TA EV) SAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ V E BİR DEĞERLEME

Doç. Dr. Mustafa KÖKSAL

1.1 GİRlIŞ

Matemat ik programlama denil ince akla hemen Doğrusal Programlama ve simpleks çözüm tekniği gelmektedir. Gerçek­ten, Doğrusal Programlama modeli ve çözüm tekniği simpleks, biraz sonra değineceğimiz Tamsayılı Programlama problemle­rinin çözüm algori tmaları iç inde de kullanılmakta, böylece op-t imizasyon çalışmalarının temel taşını oluşturmaktadır.

Bir Doğrusal Programlara (DP) modelinin genel formülas-yonu şu şekilde ifade edi l i r :

Amaç Fonksiyonu n

Optimize Z = 2 CjXj

Kısıtlayıcı Koşul lar

S a,jXj ( < , = ) b i , i = 1,2, ,m. iç in

x j > 0 j = 1,2, ,n için

Buna göre bir DP modelinin varsayımları şöyle özetlenebi­l ir:

a) Oeterminist ik bir modeldir. Modeldeki herbir katsayı sa­bi t .ve kesinl ikle bi l iniyor olmalıdır.

b} Amaç fonksiyonu ve her kısıtlayıcı denklem üneer olma­lıdır.

c) Karar değişkenleri bölünebi l i r olmalıdır (1).

.1.2. Simpleks Çözüm Yöntemi

Bir DP probleminin simpleks yöntemi ile çözümlenebi lme­si için standart forma getir i lmesi gerekir : Tüm kısıtların ( ^ ) o l ­ması hal inde standart fo rm;

optimize Z =* 2 CJXJ

kısıtlayıcı koşullar

2 âijXj + S , = b{ I = 1, ,m

ve Xj > 0, İ = 1, ,n

Si > 0, i - 1,. ,m f i . kısıtın gevşek değişkeni)

olarak ifade edilir.

Bu şartlar altında başlangıç simpleks tablosu düzenlenerek simpleks algoritması problemi aşağıdaki gibi çözer (2):

Simpleks Yöntemin Adımları :

1. Problemi bir gaye fonksiyonu ve bir dizi kısıplayıcı koşül denklemler i Üe formüle et. (Standart Forma get i r ) ,

(1) Dantzing, Georgo B.: «Linear Programming and Extonsİons», Prlnceton Unfverslty Press, 1963, s. 6.

(2) Thierauf, R. J . - Grosse, R. A.: «Decislon Making Through Operaiions Research» John Wi|ey and Sons, Inc., New York, 1970, s. 250.

2. Başlangıç tablosunu gevşek değişkenlerle düzenle ve Z J (

Cj - Zj satırlarını hesapla,

3. Çözüme hangi değişkenin gireceğini belir le (en büyük Cj -Zj değeri),

4. 'Hangi değişkeni (çözümden) temelden çkkaracağına karar ver (Miktar (sabitler) kolonunun opt imum veya anahtar sü­

tunundaki karşılığı katsayı değerler ine bölünmesinden or­taya çıkan oranların en küçüğü),

5. Giren değişken için yeni satır değerlerini hesapla ve bu de­ğerleri yeni tabloya yerleştir.

6. Diğer satır değerlerini de hesapla ve yeni tabloya koy. Yeni Zj ve Cj - Zj satırlarını hesapla. Şayet Cj - Zj satırında pozitif değer kalmadı ise çözüm opt imumdur. Pozitif değer varsa (Cj - Zj de) 3, 4, 5 ve 6. adımları tekrarla. Minimizasyon Problemlerinde Cj - Zj satırlarında en büyük negatif değer l i değişken i!k defa çözüme sokulur.

Temel C f i Değ i şken le r

0 sE

û S:

K a r a r D e ğ i ş k e n l e r i Gevşek Değ işken le r

c, c , c n u 0 0

x, x , xn s, s} s m

0 0

a j ı a» a 5 n u 1

C , . c n 0

«n s

a . . a m 1

a „ a m 0

ÇÖ2ÜIB

se t i

b

b

tu •w c ;

ıcr> c; û) X.

<"ı t: , . <u —

2.1. TAMSA YILI DOĞRUSAL PROGRAMLARI MODBLİ (TDP)

Tamsayılı Doğrusal Programlara matematiksel programla­ma teknikler inden birisidir. Gerçekte Doğrusal Programlamanın

özel bir durumudur. Tüm değişkenlerin tamsayı olması duru­munda 'salt' (pure) tamsayıfı programlama, sadece seçilen bazı değişkenlerin tamsayı olması durumunda 'karma' (mixed) tamsa-yılı programlama söz konusudur.

Model formüle edi l i rse;

Amaç Fonksiyonu:

optimize Z = 2 CjXj J=1

kısıtlayıcı koşullar

S a ; jXj b İ 5 i — 1, 2, . . . . . . .m için

X j > 0 j = 1, 2, ,n için Xj tamsayılı j = 1,2, ,p ( < n )

şeklindedir. Notasyoniaria ifade edecek olursak dördüncü ko­şulda p = n olması hal inde salt, aksi durumda karma tamsayı­lı programlama modeli karşımıza çıkar. Ayrıca amaç fonksiyonu uygulamaya bağlı olarak maksimum veya minimum olabi leceği g ib i , kısıtlayıcı koşullarda ( > ) eşitsizlikleri veya ( = ) eşit l iklerini içerebil ir. '

Tamsayı değişkenler in sadece sıfır veya bir olması du ru ­munda TOP nin özel bir hali olan sıftr-bir (0 - 1) programlama problemi ortaya çıkar (3). Ulaştırma (Transport) model i arz (sj) ve talep (dj) değerlerinin tamsayı olması koşulu ile bir salt TOP problemi olarak nitelenebileceği g ib i , atama (yükleme) mo­deli de Ö - 1 programfarna problemine bir örnek teşkil eder.

(3) Budnick, F. S. - Mojena, R. - Volîmann, T. E.: «Princlpfeş of Operatİohs Research for Management» Richard D. lrwin Inc., Homewood Illinois, 1977, s. 275.

Bil indiği gibi l ineer programlama modelinde değişkenlerin bölünebil i r olma varsayımı yapılmaktadır. Simpleks yaklaşımın sonunda elde edilen karar değişkenleri de uygulamanın nitel ik­lerine göre; örneğin, mamul karışımı probleminde kesirli miktar­lar, yatırım bütçeiemesinde bir projenin bir bölümü veya işlere tahsis edilen işçilerin kesirl i bir imler olması gibi sonuçlar vere­cektir. Kesirl i sonuçların yuvarlatılarak tamsayıya çevri lmesi ise çözümün mümkün olmayan veya 'optimal olmayan' b i r nitel iğe bürünmesine yol açabil ir. Bazı durumlarda sayıların yuvarlatı l-ması işlemi devamlı surette 'mümkün olmayan' sonuçlar verir (4). . '

TOP problemlerinin DP problemlerinin özel bir hali o lduğu­nu bel ir t t ikten sonra, opt imal tamsayılı olmayan bi r TDB proble­mi çözümünün optimal tamsayılı <bir çözümden daima iyi veya ona eşit olacağını burada belirtel im. Başka bir deyişle 4 koşulu­nun sınırlayıcı özell iği bir TOP probleminde amaç fonksiyonun maksimum değerinin bir DP problemi için karşılığı olan çözüm değerinden daha küçüktür.

Grafik üzerinde gösterecek olursak, basit bir hava kargo ta­şımacılık problemi aşağıdaki gibi formüle edi lmişse;

z max = 20xı 4 - 10x z

kısıtlayıcı koşullar:

5x, + 4x 3 < 23 (Hacim)

2x,, + 5x ^ 1 3 (Ağırlık) x,, x 2 — negatif olmayan tamsayılar olmak üzere Şekil 1.1

elde edil ir.

Optimal OP çözümü sadece 4.8 konteynıriık Xı ürününün sevkjyatını önermektedir. Gerçekte bir konteynırın 0.8 inin gön-

(4) Glover; F. - Samme-r, D. C : «Pitfalls of Rounding in Discrete Mana­gement Decision Problems», Decision Cciences, Vol . 6., No. 2, April 1975, s. 211.

9

deri lmesi mümkün olmadığından problem TOP Özelliğini taşı­maktadır. Tamsayı olmayan 4.8 çözüm değerini en yakın tam­sayı 5 değerine çıkarttığımızda, şekilden de görüleceği gi'bi i lk kısıt çiğnenmektedir. ( + ) ile gösteri len diğer tamsayı çözüm nok­talarından (x, = 4 ı , x 2 = 0). seti için 2 = 8 0 elde edi lmektedir. Bu sonuç mümkün ve tamsayılı olmasına rağmen optimal deği l ­dir. Graf ikten de görüleceği gibi optimal sonuç (xı = 4 ı , X 2 — 1) seti için ( 2 = 90) olmaktadır. Literatürde tamsayılı olmayan ve tamsayılı olan optimal Z değerleri arasındaki farka genel l ik le «bölünmezlik maliyeti» adı veri lmektedir (5) . Bölünmezl ik mal i­yeti bu spesif ik örnek için ( 9 6 — 9 0 = 6 ) olarak, hesaplanabil ir.

Şekiî: 1 -— Kargo Problemi Grafik Gösterimi,

(5) Budnİk - Nojena - Vollmân; a.g.e., s. 277.

\

2.2. TAMSAYI LI PROGRAM LAMA MODELİ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ

Görüldüğü gibi birçok işletme problemi TDP problemi g ib i formüle edebi lmektedir. TDP problemlerini çözmek için genel ve özel nitel ikl i çeşitH algori tmalar mevcuttur. Bundan sonraki bö­lümlerde genelden özele doğru TDP probleminin çözüm yöntem­leri tartışılacaktır.

2.2.1 — Dal Sınır Algoritması

Dai-Sınır Algori tması salt ve karma TDP problemleri yanı­şım 0-1 problemleri için uygundur. Başlangıçta ori j inal proble­min simpleks yöntemine göre optimal çözümü bulunur. Eğer bu çözüm tamsayılı olma koşulunu gereekleştirmiyorsa, ori j inal problem daha fazla kısıtlı alt problemlere ayrıştırılır. A l t problem­ler tekrar simplekse göre çözülerek sonuçlara bakılır, tamsayı­lı sonuçlar elde edilene kadar bu özel arama rutininde devam edil ir. Her düğümde simlpeks uygulandığı için dal sınır algorit­ması daha fazla sınır koşulu altında bir dizi doğrusal program­lama probleminin çözümü diye tanımlamak mümkündür (6).

Dal-sınır algoritmasının yapısını anlamak için belki en kolay yol bir örnek üzerinde açıklamaktır.

ö rnek Problem;

z max = 40xı + 90x 2

kısıtlayıcı koşullar:

9x, + 7x 2 < 56 7x, + 20x 2 < 70 x ı , x 2 pozitif tamsayı

Şeki l : 2 den görüldüğü gibi simpleks çözümü b noktasında elde edi lmektedir ( x ı . = 4,809, x 2 - 1.817 ve Z, = 355.890)..

(6) Plano, D. - McMillan, C. Jr., «Dİ3rete Optimization - Integer Program-ming and NelVvork Analysis for Management Decisfons», Prantice -Half, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1971, s. 75.

Şekil; 2 — Örnek Problemin Grafik Gösterimi.

Her iki değişken de tamsayı değildir. O halde dal-sınır yöntemi­ne başvurulabil ir.

Dal-sıntr yönteminde tamsayı olmayan karar değişkenler in­den herhangi bir i , seçi lerek dallanma başlatılır. xı değişkeni se­çi ldiği takdi rde x T < 4 ve xı > 5 koşullarına göre (xı - 4 ve xt = 5 değerler i arasındaki alanın çözüm alanı olarak al ınmadı­ğı kabul edi l i r ) . Orjinal problem iki yavru probleme ayrıştırılır, Bkz. : Şekil 3.

Yeni formüle edilen problemler sürekli l ik varsayımına göre simpleks yöntemi ile çözümlendiğinde aşağıdaki sonuçlar elde edil ir:

— 12 —

Problem (2) Problem (3)

Z = 349.000 2 = 341.390 x, = 4.000 x, = 5.000 x 2 = 2=100 x 2 = 1.571

Şokil: 3 — Ana Problemden Ayrıştırılmış Yavru Problemlerin Grafik Gösterimi

Yine xı dışında kalan değişkenlerin tamsayı olmadığı görü l ­mektedir. Sonuçları yorumlarsak; x, in dört veya daha az değer­leri için Z nin 349 dan daha büyük değerler alması beklenemez. Aynı şeki lde xı in beş veya daha büyük değerleri i ç inde Z nin 341,390 i aşması söz konusu değildir.

Mümkün çözüm aramaya devam ederken dal-smır algori t­ması, elde edilen sonuçlardan üstün olan düğümden (veya yav­ru problem) dallanmayı sürdürme prensibini uygular. Anal iz so­nuçları 2. problemden dal lanmanın daha umut verici o lduğunu göstermektedir.

x 2 < 2 ve x 2 > 3 yeni kısıtlayıcı koşullarına göre 4. ve 5. problemler çözümlenirse şekil 4 deki özet sonuçlar elde edil ir. 4. problemin amaç fonksiyonu 340 ve değişkenleri tam sayılıdır. 5. problemin sonuçları ise tamsayılı değildir. Ayrıca dal lanmaya

13 —

devam edil irse Z - 327.120 değerinden daha büyük b i r değer elde edi lemeyeceğinden arama işlemi bu seviyede kesilir. Böy­lece optimal sonuç x^ = 4.0 ve x 2 + 2, Z = 340.000 diyebi lme­miz için problem 3 sonuçları ile problem 4 sonuçlarının da k ı ­yaslanması gerekmektedir. Z = 341.390 değeri 3. problemin x 2 < 1 ve x 2 > \ ek kısıtlarına göre 6. ve 7. problemler şeklinde tekrar çözülmesini böylece 4. problemden daha İyi b i r sohucun bu bölgelerde olup olmadığını aramayı öngörmektedir. Bu özel­l iğ inden dolayı dal-sınır algoritmasına «Geri İzleme» yöntemi d i ­yenler de vardır (7). Ancak şekil 4. de de özetlendiği üzere daha iyi sonuçlar elde edi lemediğinden optimal çözümün x, - x 2 = 2 ve Z — 340 olduğu anlaşılmaktadır.

H s 35$ %İ0 K. - V tüt* * , = -l.tıî

. z = '% —

2 İD V

i - 340.000

*. = İAZ$ y± - 3.D£»

Şekil 4 — Örnek Problemin Dal-Sınır

* ı : 5 . 0 D O

i _ 3ÛÎ. ^-£0

1 0 DO

örnekte ele alınan dal-sınır algoritması şekil 5'de veri len akış diyagramına göre çözülmüştür. B i r başka deyişle bir dal -sınır algoritmasının akışı şekil 5'dekİ diyagram gibi özetlenebi­lir (8),

(7) VVagner, Harvey M.: «Principles of Management Science», Prontice-Hall. 1970, s. 300. , /

(8) Land, A. H. - Doig, A.: «An Automatic Method of Solvİng Discrete Programming Problems», Econometrica, 28, 1960, s. 297-520.

14

/

Daha önce de belirt i ldiği gibî hem salt hem de karma TDP problemlere uygulanan bu teknik, örnek problemde sadece x t

in tamsayı olması koşuluna göre ilk dal lanmada optimal sonucu verecekt i . (Xi = 4.0, x 2 = 2.1 ve Z = 349.0). O halde karma tamsayılı problemler için dal-şınır tekniği daha cazip bir yakla­şım olarak nitelenebil ir (9).

2.2.2. Kesen Düzlem Algori tması

Gerek salt, gerekse karma tamsayılı programlama modelle­rinin çözümünde kullanılan diğer bir teknik de Gomory 'n in ke­sen düzlem algoritmasıdır (10). Dll-sınır yönteminde olduğu g i ­bi bu teknik de problemin sürekl i l ik hal indeki optimal çözümü ile işe başlar. Bayet opt imal çözüm tamsayı koşullarını sağlamı­yorsa, yeni kısıtlar formüle edilerek probleme eklenir. Bu kısıt­lar iki-boyutlu problemlerde düzlemleri , n-boyutlu problemlerde ise hiperdüzlemleri temsil etmektedirler. Kesen düzlemler hiç­bir tamsayılı çözüm noktasını dışarıda bırakmayacak veya el imi­ne etmeyecek b iç imde mümkün çözüm alanını veya uzayını sı­nırlar. Doğrusal programlama problemler inden hatır lanacak olursa, opt imal çözümlerden en az birisi çözüm alanının köşe­lerinden bir is inde ortaya çıkmaktadır. Simpleks algoritması da bu nedenle, opt imal sonucu buluna dek köşe noktalarını siste­matik b i r tarama işlemine tabi tutmaktadır. DP modelinde tüm köşe noktalarının tamsayı olması gerekmediğinden, kesen düz­lem yöntemi tamsayılı köşe noktalarını içerecek şekilde müm­kün çözüm alanını yeniden belir lemektedir. Bunu başardığı an­da, simpleks uygulanırsa optimal tamsayılı bir çözüm elde edi ­lebi lmektedir.

Oal-sınır yönteminde örnek iki değişkenli mekanizasyon problemi için kesen düzlem yaklaşımı Şekil 6'da graf ik olarak temsil edi lmektedir . Opt imum sonuç yine x, = 4, x 2 = 2 olan c noktasında elde edi lmektedir.

(9) Plane, D, - McMİllan, C : a.g.e., s. 82. (10) Goriıory, R. E.: «An Algorithm for Integer Solutions to Linear Prog-

rarns» Recent Advancas in Methematİcal Programming, Graves and VVolfe (editors) McGraw-Hill Bok Company, 1963.

_ 1 - -O r j i n a l p r o b l e m i n ' tamsayılı olmayan şeklini çöz. Bunu ge­çici o l a r a k A p r o b l e m i d i y e *çağır.

A p r o b l e m i çözümünden tamsayı olmayan b i r x j değişkenini seç. Kj değeri b j i s e A p r o b l e m i n e sıra i l e aşağıdaki kısıtları ek­l e y e r e k i k i y a v r u p r o b l e n : düzen­l e ; a. x j b j n i n tamsayı kısmı

b. Xj b: cen büyük b i r son­r a k i tamsayı

İki a l t p r o b l e m i s i m p l e k s e göre çöz.

! Mevcut durumda y a v r u s u olmayan tüm mümkün p r o b l e m l e r d e n gaye f o n k s i y o n u n d a en i y i değerlisini b e l i r l e , bu p r o b l e m i t e k r a r A d i y e i s i m l e n d i r .

Şekil: 5 — Dai-Sınır Algoritması Akış Diyagramı.

Şekil 6 — Kesen Düzlem Algoritması örnek probleminin grafik gösterimi.

2.2.3 Grup Teorik Yaklaşımı

Bu metot bir TDP problemini sırt çantası (knapsack) prob­lemine dönüştürerek çözüm arar. Bu çözüm tekniğinin ayrıntı­ları yazının boyutlarını çok genişleteceğinden şimdi l ik kapsam dışı bırakılmıştır.

2.2.4. Sezgisel Yaklaşımlar

Sezgisel ( = Heuristic) karşılığı kullanılan bir nevi el yor­damı ile çözüm arama yöntemidir.

Sezgisel yöntemler Maier, Pazer ve Nawel l 'e (11) göre; kar­şılıklı bağdaşmaz olması gerekmeyen üç alt setten oluşmakta­dır. Bunlar sıra i le; a) Sezgisel problem çözme, b) Yapay akıt,

(11) Meier, R. C. - Newell, W . T. - Pazer, H.L: «Simulatİon in Business and Ecönomics» Prentice-Hall, Inc., 1969, s. 150.

17

c) İnsan düşüncesinin simuiasyonudur. Bizim burada sözünü edeceğimiz bu altsetlerdeh ilki olup, amaç bir problemin özel­l iği dikkate alınarak çözüm uzayını tarama çabalarının azaltı l­masıdır.

Sezgisel yöntemler özel amaçlı ve genel amaçlı olarak da ayırdediiebil ir. özel amaçlı sezgisele örnek; satrançta kul lanı­lan kurallardır. Genel amaçlı sezgisellerin başında ise ilk Giren İlk Çıkar (FIFO) kuralı gelmektedir. FIFO kuralı envanter değer­leme ve kuyruk sistemlerine oldukça geniş uygulama olanağı bulmuştur. Diğer bir sezgisel metot problemi DP kodu İle çöz­mek ve çözüm vektöründeki sonuçları, mümkün bir çözüm elde edene kadar tamsayıya çevirmek olabi l i rd i . Fakat bu çözümün opt imalden çok uzak olabi leceği daha önce bel ir t i lmişt i .

Sezgisel yöntemler birçok problemde kullanılmakla bera­ber bilhassa, enumerasyon (sayılama) i le opt imal çözümün aran­dığı büyük kombinator ik problemler veya TDP problemler inin çözümünde, çözüm uzayının sınırlı bir taramasını yaparak müm­kün çözümü bulabi lmektedir.

2.3. TAMSAYILI PROGRAMLAMA MODELİ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİNİN DEĞ E RLENOİ RİMESİ;

Tamsayılı programlama problemler inde ana sorun, for-mülasyondan ziyade problemin etkin b iç imde çözümüdür. Her metodun kendine özgü avantaj ve dezavantajları vardır. Bir prob­lem için çok iyi sonuç veren bir yöntem, benzer bir başka prob­lemde başarısızlığa uğrayabilmektedir. En iyi çözüm algor i tma­sının seçimi araştırmacının bi lgisi ve tecrübesi yanısıra sezgisi­ne de dayandığı için bir sanat olarak nitelendir i lebi l ir . Aşağıda­ki satır larda TDP çözüm algoritmalarının b i r değerlendir i lmesi yapılmaktadır;

2.3.1. Kesen Düzlem Algoritması

Gomory'nin kesen düzlem algoritması kolaylıkla bilgisayar­da kodlanabi lecek özell iktedir. Bel i r l i sayıda iterasyondan son-

ra optimal çözüme kavuşulacağı varsayılmakla bir l ikte, genel l ik­le bu sayı bi lg isayar la çalışılmasına rağmen çok büyük olabi l ­mektedir. Bu yöntemde diğer bir problem yuvarlatma (round-off) hatalarına karşı hassas oluşudur. Kesir l i değerler le çalışıldığı için bi lgisayarda ondalık aritmetik kullanılması zorunluluğu var­dır . -Birçok bilgisayar kodunda çift duyarlı (double precision) ari tmetik özell ik mevcut olmakla beraber, problem her İteras-yonda büyüyen sayıda kesen düzlemlerle çözümlenmeye çalı­şıldığı İçin bazen bu da yetersiz kalabi lmektedir (12).

Kesen düzlem algoritmasının diğer b i r özell iği, amaç fonk- . siyonu bir platoya ulaştığında, İterasyondan iterasyona önemli bir i lerlemenin kaydedilememesidir. Birçok kesen düzlem ek­lenmesine rağmen amaç fonksiyonunun değerinde oldukça kü­çük değişikl ikler elde edilebil ir. Büyük boyutlu problemlerde o l ­duğu kadar, küçük problemlerde de bu pahalı özell ik veya dez- . avantajla sık sık karşılaşılabilmektedir. Bu sakıncayı gidermek için uzmanların gelişt ir i lmiş, bu bölgeden (platodan), kurtulma hi lelerine çözüm algoritması içinde başvurulmuştur.

Bu algori tmanın diğer b i r sakıncası da ajî ve bi değerleri olan problemlerde zorlanmasıdır.

Son olarak, kesen düzlem yöntemi bir (duai-simpleks) dual metot olduğu için eleştir i lmektedir. Bu teknik, mümkün olmayan bir çözümle İterasyonlara başlamakta ve optimal çözüm elde edene kadar bulduğu sonuçlar mümkün olmayan özell ik taşı­maktadır. Şayet metot optımale yakınsaklaşmaz ise veya yakın-saklaşmayı tamamlamasına izin vermek çok pahalıya mal ola­cak ise, kullanıcı bi lgisayarda, programı kestiği noktada ne bir 'opt imale yakın' ne de iyi bir 'mümkün çözüm' elde edebilmiş olmaktadır.

(12) Geoffrion, A. M.: Marsten R. E., «Integer Programming Algorİthms: A Frameıvork and State of the Art Survey», Management Selence, 18, 7 (March 1972)ı

özet le , kesen düzlemin başarısı problemin şekline bağlıdır. Optimal çözüme ulaşmak için, bazen sadece kısıtların sırasını değişt irmek, gerekl i kesen düzlemlerin sayısını önemli ö lçüde etki leyebi lmektedir.

2.6.2. Kısmi Sayılama (Enumerasyon) Yöntemleri

a) Dal-sınır Algor i tması; ,

I

Bu yöntem küçük boyutlu problemlerin çözümünde olduk­ça etkin olmakla beraber, problem 50. değişken ve 25 kısıttan fazla olan büyük problemlerde veya ilk simpleks. çözüm, opt i ­mal tamsayılı çözümden bir hayli uzakta ise, gerekli i terasyon-İarın sayısı aşırı derecede büyüyebi lmededir . Sadece problemin boyutu çözüm karmaşıklığı için neden değildir. Belirli bazı prob­lemler büyük dalların dudanmasına müsaade ederken, diğer ba­zıları en uç noktaya kadar taramayı gerektirebil ir. Fakat, kesen düzlemle mukayese edi ldiğinde, dal-sınır yönteminin opt imuma yakınsaklaşması zaman (maliyet) açısından durdurulsa dahi, de­ğeri olan bir mümkün çözümü kullanıcıya sunması açısından ter* cih edi lmelidir. Daha önce de bel ir t i ldiği gibi bilhassa karma tamsayılı programlama da iyi bir yöntemdir.

b) Gizli Sayılama Algor i tması:

Gizli sayılamanın en önemli avantajı tamsayılı ari tmetik ku l ­lanmasıdır. Böylece kodlamada sabit nokta aritmetik özell ikten yararlanarak, yuvarlatma problemleri ortadan kalkar, üstel ik hafıza gereksinimi, bu yöntemde simpleksle ilgili diğerler inden daha azdır. Fakat genel bir TDP probleminin 0-1 eşdeğerine dö­nüştürülerek çözülmesi de birçok değişkenin eklenmesine sebeb olur. Böyle durumlarda hafıza kapasitesi ve zamanı çok kr i t ik olabil ir.

— 20 —