10.

Tabla de derivadas

A continuacin se exponen las derivadas de las funciones elementales (, c y a son constantes reales, con o a > 0, y u = u(x) es una funcin de x): o (c) = 0 , (x ) = x1 , 1 ( x) = , 2 x (log x) = 1 , x 1 , x log a (u ) = u1 u , u ( u) = , 2 u (log u) = u , u u , u log a

(loga x) = (ex ) = ex ,

(loga u) =

(eu ) = u eu , (au ) = u au log a , (sen u) = u cos u , (cos u) = u sen u , (tan u) = u sec2 u , (cotan u) = u cosec2 u , (sec u) = u sec u tan u , (cosec u) = u cosec u cotan u , (arc sen u) = (arc cos u) = u , 1 u2

(ax ) = ax log a , (sen x) = cos x , (cos x) = sen x , (tan x) = sec2 x , (cotan x) = cosec2 x , (sec x) = sec x tan x , (cosec x) = cosec x cotan x , (arc sen x) = (arc cos x) = 1 , 1 x2

1 , 1 x2

u , 1 u2

(arctan x) =

1 , 1 + x2

(arctan u) =

u . 1 + u2

La segunda columna de derivadas se obtiene directamente de la primera aplicando la regla de la cadena.

23

11.

Tabla de integrales

A continuacin se exponen las integrales de las funciones elementales, la mayor parte de las cuales se o obtienen directamente de la tabla de derivadas (en esta tabla, es una constante real, a es una constante positiva, c es la constante de integracin, y u = u(x) es una funcin de x): o o dx = x + c , x dx = x+1 + c, +1 u u dx = u+1 + c, +1 = 1 ,

1 dx = log |x| + c , x ex dx = ex + c , ax dx = ax + c, log a

u dx = log |u| + c , u u eu dx = eu + c , u au dx = au + c, log a

sen x dx = cos x + c , cos x dx = sen x + c , sec2 x dx = tan x + c , cosec2 x dx = cotan x + c , sec x tan x dx = sec x + c , cosec x cotan x dx = cosec x + c , tan x dx = log | cos x| + c , cotan x dx = log | sen x| + c , sec x dx = log sec x + tan x + c , cosec x dx = log cosec x + cotan x + c , dx = arc sen x + c , 1 x2 dx = arctan x + c , 2+1 x dx 1 x = arctan + c , x2 + a a a

u sen u dx = cos u + c , u cos u dx = sen u + c , u sec2 u dx = tan u + c , u cosec2 u dx = cotan u + c , u sec u tan u dx = sec u + c , u cosec u cotan u dx = cosec u + c , u tan u dx = log | cos u| + c , u cotan u dx = log | sen u| + c , u sec u dx = log sec u + tan u + c , u cosec u dx = log cosec u + cotan u + c , u dx = arc sen u + c , 1 u2 u dx = arctan u + c , u2 + 1 u dx 1 u = arctan + c , u2 + a a a

si a > 0 .

La segunda columna de primitivas se obtiene directamente de la primera aplicando un cambio de variable.

24

TABLA DE DERIVADAS NOTA: u y v representan, cada una, una expresin en funcin de x PROPIEDADES BSICAS y = ku y ' = ku ' , k R

y = uv y ' = u ' v + uv'

y = u v y ' = u ' v' u u ' v v' u y = y' = v v2Ejemplos y=5 y = 4x y = (2x+7)4 y = 3x y = 4 7x y' = 0 y = 4 y = 8(2x+7)3 3 y = 2 3x 7 y = 4 4 (7 x ) 3

FUNCIN Constante y=k Identidad y=x Potenciales y = un

DERIVADA y = 0 y = 1

y = nun1u u' y = y= u 2 u u' y = y= n u n n u n1 Exponenciales y = eu y = ueu y = au y = uau ln a Logartmicas u' y = y = ln u u u' 1 u' y = loga e = y = loga u u u ln a Trigonomtricas y = sen u y = u cos u y = cos u y = u sen u u' y = = u ' (1 + tg 2 u ) y = tg u 2 cos u u' y = = u ' (1 + cotg 2 u ) y = cotg u 2 sen u y = sec u y = u sec u tg u y = cosec u y = u cosec u cotg u u' y = arcsen u y = 1 u2 u' y = arccos u y = 1 u 2 u' y = arctg u y = 1+ u2

y = e4x+5 y = 37x5

y = 4e4x+5 y = 737 x 5 ln 32 2x + 7 3 y = log 2 e 3x + 4

y = ln (2x+ 7) y = y=log2(3x+4) y = sen 2x y = cos x3 y = tg 5x y=cotg(3x+2) y = sec 3x y = cosec x2 y = arcsen x2 y = arccos 5x

y = arctg 2x

y = 2 cos 2x y = 3x2 sen x3 5 y = = 5(1 + tg 2 5 x) 2 cos 5 x 3 y = 2 sen (3x + 2) y = 3 sec 3x tg 3x y = 2x cosec x2 cotg x2 2x y = 1 x4 5 y = 1 25 x 2 2 y = 1+ 4x 2

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TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS NOTA: u y v representan expresiones que son funciones de x PROPIEDADES BSICAS ku dx = k u dx

(u v) dx = u dx v dxCambio de variable: f (u)u' dx = f (t )dt , llamando t = u(x)Ejemplos

Integracin por partes: u dv = uv v duINTEGRALES INMEDIATAS Potenciales dx = x + Cn u ' u dx =

5dx = 5 dx = 5x + C3 x dx =

u n+1 +C n +1

(n 1)

x4 (3 x + 1) 3 + C ; 3(3 x + 1) 2 dx = +C 4 3

u' 2 u dx = u + C Exponenciales y logartmicas u u u ' e dx = e + C au u ' a dx = ln a + C u' u dx = ln u + C Trigonomtricas u 'sen u dx = cos u + Cu

2

3x 2 x +133 x 4 +3

dx = x 3 + 1 + C

4x e

dx = e x

4

+3

+C

27 x 72 dx = ln 2 + C 3x 2 3 x 3 + 1 dx = ln x + 1 + C7x

u' cos u dx = sen u + C u' tg u dx = ln cos u + C u ' cotg u dx = ln sen u + C cos u dx = tg u + C u 'sec u dx = tg u + C u ' (1 + tg u)dx = tg u + C2 2 2

2 x sen( x + 5)dx = cos( x + 5) + C 3x cos( x 1)dx = sen( x 1) + C (2 x + 1) tg( x + x)dx = ln cos( x + x) + C 2 xcotg x dx = ln sen x + C2 2 2 3 3 2 22 2

u'

cos 3x dx = tg 3x + C (3x + 1) sec ( x + x + 1) dx = tg ( x 2(1 + tg 2 x)dx = tg 2 x + C2 2 2 3 2

3

3

+ x + 1) + C

sen u dx = cotg u + C u ' cosec u dx = cotg u + C u ' (1 + cotg u)dx = cotg u + C2

u'

2

2

sen x dx = cotg x + C (4 x + 1)cosec ( x + x) dx = cotg ( x 3(1 + cotg 3x)dx = cotg 3x + C2 2 2

2x3

2

4

4

+ x) + C

2

1 u 2 u' 1 + u 2 dx = arctg u + C

u'

dx = arcsen u + C

2dx 1 4x 2

= arcsen 2 x + C

ex x 1 + e 2 x dx = arctg e + C

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