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DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 59

TANGENCIASTangencias como aplicación de losconceptos de potencia e inversión

TEMA5Objetivos y orientaciones metodológicas

El objetivo de este tema es hacer aplicación de los conceptos de “potencia” e “inversión” en la resolución deproblemas de tangencias. Es conveniente que el alumno comprenda el porqué de cada aplicación y no memoricelas construcciones.

1. Introducción

La utilización de las propiedades geométricas que sederivan de los conceptos de potenciapotenciapotenciapotenciapotencia e inversióninversióninversióninversióninversión permitenresolver los problemas de tangencias de mayorcomplejidad. En algunos casos se aplican, además, lalalalaladilatación y la simetríadilatación y la simetríadilatación y la simetríadilatación y la simetríadilatación y la simetría como operaciones auxiliaresprevias, que transforman el problema en otro más sencilloy resuelto previamente.

Cuando se aplica este proceso de resolución, a fin desimplificar las explicaciones, una vez efectuada yjustificada la conversión, se remite al alumno al ejercicio,ya resuelto anteriormente, en el que se ha transformado,para completar el proceso. Para ello, los datos de partidadel ejercicio más complejo se habrán elegido de modoque, una vez efectuada la transformación, los datosresultantes coincidan con los utilizados para explicar elcaso en el que se ha convertido. Así, la resolucióncompleta del caso más complejo es exactamente la sumade las dos explicaciones aportadas por separado.

Téngase en cuenta que una circunferencia quedadefinida por tres puntos, por lo que, en los problemas de

tangencias en los que la solución es una o variascircunferencias se necesitan tres datos o condiciones.Esta consideración es particularmente importantecuando se dibujan contornos de formas delimitados porarcos de circunferencia tangentes (bombilla, gancho degrúa, botella, etc.), en las que es preciso resolverconsecutivamente varios casos de tangencias y algunode los datos necesarios para resolver una tangencia seobtiene en la resolución de otra anterior.

Conviene señalar que alguno de los casos detangencias cuya resolución se explica en este temaaplicando el concepto de potencia o el de inversión, sepuede resolver utilizando otros métodos diferentes aestos. Incluso, como se verá a lo largo del tema, algúncaso de tangencia se puede resolver aplicandoindistintamente potencia e inversión. En estos casos, enambas resoluciones, se partirá de los mismos datos.

Por último, se recuerda que una tangencia no seconsidera totalmente resuelta hasta que no se conocenlos puntos de tangencia.

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Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.

2. Resolución de tangencias aplicandoel concepto de potencia

2.1. Trazar las circunferencias tangentes a una rec-ta r y que pasan por dos puntos P y Q (Fig. 1)

Se trata de hallar los puntos de tangencia de lascircunferencias solución con la recta r, para lo que hayque hallar el centro radical de las circunferencias que sebuscan y de r, a la que se considera “circunferencia” deradio infinito.

Todas las circunferencias que pasan por los puntos Py Q tienen su centro en la mediatriz del segmento quedeterminan y como eje radical la recta PQ. Por otra parte,como ha quedado demostrado en el tema 2, el eje radicalde una circunferencia y una recta es la propia recta, portanto, el punto C

r, donde la recta PQ corta a r, es el centro

radical de las circunferencias que pasan por los puntosP y Q, entre los que se hallan las soluciones que sebuscan, y la recta r.

Con ayuda de una circunferencia auxiliar de centro Eque pasa por los puntos P y Q se calcula la distanciaC

rT

E = √K , raiz cuadrada de la potencia de C

r respecto

de las circunferencias descritas.

Los puntos de tangencia T1 y T2 de las dos circunfe-rencias solución con la recta r se encuentran a amboslados de Cr a la distancia √K de este punto. Los centrosO1 y O2 de las circunferencias buscadas se hallan dondelas perpendiculares a r por T1 y T2 cortan, respectiva-mente, a la mediatriz del segmento PQ.

2.2. Trazar las circunferencias tangentes a dosrectas r y s que se cortan y pasan por unpunto P dado (Fig. 2)

Los centros de las circunferencias tangentes a lasrectas r y s se hallan en la bisectriz del ángulo que formany si estas circunferencias pasan por el punto P, pasarántambién por Q, simétrico de aquél respecto de la citadabisectriz. Según esto, el problema se convierte en el casoanterior, en el que se trazan las circunferenciastangentes a una recta r y que pasan por los puntos P y Q.

En la Fig. 2Fig. 2Fig. 2Fig. 2Fig. 2, la posición de las rectas r y s y del puntoP es tal que, una vez determinado el punto Q, la posiciónde la recta r y de los puntos P y Q coincide con la posiciónde estos mismos elementos en la Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 1. Por tanto, si ala Fig. 2Fig. 2Fig. 2Fig. 2Fig. 2 se añaden los trazados de la Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 1, secompleta la resolución de este caso de tangencias.

2.3. Trazar las circunferencias tangentes a dosrectas r1 y s1 que se cortan y una circunfe-rencia de centro P (Figs. 3 y 4)

Aplicando a la circunferencia dada una dilataciónnegativa de magnitud igual a su radio R, se transformaen un punto, su propio centro P. Para mantener laequivalencia con los datos iniciales, las rectas r

1 y s

1,

consideradas “circunferencias” de radio infinito, sedilatan la misma magnitud R, ambas en el mismo sentidorespecto de la bisectriz del ángulo que forman las rectasdadas.

Fig. 2.Fig. 2.Fig. 2.Fig. 2.Fig. 2.

Fig. 3.Fig. 3.Fig. 3.Fig. 3.Fig. 3.

Q

r

E

O

T

T

T

O

C

K�

2

E

2

1

1

r

P

r

s

P

Q

PR

s

r

s

r

R

R

1

1

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DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 61

Fig. 4.Fig. 4.Fig. 4.Fig. 4.Fig. 4.

De este modo, el problema se ha convertido en el casoanterior: trazar las circunferencias tangentes a las rectasr y s y que pasan por el punto P. Estos datos coincidencon los de partida de la Fig. 2Fig. 2Fig. 2Fig. 2Fig. 2, por lo que calculando elpunto Q y continuando con los trazados de la Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 1 seobtienen los centros O

1 y O

2 de dos circunferencias

solución. Los radios de estas son el resultado de sumara los obtenidos en la Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 1 la magnitud R de ladilatación anterior, para recuperar mediante otradilatación inversa la misma posición y magnitud de losdatos iniciales.

En la Fig. 4Fig. 4Fig. 4Fig. 4Fig. 4 se obtienen las otras dos soluciones, decentros O3 y O4, que tiene este caso, resolviendo estamitad completa.

La única variación con la mitad anterior consiste enefectuar la dilatación de las rectas iniciales r

1 y s

1 en

sentido contrario, de modo que se obtienen las rectas r’y s’. El problema se ha transformado en trazar lascircunferencias tangentes a las rectas r’ y s’ y que pasanpor el punto P.

Calculando el punto Q, simétrico de P respecto de labisectriz común de los ángulos que forman las rectas r

1

y s1 y las r’ y s’, se trata ahora de trazar las circunfe-

rencias tangentes a la recta r’ y que pasan por los puntosP y Q. Se determina C

r, centro radical del haz de

circunferencias que pasan por P y Q y de la recta r’. Conla circunferencia auxiliar de centro E, que pasa por lospuntos P y Q, se calcula √K , raíz cuadrada de la potenciadel punto C

r respecto de las circunferencias del haz,

entre las que están las soluciones que se buscan. Por lospuntos T’

3 y T’

4 de r’, que distan √K de C

r, se trazan las

perpendiculares a esta recta que cortan a la bisectriz enlos puntos O

3 y O

4. Las circunferencias con centros en

estos puntos y que pasan por P y Q son tangentes a lasrectas r’ y s’.

Los radios de las circunferencias solución, de centrosO

3 y O

4, resultan de restarles a los de las anteriores la

magnitud R de la dilatación. Antes de trazarlas secalculan los puntos de tangencia en los datos iniciales,que son, respectivamente, T

3 y T

4 en r

1, T

A y T

B en s

1 y T

M

y TN en la circunferencia de centro P.

2.4. Trazar las circunferencias tangentes a otra decentro C y que pasan por dos puntos P y Q(Fig. 5)

Es, prácticamente, el mismo problema que el resuelto enel apartado 2.1. La única diferencia es que la recta r, circunfe-rencia de radio infinito, ahora tiene radio finito y centro C.

Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.

O

s

T

O

T

T

T'

C

K�

r

r'

T

s'

R

R

R

T

T'

T

T

Q

E

P

4

1

N

3

M

3

3

r1

A

B

4

4

E

Ceje radical

O

T

T

B

O

A

CE

Q

P

K

K

�

�

r

2

2

1

1

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62 DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato

Como en aquel caso, el haz de circunferencias quepasan por los puntos P y Q tienen los centros en lamediatriz del segmento PQ y su eje radical es la rectaPQ.

La circunferencia auxiliar de centro E, que pasa porlos puntos P y Q, corta a la dada de centro C en lospuntos A y B. El punto Cr, donde se cortan las rectas PQy AB, es el centro radical de las circunferencias del hazque pasa por P y Q y la de centro C. En consecuencia, lapotencia del punto Cr respecto de todas ellas es la mismay la longitud del segmento √K también.

Las rectas tangentes desde Cr a la circunferencia dada

tienen como puntos de tangencia T1 y T

2, luego estos son

los puntos comunes de las circunferencias solución conla dada.

Los centros de las soluciones, O1 y O

2, se hallan,

respectivamente, donde las rectas T1C y T

2C cortan a la

mediatriz del segmento PQ.

Se seguirá idéntico proceso cuando los puntos P y Qsean interiores a la circunferencia dada de centro C.

2.5. Trazar las circunferencias tangentes a otra decentro C y a una recta r conociendo el puntode tangencia TC en aquélla (Fig. 6)

El haz de circunferencias tangentes a la de centro Cen el punto TC

tienen los centros en la recta CTC y comoeje radical la recta e.

Este conjunto de circunferencias y la de radio infinitor tienen como centro radical C

r, punto donde se cortan

las rectas e y r.

El segmento √K, raíz cuadrada de la potencia de Cr

respecto de todas las circunferencias del haz, es igual aC

rT

C. Por tanto, llevando sobre la recta r el segmento √K

a ambos lados de Cr se obtienen los puntos de tangencia,

T1 y T

2, de r con las circunferencias solución. Los centros

de estas, O1 y O

2, se hallan en los puntos donde las

perpendiculares a r por T1 y T

2 cortan a la recta CT

C.

2.6. Trazar las circunferencias tangentes a otra decentro C y a una recta r conociendo el puntode tangencia Tr en ésta (Fig. 7)

Este caso es similar al anterior. El haz de circunferenciastangentes a r en el punto T

r tienen sus centros en la

perpendicular por Tr a r. La circunferencia auxiliar de centro

E, que pertenece a este haz, corta a la dada en los puntosA y B que determinan el eje radical, e, de ambas.

El punto Cr, donde e corta a r, es el centro radical delas circunferencias del haz, de la dada de centro C y dela recta r.

Llevando sobre la circunferencia de centro C desde Cr

la distancia CrT

r = √K se obtienen los puntos de

tangencia, T1 y T

2, de las soluciones con la circunferencia

dada.

Los puntos O1 y O

2, donde las rectas T

1C y T

2C cortan

a la perpendicular por Tr a r, son los centros de las

circunferencias dadas.

Fig. 6.Fig. 6.Fig. 6.Fig. 6.Fig. 6.

Fig. 7.Fig. 7.Fig. 7.Fig. 7.Fig. 7.

O

O

C

T

r

T

T

C

e

K�

1

2

2

C

1

r

C

T

O

e

E

O

T

r

A

T

C

B

K�

r

2

1

1

2

r

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DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 63

3. Resolución de tangencias aplicandoel concepto de inversión

3.1. Trazar las circunferencias tangentes a otra decentro C y a una recta r conociendo el puntode tangencia Tr en ésta (Fig. 8)

Este problema se ha resuelto en la Fig. 7Fig. 7Fig. 7Fig. 7Fig. 7 aplicando elconcepto de potencia.

El método empleado en la Fig. 8Fig. 8Fig. 8Fig. 8Fig. 8 se basa en la relaciónde inversión entre la circunferencia de centro C y la rectar. Los puntos M y N, donde la recta perpendicular a r porel centro C de la circunferencia dada corta a ésta, sonlos centros de inversión positiva y negativa,respectivamente, que transforma recíprocamente aambas.

En la inversión de centro M, al punto Tr, punto de

tangencia de las soluciones buscadas con la recta r, lecorresponde T

1, alineado con M y T

r y perteneciente a la

circunferencia de centro C, que será el punto de tangenciacon ésta de una de las soluciones. Su centro, O

1, es el

punto de corte de la perpendicular a r por Tr y de la recta

CT1.

Tomando el punto N como centro de la inversiónnegativa se determina el punto T2 inverso del punto Tr. Elcentro, O2, de la segunda solución es el punto de corte dela recta CT2 con la perpendicular a r por Tr.

3.2. Trazar las circunferencias tangentes a otra decentro C y a una recta r conociendo el puntode tangencia TC en aquélla (Fig. 9)

Este caso se ha resuelto en la Fig. 6Fig. 6Fig. 6Fig. 6Fig. 6 aplicando elconcepto de potencia. A continuación se explica lasolución aplicando inversión.

Haciendo, como en el caso anterior, que la circunfe-rencia de centro C y la recta r sean inversas, en lainversión positiva de centro M y en la negativa de centroN, se calcula, en ambos casos, el inverso del punto T

C

resultando, respectivamente, los puntos T1 y T

2.

Los centros O1 y O

2 de las soluciones se hallan en la

intersección de la recta CTC con las perpendiculares por

T1 y T

2 a la recta r.

3.3. Trazar las circunferencias tangentes a dosrectas r y s que se cortan y pasan por un puntoP dado (Fig. 10)

En las Figs. 1 y 2Figs. 1 y 2Figs. 1 y 2Figs. 1 y 2Figs. 1 y 2 se ha explicado la resolución deeste problema aplicando el concepto de potencia.Seguidamente se explica su resolución aplicandoinversión.

Por lo visto en el tema anterior, sabemos que la figurainversa de una circunferencia que no pasa por el centrode inversión es otra circunferencia que tampoco pasapor él y que es homotética de ella, estando los centros deambas alineados con el centro de inversión.

Partiendo de esta propiedad se puede establecer queuna circunferencia cualquiera, de centro E, tangente a

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.

Fig. 9.Fig. 9.Fig. 9.Fig. 9.Fig. 9.

M

T

O

O

T

C

r

T

N

r

2

1

1

2

M

T

O

O

T

C

r

T

N

C

2

1

1

2

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64 DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato

las rectas r y s se puede transformar en otras, tambiéntangentes a ambas rectas, mediante inversiones condistinta potencia de inversión y centro de inversión detodas ellas M, punto donde se cortan r y s.

Los puntos P1 y P2, donde la recta PM corta a lacircunferencia auxiliar de centro E, se corresponden conel punto P dado en dos inversiones positivas de centroM. En cada una de estas inversiones, los centros de lascircunferencias solución, O1 y O2, se hallan en lasintersecciones de la bisectriz del ángulo que forman lasrectas r y s con las paralelas por P a las rectas P1E y P2E,respectivamente.

3.4. Trazar las circunferencias tangentes a otrasdos de centros C

1 y C

2 conociendo el punto de

tangencia TC en una de ellas (Fig. 11)

Sean las circunferencias de centros C1 y C2 y el puntoTC en la primera. La inversión positiva de centro M quetransforma una circunferencia en la otra permite calcularel punto T1, inverso de TC y punto de tangencia de una delas soluciones con la circunferencia de centro C2.

El punto O1 de intersección de las rectas C

1T

C y C

2T

1

es el centro de una de las soluciones.

Repitiendo el proceso, ahora con una inversiónnegativa de centro N, se obtiene el punto T

2, inverso de

TC y punto de tangencia de la segunda solución con la

circunferencia de centro C2. El centro de aquélla, O

2, se

halla en la intersección de las rectas C1T

C y C

2T

2.

Fig. 10.Fig. 10.Fig. 10.Fig. 10.Fig. 10.

Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 1Fig. 11.1.1.1.1.

P

O

P

O

Er

s

P

M

2

1

1

2

M

O TC

TT

CN

O

22

2

1

C

1

1

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DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 65

ACTIVIDADES

1. Dibujar las circunferencias tangentes a la dada de centroC y que pasen por los puntos P y Q (Fig. 12)(Fig. 12)(Fig. 12)(Fig. 12)(Fig. 12).

Aplicación de la Fig. 5Aplicación de la Fig. 5Aplicación de la Fig. 5Aplicación de la Fig. 5Aplicación de la Fig. 5

2. Dibujar las circunferencias tangentes a la recta r quetengan el centro en la recta a y pasen por el punto Pde ésta (Fig. 13)(Fig. 13)(Fig. 13)(Fig. 13)(Fig. 13).

Aplicación de la Fig. 1Aplicación de la Fig. 1Aplicación de la Fig. 1Aplicación de la Fig. 1Aplicación de la Fig. 1

3. Dibujar a escala 1:1 la pieza cuyo croquis acotado sepresenta (Fig. 14)(Fig. 14)(Fig. 14)(Fig. 14)(Fig. 14).

Aplicación de la Fig. 11Aplicación de la Fig. 11Aplicación de la Fig. 11Aplicación de la Fig. 11Aplicación de la Fig. 11

Fig. 12.Fig. 12.Fig. 12.Fig. 12.Fig. 12.

Fig. 13.Fig. 13.Fig. 13.Fig. 13.Fig. 13.

Fig. 14.Fig. 14.Fig. 14.Fig. 14.Fig. 14.

P

Q

C

a

P

r

60

44

16

25ta

ngen

cia

18

R30

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66 DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato

Fig. 16.Fig. 16.Fig. 16.Fig. 16.Fig. 16.

Fig. 17.Fig. 17.Fig. 17.Fig. 17.Fig. 17.

5. Dibujar a escala 1:1 la pieza cuyo croquis se presenta(Fig. 16)(Fig. 16)(Fig. 16)(Fig. 16)(Fig. 16).

Aplicación de la Fig. 3Aplicación de la Fig. 3Aplicación de la Fig. 3Aplicación de la Fig. 3Aplicación de la Fig. 3

Nota: El arco de circunferencia con centro en Q estangente a las rectas r y s y a la circunferencia decentro P.

6. Dibujar a escala 1:2 la cuchara cuyo croquis sepresenta (Fig. 17)(Fig. 17)(Fig. 17)(Fig. 17)(Fig. 17).

Aplicación de la Fig. 6 o Fig. 9Aplicación de la Fig. 6 o Fig. 9Aplicación de la Fig. 6 o Fig. 9Aplicación de la Fig. 6 o Fig. 9Aplicación de la Fig. 6 o Fig. 9

Fig. 15.Fig. 15.Fig. 15.Fig. 15.Fig. 15.

4. Dibujar a escala 1:1 el contorno cuyo croquis sepresenta (Fig. 15)(Fig. 15)(Fig. 15)(Fig. 15)(Fig. 15).

Aplicación de la Fig. 7 o Fig. 8Aplicación de la Fig. 7 o Fig. 8Aplicación de la Fig. 7 o Fig. 8Aplicación de la Fig. 7 o Fig. 8Aplicación de la Fig. 7 o Fig. 8

70

tangencia

32

r

42

75 o

24

35

15

P

Q

36

140r

s

201675

tangencia

168

42

60

14

12

60