TD de gravimétrie L2STE - corrigés

1.1 Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène

Eratosthene avait un outil qui mesurait les angles et les proprietes geometriques entre les angles etaient connus a cette epoque. Sachant que ombre/obelisque=7.2°=360/50 (on obtient 50), Eratosthene deduit que ce rapport etait identique a D

AS/R (AS=Distance Alexandrie – Syène).

AS = 50 jours * 100 * 157.5m = 787.5 km

Le perimetre vaut donc

1.2 Force de gravitation exercée par une planète sur un satellite

1.2.b: Etablissement de la loi de Kepler

1.2.c : Calcul de la masse de la Terre à partir de l'orbite de la lune

1.2 d Altitude d'un satellite géostationnaire

1/3

R=4.175 e+7 m ~ 41 750 km

(en tenant compte des valeurs plus exactes de M et T, c'est ~ 35784 km)

1.3 Chute libre et mesure de la gravité par Galilée

Champ gravité d'une Terre sphérique

2.1 direction du champ de gravité crée par une planète

Si on néglige l'effet de la rotation de la Terre, le champ de gravité ne dépend que de r.

Si on prend en compte la rotation, g dépend également de la latitude (variation de 3%, cf Cours).

2.2 Champ de gravité au sein de la Terre (on suppose la densité homogène)

2.2 Champ de gravité à l'exterieur de la Terre (on suppose la densité homogène)

2.3 A quelle altitude faut-il s'élever pour que g diminue de 1%

2.3 A quelle altitude faut-il s'élever pour que g vale 1% de l'acceleration au sol ?

On definit r1= R+h, donc g

1=GM/r

1²

Et on cherche h tel que g1< GM/R²/100

Donc r1² > (10R)²

Donc h > 9R

2.3 Calcul détaillé

2.3 bis : Que vaut g à 10 km de profondeur ?

2.4 : Calcul de la pression au sein de la Terre

En réalité, la pression atteint 360 GPa au centre de la Terre (r n'est pas homogene).

3 La forme de la Terre : montrez que le gradient est perpendiculaire aux isovaleurs

3.1 expression du potentiel crée par une masse m

3.3 accélération en fonction de V

B : une meme équipotentielle est plus proche de M1 que de M2 => grad(V) plus important au voisinage de M1 : la gravité y est plus forte

=> M1 > M2

4 Effets de l’altitude et de la topographie

Attention, dans cet exercice on demande des variations de pesanteur Dg, ce qui est l'opposé de la correction à effectuer pour niveler ces variations.

- Dg1 sur la plaine, loin de la falaise, au sommet d’une tour de hauteur h.Dg1 est plus faible que Dg0 ici car plus loin du centre de la terre.Dg1=Dg0 – 0.3086h

- Dg2 sur le plateau, loin de la falaise.Ici il y a en plus l'attraction du plateau qui est positive (masse en

plus)Dg2=Dg0 – 0.3086h + 0.0419*d*h

- Dg3 sur le plateau, loin de la falaise, au fond d’un puits de profondeur h.Il faut retrancher 2 fois la correction de plateau. D'une part, parce

qu'elle n'agit pas en Dg0 (pas de plateau) et d'autre part, parce qu'elle agit dans le sens opposé (attraction vers le haut, vu que le plateau est au-dessus).

Dg3=Dg0 – 2*0.0419*d*h

- Dg4 au pied de la falaise (calculer l’anomalie créée par un demi-plateau).Dg4=DDg0 – 0.0419*d*h

- Dg5 au sommet de la falaise.Dg5=Dg0 - 0.3086h + 0.0419*d*h/2

5. Isostasie

5.1 Relation entre epaisseur de racine (B) et topographie (h) en equilibre isostatique:

B = rc .h /(r

m-r

c )

Poids de la colonne de reference: P1= r

c*H

c + r

m*H

m

Hc=30km , H

m arbitraire.

5.2 Isostasie, relief dû à une nappe

5.2 Poids de la colonne P2= r

e*H

e + r

c*H

c + r

m*(H

m -H

e+h

e), H

e=10km.

P1=P

2 => h

e = (r

m-r

e )*H

e /r

m

5.3 Isostasie, anomalies associées

Anomalie Air libre nulle

Anomalie isostatique (Bouguer) négative, corrélée avec l'enfoncement de la racine crustale….

6. épave dans l'océan

Comme L >> R, on peut supposer l'épave infiniment longue .

Pour tout X on constate que du fait de la symétrie, les contibutions de la perturbation de g s'annulent sauf la

composante radiale

6.2.a : Anomalie gravimétrique en M

6.2.b : Rayon minimum de l'épave tel qu'on peut la détecter

6.3 : anomalie radiale en fonction de X : déjà vu...

6.4 : anomalie gravimétrique verticale

6.4 Résultat

7. Profondeur du plancher oceanique

ELEMENTS DE COURS

Les anomalies de gravité

La gravité dépend de divers facteurs : Altitude, latitude, topographie en surface, structures profondes

=> On souhaiterait isoler ces différents facteurs.

=> On introduit différentes corrections

Correction d'altitude (Faye) = correction à l'air libre

Quantifie la variation de g due à l'altitude ie la distance du point de mesure du géoide.

Sur l'ellipsoide on a :

A une altitude h :

Avec un dévelopement limité:

Référence= géoïde

h

M

Correction plateau On quantifie la variation de g due à la matière

se trouvant entre l'ellipsoide et le point de mesure.

On suppose une densité de 2.67

La matière entre l'ellipsoide contribue à la gravité de la façon suivante :

Référence= géoïde

d

M

Cette correction tient compte de la densité,d,du matériel présent entre la surface deréférence et le point de mesure..

p

Correction topographique

Plutot que de supposer qu'entre le point de mesure et l'ellipsoide il y'a de la matière partout, on tient compte de la topographie réelle.

Cette correction peut etre importante dans les zones à relief contrasté (montagnes).

Loin de la montagne

go

∆g

gmgo

gmont

Correction Bouger

Il s'agit de la somme des corrections d'altitude, de plateau et de topographie.

Anomalie Bouguer et à l'air libre

Anomalie à l'air libre : dépend de la masse sous le point de mesure, pas de son altitude.

Anomalie Bouguer : information sur ce qu'il y'a en profondeur.

Anomalie sous une dorsale océanique

Anomalie à l'air libre faible : 80 mgal

Elle suit la topographie

Que doit valoir l'anomalie à l'air libre et l'anomalie de bouguer dans ces deux cas?

Si le relief est compensé en profondeur (équilibre isostasique) l'anomalie air libre est ~ 0 au milieu

Quelle est l'anomalie de Bouguer dans ce cas là ?

Rappel de physique

Rappel de physique : propriété de l'espace-temps

L'espace est homogène : les lois de la physique sont pareil en tous points.

L'espace est isotrope : les lois de la physique ne dépendent pas de l'orientation

Les lois de la physique sont invariantes au cours du temps

Un référentiel dans lequel l'espace temps respecte ces 3 propriétés est dit 'galiléen'.

Tous les référentiels galiliéens sont mouvement de translation uniforme les un par rapport aux autres (i.e pas d'accélération)

Lois de conservation (valable pour un système isolé)

Espace homogène => conservation de la quantité de mouvement

Espace isotrope => conservation du moment cinétique

Conservation de l'énergie

Conservation quantité de mouvement et principe d'inertie

Un système isolé cad n'intéragissant pas avec d'autres objets a une quantité de mouvement

=> Si aucune force ne s'exerce sur un objet, il se déplace en mouvement rectiligne uniforme.

Conservation quantité de mouvement et loi de Newton

La quantité de mouvement d'un objet ne peut varier que si il en échange avec un autre objet.

Les 'échanges' de quantité de mouvement se font par l'intermédiaire des forces :

Remarque sur la conservation de la quantité de mouvement

Remarque sur la loi de Newton

Deux cas particuliers :

F est dans la meme direction que V : le solide ne change pas de trajectoire, et sa vitesse augmente : la force augmente l'energie cinétique de l'objet

F est perpendiculaire à V : la norme de V en m/s reste constante. Mais l'orientation de V change : la force dévie l'objet sans modifier son énergie cinétique

Conséquence : pour qu'une planète gravite autour d'un astre, la force de gravité s'exerce perpendiculairement à la trajectoire

i.e : la force est perpendiculaire à la vitesse

Deux formulations de la loi de Newton

1) variation de la quantité de mouvement d'un objet est proportionnelle aux forces s'exerçant sur lui

2) En chaque point de l'espace la quantité de mouvement qu'un objet peut échanger avec l'exterieur = champ de force en ce point

Notion de champ en physique

Définition. Lorsque dans une région de l’espace, on attache à chaque point une

grandeur scalaire ou vectorielle, on definit un champ.

On peut définir des champs de température, gravité, électrique, vitesse d'un fluide ....

Comment décrire un champ ?

Deux notions permettent de décrire intégralement la structure et les propriétés d'un champ :

Petite échelle : la divergence et le rotationnel

Grande échelle : flux et la circulation du champ

Pour la gravité :

Théorème de Gauss en mécanique de fluide

nnV

V

Théorème de Gauss en mécanique de fluide autour d'une source

Théorème de Gauss en mécanique de fluide autour d'une source

Théorème de Gauss en mécanique de fluide autour d'un puit

Théorème de Gauss en mécanique de fluide autour d'un puit

Sens physique du théorème de Gauss

Le flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée est un scalaire: Positif si il y'a une source Negatif si il y'a un puit Nul si il y'a ni source ni puit

Application à la physique

La divergence d'un champ de vecteur représente le flux autour d'une surface fermée infinitésimal

Application à la physique 2

La divergence ou le flux de B sont nul, car le champ magnétique n'est pas créer par une particule matériel, mais par le mouvement d'une charge

Qu'est ce que dS ?

dS est la surface balayée lorsqu'on fait varier les axes d'une quantité infinitésimale

Coordonnée cartésienne : dS = dxdy =surface du carré obtenu lorsqu'on fait varier x de dxet y de dy

dS en coordonnée sphérique

Aire d'un disque

dS en coordonnée sphérique

Surface d'une sphère

Lecture quasi obligatoire

Cours physique feynmann : mécanique + electromagnétisme tome 1, chap 1 à 5

Cours de Physique de Landau : tome 1, chapitre 1