UNIDAD 2: LOGICA PROPOSICIONAL

TABLEROS SEMANTICOS

SERGIO AUGUSTO CARDONA TORRES

PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y

COMPUTACIÓN

UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO

Tableros Semánticos Mecanismo de decisión para sentencias de un lenguaje formal. Se considera a Beth el creador del procedimiento de árboles semánticos, destacando su "Semantic entailment and formal derivability". Beth la define como un intento de búsqueda sistemática de contraejemplos para determinar si una fórmula es consecuencia de otras. Es un método utilizado para verificar la satisfacibilidad de una fórmula proposicional.

Literales y fórmulas complementarias

Un literal es una variable proposicional o la negación de una variable proposicional, por ejemplo p, ¬q, s, ¬t son literales. Un conjunto de literales es satisfacible si y sólo si no contiene un par complementario de literales. Si p es un átomo, {p,¬p} son una pareja complementaria de literales. Si se asigna v(p) = V entonces v(¬p)= F, si se asigna v(p) = F entonces v(¬p) = V. Si A es una fórmula, {A,¬A} es un par complementario de fórmulas. A es el complemento de ¬A y viceversa.

Método de los tableros semánticos Realiza una búsqueda sistemática de modelos, disminuyendo la satisfacibilidad de toda la fórmula a la de algunos literales de la misma. En la fórmula A: (p v ¬q). El conjunto de literales es :{p , ¬q} y se tiene que no es un par complementario de literales, por lo tanto se puede establecer un modelo para la fórmula A: v(p)= V, v(q)= F. La fórmula (p v ¬q) es satisfacible. En la fórmula A: (p ^ q) ¬r, el conjunto de literales es :{p, q, ¬r}, entonces no se tiene un par complementario de literales, por lo tanto se puede establecer un modelo para la fórmula A: v(p)= V, v(q)= F, v(¬r)= V. La fórmula (p ^ q) ¬r es satisfacible.

Método de los tableros semánticos En la fórmula A: p ^ ¬p entonces v(A)= V si y sólo si v(p)= V y v(¬p)= V. En el se tiene el conjunto {p,¬p}, que contiene un par complementario de literales y podemos afirmar que no se puede encontrar un modelo para la fórmula A, es decir que A es insatisfacible. Un conjunto de literales es satisfacible si y sólo si no contiene un par complementario de literales. La fórmula A: q ^ (p v ¬q), A es verdadera si v(q)= V y v(p v ¬q)= V. Entonces v(A)= V, si: 1. v(q) = V y v(p) = V o 2. v(q) = V y v(¬q) = V La satisfacibilidad para una fórmula A queda asociada a la satisfacibilidad de un conjunto de literales.

Método de los tableros semánticos Una hoja que contiene un conjunto complementario de literales será marcada con una X y una hoja que no tenga un conjunto complementario de literales será marcada con una O. Si la hoja se marca con una X, esta hoja será insatisfacible (no tiene modelo), en caso contrario esta será satisfacible, (tiene modelo). El árbol en el cual se etiqueten todas sus hojas, es llamado un tablero semántico. Un tablero semántico (árbol etiquetado) para la fórmula A: p ^ ¬p es: Como existe un par complementario de literales {p,¬p},se puede afirmar que esta es insatisfacible.

Fórmulas: Alpha y Beta Para aplicar el método de los tableros semánticos, es necesaria la aplicación de una serie de reglas. Estas reglas se clasifican con base en el conectivo principal. Hay dos tipos de reglas: • - son conjuntivas y estas satisfacen solo si ambas subfórmulas 1 y 2 son satisfacibles. • - son disyuntivas y estas satisfacen aun usando solo una de las dos subfórmulas 1 o 2 es satisfacible.

Si la fórmula es una negación, la clasificación, toma entre considerar ambas la negación y el conectivo principal.

Fórmulas: Alpha -fórmulas, para este tipo de fórmulas es necesario satisfacer simultáneamente sus dos componentes 1 y 2.

- fórmulas

1 2 ¬¬A A

A1 ^ A2 A1 A2

¬(A1 v A2) ¬A1 ¬A2

¬(A1 A2) A1 ¬A2

A1 A2 A1 A2 A2 A1

Fórmulas: Beta Para este tipo de fórmulas es necesario satisfacer una de sus componentes 1 y 2

- fórmulas

1 2

B1 v B2 B1 B2

¬(B1 ^ B2) ¬B1 ¬B2

B1 B2 ¬B1 B2

¬(B1 B2) ¬(B1 B2) ¬(B2 B1)

Construcción del tablero semántico Si se tiene la fórmula: (p v q) ^ (¬p ^ ¬q), el conector principal es ^, por lo tanto se puede aplicar una fórmula. Se elimina del árbol el operador ^ y se separan las subfórmulas con una coma (,), queda entonces el árbol con las subexpresiones: p v q, ¬p ^ ¬q. Teniendo en cuenta que en este punto cada subexpresión tiene un conectivo principal, se puede entonces aplicar ya sea una fórmula o una fórmula.

Construcción del tablero semántico Se escoge la fórmula, entonces esta se aplica y se genera una nueva subexpresión, quedando el árbol con: p v q, ¬p, ¬q. Finalmente se tiene que aplicar una fórmula, teniendo en cuenta que solo queda una disyunción. En este caso, se generan dos subexpresiones, quedando el árbol con dos hojas:

Construcción del tablero semántico Analizando la forma en la cual quedo etiquetado el árbol, se puede afirmar que si todas las hojas del árbol son etiquetadas como cerradas, entonces la fórmula es insatisfacible y por lo tanto no se encuentra un modelo. Una fórmula proposicional es insatisfacible si y solo si el Tableau es cerrado. Un Tableau es cerrado cuando todas sus hojas son marcadas como cerradas.