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Tarea 4 Clculo Integral y Diferencial III
Profesor: Felipe Mndez Varela
Octubre 2015
Parte 1
1. Dibuja cada una de las siguientes curvas, encuentra sus
puntos singulares y calcula su longitud de arco en el
intervalo indicado.
(a) (1 punto) (t) = (t2, t3), t [0,213 ].
Primero obtenemos la longitud de arco, para eso obtenemos
||(t)||.(t) = (2t, 3t2)||(t)|| = ||(2t, 3t2)||
=4t2 + 9t4
=4 + 9t2
Luego, t0||(s)||ds = t
0s4 + 9s2ds
=(127 (4 + 9s
2)3/2)t0
= 127 (4 + 9t2)3/2 827
t [0,213 ] entonces, 21
3
0||(t)||dt = 127 (4 + 21)3/2 827
= 11727= 133 Para obtener puntos singulares entonces,
0 = (t) = (2t, 3t2) 2t = 0
3t2 = 0, t = 0
Su graca se ve de la siguiente manera es simpetrica respecto al
eje x, tambin y = t3 = (x)3 = x3/2
(b) (t) = (3cos2t, 3sen2t, 5t), t [0, 53 ].
1
-
(t) = (6sen(2t), 6cos(2t), 5)||(t)|| =
122sen2(2t) + 122cos2(2t) + 25
= 12
sen2(2t) + cos2(2t) +
25
122
= 12
1 +
25
122= 13
Obtengamos longitud de arco,
t
o
||(u)|| du = 13t
o
du
= 13u|t0= 13
(5
3
)=
65
3
Para obtener puntos singulares entonces,(t) = 0, pero en la
tercera entrada se tiene 5 = 0, lo cualnunca sucede por lo que no
hay puntos singulares.
(c) (t) = (t sen t, 1 cos t), t [8pi, 8pi].
(t) = (1 cos(t), sen(t))||(t)|| =
(1 cos(t))2 + (sen(t))2
=
1 2cos(t) + (cos2(t) + sen2(t))=
2
1 cos(t)
2
-
entonces para la longitud de arco,
t
o
||(s)|| ds =t
o
2
1 cos(S)ds
=
t
o
2
1 (1 2sen2(s
2))ds
[cos(2x) = 1 2sen2(x), x = s2
]=
t
o
2
sen2
(s2
)ds
=
t
0
2[sen
(s2
)]ds
= 4
t2
0
[sen (u)] du
[[u = s2 , du =
ds2
]] [kpi t
2 (k + 1)pi
]= 4
[(kcos (u) |pi0 cos(u)|
t2kpi0
]= 8k + 4(cos(0) cos( t
2 kpi))
= 8k + 4 4cos(t
2 kpi
)la longitus es
pi8
8pi||(t)|| dt = 2
pi8
0
||(t)|| dt
= 2(8 4) = 64
La singularidad
(t) = 0
{1 cos(t) = 0 , sen(t) = 0
cos(t) = 1, sen(t) = 0 t = 2kpi con k Z
(d) (t) = (t cos t, t sen t), t [0,2].En primer lugar no se
cuenta con singularidades ya que (t) = (cos(t) tsen(t), sen(t) +
tcos(t), 1) 6=0.Luego,
3
-
2
0
||(t) || =2
0
(cos(t) tsen(t))2 + (sen(t) + tcos(t))2 + 1dt
=
2
0
(cos2(t) + sen(t)2) + (2tsen(t)cos(t) 2tsen(t)cos(t)) +
(t2sen2(t) + t2cos2(t)) + 1dt
=
2
0
1 + 0 + t2 1 + 1dt
=
2
0
2 + t2dt
[u =
t2,2du = dt
]= =
2
1
0
2 + 2u2
= 2
1
0
1 + 1u2
[u = senh(), du = cosh()d] = = 2arcsenh(1)
0
1 + senh2()cosh()d
= 2
arcsenh(1)
0
cosh2()d
= 2
arcsenh(1)
0
e2 + 2 + e2
4d
= (e2
4+ +
e2
4)|arcsinh(1)0despejamos y obtenemos =
2 + arcsinh(1)
4
-
2. Considere la siguiente gura. Da la parametrizacion de la
curva que describe el punto p=(0,-3) al girar la
circunferencia con centro c1 = (0,2) y radio r = 1,en el sentido
antihorario, dentro de la circunferencia concentro c2 = (0,0) y
radio R = 3. Dibuja la curva y determina los puntos singulares de
esta en el intervalo[0,6pi]. Calcula la longitud de arco de la
curva en el intervalo indicado.
Entonces veamos que el c1es c1(t) = (2sen(t),cos(t)) y h(t) =
(3sent(t),3cos(t)). El arco que se forma conel punto h(t) y p mide
3t en ambos arcos como lo indica el dibujo. Ahora si trazamos una
linea paralela al ejey que pasa por c1, podremos ver que el angulo
que obtenemos es t , entonces podriamos ver que p (sen2pi
2t,cos2pi2t) que es lo mismo que (sen2t,cos2t) ahora solamente
faltaria trasladar c(t). obtendriamos
que (t) = (2sen(t)sen(t),2cos(t)cos(2t)).Ahora se calcula
longitud,
||(t)|| =
(2cost 2cos2t)2 + (2sent+ sen2t)2=
4cos2t 8costcos2t+ 4sen22t+ 4cos22t+ 8sentsen2t+ sen22t
=
4 + 4 8(costcos2t sentsen2t=
8(1 cos(3t)
5
-
Luego,
6pi
0
||(t)|| =6pi
0
8(1 cos(3t))dt
=
6pi
0
8
1
(1 2sen2
(3
2t
))dt
=
6pi
0
4
sen2
(3
2t
)
= 4
6pi
0
sen(32 t) dt
= 36
23pi
0
sen(32 t) dt
= 36
pi 23
0
sen
(3
2t
)dt
[u =
3
2t,
2
3u = t,
2
3du = dt
]= 36
pi
0
sen
(3
2u
)du
= 24
pi
0
sen
(3
2t
)dt
= 24 (cos(u)|pi0 ) = 48Encontrar puntos de singularidad
entonces,
(t) = (2cos(t) 2cos(t), 2sen(t) + 2sen(2t)) = 0 2cos(t) 2cos(2t)
= 0
cos(t) (2cos2(t) 1) = 02sen(t) 2sen(2t) = 0
sen(t) (2sen(t)cos(t)) = 0entonces cos(t) =
1+34
=
{1 12
}no se pueden juntas
1 2cost = 0 o sen(t) = 0 t = kpi o cos(t) = 1
2
entonces t = kpi y cos(t) = 1 entonces t = 2kpi.
3. Una circunferencia de radio 1 en el plano xy rueda sin
resbalar sobre el eje x. La gura descrita por un punto
de la circunferencia se llama cicloide.
(a) Obtenga una curva parametrizada :R R2cuya traza sea la
cicloide y determine sus puntos singulares.Sea A el punto situado
en el origen (0,0), antes de que la circunferencia empiece a girar,
el cual ser
nuestro punto de referencia. Y sea O el centro de la
circunferencia.
Veamos que el desplazamiento de O es la rotacin de la
circunferencia () veces el radio, pero en estecaso el radio es 1,
entonces O se desplaza . As que las coordenadas de O son (, 1).
6
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Tambin notemos que las coordenadas del punto A tomando al punto
O como origen son (-cos( pi2 ),sen( pi2 ))=(-sen,-cos).Por lo
tanto, las coordenadas de A con respecto a (0,0) sern (-sen,1-cos).
Entonces, nuestra curvaparametrizada es: () = ( sen, 1 cos)Para
sacar los puntos singulares, derivamos () y obtenemos: () = (1cos,
sen). Ahora, igualamosa 0 cada una de nuestras coordenadas y
obtenemos:
1 cos = 0 cos = 1Entonces, queremos que: sen = 0 y cos = 1 y
esto se cumpple si {2pik | k Z. Por lo tanto, lospuntos singulares
de nuestra curva son de la forma 2pik
(b) Calcule la longitud de arco de la cicloide correspondiente a
una vuelta completa de la circunferencia.
Para sacar la longitud del arco, usamos la frmula l() =
2pi0||()||d. Tenemos que () = (1
cos, sen), entonces: 2pi0||()||d = 2pi
0
(1 cos)2 + (sen)2d
= 2pi0
1 2cos + cos2 + sen2d
= 2pi0
2(1 cos)dUsando 1 cos = 2sen2 2 obtenemos:=
2pi0
2(2sen2 2 )d
= 2pi0
4sen2 2d
= 2pi0|2sen 2 |d, haciendo 2 = t obtenemos:
= 4 pi0sent dt
= 4(cost|pi0 ) = 4(1 (1)) = 8.
4. (Las rectas como el camino ms corto). Sea :I R3 una curva
parametrizada. Sea [a, b] I y hagamos(a) = p,(b) = q.
(a) Muestre que para cualquier vector constante v tal que |v| =
1,(q p)v = b
a(t)v dt < b
a|(t)|dt(b) Haga
v = qp|qp|y muestre que
|(b) (a)| < ba|(t)|dtes decir, la curva de menor longitud
desde (a) hasta (b) es el segmento de recta que une estos
puntos.
Demostracin.
Para demostrar a) damos la curva (t) = (x1(t), (x2(t), x3(t)) y
aplicamos el Teorema Fundamental delClculo y obtenemos
(q p)v =3
i=1
(qi pi)vi =3
i=1
baxi(t)dtvi =
ba
3i=1
xi(t)vidt = ba(t)v dtLa segunda desigualdad se debe a que si
v es un vector unitario para cualquier otro vector u , tenemosv
u |u | b
a(t)v dt < b
a|(t)|dtPara demostrar b), si usamos
v = qp|qp| en la frmula derivada en a) tenemos |(b) (a)| = |q p|
=(q p)v b
a|(t)|dt
5. Ejercicios Do Carmo seccin 1.5.
1.- Dada la curva parametrizada (hlice)
(s) = (acoss
c, asen
s
c, bs
c)
s R donde c2 = a2 + b2.
7
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Observemos que a es el radio de la hlice y b es una constante
que se relaciona con la separacin vertical delos lazos de la
hlice.
Tenemos (s) = (ac sen( sc ), ac cos( sc ), bc ), (s) ac 1c cos(
sc ),ac 1csen( sc ), 0) y n(s) = (ac cos( sc ),ac sen( sc ), bc ) =
( aa2+b2 cos( sc ), aa2+b2 sen( sc ), 0)a)Muestre que el parmetro s
es la longitud de arco.
Demostracin:
La longitud de arco esta dada por
L =s
0
(t) dt
| (s) |=
(acsen(
s
c)2 + (
a
ccos(
s
c)2 +
b
c
|(s)| =
a2
c2+
b2
c2=
a2 + b2
c2
pero c2 = a2 + b2
|(s)| =
a2 + b2
a2 + b2=1 = 1
L =s
0
1dt = t|s0 = s
b)Determine la curvatura y la torsin de .
Sabemos que
k =
(dt
ds
)=
(dt
d
)(d
ds
)=
a
a2 + b2
por otro lado la torsin de est dada por:
=1
a2(a2 + b2)
asen( sc ) acos( sc ) asen( sc )acos( sc ) asen( sc ) acos( sc
)b 0 0
= ba2 + b2
y es tal que
k
=
aa2+b2
ba2+b2
=a
b
es una constante.
c)Determine el plano osculador de .
El plano osculador de la hlice est dado por: z1 acos( sc ) z2
asen( sc ) z3 b( sc )asen( sc ) acos( sc ) bacos( sc ) asen( sc ) 0
= b
a2 + b2
z1bsen(s
c) z2bcos(s
c) + (z3 bs
c)a = 0
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d)Muestre que las rectas que contiene a n(s) y que pasan por (s)
forman con el eje z un ngulo constante eigual a
pi2 .
Demostracin:
La lnea que pasa por (s) y n(s) tiene la ecuacin parametrica (r)
= (s) + rn(s) = ((a + r)cos, (a +r)asen, b) y se intersecta con el
eje z cuando r = ael coseno del ngulo entre tangente t y el vector
(0, 0, 1) es una constante.
t (0, 0, 1) = (acsen,
a
ccos,
b
c) (0, 0, 1) = a
c
Notemos que
pi2 = 90
y como son ortogonales cumple.
e) Muestra que las rectas tangentes de forman un ngulo constante
en el eje z.
Demostracin:
El coseno del ngulo entre la unidad tangente t y el vector
(0,0,1) es la constante.
t = (0, 0, 1) = c1(asen, acos, b) (0, 0, 1) = bc
2.- Muestre que la torsin de est dada por
(s) = (s)(s)(s)|k(s)|2
Demostracin.
Sabemos que b(s) = (s)n(s)
Tenemos que n(s) = (s)k(s) , k 6= 0Luego, b(s) = t(s)n(s)+
t(s)n(s) = t(s)n(s) y n(s) = k(s)t(s) (s)b(s) = b(s) t(s)+ b(s)
t(s)(s) = b(s)n(s) = t(s)n
(s)n(s)
= t(s)(b(s)t(s)+b(s)t(s)
(s)k(s)
, 6= 0Luego,
(b(s) t(s) + b(s) t(s)) = (s)(s)Adems
||k(s)||2 =k(s), k(s)2Como ||(s)|| = k(s)||k(s)||2 =||(s)||,
||(s)||2= |||(s)||, ||(s)|||=
(s)||(s)|| = ||k(s)||||k(s)|| = ||k(s)||2
Por lo tanto, (s) = (s)(s)(s)|k(s)|2
3.- Suponga que (I) R2(es decir un curva plana) y determine para
k un signo como se indica en el texto.Desplace los vectore t(s)
paralelamente a s mismos, de forma tal ue los orgenes de t(s)
coincidan con el origende R2; entonces los puntos nales de t(s)
describen una curva parametrizada s t(s) llamada la indicatriz
delas tangentes de . Sea (s) el ngulo entre e1y t(s) en la
orientacin de R2. Demuestre a) y b) (consideremosk 6= 0).a) la
indicatriz de las tangentes es un curva parametrizada regular
Supongamos que la indicatriz es una curva parametrizada no
regular enotnces existe s0 I tal que t(s0) = 0entonces
t(s0) = 0 =| (s0) |= 0 =k(s0) = 0 esto es una contradiccion ya
que consideramos k 6= 0b)
dtds = (
dds )n es decir k =
dds
9
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sabemos que (s) = anngulo (e1, t(s)) supongamos sin perdida de
generalidad que : I R2 es una curvaparametrizada por longitud de
arco es decir (t) = 1si d es el ngulo entre t(s+ ) y t(s) entonces
.
| t(s+ ) t(s) |= 2sen(12d) = d
k =| t(s) |= limx | t(s+ ) t(s)
|= limx | t(s+ ) t(s) || |
limx2sen( 12d)
| | = limxd
| |
limxangulo(e1, t(s+ )) angulo(e1, t(s))
=
d
ds
12.- Sea : I R3una curva parametrizada regular (con parmetro
arbitrario) y sea : J R3unareparametricacin de (I) por la longitud
de arco s = s(t) medida desde t0 I. Sea t = t(s) la funcin
inversade s y denotemos
ddt =
, d2dt2 =
, etc. Desmuestre que:
a)
dtds =
1|| ,
d2tds2 = (
||3 )
Demostracin:
Notemos que s = t entonces (s) = (t(s))t(s)
1 = (s) = (t(s))t(s) = t(s) (t(s))
dtds
= t(s) =1
(t(s)) =1
Entonces
d2t
ds2=ddt 2 =
() 3 =
( ) 3
b) La curvatura de en t I es
k(t) = 3
Demostracin:
Tenemos que = ( t)(t), = ( t)(t)2 + ( t)tSabemos que:
b(s) = t(s)n(s)
k(s)b(s) = t(s)k(s)n(s)
k(s)b(s) = t(s)t(s)
Entonces:
k(s) = (s)(s)
10
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= {('(t(s))t(s)}{(t(s))(t(s))2 + (t(s))t(s)}
= (t(s))3{(t(s))(t(s))}+ t(s)t(s){(t(s))(t(s))}
= (t(s))3 (t(s))(t(s))
= (t(s))(t(s))
(t(s)) 3
Por lo tanto, se tiene que:
k(t) = 3
c) La torsin de en t I es:
(t) =() 2
Demostracin:
Sea s el parmetro de longitud de arco s = tt0 (t) dt
=d
dt=
d
ds
ds
dt= T
ds
dt
=d2s
dt2d
ds+
(ds
dt
)2d2
ds2= T
d2s
dt2+
(ds
dt2
)kN
=d3s
dt3d
ds+ds
dt
d2s
dt2d2
ds2= T
d3s
dt3+3
ds
dt
d2s
dt2kN +
(ds
dt
)3 [dk
dsN + k(kT + )
]+2
d2s
dt2ds
dt
d2
ds2+
(ds
dt
)3d3
ds3
despus,
dsdt = (t) , d
2sdt2 =
Ahora,
=(ds
dt
)3k = 3 k
y
=(ds
dt
)6k2 =
[(ds
dt
)3k
]2 = 2
d) Si : I R2es una curva plana (t) = (x(t), y(t)) la curvatura
con signo de en t
k(t) =xy xy
((x)2 + (y)2)3/2
Demostracin:
Notemos que n(s) = (2(s), 1(s))
1 = kn
{1 (s) = k(s)
2(s)
2 (s) = k(s)
1(s)
11
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{1
2 = k(
2)
2
2
1 = k(
1)
2
Sumando ambas expresiones se obtiene:
k = 2
1
1
2
como = t = ( t)t, es decir,{1(s) =
1(t(s))t
(s)2(s) =
2(t(s))t
(s)
y adems {1 (s) = (
1 (t(s)))(t
(s))2 + '1(t(s))t(s)
2 (s) = (
2 (t(s)))(t
(s))2 + 2(t(s))t
(s)
Luego,
k = {(2 t)(t)2 + (2 t)t}{(
1 t)t} {(
1 t)(t)2 + ('1 t)t}{(
2 t)t}
= {2 (t(s))1(t(s))
1 (t(s))
2(t(s))}(t(s))3
={2 (t(s))
1(t(s))
1 (t(s))
2(t(s))}
{('1(t(s)))2 + (2(t(s)))2}3/2
12
