T-8 MENGKONSTRUKSI MODEL DISTRIBUSI KONTAK PADA … · Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika ... kompak terbatas dan disipasif, persistensi

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7

Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ” KKoonnttrriibbuussii PPeennddiiddiikkaann MMaatteemmaattiikkaa ddaann MMaatteemmaattiikkaa ddaallaamm MMeemmbbaanngguunn

KKaarraakktteerr GGuurruu ddaann SSiisswwaa"" pada tanggal 10 November 2012 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

T-8

MENGKONSTRUKSI MODEL DISTRIBUSI KONTAK PADA

TRANSMISI PENYEBARAN VIRUS PADA 2 LOKASI DENGAN

STRAIN YANG BERBEDA

Hariyanto1, Basuki Widodo

2, I.Nyoman Budiantara

3, C.A.Nidom

4.

1Mathematics Departement of ITS and Doctorte Student in Airlangga University,

2 Mathematics Departement in ITS,

3 Statistics Departement in ITS,

4 Airlangga University.

[email protected],

[email protected]

ABSTRAK

Transmisi penyebaran penyakit pada multi-lokasi dapat terjadi karena mobilitas

individual yang bergerak dinamis pada lokasi yang sama maupun pada lokasi yang

berbeda (antar lokasi) dan transmisi penyakit dapat terjadi karena kontak individual

pada masing-masing lokasi, Konstnstantin B.Blyyuss,2005 telah mengembangkan

model transmisi penyebaran penyakit pada 2 lokasi dengan strain yang sama dan

lebih menekankan pada model distribusi terinfeksi dengan fungsi transmisi linear

sebagai bentuk penyebaran penyakit.

Pada makalah ini mengembangkan model penyebaran penyakit pada 2 lokasi

dengan strain yang berbeda pada setiap lokasi, penyebaran pada setiap lokasi maupun

antar lokasi dikonstruksi dalam bentuk model distribusi kontak dan analisa model

dilakukan berkaitan dengan perubahan subpopulasi yang atrack terhadap sistem yang

kompak terbatas dan disipasif, persistensi dari virus terhadap bilangan reproduksi

dasar..

Kata Kunci : Pemodelan Epidemik, Model Spasial, Bilangan reproduksi dasar,

Persistensi.

PENDAHULUAN

Latarbelakang.

Pemodelan matematika dari penyebaran virus multistrain multi species dibangun oleh B.

J. Caburn dkk,2011 pada satu lokasi, model berbentuk sistem persamaan differensial

biasa dengan mengamati penyebaran virus pada babi diharapkan dapat berperan sebagai

tempat terjadinya koalisi dari virus H1N1dan H5N1, demikian pula yang dilakukan oleh

J. M. Hyman dkk,2004 telah membangun model penyebaran geografik dari virus H1N1

untuk 59 kota diseluruh dunia dengan hongkong sebagai pusat penyebaran, analisa yang

dilakukan dapat diketahui bahwa penyebaran virus di kota-kota lainnya berkorelasi

terhadap pusat penyebaran.

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 70

K.B. Blyuss dkk,2005 dalam penelitiannya menunjukkan bahwa pergerakan individual

dianggap sebagai partikel yang bergerak bebas,model dibangun berdasarkan individual

yang bergerak didalam lokasi maupun antar lokasi, model yang diperoleh berbentuk

sistem persamaan integro differensial parsial, S. Ruan dkk,2006 mengembangkan model

yang dibuat oleh K.B. Blyuss dkk dengan membagi bentuk model dalam 2 bagian yaitu

model distribusi kontak dan model distribusi terinfeksi.

Berdasarkan pada kenyataan bahwa penyebaran virus dapat terjadi pada lokasi yang

berbeda dengan strain yang berbeda, misalnya penyebaran virus influenza avian H5N1

secara global yang terjadi di Indonesia berpotensi terjadinya koalisi dengan virus

manusia, beberapa penelitian di laboratorium telah dilakukan antara lain koalisi antara

H5N1 unggas A/Chicken/South Kalimantan/UT6028/06(SK06 H5N1) dan H3N2

A/Tokyo/UT-SK-1/Tok07.H3N2 menghasilkan virus dengan patogen

tinggi(C.A.Nidom,2012).

Rumusan masalah

1. Bagaimana melakukan pengamatan terhadap penyebaran berbagai virus yang

terjadi pada wilayah yang lebih luas sehingga terjadi koalisi pada beberapa lokasi

jika wilayah dibagi dalam lokasi-lokasi ?.

2. Bagaimana mengetahui reproduksi dasar terhadap virus-virus tersebut pada

penyebaran lokal maupun global serta keterkaitannya dengan persistensi virus

terhadap sistem?

Tujuan dan Manfaat.

Tujuan dari kajian ini adalah:

1. Membangun Model Matematika dari penyebaran virus-virus yang berada pada 2

lokasi yang berbeda sebagai suatu model sistem distribusi kontak yang terdiri dari

subsistem-subsistem.

2. Melakukan analisis terhadap persistensi masing-masing model subsistem dari

model sistem dan keterkaitannya dengan bilangan reproduksi dasar.

Manfaat yang dapat diperoleh dari kajian ini adalah:

1. Dapat memberikan informasi lebih awal melalui kajian berbentuk analisis pada

Model Matematika yang dibangun terhadap peluang terjadinya koalisi.

2. Reproduksi dasar atau Reproduksi efektif pada penelitian ini berbentuk besaran

yang diukur berdasarkan pada transmisi virus untuk yang kedua dan berkorelasi

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


sangat signifikan terhadap phatogenitas atau virulence dari virus, analisis yang

dilakukan dapat memberikan informasi dalam pengambilan kebijakan terhadap

kesehatan masyarakat.

PEMBAHASAN

Pembahasan pada makalah ini dibagi dalam 2 tahap yaitu mengkonstruksi model

matematika berdasarkan model kompartemen pada gambar 1 dan melakukan analisa

terhadap model.

Mengkonstruksi Model Matematika.

Populasi berada dalam 2 lokasi yaitu lokasi 1 dengan ukuran 1L dan lokasi 2 dengan

ukuran 2L dan masing-masing lokasi populasi dibagi dalam subpopulasi-subpopulasi

antara lain Susceptible,Ekspose, Terinfeksi dan Recovered pada lokasi 1 dengan densitas

spasial ),(),,(),,( 111 txItxEtxS dan ),( txR serta Susceptible,Terinfeksi pada lokasi 2

dengan densitas spasial ).,(),,( 11 txItxS seperti pada gambar 1.

Diasumsikan bahwa transmisi virus terjadi setelah terjadinya kontak dengan individual

terinfeksi dan pergerakan spasial didalam lokasi dapat dilakukan oleh setiap individual

pada subpopulasi sedangkan pergerakan diantara lokasi hanya dilakukan oleh individual

subpopulasi Susceptible dan Ekspose. Parameter yang digunakan dalam bentuk konstan

antara lain :

: rate transmisi untuk virus dengan strain2 pada lokasi 2

: rate transmisi untuk virus dengan strain1 pada lokasi 1

: lama waktu terjadinya Ekspose atau periode Ekspose.

2S

2I 1S

1E 1I

1R

Lokasi 1: 1 Lokasi 2: 2

Ganbar 1: Transmisi penyebaran virus pada 2 lokasi

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


: lama waktu terjadinya infeksi setelah dilakukan treatmen atau periode infeksi.

Model Sistem Distribusi Kontak penyebaran virus pada 2 lokasi dengan strain berbeda

dapat dinyatakan sebagai berikut:

1

121

1

11 ),()(),()( dxtxSxyKIdxtxIxyKSt

S

1

112

2

211

1

11

),()(

),()(),()(

EdxtxExyKI

dytySyxKIdxtxIxyKSt

E

111 IEt

I

11 I

t

R

1

2212

2

22 ),()(),()( IdytySyxKIdytyIyxKSt

S

2

1

12

1

122

2

22 ),()(),()(),()(

I

dxtxExyKIdxtxSxyKIdytyIxyKSt

I

Dengan syarat awal

101 )0,( SxS , 101 )0,( IxI , 101 )0,( ExE , 101 )0,( RxR

202 )0,( SxS , 202 )0,( IxI , ,

Syarat batas

,0)()0( 11

L

x

S

x

S,0)()0( 11

L

x

E

x

E

,0)()0( 11

L

x

I

x

I,0)()0( 11

L

x

R

x

R

,0)()0( 22

L

x

S

x

S,0)()0( 22

L

x

I

x

I

Total populasi pada lokasi 1: )()()()()( 11111 tRtItEtStN

Total populasi pada lokasi2: )()()( 222 tItStN

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


Analisa Model.

Perhatikan bentuk

dxtxIxyK ),()( 1menunjukkan populasi terinfeksi yang bergerak

dari posisi x menuju y sehingga terdapat 2 kemungkinan individual ),(1 txI bergerak

untuk melakukan kontak yaitu bergerak pada lokasi 1 atau bergerak melakukan kontak

dengan populasi pada lokasi 2,jika 1 dan 2 merupakan domain terbatas maka

pergerakan subpopulasi secara lokal maupun diantara lokasi bergantung pada status dari

masing-masing subpopulasi, misalkan fungsi densitas Kernel dinyatakan sebagai fungsi

Laplace xetxK ),( dan ),(1 txI bergerak pada lokasi 1 maka

dxtxIxyK ),()( 1=

1

1 ),( dxtxIxe = dx

t

txIxetxIxeL

),(

0),({

1 1

1

11

dxtxIxyK ),()( 1= )},,0(),({

10

),({1

11111

1 tItLIL

etxIxeL

diperoleh

0),0(),( 1111 tItLI

Le

,),(

),0(

11

11

tLI

tILe

),0(),( 111 tItLI

),0[ t

misalkan ktLI

tI

),(

),0(

11

1 bilangan pecah rasional maka kL

e

1

yang berarti fungsi

densitas Kernel sebagai fungsi bobot dari pergerakan lokasi maupun antar lokasi dapat

dinyatakan dalam bentuk proporsional yang mempunyai nilai diantara 1),(0 txK

x dan ),0[ t

Asumsi.

1.

1),( dxtxK

2. ),,(),()( 1

1

11 txIdytyIyxK

1, yx dan 10 1 menyatakan pergerakan

lokal, khusus untuk pergerakan antar lokasi dari individual ),(1 txI tidak dilakukan dan

hal tersebut berlaku juga pada lokasi 2.

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


3. ),,(),()( 1

2

22 txSdytySyxK

yaitu pergerakan antar lokasi ),(2 tyS dari posisi

2y menuju 1x maka individual ),(2 tyS akan menjadi bagian ),(1 txS pada

lokasi 1.

Demikian pula untuk ),(),()(

1

11 txGdytyEyxK

yaitu pergerakan antar lokasi

),(1 tyE dari posisi 1y menuju 2x maka individual ),(1 tyE akan berada pada

lokasi 2.yang hanya melakukan kontak dengan individual terinfeksi pada lokasi 2.

Dengan demikian model system dapat direduksi menjadi

2221111 SIISt

S

1221211111 EGISIIS

t

E

111 IEt

I

11 I

t

R

21212122 ISIISt

S

2222222122 IGISIISt

I

Dengan syarat awal

101 )0,( SxS , 101 )0,( IxI , 101 )0,( ExE , 101 )0,( RxR

202 )0,( SxS , .)0,( 202 IxI

Syarat batas

,0)()0( 11

L

x

S

x

S,0)()0( 11

L

x

E

x

E

,0)()0( 11

L

x

I

x

I,0)()0( 11

L

x

R

x

R

,0)()0( 22

L

x

S

x

S,0)()0( 22

L

x

I

x

I

)()()()()( 11111 tRtItEtStN

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


)()()( 222 tItStN

Perhatikan )()()()()( 11111 tRtItEtStN dt

dR

dt

dI

dt

dE

dt

dS

dt

dN 11111 atau

dxt

Rdx

t

Idx

t

Edx

t

txS

dt

dN

1

1

1

1

1

1

1

11 ),(

dxt

txR

t

txI

t

txE

t

txS

dt

dN)

),(),(),(),(( 111

1

11

dxGISISIdt

dN)}({ 22222

1

1211

maka

dxdytySyxKILimdt

dNSupLim

tt}),()({)(

2

2

1

11

dxdytySyxKILimdt

dNSupLim

tt}),()({)(

2

2

1

11

atau

dxILimdt

dNSupLim

tt

1

11 )( dxIE

dt

dNSupLim

t)()(

1

111

Jika didefinisikan

),)(1

(111

111 dyRyxKExpSE dan terdapat

bilangan 0 sedemikian hingga MELimt

11 dan

1ILimt

maka

dxMdt

dNSupLim

t)1()(

1

1

atau )}(1{)( 1

1

MLdt

dNSupLim

t

Yang berarti bahwa .)( 11 L

dt

dNSupLim

t

Jadi dapat diperoleh bahwa subsistem dari

lokasi 1 atracks terhadap himpunan kompak terbatas 1111 ,,, RIES .Demikian pula dapat

ditunjukkan bahwa subsistem pada lokasi 2 atrack terhadap himpunan kompak terbatas

., 22 IS

Dari penjelasan tersebut diatas maka dapat disusun theorema sebagai berikut :

Theorema1.

Jika ),,,( 1111 RIES merupakan penyelesaian dari sistem persamaan distribusi kontak

pada lokasi 1 dan terdapat bilangan 0 sedemikian hingga MELimt

11 dan

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


1ILimt

maka subsistem dari lokasi 1 atracks terhadap himpunan kompak terbatas

1111 ,,, RIES .

Untuk pembahasan berikutnya akan ditunjukkan bahwa masing-masing virus pada lokasi

1 maupun 2 persisten terhadap sistem, perhatikan definisi berikut ini

Dianggap bahwa pergerakan dari individual pada subpopulasi pada masing-masing lokasi

berbentuk semiflow maka dapat didefinisikan

Definisi 1(Horst R.Thieme,2005).

Virus dikatakan sangat persisten secara seragam jika terdapat 0 sedemikian hingga

),(( 1 txIInfLimt

untuk semua penyelesaian dari sistem persamaan distribusi kontak

dengan .0)0,(1 xI

Definisi 1((Horst R.Thieme,2005).

Virus dikatakan kurang persisten secara seragam jika terdapat 0 sedemikian hingga

),(( 1 txISupLimt

untuk semua penyelesaian dari sistem persamaan distribusi kontak

dengan .0)0,(1 xI

Jika perubahan pada setiap subpopulasi pada model hanya memperhatikan terjadinya

transmisi virus sebagai akibat dari kontak individual tanpa memperhatikan pergerakan

individual pada lokasi maupun diantara lokasi maka model sistem distribusi kontak dapat

direduksi menjadi model distribusi kontak pada lokasi 1terreduksi berbentuk

1111 ISt

S

11211111 ESIIS

t

E

111 IEt

I

11 I

t

R

dengan syarat awal

101 )0,( SxS , 101 )0,( IxI , 101 )0,( ExE , 101 )0,( RxR

Syarat batas

,0)()0( 11

L

x

S

x

S,0)()0( 11

L

x

E

x

E

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


,0)()0( 11

L

x

I

x

I,0)()0( 11

L

x

R

x

R)()()()()( 11111 tRtItEtStN

Bilangan reproduksi dasar

0R maka dapat dikonstruksi

sedemikian

rupa sehingga model dapat direduksi menjadi

1111 ISt

S

11211111 ESIIS

t

E

111 IEt

I

11 I

t

R

Dengan syarat awal

1)0,( 101 SxS , 101 )0,( IxI , 101 )0,( ExE , 101 )0,( RxR

Syarat batas

,0)()0( 11

L

x

S

x

S,0)()0( 11

L

x

E

x

E

,0)()0( 11

L

x

I

x

I,0)()0( 11

L

x

R

x

R

),(),(),()(1 1111 txRtxItxEtS

Jika ),,,( 1111 RIES merupakan penyelesaian dari model tersebut diatas maka dapat

dikonstruksi secara epidemiologi bahwa subpopulasi terinfeksi terjadi karena :

1. Perubahan individual pada subpopulasi ekspose yang melampaui batas masa

latent ( periode perubahan ekspose menjadi terinfeksi ).

2. Perubahan individual pada subpopulasi terinfeksi berubah menjadi subpopulasi

recovered karena adanya treatment ( recovered dikonstruksi tetap ).

Dengan demikian subpopulasi –subpopulasi pada sistem dapat dinyatakan dalam bentuk

1

11 )),()(1

(),( dytyRyxKExptxS

),(1),( 11 txStxE

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


),()0,(),(),( !11 txExItxRtxI dan subpopulasi tersebut berlaku jika memenuhi

persamaan .11 I

t

R

Dari pembahasan tersebut diatas dapat disusun theorema sebagai berikut

Theorema2.

Jika 10 R maka virus pada lokasi 1 kurang persisten secara seragam terhadap sistem.

Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa virus pada lokasi1 kurang persisten terhadap sistem, misalkan

vurus tersebut tidak persisten maka

),(1 txILimt

untuk bilangan 0

)),(),(),((1),( 1111 txStxEtxItxR

)),(),(),((1),( 1111 txStxEtxILimtxRLimtt

atau MtxR 1),(1

),(1),( 11 txStxE atau )),(1

(1),( 111 txRExptxE

),)1(

(1),( 11

MExptxE

),()0,(),(),( 1111 txExItxRtxILim

t

))1(

(1)0,(1),( 111

MExpxIMtxILim

t

Dari persamaan 4 pada model diperoleh

11

1 )()( IIInfLimt

RInfLim

tt atau

)( 1IInfLim

t )0,(1 xIM

)( 1IInfLimt

))0,((1

1 xIM

= ))0,(( 10 xIMR sehingga dapat diperoleh bahwa

untuk 10 R ternyata ),(1 txI untuk ,t pada hal

),(1 txILimt

Kontradiksi sehingga untuk 10 R virus pada lokasi 1 kurang persisten terhadap sistem.

Perhatikan model distribusi kontak pada lokasi2 terreduksi,

22122 IISt

S

2222222122 IGISIISt

I

Dengan syarat awal

202 )0,( SxS , .)0,( 202 IxI

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


Syarat batas

,0)()0( 22

L

x

S

x

S,0)()0( 22

L

x

I

x

I

),(),(1 22 txItxS

Pada model tersebut berlaku theorema beikut ini.

Theorema3.

Jika 10 R maka virus pada lokasi 2 kurang persisten secara seragam terhadap sistem.

Bukti.

Untuk menunjukkan bahwa virus pada lokasi 2 kurang persisten terhadap sistem

dimisalkan virus tidak persisten sehingga .2 I

Dari persamaan 1 diperoleh ),(),( 12 txILimtxSLimtt

atau ),(),( 22 txItxS

Dari persamaan 2 diperoleh

22

2 )( IIt

IInfLim

t atau ),(

2

2

I

t

I

InfLimt

jika

0R maka ),1( 0

2

2

R

I

t

I

InfLimt

artinya untuk t diperoleh

2I dan

kontradiksi bahwa ..2 I Jadi untuk 10 R virus pada lokasi 2 kurang persisten

terhadap sistem.

KESIMPULAN.

Dari kajian tersebut dapat disimpulkan bahwa penyebaran dari virus-virus pada lokasi

local maupun global tidak berpotensi terjadinya pendemik.

DAFTAR PUSTAKA

J. M. Hyman, T. LaForce.2004. Modelling The spread of Influenza Among Cities. in

Computational and Applied Mathematics Program. (Center for Nonlinear Studies,

Los Alamos National Laboratory ).Los Alamos Report. p. 215-240.

K.B. Blyuss.2005. On a model of spatial spread of epidemics with long - distance travel.

Physics Letters A 345. p. 129-136.

PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7


S. Ruan.2006. Spatial Temporal Dynamics in nonlocal Epidemiogical Models. Miami

University Press 2006.

B. J. Caburn, C. Cosner, S. Ruan.2011. Emergence and dynamics of influenza super

Strains. BMC Journal 11. p.1-10.

C.A.Nidom.2012. Berperang Melawan Flu Burung, Kompas.Com.

Documents

T-8 MENGKONSTRUKSI MODEL DISTRIBUSI KONTAK PADA … · Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika ... kompak terbatas dan disipasif, persistensi