Tc2 Consolidado Grupo 6

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Metodos numericos trabajo colaborativo_2

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  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

    ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA MTODOS NUMRICOS

    MTODOS NUMRICOS

    100401-6

    TRABAJO ACTIVIDAD NO2

    TRABAJO PRESENTADO:

    TUTOR

    JOSE ADEL BARRERA

    UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD

    ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

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    OCTUBRE DE 2014

    CONTENIDO

    Pgina

    INTRODUCCIN ..................................................................................................................

    1. OBJETIVOS ........................................................................................................................

    1.1 Objetivo General ...............................................................................................................

    1.2 Objetivos Especficos ........................................................................................................

    2. Desarrollo de la Actividad ..................................................................................................

    CONCLUSIONES ...................................................................................................................

    BIBLIOGRAFA .....................................................................................................................

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    INTRODUCCIN

    El presente trabajo se realiza como parte de la profundizacin del estudio de la unidad didctica

    nmero dos, trata de conceptos bsicos, exactitud y races de ecuaciones.

    Los mtodos numricos son para la solucin de problemas de diferenciacin e integracin numrica,

    con el lenguaje de programacin, de all la importancia de los mtodos numricos en la Ingeniera y la

    ciencia. Los mtodos numricos son herramientas muy poderosas para la solucin de problemas.

    Donde se pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometras complicadas,

    comunes en la ingeniera.

    Al momento de aplicar las Matemticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con

    problemas que no pueden ser resueltos analticamente o de manera exacta y cuya solucin debe ser

    abordada con ayuda de algn procedimiento numrico. A continuacin consideramos algunos

    problemas tpicos, ya formulados matemticamente, para los cuales estudiaremos tcnicas numricas

    de solucin.

    Aplicamos a la solucin de ecuaciones no lineales, los mtodos de biseccin, punto fijo y Newton

    Raphson y para las ecuaciones lineales los mtodos de Gauss Jordan.

    La resolucin de sistemas de ecuaciones lineales aparece como una parte importante en cualquier

    campo de la ciencia y de la ingeniera, como por ejemplo, la resolucin de balances de materia en un

    sistema. La resolucin de un sistema de ecuaciones lineales aparece tambin como un subproblema de

    un problema ms complicado de anlisis numrico, tal como ocurre cuando se resuelve iterativamente

    un sistema de ecuaciones no lineales por el mtodo Newton-Raphson, donde en cada etapa de un

    proceso iterativo se requiere la resolucin de un sistema de ecuaciones lineales, o en procesos de

    optimizacin tanto lineales como no lineales.

    Con frecuencia los sistemas de ecuaciones presentan una estructura muy especial que puede ser objeto

    de tratamiento particular. Por ejemplo los problemas de interpolacin polinmica, entre otros.

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    1. OBJETIVOS

    1.1 Objetivo General:

    Adquirir conocimientos claros, y analizar exhaustivamente las unidades del mdulo, sus

    captulos y respectivas lecciones, para reforzar la comprensin de las matemticas profundizar

    en los temas y aumentar nuestra capacidad de comprensin y entendimiento en el crdito.

    1.1 Objetivos Especficos:

    Visualizar la estructura de la unidad_2 crdito acadmico (Mtodos numricos) Conocer conceptos y sus terminologas del mdulo de Mtodos numricos

    Realizar un cuadro comparativo que permita al estudiante tener una visin clara de los temas de

    Sistema lineal y no lineal

    errores mtodos numricos y diagramas de flujos para cada uno de su mtodo de solucin.

    Tcnicas numricas para la solucin de un problemas de ecuaciones

    Distinguir las aplicaciones de los sistemas de ecuacin en la Ingeniera

    Evaluar las diferentes tcnicas numricas para la solucin de sistemas de ecuaciones

    La informacin contenida en el mdulo de mtodos numricos, tiene como fin convertirlo en

    conocimiento, para ser aplicado en el desarrollo de nuestra carrera profesional.

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    FASE 1_ IDENTIFICAR LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE LOS NO

    LINEALES.

    Realizar un cuatro comparativo entre los sistemas lineales y los sistemas no lineales.

    CUADRO COMPARATIVO

    SISTEMA LINEAL NO LINEAL

    DEFINICIN

    Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o ms variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables. Es decir es una ecuacin que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.

    las ecuaciones simultneas son lineales, es decir, que se puedan

    expresar en la forma general.

    ( )

    Donde la b y las a son constantes

    Cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitucin y por combinacin lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadrticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas tcnicas. A las ecuaciones algebraicas y trascendentes que no se pueden expresar de esta forma se les llama ecuaciones no lineales. Por ejemplo,

    TIPOS DE

    ECUACIONES

    Cada ecuacin toma su forma basado del grado ms alto o el exponente de la variable. Por ejemplo, en el caso donde y = x - 6x + 2 el grado de 3 da esta ecuacin le da el nombre "cbica". Cualquier ecuacin que tiene un grado no superior a 1 recibe el nombre "lineal".

    De lo contrario, llamaremos ecuacin "no lineal" a las ecuaciones cuadrticas, sinusoidales o cualquier otro tipo

    En general, "x" es considerada En contraste, en una

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    RELACIONES DE ENTRADA Y

    SALIDA

    como la entrada de una ecuacin e "y" es considerada como la salida. En el caso de una ecuacin lineal, cualquier aumento en la "x" o bien provoca un aumento o una disminucin en "y" dependiendo del valor de la pendiente

    ecuacin no lineal, "x" puede no siempre causar el incremento de "y". Por ejemplo, si y = (5 - x) , "y" disminuye en valor cuando "x" se aproxima a 5, pero disminuye en caso contrario.

    DIFERENCIAS EN EL GRFICO

    Un grfico muestra el conjunto de soluciones para una ecuacin dada. En el caso de ecuaciones lineales, el grfico siempre ser una lnea

    . Por el contrario, una ecuacin no lineal puede parecerse a una parbola si es de grado 2, una forma de x curvada si es de grado 3, o cualquier otro tipo de curva. Mientras que las ecuaciones lineales son siempre rectas, las ecuaciones no lineales a menudo presentan curvas.

    EXCEPCIONES

    Con excepcin del caso de las lneas verticales (x = una constante) y de las lneas horizontales (y = una constante), existirn ecuaciones lineales para todos los valores de "x" e "y"

    Las ecuaciones no lineales, por otro lado, no puede tener soluciones para ciertos valores de "x" o "y". Por ejemplo, si y = sqrt (x), entonces "x" slo existe entre 0 e infinito y tambin "y", ya que la raz cuadrada de un nmero negativo no existe en el sistema de nmeros reales y no hay races cuadradas que den como resultado un nmero negativo

    Las relaciones lineales se pueden Sin embargo, si se analiza la

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    BENEFICIOS

    explicar mejor mediante ecuaciones lineales, donde el aumento en una variable causa directamente el aumento o disminucin de la otra. Por ejemplo, el nmero de galletas que comes en un da podra tener un impacto directo en tu peso como se ilustra mediante una ecuacin lineal.

    distribucin de clulas en mitosis, una ecuacin exponencial no lineal encajara mejor con los datos.

    SOLUCIN

    Tiene solucin nica

    Tiene varias soluciones: Solucin nica Nmero finito de soluciones Nmero infinito de soluciones No tiene solucin

    MTODOS DE SOLUCIN

    Mtodos Directos

    Mtodo de Gauss(por reduccin)

    Mtodo de Cramer(por determinantes)

    Por inversin de la matriz Mtodo de Gauss-Jordan(por

    eliminacin) Por sustitucin

    Mtodos Iterativos

    Mtodo de Jacobi Mtodo de Gauss-Seidel

    Mtodo de la Biseccin Mtodo de punto fij Mtodo de Newton Mtodo de la secante Mtodo de

    aproximaciones sucesivas Mtodo de la regla falsa Mtodo de Interpolacin

    Inversa

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    FASE_2. ANALIZARLAS TCNICAS NUMRICAS PARA LA SOLUCIN DE

    PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES.

    Estas se tratan de:

    Para el estudio podemos Analizarlas tcnicas Numricas para La solucin de Problemas de sistemas de Ecuaciones de la siguiente manera:

    Solucin de

    problemas de

    sistemas de

    ecuaciones

    Mtodo de

    Eliminacin de

    Gauss Mtodo de

    Gauss-Jordn

    Mtodo de

    Gauss-Seidel

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    Contiene

    Se elimina

    Concepto

    Incgnitas

    Mediante

    Combinacin de las

    ecuaciones

    Eliminacin de

    Gaussiana

    Eliminacin

    Proceso

    Utiliza

    Combinacin de las

    ecuaciones Desventaja del mtodo

    de eliminacin

    Consta

    Divisin entre cero

    Estrategia de

    pivoteo

    Este problema

    Errores de redondeo

    Sistemas mal

    condicionados

    Cambios pequeos

    en los coeficientes

    Cambios grandes en

    la solucin

    Se ha desarrollado

    Para evitar

    Al manejar

    Fracciones en el

    computador

    Transforman

    Aquellos

    Provocan

    MTODO DE

    ELIMINACIN DE GAUSS

    Decimales que

    nunca terminan

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    MTODO DE ELIMINACIN DE GAUSS

    El primer mtodo que se presenta usualmente en lgebra, para la solucin de ecuaciones algebraicas lineales simultneas, es aquel en el que se eliminan las incgnitas mediante la

    combinacin de las ecuaciones. Este mtodo se conoce como Mtodo de Eliminacin. Se

    denomina eliminacin Gaussiana si en el proceso de eliminacin se utiliza el esquema particular

    atribuido a Gauss.

    El mtodo de eliminacin Gaussiana para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales consiste en convertir a travs de operaciones bsicas llamadas operaciones de rengln un

    sistema en otro equivalente ms sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa.

    El mtodo de eliminacin Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 22, 33, 44 y as sucesivamente siempre y cuando se respete la relacin de al menos una ecuacin por cada

    variable.

    Antes de ilustrar el mtodo con un ejemplo, es necesario primeramente conocer las operaciones bsicas de rengln las cuales son presentas a continuacin:

    Ambos miembros de una ecuacin pueden multiplicarse por una constante diferente de cero. Los mltiplos diferentes de cero de una ecuacin pueden sumarse a otra ecuacin El orden de las ecuaciones es intercambiable.

    Ejemplo:

    1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

    x + 2y + 3z = 1

    4x + 5y + 6z= 2 7x + 8y + 10z = 5

    Donde cada ecuacin representa un rengln y las variables iguales de las 3 ecuaciones representan las

    columnas 1, 2 y 3 respectivamente.

    Usando el mtodo de eliminacin Gaussiana.

    Solucin:

    Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen exclusivamente los coeficientes

    de cada una, el signo de igual tambin es eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la

    ecuacin.

    Quedando como siguiente:

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    Diagonal principal

    La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1) la parte inferior a la

    diagonal debe quedar en ceros. Esto se hace utilizando las operaciones bsicas de rengln para las

    ecuaciones, de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.

    Multiplico la ecuacin 1 por 4 y la resto de la ecuacin 2, de igual forma la multiplico por 7 y la resto de la 3 obteniendo.

    Despus divido la ecuacin 2 (rengln 2) entre 3 para hacer el componente de la diagonal principal 1 quedando como sigue:

    Multiplico la ecuacin 2 (rengln 2) por 6 y lo sumo a la ecuacin 3 (rengln 3).

    Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo de la diagonal

    principal ceros reintegro las variables en cada ecuacin y tambin el signo igual de las ecuaciones

    obteniendo:

    Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuacin resultante 2, tendramos

    y + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que:

    y + 2(10) = 2

    y + 20 = 2

    y = 2- 20

    y = 18

    Al sustituir estos valores en la ecuacin resultante 1 se tiene:

    1x + 2y + 3z = 1

    Si z= 10 y y=18, entonces el valor de x ser: 1x + 2y + 3z = 1

    x + 2(18) + 3(10)= 1 x 36 + 30 = 1 x 6 = 1 x = 1 + 6

    x = 7

    La solucin del sistema de ecuaciones sera x= 7, y= 18, y z= 10. El sistema de eliminacin gaussiana es el mismo no importando si es un sistema de ecuaciones lineales

    del tipo 22, 33, 44 etc. siempre y cuando se respete la relacin de al menos tener el mismo nmero

    de ecuaciones que de variables.

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    DESVENTAJAS DEL MTODO DE ELIMINACIN

    Divisin entre cero

    La razn principal por la que se le ha llamado simple al mtodo anterior se debe a que durante las fases de eliminacin y sustitucin hacia atrs es posible que ocurra una divisin entre cero.

    Por ejemplo, si se utiliza el mtodo de eliminacin de Gauss simple para resolver.

    En la normalizacin del primer rengln habr una divisin entre a11 = 0. Tambin se pueden presentar

    problemas cuando un coeficiente est muy cercano a cero. La tcnica de pivoteo se ha desarrollado para

    evitar en forma parcial estos problemas

    Errores de redondeo

    El problema de los errores de redondeo llega a volverse particularmente importante cuando se trata de resolver un gran nmero de ecuaciones. Esto se debe al hecho de que cada resultado

    depende del anterior. Por consiguiente, un error en los primeros pasos tiende a propagarse, es

    decir, a causar errores en los siguientes pasos.

    Resulta complicado especificar el tamao de los sistemas donde los errores de redondeo son significativos, ya que depende del tipo de computadora y de las propiedades de las ecuaciones.

    Una regla generalizada consiste en suponer que los errores de redondeo son de importancia

    cuando se trata de sistemas de 100 o ms ecuaciones. En cualquier caso, siempre se deben

    sustituir los resultados en las ecuaciones originales y verificar si ha ocurrido un error sustancial

    Sistemas mal condicionados

    Los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un pequeo cambio en uno o ms coeficientes provoca un cambio similarmente pequeo en la solucin. Los sistemas mal

    condicionados son aquellos en donde pequeos cambios en los coeficientes generan grandes

    cambios en la solucin. Otra interpretacin del mal condicionamiento es que un amplio rango

    de resultados puede satisfacer las ecuaciones en forma aproximada. Debido a que los errores de

    redondeo llegan a provocar pequeos cambios en los coeficientes, estos cambios artificiales

    pueden generar grandes errores en la solucin de sistemas mal condicionados.

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    Resuelve

    Concepto

    15 o 20 ecuaciones

    simultaneas

    Operaciones

    Aritmticas de la

    computadora

    Mtodo de inversin

    de matices

    Solucin de un solo

    conjunto

    No es prctico

    Ecuaciones

    simultaneas Desventaja del mtodo

    de Gauss-Jordn

    Consta

    Divisin entre cero

    Estrategia de

    pivoteo

    Este problema

    Errores de redondeo

    Decimales que

    nunca terminan

    Sistemas mal

    condicionados

    Cambios pequeos

    en los coeficientes

    Cambios grandes en

    la solucin

    Se ha desarrollado

    Para evitar

    Al manejar

    Fracciones en el

    computador

    Transforman

    Aquellos

    Provocan

    Contiene

    Dos o tres conjuntos

    MTODO DE GAUSS-

    JORDAN

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    SOLUCIONES POR EL MTODO DE GAUSS-JORDAN.

    El Mtodo de Gauss Jordan o tambin llamado eliminacin de Gauss Jordan, es un mtodo por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n nmeros de variables,

    encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicacin

    mencionada.

    Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este mtodo, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notacin

    matricial:

    Entonces, anotando como matriz (tambin llamada matriz aumentada):

    Una vez hecho esto, a continuacin se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad,

    es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

    Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de

    suma, resta, multiplicacin y divisin; teniendo en cuenta que una operacin se aplicara a todos

    los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

    Obsrvese que en dicha matriz identidad no aparecen los trminos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos trminos

    resultaran ser la solucin del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables,

    correspondindose de la siguiente forma:

    d1 = x

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    d2 = y d3 = z Ahora que estn sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolucin de sistemas de

    ecuaciones lineales por medio de este mtodo.

    Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto: Sea el sistema de ecuaciones:

    Procedemos al primer paso para encontrar su solucin, anotarlo en su forma matricial:

    Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz

    para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

    Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1 fila de la matriz original en el 1 de la

    1 fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1 fila por el inverso

    de 2, es decir .

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    Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los nmeros que se ubicaron por debajo del 1 de la primera

    columna, en este caso el opuesto de 3 que ser -3 y el opuesto de 5 que ser -5.

    Una vez hecho esto, se proceder a multiplicar los opuestos de estos nmeros por cada uno de los elemento de la 1 fila y estos se sumaran a los nmeros de su respectiva columna. Por ej.: en

    el caso de la 2 fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1

    fila y se sumara su resultado con el nmero que le corresponda en columna de la segunda fila.

    En el caso de la 3 fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1

    fila y se sumara su resultado con el nmero que le corresponda en columna de la tercera fila.

    Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2 fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos

    transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

    Adems si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3

    fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del mtodo,

    es til para facilitar clculos posteriores.

    EJEMPLO_2 Determinar la matriz Inversa

    (

    )

    Solucin

    {

    |

    }

    {

    |

    }

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    {

    |

    }

    ( )

    ( )

    {

    |

    }

    {

    |

    }

    ( )

    {

    |

    } ( ) ( )

    {

    |

    } ( )

    ( ) {

    |

    }

    [

    ]

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    Resuelve

    Concepto

    Grandes Nmeros

    Ecuaciones

    Simultaneas

    Sistema Diagonal

    Asegurar la

    convergencia

    Condicin suficiente

    Condicin necesaria Mtodo Gauss-Seidel

    Secuencia

    Pero no es

    MTODO DE GAUSS-SEIDEL

    Contiene

    Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto

    Asignar Partiendo Pasar Continuar Continuar

    Un valor inicial a

    cada incgnita Primera Ecuacin Segunda Ecuacin Ecuaciones

    Restantes

    Iterando

    Aparezca Determinar Determinar en ella Determinando Valor de cada

    Incgnita

    Un conjunto Nuevo valor para

    la Incgnita

    Incgnita que

    tiene coeficiente

    ms grande

    Incgnita que

    tiene coeficiente

    ms grande

    Difiera valor

    obtenido en la

    interaccin previa

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    Mtodo de Gauss-Seidel

    Con el mtodo de Gauss-Seidel, el cual emplea valores iniciales y despus itera para obtener mejores aproximaciones a la solucin. El mtodo de Gauss-Seidel es particularmente adecuado

    cuando se tiene gran nmero de ecuaciones. En estos casos, los mtodos de eliminacin pueden

    estar sujetos a errores de redondeo. Debido a que el error en el mtodo de Gauss-Seidel es

    determinado por el nmero de iteraciones, el error de redondeo no es un tema que preocupe a

    este mtodo. Aunque, existen ciertos ejemplos donde la tcnica de Gauss-Seidel no converger

    al resultado correcto. stas y algunas otras ventajas y desventajas que se tienen entre los

    mtodos de eliminacin e iterativos.

    El mtodo de Gauss-Seidel es el mtodo iterativo ms comnmente usado. Suponga que se da un sistema de n ecuaciones:

    , - * + * +

    Suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones 3 * 3. Si los elementos de la diagonal no son todos

    ceros, la primera ecuacin se puede resolver para , la segunda para y la tercera para , para obtener

    Ahora, se puede empezar el proceso de solucin al escoger valores iniciales para las x. Una forma simple para obtener los valores iniciales es suponer que todos son cero. Estos ceros se sustituyen en la ecuacin, la cual se utiliza para calcular un nuevo

    Valor x1 = b1/a11. Despus, se sustituye este nuevo valor de x1 junto con el valor previo cero

    de x3 en la ecuacin y se calcula el nuevo valor de x2.

    Una matriz definida positiva es aquella para la cual el producto {X}T[A]{X} es mayor que cero, para

    todo vector {X} distinto de cero.

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    Este proceso se repite con la ecuacin para calcular un nuevo valor de x3. Despus se regresa a la primera ecuacin y se repite todo el procedimiento hasta que la solucin converja

    suficientemente cerca a los valores verdaderos.

    | | |

    |

    Para todas las i, donde j y j 1 son las iteraciones actuales y previas, respectivamente.

    Ejemplo_2

    Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el mtodo de Gauss-Seidel para el siguiente sistema

    lineal. Segn los resultados concluya la posible solucin del sistema, concrete cual es la solucin

    Solucin

    ( )

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    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

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    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    RESOLVER EL SISTEMA MATRICIAL PLANTEADO EN EL VIDEO INTERPOLACIN.

    Planteamiento del ejercicio: Realizando una interpolacin polinomial para poder aproximar el modelo matemtico de la planta. Por hacer uso del mtodo de interpolacin polinomial se nos dice que:

    ( )

    Para este caso haremos una aproximacin cuadrtica entonces tenemos

    ( )

    Tiempo (s) 5 10 15 x

    Nivel de agua (%) 19 61 82 p(x)

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    En la grfica en la parte de arriba tenemos el tiempo en segundos y en la parte de abajo el nivel del

    agua en porcentaje

    El tiempo ser x y el nivel de agua ser p(x), Ahora siguiendo la frmula de P(x) entonces primero ira P(x) de los cinco segundos que seria

    ( ) ( )

    Seguimos con la siguiente columna ahora tenemos P(x) que es

    ( ) ( )

    Hacemos lo mismo para el tercer resultado, tenemos entonces:

    ( ) ( )

    Si resolvemos los cuadrados y acomodamos las ecuaciones obtenemos el siguiente sistema

    Ahora para facilitar el manejo de estos nmeros lo pasaremos a una matriz y queda de la siguiente manera

    el primer rengln el segundo y el tercero.

    [

    ]

    Ahora ser necesario resolver este sistema de ecuaciones para obtener los valores de los coeficientes A0, A1

    y A2.

    Una vez que tenemos la interpolacin polinomial tenemos a un sistema de ecuaciones para poder obtener realmente modelo de la planta debemos resolver este sistema. Para resolverlo por el mtodo

    de Gauss-Jordan.

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    RESOLVER EL SISTEMA MATRICIAL PLANTEADO EN EL VIDEO INTERPOLACIN

    POR EL MTODO:

    GAUS LLORDAN

    El video de interpolacin propone este sistema:

    Tenemos nuestro sistema de ecuaciones, le vamos a dar nombres a cada rengln, se llamaran A1, A2 y

    A3,

    [

    ]

    Ahora para construir una nueva matriz, lo que necesitamos es que el elemento que se encuentra en este

    punto sea un uno, que para este caso ya lo es.

    [

    ]

    Ahora construyamos una nueva matriz

    [

    ]

    Despejamos y nos queda B3, entonces el rengln C3 es igual a B3 menos 2 B2.

    Construiremos una nueva matriz lo que queremos volver es la columna tercera en cero, cero y uno,

    empezamos con el primer rengln

    [

    ]

    5

    5x=10

    X=2

    Entonces lo que haremos ser dividir el

    rengln B2 entre 5. Para el rengln C3 lo que

    haremos ser buscar un nmero, de la

    siguiente forma, 10-5x0 usando estos dos

    renglones queremos eliminar este nmero 10.

    Para obtener D2.

    5

    5 Aqu le restaremos 50 un numero para que le de 0.

    X=

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    ( )

    RESOLVER EL SISTEMA MATRICIAL PLANTEADO EN EL VIDEO INTERPOLACIN

    POR EL MTODO:

    ELIMINACIN DE GAUSS

    {

    }

    Mtodo de eliminacin de Gauss

    [

    ]

    La matriz aumenta

    [

    ]

    Se reduce las filas 2,3

    [

    ]

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    Se reduce la fila 3

    [

    ]

    Obteniendo el objetivo se procede a la fila 3:

    ( )

    Reemplazando (i) en la fila 2:

    (

    )

    ( )

    Reemplazando (i) y (ii) en la fila 1:

    (

    ) (

    )

    ( )

    RESOLVER EL SISTEMA MATRICIAL PLANTEADO EN EL VIDEO INTERPOLACIN

    POR EL MTODO:

    GAUSS SEIDEL

    {

    }

    las variables se deben despejar

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    Tolerancia = 0.1%

    {

    | |

    | |

    | |

    }

    *( ) ( ) ( )+

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    ( )

    1

    100.000000

    100.000000

    100.000000

    2

    1050.000000

    33.333333

    100.000000

    3

    2.352941

    18.181818

    52.6311579

    34

    0.080763

    0.053469

    0.087382

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    FASE_3. DISTINGUIR LAS APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIN EN LA

    INGENIERA

    DEFINICIONES DE FORMA GENERAL

    INGENIERA EN GENERAL (DISTRIBUCIN DE RECURSOS).

    Todos los campos de la ingeniera enfrentan situaciones en las que la distribucin de recursos es un tema crtico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios de construccin,

    distribucin de productos y recursos en la ingeniera. Aunque muchos de los problemas tienen

    que ver con la fabricacin de productos, el anlisis general tiene importancia en un amplio

    panorama de otros problemas.

    INGENIERA QUMICA (CLCULO DE DISTRIBUCIN DE TEMPERATURAS)

    La mayor parte de los diferentes campos de la ingeniera manejan distribuciones de temperatura en materiales slidos. Estos problemas son tan variados como la distribucin de temperatura en

    un cono de proarentrante y la temperatura de un ro bajo una planta de energa productora de

    hielo. La distribucin de temperatura en estado estacionario bidimensional se define por la

    ecuacin de Laplace:

    En donde T es la temperatura y x y y son las coordenadas. Las derivadas de la ecuacin anterior se aproximan usando diferencias finitas.

    EN INGENIERA QUMICA:

    Se aplica para resolver entre si las variables del sistema en casos como: (a) ecuaciones de estado

    de las sustancias del sistema, (b) leyes de relaciones entre fases constantes cuando existen

    equilibrio y (c) leyes cinticas para sistemas que no se encuentran en equilibrio, por ejemplo, el

    balanceo de la siguiente qumica:

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    Encontrar lo valores de de modo que la cantidad de cada elemento se la misma en ambos

    extremos de la ecuacin.

    {

    {

    Como se requiere valores enteros para se elige x=2

    INGENIERA CIVIL (ANLISIS DE UNA ARMADURA ESTTICAMENTE

    DETERMINADA)

    Un problema de importancia en ingeniera estructural es el de encontrar las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura estticamente determinada.

    La figura muestra un ejemplo de las armaduras.

    Las fuerzas ( F ) representan ya sea las tensiones o las compresiones de los elementos de la estructura.

    Las reacciones externas (H2 V2 V3) son fuerzas que caracterizan cmo interacciona la armadura con la

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    superficie que la soporta. El gozne del nodo 2 puede transmitir fuerzas horizontales y verticales a la

    superficie, mientras que el rodillo del nodo 3 slo transmite fuerzas verticales.

    INGENIERA ELCTRICA (CORRIENTES Y VOLTAJES EN CIRCUITOS RESISTIVOS)

    Un problema comn en la ingeniera elctrica es aquel que implica la determinacin de corrientes y voltajes en varias posiciones de ley de corriente de Kirchhoff y la ley de Ohm. La

    ley de la corriente dice que la suma algebraica de todas las corrientes sobre un nodo debe ser

    cero

    En donde todas las corrientes que entran al nodo tienen signo positivo. La ley de Ohm dice que la corriente a travs de una resistencia est dada en funcin del cambio

    de voltaje y de la resistencia

    INGENIERA ECONOMICA:

    Una de las aplicaciones de los sistemas de las ecuaciones lineales es el estudio de los modelos de mercado de renta nacional a travs de su descripcin matemtica. Por ejemplo el Modelo

    lineal de renta nacional con Importaciones dependientes de la renta:

    { ( )

    Dnde:

    {

    ( )

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    INGENIERA MECNICA (DINMICA DE PARTCULAS EN CUERPOS RGIDOS)

    La dinmica del movimiento de partculas y de los cuerpos rgidos juega un papel muy importante en muchos problemas de mecnica y otros campos de la ingeniera. Este movimiento

    se puede describir mediante las leyes de Newton. La aplicacin de las leyes de Newton para

    partculas simples genera dos ecuaciones. Sin embargo, si algunas partculas del sistema afectan

    a otras, entonces se puede generar un gran nmero de ecuaciones simultneas.

    Se utiliza principios fsicos y clsicos, por ejemplo, se utiliza para calcular la velocidad en lnea recta aceleracin constante

    2.

    Dnde: v = velocidad

    u= velocidad inicial

    a= aceleracin

    t = tiempo

    FASE 4: POLINOMIO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

    Definicin La forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1 datos (x0, (x0)), (x1, (x1)), ..., (xn, (xn)) es:

    Los coeficientes ai se obtienen calculando un conjunto de cantidades denominadas diferencias divididas. La notacin para las diferencias divididas de una funcin (x) estn dadas por:

    Las diferencias divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguiente regla recursiva:

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    Retomando el polinomio interpolante de Newton: Pn(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1) + ... +an(x x0)(x x1)(x xn-1) Observe que Pn(x0) = a0. Como Pn(x) interpola los valores de en xi, i=0,1,2,...,n entonces P(xi) = (xi), en particular Pn(x0) = (x0) = a0. Si se usa la notacin de diferencia dividida a0= *x0]. Ahora, Pn(x1)= a0 + a1(x1 x0), como Pn(x1)= (x1) y a0= (x0), entonces reemplazando se tiene

    (x1)=(x0) + a1(x11x0), donde

    Si se usa la notacin de diferencia dividida a1= *x0, x1]. De manera similar cuando se evala Pn(x) en x = x2 se obtiene a2 = *x0, x1, x2] (ver ejercicio 15, de este captulo). En general ai = *x0 ,x1 ,x2, ..., xi], y el polinomio interpolante de Newton se escribe como:

    (2) En esta figura se muestra la forma recursiva para calcular los coeficientes del polinomio interpolante de Newton para 4 pares de valores (x, (x))

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    Los elementos de la diagonal (superior) son los coeficientes del polinomio interpolante de Newton para

    el caso de un polinomio de grado 3.

    TENIENDO EN CUENTA LOS DATOS DE LA TABLA QUE SE PRESENTA EN EL VIDEO

    Tiempo 5 10 15 x

    Nivel del agua % 19 61 82 P(x)

    Suponga las condiciones ideales y halle el polinomio de diferencias divididas de newton.

    xi P(xi)

    0 = 5 19 1 = 10 61 2 = 15 82

    P [ , ] = p [ ] - p[]

    p[ ,,] = p[ ,+p[,]

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    xi P(xi) F(xi, P(xi)

    0 = 5 1 = 10 2 = 15

    19

    61

    82

    61 -19 = 8,4 10 -5 82 -61 = 4.2 15 -10

    4,2-8,4 = -0,42 15 -5

    Se procede a hallar el polinomio de interpolacin con la siguiente ecuacin

    ( )= ( )

    El polinomio interpolacin Newton obtenido es

    19+8.4*(x-5)-0.42*(x-5)*(x-10)

    -0.42*x^2+14.7*x-44.0 =

    0.42x2+14.7x44.0

    Identifique el coeficiente de x y 2

    P(x) = 0.42x2+14.7x44.0

    Con el polinomio anterior se identifica lo siguiente

    El coeficiente de 14.7

    El coeficiente de 2 0.42

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    CONCLUSIONES

    Por medio de la realizacin de este trabajo se adquirieron conocimientos sobre las temticas

    relacionadas con la unidad 2, de igual manera se identificaron sus propsitos y temas de cada captulo,

    Permitiendo que se evidencie el contenido del mdulo, orientando a estudiar la aplicacin de los

    conceptos y normatividad de los diferentes tipos de ecuaciones como lo son las lineales, no lineales.

    Consideramos que la finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes herramientas

    que se usan en los mtodos numricos para fortalecer nuestros conocimientos en este nuevo proceso de

    formacin.

    Despus de analizar y terminar el trabajo colaborativo_2, obtuvimos la suficiente informacin para

    abordar con xito una amplia variedad de problemas de ingeniera, relacionados Sistema de ecuaciones

    lineales, no lineales e interpolacin, Polinomio de Interpolacin con diferencias divididas de newton,

    Interpolacin Polinomial de diferencias finitas de Newton.

    En general, se dominarn las tcnicas, se ha aprendido a determinar su confiabilidad y se tendr la

    capacidad de elegir el mejor mtodo, (Mtodo de eliminacin de Gaus, Mtodo de Gauss-Jordn,

    Mtodo de Gauss-Seidel ) para cualquier problema particular.

    Se evidencia la aplicacin de cada tema en las ingenieras que se ofrecen a nivel mundial, como

    estudiantes unadistas logramos visualizar la aplicabilidad del tema en nuestra carrera particular, lo que

    nos hace ser profesionales ms conscientes de lo que se estudia y se debe aplicar.

    Hemos asimilado los conceptos para comprender mejor el material del segundo trabajo colaborativo.

    Los mtodos numricos son cientficos en el sentido de que representan tcnicas sistemticas para

    resolver problemas matemticos. Sin embargo, hay cierto grado de arte, juicios subjetivos y

    conveniencias, relacionadas con su uso efectivo en la ingeniera prctica. Para cada problema, se

    enfrenta uno con varios mtodos numricos alternativos y con muchos tipos diferentes de

    computadoras. As, la elegancia y la eficiencia de las diferentes maneras de abordar los problemas

    varan de una persona a otra y se correlacionan con la habilidad de hacer una eleccin prudente.

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    BIBLIOGRAFIA

    Mdulo Mtodos Numricos, (Elaborado), Carlos Ivn Bucheli Chaves (Corregido).Ricardo Gmez Narvez (Actualizado). Ricardo Gmez Narvez. 2013.

    Universidad Nacional Abierta y a Distancia, [en lnea] Citado el 09 de septiembre del 2014, Disponible en Internet: http://www.unad.edu.co/home/

    Mtodos Numricos para Ingenieros - S. Chapra, R. Canale - 5ed - EL SOLUCIONARIO Descargado de link: http://es.slideshare.net/mikebsd/mtodos-numricos-para-ingenieros-5ta-ed-

    chapra

    Steven C. Chapra. Raymomd P. Canale. (2010) .Numerical Methods for Engineers. Sixth Edition. Editorial Mc Graw Hill.

    Richard L. Burden. J. Douglas Faires. (2010). Numerical Analysis. Ninth Edition. Editorial Brooks/Cole Cengage Learning. Ninth Edition.

    http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/16373/2/Microsoft%20Word%20-%202.%20ECUACIONES%20LINEALES.pdf

    http://www.bccr.fi.cr/investigacioneseconomicas/metodoscuantitativos/Introduccion_a_los_metodos_numericos.pdf

    Video denominado: Mtodos Numricos (parte 2: interpolacin) Video disponible en: http://www.scoop.it/t/metodos-numericos Consultado el 25/09/2014

    Video denominado: Mtodos Numricos (Parte 4: Gauss-Jordan)Video disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=-eWxFvec3HU Consultado el 2570972014

    http://www.monografias.com/trabajos24/ecuaciones-lineales/ecuaciones-lineales.shtml http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/gauss.html http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/Archivos/capi11/capi11_6.html http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan https://sites.google.com/site/mecametodos/unidad-iii

    http://www.monografias.com/trabajos72/resolucion-sistemas-metodo-gauss-jordan/resolucion-sistemas-metodo-gauss-jordan.shtml

    https://sites.google.com/site/pnumericos20112/eliminacion-gaussiana Leer ms: http://www.monografias.com/trabajos72/resolucion-sistemas-metodo-gauss-

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    http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/metodo_gauss.html http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/gauss/index.html http://www.monografias.com/trabajos72/resolucion-sistemas-metodo-gauss-

    jordan/resolucion-sistemas-metodo-gauss-jordan.shtml

    http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=2449

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