SwanhildBernstein,M.Helm,S.Dempeetal Fakultät für ...mhelm/Lehre/Vorkurs/2017/Vorkurs_201… · SwanhildBernstein,M.Helm,S.Dempeetal Fakultät für Mathematik und Informatik Vorkurs

Swanhild Bernstein, M. Helm, S. Dempe et alFakultät für Mathematik und Informatik

Vorkurs Mathematik

9. – 13.10.2017

1 Zahlbereiche

Natürliche ZahlenDer grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen

N = {1, 2, 3, . . .}.

In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen:

N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}.

Vorkurs 2017S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al

Vorkurs MathematikFakultät 1

TU Bergakademie Freiberg 1

Ganze ZahlenDie Menge der ganzen Zahlen ist

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Die natürlichen Zahlen sind eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen.




Rationale ZahlenBrüche aus ganzen und natürlichen Zahlen (ungleich Null) bilden dierationalen Zahlen

Q ={mn

: m ∈ Z, n ∈ N}.

Rationale Zahlen lassen sich als endliche Dezimalzahlen oder unendlicheperiodische Dezimalzahlen darstellen.

Beispiele:

1

2= 0.5;

633

25= 25.32;

1

3= 0.3333 . . . = 0.3;

14

44= 0.3181818 . . . = 0.318;

73

18= 4.05.




Was versteht man unter Erweitern und Kürzen von Brüchen? Wird derWert eines Bruches dabei geändert oder beibehalten?

Wiederholen Sie an selbstgewählten Beispielen, wie man Brücheaddiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert. Formulieren Sie jeweils eineentsprechende Gesetzmäßigkeit mit Hilfe von Variablen.

Ganz allgemein gefragt: Wozu braucht man in der Mathematik und inden Natur-/Ingenieur- bzw. Wirtschaftswissenschaften Variablen?




Irrationale ZahlenIrrationale Zahlen sind nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen.√2 ist eine irrationale Zahl.

Beispiele:√2 = 1.14142 . . . ; π = 3.14159 . . . ; e = 2.71828 . . .

Reelle ZahlenDie Menge der rationalen Zahlen Q und die Menge aller irrationalenZahlen bilden die Menge der reellen Zahlen R.

Bei allen bisherigen Beispielen handelt es sich also um reelle Zahlen.




Zur Visualisierung reeller Zahlen benutzt man oft den Zahlenstrahl.Markieren Sie auf diesem die Zahlen −2,−0.5, 0, 23 ,

32 ,√2,√3 und π.

Ein Beweis der Irrationalität von√2 findet sich bereits in Euklids

Elementen aus dem 3. oder 4. Jh. v. Chr. – bis zur 2. Hälfte des 19. Jh.das nach der Bibel weitverbreitetste Buch der Weltliteratur.

Erarbeiten Sie sich Euklids Beweisidee anhand geeigneter Quellen.




2 Lineare GleichungenEiner der einfachsten Gleichungstypen ist die lineare Gleichung

ax = b

Dabei sind a, b ∈ R gegeben und x ∈ R gesucht.Im Fall a 6= 0 ist die eindeutige Lösung gegeben durch

x =b

a.

Wie verhält es sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungenim Fall a = 0?

Finden Sie Argumente, weshalb die Division durch Null nicht sinnvolldefiniert werden kann.




3 Binomische Formeln und quadratische Gleichung

Erste binomische Formel

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

Statt eines Beweises verdeutlichen wir die Aussage geometrisch:




Zweite binomische Formel

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

(a− b)2 + b2 + 2(ab− b2) = a2

⇐⇒ (a− b)2 + 2ab− b2 = a2

⇐⇒ (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2




Dritte binomische Formel

(a+ b)(a− b) = a2 − b2

Versuchen Sie sich nun an einem Beweis, d. h. multiplizieren Sie aus.

Hausaufgabe: Finden Sie eine geometrische Visualierung der drittenbinomischen Formel. Beginnen Sie mit einem Rechteck mitSeitenlängen a und a+ b.




Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

ax2 + bx+ c = 0, mit a, b, c ∈ R, a 6= 0.

Dividiert man beide Seiten durch a erhält man die Normalform

x2 + px+ q = 0,

wobei p = ba und q = c

a zu setzen sind.Assoziiert mit diesen Gleichungen ist die quadratische Funktion

f(x) = ax2 + bx+ c, a, b, c ∈ R, a 6= 0,

deren Nullstellen (Argumente x0 mit f(x0) = 0) genau die Lösungender erstgenannten quadratischen Gleichung sind.Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.




Visualisierung einer Parabel und ihrer Nullstellen

Im Fall a = 1 (hier gezeichnet) spricht man von einer Normalparabel.




Satz 3.1 (p–q–Formel, Mitternachtsformel).Im Falle D := p2

4 − q ≥ 0 hat die Gleichung

x2 + px+ q = 0

die reellen Lösungen

x1/2 = −p

2±√p2

4− q.

Für D < 0 gibt es hingegen keine reelle Lösung.

Lösen Sie die quadratischen Gleichungen x2 + 4x− 5 = 0 undx2 − 2x+ 1 = 0.

Beweisen Sie die p–q–Formel. Führen Sie dazu für den Term x2 + pxeine quadratische Ergänzung durch.




Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen

Hierbei ist vor allem an folgendes zu denken:

Ausklammern von x bzw. einer Potenz xm,Substitutionen der Form t = xm (z. B. t = x2 bei derbiquadratischen Gleichung),Mischformen aus vorgenannten Methoden.

Machen Sie sich die Vorgehensweisen folgender Beispiele klar:x5 − 2x4 − 2x3 = 0,x4 + 4x2 − 5 = 0,x7 + 4x5 − 5x3 = 0.




Scheitelpunktdarstellung von Parabeln

Durch simples Ausmultiplizieren bestätigt man:

Satz 3.2.Eine Parabel y = ax2 + bx+ c (a 6= 0) kann äquivalent in derScheitelpunktform

y = a(x− xS)2 + yS

mit xS = − b2a und yS = c− b2

4a dargestellt werden. Der Punkt (xS , yS)heißt Scheitelpunkt der Parabel.Die Parabel ist für a > 0 nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet.




Beispiel 1

f(x) = (x− 1)2 − 4

= x2 − 2x+ 1− 4

= x2 − 2x− 3




Beispiel 2

f(x) = −(x− 1)2 + 4

= −x2 + 2x− 1 + 4

= −x2 + 2x+ 3




Exkurs: Kegelschnitte

Bei der Parabel handelt es sich um einen Kegelschnitt. WeitereKegelschnitte sind die Ellipse (Spezialfall: Kreis) und die Hyperbel.

Bild: Duk/OgreBot (Wikimedia Commons)




Auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei gegebenenBrennpunkten F1 und F2 gleich einer gegebenen Konstante.

Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)

Stimmen die Brennpunkte überein, ergibt sich der Kreis als Spezialfall.




Auf der Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei gegebenenBrennpunkten gleich einer gegebenen Konstante.

Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)

Wo finden sich Kegelschnitte in Natur und Umwelt wieder?




Die Gleichung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (xM , yM ) lautet

(x− xM )2 + (y − yM )2 = r2.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung ((xM , yM ) = (0, 0)), ergibt sichspeziell

x2 + y2 = r2.

Die Gleichungen von Ellipse und Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung,Koordinatenachsen als Hauptachsen und Halbachsen a und b lauten

x2

a2+y2

b2= 1 und x2

a2− y2

b2= 1.

Wählt man als Mittelpunkt (xM , yM ), so sind x und y wieder durchx− xm bzw. y − ym zu ersetzen.




4 Polynome und ihre Nullstellen

p(x) = anxn + an�1xn�1 + . . . + a1x + a0

Grad n

fuhrenderKoeffizient

Absolutglied

an, an−1, . . . , a1, a0 ... Koeffizientenan = 1 ... normiertes Polynom

Motivierende Frage: Kann z. B. man die Nullstellen vonp(x) = x3 − 5x2 + 5x− 1 analytisch bestimmen?




Satz 4.1 (Polynomdivision).Sind f(x) und g(x) Polynome mit g(x) 6= 0, dann gibt es eindeutigbestimmte Polynome q(x) und r(x) mit

f(x) = g(x)q(x) + r(x) bzw. f(x)

g(x)= q(x) +

r(x)

g(x).

Entweder ist r(x) = 0, d.h. f(x) ist durch g(x) (ohne Rest) teilbar,oder der Grad von r(x) ist kleiner als der Grad von g(x).

Satz 4.2 (Abspaltung von Linearfaktoren).x− x0 ist Linearfaktor des Polynoms p(x) genau dann, wenn x0Nullstelle des Polynoms ist. p(x) ist also in diesem Fall ohne Restdurch x− x0 teilbar.




Exkurs: Der Satz von VietaSind x1, x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung

x2 + px+ q = 0,

d. h. die Nullstellen des Polynoms p(x) = x2 + px+ q, so lässt sich dasPolynom auch in der Form

p(x) = (x− x1)(x− x2)

schreiben. Durch Ausmultiplizieren und Vergleichen ergibt sich

Satz 4.3 (von Vieta).Für die Lösungen x1 und x2 der quadratischen Gleichungx2 + px+ q = 0 gilt

p = −(x1 + x2) und q = x1 · x2.




Doch wie gelangt man an Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung?Mitunter hat man bei ganzzahligen Koeffizienten Glück:

Satz 4.4.Besitzt das Polynom p(x) ganzzahlige Koeffizienten, so ist jedeganzzahlige Nullstelle Teiler des Absolutglieds.

Beispiel: Das Absolutglied des Polynoms p(x) = x3 − 12x2 + 47x− 60ist −60. Als ganzzahlige Nullstellen kommen somit ±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30 und ±60 in Frage.Durch systematisches Probieren erhalten wir x1 = 3 als Nullstelle, denn

33 − 12 · 32 + 47 · 3− 60 = 27− 108 + 141− 60 = 0.

Wir wissen jetzt also, dass p(x) ohne Rest durch x− 3 teilbar ist.




Die Abspaltung des Linearfaktors erfolgt jetzt per Polynomdivision,analog zum schriftlichen Dividieren von Zahlen:

(x3 − 12x2 +47x −60) : (x− 3) = x2 − 9x+ 20x3 − 3x2

−9x2 + 47x−9x2 + 27x

20x− 6020x− 60

0

Folglich ist

p(x) = x3 − 12x2 + 47x− 60 = (x− 3)(x2 − 9x+ 20).




Die quadratische Gleichung x2 − 9x+ 20 = 0 besitzt die Lösungen

x2/3 = −−92±√

(−9)24− 20 =

9

2±√

81

4− 80

4=

9

2± 1

2,

d. h. die restlichen beiden Nullstellen sind x2 = 4 und x2 = 5. DasPolynom p(x) lässt sich faktorisieren gemäß

p(x) = (x− 3)(x− 4)(x− 5).

Ermitteln Sie auf diese Weise die Lösungen der kubischen Gleichung

x3 − 5x2 + 5x− 1 = 0.




5 Gleichungen, Ungleichungen und BeträgeMotivierendes Beispiel und Warnung: Gesucht sind alle reellenLösungen der Gleichung

x+ 2

x2 − 4= 1.

Nach Multiplikation beider Seiten mit x2 − 4 ergibt sich diequadratische Gleichung

x+ 2 = x2 − 4 ⇐⇒ x2 − 4− x− 2 = x2 − x− 6 = 0.

Die p–q–Formel liefert

x1/2 =1

2±√

1

4+ 6 =

1

2±√

1 + 24

4=

1

2± 5

2

und damit die beiden Lösungen x1 = 3 und x2 = −2.Das ist falsch! Doch wo liegt der Fehler?




Ein Plot ist kein Nachweis, aber eine gute Idee!

Im Plot sieht man, dass x = 3 die einzige Lösung der Gleichungx+2x2−4 = 1 ist. Weiterhin liegt in x = 2 eine Polstelle vor.Das wird auch deutlich, wenn man x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2) schreibt.




Richtige LösungWegen x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2) ist der Nenner für x = −2 bzw. x = 2nicht definiert, da sonst durch Null dividiert würde.Für x 6= −2 und x 6= 2 gilt

x+ 2

x2 − 4=

x+ 2

(x+ 2)(x− 2)=

1

x− 2= 1 ⇐⇒ 1 = x− 2 ⇐⇒ x = 3.

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung x = 3.

Da für x 6= ±2 äquivalent umgeformt wurde, gibt es keine weiterenLösungen, und die Probe dient lediglich der Prüfung auf Rechenfehler.




Lösen von Gleichungen

Eine Gleichung kann immer auch als Nullstellenaufgabe f(x) != 0

aufgefasst werden. Vorgehensweise:Man bestimme den maximalen Definitionsbereich von f .Durch äquivalentes Umformen vereinfache man die Gleichung so,dass die Lösungen einfach bestimmt/abgelesen werden können.Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun.

Äquivalente Umformungen sind:

Addition, Subtraktion,Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null,Division durch eine Zahl ungleich Null,Anwendung von eineindeutigen Funktionen (Begriffe später), sofernalles definiert ist.




Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung

x− 2

x+ 1+

x

x− 1= 1 +

2x

x2 − 1




Betrag und BetragsgleichungenDefinition:

|x| :={

x, x ≥ 0,−x, x < 0.

Der Betrag |x| gibt den Abstand des Punkts x von 0 auf derZahlengeraden an. Der Abstand ist nichtnegativ.




Beträge von Funktionen

|f(x)| ={

f(x), f(x) ≥ 0,−f(x), f(x) < 0.

Beispiel: f(x) = x− 1




Beispiel: f(x) = −x2 + 2x+ 3




BetragsgleichungenBeim Auflösen von Beträgen wird für jeden in der Gleichungvorkommenden Betrag eine Fallunterscheidung notwendig.

Die Gleichung|x| = a, a ∈ R, a > 0,

hat z. B. die Lösungen x1 = −a und x2 = a.




Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung

|2x− 1| = 2.

Achten Sie dabei auf eine saubere Unterscheidung der Fälle 2x− 1 ≥ 0und 2x− 1 < 0.

Stellen Sie die Situation auch geometrisch dar.




Äquivalentes Umformen von Ungleichungen

Wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiertoder subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht.Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer positiven reellenZahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich dasRelationszeichen nicht.Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativenreellen Zahl mulipliziert (oder dividiert), so kehrt sich dasRelationszeichen um.

Bestimmen Sie alle Lösungen der Ungleichung −4x+ 3 < x− 2.




BetragsungleichungenWie bei den Betragsgleichungen ist bei der Auflösung jedesvorkommenden Betrags eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Bestimmen Sie alle x ∈ R, für die gilt: 2x < |x− 1|.




6 Funktionen und ihre Umkehrbarkeit

Definition 6.1.Seien A und B Mengen. Eine Funktion f : A→ B ist eine Vorschrift,durch die jedem x ∈ A genau ein y = f(x) ∈ B zugeordnet wird.A heißt Definitionsbereich von f , B heißt Zielmenge von f , undf(A) := {f(x) : x ∈ A} ⊆ B heißt Wertebereich oder Bild von f .Zu einer gegebenen Menge A′ ⊆ A heißt

f(A′) := {f(x) : x ∈ A′} ⊆ B

das Bild von A′ unter f . Zu einer gegebenen Menge B′ ⊆ B heißt

f−1(B′) := {x ∈ A : f(x) ∈ B′}

das Urbild von B′ unter f .




Definition 6.2.Eine Funktion f : A→B heißt

injektiv (eineindeutig), wenn für alle x1, x2 ∈ A mit x1 6= x2 stetsf(x1) 6= f(x2) gilt,surjektiv, wenn es zu jedem y ∈ B ein x ∈ A gibt mit y = f(x),bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.

Ist f bijektiv, so existiert die Umkehrfunktion

f−1 : B→A, f−1(y) = x :⇔ y = f(x).




Der Graph der Umkehrfunktion f−1 ergibt sich aus dem Graphen derFunktion f durch Spiegeln an der Geraden y = x.

y = f(x) ⇐⇒ f−1(y) = f−1(f(x)) = x




Die gezeigten Wurzelfunktionen x 7→√x und x 7→ 3

√x sind die

Umkehrfunktionen von f(x) = x2 und f(x) = x3 mit dennichtnegativen Zahlen als Definitionsbereich.




Definition 6.3 (Wurzel).Die n-te Wurzel, n ∈ N, aus einer reellen Zahl a ≥ 0, ist diejenigenichtnegative reelle Zahl b, für die bn = a gilt. Man schreibt b = n

√a.

Die n-te Wurzel bzw. die Wurzelfunktion f(x) = n√x ist nur für

nichtnegative x ≥ 0 definiert.




7 Potenzen und Potenzgesetze1. Schritt: xn, n ∈ N, also eine natürliche Zahl (ungleich Null). Wiejeder weiß, gilt:

106 · 103 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10︸︷︷︸ · 10 · 10 · 10︸︷︷︸= 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10︸︷︷︸ = 109

6+3 = 9 Faktoren

Das gilt deshalb auch allgemein für jede reelle Zahl x ∈ R undnatürliche Zahlen m,n ∈ N

xn · xm = x · x . . . x · x︸︷︷︸ ·x · x . . . x · x︸︷︷︸ = x · x . . . x · x · x . . . x · x︸︷︷︸ = xn+m

n Faktoren m Faktoren n+m Faktoren

sowie analog (xm)n = x(mn) und xm

xn = xm−n, falls m > n.




Rationale und reelle Exponenten

2. Schritt: Wir definieren zunächst x 1n .

Die Umkehrfunktion zu xn(x > 0) ist x 1n := n

√x. Sie erfüllt die

Gleichung(x

1n

)n= x.

Wegen der diskutierten Probleme mit der Umkehrfunktion bei gerademExponenten n definiert man x 1

n nur für nichtnegative x.Für positive rationale Exponenten definieren wir

xmn =

(x

1n

)m= ( n√x)m, x ≥ 0, n,m ∈ N.

3. Schritt: Per Definition ist x0 = 1 für alle x ∈ R.




4. Schritt: Negative ganze Zahlen −n, n ∈ N.

Für x 6= 0 gilt x · 1x = 1 und damit auch

xn ·(1

x

)n= 1 =

xn

xn= xn

1

xn.

Deshalb definiert man x−n := 1xn , und es gilt

xm · x−n =xm

xn= xm−n.

Ergebnis: Für rationale Zahlen r = mn ist

xmn = ( n

√x)m.

Für irrationale α ∈ R wird xα mittels Stetigkeitsargument definiert: Zujeder irrationalen Zahl α gibt es eine Folge rationaler Zahlen mitlimn→∞

rn = α, und wir definieren:

xα := limn→∞

xrn .




Potenzgesetze

Für beliebige reelle Zahlen a, b, c ∈ R und natürliche Zahlen n ∈ Nsowie m ∈ Z gelten die folgenden Potenzgesetze:

(ab)c = a(bc), a > 0,

ab+c = ab ac, a > 0,

(ab)c = ac bc, a, b > 0,

a−b =1

ab, a > 0

ab−c =ab

ac, a > 0

a1n = n

√a, a ≥ 0.

amn = n

√am = ( n

√a)m, a ≥ 0.




8 Potenz- und WurzelgleichungenWurzel und Quadrat

Für beliebige reellen Zahlen x gilt√x2 =

√(−x)2 =

√|x|2 und somit

√x2 = |x|.

Somit hat die Gleichung√x2 = a

im Fall a < 0 keine reelle Lösung,im Fall a ≥ 0 zwei reelle Lösungen, nämlich x = a und x = −a.

Achtung: Die Lösung x = −a im zweiten Fall wird häufig vergessen!




Quadrieren und Potenzieren mit geradem Exponenten

Beispiel: Aus x = −3 folgt x2 = (−3)2 = 9. Wenden wir dasWurzelziehen als Umkehroperation an, so folgt

√x2 = |x| =

√9 = 3,

und wir erhalten 2 Lösungen x1 = −3 und x2 = 3.

Merke: Quadrieren ist keine äquivalente Umformung!

Trotzdem wird man in vielen Fällen quadrieren, um eine Lösung zuerhalten. In diesem Fall muss man eine Probe machen, um beimQuadrieren entstandene Scheinlösungen zu identifizieren.

Das Phänomen tritt analog bei sämtlichen Potenzen mit gerademExponenten auf.




Potenzieren mit ungeradem Exponenten

Beispiel: Die Gleichung x3 = −8 besitzt die einzige Lösung x = −2.Allerdings darf diese nicht als x = 3

√−8 geschrieben werden, denn

Wurzeln sind nur für nichtnegative Zahlen definiert!

Die korrekten Schritte beim äquivalenten Umformen lauten hier

x3 = −8 ⇐⇒ −x3 = 8 ⇐⇒ (−x)3 = 8

⇐⇒ −x =3√8 = 2 ⇐⇒ x = −2.

Eine Probe ist entbehrlich, da äquivalent umgeformt wurde. Sie schadetaber auch nicht.




Exkurs: Warum nicht einfach 3√−8 = −2?

Ein Grund wäre die Allgemeingültigkeit der Potenzgesetze: Es gilt fürm ∈ Z, n, k ∈ N:

xmn = x

m·kn·k .

Würde man fälschlicherweise mit −2 = 3√−8 rechnen, so folgt daraus

ein Widerspruch:

−2 = 3√−8 = (−8)

13 = (−8)

1·23·2

= (−8)26 = 6

√(−8)2 = 6

√64 = 2.

Eine weitere Begründung lernen Sie in HM1 kennen: in den komplexenZahlen hat die Gleichung x3 = −8 drei verschiedene Lösungen!




Lösen von Potenzgleichungen

Die Gleichung xn = a mit geradem Exponenten n ∈ N besitzt:

genau die beiden Lösungen x1/2 = ± n√a, falls a ≥ 0,

keine Lösung, falls a < 0.

Die Gleichung xn = a mit ungeradem Exponenten n ∈ N besitzt:

die eindeutige Lösung x = n√a, falls a ≥ 0,

die eindeutige Lösung x = − n√|a| = − n

√−a, falls a < 0.




Lösungsverfahren für Wurzelgleichungen

1. Den maximalen Definitionsbereich bestimmen.2. Quadrieren bzw. Potenzieren bis keine Wurzeln mehr auftreten.3. Resultierende Gleichung lösen.4. Abgleich der erhaltenen Lösungen mit dem Definitionsbereich.5. Probe.

Lösen Sie die beiden Wurzelgleichungen√x− 1 +

√x+ 2 = 1

und4√x3 + 4 =

√x+ 2




Die Gleichung √x− 1 +

√x+ 2 = 1

besitzt keine Lösung.




Die Gleichung4√x3 + 4 =

√x+ 2

besitzt die Lösungen x0 = 0, x1 =1−√17

2 und x2 = 1+√17

2 .




9 Exponential- und Logarithmusfunktion undassoziierte GleichungenDie Exponentialfunktion x 7→ ax ist für a > 0 und alle x ∈ R definiert.

Gebräuchliche Werte für die Basis sind die Zahlen 10, 2 unde ≈ 2.71828.




Plot von Exponentialfunktionen zu verschiedenen Basen:




Die Eulersche Zahl e

Ein Startkapital von 1e werde jeweils für ein Jahr angelegt. AufLeonhard Euler (1707-1783) geht folgende Überlegung zum Zinseszinszurück:

Bei jährlicher Verzinsung mit 100% sind am Jahresende 2e fällig.Bei halbjährlicher Verzinsung mit 50% sind am Jahresende(1 + 1

2)2e = 2.25e zu zahlen.

Bei vierteljährlicher Verzinsung mit 25% sind am Jahresende(1 + 1

4)4e ≈ 2.44e zu zahlen.

Frage: Wie wächst die zu zahlende Summe, wenn 100n % pro 1

n -tel desJahres zu zahlen sind? Wird diese Zahl beliebig groß?Euler: Nein, denn

e := limn→∞

(1 +

1

n

)n≈ 2.71828.




Exponential- und Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion.

Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist das offene Intervall(0;∞). Der Logarithmus ist folglich nur für positive Argumente xdefiniert. Für die Basis a gilt a > 0.




Wozu braucht man den Logarithmus?

Schallpegel(dB)

Schallintensität(W/m2)

Düsenjet in 500m EntfernungRock-Konzert

U-Bahn

PKWleise Unterhaltung

ruhiges Zimmer

BlätterrauschenHörbarkeitsgrenze0

30

60

90

120

10-12

10-9

10-6

10-3

1

Wie laut ist laut?

Die Schallintensität I läuft von I0 = 10−12 Wm2 bis über 100 = 1 W

m2 ,deshalb ist eine logarithmische Darstellung als Schallpegel P besser:

P = 10 log10I

I0.




Logarithmische Darstellung, Logarithmenpapier

Schalldruckpegel Lp = 20 log10PP0

mit P0 = 2 · 10−5 Pa.Wegen der über weite Strecken extrem flachen Kurve ist eine Darstellungmit den üblichen linear skalierten Achsen wenig aussagekräftig.




Viel besser ist eine halblogarithmische Darstellung (Logarithmenpapier):

Schalldruckpegel Lp = 20 log10PP0

mit P0 = 2 · 10−5 Pa.




Rechnen mit Logarithmen

Alle Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen.Für x, y > 0 und a > 0, a 6= 1 sowie r, b > 0 gilt

b = loga c ⇐⇒ ab = c,

ab = eb ln a,

loga(xy) = loga x+ loga y, loga

(xy

)= loga x− loga y,

loga xr = r loga x, loga x

−r = loga1xr = − loga x

r = −r loga x,wichtige Beziehungen: loga 1 = ln 1 = 0, loga a = ln e = 1.

Umrechnungsformel: loga x = logb xlogb a

und loga x = lnxln a .




Logarithmen- und Exponentialgleichungen

Maximalen Definitionsbereich bestimmen.Logarithmen- und Potenzgesetze anwenden und Gleichung lösen.Liegt die Lösung im Definitionsbereich? (Betrifft vor allemLogarithmen.)

Beispiel:

log10(x− 2) = 1

(⇐⇒ log10(x− 2) = log10 10)

=⇒ x− 2 = 10

⇐⇒ x = 12

Da x = 12 im Definitionsbereich liegt, ist x = 12 Lösung der Gleichung.





lnx− 1

2ln(3x− 2) = 0.




Beispiel zur Exponentialgleichung:

9x−1 = 36 · 3x

Maximaler Definitionsbereich: x ∈ R.

Anwenden von Potenzgesetzen:

9x−1 = (32)x−1 = 32(x−1) und 36 · 3x = 36+x

ergibt

32(x−1) = 36+x | log3⇐⇒ 2(x− 1) = 6 + x

⇐⇒ x = 8.




Plot zum Beispiel 9x−1 = 36 · 3x mit x = 8 als Lösung:





3x+3 − 2 · 5x = 5x+1 + 2(3x + 5x).




10 Winkel und Winkelmessung

Winkel. . . Teil der Ebene, der von zwei Strahlen („Schenkeln“) mitgleichem Anfangspunkt („Scheitel“) begrenzt wird

Winkelmessung. . . Quantitative Erfassung der „Öffnungweite“, d. h.lediglich der relativen Lage der Strahlen zueinander




Bogenmaß

Die Winkelmessung im Bogenmaß erfolgt unter Beachtung desDrehsinns am Einheitskreis:

1

1

0

ϕ

ϕ

Die Größe des Winkels im Bogenmaß entspricht der Länge desausgeschnitten Bogens auf dem Einheitskreis. Der Vollkreis entsprichteinem Winkel von 2π (Umfang des Einheitskreises).

Einheit: Zur Identifikation als Winkel verwendet man mitunter denRadiant: 1 rad= 1m

m = 1. Mathematisch gesehen ist das verzichtbar.




Gradmaß

Beim Gradmaß wird die Größe des Vollkreises auf 360◦ normiert.Damit entspricht dem Winkel π im Bogenmaß die Gradangabe 180◦.

Für beliebige Winkel gelten die Umrechnungsformeln

Winkel in Grad =180

π·Winkel in Radiant

Winkel in Radiant = π

180·Winkel in Grad

Wie groß ist der rechte Winkel (90◦) im Bogenmaß? Wieviel Gradentspricht 1 rad?




Winkelmesser mit Grad und Radiant

Prägen Sie sich einige Werte auch im Bogenmaß ein. Achten Sie beimRechnen mit Winkeln auf korrekte Taschenrechnereinstellung (◦/rad).




Bogenminuten und Bogensekunden

Im Zusammenhang mit der Gradskala sind neben der üblichenDezimaldarstellung auch kleinere Einheiten in Gebrauch:

Eine Bogenminute (1′) ist der 60-te Teil eines Grads.Eine Bogensekunde (1′′) ist der 60-te Teil einer Bogenminute bzw.der 3600-te Teil eines Grades.

Angaben mit Grad, Bogenminuten und Bogensekunden verwendet manvor allem in der Geographie und in der Astronomie.

In Google Earth kann man für den Hörsaal WIN 1005 die geografischenKoordinaten 50◦55′30′′N und 13◦20′01′′O ablesen. Wie lauten dieAngaben in Grad mit den gewohnten Nachkommastellen?




Geographische Längen und Breiten

Positionen auf der Erdoberfläche lassen sich immer mittels zweierWinkel (geogr. Länge (links) und Breite (rechts)) angeben:

Welchem Weg entspricht 1◦(1′, 1′′) Breite auf der Erdoberfläche, wennman sich entlang eines Meridians bewegt? Gehen Sie von einerkugelförmigen Erde mit 40000 km Umfang aus.




Schätzen Sie Blickwinkel

In der Astronomie erfasst man Durchmesser und Abstände von Objektenan der Himmelskugel ebenfalls über Winkelgrößen. Schätzen Sie:

den Winkel, den die gespreizte Hand (Ringfinger- bisDaumenspitze); der Handrücken; der Zeigefinger bei gestrecktemArm überdeckt,die „Länge“ des Großen Wagens,den Durchmesser der Sonne (des Mondes),den Abstand Mizar-Alkor (mittlerer Deichsel(doppel)stern desGroßen Wagens),die Auflösung des menschlichen Auges / die minimale Distanzzweier getrennt sichtbarer Sterne,den maximale Abstand des Gallileischen Jupitermondes Ganymedzum Jupiter,den Durchmesser des Jupiterscheibchens.




Gon und Strich

Neben Grad und Radiant sind vereinzelt noch weitere Einheiten inGebrauch. Insbesondere wären zu nennen:

das Gon ist der 400-te Teil eines Vollkreises, ein rechter Winkelentspricht also 100 gon.Gebrauch vor allem im Vermessungs- und Markscheidewesen.der nautische Strich ist der 32-te Teil eines Vollkreises.Gebrauch vor allem in der Seefahrt zur Grobpeilung.

Kompassrose mit Strichteilung




11 Winkelfunktionen und TrigonometrieUnter dem Begriff Winkelfunktionen fasst man die Funktionen Sinus,Kosinus, Tangens und Kotangens zusammen. Wir erinnern uns zunächstan die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis.

1

1

cosϕ

sinϕ

0

ϕ

ϕ

Durch Skalieren der Skizze erhält man die klassischenWinkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck – doch dazu später.




Betrachtet man Sinus und Kosinus in Abhängigkeit vom Winkel x,entstehen zwei 2π-periodische Funktionen, deren Graphen lediglich umπ2 gegeneinander verschoben sind:

−1

0

1

−1

0

1

−2π

−π 0 π 2π

−2π −π 0 π 2π

Sinus

Kosinus




Eigenschaften von Sinus und Kosinus

sin(x+ 2π) = sin(x), cos(x+ 2π) = cos(x),d. h. Sinus und Kosinus sind 2π-periodisch,sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x),d. h. der Sinus ist ungerade, der Kosinus gerade,sin(x) = cos(x− π/2) und cos(x) = sin(x+ π/2),d. h. die Graphen sind um π/2 gegeneinander verschoben,sin2(x) + cos2(x) = 1 (Satz des Pythagoras),sin(x) = 0 ⇔ x = kπ mit k ∈ Z undcos(x) = 0 ⇔ x = (k + 0.5)π mit k ∈ Z,sin(x) ist auf [−π/2, π/2] streng monoton wachsend undcos(x) ist auf [0, π] streng monoton fallend.




Markante Funktionswerte

Es ist empfehlenswert, sich wenigstens einige Funktionswerte für Sinusund Kosinus einzuprägen:

0/0◦ π6 /30

◦ π4 /45

◦ π3 /60

◦ π2 /90

◦

sinx 0 12

√22

√32 1

cosx 1√32

√22

12 0

Aufgrund von Periodizität, Symmetrien usw. kann man daraus auf eineReihe weiterer Werte schließen. Zum Beispiel ist

sin 120◦ = sin 60◦ =

√3

2.




Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen

sin(2x+ 1) = 0 und cos(π

2− 3x) =

√3

2.

Nutzen Sie die die Eigenschaften von Seite 80 wie auch dieFunktionswerttabelle auf Seite 81.

Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen

f(x) = sin(2x+ 1) und g(x) = cos(π

2− 3x).

Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus dem vorigen Beispiel graphisch.

Was ändert sich am Graphen einer Funktion y = f(x), wenn man xdurch kx (k > 0), −x bzw. x− c ersetzt? Was ändert sich wenn many = kf(x) (k > 0) statt y = f(x) betrachtet?




Tangens und Kotangens

Der Tangens von x ist definiert durch

f : R \{(k + 1

2

)π : k ∈ Z

}→ R, x 7→ tan(x) :=

sin(x)

cos(x).

Der Kotangens von x ist definiert durch

f : R \ {kπ : k ∈ Z} → R, x 7→ cot(x) :=cos(x)

sin(x).

Im Gebrauch ist vor allem der Tangens.

Wichtige Eigenschaften:tan und cot sind π-periodische Funktionen,tan(−x) = − tan(x) und cot(−x) = − cot(x), d. h. beideFunktionen sind ungerade,tan ist auf (−π/2, π/2) streng monoton wachsend undcot ist auf (0, π) streng monoton fallend.




Graphische Darstellung

−4

−2

0

2

4

−2π −π 0 π 2π

Tangens Kotangens

−1 0 1−1

0

1cot(x)

cos(x)

sin(x)

x

tan(x)

Dargestellt sind die Graphen von Tangens und Kotangens sowie diegraphische Interpretation am Einheitskreis.




Seiten-Winkel-Beziehungen im rechtwinkligen DreieckIm rechtwinkligen Dreieck sollten Sie zumindest folgende Beziehungen(auswendig!) kennen:

Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2.Winkelbeziehungen: sinβ = b

c cosβ = ac , tanβ = b

a

Flächeninhalt: A = 12ab

b

a

cα

β

Machen Sie sich klar, dass die Winkelbeziehungen unmittelbar aus derDefinition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis folgen.




Seiten-Winkel-Beziehungen im allgemeinen DreieckAllgemein gelten in Dreiecken die folgenden Beziehungen:

Kosinussatz: c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Sinussatz: asinα = b

sinβ = csin γ

Flächeninhalt: A = 12chc =

12ab sin γ

b a

cα β

hc

γ

Man leite Sinus- und Kosinussatz unter Rückführung auf dieBeziehungen in rechtwinkligen Dreiecken her.




Arkusfunktionen

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen nennt manArkusfunktionen.Da die trigonometrischen Funktionen auf R nicht eineindeutig sind,muss man Einschränkungen auf bestimmte Intervalle vornehmen.Man schränkt Kosinus und Kotangens auf [0, π] sowie Sinus undTangens auf

[−π

2 ,π2

]ein, und erhält die Umkehrfunktionen

arcsin : [−1, 1]→[−π

2, π2

], y = arcsin(x) :⇔ x = sin y, y ∈ [−π

2, π2],

arccos : [−1, 1]→ [0, π] , y = arccos(x) :⇔ x = cos y, y ∈ [0, π],arctan : R→

[−π

2, π2

], y = arctan(x) :⇔ x = tan y, y ∈ [−π

2, π2],

arccot : R→ [0, π] , y = arccot(x) :⇔ x = cot y, y ∈ [0, π].

mit Namen Arkussinus, Arkuscosinus, Arkustangens undArkuskotangens.




Graphische Darstellung

−1 0 1−π/2

0

π/2

π

arcsin

arccos

−4 −2 0 2 4

π

π/2

0

−π/2

arctan

arccot

Graphen sämtlicher Arkusfunktionen.




Originalfoto: Regi51.

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeitund einen guten Start ins Studiuman der TU Bergakademie Freiberg!

Die Vorlesungen und Tutorien des Vorkurses wurden alsTeil des Brückenkurses I teilweise durch das SMWK ausMitteln des ESF und des Landes Sachsen gefördert.




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