SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

SPEKTRALNA ANALIZA ANTROPODINAMIČKIH SUSTAVA

DOKTORSKA DISERTACIJA

OSMAN MUFTIĆ DRAŠKO TOMIĆ

ZAGREB, 2004

2

PODACI ZA BIBLIOGRAFSKU KARTICU: UDK: 577.3., 578.08., 578.087, 535.33 Ključne riječi: Antropodinamika, spektralna analiza, evolucijski operator, spektralna determinanta, tenzor tromosti Znanstveno područje: TEHNIČKE ZNANOSTI Znanstveno polje: Strojarstvo Institucija u kojoj je Fakultet strojarstva i brodogradnje rad izrađen: Sveučilišta u Zagrebu Mentor rada: Dr.sc. Osman Muftić, red.prof. Broj stranica: 128 Broj slika: 59 Broj tablica: 5 Broj korištenih bibliografskih jedinica: 116 Datum obrane: Povjerenstvo: Dr.sc. Ivo Alfirević, red.prof. – predsjednik povjerenstva Dr.sc. Osman Muftić, red.prof. – voditelj doktorskog rada Dr.sc. Predrag Keros, red. prof – član povjerenstva Dr.sc. Slobodan Ribarić, red.prof. – član povjerenstva Dr.sc. Zvonimir Šikić, red.prof. – član povjerenstva Institucija u kojoj je Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu rad pohranjen: Nacionalna i sveučilišna biblioteka Zagreb

3

ZAHVALE Zahvaljujem prof. dr. Osmanu Muftiću, voditelju ovog rada, koji mi je omogućio maksimalnu slobodu i kreativnost, istovremeno me pravilno usmjeravajući tijekom izrade ovog rada. Njegove ispravke i primjedbe su u ključnoj mjeri pridonijele nastanku ovog rada, i nadam se nastavku suradnje i u budućnosti. Prof. dr. Predrag Keros me je stalno poticao korisnim savjetima, ne samo prilikom mojih prvih doticaja sa znanstvenim područjem biomehanike, već tijekom čitave izrade doktorskog rada. Isto tako zahvaljujem dipl. iur. Jagodi Oklopčić, koja mi je u više navrata strpljivo davala sve informacije potrebne oko formalne procedure vezane uz predaju rada. Kad je riječ o programiranju i radu sa sustavom SANTOS, bez pomoći dipl. ing. Miroslava Kelave i njegovog ekspertnog poznavanja Unix operacijskog sustava i C programskog jezika računalno generiranje spektralnih matrica ostala bi jedna zanimljiva opcija, prepuštena budućim naraštajima. Kolega Ivan Leko mi je nesebično pružao pomoć pri rješavanju mnogih problema nastalih pri završnoj obradi grafova, tabela i čitavog teksta. Za vrijeme moje potpune zbunjenosti proistekle iz intenzivnog bavljenja spektralnim determinantama, periodskim orbitama i ostalim draguljima matematičke fizike, supruga Vlasta je iskazivala ono prijeko potrebno strpljenje i prisebnost potrebnu u takvim situacijama. Uspomena na drage prijatelje sa prve Vidovčice, Duju, Rozy, Fleki, Šarenu i Sivka, pružala mi je onu neophodno potrebnu dozu ljubavi, bez koje bi moja potraga za redom u kaotičnom sustavu periodskih orbita završila na samom početku. Od same početne ideje bavljenja znanošću pa do sada, brat Joško mi je strpljivo ukazivao kako pristupiti nekom znanstvenom problemu i kako ga riješiti. Naposlijetku, iako ne i na kraju, zahvaljujem mojim dragim roditeljima koji su mi uvijek nastojali omogućiti najkvalitetniju moguću izobrazbu i trajno me podržavali i poticali u mom životu i znanstvenom radu.

4

Sadržaj Predgovor Sažetak Summary Ključne riječi 1. UVOD...................................................................................................…………..17 2. CILJ RADA...........................................................................................………..............…21

3. PREGLED SADAŠNJEG STANJA.......................................................................23

3.1. Kinematička analiza gibanja ljudskog tijela................................................24

3.2. Dinamička analiza gibanja ljudskog tijela....................................................28 4. SVOJSTVA TROMOSTI ROTACIJSKIH SUSTAVA……….............…..............…33

4.1. Transformacija koordinatnih sustava...........................................................33

4.1.1. Transformacijske matrice…………….............……............................33 4.1.2. Euler-Cardanove matrice rotacije………...........................…........….36 4.1.3. Računanje rotacijskih matrica iz koordinata markera........................42 4.2. Tenzor tromosti krutog tijela..…………..........................................................45 4.2.1. Transformacija tenzora tromosti …………………...….............................46 4.2.2. Tenzor tromosti sustava krutih tijela.................................................48 5. SPEKTRALNA ANALIZA ANTROPODINAMIČKIH SUSTAVA.............................49

5.1. Evolucija dinamičkih sustava......................................................................50 5.2. Evolucijski operatori....................................................................................51 5.2.1. Perron-Frobeniusov operator..........................................................51 5.3. Spektralna teorija evolucijskih operatora.....................................................53 5.3.1. Teorija periodskih orbita..................................................................54 5.3.2. Trag evolucijskog operatora............................................................55 5.3.2.1. Jednadžba traga za mape................................................56

5.3.2.2. Jednadžba traga za kontinuirane tokove.........................57

5

5.3.3. Spektralne determinante............................................................... 59

5.3.3.1. Spektri i svojstvene vrijednosti.........................................59 5.3.3.2. Spektralne determinante za mape...................................60 5.3.3.3. Spektralne determinante za kontinuirane tokove.............61 5.4. Evolucijski operatori antropodinamičkih sustava…….......….……................61

5.4.1. Evolucijski operator relativnog gibanja.........…..………................…62 5.4.2. Evolucijski operator tenzora tromosti.............……….......................64

6. SPEKTRALNA ANALIZA LJUDSKOG HODA…….....................………................67

6.1. Geometrijski model ljudskog tijela…………..…............................………….68

6.2. Definiranje segmentalnih parametara..........................…………..................81

6.3. Prikupljanje i obrada antropometrijskih i prostornih podataka.……...….....87 6.3.1. Opis ELITE sustava…………………………………………………………..…88

6.4. Generiranje inercijalnih spektara................................................................106

6.5. Svojstva inercijalnih spektara……..................................……….................107 7. ZAKLJUČAK...............................…........................…...............……...........……...116 LITERATURA............................................................................................................118 Životopis....................................................................................................................127 Biography..................................................................................................................128

6

Popis slika 3.1 2D konturni model čovjeka....................................................................................24 3.2 Štapićasti model čovjeka.......................................................................................25 3.3 3D model čovjeka..................................................................................................26 3.4 Osnovna struktura skrivenog Markovljevog modela.............................................27 3.5 Shematski prikaz izmjerenog skoka u vis .............…………………………..…......29 3.6 Simulacija 3D 17-segmentnog modela.................................................................30 3.7 Spojno–segmentalni model noge………………………………………….……….…31 4.1 Transformacija vektora u koordinatnim sustavima................................................33 4.2 Vektor u rotirajućem sustavu.................................................................................36 4.3 Uzastopne rotacije koordinatnog sustava oko pojedinih osi......…........................38 4.4 Rotacija objekta u prostoru……….........................................................................42 5.1 Problem triju tijela..................................................................................................49 5.2 Evolucija roja čestica.............................................................................................50 5.3 Periodske orbite....................................................................................................54 6.1 Geometrijski model ljudskog tijela ………….…………………………………..……68 6.2 Prošireni Hannavanov geometrijski model ljudskog tijela…...........…………….....69 6.3 Eliptična ploča…………………………………………....………………….....…....…74 6.4 Polu-elipsoid……………………………………………………………….…......….…75 6.5 Eliptički stožac………………………………………………………………………..…76 6.6 Stadionska ploča...................................................................................................78 6.7 Stadion………………………………………………………………….…………….....79 6.8 Određivanje segmentalnih volumena pomoću posuda s vodom...........................81 6.9 Geometrijski model ljudske noge..........................................................................84 6.10 Eulerovi kutevi rotacije za zglobove kuka, koljena i stopala................................85

7

6.11 Shematski prikaz ELITE uređaja.........................................................................89 6.12 Dimenzije i spojevi višekomponentne reakcijske ploče.......................................90 6.13 Kontrolni model za baždarenje ELITE sustava...................................................91 6.14 Raspored markera i spojne crte među njima......................................................92 6.15 Radni volumen i snimanje ispitanika...................................................................93 6.16 Mjerenje ELITE sustavom...................................................................................94 6.17 Grafički prikaz modela ispitanika u projekcijskim ravninama..............................95 6.18 Trajektorije markera prilikom podizanja tereta....................................................96 6.19 Rotacijski kutevi desnog kuka pri normalnom hodu, iskorak desnom nogom.....98 6.20 Rotacijski kutevi desnog kuka pri normalnom hodu, iskorak lijevom nogom......98 6.21 Rotacijski kutevi desnog kuka pri simuliranom hodu, iskorak desnom nogom...99 6.22 Rotacijski kutevi desnog kuka pri simuliranom hodu, iskorak lijevom nogom....99 6.23 Rotacijski kutevi lijevog kuka pri normalnom hodu, iskorak desnom nogom....100 6.24 Rotacijski kutevi lijevog kuka pri normalnom hodu, iskorak lijevom nogom......100 6.25 Rotacijski kutevi lijevog kuka pri simuliranom hodu, iskorak desnom nogom...101 6.26 Rotacijski kutevi lijevog kuka pri simuliranom hodu, iskorak lijevom nogom.....101 6.27 Rotacijski kutevi desnog koljena pri normalnom hodu......................................102 6.28 Rotacijski kutevi lijevog koljena pri normalnom hodu........................................102 6.29 Rotacijski kutevi desnog koljena pri simuliranom hodu.....................................103 6.30 Rotacijski kutevi lijevog koljena pri simuliranom hodu.....................................103 6.31 Rotacijski kutevi gornjeg zgloba desnog stopala pri normalnom hodu............104 6.32 Rotacijski kutevi gornjeg zgloba desnog stopala pri simuliranom hodu...........104 6.33 Rotacijski kutevi gornjeg zgloba lijevog stopala pri normalnom hodu...............105 6.34 Rotacijski kutevi gornjeg zgloba lijevog stopala pri simuliranom hodu..............105 6.35 Amplituda i faza spektralne matrice desne natkoljenice...................................107

8

6.36 Spektar desne natkoljenice……..……………………..…………………………...108 6.37 Varijacije rotacijskih kuteva i spektra……..……………………………...……..…109 6.38 Dinamički momenti tromosti desne natkoljenice i pripadni spektar……............110 6.39 Spektri reduciranih spektralnih matrica desne natkoljenice..............................111 6.40 Dinamički momenti tromosti desne i lijeve natkoljenice....................................112

6.41 Spektri )60,31( nm reduciranih spektralnih matrica desne i lijeve

natkoljenice za slučaj normalnog hoda.............................................................112

6.42 Spektri )60,41( nm reduciranih spektralnih matrica desne i lijeve

natkoljenice za slučaj normalnog hoda.............................................................113

6.43 Spektri )60,31( nm reducirane spektralne matrice desne natkoljenice

za slučajeve normalnog hoda i antalgičnog šepanja.........................................113

6.44 Spektri )60,31( nm reducirane spektralne matrice desne natkoljenice

kod normalnog hoda za slučajeve desnog i lijevog iskoraka............................114

6.45 Spektri )60,31( nm reducirane spektralne matrice donjeg dijela trupa

kod normalnog hoda i antalgičnog šepanja..............................................…….115

9

Popis tabela

Tabela 6.1: Argumenti geometrijskih funkcija……………………………………......…70

Tabela 6.2: Antropometrijski parametri po Clauseru…………………………………..71

Tabela 6.3: Parametri eliptičkog stošca…………………………..…………….………78

Tabela 6.4: Segmentalne mase...............…………………………………....….……..82

Tabela 6.5: Relevantni parametri po Clauseru…………………………...…………….82

10

Popis oznaka Oznaka Značenje Prva uporaba Symbol Meaning First occurrence

A, B, C... matrice (4.3)* matrices A evolucijski operator relativnog gibanja (5.50) relative motion evolution operator AT, BT, CT transponirana matrica (4.33) transpose matrix A-1, B-1, C--1 inverzna matrica (5.59) inverse matrix a linearna akceleracija 30 linear acceleration a, b, c… vektori 30 vectors B evolucijski operator tenzora tromosti (5.57) tensor of inertia evolution operator E jedinična matrica (4.38) identity matrix F sila 30 force Ft evolucijski operator 49 evolution operator I, Iij tenzor tromosti (4.39) tensor of inertia Ixx, Iyy, Izz glavni momenti tromosti (4.44) mass moments of inertia Ixy, Ixz, Iyz devijacijski momenti tromosti (4.44) products of inertia * brojevi u zagradama odnose se na jednadžbe, a brojevi bez zagrada na stranice

numbers in parentheses refer to equations and numbers without parentheses to pages

11

Im imaginarni dio kompleksnog broja (6.25) imaginary part of complex number

J Jacobijeva matrica (5.4) Jacobian matrix i, j, k jedinični vektori (4.1) unit vectors L moment količine gibanja (4.39) moment of momentum Ln Perron-Frobeniusov operator za mape (5.20) Perron-Frobenius operator for maps Lt Perron-Frobeniusov operator za tokove (5.8) Perron-Frobenius operator for flows M fazni prostor 50 phase space M moment 30 moment m masa 30 mass R rotacijska matrica (4.15) rotation matrix Re realni dio kompleksnog broja 55 real part of complex number S spektralna determinanta 59 spectral determinant T transformacijska matrica (4.3) transformation matrix tr trag matrice (4.33) trace V volumen (4.43) volume X, Y, Z,… osi koordinatnog sustava 33 coordinate system axes

12

x, y, z Descartesove koordinate (4.10) Cartesian coordinates

kutna akceleracija 30 angular acceleration

Diracova delta funkcija (5.9)

Dirac delta function

jk Kroneckerov delta (4.41)

Kronecker delta

, , kutevi rotacije (4.18) rotational angles

Lagrangeov multiplikator (4.52) Lagrange multiplicator

svojstvena vrijednost matrice (4.54) matrix eigenvalue μ inverzna svojstvena vrijednost matrice (5.35) inverse matrix eigenvalue

gustoća (4.40) density

vektor kutne brzine (4.39) angular velocity vector

13

Predgovor

Analiza gibanja ljudskog tijela je područje biomehanike u kojem se raznim metodama pokušava kvalitativno i kvantitavno opisati gibanje čitavog tijela ili samo nekih dijelova, od kojih se najčešće koriste inverzna i direktna mehanika, te spektralna analiza gibanja središta mase. Metode inverzne mehanike se zasnivaju na aproksimaciji pojedinih dijelova tijela geometrijskim modelima određenih značajki tromosti. Iako dosta složeni i temeljeni na točnim antropodinamičkim mjerenjima, geometrijski modeli ne mogu vjerno opisati svojstva tromosti ljudskog tijela, koje se sastoji od segmenata nepravilnih oblika promjenjive gustoće, podložnih vremenskim promjenama. Direktna mehanika pokušava skeleto-muskularno-živčani sustav modelirati sustavom diferencijalnih jednadžbi. Broj jednadžbi i nepoznanica u takvim sustavima često prelazi nekoliko stotina. Nesavršenost takvih modela te nepoznavanje brojnih početnih uvjeta, preduga vremena njihove numeričke integracije kao i osjetljivost na numeričke greške još uvijek čine značajnu prepreku u njihovom svakodnevnom korištenju. Spektralne metode, zasnovane na Fourierovoj diskretnoj analizi, mogu vrlo točno zapisati promjene u položajima središta masa, ali ne mogu na zadovoljavajući način opisati vezu između relativno malih promjena na lokalnoj razini, unutar pojedinih segmenata, i relativno velikih promjena u gibanju čitavog tijela, kao njihove posljedice. Zbog toga postoji potreba za metodom koja s jedne strane ima osjetljivost postojećih spektralnih metoda, a s druge strane može koristiti dobro razvijene inercijalne geometrijske modele. Istodobno takva metoda treba biti prikladna za analizu visoko nelinearnih složenih dinamičkih sustava i pojava koje se javljaju u njima, a ljudsko tijelo bez sumnje po svojim značajkama spada u takve sustave.

Sažetak rada

14

Glavna teza ovog rada je da spektralna analiza kinematike i dinamike ljudskog tijela može registrirati promjene koje je tradicionalnim metodama vrlo teško ili čak nemoguće registrirati. Pri tome pod spektralnom analizom podrazumjevamo analizu spektra, definiranog kao skup svih inverznih svojstvenih vrijednosti neke matrice, koja na relevantan način opisuje pojavu koju pokušavamo istražiti. Sa ciljem vrednovanja naše teze, definirali smo evolucijske operatore koji opisuju promjene u tenzorima tromosti pojedinih segmenata ljudskog tijela, te smo pronašli vezu između varijacija u spektrima njihovih pripadnih matrica i promjena u načinu ljudskog hoda. Također smo utvrdili razliku među spektrima lijevih i desnih segmenata donjih ekstremiteta ljudskog tijela. Gibanje mehaničkog sustava sačinjenog od više tijela opisujemo prvim operatorom i nazivamo ga evolucijski operator relativnog gibanja. Definiramo ga u višedimenzionalnom vektorskom prostoru kao veličinu koja sadrži podatke o putanjama središta masa dijelova sustava, nastalim prigodom gibanja sustava kroz prostor u određenom vremenskom razdoblju promatranja. Broj uzorkovanja u tom razdoblju držimo konačnim, što nam omogućava prikaz operatora putem konačno dimenzionalne matrice. Nadalje računamo njen spektar kao skup svih inverznih svojstvenih vrijednosti i on predstavlja spektralni prikaz vremenske evolucije putanja promatranih točaka u zadanom intervalu promatranja. Dinamiku sustava opisujemo posredno, pomoću novog operatora, kojeg nazivamo evolucijski operator tenzora tromosti. Njega također definiramo u višedimenzionalnom vektorskom prostoru, ovaj put kao veličinu koja sadrži podatke o promjenama tenzora tromosti pojedinih dijelova sustava, nastalim prilikom gibanja sustava kroz prostor u određenom vremenskom razdoblju promatranja. Kao i kod evolucijskog operatora relativnog gibanja, broj uzorkovanja u tom intervalu držimo konačnim, što nam omogućava prezentaciju i ovog operatora pomoću konačno dimenzionalne matrice. Iz nje računamo spektar kao skup svih njenih inverznih svojstvenih vrijednosti i on predstavlja spektralni prikaz vremenske evolucije tenzora tromosti pojedinih dijelova sustava u zadanom intervalu promatranja. Sa ciljem provjere odabrane hipoteze izgrađen je sustav SANTOS. On omogućava spektralnu analizu podataka utvrđenih putem ELITE sustava za određivanje dinamike ljudskog tijela. Podaci o rotacijskim kutevima pojedinih zglobova se prebacuju iz ELITE u SANTOS, gdje se pomoću njih oblikuju matrice evolucijskih operatora tenzora tromosti i računaju njihovi spektri. Analiza tako dobivenih spektara provedena je nad skupom podataka utvrđenim iz niza od četiri mjerenja pomoću ELITE sustava. U prva dva mjerenja hod je bio normalan, dok je u preostala dva mjerenja simulirano šepanje. Analiza je pokazala razliku u spektrima kako za pojedine načine hoda, tako i za lijeve i desne segmente donjih ekstremiteta.

Summary

15

The main thesis of this work is that spectral analysis can be used to identify the variations in kinematics and dynamics of the human body, otherwise very hard or even impossible to register with use of the traditional methods. In our framework spectral analysis is an analysis of the spectrum defined as a set of all inverse eigenvalues, computed from the matrices that can be derived from the operators that in relevant way describe phenomenas we are trying to explore. In the aim to validate this thesis, we have defined evolution operators that describe changes in the inertial parameters of human body system, derived their underlaying matrices and spectrums, and found out the links between variations in their spectrums and human walking dynamics. We describe the kinematics of the multy-body mechanical system with the first evolution operator that we call the evolution operator of the relative motion. It is defined in the multi-dimensional vector space and describes the motions of the center masses of the body segments, relative to the origin of some reference coordinate system. We keep sampling-rate in the observation time interval finite, which enables us to represent evolution operator with finite-dimensional matrix and to compute its spectrum , in the aim to obtain spectral description of the time-evolution of trajectories of the points of center masses. We describe the system dynamics in the indirect way via new operator, and we call it the tensor of inertia evolution operator. We define it in a multi-dimensional vector space as well, but this time as a magnitude containing data about changes of the inertial tensors of the system segments. These changes are a consequence of the movement of the whole system through the space in the given time interval of the observation. We keep sampling-rate again finite to be able to represent evolution operator with the finite dimensional matrix. Again, spectrum computed from this matrix enables us to obtain spectral description of the time evolution of the inertial tensor of the body segment in the observation time interval. We built an application SANTOS to examine our thesis. It does spectral analysis of the data obtained from ELITE, a system for determining kynematic and dynamics of the human body. Data about joint rotational angles are transfered from ELITE to SANTOS, where the corresponding matrices of the evolution operators of the tensors of inertia are created, and their inverse eigenvalue spectrums are computed. The analysis of the inertial spectrums was performed on the data collected from the series of the four measurements. For the first two measurements walking of the test subject was normal, and in the second two measurements limping was simulated. The comparison of the spectrums has shown the difference between normal and simulated walk, and between left and right-sided body segments. Ključne riječi:

16

antropodinamika, spektralna analiza, evolucijski operator, spektralna determinanta, tenzor tromosti Keywords: anthropodynamics, spectral analysis, evolution operator, spectral determinant, tensor of inertia

1. UVOD

17

Analiza je gibanja ljudskog tijela vrlo složen zadatak, a njena primjena često daje nezadovoljavajuće rezultate. Uzrok tome je da je ljudsko tijela vrlo složen sustav, sastavljen od tisuća milijardi raznorodnih molekula, između kojih postoji međudjelovanje. Stoga je mikroskopski uvid u takvu problematiku putem molekularne simulacije praktički onemogućen za još mnogo generacija računalske tehnologije. Za usporedbu, danas najmoćnija računala danima izvode simulaciju molekularnog sustava od nekoliko stotina tisuća molekula, pri čemu su evolucijska vremena modela reda nanosekundi. Makroskopski pristup tom problemu je danas jedini način na koji se takva analiza može provesti u prihvatljivom vremenskom razdoblju. Modeliranje ljudskog tijela sustavom diferencijalnih jednadžbi vodi do aproksimacije pojedinih mišića ili skupina mišića, živčanih puteva i dijelova kostura više ili manje točnim električkim i mehaničkim modelima, koji za određene potrebe trebaju dovoljno točno opisati objekte čije ponašanje želimo proučavati. U pravilu je takve objekte zbog njihove geometrijske nepravilnosti, nehomogene strukture te kompleksnih inercijalnih i viskoelastičnih svojstava vrlo teško opisati matematičkim modelima dovoljne točnosti, a ako je to u nekim slučajevima i moguće, njihova numerička integracija traje vrlo dugo, s obzirom na u pravilu vrlo veliki broj jednadžbi i nepoznanica u njima. Također je u računalstvu poznat fenomen da sa brojem jednadžbi i nepoznanica u sustavu, te brojem iteracija, raste i mogućnost numeričke greške u sustavu, sve kao posljedica konačne točnosti aritmetičkog sklopovlja računala na kojem se takav sustav rješava. Još jedan problem je efekt kaosa [68], poznat iz teorije nelinearnih dinamičkih sustava. Kao rezultat tog efekta, male promjene na lokalnim razinama mogu dovesti do velikih promjena na razini čitavog sustava. To znači da mala odstupanja u početnim uvjetima integracije mogu dovesti do potpuno različitih rezultata. Stoga su metode direktne dinamike primjenjive u problemima uglavnom orijentiranima na proučavanje jednostavnih gibanja vanjskih ekstremiteta, dok je njihova primjena u proučavanju složenih gibanja čitavog ljudskog tijela na današnjem stupnju razvoja računalske tehnologije bitno otežana. Ljudsko se tijelo pojednostavnjeno može promatrati i kao mehanički sustav sastavljen od više međusobno povezanih pravilnih geometrijskih tijela. Pri tome se za svako od tijela definiraju njegovo središte mase i dinamički momenti tromosti, kako na temelju već postojećih antropometrijskih mjerenja, tako i regresijskih jednadžbi, utvrđenih antropomjerenjem izabrane populacije. Pokreti tijela snimaju se kamerom ili se pak registriraju prostorne pozicije posebnih markera pričvršćenih na segmente ispitanikovog tijela.

18

Na temelju prikupljenih podataka o položajima markera mogu se odrediti središta masa pojedinih segmenata i čitavog tijela, te dinamički momenti tromosti s obzirom na njih ili na segmentalne veze. Pomoću CAD (Computer Aided Design) programa mogu se na temelju tih podataka računati sile u pojedinim segmentima i sponama. Ljudsko tijelo djeluje na okolinu i obrnuto, pa se međudjelovanja mjere pomoću reakcijske podloge, što doprinosi točnosti konačnih rezultata. Nekoliko je nedostataka ove u osnovi metode inverzne dinamike (iz poznatog gibanja se određuju sile u sponama između segmenata). - Aproksimacija nekog dijela tijela sa jednim ili više geometrijskih tijela kojima znamo izračunati glavne momente tromosti nije uvijek zadovoljavajuća. Karakterističan primjer je glava koja se obično aproksimira rotacionim elipsoidom, a postoje specifične forme glave kojima je kocka primjerenija. - Nadalje, izračun se glavnih momenata tromosti nekog tijela svodi na prostornu integraciju gustoće unutar njegove površine. Pri tome se uzima da to tijelo ima konstantnu gustoću u svim svojim dijelovima, što ni za jedan dio ljudskog tijela nije slučaj. - Antropometrijske su mjere i regresijske jednadžbe na temelju kojih se određuju parametri nužni za računanje momenata tromosti često neprimjerene ispitanikovom spolu i dobi. Mnogi segmentalni parametri se zasnivaju na mjerenjima kadavera, koji imaju različita svojstva od dijelova živog organizma. Isto tako, oni predstavljaju statističke sredine više mjerenja, tako da mogu biti djelomično ili čak potpuno neprikladni za objekte kod kojih je odstupanje antropodinamičkih mjera od srednjih vrijednosti značajno. - Prigodom gibanja unutrašnji organi se pomiču i mijenjaju volumen, a pojedini dijelovi tijela zalaze jedan u drugi, što također smanjuje točnost inercijalnih modela. Postojeće metode spektralne analize gibanja ljudskog tijela koriste činjenicu da male promjene u prostornoj domeni za posljedicu imaju relativno velike i za određenu vrstu gibanja karakteristične promjene u frekvencijskoj domeni. Položaji markera pričvršćenih za pojedine dijelove tijela se snimaju, i određuje se njihova krivulja gibanja u prostoru. Ta krivulja se obično putem brze Fourierove transformacije preslikava u frekvencijsku domenu. Relativno malo odstupanje od referentne krivulje gibanja se očituje kao karakteristična i relativno velika promjena u frekvencijskom spektru. Ovakav pristup omogućuje kvalitetno praćenje promjena u kinematici ljudskog tijela. Tako je temeljem praćenja položaja težišta tijela moguće utvrditi razliku u hodu neke osobe kad hoda ili ne sa zubnom protezom, na temelju kvantitativnih razlika u dobivenim spektrima [104]. Za razliku od kinematičke analize gibanja ljudskog tijela u kojoj je ova metoda pokazala odlične rezultate, praćenje dinamike ljudskog tijela u gibanju je do sada ostalo van njenog domašaja. Iz prethodnog izlaganja je očito da postoji potreba za metodom koja bi bila osjetljiva na male promjene u gibanju ljudskog tijela, kao što to imaju postojeće spektralne metode, a da je istodobno prikladna za izučavanje svojstava tromosti, odnosno masa i dinamičkih momenata tromosti ljudskog tijela i njegovih dijelova.

19

Metoda bi trebala imati svojstvo “prepoznavanja” uticaja malih promjena u inercijalnim svojstvima pojedinih dijelova na kinematiku i inercijalna svojstva sustava, dakle čitavog ljudskog tijela. Nadalje, ona mora biti prihvatljiva sa strane raspoloživih računalskih resursa, dakle da se neko standardno gibanje poput hoda može analizirati na lako dostupnoj računalskoj opremi, a da se sama analiza odvija u vremenski prihvatljivim okvirima. Zbog toga se predlaže metoda zasnovana na analizi svojstvenih vrijednosti evolucijskih operatora, veličina već duže primjenjivanih na području statističke mehanike. Najvažnija karakteristika tih svojstvenih vrijednosti je da u sustavu od mnogo tijela opisuju pojave koje se javljaju cjelovito, na razini čitavog sustava, a kojima su uzroci lokalne promjene u pojedinim dijelovima sustava. U ovom su radu izvedena dva evolucijska operatora. Jednim se opisuje kinematika ljudskog tijela u gibanju, i nazivamo ga evolucijskim operatorom relativnog gibanja. Drugim se opisuju inercijalna svojstva ljudskog tijela u gibanju. Njega nazivamo evolucijskim operatorom tenzora tromosti. Na temelju tako definiranih operatora postavljene su njihove matrične prezentacije i iz njih se izvode pripadne spektralne determinante. Svojstvene vrijednosti evolucijskog operatora tenzora tromosti vrednujemo pomoću dva sustava: ELITE, komercijalnog sustava za analizu ljudskih pokreta, i SANTOS (Spectral Analysis of the Tensor of Inertia System) sustava, koji iz rotacijskih kuteva zglobova koje dobija od ELITE generira pripadne matrice evolucijskih operatora i računa njihove svojstvene vrijednosti. Ovaj se rad sastoji od sedam poglavlja: Nakon ovog uvodnog poglavlja, u drugom je poglavlju iznesen cilj rada koji treba dati doprinos analizi gibanja antropodinamičkih sustava, postavljenoj na postojećem matematičkom aparatu teorije evolucijskih operatora. Tako zasnovana metoda s jedne strane treba povećati točnost analize ljudskog tijela u pokretu, a s druge opisati pojave na razini čitavog sustava, nastale zbog lokalnih promjena. U trećem je poglavlju dat pregled sadašnjeg stanja analize ljudskih pokreta, pri čemu se nastojalo istaći dobre i loše strane pojedine metode. Posebna je pozornost usmjerena na njihove trenutne mogućnosti, kao i na glavne smjerove njihovog budućeg razvoja. Gdje god je to bilo moguće, svaka od tih metoda je klasificirana u jednu od glavnih grupa, naime inverzne dinamike, direktne dinamike ili spektralne analize. Četvrto se poglavlje sastoji od dva dijela. U prvom je dijelu dat prikaz osnovne teorije transformacija rotacijskih koordinatnih sustava, pri čemu je korišten matrični prilaz tom problemu. Teorija kvaterniona kao veličina koje se u posljednje vrijeme sve više koriste pri opisu rotacijskih sustava, a zbog njihove veće neosjetljivosti na numeričke greške od rotacijskih matrica, je namjerno zaobiđena, da bi se rad držao u prihvatljivim granicama po svom obujmu.

20

Drugi je dio isključivo usmjeren na tenzor tromosti, njegova svojstva i modifikacije, i ono što je za kasnije uvedeni inercijalni evolucijski operator najvažnije, njegovu transformaciju kao posljedicu gibanja krutog tijela ili sustava više krutih tijela. Peto je poglavlje središnje poglavlje čitavog rada. U njemu se uvode osnovne vrste evolucijskih operatora, te se razrađuju glavni pravci njihove spektralne teorije: teorija periodskih orbita, jednadžbe traga i spektralne determinante. Na temelju toga se izvode veličine bitne za analizu gibanja antropodinamičkih sustava: - evolucijski operator relativnog gibanja, koji opisuje kinematiku ljudskog tijela u gibanju, te njegova pripadna spektralna determinanta.

- evolucijski operator tenzora tromosti, koji opisuje svojstva tromosti ljudskog tijela u gibanju, te njegova spektralna determinanta. Slijedeće šesto poglavlje je konkretizacija prethodnog poglavlja. Pomoću Clauserovih parametara izmjerenih na pokusnom objektu i valjčanog geometrijskog modela ljudskog tijela, generirani su tenzori tromosti segmenata njegovih donjih ekstremiteta. Pomoću njih i prostornih rotacijskih kuteva zglobova utvrđenih putem sustava ELITE, računate su na SANTOS-u svojstvene vrijednosti pripadnih matrica evolucijskih operatora tenzora tromosti, za razne načine hoda i promjene u svojstvima tromosti pojedinih segmenata. Na kraju je provedena usporedbena analiza utvrđenih spektara. Sedmo poglavlje je zadnje i zaključno, i u njemu se daje osvrt na prednosti i nedostatke metode predložene u radu, u odnosu na postojeće metode. Također se predlažu budući pravci istraživanja, prvenstveno oni usmjereni primjeni ove metode na sintezu artefakata i korekciju pokreta u sportu, medicini i drugim područjima.

21

2. CILJ RADA Analiza je gibanja ljudskog tijela vrlo složen posao. Dva su osnovna pristupa tom zadatku. Jedan je izravno mjerenje veličina koje karakteriziraju to gibanje, kao prostorni položaji karakterističnih točaka ljudskog tijela, njihove brzine, ubrzanja, te sile kojom ljudsko tijelo djeluje na podlogu. Drugi se pristup zasniva na razvoju više ili manje složenog matematičkog modela kojim se nastoje opisati veličine značajne za dinamiku ljudskog tijela u pokretu. Dok se prva skupina zasniva na analizi podataka utvrđenih nekim od danas poznatih mjernih postupaka, druga razmatra ljudsko tijelo kao skup povezanih segmenata, čije se dinamičke značajke, poput tromosti, elastičnosti, krutosti itd. nastoje opisati više ili manje složenim matematičkim modelima. Jedna i druga metoda imaju svoje prednosti i mane. Izravno mjerenje, putem analize video snimki, gibanja markera, akcelerometara, daje vrlo točne rezultate kad je riječ o opisu gibanja vanjskih ploha tijela, ali potpuno zakazuje kada je potrebno saznati nešto o silama koje unutar tijela djeluju lateralno, transverzalno i longitudinalno u segmentima i spojevima među njima. Kombinacijom ovih dviju metoda, dakle mjerenjem dinamičkih svojstava segmenata i zatim njihovim korištenjem kao ulazima u matematički model, moguće je postići najbolje rezultate, ali još uvijek za mnoge primjene nedovoljno točne. Razlozi su višestruki: - Mjerenja su često netočna, bilo zbog nedovoljno visoke rezolucije mjernog uređaja, uvjeta mjerenja (mjerenja se često izvode na kadaverima), njihove skupoće i dužine trajanja (tipičan primjer je nuklearna magnetska rezonancija), nemogućnosti da se izmjeri ono što se želi mjeriti (problem određenja točnih pozicija spona koje se nalaze unutar tijela), ili nečeg drugog. - Matematički modeli kojima se modeliraju dijelovi tijela su nesavršeni. Naravni oblici tih dijelova su izrazito nepravilni, i njihova aproksimacija pravilnim geometrijskim tijelima neminovno vodi do veće ili manje greške u konačnim rezultatima. - Segmenti ljudskog tijela su nehomogene gustoće, dok modeli pretpostavljaju njihovu homogenu gustoću. - Linearizacija viskoelastičnosti pojedinih mišića ili njihovih grupa vrijedi samo do određenog stupnja deformacije, a zatim nastupaju izrazito nelinearne deformacije koje se linearnim metodama ne daju točno opisati. - Porastom složenosti matematičkog modela raste mogućnost računske greške prilikom numeričke integracije pripadnog sustava diferencijalnih jednadžbi koji opisuje model, a kad je riječ o nelinearnim modelima, relativno mala greška na lokalnoj razini može u samo nekoliko iteracija postati veličina koja dominantno utječe na ponašanje sustava i potpuno degradirati vjerodostojnost modela.

22

Iz navedenog je jasna potreba za metodom koja u sebi sadrži točnost mjernih tehnika i deskriptivnost matematičkih modela, zadržavajući pri tome onaj stupanj numeričke robusnosti toliko potrebne u opisivanju nelinearnih sustava. Cilj je rada razviti takvu metodu, koja bi se naslanjala na rezultate mjerenja kao ulazne parametre, a njihovu obradu provodila na način dobro razvijene teorije nelinearnih sustava. Nadalje, takva metoda mora biti primjenjiva i za one sustave kod kojih se javljaju efekti kaosa, kada relativno male promjene na lokalnoj razini izazivaju velike promjene na nivou čitavog sustava. Cilj je rada također da ova metoda uz što je moguće veću deskriptivnost svojstvenu matematičkim modelima sadržava i točnost koju nam pružaju mjerne metode. Na kraju, potrebno je da ova metoda bude upotrebljiva i u onom krajnjem cilju biomehanike, sintezi biomehaničkih sustava. Razvijeni matematički modeli trebaju sadržavati sve ove navedene osobine, i moraju biti univerzalno upotrebljivi za analizu i moguću sintezu širokog spektra pokreta antropodinamičkih sustava. Oni također moraju pružati neophodnu robusnost kod njihove numeričke integracije. Naposlijetku, njihova se numerička integracija na današnjem stupnju razvoja računarske tehnologije mora odvijati u prihvatljivo dugim vremenskim razdobljima, a cijena bi te metode morala omogućiti njenu širu primjenu.

23

3. PREGLED SADAŠNJEG STANJA Analiza gibanja ljudskog tijela se primjenjuje na raznim područjima, od kojih su sport, medicinska rehabilitacija, automobilska industrija, ergonomija, priprema svemirskih letova te projektiranje sučelja čovjek-stroj najvažnija, ali ne i jedina. Egzaktnu analizu takvih gibanja na današnjem stupnju razvoja znanosti i tehnologije nije moguće provesti. Uzroci tome su višestruki, od kojih su najvažniji vrlo složeni i nepravilni oblici dijelova ljudskog tijela, njihova nehomogena građa i gustoća, te dinamičke promjene masa koje nastaju zbog gibanja, disanja, kontrakcija i znojenja. Mikroskopski pristup tom problemu pomoću simulacije molekularne dinamike, koji se danas već koristi u analizi vrlo složenih organskih molekula, nije primjenjiv na ljudsko tijelo zbog ogromnog broja molekula koje ono sadrži. Kad bi se on i pokušao primijeniti, simulacija čak i vrlo kratkog vremenskog odsječka reda pikosekundi rezultirala bi pri današnjoj brzini najmoćnijeg superračunala praktički beskonačnim trajanjem simulacije. Zbog toga kao jedini način preostaje makroskopski pristup, bilo putem snimanja gibanja i analize tako prikupljenih podataka, primjenom matematičkih modela koji s više ili manje točnosti opisuju geometrijske i dinamičke značajke ljudskog tijela, ili kombinacijom tih metoda. Proučavanje se kinematike ljudskog tijela svodi na prikupljanje podataka o trenutnim položajima izabranih točaka na tijelu, pojedinih segmenata ili čitavog tijela, možebitnoj primjeni geometrijskih oblika, te analizi, bilo u realnom vremenu ili nakon što proces prikupljanja završi. S druge je strane njegovu dinamiku, dakle sile koje se javljaju u tijelu i kojima ono djeluje na svoj okoliš, inercijalne i elastične značajke, te energiju koja se troši prigodom određenih kretnji, teško opisati pomoću matematičkih modela. Osim već navedenih uzroka poput složenih geometrijskih oblika, dinamički promjenjivih masa i nehomogene gustoće, izrazita nelinearnost sustava kojeg predstavlja tijelo u gibanju dodatno otežava posao numeričke integracije sustava. Male lokalne promjene u početnim uvjetima mogu izazvati velike promjene na razini čitavog sustava i dovesti u pitanje točnost utvrđenih rezultata, a numeričke greške [22], koje su neminovna posljedica konačne točnosti aritmetičkog računarskog sklopovlja, mogu u samo nekoliko iteracija postati dominantne veličine sustava, i praktički onemogućiti daljnje računanje. Danas prevladavaju dva pristupa u analizi gibanja ljudskog tijela. Dok istraživači kinematike ljudskog tijela pokušavaju odrediti putanje, brzine i ubrzanja karakteristična za određene pokrete, istraživači dinamike nastoje odrediti sile koje pokreću ljudsko tijelo i s kojima ono djeluje na svoj okoliš.

24

I jedan i drugi pristup se zasniva na izmjerenim podacima. Kinematička analiza koristi prikupljene podatke o položajima tijela u prostoru i vremenu. Dinamička analiza uzima u obzir eksperimentalne podatke o inercijalnim svojstvima tijela: masi, središtu mase i dinamičkim momentima tromosti pojedinih segmenata. Ovo se poglavlje sastoji od dva dijela. U prvom je dat pregled sadašnjeg stanja kinematičke analize gibanja ljudskog tijela. U drugom je izneseno aktualno stanje dinamičke analize njegovog gibanja. Zajedno, oni bi trebali omogućiti uvid u današnje stanje analize gibanja ljudskog tijela.

3.1. Kinematička analiza gibanja ljudskog tijela Proces kinematičke analize gibanja ljudskog tijela se sastoji od prikupljanja podataka bilo o položajima pojedinih točaka tijela, segmenata ili čitavog tijela, filtriranja kojim se od diskretnih trajektorija dobivaju neprekidne, i naposlijetku analize tih trajektorija, bilo u realnom vremenu ili naknadno. Dva su osnovna načina analize gibanja dijelova ljudskog tijela, ovisno o tome da li se pri tome koriste unaprijed definirani geometrijski modeli ili ne. U metodama kod kojih se ne koriste modeli, dominiraju dva načina prezentacije tijela. Prvi, pomoću štapićastih figura, primjenjen u [107] i [75]. Drugi, putem 2D kontura, u [94], [60], [53], [54]. Kod metoda koje koriste unaprijed definirane modele, osim štapićastih figura [18], [8], [46] i 2D kontura [1], [69], upotrebljavaju se i 3D volumeni [78], [45], [1], [87], [82], [34], [86]. Prezentacija ljudskog tijela pomoću štapićastih figura se zasniva na zapažanju da je njegovo gibanje u osnovi gibanje kostiju koje ga podržavaju. Upotreba 2D kontura je u izravnoj vezi sa projekcijom ljudske figure u sliku.

Slika 3.1: 2D konturni model čovjeka (sličan Leung i Yang-ovom modelu u [69])

25

Volumetrični modeli, kao poopćeni stošci, eliptički valjci i kugle, pokušavaju opisati detalje ljudskog tijela u 3D prostoru i sukladno tome zahtijevaju računanje više parametara. Iz iskustva je poznato da ljudski sustav za vizualno prepoznavanje uspoređuje pokrete sa već unaprijed pohranjenim, iskustveno dobijenim shemama. Zbog toga većina metoda za analizu gibanja upotrebljava štapićaste, te 2D ili 3D modele za slaganje sa dobivenim snimkama. Chen i Lee [18] su 2D snimke ljudskog tijela u pokretu predstavili štapićastim modelom sačinjenim od 17 linijskih segmenata i 14 spojeva. Koristeći takav model i algoritam zasnovan na pretraživanju grafa, dobili su iz niza 2D snimaka ljudskog tijela prezentaciju njegovog gibanja u 3D prostoru.

Slika 3.2: Štapićasti model čovjeka zasnovan na radu Chena i Lee-a [18] Perales i Torres [82] su upotrijebili štapićastu figuru u kombinaciji sa volumetrijskom prezentacijom. Pri tome su koristili unaprijed definiranu biblioteku s dvije razine biomehaničkih grafičkih modela. Prva razina je štapičasta figura opisana pomoću grafa sa čvorovima koji predstavljaju dijelove tijela i granama koje predstavljaju spojeve među njima. Druga razina je sastavljena od opisa površina i segmenata konstruiranih iz 3D primitiva koje se obično upotrebljavaju u računalnoj grafici. Obje razine su upotrebljene na raznim stupnjevima slaganja. Eliptički se cilindri često koriste za modeliranje humanoidnih formi. Hogg [45] i Rohr [87] su upotrijebili valjčani model ljudskog tijela načinjen od 14 eliptičnih valjaka. Svaki valjak je opisan sa tri parametra: njegovom dužinom, te većom i manjom eliptičnom osi. Ishodište koordinatnog sustava je smješteno u središtu torza. Hogg je prezentirao kompjuterski program WALKER za predstavljanje 3D strukture osobe koja hoda.

26

Slika 3.3: 3D model čovjeka zasnovan na radu Hogg-a [45] Elipsoidi bolje aproksimiraju ljudske ekstremitete nego valjci, što je korišteno u [32]. Pomoću tzv. Sethianovih evoluirajućih površina [72] se mogu vrlo vjerno modelirati površine na 2D snimkama. Prilikom numeričke integracije Sethianovih površina postavljaju se vrlo veliki zahtjevi na snagu računalnih resursa, što predstavlja ograničavajući faktor u primjeni ove metode za modeliranje složenih 3D oblika. Kod praćenja pokreta bez korištenja modela, moguće je korištenje jedne ili više kamera. U oba se primjera mogu pratiti pomaci točaka, 2D kontura ili 3D volumena. Pri tome uvijek postoji ustupak za ustupak s obzirom na kompleksnost i efikasnost praćenja. Područja manjih dimenzija je uvijek lakše izdvojiti, ali teže pratiti nego 2D konture ili 3D volumene. Relevantni radovi pomoću jedne kamere u kojima se prati gibanje točaka su [77], [83], [12], [92], dok su oni orijentirani na praćenje kontura [88], [48], [5], [111]. Za slučaj praćenja pomoću više kamera, radovi orijentirani na praćenje točaka su [13], kontura [90], [55], te volumena [50]. Većina takvih prilaza za 2D ili 3D interpretaciju strukture ljudskog tijela se usredotočuje na procjenu gibanja segmentalnih spojeva između uzastopnih slika. Najjednostavnija prezentacija ljudskog tijela je pomoću štapićaste figure, koja se sastoji od linijskih segmenata povezanih spojevima. Gibanje spojeva predstavlja ključ za procjenu i prepoznavanje gibanja čitave figure. Koncept je inicijalno razmatrao Johansson u [52]. Kasnije su Web i Aggarwall [106], [107], dobili 3D strukture Johanssonovih figura u gibanju, uz pretpostavku da svaki čvrsti objekt, kao dio artikuliranog objekta, zadržava fiksnu os rotacije. Kod 2D kontura, Shio i Sklansky [94] su usredotočili svoj rad na 2D translacijsko gibanje 2D kontura. Konture su grupirali s obzirom na njihovu veličinu i brzine točaka od kojih se one sastoje. Pri tome su pretpostavili da brzine pojedinih kontura konvergiraju prema srednjim vrijednostima unutar nekoliko uzastopnih slika. Grupiranjem kontura u područja s obzirom na sličnost u brzinama su dobili opis gibanja čitavog tijela. Za prepoznavanje ljudskih aktivnosti iz slijeda slika uglavnom se koriste dva tipa prilaza: jedan koji se zasniva na tzv. state-space modelima i drugi koji koristi tehnike podudaranja sa unaprijed definiranim predlošcima. Kod prvog prilaza objekti koji se koriste za prepoznavanje su točke, dužne crte i 2D konture. Metode koje koriste podudaranje sa predlošcima obično primjenjuju rešetkaste strukture generirane pomoću slike subjekta kako bi se prepoznali neki pokreti.

27

Kod state-space modela relevantni radovi koji koriste točke su [10] i [14], linije [33], a konture [112] i [97]. Kod metoda podudaranja sa šablonama to su [83] i [11]. Prednost korištenja šablona je mala cijena računanja. S druge strane, ova metoda je osjetljiva na promjenu trajanja pokreta. Prilazi koji koriste modele zasnovane na konceptu prostora stanja definiraju svaki statički položaj kao stanje. Svakom prijelazu iz jednog u neko drugo stanje pridijeljena je određena vjerojatnost. Svaki slijed pokreta se razmatra kao put kroz razna stanja. Pri tome se računaju povezane vjerojatnosti, i maksimalna vrijednost se odabire kao kriterij za aktivnost. U ovakvom scenariju trajanje pokreta više ne predstavlja problem, jer svako stanje može sebe uzastopno “posjetiti” proizvoljan broj puta. Ovakvi pristupi se obično zasnivaju na nelinearnim modelima i nemaju analitičko rješenje. Kao što je poznato, nelinearno modeliranje zahtijeva traženje globalnog optimuma u fazi učenja, što zahtijeva velik broj računskih iteracija. Također, izbor broja stanja koji neće biti poddimenzioniran ili predimenzioniran također predstavlja problem. Jedan od najčešće korištenih modela u ovakvom scenariju je skriveni Markovljev model (engl. hidden Markov model) koji pretstavlja tehniku za proučavanje diskretnih vremenskih nizova. HMM se već duže primjenjuje u prepoznavanja govora, a prvi put je primjenjen za prepoznavanje ljudskih pokreta u [113].

ï²árëtì _ _ "Oê¾æ.ç. í•ýGð _iïGárë.ì_ôRárâaã²äaâ3å€÷€ì_è _ øiã²ê.ì_÷_åGä _~ôiì_ä ã²äi÷__(ì_ì__ ê_ùÓå²ëtý ______ _fõ

Slika 3.4: Osnovna struktura skrivenog Markovljevog modela, gdje S0, S1 i S2 predstavljaju stanja, a usmjerene linije vjerojatnosti prijelaza iz nekog stanja u njemu susjedno, ili zadržavanja u istom stanju

Spektralna se analiza kao alat prikladan za analizu prikupljenih podataka počela također primjenjivati u kinematičkoj analizi. Trajektorije karakterističnih točaka, npr.

28

središte mase čitavog tijela, se FFT metodom (engl. Fast Fourier Transformation) preslikavaju iz vremenske u frekvencijsku domenu. Tako dobiveni spektri pokazuju izuzetnu osjetljivost na promjene u trajektorijama. Na taj način je moguće analizirati pojave koje je inače vrlo teško registrirati u vremenskoj domeni [103], kao npr. ustanoviti da li ispitanik nosi umjetno zubalo ili ne [104]. Osjetljivost spektralne analize u odnosu na klasičnu analizu u vremenskoj domeni proistječe iz činjenice da se prigodom analize u vremenskoj domeni prikupljeni diskretni podaci digitalno filtriraju kako bi se dobio kontinuirani opis fenomena. Prigodom filtriranja se gube viši harmonici, koji u sebi često nose bitne informacije. Za razliku od vremenskog postupka, kod spektralne analize se prikupljeni podaci bez gubitka informacije prenose u frekvencijsku domenu i tamo analiziraju [98].

3.2. Dinamička analiza gibanja ljudskog tijela Za razliku od kinematike ljudskog tijela, koja se bavi izučavanjem njegove linearne i kutne pozicije, te linearnog i kutnog ubrzanja, dinamička analiza pokušava istražiti uzroke njegovog gibanja. U njih spadaju sile i spregovi, a kao njihova posljedica javlja se utrošak energije i rada [27], [96]. Osim tih osnovnih parametara, dodatno se pokušavaju odrediti i razni drugi efekti koji mogu nastupiti u stvarnom okolišu, poput smanjene gravitacije [26]. Dva su osnovna načina kako se sile i zakretni momenti u ljudskom tijelu mogu odrediti. Jedan koristi metode direktne dinamike, koja na temelju matematičkih modela mišića, kostiju, zglobova i živaca, te unaprijed zadanih pokreta, pokušava simulirati gibanje čitavog tijela ili nekog njegovog dijela. Za vrijeme simulacije se računaju sile i momenti u zglobovima, te eventualno rad utrošen tijekom gibanja. Drugi se zasniva na metodama inverzne dinamike, koja na temelju snimljenih pokreta, inercijalnih svojstava pojedinih segmenata, te tipova spojeva među njima, pokušava odrediti sile i momente koji se javljaju u tim spojevima. I jedna i druga metoda imaju svoje prednosti i mane. Direktna mehanika ne zahtjeva snimanje i analizu pokreta, što je u pravilu dugotrajan i skup proces, a u nekim slučajevima i neprimjenjiv. S druge strane, osnova direktne mehanike su matematički modeli kostiju, mišića, zglobova i živaca. S obzirom na složenu građu ljudskog tijela, ti modeli su u pravilu vrlo složeni, a na njih se dodatno postavljaju i uvjeti visoke točnosti, što u pravilu podrazumjeva korištenje snažnih i skupih računala na kojima se može obaviti numerička integracija takvih modela. Inverzna mehanika je suočena s problemom druge vrste, a to je određenje svojstava tromosti dijelova ljudskog tijela. Ta svojstva je jedino moguće relativno točno odrediti složenim i često skupim i dugotrajnim mjerenjima [30], a aproksimacija dijelova tijela pomoću geometrijskih

29

oblika inducira takozvani fundamentalni problem mioskeletalne inverzne dinamike [43], koji u konačnici rezultira netočnim rješenjima za sile i momente u zglobovima. Da bi se poboljšala točnost rezultata, uvode se i mjerenja reakcijskih sila tijela na podlogu, pa se tako u [58] mjere horizontalne i vertikalne reakcijske sile podloge. Koju metodu primjeniti, ovisi o tome kakvu vrstu biomehaničkog problema pokušavamo riješiti i koja nam sredstva stoje na raspolaganju. Razvoj sve složenijih i kompleksnijih simulacijskih modela živčane, koštane i mišićne strukture ljudskog tijela praćen istovremenim razvojem sve bržih i moćnijih računala omogućava modeliranje karakterističnih pokreta ljudskog tijela, koji po svojoj složenosti gibanja daleko nadmašuju relativno jednostavne pokrete prilikom hoda. Dinamika neuromioskeletalnog sustava se obično prezentira sa tri međusobno ovisna vektora stanja [38], [39], [40] definirana u prostorno-vremenskom koordinatnom sustavu: skeletomehaničkim, miodinamičkim i neurodinamičkim, koji opisuju dinamiku koštanog, mišićnog i živčanog sustava, respektivno. Tako su u [41] definirani vektori sa 84 elementa za kosti, 3120 elementa za mišiće i 2400 elementa za živce. Sustavi koji sadrže veliki broj nelinearnih diferencijalnih jednadžbi sve vjernije i točnije opisuju gibanja kao što su npr. skok u vis i dalj sa jednom nogom, skok u dalj sa dvije noge i druge sportske pokrete. Tako je u [96] simuliran skok u vis sa jednom nogom pomoću 2D modela tijela sa tri stupnja slobode, četiri segmenta i devet mišićnih grupa:

Slika 3.5: Shematski prikaz izmjerenog skoka u vis i mišićno-skeletalni model donjeg uda sa devet mišićnih skupina Slično je u [95] upotrebljen 2D model sastavljen od šest segmenata sa osam mišića, s ciljem optimizacije skoka u dalj, a u [79] je napravljena optimizacija skoka u vis sa 2D modelom od četiri segmenta i osam mišića.

30

3D modeli se također koriste u najnovije vrijeme, pa je u [4] napravljena simulacija 3D modela od 10 segmenata, 23 stupnja slobode i 54 mišića, dok je u [42] napravljena simulacija udarca sa dvije noge pomoću 3D modela sačinjenog od 17 segmenata:

Slika 3.6: Šest slijednih konfiguracija (slijeva na desno, od gore prema dolje) animacijske sekvence koja pokazuje simulacijske rezultate 3D 17-segmentnog modela koji izvodi udarac sa dvije noge. Ukupno simulacijsko razdoblje je 0.5 sekundi. Glavni cilj biomehaničke analize je odrediti što mišići rade, vremenski slijed njihovih kontrakcija, te veličinu i smjer sila koje nastaju kao posljedica toga. Ove veličine se mogu izvesti iz kinematike pomoću fizičkih zakona, na temelju Newton-Eulerovih jednadžbi: Newton (pravocrtno gibanje): F = m a (Sila = masa x linearna akceleracija)

Euler (kružno gibanje): M = I (Moment = moment tromosti x kutna akceleracija) Ove jednadžbe opisuju ponašanje matematičkog modela poznatog kao spojno – segmentalni model, a postupak koji se koristi za izvođenje momenata na pojedinom spoju je poznat kao inverzna dinamika, nazvan tako jer se iz kinematike izvodi kinetika odgovorna za gibanje:

31

Slika 3.7: Spojno-segmentalni model noge

Na završne segmente tijela u gibanju, npr. prilikom hodanja, skakanja i trčanja djeluju sile podloge, koje je potrebno izmjeriti i unijeti u spojno–segmentalni model. To se radi pomoću specijalne reakcijske podloge, kojom se mjere horizontalne i vertikalne sile s kojima tijelo djeluje na nju [58]. Spojno-segmentalni modeli se u pravilu temelje na raznim aproksimacijama, npr. da u spojevima nema trenja, da su segmenti kruta tijela sa svom masom koncentriranom u njihovim težištima, da kretanje kroz zrak ne stvara otpor itd. Iako ove aproksimacije ne odgovaraju stvarnim činjenicama, rezultati kinetičke analize ljudskog tijela pomoću inverzne dinamike u pravilu ne odstupaju od rezultata mjerenja više od nekoliko postotaka.

32

Za potpuno definiranje spojno–segmentalnog modela ljudskog tijela potrebno je odrediti tri vrste inercijalnih parametara za svaki segment. To su njegova masa, momenti tromosti i središte mase. Što točnije određenje tih parametara je ključno za uspjeh svakog spojno–segmentalnog modela i njegove analize metodom inverzne dinamike. Poznata povijest određenja tih parametara datira već od Borelli-a 1680, koji je odredio središte mase čitavog tijela pomoću specijalne vage. Inercijalni parametri pojedinih segmenata određivani su na kadaverima pomoću balansirane ploče, hidrostatskog mjerenja i perioda oscilacija [23], hidrostatskog mjerenja i perioda oscilacija [17], na živim subjektima pomoću hidrostatskog mjerenja i balansirane ploče [29], fotogrametrije i matematičkog modela [51], gama skeniranja i regresijskih jednadžbi [114], CT skeniranja i regresijskih jednadžbi [108], te pomoću matematičkih modela [110], [35] [37].

4. SVOJSTVA TROMOSTI ROTACIJSKIH SUSTAVA

33

Dinamička svojstva krutog tijela određena su u potpunosti njegovom tromom masom i momentom tromosti. Dok je troma masa u klasičnoj mehanici konstantna veličina, moment tromosti ovisi o smjeru i osi rotacije, dakle o izboru koordinatnog sustava u kojem ono rotira. U konkretnim primjenama se moment tromosti uobičajeno računa u lokalnom koordinatnom sustavu vezanom uz središte mase krutog tijela, i onda se provodi njegova transformacija iz lokalnog u neki izabrani referentni koordinatni sustav.

4.1. Transformacija koordinatnih sustava Gibanje se općenito može razložiti na dvije vrste: translaciju i rotaciju. Te dvije vrste su linearno nezavisne, što znači da ih možemo promatrati odvojeno. Ovdje ćemo prvo opisati transformacijske matrice koje opisuju kutnu rotaciju nekog koordinatnog sustava, zatim ćemo opisati efekt translacije na vektore koji opisuju položaj.

4.1.1. Transformacijske matrice Slika 4.1: Transformacija vektora u koordinatnim sustavima. Ovdje su X, Y, Z tzv. “stare”, a X’, Y’, Z’ “nove” osi Transformaciju vektora v prikazanog na slici 4.1. iz nekog G “starog” sustava (X,Y,Z) u “novi” L sustav (X’,Y’,Z’) možemo opisati slijedećim sustavom jednadžbi:

'''''' ijvijviivikvjvivivv zyxzyxx (4.1)

Y

Y’

Z Z’

X

X’

v

34

'''''' jjvjjvjivjkvjvivjvv zyxzyxy

'''''' kjvkjvkivkkvjvivkvv zyxzyxz

koji napisan u matričnom obliku glasi:

z

y

x

z

y

x

v

v

v

kkkjki

jkjjji

ikijii

v

v

v

'''

'''

'''

'

'

'

(4.2)

gdje su i, j, k jedinični vektori sustava G, a i’, j’, k’ jedinični vektori sustava L. Uvođenjem transformacijske matrice T jednadžbu (4.2) možemo u skraćenom obliku pisati kao: v'=TL/Gv (4.3) Zbog linearnosti transformacija između L i G koordinatnih sustava, možemo pisati:

ktjtiti 131211

'

ktjtitj 232221' (4.4)

ktjtitk 333231'

Uvrštenjem (4.4) u (4.2) dobije se:

TL/G

ktjtitkktjtitjktjtiti

ktjtitkktjtitjktjtiti

ktjtitkktjtitjktjtiti

131211131211131211

131211131211131211

131211131211131211

(4.5)

Zbog ortogonalnosti među i, j, k jediničnim vektorima slijedi:

TL/G

333231

232221

131211

ttt

ttt

ttt

(4.6)

Sada jednadžbu (4.2) možemo pisati u skraćenom obliku:

'

'

'

z

y

x

v

v

v

= TL/G

z

y

x

v

v

v

(4.7)

Niz transformacija se može izvesti sukcesivnim množenjem transformacijskih matrica s desna na lijevo:

35

'

'

'

z

y

x

v

v

v

= TZ/Y TY/X ... TC/B TB/A

z

y

x

v

v

v

(4.8)

= (TZ/Y TY/X ... TC/B TB/A)

z

y

x

v

v

v

= TZ/A

z

y

x

v

v

v

gdje je matrica TZ/A produkt matrica opisan sa: TZ/A = TZ/YTY/X...TC/BTB/A (4.9)

Prema (4.9), niz transformacija je ekvivalentan jednoj direktnoj transformaciji iz ishodišnog u ciljni sustav. Samo opis rotacije je dovoljan kad radimo sa slobodnim vektorima, kao što su na primjer brzine, sile itd. Drukčije je kada radimo s vektorima koji opisuju položaj, jer je položaj određen vektorom koji ima ishodište u nekom referentnom sustavu, a različiti sustavi mogu imati različita ishodišta.

Drugim riječima, kada se radi transformacija iz jednog sustava u drugi, potrebno je uzeti u obzir i translaciju:

)(

)(

)(

B

B

B

z

y

x

= TB/A

)(

)(

)(

)(

)(

)(

B

z

B

y

B

x

A

A

A

t

t

t

z

y

x

(4.10)

kada je translacijski vektor opisan u ciljnom koordinatnom sustavu. Alternativa za (4.10) je 4x4 transformacijska matrica, gdje je TB/A 3x3 transformacijska matrica iz sustava A u sustav B, pa slijedi da je:

110001

)(

)(

)(

)(

)(

/

)(

)(

)(

)(

A

A

A

B

z

B

yAB

B

x

B

B

B

z

y

x

t

tT

t

z

y

x

(4.11)

Ako je translacijski vektor opisan u ishodišnom sustavu, tada je:

36

)(

)(

)(

B

B

B

z

y

x

TB/A

)()(

)()(

)()(

A

z

A

A

y

A

A

x

A

tz

ty

tx

(4.12)

4.1.2. Euler–Cardanove matrice rotacije Rotacije vektora uobičajeno je opisivati Eulerovim ili Cardanovim matricama. U novije vrijeme se za opis rotacija koriste i kvaternioni [6]. Slika 4.2: Vektor u rotirajućem sustavu Komponente slobodnog vektora se mijenjaju ovisno o tome kako koordinatni sustav rotira. Na slici 4.2 je prikazan slučaj linearne ravninske rotacije koordinatnog sustava pomoću dva različita sustava: XY sustavom i X’Y’ sustavom. Vektor v možemo izraziti kao (x,y) u XY sustavu, ili (x’,y’) u X’Y’ sustavu. Omjer između (x,y) i (x’,y’) možemo dobiti na temelju trigonometrijskih relacija:

sincos' yxx (4.13)

sincos' xyy

odnosno pisano u matričnom obliku jest:

y

x

y

x

cossin

sincos

'

'

Razvojem (4.13) u 3 dimenzije slijedi:

X

y’

v

x’

x

Y

Y’

X’

y

37

sincos' yxx (4.14)

sincos' yyy

zz '

z

y

x

z

y

x

100

0cossin

0sincos

'

'

'

pa je:

RZ() =

100

0cossin

0sincos

(4.15)

(4.15) je matrica koja opisuje rotaciju oko Z osi. Primjenom iste metode za rotaciju oko X i Y osi, biti će:

z

y

x

z

y

x

cossin0

sincos0

001

'

'

'

pa je:

Rx()

cossin0

sincos0

001

(4.16)

i:

z

y

x

z

y

x

cos0sin

010

sin0cos

'

'

'

pa je:

38

Ry() =

cos0sin

010

sin0cos

(4.17)

Matrice rotacije (4.15), (4.16) i (4.17) su transformacijske matrice s uzastopnim rotacijama putem kojih se može transformirati vektor iz jednog referentnog sustava u drugi. Uzastopne rotacije se mogu izvršiti na način koji ovisi o željenom postupku analize. Dva su tipična postupka rotacije: Eulerov i Cardanov. Dok se Eulerov sastoji od uzastopnih rotacija oko pojedinih osi, Cardanov istovremeno vrši rotaciju oko sve tri osi. Zbog jednostavnosti, prikazaćemo samo XZY postupak uzastopnih rotacija. Na slici 4.3 su prikazane tri uzastopne rotacije koje prikazuju transformaciju sustava XYZ u sustav X’’’Y’’’Z’’’:

Slika 4.3: Rotacija koordinatnog sustava u 3-dimenzionalnom prostoru je prikazana sa tri uzastopne rotacije, svaka oko jedne osi rotacije. Prva rotacija se provodi oko osi X i rezultat te rotacije je transformacija X,Y,Z sustava u X’,Y’,Z’ sustav. Druge dvije rotacije se uzastopno provode oko Y’, odnosno Z’’ osi što rezultira uzastopnim transformacijama X’,Y’,Z’ sustava u X’’,Y’’,Z’’ sustav i X’’,Y’’,Z’’ sustava u X’’’,Y’’’,Z’’’ sustav.

Svaka od tri prikazane rotacije može se opisati pomoću rotacijskih kuteva na slijedeći način:

z

y

x

cs

sc

z

y

x

)()(0

)()(0

001

'

'

'

(4.18)

'

'

'

)(0)(

010

)(0)(

''

''

''

z

y

x

cs

sc

z

y

x

39

''

''

''

100

0)()(

0)()(

'''

'''

'''

z

y

x

cs

sc

z

y

x

Gdje su c( ) i s( ) oznake za funkcije sinus i kosinus. Označe li se u jednadžbi (4.18)

matrice rotacija sa Rx(), Ry() i Rz(), sveukupna se rotacija na temelju jednadžbe (4.8) može izraziti preko produkta matrica rotacija:

'''

'''

'''

z

y

x

= RZ() RY() RX()

'

'

'

z

y

x

(4.19)

ili u proširenom obliku:

'''

'''

'''

z

y

x

100

0)()(

0)()(

cs

sc

)(0)(

010

)(0)(

cs

sc

)()(0

)()(0

001

cs

sc

z

y

x

koji se nakon međusobnog množenja rotacijskih matrica svodi na:

'''

'''

'''

z

y

x

)()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

cccss

cssscccssssc

sscscsccsscc

z

y

x

Označimo sustav XYZ sa A, a X’’’Y’’’Z’’’ sustav sa B. Tada je transformacijska matrica TB/A na osnovu (4.19):

TB/A =

)()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

cccss

cssscccssssc

sscscsccsscc

(4.20)

Orijentacijski kutevi (Eulerovi ili Cardanovi) reflektiraju relativnu orijentaciju sustava B prema sustavu A i uobičajeno se nazivaju orijentacijskim kutevima.

Na osnovu koordinata markera mogu se računati transformacijske matrice. Označimo rotacijsku matricu (4.20) sa:

T =

333231

232221

131211

ttt

ttt

ttt

(4.21)

40

Iz (4.19) i (4.21) slijedi:

333231

232221

131211

ttt

ttt

ttt

=

)()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

cccss

cssscccssssc

sscscsccsscc

(4.22)

Iz (4.22) slijedi da je )sin(31 t . Inverzna sinus funkcija za daje slijedeće

vrijednosti:

)(sin

)(sin

31

1

31

1

t

t

(4.23)

Kvocijenti 33

32

t

t i

11

21

t

t prema (4.22) određuju tangense kuta i . Funkcija tangens

poprima poprima konačne vrijednosti za sve vrijednosti argumenta, osim za one koje

su jednake 2

. Uz to ograničenje, kutevi i mogu se računati na slijedeći način:

)0cos(;.........tan

)0cos.......(;.........tan

33

33

321

33

33

321

tt

t

tt

t

(4.24)

)0cos(..........tan

)0cos.......(..........tan

11

11

211

11

11

211

tt

t

tt

t

(4.25)

Razmotrimo poseban primjer kada je 2

. Tada je 1sin i 0cos , tako da

matrica na desnoj strani izraza (4.22) poprima oblik:

41

001

()(0

)(0

sc

cs

pa je:

)0......(tan

)0.....(..........tan

22

22

231

22

22

231

tt

t

tt

t

(4.26)

(4.26) nam pokazuje da se za primjer kada je 0cos , kutevi i ne mogu računati

odvojeno, nego zajedno kao i .

4.1.3. Računanje rotacijskih matrica iz koordinata markera

U analizi je gibanja često potrebno računati transformacijsku matricu izravno iz koordinata markera učvršćenih na tijelu ispitanika u gibanju. Računanje se može provesti ako su na tijelu pričvršćena više od 3 markera. Jednom kada je transformacijska matrica poznata, moguće je pomoću nje odrediti orijentacijske kuteve i središte rotacije. Slijedeći postupak zasniva se na radu iznesenom u [14].

Neka kruti objekt rotira iz položaja 1 u položaj 2 oko središta rotacije C:

42

Slika 4.4: Rotacija objekta u prostoru oko središta rotacije Neka je matrica rotacije R:

R =

333231

232221

131211

rrr

rrr

rrr

(4.27)

Pomak markera u odnosu na početni položaj može se izraziti kao:

ci

ci

ci

ci

ci

ci

zz

yy

xx

rrr

rrr

rrr

zz

yy

xx

1

1

1

333231

232221

131211

2

2

2

(4.28)

gdje su ccc zyx ,, koordinate središta rotacije, iii zyx 111 ,, položaj i-tog markera u

položaju 1, a iii zyx 222 ,, položaj i-tog markera u položaju 2. (4.28) sadrži ukupno 12

nepoznanica. Pošto svaki marker generira 3 jednadžbe, potrebna su 4 markera za rješenje svih 12 nepoznanica. Da bi smanjili broj nepoznanica, možemo (4.28) pisati kao:

11

11

11

333231

232221

131211

22

22

22

zz

yy

xx

rrr

rrr

rrr

zz

yy

xx

i

i

i

i

i

i

(4.29a)

ili:

43

i

i

i

i

i

i

z

y

x

rrr

rrr

rrr

z

y

x

1

1'

1'

333231

232221

131211

2

2

2'

''

' (4.29b)

ili: x'2i=Rx'1i (4.29c) gdje je:

N

x

x i

i

N

y

y i

i

N

z

z i

i

a N je broj markera. Jednadžba (4.29c) opisuje rotacijsku transformaciju oko srednje koordinatne točke unutar tijela, i sadrži 9 nepoznanica, dakle potrebna su tri markera. Iz (4.29c) slijedi: x'2i-Rx'1i = 0 (4.30) Metoda najmanjih kvadrata primjenjena na (4.30) daje:

N

iN 1

1(x'2i– R x'1i)T (x'2i–R x'1i) min (4.31)

Jednadžba (4.31) je ekvivalentna sa:

N

iN 1

1x'2i

TRx'1i max (4.32)

Nadalje, razvojem (4.32) slijedi da je:

N

iN 1

1x'2i

TRx'1i=tr(RT

N

iN 1

1x'

2ix'1iT) (4.33)

gdje je tr oznaka za trag, sumu svih elemenata po glavnoj dijagonali matrice. Označimo sa C korelacijsku matricu:

C

N

iN 1

1 x'2i x'1i

T (4.34)

Iz (4.34), (4.32) i (4.33) slijedi: tr (RT C) max (4.35)

44

Bilo koju m x n matricu A (m n) možemo pisati kao produkt m x n ortogonalne matrice U, n x n dijagonalne matrice W sa pozitivnim ili nula elementima, i transponirane ortogonalne matrice V. Skladno tome, matricu C možemo pisati u obliku: C = U W VT (4.36) gdje je:

W

n

n

w

w

w

w

0.00

0.00

00.00

00.0

00.0

1

2

1

(4.37)

Nadalje je: UT U = VT V = E (4.38) VT V = E gdje su elementi matrice W singularne vrijednosti matrice A, a E je jedinična matrica sa svim elementima na glavnoj dijagonali jednakim 1, ostalim 0.

4.2. Tenzor tromosti krutog tijela

Tenzor tromosti I povezuje moment količine gibanja L krutog tijela s njegovom

kutnom brzinom :

L = I (4.39)

Tenzor tromosti krutog tijela gustoće )(r u nekom koordinatnom sustavu s obzirom

na zadanu os rotacije koja prolazi kroz ishodište tog sustava je zadan slijedećim volumnim integralom:

45

I V

dVrr 2)( (4.40)

gdje je r udaljenost neke točke tog tijela od ishodišta koordinatnog sustava, r je

okomita udaljenost te točke od osi rotacije, a integracija se vrši u volumenu kojeg to

tijelo zauzima. U pravokutnom koordinatnom sustavu zadanom koordinatama 1x ,

2x i

3x , a za slučaj diskretne razdiobe mase im , Ni ,....,1 , izraz (4.40) se pomoću

komponenti može izraziti sa:

)( ,,

2

1

kijijki

N

i

ijk xxrmI

(4.41)

gdje su indeksi definirani sa 3,2,1, kj , a jk je Kroneckerov delta, koji je u svojoj

najjednostavnoj prezentaciji diskretna varijanta Diracove delta funkcije, definirana sa:

kj

kjjk

0

1 (4.42)

U istom koordinatnom sustavu, za slučaj kontinuirane razdiobe mase, izraz (4.40) se u komponentnom obliku može izraziti slijedećim volumnim integralom:

V

kjjkjk dVxxrrI ))(( 2 (4.43)

Ili u razvijenom obliku, sa koordinatama xx 1 , yx 2 , zx 3 :

I = dxdydz

yxyzxz

yzxzxy

xzxyzy

zyx

III

III

III

V

22

22

22

333231

232221

131211

),,( (4.44)

Ako je gustoća materije unutar krutog tijela kontinuirana, dxdydzzyx ),,( u (4.44)

možemo zamijeniti sa dm , pa slijedi:

I

dm

yxyzxz

yzzxxy

xzxyzy

III

III

III

m

)(

)(22

22

22

333231

232221

131211

(4.45)

Matrica tenzora tromosti je simetrična, što znači da on ima samo šest nezavisnih komponenti. Elementi na glavnoj dijagonali predstavljaju momente tromosti mase krutog tijela oko koordinatnih osi x, y i z i nazivaju se glavnim momentima tromosti. Preostali elementi se nazivaju devijacijskim momentima tromosti. Integrale u (4.44) i (4.45) moguće je analitički riješiti za tijela čija se prostorna raspodjela masa može opisati neprekidnim kontinuiranim funkcijama. Inače, potrebna je njihova integracija numeričkim metodama, od kojih su najčešće korištene Newton-Coteova i Gaussova metoda. Izrazi pod integralima se bitno pojednostavljuju za kruta tijela sa simetričnom raspodjelom mase, uz uvjet da se ishodište koordinatnog sustava

46

podudara sa središtem mase tog tijela, a njegove osi sa osima vrtnje krutog tijela. U tom primjeru išćezavaju svi elementi od I , osim onih na glavnoj dijagonali. To se svojstvo koristi na način da se prvo izračunaju glavni momenti tromosti u sustavu čije se osi podudaraju sa glavnim osima vrtnje tijela, a zatim se transformacijom matrice u proizvoljni sustav izračunaju svi elementi. Na taj način se izbjegava numerička integracija sustava, koja u slučaju složenih geometrijskih oblika može biti vrlo zahtjevna na računalne resurse. U slijedećem paragrafu biti će izložen način na koji se provodi transformacija tenzora tromosti i njegove pripadne matrice.

4.2.1. Transformacija tenzora tromosti

Kod analize dinamike ljudskog hoda, kojeg ćemo u poglavlju 6 prikazati pomoću sustava od više povezanih krutih tijela, potrebno je računati tenzore tromosti pojedinih segmenata s obzirom na jedan zajednički koordinatni sustav. Teorijski bi integraciju svakog segmenta bilo moguće provesti u takvom sustavu. Zbog relativnog gibanja pojedinih segmenata u odnosu na ishodište zajedničkog sustava, takav bi postupak rezultirao tenzorima tromosti čiji elementi nisu vremenski invarijantni. Zbog toga se nameće praktična ideja računanja tenzora tromosti u lokalnim koordinatnim sustavima, vezanim za središta masa pojedinih dijelova, i zatim njihova transformacija u zajednički sustav. U tome nam pomaže Steinerov teorem, koji je

poopćenje teorema o paralelnim osima [63]: Neka je kjI , tenzor tromosti nekog krutog

tijela računat u sustavu s ishodištem u središtu mase tog tijela. Tada se tenzor tromosti tog krutog tijela mase m računat u nekom drugom sustavu sa ishodištem translatiranim

od središta mase za vektor dT = ),,( zyx ddd naziva tenzorom središnjeg momenta

tromosti, i može opisati slijedećom relacijom:

kjjkjkjk dddmII 2' (4.46)

gdje je 2d kvadrat duljine vektora d. (4.46) možemo napisati u matričnom obliku kao:

I' =

)(

)(

)(

22

22

22

yxzz

zyyzzxyy

zxxzyxxyzyxx

ddmIsymsym

dmdIddmIsym

dmdIdmdIddmI

(4.47)

Moment tromosti u rotacijskom sustavu možemo opisati sa: I' = A I AT (4.48) gdje je I matrica tenzora tromosti u lokalnom sustavu, I’ matrica tenzora tromosti u sustavu koji rotira u odnosu na lokalni, A rotaciona matrica transformacije iz lokalnog u globalni sustav, i AT njena transponirana matrica.

47

(4.48) implicira da se moment tromosti oko osi čiji je pravac određen jediničnim vektorom u može računati po relaciji: Iuu = uT I u (4.49) dok je produkt tromosti za dvije okomite osi u i v: Iuu = uT I v (4.50) Glavne osi su osi vrtnje u kojima momenti tromosti imaju maksimalne vrijednosti, a centrifugalni produkti tromosti poprimaju vrijednosti ništice. Za takav koordinatni sustav koji je lokalan i vezan uz tijelo, matrica tenzora tromosti poprima slijedeći oblik:

I =

zz

yy

xx

I

I

I

00

00

00

(4.51)

Sa ciljem pronalaženja glavnih osi i njima pripadnih ekstremalnih vrijednosti momenata tromosti, razmotrimo jednadžbu (4.49). Iz nje želimo pronaći maksimalne vrijednosti od

uuI i pripadni jedinični vektor u. Deriviranje uuI po komponentama od u i izjednačavanje

s ništicom daje sustav od tri jednadžbe koji zbog nesingularnosti matrice I daje sva tri trivijalna rješenja jednaka nuli. Zbog toga tražimo netrivijalna maksimalna rješenja pomoću Lagrangeovog funkcionala:

f(u,) = Iuu - (uTu – 1) = uT I u - (uTu – 1) (4.52)

gdje je Lagrangeov multiplikator, a (uTu – 1) dolazi iz uvjeta da je u jedinični vektor.

Sada možemo potražiti ekstrem od f(u,) s obzirom na i komponente od u. Nakon

deriviranja po i izjednačavanja sa nulom, slijedi:

f = uTu – 1 = 0 (4.53)

gdje donji indeks na f označava deriviranje s obzirom na . (4.53) je uvjet na dužinu vektora u i biti će zadovoljen ako nađemo jedinični vektor u. Derivacije od f obzirom na komponente od u možemo u matričnoj formi izraziti sa:

fu = 2(Iu - u) = 0 (4.54) (4.54) možemo izraziti kao:

(I - E)u = 0 (4.55) Ovaj sustav ima netrivijalna rješenja samo onda kada je matrica u (4.53) singularna, odnosno kada je njena determinanta jednaka nuli, to jest kada je:

det(I - E) = 0 (4.56)

48

Vidimo da se zadaća nalaženja maksimalnih momenata tromosti i njihovih rotacionih osi svodi na određivanje svojstvenih vrijednosti i njima pripadnih svojstvenih vektora matrice tromosti I.

4.2.2. Tenzor tromosti sustava krutih tijela Tenzor tromosti međusobno povezanih krutih tijela u nekom trenutku u odnosu na ishodište zajedničkog referentnog sustava jednak je sumi tenzora tromosti pojedinih segmenata, transformiranih u odnosu na to ishodište. Neka je: N - broj međusobno povezanih segmenata u sustavu krutih tijela

jkiI , - tenzor tromosti i-tog segmenta

'

, jkiI - tenzor tromosti i-tog segmenta u odnosu na ishodište zajedničkog sustava

Tada je tenzor tromosti čitavog sustava:

I =

N

i

jkiI1

'

, (4.57)

Primjenimo li jednadžbu (4.46) na (4.57), slijedi:

I =

N

i

kjjkiijki dddmI1

2

, (4.58)

5. SPEKTRALNA ANALIZA ANTROPODINAMIČKIH SUSTAVA

Poznavanje dinamike pojedine čestice u nelinearnom dinamičkom sustavu koji se sastoji od mnogo čestica nam u pravilu ne donosi mnogo informacija o samom sustavu. Tek nam poznavanje gustoće njihovih putanja u promatranom faznom prostoru omogućava proračun makroskopski mjerljivih veličina statističke mehanike, poput spektara atoma, transportnih koeficijenata te tlaka plinova u zatvorenim sustavima.

Evolucijski operatori i spektralne determinante koje iz njih slijede su veličine koje nam omogućavaju analizu dinamike roja čestica.

49

Dinamika nekog sustava se može prikazati u faznom prostoru, skupu u kojem je svaka točka određena njenim koordinatama. Na primjer, u sustavu Sunca, Zemlje i Mjeseca (čuveni problem tri tijela) se ta tijela zamjenjuju točkama, a njihovo gibanje evolucijskim pravilom Ft koje određuje gdje će se točke nalaziti nakon nekog vremena t.

Slika 5.1: Problem triju tijela

5.1. Evolucija dinamičkih sustava

Dinamika slobodnog roja čestica u prostoru je određena geometrijskim karakteristikama tog prostora, masom i elektromagnetskim svojstvima čestica, te njihovom međusobnom interakcijom. Prilikom gibanja roj čestica prolazi kroz dijelove prostora, njihovo gibanje nazivamo evolucijom, način na koji se one gibaju evolucijskim pravilom, a prostor kroz koji se roj čestica giba nazivamo faznim prostorom. Nadalje će u ovom i slijedeća dva paragrafa, a prema [20], biti izloženi osnovni pojmovi i jednadžbe vezane uz evoluciju dinamičkih sustava, evolucijske operatore i spektralnu teoriju koja proučava njihova svojstva.

Sunce

Zemlja

Mjesec

Z

Y

Ft = ?

X

50

Neka prilikom gibanja kroz prostor roj čestica prelazi iz prostora 1M u prostor

2M .

Nadalje, neka su 1M i

2M podskupovi faznog prostora M i neka je gibanje roja

određeno evolucijskim pravilom Ft(M1) parametriziranim po vremenu t . Shematski se to može prikazati slijedećom slikom:

Slika 5.2: Evolucija roja čestica u faznom prostoru M određena je evolucijskim

pravilom )( 1MF t parametriziranim po vremenu t . Prilikom gibanja čestice prelaze iz

prostora 1M u prostor 2M , pri čemu su 1M i 2M potprostori prostora M .

Trajektorije čestica možemo parametrizirati vremenom t i ako je ono kontinuirano, sustav u kojem se događa evolucija nazivamo kontinuiranim tokom. Ako je vrijeme diskretno, takav sustav nazivamo mapom.

Uređeni par ))(,( MFM t u kojem M predstavlja fazni prostor, a )(MF t evolucijsko

pravilo, nazivamo dinamičkim sustavom. Za slučaj diskretnog vremena dimenzija takvog sustava je jednaka broju čestica. Evolucijsko pravilo ćemo u daljnjem tekstu nazivati evolucijskim operatorom.

5.2. Evolucijski operatori

Hamiltonov sustav sa N stupnjeva slobode ima analitičko rješenje ako postoji N konstanti gibanja u involuciji (Liouville, 1855.). Ubrzo se pokazalo da najzanimljiviji dinamički sustavi (npr. problem triju tijela) nemaju N konstanti gibanja, potrebnih za iznalaženje analitičkog rješenja. Uzrok nepostojanja N konstanti gibanja počiva u rezonancijama (H. Poincare, 1892.).

Koopman (1931) je prvi došao na ideju da se dinamički sustavi mogu proučavati primjenom spektralne teorije operatora. Njegova ideja se sastojala u tome da se proučavanjem spektra operatora koji opisuje napredovanje gustoće (količina/volumen)

51

promatrane fizikalne veličine u nekom prostoru stanja mogu dobiti korisne informacije o tom prostoru. Momentalno ne postoji jedinstveni evolucijski operator s kojim bi se na zadovoljavajući način mogli opisati svi poznati dinamički sustav. Zbog toga se u praksi najčešće koriste tri vrste evolucijskih operatora: Perron-Frobeniusov, Koopmanov i Liouvilleov. Područje primjene Koopmanovog i Liouvilleovog operatora je isključivo u kvantnoj fizici, te ih se nadalje neće spominjati.

5.2.1. Perron-Frobeniusov operator

Neka je ),( 00 tx početna gustoća kontinuiranog toka materije u vremenu 0tt

i točki prostora 0xx , koja neka je element prostora 1M . Nadalje, neka je zadan

evolucijski operator )( 0xF t , koji opisuje prijelaz materije iz točke 0x u točku x , koja

neka je element prostora 2M . Nadalje, neka su 1M i 2M potprostori prostora M , u

kojem vlada uvjet sačuvanja materije, dakle izvana materija ne ulazi u prostor M , niti iz njega izlazi van. Uvjet sačuvanja materije može se izraziti sa:

2 1

000 ),(),(M M

dxtxdxtx (5.1)

gdje je ),( tx gustoća materije nakon vremena t . Gibanje materije je određeno

jednadžbom:

)( 0xFx t (5.2)

Diferencijalni oblik (5.2) je:

0

0

0 )(dx

x

xFdx

t

(5.3)

0

0 )(

x

xF t

je determinanta Jacobijeve matrice J:

detdet

)(

0

0

0

0

x

xF

x

xF tt

J )( 0x (5.4)

52

pa se jednadžba (5.3) može napisati u slijedećem obliku:

detdx J 00 )( dxx (5.5)

Uvrštenjem (5.5 ) u (5.1), slijedi:

2

det),(M

tx J 00 )( dxx = iM

dxtx 000 , (5.6)

Iz (5.6) slijedi izraz za vremenski pomak gustoće:

),(),( 00 txtx ( det J( 0x ))-1 ; )( 0xFx t (5.7)

Ovo je Perron-Frobeniusova jednadžba za kontinuirani tok, koja opisuje vremenski pomak gustoće u faznom prostoru. Fazni pomak gustoće se može izraziti i slijedećom jednadžbom, koja je ekvivalentna jednadžbi (5.7):

000 ),(),( dxtxLtxM

t (5.8)

gdje tL označava Perron-Frobenius operator:

))(( 0xFxL tt (5.9)

a Diracovu delta funkciju. Nadalje je prema [61] moguće svaku neprekidnu

jednoparametarsku grupu operatora tG izraziti pomoću njenog infinitezimalnog

generatora grupe A na slijedeći način:

0 !

tAkk

t ek

AtG (5.10)

gdje je A linearan operator jednoznačno zadan tom grupom i dobiva se iz tG pomoću

relacije:

0)( t

t

dt

dGA (5.11)

Ono što vrijedi za neku grupu vrijedi i za članove te grupe, pa operator tL možemo izraziti i pomoću infinitezimalnog generatora A :

tAt eL (5.12)

Izvod poopćenog evolucijskog operatora čiji je granični slučaj Perron-Frobeniusov

operator )0( dat je u [20]. On je opisan slijedećom relacijom:

)())((),( xAtt exFyxyL (5.13)

53

gdje je proizvoljna konstanta i može biti skalar, vektor ili tenzor, ovisno o dimenziji

)(xA , a )(xA je neka promatrana fizikalna veličina. Taj evolucijski operator igra ključnu

ulogu u teoriji periodskih orbita i spektralnih determinanti, pa će ga se u daljnjem tekstu i koristiti kod izvođenja osnovnih relacija.

5.3. Spektralna teorija evolucijskih operatora

Skup svih svojstvenih vrijednosti nekog operatora definiranog na konačno dimenzionalnom vektorskom prostoru naziva se njegovim spektrom [61]. Spektar operatora može se definirati i u vektorskim prostorima kojima je dimenzija beskonačna [61]. Ideja spektralne teorije je da se proučavanje gibanja skupa čestica svede na izučavanje svojstava spektra operatora koji opisuje to gibanje. Teorija periodskih orbita i spektralne determinante koje iz te teorije proističu su alati pomoću kojih se takvi operatori i njihovi pripadni spektri proučavaju.

5.3.1. Teorija periodskih orbita Teorija periodskih orbita nastoji gibanje neke čestice u kontinuiranom faznom prostoru aproksimirati iteriranom mapom u diskretnom faznom prostoru. Pri tome se iterirano gibanje u diskretnom faznom prostoru iskazuje kao suma periodičkih gibanja,

od kojih svako gibanje ima svoju periodu gibanja pT i svoj broj iteracija r .

Teoriju periodskih orbita prvi je uveo francuski matematičar Henry Poincare kako bi pokušao naći analitička rješenja gibanja planetarnih tijela u Sunčevom sustavu, koja se ni na koji način nisu mogla dobiti integracijom Newtonovih jednadžbi gibanja. Zanimljivo je da Poincare rješenja nije našao, ali je dokazao da takva rješenja ni ne postoje.

54

Slika 5.3: Periodske orbite prema [20]. Trajektorija čestice prikazana na lijevoj strani slike aproksimira se nizom fiksnih i alternirajućih periodskih orbita. U ovom slučaju prikazane su dvije fiksne orbite označene sa so1 i so2, te jedna alternirajuća orbita označena sa ao, koja naizmjenično presijeca orbite so1 i so2. U aproksimaciji gibanja čestica periodskim orbitama ključnu ulogu imaju Jacobijeve matrice, što će se i pokazati u jednadzbama tragova i spektralnih determinanti. Ovdje istaknimo da se već kod opisa jednostavnog sustava dviju čestica pojavljuje Jacobijeva matrica. Neka je trajektorija i-te čestice zadana sa:

)()( i

t

i Ftx ; )0(ii x (5.14)

gdje je )0(ix a udaljenost između nje i njoj susjedne čestice )(tx j neka je )(txij . )(txij

se može linearno aproksimirati s:

jijij Jtx )()( (5.15)

gdje je ijJ )( Jacobijeva matrica definirana sa:

j

iij

txJ

)()( (5.16)

55

5.3.2. Trag evolucijskog operatora Po analogiji sa matricama, gdje je trag suma svih elemenata po glavnoj dijagonali, trag evolucijskog operatora (5.13) se definira kao:

dxexFxdxxxLtrL xAttt )())((),( (5.17)

Neka je spektar svojstvenih vrijednosti 0 ,

1 , . . ., evolucijskog operatora tL takav

da je )Re(.....)Re()Re( 10 , gdje Re označavaju realne dijelove svojstvenih

vrijednosti. Kod bilo koje matrice je trag suma svih svojstvenih vrijednosti, što se može dokazati njenim svođenjem matrice na Jordanovu kanonsku formu [61]. Po toj analogiji

je u [20] definiran trag operatora tL kao beskonačna suma svih njegovih svojstvenih vrijednosti:

0

tt etrL (5.18)

5.3.2.1. Jednadžba traga za mape

Ako je vrijeme u kojem se odvija evolucija diskretno, i sve svojstvene vrijednosti

zadovoljavaju uvjet:

1, ip (5.19)

tada je trag operatora Ln zadan sumom preko svih periodskih točaka periode n:

n

i

in

Fixfx

xAnn edxxxLtrL)(

),(

( det (E – Jn(xi)))-1 (5.20)

56

gdje je })(:{ xxfxF i x f nn skup svih periodskih točaka periode n , )( ip xA je

promatrana veličina evaluirana u n diskretnih vremenskih koraka uzduž periodske

orbite kojoj točka ix pripada, je proizvoljna konstanta već definirana u (5.13), a Jn(xi)

označava Jacobijevu matricu evaluiranu duž periodske orbite koju opisuje točka ix .

Točka ix periodski opisuje orbitu r puta ),...,1( r , pri čemu je trajanje jedne periode

pn , gdje je p oznaka za periodsku orbitu. Sukladno tome )( ip xA možemo zamijeniti sa

prA , gdje je pA promatrana veličina u periodi p , a Jn(xi) sa Jpr Jacobijevim matricama,

definiranim za periodsku orbitu p i ponavljanje r . Tada se (5.20) može izraziti

dvostrukom sumom preko r i p :

pAr

p r

p

n entrL

1

( det (E – Jpr))-1

rnn p, (5.21)

gdje je rnn p, Kroneckerova delta funkcija, koja osigurava doprinose periodskih orbita

unutar cjelokupne periode n . Provede li se diskretna Laplaceova transformacija jednadžbe (5.21) slijedi:

1 1n

Arrn

p r

p

nn pp ezntrLz

((det(E – Jpr))-1 (5.22)

Po analogiji sa (5.18) trag diskretnog evolucijskog operatora nL može se izraziti sa:

0

nn etrL (5.23)

pa je njegova diskretna Laplaceova transformacija:

1n

nntrLz

0 1

n

nze

0 1

ze

ze (5.24)

Uvrštenjem (5.24) u (5.22) slijedi:

0 11

p

Arrn

r

ppp ezn

ze

ze(det( E – Jp

r))-1 (5.25)

(5.25) predstavlja jednadžbu traga za mape i iz nje je vidljiva dualnost između spektra svojstvenih vrijednosti i spektra periodskih orbita.

57

5.3.2.2. Jednadžba traga za kontinuirane tokove

Da bi se mogli proračunati doprinosi svih periodskih orbita u kontinuiranom toku, jednadžbu (5.17) treba napisati u obliku koji omogućava proračun doprinosa infinitezimalne debljine periodske orbite:

pM

lp

xAt

ll

t

pp

t

p dxdxexFxxFxLtr )()())((

p l

p

x x

lp

At

ll

t

pp dxdxexFxxFx

)()(

p l

p

x x

l

At

llp

t

pp dxexFxdxxFx

)()( (5.26)

gdje donji indeksi p i l označavaju transverzalne i longituidalne komponente pojedine

periodske orbite. Neka je v konstantna brzina točke duž kontinuiranog toka tako da je

vddxl , a je vrijeme ophodnje točke duž periodske orbite. Tada slijedi:

tv

tvvxFx t

ll 1

)( (5.27)

Iz (5.27) slijedi longitudinalna komponenta (5.26):

lx

l

t

l dtdxxFx

))(( (5.28)

Vrujednost Diracove delta funkcije je uvijek kada je t , odnosno kada je prT .

Zbog toga se (5.28) može izraziti beskonačnom sumom:

lx r r

pppl

t

l trTTdtrTdxxFx1 10

)()())((

(5.29)

Linearizacija toka u ravnini okomitoj na orbitu daje:

p

p

x

p

rT

pp dxxFx ))(( ((det(E – Jpr))-1 (5.30)

Uvrštenjem (5.29) i (5.30) u (5.26), slijedi:

p r

p

Ar

p

t rTteTtrL p

1

)(

((det(E – Jpr))-1 (5.31)

58

Na sličan način kao i kod mape, ovaj put kontinuirana Laplaceova transformacija primjenjena na (5.31) daje jednadžbu traga za tokove:

0 1

)(1

p r

sTAr

pppeT

s ((det(E – Jp

r))-1 (5.32)

Jednadžba (5.32) je drugi primjer dualnosti između lokalnih orbita i svojstvenih

vrijednosti. Ako pT poprima samo cjelobrojne vrijednosti, može se napraviti

transformacija ze S . Vidi se da je jednadžba traga za mape posebni primjer jednadžbe traga za tokove. Odnos između diskretnog i kontinuiranog vremenskog primjera je:

pp nT

ze s

ntA Le (5.33)

5.3.3. Spektralne determinante

Problem s jednadžbama traga je da one divergiraju za ez kod mapa,

odnosno s kod kontinuiranih tokova, tj. upravo tamo gdje bi se one trebale koristiti.

Način na koji se može zaobići ovaj problem je da se umjesto jednadžbi traga koriste spektralne determinante.

5.3.3.1. Spektri i svojstvene vrijednosti

59

Ako je u nekoj mapi konačan broj točaka, evolucijski operator se može prikazati pomoću matrice. Neka je ta matrica L, a E njoj pridružena jedinična matrica istog reda, definirana kao kvadratna matrica sa svim elementima na glavnoj dijagonali jednakim jedinici, ostalima sa vrijednošću nula. Svojstvene se vrijednosti neke matrice L [22] računaju iz njene karakteristične determinante det(L - λE) = 0 koja ekspandirana daje polinom n-tog stupnja u λ, sa koeficijentima α1, . . ., αn :

0)1()1(..... 1

12

2

1

1

n

n

n

nnnn (5.34)

Ovo je algebarska jednadžba n-tog stupnja u λ, sa nm različitih rješenja λ1, …, λm.

Skup svih svojstvenih vrijednosti neke matrice nazivamo njenim spektrom. Spektralnu determinantu [20], [102] matrice L definiramo kao S = det(E – μL), gdje su μ inverzne svojstvene vrijednosti matrice L, a E je jedinična matrica. Traženje se inverznih svojstvenih vrijednosti μ svodi na riješavanje jednadžbe det(E – μL) = 0, odnosno na traženje korijena polinoma n-tog stupnja u μ, sa koeficijentima σ1, . . ., σn:

0)1()1.....( 1

12

2

1

1

n

n

n

nnnn (5.35)

Ovisno o dimenziji sustava, stupanj ovog polinoma može biti jako visok, i traženje njegovog spektra vrlo zahtjevan postupak.

5.3.3.2. Spektralne determinante za mape

Neka je z diskretna kompleksna varijabla, definirana u točkama 1, 2, . . ., N

kompleksne domene. Inverzne svojstvene vrijednosti matrice linearnog operatora L su određene rješenjem u z njene spektralne determinante: det(E – zL) = 0 (5.36) gdje je E jedinična matrica. Matricu L je moguće transformirati u matricu koja ima sve elemente jednake ništici, osim one na glavnoj dijagonali, koji su jednaki njenim

svojstvenim vrijednostima n (n = 1, . . .,N). Tada je spektralnu determinantu definiranu

u (5.36) moguće izraziti slijedećim produktom:

det(E – zL) =

N

n

nz1

)1( (5.37)

60

Logaritam produkta jednak je sumi logaritama pojedinih članova produkta, pa logaritmiranje (5.37) daje:

ln det(E – zL) =

N

n

nz1

)1ln( (5.38)

gdje je ln oznaka za prirodni logaritam. Suma u (5.38) predstavlja trag logaritma matrice E – zL:

ln det(E – zL) = tr( ln(E –zL)) (5.39)

gdje je tr oznaka za trag matrice, to jest sumu svih elemenata matrice na glavnoj dijagonali. Razvojem logaritamske funkcije u Taylorov red, (5.39) se može pisati u obliku:

ln det(E – zL) = tr(

1

1

n n(zL)n) =

1

1

n n tr (zL)n (5.40)

Iz (5.40) slijedi:

det(E – zL) = exp (-

1n

n

n

z tr Ln ) (5.41)

Primjenimo li (5.22) na (5.41), proistječe:

det(E – zL) =

p r

Arrn pp ezr1

1exp(

( (det(E – Jp

r) )-1 ) (5.42)

5.3.3.3. Spektralne determinante za kontinuirane tokove

Neka je s kontinuirana kompleksna varijabla, definirana u svim točkama kompleksne domene. Nadalje, neka vrijedi pretpostavka da je po analogiji na (5.42) jednadžba spektralne determinante:

det(E – sL) )(

1

1exp( pp sTAr

p r

er

((det(E – Jpr))-1 ) (5.43)

Ako je pretpostavka točna, logaritmiranjem i potom deriviranjem po varijabli s jednadžbe (5.43) bi se trebala dobiti jednadžba traga (5.25). Na temelju relacije (5.37) može se zaključiti da je:

ds

dln det(E –sL) =

ds

dtr ln(sE – sL) = tr

ds

dln(E –sL) = tr(E – sL)-1 (5.44)

61

Po definiciji je:

tr(E – sL)-1 =

0

1

s (5.45)

dok primjena istog operatora na desnu stranu (5.43) daje:

ds

d

p r

sTAr pper1

)(1exp(ln

(det(E – Jp

r))-1) =

1

)(

r

sTAr

p

pppeT

((det(E – Jp

r))-1 (5.46)

Q.E.D.

5.4. Evolucijski operatori antropodinamičkih sustava

Gibanje ljudskog tijela možemo aproksimirati gibanjem mehaničkog sustava s M međusobno povezanih segmenata. Prilikom gibanja se središta masa pojedinih segmenata gibaju relativno prema središtu mase čitavog sustava.

Skladno tome, možemo definirati tenzore tromosti pojedinih dijelova tijela u odnosu na središte mase čitavog sustava. Ljudsko tijelo je između ostalog i mehanički sustav sastavljen od više međusobno povezanih dijelova. Njegovo kontinuirano gibanje kroz prostor povlači za sobom i gibanja njegovih dijelova. Svaki dio je povezan s ostalim dijelovima tijela preko jednog ili više zglobova, koji reduciraju njegovo gibanje na dozvoljene smjerove u prostoru. Broj tih smjerova je zbog specifične konstrukcije zglobova konačan, i nazivamo ih stupnjevima slobode.

5.4.1. Evolucijski operator relativnog gibanja

62

Relativno male promjene u gibanju nekog dijela sustava sastavljenog od više segmenata mogu, ovisno o vezama među njima, izazvati razmjerno velike promjene u gibanju čitavog sustava. Te promjene možemo izraziti odstupanjem trajektorije središta mase sustava (u daljnjem tekstu SMS) od neke referentne putanje. Nedostatak takvog pristupa je da se odstupanja u gibanjima pojedinih segmenata mogu međusobno neutralizirati na način da je promjena putanje SMS-a vrlo mala ili čak jednaka nuli. Da bi se to izbjeglo, potrebno je uzeti u obzir gibanja pojedinih dijelova, odnosno njihovih središta masa. Prilikom gibanja sustava, središta masa pojedinih dijelova mijenjaju svoje relativne pozicije u odnosu na SMS. Aproksimiramo li krivulju gibanja središta mase nekog

segmenta konačnim nizom od N točaka, možemo nizom Nrrr ,.......,, 21 opisati skalarnu

veličinu r u točkama 1, 2, . . ., N, koja definira udaljenost središta mase m-tog segmenta u odnosu na SMS. Ponavlja li se uzastopno uvijek isto gibanje, kao što je slučaj kod hodanja, možemo smatrati da se središte mase nekog segmenta periodički giba kroz N točaka prostora.

Kod takvog periodičkog gibanja transformaciju skalara r možemo simbolički izraziti kao:

.................. 2121 NN rrrrrr (5.47)

Definirajmo vektor Rn (n =1, . . . .N) kao N-komponentni vektor, kojem je n-ti element

udaljenost središta mase segmenta od SMS-a u n-toj točki gibanja, dok su mu ostali

elementi jednaki nuli:

Rn = TNnr 0.........00 21 (5.48)

Nadalje, pretpostavimo postojanje linearnog operatora A koji primjenjen na vektor Rn rotira sve njegove elemente u desno, istovremeno transformirajući element rn na slijedeći način:

1 nn rr ; Nn (5.49)

1rrn ; Nn

Djelovanje operatora A možemo opisati slijedećim sustavom jednadžbi: Rn+1 = ARn ; Nn (5.50)

R1 = ARN ; Nn

Lako je provjeriti da je matrica operatora A :

63

A =

0/0..0

.0/0..

....0.

...0/0

0...0/

/0...0

1

21

23

12

1

NN

NN

N

rr

rr

rr

rr

rr

(5.51)

Operator A opisuje promjene vektora R koje nastaju zbog relativnog gibanja nekog segmenta prema SMS-u, i predstavlja njegov evolucijski operator. Broj točaka promatranja je N, pa će matrica evolucijskog operatora biti N-dimenzionalna, sa N svojstvenih vrijednosti. Te svojstvene vrijednosti zajedno čine njen spektar. Nas zanimaju inverzne svojstvene vrijednosti te matrice, koja su rješenja slijedeće jednadžbe: det(E - μA) = 0 (5.52) Uvrštenjem (5.51) u (5.52) slijedi: det(E - μA) =

0

1)/(0..0

.1)/(0..

....0.

...1)/(0

0...1)/(

)/(0...1

1

21

23

12

1

NN

NN

N

RR

RR

RR

RR

RR

Gornji oblik ekspandiran daje polinom N-tog reda:

0)1()1(...... 1

2

2

1

1

1

n

n

n

nnn n

;n = 1, 2, . . ., N (5.53)

Rješenja polinoma (5.53) su općenito kompleksne vrijednosti, a skup svih njegovih rješenja predstavlja spektar evolucijskog operatora relativnog gibanja.

5.4.2. Evolucijski operator tenzora tromosti

64

Momenti se tromosti pojedinih dijelova tijela mogu definirati u odnosu na središte mase čitavog tijela. Tijekom gibanja će promjena položaja središta masa tih dijelova u odnosu na središte mase čitavog tjela uzrokovati promjene u tako definiranim momentima tromosti. Aproksimiramo li kontinuirano gibanje središta mase nekog dijela tijela nizom od N točaka u prostoru, možemo sa nizom I1, I2, …, IN opisati njegov tenzor tromosti u točkama 1, 2, ..., N. Prilikom gibanja, njegovo središte mase periodički prolazi kroz svih N točaka prostora. Kod periodičkih gibanja transformaciju tenzora tromosti možemo simbolički izraziti kao:

I1 I2 .... . IN I1 I2 ..... IN ... (5.54)

Definirajmo vektor Vn (n =1, . . ., N ) kao N - komponentni vektor, kojem je n-ti element matrica tenzora tromosti In, dok su mu ostali elementi kvadratne matrice trećeg reda sa svim elementima jednakim nuli, koje označimo sa 0: Vn = [01 02 …In…… 0N]T (5.55) Nadalje, neka je B linearni operator koji primjenjen na vektor Vn rotira sve njegove

elemente u desno, istovremeno transformirajući element nI na slijedeći način:

1 nn II ; Nn (5.56)

1II n ; Nn

Djelovanje operatora B možemo opisati slijedećim sustavom jednadžbi: Vn+1 = BVn ; Nn (5.57)

V1 = BVN ; Nn Lako je provjeriti da je matrica operatora B:

B =

0/0..0

.0/0..

....0.

...0/0

0...0/

/0...0

1

21

23

12

1

NN

NN

N

II

II

II

II

II

(5.58)

Operator B opisuje promjene tenzora tromosti koje nastaju zbog relativnog gibanja nekog segmenta prema SMS-u, i predstavlja njegov evolucijski operator. Kvocijent dviju matrica A i B jednak je produktu matrice A i inverzne matrice B-1, pa je konačni oblik matrice evolucijskog operatora tenzora tromosti segmenta:

65

B =

0)(0..0

.0)(0..

....0.

...0)(0

0...0)(

)(0...0

1

1

1

21

1

23

1

12

1

1

NN

NN

N

II

II

II

II

II

(5.59)

Matrica evolucijskog operatora tenzora tromosti (5.59) je blok matrica, čiji su elementi kvadratne matrice sa 3 x 3 elemenata. Blok matrica ima ista svojstva kao i normalna matrica, tako da će u našem slučaju matrica evolucijskog operatora tromosti imati 3N svojstvenih vrijednosti. Kao i kod relativnog gibanja, i u ovom slučaju nas zanimaju inverzne svojstvene vrijednosti matrice, koje su rješenja slijedeće jednadžbe: det(E - μB) = 0 (5.60) Uvrštenjem (5.59) u (5.60) slijedi: det(E - μB) =

0

)(0..0

.)(0..

....0.

...)(0

0...)(

)(0...

1

1

1

21

1

23

1

12

1

1

EII

EII

EII

EII

IIE

NN

NN

N

Gornji oblik ekspandiran daje polinom 3N-tog reda:

0)1()1(...... 1

2

2

1

1

1

n

n

n

nnn n

;n = 1, 2,..., N (5.61)

Rješenja polinoma (5.61) su općenito kompleksne vrijednosti, a skup svih njegovih rješenja ćemo nadalje nazivati spektar evolucijskog operatora B. Analizom tako dobijenog spektra pokušati ćemo kvantitativno opisati promjene momenta tromosti pojedinog segmenta ispitanika. Isto tako ćemo ispitati da li se sumiranjem matrica pojedinih segmenata ispitanikovog tijela i analizom tako dobijenog spektra mogu kvantitativno opisati promjene momenta tromosti čitavog sustava.

66

6. SPEKTRALNA ANALIZA LJUDSKOG HODA Klasična spektralna analiza gibanja ljudskog tijela izučava načine preslikavanja prostornih podataka o tom gibanju iz vremenske u frekvencijsku domenu, te analizom tako dobivenih frekvencijskih spektara pokušava donijeti određene zaključke o tom gibanju. Male promjene u prostornim podacima, koje je ponekad i nemoguće registrirati, uzrokuju relativno velike promjene u amplitudama i fazama frekvencijskog spektra.

67

Nedostatak ovakvog, u biti čisto kinematičkog pristupa, je da su dinamička svojstva tromosti promatranog objekta potpuno zanemarena, što kod mnogih biomehaničkih analiza predstavlja značajno ograničenje. Zbog potrebe uvođenja dinamičkih parametara u spektralnu analizu, u prethodnom je poglavlju uveden evolucijski operator tenzora tromosti. U ovom poglavlju on se konkretizira, dakle poprima točno određene vrijednosti, s jedne strane definirane valjčanim geometrijskim modelom, a s druge antropometrijskim mjerama po Clauseru [19]. Nadalje, mjerenjima testnog objekta pomoću ELITE sustava, i analizom tako dobivenih podataka pomoću sustava SANTOS, dobivene su spektralne determinante i pripadni spektri, čijim se vrednovanjem mogu donijeti zaključci o varijacijama dinamičkih parametara sustava i njihovom utjecaju na njegovu kinematiku.

6.1. Geometrijski model ljudskog tijela U praksi se segmenti ljudskog tijela nastoje predstaviti pomoću poznatih geometrijskih oblika. Jedan od načina predstavljanja ljudskog tijela je prikazan na slijedećoj slici:

68

Slika 6.1: Geometrijski model ljudskog tijela prema [74]

Na slijedećoj je slici prikazan model ljudskog tijela sačinjen od eliptičkih stožaca, eliptičkog cilindra, rotacionog elipsoida i krnjih kružnih stožaca:

69

Slika 6.2: Prošireni Hannavanov [63] geometrijski model ljudskog tijela

70

Geometrijska se tijela u prethodnom modelu opisuju pomoću funkcija, koje ćemo izvesti kasnije, a čiji su argumenti dati u slijedećoj tabeli:

Dio Geometrijsko tijelo

Grupa Argumenti geometrijskih funkcija

Šaka RE E

Podlaktica KKS ES

Nadlaktica KKS ES

Stopalo ES ES

Potkoljenica KKS ES

Natkoljenica ES ES

Glava RE E

Gornji dio trupa

EC ES

Srednji dio trupa

ES ES

Donji dio trupa

EC ES

Tabela 6.1: Argumenti geometrijskih funkcija tijela

71

gdje su Pi antropometrijski parametri po Clauseru:

Parametar Opis parametra Parametar Opis parametra

P1 Duljina šake P21 Opseg nožnog palca

P2 Duljina od ručnog zgloba do zgloba prsta

P22 Opseg gležnja

P3 Duljina podlaktice P23 Opseg potkoljenice

P4 Duljina nadlaktice P24 Opseg koljena

P5

Duljina od lakta do koštanog nastavka na lopatici (Acromion)

P25 Opseg gornjeg dijela bedra

P6 Duljina stopala P26 Opseg glave

P7 Duljina potkoljenice P27 Opseg prsnog koša

P8 Duljina natkoljenice P28 Opseg preko vrha prsne kosti (Xyphion nivo)

P9 Duljina glave P29 Opseg preko pupka

P10 Duljina gornjeg dijela trupa P30 Opseg preko stražnjice

P11

Duljina od vrha prsne kosti do vrha koštanog nastavka na lopatici (Xyphion do Acromion)

P31 Širina šake

P12 Duljina srednjeg dijela trupa P32 Širina ručnog zgloba

P13 Duljina donjeg dijela trupa P33 Širina stopala

P14 Opseg šake P34 Širina nožnog palca

P15 Opseg ručnog zgloba P35 Dubina bedra

P16 Opseg podlaktice P36 Širina prsa

P17 Opseg ruke oko lakta P37 Širina, Xyphion nivo

P18 Opseg ruke oko pazuha P38 Širina, Omphalion nivo

P19 Opseg stopala P39 Širina, nivo zdjelične kosti (Coxae)

P20 Opseg skočnog zgloba P40 Duljina od vrha prsne kosti do spoja brada/vrat

P41 Duljina od kuka do spoja brada/vrat = P12 + P13 + P40

Tabela 6.2: Antropometrijski parametri po Clauseru

72

Elipsoidna grupa se sastoji od elipsoida, sferoida i sfere. Jednadžba elipsoida glasi:

12

2

2

2

2

2

c

x

b

y

a

x (6.1)

Kugloid je elipsoid kome su dvije osi jednake, npr. a = b. Kugla je elipsoid kome su sve tri osi jednake, dakle a = b = c. Grupa eliptičnih stožaca se sastoji od eliptičnih i kružnih stožaca, koji se opet dijele na potpune i krnje stožce. Treću grupu čine geometrijska tijela s bazama stadiona. Izračunajmo ovim tijelima njihove volumene, položaje središta masa i glavne momente tromosti. Neka su zadane funkcije:

21)( tata (6.2)

21)( tbtb

21)( tctc

21)( tdtd

gdje su 0,,, dcba i 10 t . Tada je:

1

03

2)()( abdttbta (6.3)

1

04

1)()( abdtttbta

1

0

2

15

2)()( abdtttbta

1

015

8)()()()( abcddttdtctbta

Nadalje, neka su zadane funkcije:

73

001)( ataata (6.4)

001)( btbbtb

001)( ctcctc

001)( dtddtd

gdje su 0,,,,,,, 10101010 ddccbbaa i 10 t .

Pomoću ovih funkcija možemo definirati slijedeći set funkcija:

1

0

202122

20 ),(2

),(

3

),()()(),( baF

baFbaFdttbtabaG (6.5)

2

),(

3

),(

4

),()()(),( 2021

1

0

2221

baFbaFbaFdtttbtabaG

1

0

2021222

223

),(

4

),(

5

),()()(),(

baFbaFbaFdtttbtabaG

1

0

40 )()()()(),,,( dttdtctbtadcbaG

),,,(2

),,,(

3

),,,(

4

),,,(

5

),,,(40

41424344 dcbaFdcbaFdcbaFdcbaFdcbaF

gdje su:

010122 ),( bbaabaF (6.6)

00101021 ),( baabbabaF

0020 ),( babaF

0101010144 ),,,( ddccbbaadcbaF

0101001010101043 )()()(),,,( ddccbaaddccbbadcbaF

00101010100101 dccbbaaddcbbaa

)()()()(),,,( 01001001010042 ddcbbaddccbadcbaF

)()()()( 010001001010 ddcbaadccbba

000101001001 )()()()( dcbbaadccbaa

)()()()(),,,( 0100000100000100000141 ddcbadccbadcbbadcbaadcbaF

74

000040 ),,,( dcbadcbaF

Da bi izračunali integrale navedenih tijela, potrebno je prvo izračunati parametre eliptične ploče:

Slika 6.3: Eliptična ploča

a a

elipse abdbdxa

xbdxym

0

2/

0

2

0

2

2

sin14144

(6.7)

a a

XXelipse dabdxa

xbdx

yJ

0

2/

0

33

3

0

2

23

3

coscos3

41

3

4

34

2/

0

343

4cos

3

4

abdab

0

2/

343

0

3

4sin

3

4

34

badbadyx

J

b

YYelipse

22

4baabJJJ YYelipseXXelipseZZelipse

Sada možemo izvršiti proračun polu-elipsoida:

75

Slika 6.4: Polu-elipsoid

Neka je z na slici 6.1 funkcija od )10( tt :

tcz

dtcdz (6.8)

Uz primjenu (6.3) i (6.7) slijedi:

1

0

1

003

2)()()()( abcdttbtacdttmcdzzmm elipse

c

elipse

(6.9)

c

elipseelipsez abcdtttbtacdtttmcdzzzmP0

1

0

1

0

222

4)()()()(

cm

Pg z

z8

3

ZXX II

1

0

1

0

3333

015

8

15

8

4)()()()(

4)()( baabcdttbtatbtacdttJcdzzJ XXelipse

c

ZZelipse

22

15

2baabc

76

dtctctmtJdzzzmzJI elipseXXelipse

c

elipseXXelipseX 1

0

22

0

2 )()()()(

1

0

23

1

0

1

0

1

0

23 )()()()(4

)()( dtttbtacdttbtacdtttmcdttJc elipseXXelipse

)(15

2

15

2

15

2 2233 cbabcabccab

2

zXXX gmII

)(15

2

15

2

15

2 2233 caabcabcbcaIY

2

zyyy gmII

Jednadžbe za elipsoid, sferoid i sferu mogu se izvesti iz (6.8):

Elipsoid: %50,2 ZPE gmm

Sferoid: %50,2, ZPE gmmba

Sfera: %50,2, ZPE gmmcba

Eliptički stožac, prikazan na slici 6.4

Slika 6.5: Eliptički stožac

77

proračunavamo kako slijedi:

Neka je z na slici 6.3 funkcija od t, uz uvjet )10( t .

tLz (6.10)

dtLdz

Tada je:

L L

elipse baGLdttbtaLdtLtbtadzzmm0 0

1

0

20 ),()()()()()( (6.11)

),()()()()()()()( 21

2

0 0

1

0

2 baGLdtttbtaLdtLtLtbtadzzzmP

L

elipseZ

LbaG

baG

m

Pg Z

Z),(

),(

20

21

L

ZZelipseZZelipseZZZ dttbtatbtaLdttJLdzzJII0

1

0

33

1

0

)()()()(4

)()(

),,,(),,,(4

4040 bbbaGbaaaGL

L L L

xxelipsex dzzzbzadzzbzadzzzmzJI0 0 0

232 )()()()(4

)()(

1

0

22

3

40

23

1

0

3 ),(),,,(4

)()()()(4

baGLbbbaGLdtttbtaLdttbtaL

2

zxxx gmII

),(),,,(4

)()( 22

3

40

0

2 baGLbaaaGLdzzzmzJI

L

yyelipsey

2

zyyy gmII

78

Prilikom izvoda (6.11) su korištene relacije (6.4), (6.5), (6.6) i (6.7). Jednadžbe za zarubljeni kružni stožac, eliptički cilindar i kružni cilindar se također mogu izvesti iz (6.11):

Geometrijski oblik Svojstva

zarubljeni kružni stožac 1100 , baba

eliptički cilindar 1010 , bbaa

kružni cilindar 1010 bbaa

Tabela 6.3: Parametri eliptičnog stošca

Za modeliranje gornjeg dijela trupa ljudskog tijela se često koristi stadion. Prilikom izvoda njegovih inercijalnih parametara je korisno započeti sa stadionskom pločom:

Slika 6.6: Stadionska ploča

79

Jednadžbe za masu i momente tromosti stadionske ploče glase:

)4( 2rarmstadion (6.12)

0

2/

33

0 0

333

sin)sin(3

4

3

4

34

drrardxydxrdxy

J

ra a ra

a

xxstadin

4343

2/

0

443

43

4]

16

3[

3

4

3

4sin

3

4

3

4rarrardrar

r

yystadion drradyx

J0

2/

0

33

)cos()cos(3

4

34

2/

0

4332223 coscos3cos3cos3

4

drarraar

432233223

43

8

3

4

16

3

3

23

43

3

4rarraarrarraar

43223

24

3

4rarraraJJJ yystadionxxstadionzzstadion

Slika 6.7: Stadion Neka je z funkcija od t, gdje je 10 t :

tLz (6.13)

dtLdz

80

Uz (6.12), slijedi:

dttrtrtaLdttmLdzzmm

L

stadionstadion 1

0

2

0

1

0

)()()(4)()( (6.14)

1

0

1

0

2020

2 ),(),(4)()()(4 rrGLraGLdttrLdttrtaL

dtttrtrtaLdtttmLdzzzmP

L

stadionstadionZ ])()()(4[)()(0

1

0

1

0

222

1

0

1

0

21

2

21

2222 ),(),(4)()()(4 rrGLraGLdtttrLdtttrtaL

LrrGraG

rrGraG

m

Pg Z

z

),(),(4

),(),(4

2020

2121

ZZZ II

L

ZZstadionZZstadion dttJLdzzJ0

1

0

)()(

dttrtrtatrtatrtaL

1

0

43223 )(2

)()(4)()()()(3

4

),,,(2

),,,(4),,,(),,,(3

440404040 rrrrGLrrraGLrraaGLraaaGL

1

0

1

0

23

0

2 )()()()( dtttmLdttJLdzzzmzJI stadionXXstadion

L

stadionXXstadionX

),(2

),(4),,,(4

),,,(3

422

3

22

3

4040 rrGLraGLrrrrGLrrraGL

2

ZXXX gmII

1

0

1

0

23

0

2 )()()()( dtttmLdttJLdzzzmzJI stadionYYstadion

L

stadionYYstadionY

),,,(4

),,,(3

8),,,(),,,(

3

440404040 rrrrGLrrraGLrraaGLraaaGL

),(),(4 22

3

22

3 rrGLraGL

2

ZYYY gmII

81

6.2. Definiranje segmentalnih parametara

Tri su osnovne grupe metoda na temelju kojih se mogu odrediti inercijalna svojstva dijelova ljudskog tijela:

- metode zasnovane na antropometrijskim mjerenjima masa dijelova kadavera - metode zasnovane na skeniranju živih dijelova tijela - geometrijske metode

Na slijedećoj slici dat je prikaz metode određenja volumena uranjanjem pojedinih dijelova tijela u specijalne posude ispunjene vodom::

Slika 6.8: Određivanje segmentalnih volumena pomoću posuda s vodom U ovom radu ćemo se zbog jednostavnosti koristiti matematičkim modelom koji natkoljenice, potkoljenice i stopala aproksimira valjcima. Iako manje točan od modificiranog Hanavanovog geometrijskog modela zasnovanog na modeliranju dijelova ljudskog tijela polu-elipsoidima, eliptičnim stošcima i stadionima [62], valjčani model sasvim zadovoljava kad cilj nije točnost modela, već je potrebno međusobno usporediti razne slučajeve i ispitati varijacije koje nastaju zbog promjene rotacijskih kuteva segmenata. Ova metoda je geometrijska, i kao i preostale dvije metode, zahtjeva set antropometrijskih parametara. Mase natkoljenica, potkoljenica i stopala odrediti ćemo na temelju antropometrijskih parametara, koristeći Clauserove regresijske jednadžbe [19]:

82

Dio tijela Regresijska jednadžba

Ruka m = 0.038*P15 + 0.080*P32 - 0.660

Podlaktica m = 0.081*M + 0.052*P16 - 1.650

Nadlaktica m = 0.007*M + 0.092*P18 + 0.050*P5 –3.101

Stopalo m = 0.003*M + 0.048*P22 + 0.027*P6 - 0.869

Potkoljenica m = 0.135*P23 - 1.318

Natkoljenica m = 0.074*M + 0.138*P25 - 4.641

Glava m = 0.104*P26 + 0.015*M - 2.189

Trup m = 0.349*M + 0.423*P41 + 0.229*P27 - 35.460

Tabela 6.4: Segmentalne mase

Gdje je M = masa čitavog tijela ispitanika i ona je u trenutku mjerenja iznosila 72.5 [kg], a Pi su antropometrijski parametri definirani u tabeli 6.2, i u trenutku mjerenja su, uz masu ispitanika od M = 72.5 [kg], iznosili:

P6 28 [cm]

P22 22 [cm]

P23 34 [cm]

P25 52 [cm]

Tabela 6.5: Relevantni parametri po Clauseru

Na temelju regresijskih jednadžbi iz tabele 6.2, izračunate su mase lijeve i desne natkoljenice, potkoljenice i stopala:

Natkoljenica: ][863.71 kgm (6.15)

Potkoljenica: ][272.32 kgm

Stopalo: ][159.13 kgm

Za računanje inercijalnih parametara potkoljenica i natkoljenica su modelirane cilindričnim valjcima, a stopalo paralelopipedom. Momenti tromosti za ta geometrijska tijela su: Valjak:

83

124

22 lrmI xx

(6.16)

2

2

1mrI yy

124

22 lrmI zz

Paralelopiped:

22

12ca

mI xx (6.17)

)(12

22 bam

I yy

)(12

22 cbm

I zz

Širina i duljina stopala, te duljine potkoljenice i natkoljenice su izmjerene na ispitaniku, dok su uz pomoć prethodno izračunatih segmentalnih masa i gustoća po Donskom-Zatsiorskom:

Natkoljenica: ]/[1005.1 33

1 cmkg

Potkoljenica: ]/[1009.1 33

2 cmkg

Stopalo: ]/[10095.1 33

3 cmkg

izračunati polumjeri potkoljenice i natkoljenice, te visina stopala. Ukupni set parametara za inercijalni model je tada:

Natkoljenica (valjak): ][44.0 ml , ][0736.0 mr

Potkoljenica (valjak): ][44.0 ml , ][0462.0 mr

Stopalo (paralelopiped): ][28.0 ma , ][11.0 mb , ][034.0 mc (6.18)

Na temelju relacija (6.16) i (6.17), te parametara (6.15) i (6.18), izračunati su glavni dinamički momenti tromosti:

Natkoljenica: 39122.0 zzxx II ][ 2mkg ; 02129.0yyI ][ 2mkg (6.19)

Potkoljenica: 05453.0 zzxx II ][ 2mkg ; 00349.0yyI ][ 2mkg

Stopalo: 00768.0xxI ][ 2mkg ; 00874.0yyI ][ 2mkg ;

00128.0zzI ][ 2mkg

Momenti tromosti segmenata u (6.19) su računati s obzirom na njihova središta masa. Da bi izračunali momente tromosti reducirane s obzirom na neki referentni koordinatni

84

sustav, praktično je upotrijebiti Steinerovo pravilo. U ovom radu koristimo dva referentna sustava, i to za desnu natkoljenicu, potkoljenicu i stopalo središte desnog zgloba kuka, a za lijevu natkoljenicu, potkoljenicu i stopalo središte lijevog zgloba kuka: Slika 6.9: Geometrijski model ljudske noge Zbog toga definiramo slijedeće parametre: r1 - udaljenost težišta natkoljenice od ishodišta sustava u središtu zgloba kuka r2 - udaljenost težišta potkoljenice od ishodišta sustava u središtu zgloba koljena r3 - udaljenost težišta stopala od ishodišta sustava u središtu gornjeg zgloba stopala i računamo ih prema slijedećim relacijama:

][22.02

44.0

2

_1 m

cenatkoljeniduljinar (6.20)

][22.02

44.0

2

_2 m

cepotkoljeniduljinar

][14.02

28.0

2

_3 m

stopaladuljinar

Uvedimo slijedeće veličine: R1 – vektor udaljenosti težišta natkoljenice u odnosu na središte zgloba kuka

Y’

Z’

X’

Y’’

X’’

Z’’

Y’’’ X’’’

Z’’’

r1

r2

T1

T2

T3

T1 – težište natkoljenice T2 – težište potkoljenice T3 – težište stopala r1 – udaljenost težišta natkoljenice od ishodišta sustava u središtu zgloba kuka r2 – udaljenost težišta potkoljenice od ishodišta sustava u središtu zgloba koljena r3 – udaljenost težišta stopala od ishodišta sustava u središtu gornjeg zgloba stopala X’Y’Z’ – koordinatni sustav sa ishodištem u središtu zgloba kuka X’’Y’’Z’’’ – koordinatni sustav sa ishodištem u središtu zgloba koljena X’’’Y’’’Z’’’ – koordinatni sustav sa ishodištem u središtu gornjeg zgloba

stopala

r3

85

R2 – vektor udaljenosti težišta potkoljenice u odnosu na središte zgloba kuka R3 – vektor udaljenosti težišta stopala u odnosu na središte zgloba kuka Nadalje, uvedimo kuteve rotacije za koordinatne sustave prikazane na prethodnoj slici:

Slika 6.10: Eulerovi kutevi rotacije za zglobove kuka, koljena i stopala Promjene modula vektora udaljenosti R1 , R2 i R3 uvjetovane promjenama kuteva

1 , 2 i 3 su mnogo veće u odnosu na one uvjetovane promjenama preostalih

kuteva. Zbog toga njihove module možemo aproksimirati slijedećim relacijama:

11 rR (6.21)

22

11

212 cos2

cos2

, rr

R

3

3

22

11

3213 cos2

cos2

cos2

,, rrr

R

Sada glavne momente tromosti možemo napisati u slijedećoj formi: Natkoljenica:

86737.12

11 RmII xxxx ][ 2mkg

02129.0 yyyy II ][ 2mkg

1 2 3

'Y ''Y '''Y

'X ''X '''X

'Z ''Z

1 2'''Z

3

2 – fleksija/ekstenzija

koljena

2 - rotacija koljena

2 - valgus/varus koljena

3 – dorsi/plantarflex

stopala

3 - progresija stopala

1 - fleksija/ekstenzija

kuka

1 - rotacija kuka

1 - ab/adduction kuka

1 2

86

86737.12

11 RmII zzzz ][ 2mkg

Potkoljenica:

),(272.305453.0, 21

2

221

2

22 RRmII xxxx ][ 2mkg

00349.0 yyyy II ][ 2mkg

),(272.305453.0),( 21

2

221

2

22 RRmII zzzz ][ 2mkg

Stopalo:

321

2

3321

2

33 ,,159.100128.0),,( RRmII xxxx ][ 2mkg

321

2

3321

2

33 ,,159.100874.0),,( RRmII yyyy ][ 2mkg

),,(159.100768.0),,( 321

2

3321

2

33 RRmII zzzz ][ 2mkg

Sada je moguće postaviti i tenzore glavnih momenata tromosti za natkoljenice, potkoljenice i stopala: Ind – tenzor glavnih momenata tromosti za desnu natkoljenicu Inl – tenzor glavnih momenata tromosti za lijevu natkoljenicu Ipd – tenzor glavnih momenata tromosti za desnu potkoljenicu Ipl – tenzor glavnih momenata tromosti za lijevu potkoljenicu Isd – tenzor glavnih momenata tromosti za desno stopalo Isl – tenzor glavnih momenata tromosti za lijevo stopalo

Ind = Inl =

86737.100

002129.00

0086737.1

(6.22)

Ipd = Ipl =

),(272.305453.000

000349.00

00,272.305453.0

21

2

2

21

2

2

R

R

Isd = Isl =

321

2

3

321

2

3

321

2

3

,,159.100768.000

0),,(159.100874.00

00,,159.100128.0

R

R

R

Relacije (6.22) opisuju tenzore tromosti reducirane s obzirom na koordinatne sustave čije je ishodište smješteno u središtima kukova. Prilikom hoda, svih 6 koordinatnih sustava, redom koordinatni sustavi desnog i lijevog kuka, koljena i gornjeg zgloba stopala rotiraju. Zbog toga je potrebno provesti transformaciju tenzorskih veličina u (6.22). Neka su:

87

Ad, Al - rotacijske matrice desnog i lijevog kuka Bd, Bl - rotacijske matrice desnog i lijevog koljena Cd, Cl - rotacijske matrice desnog i lijevog gornjeg zgloba stopala U tim rotacijskim sustavima tenzori tromosti natkoljenica, potkoljenica i stopala su na temelju (4.48): Ind

(rot) = AdT Ind Ad (6.23)

Inl(rot) = Al

T Inl Al Ipd

(rot) = BdT Ad

T Ipd Ad Bd Ipl

(rot) = BlT Al

T Ipl Al Bl Isd

(rot) = CdT Bd

T AdT Isd Ad Bd Cd

Isl(rot) = Cl

T BlT Al

T Isl Al Bl Cl Jednadžbe (6.23) su osnova za računanje tenzora tromosti pojedinih segmenata prilikom gibanja. Rotacijske matrice u (6.23) računaju se prema (4.20), pri čemu kao ulazne veličine služe kutevi rotacije izmjereni pomoću ELITE sustava. Na temelju jednadžbe (5.59) formiraju se matrice evolucijskih operatora tenzora tromosti pojedinih segmenata, iz kojih se računaju svojstvene vrijednosti i njihove inverzije.

6.3. Prikupljanje i obrada antropometrijskih i prostornih podataka

Ljudski pokreti se mogu analizirati pomoću raznih sistema za biomehanička mjerenja. Danas se za kinematičku analizu koriste akustički uređaji, magnetski sustavi, goniometri i akcelerometri. Kinetička analiza se zasniva na kinematičkoj analizi pokreta, pri čemu se dodatno uzimaju u obzir karakteristike tromosti pojedinih segmenata. Najčešće korištena metoda snimanja pokreta je pomoću markera učvršćenih direktno na kožu ispitanika, pri čemu se položaj zglobova procjenjuje s obzirom na položaj postavljenih markera U ovom radu ulazni podaci su prikupljeni pomoću ELITE sustava.

6.3.1 Opis ELITE sustava

88

ELITE sustav radi na principu registriranja pomaka reflektirajućih pasivnih markera, koji se po točno određenoj shemi, tzv. Davisovom protokolu [21], postavljaju na određene točke ispitanikovog tijela. Točke na tijelu čije je gibanje potrebno analizirati označene su markerima koji omogućavaju potpunu slobodu gibanja. Broj markera nije ograničen i njihovi se pomaci bilježe pomoću CCD (engl. Charged Coupled Device) kamera koje su konstruirane za rad u infracrvenom području. Na svakoj se kameri nalazi infracrvena bljeskalica koja je sinkronizirana s pripadajućom kamerom. Veličina markera određuje se ovisno o gibanju i području u kojem se ono izvodi. Frekvencija snimanja iznosi 50 Hz, što je odgovarajuće s obzirom na namjenu mjernih rezultata. Prednost snimanja ovom frekvencijom je izbjegavanje visokofrekventnog šuma slučajnih pogrešaka mjernog postupka. Uporedo sa mjerenjem pokreta koji rezultiraju digitalnim signalima, mjere se i sile kojima tijelo djeluje na podlogu, pomoću ploče za mjerenje sila. Signali koji se sa ploče dovode u ELITE sustav su analogni. Središnji uređaj ELITE sustava je glavni procesor, koji povezuje u cjelinu reakcijsku ploču, kamere, monitor i osobno računalo. Njegova uloga je analiza svake pojedine snimljene slike u stvarnom vremenu za svaku kameru napose. To znači da se na dvodimenzijskoj digitaliziranoj snimci snimljenoj svakom kamerom određuje položaj i središte svakog pojedinačnog markera postupkom križne korelacije, a na temelju unaprijed definiranog uzorka njihove površine. Uspoređivanjem sadržaja snimljene slike i uzorka određuju se točke vidnog polja kojim su pokriveni položaji markera, tek zatim se na temelju tako utvrđenih informacija izračunavaju i položaji njihovih središta. Nakon snimanja se na temelju informacija o dvodimenzijskim koordinatama svakog markera definira model, povezuju snimke svake kamere i računaju trodimenzijske koordinate svakog markera u referentnom koordinatnom sustavu. Na temelju položaja markera na uzastopnim snimkama rekonstruiraju se trajektorije svih markerima označenih točaka. Na temelju tako utvrđenih podataka računaju se pomoću drugih programa kinematičke veličine koje opisuju prostorno gibanje: brzina i ubrzanje točaka. Na kraju se sve kinematičke veličine utvrđene snimanjem mogu prikazati u grafičkom modulu. On omogućuje prikaz trajektorija točaka u horizontalnoj, sagitalnoj I frontalnoj ravnini, te prikaz trajektorija brzina i ubrzanja. Trajektorije se također mogu pretvoriti u kuteve koji jednoznačno određuju 3D rotaciju pojedinih zglobova. Na taj način se mogu odrediti rotacijska gibanja zglobova, što je korišteno u ovom radu. Greške koje nastaju prilikom snimanja ELITE sustavom su sistemske i slučajne prirode.

- Sistemske pogreške su konstantnog intenziteta i javljaju se kao posljedica distorzije leća, netočne kalibracije i slično. Da bi se one smanjile, potrebno je što točnije provesti kalibraciju sustava prije početka svakog snimanja. Ove greške se također nastoje ukloniti i korekcijskim faktorima, koji se izračunavaju nakon kalibracijskog postupka. Neki od korekcijskih faktora su skup koeficijenata korekcije devijacija dvodimenzijskih položaja markera u vidnom polju svake kamere uslijed optičke distorzije leća, skup korekcijskih faktora pogrešaka stereofotogrametrijskog postupka i slično.

- Slučajne pogreške se javljaju kao šum signala u širokom frekvencijskom spektru. Da bi se šum otklonio provodi se filtriranje, na način da se pomoću FFT (engl. Fast Fourier Transform) signal iz vremenske provodi u frekvencijsku

89

domenu, tamo se filtriraju veličine za koje se procjenjuje da su šum, i nakon toga se inverznom FFT podaci vraćaju natrag u vremensku domenu.

Mjerenje pomoću ELITE sustava se provodi u četiri faze: Prva faza je kalibracija, i u njoj se nastojati ugoditi sustav na način da su sistemske greške što manje. Nakon toga slijedi snimanje, koje se na točan način može provesti samo u kalibriranom radnom volumenu. U slijedećoj fazi, a da bi se podaci utvrđeni snimanjem mogli analizirati, potrebno je definirati model za interpretaciju kinematičkih podataka. Definiranje modela znači stvaranje sheme pomoću koje se određuje položaj svakog markera, ali i njihova međusobna veza. To znači da se za svaku kameru i za svaku snimljenu sliku posebno definira dvodimenzijski model koji na jednak način povezuje markere i definira njihovu međusobnu vezu. Iz dvodimenzijskih podataka program pomoću stereometrijskih presjeka izračunava trodimenzijske koordinate svakog markera. Naposljetku se u zadnjoj fazi provodi filtriranje podataka kako bi se iz njih otklonio šum. Sam sustav je modularno dizajniran a njegova shema je data na slijedećoj slici:

Slika 6.11: Shematski prikaz ELITE uređaja Sustavom upravlja osobno računalo i opremljeno je specijaliziranim software-om dizajniranim za vrlo široki spektar primjena, kako u analizi kinematike, tako i dinamike ljudskog tijela u pokretu. Parametri koji se mogu analizirati pomoću ELITE su: Kinematički:

- rotacijski kutevi pojedinih segmenata

90

- izvedeni parametri (linearna i kutna brzina) - grafički prikaz trajektorija

Dinamički:

- sile i njihove vektorske komponente, njihova vremenska integracija, relativni maksimumi i minimumi, vremenska kašnjenja - vektorski dijagrami, dijagrami stabilnosti

Na temelju takvih analiza mogu se odrediti anomalije u hodu nastale uslijed nepravilnih pokreta, ozljeda, ili anomalija u radu pojedinih mišića i živaca. Pomoću metoda inverzne dinamike moguće je također izračunati i zakretne momente u zglobovima. Da bi se dinamički parametri mogli izračunati sa zadovoljavajućom točnošću, potrebno je uzeti u obzir i sile reakcije s kojima podloga djeluje na tijelo ispitanika. Zbog toga se na ELITE sustav spaja reakcijska ploča, koja može registrirati vertikalne i horizontalne sile, te ih transformirati u električke signale, koji se pomoću analogno-digitalnog konvertera digitaliziraju i u ELITE sustavu pretvaraju u reakcijske sile. Reakcijska ploča sadrži više elektromehaničkih senzora pritiska, kako bi se što točnije izmjerile sile podloge. Shema ploče je data na slijedećoj slici:

Slika 6.12: Dimenzije i spojevi višekomponentne reakcijske ploče Prije samog mjerenja potrebno je provesti kalibraciju kamera. Najčešće korištena metoda kalibracije je DLT (Direct Linear Transformation). Ova metoda koristi set kontrolnih markera čije su prostorne i ravninske koordinate već poznate. Kontrolni markeri se pričvršćuju na kruti okvir za kalibraciju. Fleksibilnost DLT kalibracije ovisi o

91

tome kako lako je postaviti okvir za kalibraciju. Osim DLT kalibracije, koristi se i metoda kalibracije metodom najmanjih kvadrata. Detaljan opis jedne i druge metode kalibracije dat je u [64]. Na slijedećoj slici dat je shematski prikaz kontrolnog modela za kalibraciju:

Slika 6.13: Kontrolni model za jedan primjer baždarenja ELITE sustava Na tijelo ispitanika pričvršćuju se fluorescentni markeri čije se gibanje u prostoru prati kamerama. Za jednoznačno određenje pozicije markera u prostoru potrebne su minimalno dvije kamere. Često su prigodom gibanja ispitanika markeri prekriveni ispitanikovim tijelom, pa se u pravilu kod snimanja koristi tri ili više kamera. Čak i tada je moguć povremeni gubitak pozicije markera, pa se onda naknadno računski aproksimiraju njihove pozicije. Na slijedećoj slici dat je shematski prikaz rasporeda markera kada se želi snimiti gibanje čitavog tijela:

92

Slika 6.14: Raspored markera i spojne crte među njima prema [74] Prilikom prikupljanja mjernih podataka koji su korišteni u ovom radu, upotrebljen je reducirani set markera (15-16, 18-19, 20-21, 22-23, 24-25), što je dovoljno za analizu gibanja donjih ekstremiteta. Prilikom čitavog procesa mjerenja bitno je da se tijelo ispitanika zadržava u referentnom koordinatnom sustavu, jer je tako moguće odrediti relativne pozicije markera u odnosu na ishodište tog sustava. Ovisno o vrsti gibanja potreban je manji ili veći koordinatni sustav. Tako je na primjer za analizu ljudskog hoda potreban referentni koordinatni sustav puno manjih dimenzija nego za analizu gibanja sportaša koji izvodi troskok. S druge strane sunčeva svjetlost ograničava korištenje fluorescentnih markera i CCD kamera na zatvorene prostore s kontroliranim izvorima osvjetljenja, tako da u nekim slučajevima treba koristiti druge metode registracije pokreta, na primjer pomoću video snimki ili magnetskih markera. Povećanjem koordinatnog sustava moraju se povećati i dimenzije kalibracijskog modela, što opet umanjuje fleksibilnost samog kalibracijskog procesa. Zbog toga je u

93

takvim slučajevima prikladno koristiti više susjednih koordinatnih sustava, od kojih svaki ima svoj set pridruženih kamera, a ispitanik prilikom mjerenja prelazi iz jednog sustava u drugi. Referentni koordinatni sustav predstavlja radni volumen u kojem se obavlja snimanje. Na slijedećoj slici dat je shematski prikaz radnog volumena i snimanja gibanja pomoću dvije kamere:

Slika 6.15: Radni volumen i snimanje ispitanika prema [74] Na slijedećoj slici prikazan je ispitanik u momentu prelaska preko reakcijske ploče.

94

Na njegovom tijelu učvršćeni su fluorescentni markeri čije se pozicije snimaju CCD kamerama od kojih se dvije vide u pozadini. U pozadini se također vidi ELITE sustav s monitorom. Na podu su nalijepljene trake koje olakšavaju ispitaniku zadržavanje željenog smjera gibanja. U ovom slučaju radni volumen predstavlja dio sportske dvorane u sklopu Kineziološkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.

Slika 6.16: Mjerenje ELITE sustavom

95

Na ELITE sustavu moguće je naknadnom analizom prikazati gibanje ispitanika kako u ravninama, tako i u prostoru. Na slijedećoj je slici prikazan žičani model ispitanika u frontalnoj i sagitalnoj ravnini:

Slika 6.17: Grafički prikaz modela ispitanika u projekcijskim ravninama Prilikom razvoja kinematičkih i dinamičkih modela gibanja ljudskog tijela ili pojedinih njegovih segmenata javlja se potreba za njihovom verifikacijom. ELITE sustav se može koristiti u takvim slučajevima. Grafovi funkcija dobijenih razvojem matematičkih modela mogu se usporediti sa grafovima koji opisuju gibanja markera, dobijenih njihovim snimanjem pomoću ELITE.

96

Tako je u [100] matematički model gibanja ruke prilikom teniskog udarca vrednovan usporedbom sa mjernim rezultatima dobivenim snimanjem teniskog udarca pomoću ELITE. Na slijedećoj slici je prikazano gibanje markera u sagitalnoj ravnini prilikom normalnog podizanja tereta iz čučnja:

Slika 6.18: Trajektorije markera prilikom podizanja tereta Na temelju takvih analiza mogu se odrediti anomalije u hodu nastale uslijed nepravilnih pokreta, ozljeda, ili anomalija u radu pojedinih mišića i živaca. Pomoću metoda inverzne dinamike moguće je također izračunati i zakretne momente u zglobovima. Već je i intuitivno jasno da promjene u načinu rotacije pojedinog zgloba uzrokuju promjene u načinu gibanja čitavog antropodinamičkog sustava. Na temelju podataka koji se dobijaju od ELITE, a koji se prikazuju u formi krivulja koje opisuju promjene pojedinih kuteva rotacije za svaki zglob posebno, u pravilu je potrebno ekspertno znanje kako bi se sa zadovoljavajućom točnošću mogle odrediti sve anomalije u gibanju i njihovi uzroci.

97

Zbog toga se u ovom radu i predlaže metoda koja bi mogla na relativno brz i nezahtjevan način registrirati promjene u načinu gibanja, uzrokovane nekim od prethodno navedenih uzroka. Ona se zasniva na analizi promjena svojstvenih vrijednosti matrica evolucijskih operatora tenzora tromosti, uzrokovanih prethodno navedenim razlozima. U tu svrhu sniman je pomoću ELITE hod mjerenog subjekta četiri puta. Prva dva puta sniman je normalan hod, pri čemu je prvi put iskoračaj bio desnom nogom, a drugi put lijevom. Zatim su obavljena druga dva snimanja, sa istom shemom iskoračaja kao i u slučaju normalnog hoda, ali ovaj put uz simulirano antalgično šepanje. Na temelju tako utvrđenih rotacijskih kuteva generirane su matrice evolucijskih operatora tenzora tromosti, te su izračunate njihove svojstvene vrijednosti i inverzije tih vrijednosti. Provedena je usporedba dobijenih rezultata za razne načine hoda, te je vrednovan rezultat tih promjena na veličine svojstvenih vrijednosti. Na slijedećim grafikonima prikazani su rotacijski kutevi za pojedine zglobove i načine hoda, dobijeni snimanjem pomoću ELITE:

98

Slika 6.19: Rotacijski kutevi desnog kuka pri normalnom hodu, iskorak desnom nogom

Slika 6.20: Rotacijski kutevi desnog kuka pri normalnom hodu, iskorak lijevom nogom

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

ab/adduction

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

ab/adduction

99

Slika 6.21: Rotacijski kutevi desnog kuka pri simuliranom hodu, iskorak desnom nogom

Slika 6.22: Rotacijski kutevi desnog kuka pri simuliranom hodu, iskorak lijevom nogom

-10

0

10

20

30

40

50

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

ab/adduction

-10

0

10

20

30

40

50

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

ab/adduction

100

Slika 6.23: Rotacijski kutevi lijevog kuka pri normalnom hodu, iskorak desnom nogom

Slika 6.24: Rotacijski kutevi lijevog kuka pri normalnom hodu, iskorak lijevom nogom

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

ab/adduction

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

ab/adduction

101

Slika 6.25: Rotacijski kutevi lijevog kuka pri simuliranom hodu, iskorak desnom nogom

Slika 6.26: Rotacijski kutevi lijevog kuka pri simuliranom hodu, iskorak lijevom nogom

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

ab/adduction

-10

0

10

20

30

40

50

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

ab/adduction

102

Slika 6.27: Rotacijski kutevi desnog koljena pri normalnom hodu

Slika 6.28: Rotacijski kutevi lijevog koljena pri normalnom hodu

-40

-20

0

20

40

60

80

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

valgus/varus

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki k

ute

vi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

valgus/varus

103

Slika 6.29: Rotacijski kutevi desnog koljena pri simuliranom hodu

Slika 6.30: Rotacijski kutevi lijevog koljena pri simuliranom hodu

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

valgus/varus

-60

-40

-20

0

20

40

60

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

valgus/varus

104

Slika 6.31: Rotacijski kutevi gornjeg zgloba desnog stopala pri normalnom hodu

Slika 6.32: Rotacijski kutevi gornjeg zgloba desnog stopala pri simuliranom hodu

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

dorsi/plantarflex

progresija

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

dorsi/plantarflex

progresija

105

Slika 6.33: Rotacijski kutevi gornjeg zgloba lijevog stopala pri normalnom hodu

Slika 6.34: Rotacijski kutevi gornjeg zgloba lijevog stopala pri simuliranom hodu

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

dorsi/plantarflex

progresija

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

rota

cijs

ki

ku

tevi

redni broj uzorkovanja

dorsi/plantarflex

progresija

106

6.4. Generiranje inercijalnih spektara Generiranje matrica evolucijskih operatora provedeno je na računalu pod Unix operacijskim sustavom. Program iz rotacijskih kuteva dobijenih od ELITE sustava računa rotacijske matrice za desni i lijevi kuk, desno i lijevo koljeno, desni i lijevi skočni zglob, te pomoću njih generira pripadne tenzore tromosti. Također se generira, a na temelju jednadžbe (4.58), tenzor tromosti donjeg dijela trupa kao suma prethodno navedenih 6 tenzora. Iz tako dobivenih tenzora tromosti generiraju se pripadne matrice evolucijskih operatora tenzora tromosti. Na CD-u koji je priložen uz ovaj rad se nalazi izvorni kod (engl. source code) programa napisan u ANSI C programskom jeziku. Prevođenjem (engl. compiling) programa na računalu koje podržava ANSI C moguće je dobiti izvršni kod (engl. binary). Pokretanjem tog koda generiraju se matrice i spremaju u datoteke. Pomoću FTP-a (File Transfer Protocol) datoteke su prebacuju na osobno računalo i na njemu računaju inverzne svojstvene vrijednosti matrica, njihove amplitude i faze, te realni i imaginarni dijelovi. Računanje se provodi pomoću Scilab matematičkog programskog paketa, čije inačice postoje za Linux, MS Windows i Unix operacijske sustave i mogu se učitati sa http:/scilabsoft.inria.fr internet adrese.

Odnos između svojstvenih vrijednosti karakteristične determinante det(A - E) i

spektralne determinante det(E - μA) je /1 . Program napisan u Scilab-u računa

svojstvene vrijednosti , a iz njih inverzne vrijednosti . Iz inverznih vrijednosti

generiraju se grafovi amplituda i faza. Primjer Scilab programa koji računa inverzni fazni spektar matrice je: M=fscanfMat(’\directory\spectral_matrix.txt’) /učitavanje matrice

A=spec(M) /računanje svojstvenih vrijednosti

u=file('open', '\directory\eigenvalues.txt) /kreiranje datoteke

c=1

for i=1:300

c=atan(imag(1/A(i))/real(1/A(i))) /računanje faze inverzne

/svojstvene vrijednosti

write(u,c) /zapis rezultata

end

file(‘close’,u)

107

6.5. Svojstva inercijalnih spektara Na slijedećoj je slici dat prikaz inverznih vrijednosti amplitude i faze spektra matrice evolucijskog operatora tenzora tromosti desne natkoljenice za slučaj normalnog hoda i iskoraka desnom nogom:

Slika 6.35: Amplituda i faza spektralne matrice desne natkoljenice Amplituda ima vrijednost 1 u čitavom području spektra, dok faza dolazi u parovima jednakih veličina, od kojih jedna ima pozitivan, a druga negativan predznak. Realni i imaginarni dijelovi inverznih svojstvenih vrijednosti se javljaju u trojkama. Kod realnih dijelova svaka uzastopna trojka se sastoji od tri jednaka broja, dok su kod imaginarnih dijelova trojke također sastavljene od tri jednaka broja, pri čemu im predznaci alterniraju sa plus, minus, plus sekvencom.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 241 257 273 289

svojstvena vrijednost

amplituda

faza

108

Na slijedećoj su slici za slučaj normalnog hoda pri iskoraku desnom nogom prikazani spektri generirani za desnu natkoljenicu:

Slika 6.36: Spektar desne natkoljenice Iz prethodnog grafa je vidljivo da se imaginarni dio spektra zbog svog alternirajućeg svojstva predstavlja kao šum u čitavom dijelu spektra. Nadalje, numeričkom analizom spektra je ustanovljeno da se točke infleksije funkcije koja opisuje realni dio spektra podudaraju sa točkama maksimuma i minimuma funkcije koja opisuje imaginarni dio spektra. Zbog toga je u daljnjoj analizi korišten isključivo realni dio spektra. Na slijedećoj slici prikazan je za isti primjer desne natkoljenice realni dio spektra zajedno sa rotacijskim kutevima fleksije/ekstenzije, rotacije i ab/adduction izraženim u radijanima:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253 271 289

svojstvena vrijednost

realni dio spektra

imaginarni dio spektra

109

Slika 6.37: Varijacije rotacijskih kuteva desne natkoljenice i pripadni spektar. S ciljem grafičke poredbe spektra sa rotacijskim kutevima, prikazana je svaka treća njegova vrijednost. Zamjetno je da su promjene spektra približno najveće u drugoj trećini intervala uzorkovanja, te da su i promjene rotacijskih kuteva, a samim tim i komponenti tenzora tromosti, najveće u tom intervalu. Na temelju takvog opažanja se može postaviti fizikalna interpretacija evolucijskog operatora tenzora tromosti i njegovog spektra: Evolucijski operator tenzora tromosti nekog krutog tijela je veličina koja opisuje vremenske promjene tenzora tromosti tog tijela prilikom njegovog gibanja u prostoru, a promjene u spektru evolucijskog operatora su to veće što je veća brzina promjene njemu pripadnog tenzora tromosti. Ovako postavljena fizikalna interpretacija evolucijskog operatora tenzora tromosti je u potpunom skladu sa njegovom matematičkom definicijom (5.59), gdje je on definiran kao veličina koja opisuje promjene tenzora tromosti u nekom konačnom vremenskom intervalu promatranja. Tenzor tromosti određen je sa devet komponenti, i promjena svake od tih komponenti pridonosi promjeni spektra njemu pripadnog evolucijskog operatora. Zbog preglednosti su na slijedećoj slici prikazani samo glavni momenti tenzora tromosti desne natkoljenice računati na temelju prethodno prikazanih rotacijskih kuteva, zajedno sa spektrom njegovog evolucijskog operatora.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100

rota

cijs

ki

kute

vi

nat

ko

ljen

ice

redni broj uzorkovanja

fleksija/ekstenzija

rotacija

ab/adduction

realni dio spektra

110

Slika 6.38: Dinamički momenti tromosti desne natkoljenice i pripadni spektar. S ciljem grafičke poredbe spektra sa rotacijskim kutevima, prikazana je svaka treća vrijednost realnog dijela spektra. Utvrđeno je da je gornji oblik spektralne krivulje sličan za sve ELITOM mjerene segmente i sve načine hoda. Krivulja uvijek u ishodištu ima vrijednost -1, poprima vrijednost nula u sredini intervala uzorkovanja i na kraju završava sa vrijednošću +1. Također je utvrđeno da redukcijom dimenzije spektralne matrice varijacije spektra postaju sve izraženije. Redukciju provodimo kako slijedi: Rang potpune matrice spektralnog operatora tenzora tromosti definiranog u ovom radu iznosi 300 . Ona je kvadratna matrica sa 300300x elemenata. Nazovimo njen prvi

element na glavnoj dijagonali početnim elementom, s koordinatama (1,1). Tada možemo definirati reduciranu spektralnu matricu kao matricu s početnim

elementom ),( mm , gdje je m redni broj početnog elementa, a njen rang n , 300n .

Na slijedećoj slici su prikazani spektri desne natkoljenice za slučaj normalnog hoda i iskoraka desnom nogom u ovisnosti o redukciji spektralne matrice. Računate su

inverzne svojstvene vrijednosti potpune spektralne matrice )300;1( nm , te

reduciranih spektralnih matrica )180;21( nm , )60;41( nm i )30;46( nm .

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96

redni broj uzorkovanja

Ixx

Iyy

Izz

spektar

111

Slika 6.39: Spektri reduciranih spektralnih matrica desne natkoljenice. Smanjenjem ranga reduciranih matrica povećava se razlika u vrijednostima među susjednim šestorkama. Kod ranga 60n počinje se javljati i razlika u vrijednostima članova istih šestorki. Daljnjim smanjivanjem ranga prestaje vrijediti pravilo šestorki, počinju se javljati trojke, a razlike među članovima iste trojke se povećavaju. Ovo svojstvo reduciranih matrica je korišteno da bi se pri raznim načinima hoda ispitale razlike u spektrima desne i lijeve natkoljenice, te čitavog donjeg dijela trupa. Pri tome su računati spektri reduciranih matrica ranga 60, jer se pokazuje da su kod tog broja promjene u spektrima zamjetne, a broj izračunatih inverznih svojstvenih vrijednosti dovoljan za utvrđivanje spektralnih razlika. Za redni broj početnog elementa je uzeta vrijednost 30, jer su nakon njega promjene u spektrima najizraženije. To je u skladu s opažanjem na slici 6.37, gdje se glavni momenti tromosti natkoljenice počimaju najbrže mijenjati nakon 30-tog intervala uzorkovanja. Tako dobiveni spektri karakteriziraju promjene tenzora tromosti u intervalu uzorkovanja (30-50). Komparacija dvaju tenzora tromosti zbog relativno velikog broja komponenti može biti dosta otežana. Tako je na slijedećoj slici dat prikaz dinamičkih momenata tromosti desne i lijeve natkoljenice za slučaj normalnog hoda i iskoraka desnom nogom:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28

svojstvena vrijednost

spek

tar

desn

e n

atk

olj

en

ice

rang 100

rang 60

rang 20

rang 10

112

Slika 6.40: Dinamički momenti tromosti desne i lijeve natkoljenice. Intervalu uzorkovanja [31-51] na prethodnoj slici odgovara reducirana spektralna matrica sa početnim elementom (31,31) i rangom 60. Njen spektar sadržava 60 svojstvenih vrijednosti. Na slijedećoj slici su prikazani spektri reducirane matrice za desni i lijevi kuk kod normalnog hoda:

Slika 6.41: Spektri )60,31( nm reduciranih matrice desne i lijeve natkoljenice za

slučaj normalnog hoda. Vidljive su oscilacije u spektrima desne i lijeve natkoljenice. Kod lijeve natkoljenice maksimalna oscilacija iznosi oko 1.25, dok je kod desne natkoljenice ona manja i iznosi približno 0.75. To ukazuje na činjenicu da je gibanje desne natkoljenice u ispitivanom slučaju bilo ravnomjernije od lijeve.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100

redni broj uzorkovanja

Ixx_desno

Iyy_desno

Izz_desno

Ixx_lijevo

Iyy_lijevo

Izz_lijevo

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55

svojstvena vrijednost

realn

i d

io s

pek

tra

desna

natkoljenica

lijeva

natkoljenica

113

Već kod reducirane matrice )60;41( nm , dakle u intervalu mjerenja (41-61),

oscilacije u spektrima desne i lijeve natkoljenice postaju mnogo manje, u skladu sa promjenama rotacijskih kuteva i tenzora tromosti, koje su sporije nego u intervalu mjerenja (31-51):

Slika 6.42: Spektri )60;41( nm reduciranih spektralnih matrica desne i lijeve

natkoljenice za slučaj normalnog hoda. Oscilacije u spektrima desne i lijeve natkoljenice su manje nego u prethodnom slučaju, i one ne prelaze vrijednost 0.5. Na slijedećoj slici prikazani su spektri desne natkoljenice, za slučajeve normalnog hoda i antalgičnog šepanja:

Slika 6.43: Spektri )60,31( nm reducirane spektralne matrice desne natkoljenice za

slučaj normalnog hoda i antalgičnog šepanja. Kod normalnog hoda rast funkcije od drugog lokalnog minimuma do vrijednosti nula je jednoličniji nego kod antalgičnog šepanja.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55

svojstvene vrijednosti

spek

tar

desna

natkoljenica

lijeva

natkoljenica

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55

svojstvene vrijednosti

spek

tar

normalni hod

antalgično

šepanje

114

Metoda razlikuje promjene tenzora tromosti uslijed različitog iskoraka. Tako su na slijedećoj slici prikazani spektri desne natkoljenice za slučaj normalnog hoda kod desnog i lijevog iskoraka:

Slika 6.44: Spektri )60;31( nm reducirane spektralne matrice desne natkoljenice

kod normalnog hoda za slučajeve desnog i lijevog iskoraka

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55

svojstvene vrijednosti

spek

tar

lijevi iskorak

desni iskorak

115

Na slijedećoj slici prikazani su spektri donjeg dijela trupa za normalni hod i antalgično šepanje:

Slika 6.45: Spektri donjeg dijela trupa kod normalnog hoda i antalgičnog šepanja. Uočava se da je kod normalnog hoda porast spektra jednoličniji nego kod antalgičnog šepanja. Kod normalnog hoda najveća razlika između maksimuma i njemu susjednog minimuma ne prelazi vrijednost 1.25, dok je kod antalgičnog šepanja ona zamjetno veća, i prelazi vrijednost 1.75. Upravo su oscilacije spektara mjera za “normalnost” nekog hoda. Što su oscilacije spektralne krivulje manje a njen rast jednoličniji, hod je ravnomjerniji, normalniji. I obrnuto, izražene oscilacije u spektrima ukazuju na činjenicu da s hodom nešto nije u redu.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55

svojstvene vrijednosti

spek

tar

normalni hod

antalgično

šepanje

116

7. ZAKLJUČAK Na temelju teorije spektralnih operatora razvijeni su u ovom radu izrazi za evolucijske operatore relativnog gibanja i tenzora tromosti. Mjerenjem hoda na mjerenom subjektu ELITE sustavom, te naknadnom analizom utvrđenih rezultata na računalu provedeno je vrednovanje teorijskih rezultata i hipoteza postavljenih u ovom radu. Utvrđeno je da je sam oblik spektralne krivulje sličan za sve mjerene segmente i sve načine hoda. Krivulja uvijek u ishodištu ima vrijednost -1, poprima vrijednost nula u sredini intervala uzorkovanja i na kraju završava sa vrijednošću +1. Rezultati analize su pokazali da spektri evolucijskog operatora variraju kako za razne segmente donjeg dijela trupa, tako i za razne načine hoda, bilo da je riječ o normalnom hodu i simuliranom antalgičnom šepanju, ili o hodu gdje se prvi korak provodi lijevom, odnosno desnom nogom. Varijacije u spektrima se očituju u lokalnim oscilacijama spektralnih krivulja. Opaženo je da je veličina oscilacija spektralnih krivulja u direktnoj vezi sa brzinom promjene dinamičkih momenata tromosti. Što su te promjene veće, veće su i oscilacije spektralnih krivulja. Nadalje je opaženo da su oscilacije u spektrima to manje što je hod ravnomjerniji i bliži normalnom, dok je kod simulacije antalgičnog šepanja utvrđen značajan porast tih oscilacija. Također je utvrđeno da smanjivanjem dimenzije spektralne matrice oscilacije njenog spektra postaju sve veće. To je posljedica same strukture spektralne matrice, koja ima relativno mali omjer elemenata različitih od nule u odnosu na elemente koji su jednaki nuli. Smanjivanjem dimenzije taj se omjer povećava, pa raste doprinos elemenata različitih od nule. Osjetljivost same spektralne metode govori u prilog osnovnoj hipotezi ovog rada koja tvrdi da se vrlo male promjene inercijalnih parametara mogu registrirati kao promjene na razini čitavog sustava, u spektralnim značajkama evolucijskih operatora. Vremenska analiza inercijalnih svojstava nekog sustava se svodi na analizu komponenti njegovog tenzora tromosti. Tenzor tromosti je jednoznačno određen sa devet vremenski zavisnih komponenti, tako da se usporedba inercijalnih svojstava dvaju sustava svodi na traženje korelacije između komponenti tenzora tromosti tih sustava. Zbog relativno visokog broja komponenti taj posao je složen, a teško je i vrednovati udio promjene pojedine komponente na promjenu inercijalnih svojstava sustava.

117

Inercijalni je spektar s druge strane jedinstvena veličina u kojoj je sadržana informacija o vremenskim promjenama inercijalnih svojstava promatranog sustava. Ona je jednoznačno određena svojom realnom i imaginarnom komponentom. Skladno tome, daleko je jednostavnije utvrditi korelaciju između njene promjene i promjene inercijalnih svojstava sustava, nego što je to slučaj kod analize pripadnog tenzora tromosti. Predložena metoda spektralne analize antropodinamičkih sustava pruža niz mogućnosti praktične primjene. Statističkim usrednjavanjem rezultata utvrđenim nizom mjerenja moguće je dobiti karakteristične krivulje inercijalnih spektara za pojedine osobe, što pruža mogućnost njihovog djelotvornog prepoznavanja u prostoru i vremenu. Na sličan način moguće je dobiti krivulje koje karakteriziraju bilo normalne, bilo optimalne pokrete, što pruža mogućnost korištenja ove metode u sportu i medicini. Jedna od najzanimljivijih mogućnosti je optimiranje pokreta u sportu, pri radu ili medicinskoj rehabilitaciji, i moguće je putem semidefinitnog programiranja tražiti optimalne pokrete prilagođavajući izmjerene spektre onima koji odgovaraju optimalnim pokretima. S druge strane, sam proces semidefinitnog programiranja je izvanredno zahtjevan na računalne resurse, i kako napredni algoritmi, tako i brza računala, ključni su parametri koji mogu odrediti uspjeh takvog pristupa.

118

Literatura [1] K. Akita, Image sequence analysis of real world human motion, Pattern Recognition, 17(1):73-83,1984. [2] I. Alfirević, Uvod u tenzore i mehaniku kontinuuma, Golden marketing, Zagreb, 2003. [3] F. Alizadeh, “Interior point methods in semidefinite programming with applications to combinatorial optimization”, SIAM J. Optimization, 5 (1995), 13-51. [4] F. C. Anderson, M. G. Pandy, A dynamic optimization solution for vertical jumping in three dimensions. Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering 2, 201-231, 1999. [5] A. Azarbayejani, A. Petland, Real-time self-calibrating stereo person tracking using 3-[d] shape estimation from blob features, In Proc. Of Intl. Conf. on Pattern Recognition, 627-632, Vienna, Austria, August 1996. [6] P. Baerlocher, Inverse Kinematics Techniques for the Interactive Posture Control of Articulated Figures, These No 2383 (2001), Lausanne, EPFL, 2001. [7] Z. Ball , J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, H. van der Vorst, editors, Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide, SIAM, Philadelphia, 2000. [8] A. G. Bharatkumar, K. E. Daigle, M. G. Pandy, Q. Cai, J. K, Aggarwal, Lower limb kinematics of human walking with the medial axis transformation, In Proc. of IEEE Computer Society Workshop on Motion of Non-Rigid and Articulated Objects, 70-76, Austin, TX, 1994. [9] J. Bjornstrup, estimation of human body segment parameters – historical background, Technical report, Laboratory of Image Analysis, Institute of Electronic Systems, Aalborg University, 1995. [10] A. F. Bobick, A. D. Wilson, A state-based technique for the summarization and recognition of gesture, In Proc. Of 5th Intl. Conf. on Computer Vision, 382-388, 1995. [11] A. F. Bobick, J. Davis, Real-time recognition of activity using temporal templates, In Proc. of IEEE Computer Society Workshop Applications on Computer Vision, 39-42, Saratoga, FL., 1996.

119

[12] Q. Cai, A. Mitchie, J. K. Aggarwal, Tracking human motion in an indoor environment, In Proc. of 2nd Intl. Conf. on Image Processing, volume 1, 215-218, Washington, D.C., October 1995. [13] Q. Cai, J. K. Aggarwal, Tracking human motion using multiple cameras, In Proc. Of Intl. Conf. on Pattern Recognition, 68-72, Vienna, Austria, August 1996. [14] L. W. Campbell, A. F. Bobick, Recognition of human body motion using phase space constraints, In Proc. Of 5th Intl. Conf. on Computer Vision, 624-630, 1995. [15] J. H. Challis, A procedure for determining rigid body transformation parameters, J. Biomechanics 28, (1995), 733-737. [16] J. H. Challis, Precision of Human Body Segment Inertial Parameters, 21. Annual Meeting of the American Society of Biomechanics, Clemson University, September 24-27, South Carolina, 1997. [17] R. F. Chandler, C. E. Clauser, J. T. McConville, H. M. Reynolds, J. W. Young, Investigation of inertial properties of the human body, Technical Report DOT HS-801 430, Aerospace Medical Research Laboratory, Wright-Patterson Air Force Base, OH, March 1975. [18] Z. Chen, H. J. Lee, Knowledge-guided visual perception of 3D human gait from a single image sequence, IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, 22(2):336-342, 1992. [19] C. E. Clauser, J. T. McConville, J. W. Young, Weight, volume, and center of mass of segments of the human body. Technical Report AMRL-TR-69-70 (AD-710 622), Aerospace Medical Research Laboratory, Aerospace Medical Division, Air Force Systems Command, Wright-Patterson Air Force Base, OH, August 1969. [20] P. Cvitanović, R. Artuso, R. Mainieri, G.Vatay, Classical and quantum chaos, http://www.nbi.dk/ChaosBook/, Copenhagen, Niels Bohr Institute, 2000. [21] R.B. Davis III, S. Ounpuu, D. Tyburski, J.R. Gage, A gait analysis data collection and reduction technique, Human Movement Science 10 (1991) 575-587, North-Holland. [22] B. P. Demidovich, I. A. Maron, Computational mathematics, Moscow, Mir Publishers, 1981. [23] W. T. Dempster, The anthropometry of body action, Annals New York Academy of Sciences, 63:559-585, 1956.

120

[24] M. Dillon, Biomechanical Models for the Analysis of Partial Foot Amputee Gait, Ph.D. thesis, Queensland University of Technology, Brisbane, Queensland, Australia, April, 2001. [25] J. Dingwell, J. Ulbrecht, D. Sternad. P. Cavanagh, Variability of neuropathic and non-neuropathic subjects walking on a motorized treadmill, presented at the 21st annual meeting of the American Society of Biomechanics, Clemson University, South Carolina, Sep. 24-27, 1997. [26] J. Donelan, R. Kram, The effect of reduced gravity on the kinematics of human walking: a test of the dynamic similarity hypothesis for locomotion, The Journal of Experimental Biology 200, 3193-3201, 1997. [27] J. Donelan, R. Kram, A. Kuo, Simultaneous positive and negative mechanical work in human walking, Journal of Biomechanics 35 (2002), 117-124. [28] J. Donelan, R. Kram, A. Kuo, Mechanical work for step-to-step transitions is a major determinant of the metabolic cost of human walking, Journal of Experimental Biology 205, 3717-3727, 2002. [29] R. Drillis, R. Contini, Body segment parameters, Technical Report 1166-03, New York University, School of Engineering and Science, Research Division, New York, under contract with Office of Vocational Rehabilitation, Department of Health, Education and Welfare, September 1966. [30] J. Durkin, J. Dowling, D.Andrews, The measurement of body segment inertial parameters using dual energy X-ray absorptiometry, Journal of Biomechanics 35 (2002) 1575–1580 [31] F. Faure, G. Debunne, M. Cani, F. Multon, Dynamic analysis of human walking,8th Eurographics Workshop on Computer Animation and Simulation , Sep. 1997. [32] P. Fua, R. Plänkers, and D. Thalmann, Realistic Human Body Modeling. In Fifth International Symposium on the 3-D Analysis of Human Movement, Chattanooga, TN, July 1998. [33] N. H. Goddard, Incremental model-based discrimination of articulated movement from motion features. In Proc. of IEEE Computer Society Workshop on Motion of Non-Rigid and Articulated Objects, 89-95, Austin, TX, 1994. [34] L. Goncalves, E. D. Bernardo, E. Ursella, P. Perona, Monocular tracking of the human arm, in 3d. In Proc. of 5th Intl. Conf. on Computer Vision, 764-770, Cambridge, MA, 1995. [35] M. A. Gray, An analytic study of man’s inertial properties, Master’s thesis, Air Force Institute of Technology, Wright-Patterson Air Force Base, OH, 1963.

121

[36] P. R. Halmos, Finite dimensional vector spaces, New York, Van Nostrand, 1958. [37] E. P. Hanavan. A mathematical model of the human body. Technical Report TR-64-102 (AD 608463), Aerospace Medical Research Laboratory, Wright- Patterson Air Force Base, OH, 1964. [38] H. Hatze, Quantitative analysis, synthesis and optimization of human motion, Human Movement Science 3, 5-25, 1984. [39] H. Hatze, Motion variability - its definition, quantification, and origin, Journal of Motor Behavior 18, 5-16, 1986. [40] H. Hatze, Hyposensitivity of skeletal motions to neural control perturbations – a challenging concept in neuromuscular control. In: S. Kornecki (Ed.), The Problem of Muscular Synergism, Wydawnictwo, Wroclaw, Poland, 1988. [41] H. Hatze, Muskelmechanische Aspekte eines 3D Large-Scale Simulationsmodells des mensclichen neuromuskuloskaelettaeren Systems. In Oesterr. Zeitschrift f. Physik, Medizin u. Rehabilitation 7 (Suppl. 2), 9-15, 1997. [42] H. Hatze, An efficient simulation method for discrete-value controled large-scale neuromyoskeletal system models, Journal of Biomechanics 34, (2001), 267-271. [43] H. Hatze, The fundamental problem of myoskeletal inverse dynamics and its implications, Journal of Biomechanics 35, (2002), 109-115. [44] C. Helmberg, An Interior Point Method for Semidefinite Programming and Max-Cut Bounds, Ph.D. Thesis, Graz University of Technology, 1995. [45] D. Hogg, Model-based vision: a program to see a walking person. Image and Vision Computing, 1(1):5-20, 1983. [46] E. Huber, 3D real-time gesture recognition using proximity space, In Proc. of Intl. Conf. on Pattern Recognition, pages 136-141, Vienna, Austria, August 1996. [47] A. F. Huxley, Muscular contraction, Journal of Physiology 243, 1-43, 1974. [48] S. S. Intille, A. F. Bobick, Closed-world tracking, In Proc. Of Intl. Conf. Comp. Vis., 672-678, 1995. [49] A. Iosevich, N.H. Katz, T. Tao, Convex Bodies with a Point of Curvature do not Have Fourier Bases, 23. Nov., http://arXiv.org/abs/math.CA/9911167/ [50] R. Jain, K. Wakimoto, Multiple perspective interactive video, In Proc. Of Intl. Conf. on Multimedia Computing and Systems, 202-211, 1995.

122

[51] R. K. Jensen, Estimation of the biomechanical properties of three body types using a photogrammetric method, J. Biomechanics, 11:349-358, 1978. [52] G. Johansson, Visual motion perception, Sci. American, 232(6):76-88, 1975. [53] I. A. Kakadiaris, D. Metaxas, R. Bajcsy, Active part-decomposition, shape and motion estimation of articulated objects: A physics-based approach. In Proc. CVPr, 980-984, Seattle, WA, 1994. [54] I. A. Kakadiaris, D. Metaxas, 3d human body model acquisition from multiple views. In Proc. of 5th Iintl. Conf. on Computer Vision, 618-623, 1995. [55] I. A. Kakadiaris, D. Metaxas, Model based estimation of 3D human motion with occlusion based on active multi-viewpoint selection, In Proc. Of IEEE Comp. Soc. Conf. on Computer Vision and Pattern Recognition, 81-87, San Francisco, CA, 1996. [56] D. C. Kay, Theory and Problems of Tensor Calculus, McGraw-Hill, New York, 1988. [57] B. W. Kernighan, D. M. Ritchie, The C Programming language, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1979. [58] R. Kram, T. Griffin, J. Donelan, Y. Chang, Force treadmill for measuring vertical and horizontal ground reaction forces, special communication, American Physiological Society, 1998. [59] R. Kübler, W.Schiehlen, Virtual Assembly of Multibody Systems, SACTA, Vol.3, No.3, 2000. [60] S. Kuakake, R. Nevatia, Description and tracking of moving articulated objects, In 11th Intl. Conf. on Pattern Recognition, volume 1, 491-495, Hague, Netherlands, 1992. [61] S. Kurepa, Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1990. [62] Y. H. Kwon, Effects of the method of body segment parameter estimation on airborne angular momentum, Journal of Applied Biomechanics 12, 413-430, 1996. [63] W. H. Kwon, Mechanical Basis of Motion Analysis, http://kwon3d.com/theories.html [64] W. H. Kwon, Theories and Practices of Motion Analysis, http://kwon3d.com/theories.html

123

[65] Q. Ladetto, V. Gabaglio, B. Merminod, Combining Gyroscopes, Magnetic Compass and GPS for Pedestrian Navigation, International Symposium on Kinematic Systems in Geodesy, Geomatics and Navigation (KIS 2001), Banff, Canada, June 5-8, 2001., 205-212. [66] Q. Ladetto, Capteurs et algorithmes pour la localisation autonome en mode pédestre, PhD dissertation no 2710, EPFL, 18 December 2002. [67] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press, 1969. [68] C. G. Langton, Computation at the edge of chaos: phase transitions and emergent computation. Physica D 1990, 42(1-3), 12-37. [69] M. K. Leung, Y. H. Yang, First sight: A human body outline labeling system, IEEE Trans. on PAMI, 17(4):359-377, 1995. [70] A.S. Lewis, M.L. Overton, “Eigenvalue optimization”, Acta Numerica, 149-190, 1996. [71] J. Liu, K. Abdel-Malek, On the Problem of Scheduling Parallel Computations of Multibody Dynamic Analysis, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 121, No. 3, (1999) 370-376. [72] R. Malladi, J. A. Sethian, B. C. Vemuri, Shape modeling with front propagation: A level set approach, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 17(2), 158-175. [73] A. Minetti, R. Alexander, A Theory of Metabolic Costs for Bipedal Gaits, J. theor. Biol. (1997) 186, 467-476. [74] O. Muftić, M. Seif, Modeling of Biomechanical Systems, Hormozgan University Publication Centre, Bandar Abass Iran, 1988. [75] S.A. Niyogi, E.H. Adelson, Analyzing and recognizing walking figures in XYT, In Proc. CVPR, 469-474, Seattle, WA, 1994. [76] J. F. O'Brien, B. E. Bodenheimer, G. J. Brostow, J. K. Hodgins, "Automatic Joint Parameter Estimation from Magnetic Motion Capture Data." Proceedings of Graphics Interface 2000, Montreal, Quebec, Canada, May 15-17, 53-60. [77] Y. Okawa, S. Hanatani, Recognition of human body motions by robots, In Proc. IEEE/RSJ Intl. Conf. Intelligent Robots and Systems, 2139-2146, Raleigh, NC, 1992. [78] J. O’Rourke, N. I. Badler, Model-based image analysis of human motion using constraint propagation, IEEE Trans. PAMI, 2:522-536, 1980.

124

[79] M. G. Pandy, F. E. Zajac, E. Sim, W. S. Levine, An optimal control model for maximum-height human jumping. Journal of Biomechanics 23, 1185-1198, 1990. [80] R. Parent, K. Johnson, J. Chang, X. Fu, S. Varadarajan, Modeling Human Motion from Video for Use in Gait Analysis, AMIA 99 Annual Symposium. 1999. [81] M. Pavol, T. Owings, M. Grabiner, Body segment inertial parameter estimation for the general population of older adults, Journal of Biomechanics 35 (2002) 707–712. [82] F. J. Perales, J. Torres, A system for human motion matching between synthetic and real image based on a biomechanic graphical model, In Proc. of IEEE Computer Society Workshop on Motion of Non-Rigid and Articulated Objects, 83-88, Austin, TX, 1994. [83] R. Polana, R. Nelson, Low level recognition of human motion (or how to get your man without finding his body parts). In Proc. Of IEEE Computer Society Workshop on Motion of Non-Rigid and Articulated Objects, 77-82, Austin, TX, 1994. [84] L. Raghupathi, V. Cantin, F. Faure, M. Cani, Real-time Simulation of Self-collisions for Virtual Intestinal Surgery, Proceedings of the International Symposium on Surgery Simulation and Soft Tissue Modeling, 2003. [85] J. Rasmussen, V. Vondrak, M. Damsgaard, M. de Zee, S. T. Christensen, Z. Dostal, The Anybody Project – Computer Analysis of the Human Body, International Congress of Biomechanics - Biomechanics of Man 2002, November 13 - 15th, 2002. [86] J. M. Rehg, T. Kanade, Model-based tracking of self-occluding articulated objects, In Proc. of 5th Intl. Conf. on Computer Vision, 612-617, Cambridge, MA, 1995. [87] K. Rohr, Towards model-based recognition of human movements in image sequences, CVGIP: Image Understanding, 59(1):94-115, 1994. [88] M. Rossi, A. Bozzoli, Tracking and counting people, In 1st Intl. Conf. on Image Processing, 212-216, Austin, TX, November 1994. [89] I. Ruszkowski, Normalan i poremećen hod čovjeka, Jugoslavenska Medicinska Naklada, JUMENA, Zagreb, 1981. [90] K. Sato, T. Maeda, H. Kato, S. Inokuchi, CAD-based object tracking with distributed monocular camera for security monitoring, In Proc. 2nd CAD-Based Vision Workshop, 291-297, Champion, PA, February 1994.

125

[91] W. Schiehlen, C. Scholz, Step Size Control of Simulator Coupling for Multibody systems, Co-Simulation for Mechatronic Systems, Stuttgart, Germany. October 11, 2001. [92] J. Segen, S. Pingali, A camera-based system for tracking people in real time, In Proc. Of Intl. Conf. on Pattern Recognition, 63-67, Vienna, Austria, August 1996. [93] W. S. Selbie, G. E. Caldwell, A simulation study of vertical jumping from different starting postures. Journal of Biomechanics 29,1137 – 1146, 1996. [94] A. Shio, J. Sklansky, Segmentation of people in motion, In Proc. of IEEE Workshop on Visual Motion, IEEE Computer Society, 325-332, October 1991. [95] H. Soerensen, E. B. Simonsen, A. J. van den Bogert, Effect of muscle strength on long jump performance. Proceedings of the 17th International Symposium on Biomechanics in Sports, Edith Cowan University, Perth, 1999. [96] T. Spaegele, A. Kistner, A. Gollhofer, A multi-phase optimal control technique for the simulation of a human vertical jump. Journal of Biomechanics 32, 87-91, 1999. [97] T. Starner, A. Pentland, Visual recognition of American Sign Language using Hidden Markov Models. In Proc. Intl. Workshop on Automatic Face and Gesture Recognition, Zurich, Switzerland, June 1995. [98] P. Stoica, R. Moses, Introduction to Spectral Analysis, Prentice-Hall, NJ, 1997. [99] M. Suzuki, Y. Yamazaki, K. Matsunami, Simplified dynamics model of planar two-joint arm movements, Journal of Biomechanics 33 (2000) 925-931 [100] Z. Terze, D. Lefeber, O. Muftić, Null Space Integration Method for Constrained Multibody Systems with No Constraint Violation, Multibody Systems Dynamics 6: 229-243, 2001. [101] D.Thelena, F. Anderson, S. Delp, Generating dynamic simulations of movement using computed muscle control, Journal of Biomechanics 36 (2003) 321–328 [102] D. Tomić, Spectral performance analysis of parallel processing systems, Chaos, Solitons & Fractals, Volume 13, 1, 25-38, Jan., 2002. [103] M. Tsuruoka, R. Shibasaki, Y. Yasuoka, S. Murai, Spectral Analysis of Human Stability Using Time Series Data in Medicine, 12th IEEE Symposium on Computer-Based Medical Systems, June 18-20, 1999, Stanford, CN.

126

[104] M. Tsuruoka, R. Shibasaki, Y. Yasouka, S. Murai, S. Minakuchi, Y. Tsuruoka, Analysis of 1/f Fluctuation in Walking Using Gyro Sensor System, 13th IEEE Symposium on Computer-Based Medical Systems, June 23-24, 2000, Houston, TX. [105] R. Wagenaar, R. van Emmerik, Resonant freqquencies of arms and legs identify different walking patterns, Journal of Biomechanics 33 (2000), 853-861. [106] J. A. Webb, J. K. Aggarwal, Visually interpreting the motion of objects in space. IEEE Computer, 40-46, August 1981. [107] J.A. Webb, J.K. Aggarwal, Structure from motion of rigid and jointed objects, In Artificial Intelligence, volume 19, 107-130, 1982. [108] C. Wei, R. K. Jensen, The application of segment axial density profiles to a human body inertial model, J. Biomechanics, 28(1):103-108, 1995. [109 ] E. W. Weisstein, “Jacobian.” From MathWorld—A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/Jacobian.html [110] C. E. Whitsett, Some dynamic response characteristics of weightless man, Master of science thesis, Air Force Institute of Technology, Wright-Patterson Air Force Base, OH (AMRL-TR-63-18, AD 412 541), 1962. [111] C. Wren, A. Azarbayejani, T. Darrel, A. Pentland, Pfinder: Real-time tracking of the human body. In Proc. SPIE, Bellingham, WA, 1995. [112] C. Yam, M. Nixon, S. Mark, J. Carter, N. John N., Automated Markerless Analysis of Human Walking and Running by Computer Vision, In Proceedings World Congress on Biomechanics., 2002. [113] J. Yamato, J. Ohya, K. Ishii, Recognizing human action in time-sequential images using Hidden Markov Model. In Proc. IEEE Conf. CVPR, 379-385, Champaign, IL., June 1992. [114] V. M. Zatsiorsky, V. M. Seluyanov. The mass and inertia characteristics of the main segments of the human body. In Biomechanics VIII, volume 8, 152-1159. Matsui, Hideji, 1983. [115] V. B. Zordan, J. K. Hodgins, Tracking and modifying upper-body human motion data with dynamic simulation, Computer animation and simulation ’99, Eurographics Animation Workshop, Sept. 1999, Springer-Verlag, Wien, pp. 13-22. [116] V. B. Zordan, J. B., Hodgins, J. K., Motion capture-driven simulations that hit and react, ACM SIGGRAPH Symposium on Computer Animation, 2002.

127

Životopis

Rođen sam 25. travnja 1958. u Splitu. Osnovnu školu i klasičnu gimnaziju

završio sam u Splitu. Godine 1976. sam upisao Elektrotehnički fakultet Sveučilišta u Splitu, smjer Elektronika. Diplomirao sam 1981. na Elektrotehničkom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu. Slijedeće godine sam upisao poslijediplomski studij na istom fakultetu, smjer računarstvo, gdje sam magistrirao 1985. s temom “Modeli za vrednovanje svojstava višeprocesorskih sustava”. 1995. sam upisao dodiplomski studij poslovnog upravljanja na Fakultetu Elektrotehnike i Računarstva Sveučilišta u Zagrebu, gdje sam diplomirao 1996. Od 1982. do 1986. radim na poslovima sistemskog programiranja u tvornici telekomunikacijskih. uređaja “Nikola Tesla” u Zagrebu. Od 1986. do 1990. radim na poslovima razvoja u tvornici strojeva “Benninger” u Švicarskoj. Od 1990. do 2000. sam zaposlen kao sistem inženjer u tvrtki “Infosistem” u Zagrebu. Od 2000. do sada radim u tvrtki “Hewlett-Packard” kao tehnički savjetnik. 1986. mi je objavljen znanstveni rad pod naslovom “Modeli za vrednovanje svojstava višeprocesorskih sustava”, u Zborniku radova Mipro, 1986. 2002. mi je objavljen znanstveni rad pod naslovom “Spectral Performance Analysis of Parallel Processing Systems” u časopisu Chaos, Solitons and Fractals, izdavač Elsevier.

128

Biography

I was born on the 25th of April 1958 in Split, where I finished elementary and high school. In 1976 I started to attend Faculty of Electrical Engineering, University of Split, field of study: Electronic. I graduated at Faculty of Electrical Engineering, University of Zagreb, in 1981. Next year I started to attend postgraduate study at the same Faculty, field of study: Computing, where I finished my Master thesis in 1985 with the title: Models for the Performance Evaluation of Multiprocessor Systems. 1995 I started to attend diploma study of management at Faculty of Electrical Engineering, University of Zagreb, where I graduate next year, in 1996. From 1983 to 1986 I was working as a system programmer in the telecommunication factory “Nikola Tesla” in Zagreb. In 1986 I started to work with machine factory “Benninger” in Switzerland, where I designed software for numerical controlled machines and implemented various sensor techniques. From 1990 until 2000 I was employed as a system engineer in “Infosistem”, Zagreb. Currently I am working as a technical consultant by “Hewlett-Packard”. In 1986 my paper entitled “The Models for the Performance Evaluation of Multiprocessor Systems” was published in the Mipro Proceedings, Opatija. In 2002. my paper entitled “Spectral Performance Analysis of Parallel Processing Systems” was published by Elsevier in Chaos, Solitons and Fractals Journal.