Symbolic Logic. An Introduction by Frederic Brenton FitchReview by: Wilhelm AckermannThe Journal of Symbolic Logic, Vol. 17, No. 4 (Dec., 1952), pp. 266-268Published by: Association for Symbolic LogicStable URL: http://www.jstor.org/stable/2266614 .

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THE JOURNAL OF SYMBOLIC LOGIC Volume 17, Number 4, Dec. 1952

REVIEWS

Numerical cross references are to previous reviews in this JOURNAL or to A bibliography of symbolic logic (this JOURNAL, vol. 1, pp. 121-218) or to Additions and corrections to the latter (this JOURNAL, vol. 3, pp. 178-212).

References beginning with a Roman numeral are by volume and page to the place at which a publication has previously been reviewed or listed. When necessary in connection with such references, a third number will be added in parentheses, to indicate position on the page. Such a reference is ordinarily to the publication itself, but when so indicated the reference may be to the review or to both the publication and its review. Thus "XVI 302" will refer to the review beginning on page 302 of volume 16 of this JOURNAL, or to the publication which is there reviewed; "XVI 304" will refer to one of the reviews or one of the publications reviewed or listed on page 304 of volume 16, with reliance on the context to show which one is meant; and "XVI 304(3)" will refer to the third item listed on page 304 of volume 16, i.e., to Lewis Carroll's What the tortoise said to Achilles.

References such as 7145, 1253 are the entries so numbered in the Bibliography. Similar references preceded by the letter A or containing the fraction j or a decimal point (as A15524, 18611, 2882.1) are to the Additions and corrections. A reference followed by the letter A is a double reference to an entry of the same number in the Bibliography and in the Additions and corrections.

FREDERIC BRENTON FITCH. Symbolic logic. An introduction. The Ronald Press Company, New York 1952, x + 238 S.

Das im vorliegenden Buche entwickelte System macht in ausgedehntem Maf3e von der Methode der untergeordneten Beweise (subordinate proofs) Gebrauch, wie sie von Gentzen (4422) und Ja?kowski (5141) zuerst angewandt wurde. Es dehnt diese Method auch auf die Einfiuhrung der modalen Begriffe und der Abstraktionen aus. Das System enthalt keine Typentheorie und keine Beschrankung in der Einfuthrung der Abstraktionen, sowie nicht den Satz vom ausgeschlossenen Dritten in allgemeiner Form. In Appendix C werden die Grande fur die Ablehnung der Typentheorie dargelegt, in der gleichen Weise wie in einem friuher ver6ffentlichten Aufsatz (XI 95). Ferner werden keine Variable gebraucht. Bei der Bezeichnung der Abstraktionen wird z.B. das Attribut, das gew6hnlich mit x(x > 2) oder Xx(x > 2) bezeichnet wird, durch (Caesar \ Caesar > 2) oder (3 \ 3 > 2) oder auch durch (a \ a > 2) wiedergegeben; entsprechend ist es in anderen Fallen, wo sonst gebundene Va- riable benutzt werden. Doch erscheint das nicht so wesentlich wie die Vermeidung der freien Variablen. Das Zutreffen eines Attributes auf ein Ding wird durch Nebeneinander- stellung und Einschlief3ung in Klammern angedeutet.

Der Vorteil der Methode der untergeordneten Beweise besteht bekanntlich darin, dal3 man keine logischen Grundformeln braucht, sondern nur Ableitungsregeln, die angeben, wie ein logischer Operator eingefuihrt und wieder eliminiert wird. Ferner werden bei dieser Methode ganze Beweise (subordinate proofs) als Pramissen gebraucht. Zur kurzeren Dar- stellung sollen im folgenden die Abkiirzungen p, q / r fur den Schluf3 von p und q auf r, p F q fur einen Beweis mit der Hypothese p und der Endformel q, F q fuir einen Beweis fMr q ohne Hypothese, (-... x .*-) fur einen Beweis fur (-... *..), der guiltig bleibt, wenn fuir x in dem Beweis irgend ein anderes Ding eingesetzt wird, ( ... x ..*) F. p fuir einen Be- weis fur p mit der Hypothese ( ... x . *), der giiltig bleibt, wenn fuir x in dem Beweis irgend ein anderes Ding eingesetzt wird, gebraucht werden. (Das sind keine Symbole des Ver- fassers.) p und q bedeuten im folgenden keine Variable, die es ja nicht gibt, sondern irgend- welche Aussagen, entsprechend x, a, - * * irgendwelche Dinge. Die Regeln fur Konjunktion, Disjunktion, Implikation, den universalen und den partikularen Quantifikator sind im wesentlichen die gleichen wie bei Gentzen, namlich zur Einfuihrung p, q / p & q; p / p v q; p F q / p D q; q / p v q; F ( -- x *--) / (x)(... x ... ... a *--) /(3x)(--- x *--) und zur Elimination p & q / p; p & q / q; p v q, p F r, q F r /r; p, p D q / q; (x) (... x ...) / (.. a-

... ); (3x)(... x ...), (-..x- - X-) 2p / p- SO weit warden die Regeln der intuitionistischen Logik entsprechen. Es kommt aber noch eine spezielle, nicht

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intuitionistische Eliminationsregel hinzu: F. p v (Fx), p F r, (x)(Fx) F r / r. Fur die modalen Begriffe werden gebraucht zur Einfiuhrung F p / Oip; p / Op und zur Elimination np / p; Op, p F q / Oq, wobei die beiden Beweise F p und p F q den Einschrankungen unterliegen, daB ein vorher bewiesenes r nur dann in den Beweis uibernommen werden kann, wenn es die Form Ds hat. Das daraus entwickelte System ist ahnlich dem System S4 von Lewis und Langford (4561), unterscheidet sich aber methodisch durch die Anwen- dung der untergeordneten Beweise, inhaltlich dadurch, daB der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht benutzt wird. Die Behandlung der Attribute ist die uibliche: (... a ... ((x \ (... x ... ))a) und der umgekehrte tbergang zur Einfiuhrung und Elimination.

Fiir die Negation werden andere Regeln als im zweiwertigen Aussagenkalkul und auch im intuitionistischen gebraucht, namlich als allgemeine Eliminationsregel p, -p / q und auf3erdem spezielle Eliminationsregeln, die auf die Aquivalenz von p mit --p, -p v q mit - (p & q), -p & -q mit -'(p v q), (3x)(-Fx) mit -'(x)(Fx), ElO-p mit -Op usw. herauskommen. Fur die Implikation wird keine Negation definiert. Eine ahnliche Be- handlung der Negation wird auch in des Referenten Arbeit (XVI 72) benutzt. Fur jeden eingefuhrten Operator wird in einem besonderen Kapitel eine Ableitung der Haupttheo- reme gegeben, sodaI3 der Leser eine klare Vorstellung von der Handhabung der Technik der untergeordneten Beweise erhalt. Relationen werden als Klassen von geordneten Paaren behandelt. Fur die Identitat werden zwei Axiome benutzt, namlich a = b oder (a = b), je nachdem a und b die gleiche formale Struktur haben oder nicht. Als einen Hauptvorzug seines Systems sieht der Verfasser die nachweisbare Wider-

tpruchsfreiheit an. Da aber die unbeschrankte Benutzung der obigen Regeln zu Paradoxien fuhrt, muB ihre Anwendung eine Einschrankung erfahren. Es werden zwei Arten von Einschrankungen gegeben, (1) eine weitgehende (simple restriction, S. 107): Kein Glied eines Hauptbeweises oder eines untergeordneten Beweises kann durch eine Eliminations- regel abgeleitet werden, wenn ein vorhergehendes Glied des gleichen Beweises durch eine Einfuihrungsregel zustande kommt. (p, -p / q zahlt dabei nicht mit.) (2) eine weniger weitgehende (special restriction, S.109): Eine Aussage p darf nicht durch einen Beweis abgeleitet werden, der wesentlich von einem untergeorneten Beweise Gebrauch macht, der p als Hypothese hat und noch ein anderes Glied als p enthalt. Mit diesen Einschrankungen kann zunachst futr das System ohne Quantifikatoren die Widerspruchsfreiheit, die als Nichtvorhandensein eines Beweises fur p & -p definiert wird, gezeigt werden. Der Be- weisgedanke besteht in der Hauptsache darin, dal3 jeder Beweis in einen normalen ver- wandelt werden kann, bei dem jede Formel des Hauptbeweises durch eine Einfiihrungsregel zustande kommt. (Vgl. hierzu auch den Gentzenschen Hauptsatz in 4422.) Nach der ein- fachen Einschrainkung ist uibrigens jeder Beweis von vorne herein normal.

Obwohl nun die Machinerie des Kalkiils mit den Einschrankungen genau so gut arbeitet, li3t sich gegen das so eingeschriinkte System nach Ansicht des Referenten ein gewichtiger Einwand erheben. Wenn p und p D q, bzw. p und q bewiesen sind, kann man nicht immer auf q, bzw. p & q schlief3en. Das hangt von der Art des Beweises fur die Pramissen ab. Es kann sein, dal3 man zwei Beweise fur p und q hat und nicht auf p & q schlief3en darf, wah- rend man evtl. zwei andere Beweise fur die gleichen Aussagen p und q finden kann, soda13 der Schluf3 auf p & q miglich ist. (Vgl. S.125, wo besonders gezeigt werden muB, da13 nicht zwei Beweise fuir p und -p existieren, trotzdem schon das Vorhandensein eines Be- weises fur p & -p ausgeschlossen wurde.) Entsprechendes gilt fur alle anderen Ableitungs- regeln. Man weil3 dann aber uiberhaupt nicht, und das ist ein sehr ernster Einwand gegen ein logisches System, welchen Sinn eine abgeleitete Formel haben soll; dieser Sinn wurde ja zum Teil in dem Beweise ffir die Formel stecken.

An spaterer Stelle wird ein zweiter Widerspruchsfreiheitsbeweis fur das System mit Einschlul3 der Quantifikatoren gegeben, der in ahnlicher Weise auf dem Gedanken der Normalisierung der Beweise beruht. Gegen diesen Widerspruchsfreiheitsbeweis lassen sich Einwande erheben. Es erscheint mir wesentlich, daB ein Widerspruchsfreiheitsbeweis sich konstruktiver Methoden bedient, um nicht zirkelhaft zu sein. Insbesondere darf er fur ein System, dessen Zweck auch darin bestehen soll, ein nachweisbar widerspruchsfreies System der Arithmetik zu liefern, nicht die volle Zahlentheorie verwenden. Nun sagt der

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Verfasser auf Seite 215, 12. Zeile: Then the infinitely many propositions [p v (Fh1)], [p v (Fh2)], -.. are items of S and so are two subordinate proofs, one with hypothesis p and conclusion r, the other with hypothesis (AF) and conclusion r. Clearly either pis an item of S' or else (Fhl), (Fh2), *-- are all items of S'; -.- ." Es handelt sich um folgendes: Nach der an der Stelle gfultigen Voraussetzung kommt jede Formel [p v (Fh;)J entweder aus p oder aus (Fh,) durch die Einfuhrungsregel fur die Disjunktion zustande. Der Verfasser schlief3t daraus, dal3 entweder p oder alle (Fh,) im Beweise vorangehen. Dies kommt aus den Schlu13 von (x) (p v (Fx)) auf p v (x) (Fx) heraus, der hier metamathematisch gebraucht wird. Das ist aber kein konstruktiver Schlu13, sondern einer der z.B. in der intuitionisti- schen Zahlentheorie nicht gestattet ist. Die t7berlegung wird ubrigens an der Stelle ge- braucht, um zu zeigen, dal3 die gleiche Schlul3weise im formalen System eliminiert werden kann.

Das Buch enthalt drei Anhange. Appendix A bringt einige AusfUhrungen uber kombina- torische Operatoren. Appendix B gibt eine Erweiterung des Systems, die aber nur kurz umrissen ist. Appendix C war schon oben erwahnt. WILHELM ACKERMANN

TADEUSZ CZEtOWSKI. Przyczynek do sylogi3tyki Arystotele3a (Brentanow3ka teoria wnio- sk6w kategorycznych) (Contribution a la 3yllogistique d'Ari3tote (La thdorie du raisonnement cat gorique chez - -Brentano)). Polnisch mit franz6sischem Auszug. Studia Societatis Scientiarum Torunensis, Sectio A, Bd. 2 Heft 2 (1950), S.65-76.

Brentano hat die vier traditionellen Formen A, E, I, 0 in der bekannten Weise inter- pretiert. Die dadurch bedingte Revision der Aristotelischen Schlul3lehre ist von Hillebrand (771) in Detail ausgefuhrt worden. Czezowski ubertragt diese revidierte Schlufflehre in die Notation und die Beweisformen der Pradikatenlogik. JOHANNES BENDIEK

STANISLAW JASKOWSKI. 0 interpretacjach zdah kategorycznych Ary3totele3a w rachunku predykatow (On the interpretations of Aristotelian categorical propositions in the predicate calculus). Polnisch mit englischem Auszug. Ebd., Bd. 2 Heft 3 (1950), S.77-90.

Wenn man fur die traditionelle Syllogistik leere Namen zur Einsetzung zulAl3t, fallen einige Modi als ungilitig aus. Jaskowski gibt eine Interpretation der aristotelischen kate- gorischen Aussage im Pradikatenkalkuil derart, daf alle klassischen Gesetze sowohl fur aristotelische (d.h. solche, die weder leer noch universal sind) als auch fur nicht-aristote- lische Pradikate gultig bleiben. Er kann sogar zeigen, daf es mehrere solcher Interpre- tationen gibt, aber nur eine, die fur aristotelische Namen den gewohnlichen Sinn der kategorischen Aussagen wahrt. Wie man sich denken kann, hat diese Erweiterung der kate- gorischen Aussage ihre Besonderheiten und zeichnet sich nicht durch Naturlichkeit aus. Sie lautet fMr SaP: "Wenn S und P aristotelisch sind, so gilt (x) (Sx -+ Px), und, wenn S und P nicht-aristotelisch sind, so gilt (x) (Sx * Px)." Ist entweder S oder P nicht-aristotelisch, so sind alle vier Aussagen wahr: SiP, SiP', S'iP, S'iP', und das heil3t, dal3 der Umfang eines nicht-aristotelischen Namens sich mit dem eines jeden aristotelischen iuberschneidet.

JOHANNES BENDIEK

RAPHAEL M, ROBINSON. Undecidable-rings. Transactions of the American Mathe- matical Society, Bd. 70 (1951), S.137-159.

Bekanntlich ist die Arithmetik der natiurlichen Zahlen unentscheidbar, d.h. es gibt keine allgemeine Methode zur Entscheidung, ob eine Aussage uiber natur1liche Zahlen, die blol3 durch Addition, Multiplikation und logische Operationen aufgebaut wird, wahr oder falsch ist. Daraus folgt auch die Unentscheidbarkeit der Arithmetik des Ringes der ganzen Zahlen und des K6rpers der rationalen Zahlen, da die Eigenschaft Nat(x) d.h. "x ist eine naturliche Zahl" in diesen arithmetisch definierbar ist. Andererseits ist die Arithmetik jedes endlichen K6rpers und jedes algebraisch oder reell abgeschlossenen K6rpers (z.B. des K6rpers der reellen Zahlen) entscheidbar. Fur die Arithmetik anderer K6rper ist die Entscheidbarkeit eine offene Frage. Nach Tarski und Mostowski (in diesem JOURNAL, Bd. 14, S.75-76) ist die allgemeine Theorie von Ringen unentscheidbar; es liegen fur das Ent- scheidungsproblem spezieller Ringe und Gruppen einige friuhere Ergebnisse vor.

In vorliegender Arbeit wird die Unentscheidbarkeit verschiedener Integritatsbereiche

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