q1 (l/s) 0 30 80 120 150 HJ (m)

• Tracer HJ en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. • En écrivant Bernouilli entre le point J et la surface libre (3) du château d’eau,

déterminer la charge totale HJ en fonction du débit dans le tronçon 3 (Q3). • Calculer HJ en fonction de Q3 pour les valeurs suivantes :

Q3 (l/s) 0 30 80 120 150 HJ (m)

• Tracer HJ en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. HJ et Q. (105l/s ; 95mCE)

3.2.1.3. La vanne 1 est fermée et la vanne 2 est ouverte. • En écrivant Bernouilli entre la surface libre (2) du puits et N2E, déterminer la charge

totale H2E. • En écrivant Bernouilli entre le point N2S et J, déterminer la charge totale H2S en

fonction du débit dans le tronçon 2 (Q2) et de la charge totale HJ. • En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HJ en fonction de Q2 :

Q2 (l/s) 0 30 80 120 150 HJ (m)

• Tracer HJ en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. HJ et Q. (85l/s ; 80mCE)

3.2.1.4. La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est ouverte. • Que peut-on dire de la charge totale au point J (HJ) dans les trois tronçons ? • Quelle est la relation entre Q1, Q2 et Q3 ? • Tracer la courbe HJ en fonction de Q1+ Q2. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. (133l/s ; 120mCE)

3.2.1.5. Synthèse • Comparer les valeurs du débit Q3 dans les cas :

- La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est fermée : Q3.1 - La vanne 1 est fermée et la vanne 2 est ouverte : Q3.2 - La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est ouverte : Q3.3 Peut-on dire que Q3.1 + Q3.2 = Q3.3 ?

• Vérifier que Lechapt et Calmon est applicable


José VAZQUEZ 59

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Q(l/s)

(m)


José VAZQUEZ 60

3.2.2. Pompes en parallèle refoulant dans des conduites en parallèle et en série

Le constructeur des pompes donne pour chaque pompe les caractéristiques suivantes :

Hmt (m) 110.5 107.5 104 99 90 81 70 57.5 Q (l/s) 0 20 40 60 90 110 130 150 η (%) - - 58 66 74 75.5 73 68

η : rendement. On négligera toutes les pertes de charge singulières. Les deux pompes fonctionnent en même temps.

119

185

175

R3

R2

R12 Pompes identiques en parallèle

Conduite 1 et 2DN 350mmL=800mε=0.1mm

Conduite 3DN 450mmL=1295mε=0.1mm



A

A’

B

B’

C

D

E

F

Pompe 1

Pompe 2

B1

B1’


José VAZQUEZ 61

1. Tracer des courbes caractéristiques • Déterminer la charge totale H(B) au point B en fonction du débit Q1 dans

le tronçon 1 et tracer sur un graphique H(B) (m) en fonction de Q1 (l/s). • Que peut-on dire des charges totales H(B’) au point B’ ? • Tracer sur ce même graphique la courbe caractéristique de la pompe 1. • Tracer, toujours sur le même graphique, la charge totale au point B1. • Tracer sur ce graphique la charge totale H(C) au point C. • En partant du point C calculer la charge totale H(D) au point D en

fonction de Q3 dans le tronçon 3. Tracer la courbe sur le graphique. • En partant du point E calculer la charge totale H(D) au point D en

fonction de Q4 dans le tronçon 4. Tracer la courbe sur le graphique. • En partant du point F calculer la charge totale H(D) au point D en

fonction de Q5 dans le tronçon 5. Tracer la courbe sur le graphique. • Tracer la courbe caractéristique des conduites 4 et 5 en parallèles au point

D en fonction de Q3.

2. Point de fonctionnement • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation HMT et Q au point

D. • Déterminer le point de fonctionnement de la pompe 1. (HMT1 et Q1 et η1) • Déterminer le débit dans les conduites 1, 4 et 5.

(Q=192l/s ; 80mCE)


José VAZQUEZ 62


Réservoir d’eau

2

Vanne

N1EN1S

N2EN2S

Tronçon 2

Pompe 1

Clapet

Réservoir d’eau

1

Clapet

Vanne

Pompe 2

Réservoir d’eau

3

Réservoir d’eau

4

Tronçon 1

Tronçon 3

Tronçon 4

Tronçon 5

J

On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon. Caractéristiques du réseau : Tronçon 1 2 3 4 5 Diamètre (mm) 700 500 700 600 700 Longueur (m) 1000 600 800 1500 3230 Rugosité ε (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 28 Réservoir d’eau 2 32 Réservoir d’eau 3 62 Réservoir d’eau 4 58


José VAZQUEZ 63

Caractéristiques des pompes :

HMT (m) 82 73.5 68.5 60 48 37 Pompe 1 Q (l/s) 200 300 400 500 600 630 HMT (m) 68 64.5 59.5 51 46.5 43 35.5 Pompe 2 Q (l/s) 420 500 600 700 750 800 900

Préliminaire

• Calculer g2

V2

pour un débit maximal de 900l/s dans chaque tronçon.

• Comparer les valeurs trouvées par rapport aux valeurs de HMT des pompes. Quelle hypothèse peut-on formuler ?

Courbes de fonctionnement

Entre le réservoir 1 et J • En écrivant Bernouilli entre la surface libre (1) du réservoir d’eau et N1E, déterminer

la charge totale H1E. • En écrivant Bernouilli entre le point N1S et J, déterminer la charge totale H1S en

fonction du débit (Q1) dans les tronçons 1 et 3 et de la charge totale HJ. • En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HJ en fonction de Q1 :

Q1 (l/s) 200 300 400 500 600 630 HJ (m)

• Tracer HJ en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante.

Entre le réservoir 2 et J • En écrivant Bernouilli entre la surface libre (2) du réservoir et N2E, déterminer la

charge totale H2E. • En écrivant Bernouilli entre le point N2S et J, déterminer la charge totale H2S en

fonction du débit dans le tronçon 2 (Q2) et de la charge totale HJ. • En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HJ en fonction de Q2 :

Q2 (l/s) 420 500 600 700 750 800 900 HJ (m)


Entre J et le réservoir 3 • En écrivant Bernouilli entre J et la surface libre (3) du réservoir, déterminer la charge

totale HJ en fonction du débit dans le tronçon 4 (Q4). • Calculer HJ en fonction de Q4 pour les valeurs suivantes :

Q3 (l/s) 0 200 400 600 800 1000 HJ (m)



José VAZQUEZ 64

Entre J et le réservoir 4 • En écrivant Bernouilli entre J et la surface libre (4) du réservoir, déterminer la charge

totale HJ en fonction du débit dans le tronçon 5 (Q5). • Calculer HJ en fonction de Q5 pour les valeurs suivantes :

Q3 (l/s) 0 200 400 600 800 1000 HJ (m)

• Tracer HJ en fonction de Q5 sur le graphique de la page suivante. Points de fonctionnement

• Que peut-on dire de la charge totale au point J (HJ) dans les quatre tronçons ? • Quelle est la relation entre Q1, Q2, Q3 et Q4? • Tracer la courbe HJ en fonction de Q1+ Q2. • Tracer la courbe HJ en fonction de Q3+ Q4. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer les débits de la pompe 1 et 2 ainsi que les pressions piézométriques.

• Expliquer l’intérêt des clapets et vannes en sortie de pompe et à l’amont des

réservoirs. (1325l/s ; 70mCE)


José VAZQUEZ 65


50

60

70

80

90

100

110

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500Débit (l/s)

pres

sion

(mC

E)


José VAZQUEZ 66

3.2.4. Courbes caractéristiques et points de fonctionnement d’une installation

Réservoir d’eau

1 Pompe 1

Vanne

N1E N1S

Conduite 2

Clapet

Réservoir d’eau

Conduite 1

Conduite 3

Réservoir d’eau

3

2

A

Clapet

On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire avec les relations de Lechapt et Calmon. N1E : point d’entrée de la pompe 1, N1S : point de sortie de la pompe 1, La pompe 1 a le même diamètre en entrée et en sortie. Caractéristiques du réseau : Conduite 1 2 3 Diamètre (mm) 400 300 250 Longueur (m) 1200 1800 1400 Rugosité ε (mm) 0.1 0.1 0.1 Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 35 Réservoir d’eau 2 95 Réservoir d’eau 3 83

Caractéristiques de la pompe :

HMT1 (m) 180 173 152 117 68 Pompe 1 Q (l/s) 0 100 200 300 400


José VAZQUEZ 67

Etude du réseau [Réservoir 1+2 +3 + Pompe 1] Entre le réservoir 1 et A

• En écrivant Bernouilli entre la surface libre (1) du réservoir d’eau et N1E, déterminer la charge totale H1E.

• En écrivant Bernouilli entre le point N1S et A, déterminer la charge totale H1S en fonction du débit (Q1), de la vitesse (V1) dans la conduite 1 et de la charge totale HA.

• En utilisant la courbe caractéristique de la pompe HMT1, calculer HA en fonction de Q1 : Q1 (l/s) 0 100 200 300 400 HA (m)

• Tracer HA en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. Entre A et le réservoir 2

• En écrivant Bernouilli entre A et la surface libre (2) du réservoir, déterminer la charge totale HA en fonction du débit dans la conduite 2 (Q2).

• Calculer HA en fonction de Q2 pour les valeurs suivantes : Q2 (l/s) 0 100 200 300 HA (m)

• Tracer HA en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante. Entre A et le réservoir 3


• Calculer HA en fonction de Q3 pour les valeurs suivantes : Q3 (l/s) 0 100 200 300 HA (m)

• Tracer HA en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante.

Point de fonctionnement • Tracer la courbe de fonctionnement du réseau [Conduite2/Réservoir2] +

[Conduite3/Réservoir3]. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer le débit dans les conduites 2 et 3 ainsi que la HMT1 de la pompe. (Q1=322l/s ; Q2=177l/s ; Q3=146l/s)

Etude du réseau [Réservoir 1+2 +3+4 + Pompe 1] On relie une deuxième commune au réseau précédent. On néglige les pertes de charges singulières. Caractéristiques de la nouvelle conduite : Conduite 4 Diamètre (mm) 350 Longueur (m) 900 Rugosité ε (mm) 0.1 Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 4 55


José VAZQUEZ 68

Réservoir d’eau

1

Pompe 1

Réservoir d’eau

4

Vanne

N1E N1S

Conduite 2

Clapet

Réservoir d’eau

Conduite 1 Conduite 4

Conduite 3

Réservoir d’eau

3

2

A

Clapet

Entre A et le réservoir 4


• Calculer HA en fonction de Q4 pour les valeurs suivantes : Q4 (l/s) 0 100 200 300 400 HA (m)



[Conduite3/Réservoir3] +[Conduite4/Réservoir4] . • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer le débit dans les conduites 2, 3 et 4 ainsi que la HMT1 de la pompe.

(Q1=392l/s ; Q2=0 ; Q3=22l/s ; Q4=370l/s)


José VAZQUEZ 69

Etude du réseau [Réservoir 1+2 +3+4 + Pompe 1 + PdC Vanne] Afin de palier à l’inconvénient précédent, on crée une perte de charge singulière importante avec la vanne disponible juste à l’amont du réservoir 4. Cette perte de charge vaut :

2

Vanne4VPdC 300.2g

=

Réservoir d’eau

1

Pompe 1

Réservoir d’eau

4

Vanne

N1E N1S

Conduite 2

Clapet

Vanne

Réservoir d’eau

Conduite 1 Conduite 4

Conduite 3

Réservoir d’eau

3

2

A

Clapet

Entre A et le réservoir 4 • En écrivant Bernouilli entre A et la surface libre (4) du réservoir, déterminer la

charge totale HA en fonction du débit dans la conduite 4 (Q4). • Calculer HA en fonction de Q4 pour les valeurs suivantes :

Q4 (l/s) 0 100 200 300 HA (m)



[Conduite3/Réservoir3] +[Conduite4/Réservoir4/Vanne4] . • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer le débit dans les conduites 2, 3 et 4 ainsi que la HMT1 de la pompe.

(Q1=360/s ; Q2=93l/s ; Q3=103/s ; Q4=162/s)


José VAZQUEZ 70


0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450Débit (l/s)

Cha

rge

H (m

CE)


José VAZQUEZ 71


Réservoir d’eau

1Pompe 1

Réservoir d’eau

3

Vanne

N2EN2S

N1EN1S

Tronçon 2

Pompe 2

Clapet

Vanne

Réservoir d’eau

Tronçon 1 Tronçon 3

Tronçon 4

Réservoir d’eau

4

2

A

Clapet

B

On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon.

N1E : point d’entrée de la pompe 1, N1S : point de sortie de la pompe 1, N2E : point d’entrée de la pompe 2, N2S : point de sortie de la pompe 2. La pompe 1 a le même diamètre en entrée et en sortie. La pompe 2 a le même diamètre en entrée et en sortie. Caractéristiques du réseau : Tronçon 1 2 3 4 Diamètre (mm) 700 500 500 600 Longueur (m) 1800 1500 600 2500 Rugosité ε (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 30 Réservoir d’eau 2 90 Réservoir d’eau 3 32 Réservoir d’eau 4 86


José VAZQUEZ 72

Caractéristiques des pompes : HMT1 (m) 82 81 78 73 66 57 Pompe 1 Q (l/s) 0 100 200 300 400 500 HMT2 (m) 90 88 82 72 58 40 Pompe 2 Q (l/s) 0 100 200 300 400 500

Etude du réseau [Réservoir 1 / Pompe 1 / Réservoir 2] Entre le réservoir 1 et A

• En écrivant Bernouilli entre la surface libre (1) du réservoir d’eau et N1E, déterminer la pression piézométrique P*1E.

• En écrivant Bernouilli entre le point N1S et A, déterminer la pression piézométrique P*1S en fonction du débit (Q1), de la vitesse (V1) dans le tronçon 1 et de la charge totale HA.

• En utilisant la courbe caractéristique de la pompe HMT1, calculer HA en fonction de Q1 : Q1 (l/s) 0 100 200 300 400 500 HA (m)

• Tracer HA en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. 3.2.6. Entre A et le réservoir 2

• En écrivant Bernouilli entre A et la surface libre (2) du réservoir, déterminer la charge totale HA en fonction du débit dans le tronçon 2 (Q2).

• Calculer HA en fonction de Q2 pour les valeurs suivantes : Q2 (l/s) 0 100 200 300 400 500 HA (m)

• Tracer HA en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante. Point de fonctionnement

• Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. Etude du réseau [Réservoir 3 / Pompe 2 / Réservoir 4] Entre le réservoir 3 et B

• En écrivant Bernouilli entre la surface libre (3) du réservoir d’eau et N2E, déterminer la pression piézométrique P*2E.

• En écrivant Bernouilli entre le point N2S et B, déterminer la pression piézométrique P*2S en fonction du débit (Q3) dans le tronçon 3 et de la charge totale HB.

• En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HB en fonction de Q3 : Q3 (l/s) 0 100 200 300 400 500 HB (m)

• Tracer HB en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante. Entre B et le réservoir 4

• En écrivant Bernouilli entre B et la surface libre (4) du réservoir, déterminer la charge totale HB en fonction du débit dans le tronçon 4 (Q4).

• Calculer HB en fonction de Q4 pour les valeurs suivantes : Q4 (l/s) 0 100 200 300 400 500 HB (m)

• Tracer HB en fonction de Q4 sur le graphique de la page suivante. 3.2.7. Point de fonctionnement

• Déterminer le point de fonctionnement de l’installation.


José VAZQUEZ 73

Etude du réseau [Réservoir 1/2 /3 /4 / Pompe 1 / Pompe 2] Dans notre installation, on relie les points A et B par une conduite. Cette conduite n’engendre aucune perte de charge supplémentaire.

Réservoir d’eau

1Pompe 1

Réservoir d’eau

3

Vanne

N2EN2S

N1EN1S

Tronçon 2

Pompe 2

Clapet

Vanne

Réservoir d’eau

Tronçon 1 Tronçon 3

Tronçon 4

Réservoir d’eau

4

2

A’

Clapet

B’

A’’

B’’

C

Points de fonctionnement

• Que peut-on dire de la charge totale aux points A’, A’’, B’, B’’ et C ? • Quelle est la relation entre Q1, Q2, Q3 et Q4? • Tracer la courbe HC en fonction de Q1+ Q3. • Tracer la courbe HC en fonction de Q2+ Q4. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer les débits de la pompe 1 et 2 ainsi que les pressions piézométriques. • Comparez ces résultats avec ceux obtenus précédemment ?

Tronçons 1 2 3 4 Débit(l/s) Réseau connecté

Débit (l/s) Réseau non connecté

• Quel peut-être l’intérêt de relier les deux réseaux ? • Que doit-on rajouter au réseau pour que l’on puisse faire fonctionner la pompe 1

indépendamment de la pompe 2 ?


José VAZQUEZ 74


80.0

90.0

100.0

110.0

120.0

130.0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900Débit (l/s)

Pres

sion

(mC

E)


José VAZQUEZ 75

3.2.8. Equilibre de trois réservoirs

Réservoir d’eau

1

Vanne

Canalisation 3

Réservoir d’eau

Canalisation 1

Canalisation 2

Réservoir d’eau

2

3

I

On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon.

Caractéristiques du réseau : Canalisation 1 2 3 Diamètre (mm) 250 200 300 Longueur (m) 1800 2000 2600 Rugosité ε (mm) 0.1 0.1 0.1 Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 30 Réservoir d’eau 2 35 Réservoir d’eau 3 50 On place une vanne sur la canalisation 3. Le sens d’écoulement de chaque canalisation est fixé sur le graphique précédent.


José VAZQUEZ 76

Vanne en fonctionnement

La vanne sur la canalisation 3 produit une perte de charge de 2V6000

2g.

Charge en I en fonction du réservoir 1 • En écrivant Bernoulli entre I et le réservoir 1, déterminer la charge totale HI en

fonction du débit (Q1). • Calculer HI en fonction de Q1 :

Q1 (l/s) 0 20 40 60 80 HI(Q1) (m)

• Tracer HI en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante.

Charge en I en fonction du réservoir 2 • En écrivant Bernoulli entre le réservoir 2 et I, déterminer la charge totale HI en


Q2 (l/s) 0 5 10 20 30 HI(Q2) (m)




Q3 (l/s) 0 2.5 5 10 15 20 HI(Q3) (m)


Points de fonctionnement • Que peut-on dire des charges totales en I : HI(Q1), HI(Q2) et HI(Q3) ? • Quelle est la relation entre Q1, Q2et Q3? • Tracer la courbe HI en fonction de Q2+ Q3. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer les débits Q1, Q2et Q3.


José VAZQUEZ 77

Vanne entièrement ouverte La vanne sur la canalisation 3 ne produit plus de perte de charge. Charge en I en fonction du réservoir 2

On suppose maintenant que l’écoulement à lieu en sens contraire dans la canalisation 2. • En écrivant Bernoulli entre I et le réservoir 2, déterminer la charge totale HI en


Q2 (l/s) 0 -10 -20 -30 -40 HI(Q2) (m)




Q3 (l/s) 0 20 40 60 80 HI(Q3) (m)


Points de fonctionnement • Tracer la courbe HI en fonction de Q2+ Q3. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer les débits Q1, Q2 et Q3.


José VAZQUEZ 78

Evolution de la charge au point I

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

55.0

60.0

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80Débit (l/s)

Cha

rge

(mC

E)

Mastère Eau potable et assainissement

José VAZQUEZ 79

3.2.9. Courbes caractéristiques et points de fonctionnement d’une installation

Réservoir d’eau

2

Pompe 2

Réservoir d’eau

1

Canalisation 3

Pompe 1

Réservoir d’eau

Canalisation 2.2 Canalisation 1

Canalisation 4

Réservoir d’eau

4

3

A

Canalisation 2.1

Clapet

Clapet

Source

Demande

Rivière

Forage

L’objectif de cette étude est d’alimenter le réservoir 4 à partir de trois ressources en eau : une source, une rivière et un forage. Quels que soient les débits de la demande et des ressources, les niveaux dans les réservoirs seront supposés constants. On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon. Caractéristiques du réseau : Canalisation 1 2.1 2.2 3 4 Diamètre (mm) 400 250 250 300 400 Longueur (m) 5000 5000 5000 5000 5000 Rugosité ε (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 100m Réservoir d’eau 2 250m Réservoir d’eau 3 340m Réservoir d’eau 4 320m

Caractéristiques des pompes :

HMT1 (m) 336 306 271 232 188 Pompe 1 Q1 (l/s) 120 140 160 180 200 HMT2 (m) 225 210 195 178 159 Pompe 2 Q2 (l/s) 60 70 80 90 100


José VAZQUEZ 80

Courbes caractéristiques en A des différentes parties du réseau 3.2.10. Charge en A provenant de R1 + Pompe 1 + cana 1

• En écrivant Bernoulli et en utilisant la courbe caractéristique de la pompe HMT1, calculer HA en fonction de Q1 :

Q1 (l/s) 120 140 160 180 200 HA (m)

• Tracer HA en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. 3.2.11. Charge en A provenant de R2 + Pompe 2 + cana 2.1 et 2.2

• En écrivant Bernoulli et en utilisant la courbe caractéristique de la pompe HMT2, calculer HA en fonction de Q2 :

Q2 (l/s) 60 70 80 90 100 HA (m)

• Tracer HA en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante. 3.2.12. Charge en A provenant de R3 + cana 3

• En écrivant Bernoulli, calculer HA en fonction de Q3 : Q3 (l/s) -50 -30 0 30 50 70 100 HA (m)

• Tracer HA en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante. 3.2.13. Charge en A provenant de R4 + cana 4

• En écrivant Bernoulli, calculer HA en fonction de Q4 : Q4 (l/s) 0 50 100 150 200 250 HA (m)


Etude du point de fonctionnement du réseau en fonction des saisons Fonctionnement en hiver

Les pompes 1 et 2 sont à l’arrêt. • Déterminer le débit d’alimentation du réservoir 4.

Fonctionnement au printemps et en automne La pompe 1 est à l’arrêt. La pompe 2 est en marche.

• Déterminer le débit d’alimentation du réservoir 4, le débit dans la canalisation 3 et le débit de la pompe 2.

Fonctionnement en été sans clapet sur R3 Les pompes 1 et 2 sont en marche. L’eau peut s’écouler dans les deux sens dans la canalisation 3. • Déterminer le débit d’alimentation du réservoir 4, le débit dans la canalisation 3

et les débits dans les pompes 1 et 2. Fonctionnement en été avec clapet sur R3

Les pompes 1 et 2 sont en marche. Dans la canalisation 3, l’eau ne peut pas s’écouler dans le sens A vers R3. • Déterminer le débit d’alimentation du réservoir 4 et les débits dans les pompes 1

et 2.


José VAZQUEZ 81

Points de fonctionnement de l'installation

250

270

290

310

330

350

370

390

410

430

450

-50 0 50 100 150 200 250

Q (l/s)

H(m

CE)

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