Sveu£ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati£ki fakultet ... · PDF filePublishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1998. 4. Mentor : Ljiljana Aramba²i ... Pressco , 2nd ed. Springer

Sveu£ili²te u Zagrebu

Prirodoslovno-matemati£ki fakultet

Matemati£ki odsjek

Teme diplomskih radova u akademskoj godini 2014./2015.

- Dogovorene teme -

Mentor: Draºen Adamovi¢

Reprezentacije Virasorove algebre

Student: Ante epari¢

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: Teorijska matematika

Preduvjeti: poºeljno je predznanje iz algebarskih kolegija

Opis: U diplomskom radu bi prou£avali teoriju reprezentacija Virasorove algebre. De-nirali bi module najve¢e teºine, konstruirali Vermaove module te meuserije. Prou£avalibi Fockove module za Virasorovu algebru. Po mogu¢nosti bi za neke od ovih konstrukcijakoristili koncepte iz teorije verteks-algebri.

Literatura:

V. G. Kac, A. Raina, Lectures on highest weigh representations on innite dimensionalLie algebrasVertex Algebras for Beginners, University Lecture Series, Second Edition, Amer. Math. Soc.,1998, Vol. 10.K. Iohara, Y. Koga, Representation theory of the Virasoro algebra, Springer-Verlag, Lon-don Limited (2011)

1


Slobodne grupe i prezentacije

Student: Petra ukec

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: poºeljno je predznanje iz kolegija Algebra

Opis: U diplomskom radu bi prou£avali slobodne grupe, te grupe denirane pomo¢uprezentacija. Dokazali bi se osnovni strukturni rezultati o slobodnim grupama. Ovisno oanitetu i predznanju studenta, prou£avale bi se prezentacije nekih zanimljivih kona£nihi beskona£nih grupa.

Literatura:

Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, v. 114,American Mathematical Society, 2010T.W. Hungerford, Algebra, Springer, 1980.

2


Algebarska pro²irenja polja

Student: Elizabeta Borovec

Podru£je: algebra


Preduvjeti: poºeljno je predznanje iz kolegija Algebra

Opis: U diplomskom radu bi prou£avali osnovne koncepte vezane s kona£nim i algebar-skim pro²irenjima polja. Bit ¢e dokazani osnovni rezultati o kona£nim poljima. Ovisno oanitetu studenta bit ¢e prou£avana i teorija normalnih i separabilnih pro²irenja.

Literatura:

Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, v. 114,American Mathematical Society, 2010S. Lang, Algebra, Springer, 2002.

3

Mentor: Ljiljana Aramba²i¢

Funkcionalne jednadºbe pridruºene nekim teoremima srednjevrijednosti

Student: Daria Grozdek

Podru£je: matemati£ka analiza

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji

Preduvjeti: nema

Opis: Funkcionalna jednadºba je jednadºba u kojoj je nepoznanica jedna ili vi²e funk-cija. U ovom diplomskom radu cilj je prou£iti neke funkcionalne jednadºbe motiviraneLagrangeovim odnosno Pompeiuovim teoremom srednje vrijednosti.

Literatura:

M. Kuczma, A survey of the theory of functional equations, Univ. Beograd. Publ. Elek-trotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz., No. 130, Beograd 1964.S. Kurepa, Matemati£ka analiza 2, kolska knjiga 1997, Zagreb.C. Rousseau, Rolle's theorem: from a simple theorem to an extremely powerful tool,http://wikis.zum.de/dmuw/images/a/ad/Rolle_Khovanskii.pdf

P. K. Sahoo, T. Riedel, Mean value theorems and functional equations, World ScienticPublishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1998.

4

Mentor: Ljiljana Aramba²i¢

Neke primjene linearne algebre

Student: Igor Kosturin

Podru£je: linearna algebra


Preduvjeti: nema

Opis: Linearna algebra ima razne primjene, kako u ostalim podru£jima matematike, takoi izvan nje, na primjer, u ekonomiji, kriptograji, zici, biologiji. U ovom diplomskomradu prou£it ¢e se neke od njih.

Literatura:

H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version, 8th Edition, JohnWiley & Sons, Inc., 2000.T.S. Blyth, E.F. Robertson, Basic Linear Algebra, 2nd Edition, Springer-Verlag, 2002.T. Davis, K.T. Thomson, Linear Algebra and Linear Operators in Engineering, Volume3: With Applications in Mathematica, Academic Press, 2000.

5

Mentor: Damir Baki¢

Topolo²ke baze Banachovih prostora

Student: Hrvoje Stojanovi¢

Podru£je: funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e se najprije izloºiti osnovne £injenice o bezuvjetnoj konvergencija redova.U drugom dijelu rada prikazat ¢e se temeljni rezultati o topolo²kim bazama normiranih,odnosno Banachovih prostora.

Literatura:

C. Heil, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, 2002.D. Baki¢, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju)

6

Mentor: Damir Baki¢

C∗-algebre i njihove reprezentacije

Student: Ante Malenica

Podru£je: funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e se najprije izloºiti osnovna svojstva C∗-algebri s posebnim naglaskom naopis ureajne strukture i pozitivnih linearnih funkcionala. U drugom dijelu obradit ¢e sepo£etni rezultati o reprezentacijama C∗-algebri, te opisati veza reprezentacija i pozitivnihfunkcionala.

Literatura:

G. Murphy, C∗-algebras and operator theory, Academic press, 1990.G.K. Pedersen, C∗-algebras and their automorphism groups, Academic Press, 1990.J. Dixmier, C∗-algebras, Elsevier, 1983.

7

Mentor: Bojan Basrak

Poissonov proces s klasterima

Student: Ana Bevanda

Podru£je: vjerojatnost, slu£ajni procesi


Preduvjeti:

Opis: Poissonov proces je osnovni primjer to£kovnog procesa. Ipak, u mnogim primje-nama slu£ajno razbacane to£ke odstupaju od ovog modela i dolaze u grupama odn. klas-terima. Takav je slu£aj npr. s dolascima zahtjeva za isplatu ²tete u aktuarskoj matematiciili zahtjeva koji stiºu posluºitelju u ra£unalnim sustavima.

Diplomski rad bi trebao precizno denirati Poissonove procese s klasterima naslanjaju¢i sena apstraktnu teoriju to£kovnih procesa. Cilj rada je prikazati osnovna teorijska svojstvaovih procesa, te ilustrirati njihove posljedice na primjerima.

Literatura:

Daley, D.J., i VereJones D. (2003). An Introduction to the Theory of Point Processes:Vol. I, 2nd ed. Springer.Mikosch, T. (2009). Non-Life Insurance Mathematics: An Introduction with the PoissonProcess, 2nd ed. Springer.

8


Poissonov proces i subordinatori

Student: Miko Martini¢



Preduvjeti:

Opis: Subordinatori se mogu smatrati glavnim gradivnim elementom u konstrukciji op-¢enitih Lévyjevih procesa, a kao vaºan poseban slu£aj uklju£uju i tzv. sloºene Poissonoveprocese. Imaju veliki zna£aj u teoriji slu£ajnih procesa, ali i u mnogim primjenjenimpodru£jima, posebno u aktuarstvu i nancijskoj matematici. Cilj rada je precizno deni-rati pojam subordinatora i prikazati najvaºnije primjere ovakvih procesa. Rad bi trebaoprikazati i glavne teorijske rezultate koji se ti£u ove klase procesa.

Literatura:

Kyprianou, A. (2006) Fluctuations of Lévy Processes with Applications: Introductory Lec-tures, Springer.Bertoin, J. (1997) Subordinators: Examples and applications, In P.Bernard, Lecture Notesin Mathematics, vol 1717 , 191.

9


Konvergencija u prostoru càdlàg funkcija

Student: Ivo Boºi¢



Preduvjeti:

Opis: Centralni grani£ni teorem je osnovni rezultat teorije vjerojatnosti s vaºnim pri-mjenama u mnogim podru£jima, posebno u teorijskoj statistici. Prema njegovoj najjed-nostavnijoj varijanti, parcijalne sume nizova nezavisnih i jednako distribuiranih slu£ajnihvarijabli asimptotski imaju normalnu razdiobu. Pokazuje se da vrijedi i puno ja£a tvrdnja,£itav put koji kroz vrijeme prate ovakve sume, nakon adekvatne normalizacije konvergirapo distribuciji i to prema Brownovom gibanju. To je tvrdnja poznatog Donskerovog te-orema, koji je ujedno i najvaºniji primjer tzv. funkcionalnog grani£nog teorema. Ipak, dabismo ovaj teorem precizno iskazali, nuºno je uvesti topologiju na prostoru tzv. càdlàgfunkcija, odn. funkcija koje su zdesna neprekidne i imaju lijevi limes. Cilj rada je preciznodenirati ove pojmove, prikazati neke dovoljne uvjete za konvergenciju u ovom prostorute na kraju diskutirati dokaz i posljedice Donskerovog teorema.

Literatura:

Billingsley, P. (1999) Convergence of probability measures, 2nd ed., WileyDurrett, R. (1996) Probability: Theory and Examples, Duxbury Press.Sarapa, N. (2003) Teorija vjerojatnosti, kolska knjiga.

10


Razdioba dugih ciklusa i velikih djelitelja

Student: Ivana Antoli²

Podru£je: vjerojatnost, njera i integral


Preduvjeti:

Opis: Teorija slabe konvergencije vjerojatnosnih mjera ima zanimljive i vrlo produktivneprimjene u raznim podru£jima od teorijske biologije do analiti£ke teorije brojeva. Ciljrada je ilustrirati snagu ove teorije na dva naizgled nepovezana problema. Prvi od njih seti£e asimpototske razdiobe dugih ciklusa slu£ajno izabrane permutacije duljine n. Drugiproblem je odrediti grani£nu razdiobu velikih prostih djelitelja slu£ajno odabranog brojau skupu prirodnog brojeva od 1 do n. U oba ova slu£aja ulogu grani£ne razdiobe igratzv. PoissonDirichletova razdioba. Rad bi trebao rigorozno uvesti ovaj pojam i prikazatirje²enje gore navedenih problema.

Literatura:

Billingsley, P. (1999) Convergence of probability measures, 2nd ed., WileySarapa, N. (2003) Teorija vjerojatnosti, kolska knjiga.

11

Mentor: Ivo Batisti¢

Provodi li led elektri£nu struju?

Student: Karla Blasov

Podru£je: zika kondenzirane tvari

Prikladno za studij: prof. matematike i zike

Preduvjeti: poloºen ispit iz "Osnove zike £vrstog stanja"

Opis: Napravila bi se mjerenja elektri£ne provodnosti leda. Eksperiment je delikatan iupitan jer led slabo vodi struju. Bez obzira na rezultat, postoji literatura o tome, pa birad sadrºavao ta mjerenja i usporedbu s rezultatima iz literature. Osim toga, poznato jeda se led kristalizira u 10ak razli£itih kristalnih struktura ovisno o temperaturi i tlakupa bi se mogao napraviti pregled tih kristalnih struktura i koje su razlike meu njima.Nadalje mogla bi se napraviti usporedba s vodom i mehanizmima voenja elektri£ne struje.Naravno bilo bi mogu¢e i spomenuti vodikovu vezu koja je jako vaºna za biolo²ke sustave.

Literatura:

E. R. Pounder, The physics of ice. Pergamon pressR. S. Bradley, The electrical conductivity of iceLech Rusiniak, Electric properties of ice near solidication and melting temperature, Actapolonika, vol 52. (2004) 363Viktor F. Petrenko, Electrical Properties of Ice

12

Mentor: Mea Bombardelli

Orijentirani kut

Student: Kristina Rada²

Podru£je: geometrija


Preduvjeti: nema

Opis: U ovom radu treba denirati pojam orijentiranog kuta i opisati njegova svojstva.Nakon toga ¢e se orijentirani kutovi primijeniti u raznim dokazima.

Literatura:

Wu Wen-tsun, On the Notion of Oriented Angles in Plane Elementary Geometry andSome of its Applications, 2005. http://www.mmrc.iss.ac.cn/pub/mm24.pdf/1_wu.pdf

13


Konstruktivni problemi s visinama i ortocentrom

Student: Mia Radovi¢



Preduvjeti: nema

Opis: U ovom diplomskom radu postavit ¢e se i rije²iti niz konstruktivnih problema ukojima je zadana duljina barem jedne visine i/ili udaljenost ortocentra od neke to£ke ilipravca.

Literatura:

D. Palman, Geometrijske konstrukcije, Zagreb, 1996.i druga stru£na literatura

14


Nejednakosti izmeu osnovnih sredina

Student: Marko Nemec

Podru£je: nejednakosti


Preduvjeti: nema

Opis: Cilj je ovoga rada dokazati osnovne nejednakosti meu sredinama na razli£itena£ine. Nakon toga ¢e se prikazati primjena tih nejednakosti. Moºe se opisati i kako snaprednijim u£enicima srednje ²kole obraditi ovu temu na pripremama za natjecanja.

Literatura:

J. Pe£ari¢, Nejednakosti, Zagreb, 1996.P. W. Gwanyama, The HM-GM-AM-QM Inequalities, The College Mathematics Journal35, Jan 2004.

15


Feuerbachova to£ka

Student: Maja Mihalic



Preduvjeti: nema

Opis: U ovom radu dokazat ¢e se Feuerbachov teorem: "U svakom trokutu upisanakruºnica i Feuerbachova kruºnica se diraju". To£ka dodira naziva se Feuerbachova to£katrokuta. Uz to, uo£it ¢e se i dokazati neka svojstva te to£ke.

Literatura:

D. Grinberg, From Baltic Way to Feuerbach A Geometrical Excursion, MathematicalReections 2/2006. http://web.mit.edu/~darij/www/BalticFeuer.zip

16

Mentor: Nela Bosner

Multigrid metoda za numeri£ko rje²avanje Poissonove jednadºbe

Student: Ivan Luºanac

Podru£je: numeri£ka linearna algebra, parcijalne diferencijalne jednadºbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika, Financijska iposlovna matematika

Preduvjeti: Poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2 ili Numeri£ke metodenancijske matematike, te Parcijalnih diferencijalnih jednadºbi 1 i 2

Opis: Poissonova jednadºba opisuje razne zikalne procese i glasi

−∆u(x, t) = f(x, t) na Ω

u(x, t) = 0, na ∂Ω

Standardna metoda za dobivanje aproksimacija rje²enja parcijalne diferencijalne jed-nadºbe, kao ²to je Poissonova, je metoda kona£nih diferencija. U toj metodi se iz danogpodru£ja Ω izabire skup to£aka koji £ini mreºu. U svakoj to£ci mreºe derivacija se udiferencijalnoj jednadºbi zamijenjuje sa kvocijentom koji se pribliºava pravoj derivacijikada mreºa postaje sve nija. Ovim postupkom kojeg nazivamo diskretizacija, dobiva sesustav linearnih jednadºbi kod kojeg matrica sustava ima specijalni oblik. Ako ºelimoniju aproksimaciju mreºa mora biti gu²¢a, ²to rezultira ve¢om dimenzijom matrice sus-tava i njenom lo²om uvjetovano²¢u. Kako bi se premostio ovaj problem, za rje²avanjesustava primijenjuje se multigrid metoda koja diferencijalnu jednadºbu diskretizira namreºama razli£itih gusto¢a. Prelazak sa mreºe na mreºu na elegantan na£in smanjujegre²ku aproksimacije rje²enja sustava. Radnja bi obradila teorijske i prakti£ne aspekteove metode, i obuhvatila bi izradu MATLAB programa koji implementira razne varijantemultigrid metode.

Literatura:

A. Greenbaum, Iterative Methods for Solving Linear Systems, SIAM, 1997.W. L. Briggs, V. E. Henson, S. F. McCormick, A Multigrid Tutorial, Second Edition,SIAM, 2000.

17

Mentor: Nela Bosner

Odreivanje cijene egzoti£nih opcija

Student: Sara Crni¢

Podru£je: nancijska matematika, parcijalne diferencijalne jednadºbe, numeri£ko rje²a-vanje parcijalnih diferencijalnih jednadºbi

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti: Poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2 ili Numeri£ke metodenancijske matematike, te Parcijalnih diferencijalnih jednadºbi 1 i 2

Opis: Odreivanje cijene standardnih opcija £esto se svodi na numeri£ko rje²avanjeBlackScholes-ove parcijalne diferencijalne jednadºbe, pomo¢u kona£nih diferencija. Eg-zoti£ne opcije takoer vode ka parcijalnim diferencijalnim jednadºbama, ali nisu jednos-tavne strukture poput BlackScholes-ove. Takve jednadºbe moraju se rje²avati direktno,a pri tome moºe do¢i do pojave numeri£ke nestabilnosti ili neºeljenih rje²enja. Radnjabi dala kratak pregled vaºnih vrsta egzoti£nih opcija, sa posebnim osvrtom na Azijskeopcije. Uz to, dao bi se i numeri£ki aspekt konvekcijskodifuzijske jednadºbe, u koju semoºe reducirati jednadºba za Azijsku opciju, te njeno rje²avanje putem upwind sheme.Obradile bi se jo² i metode visoke rezolucije, koje nude aproksimacije vi²eg reda. Izradarada bi takoer obuhvatila i izradu MATLAB programa koji implementiraju obraenemetode.

Literatura:

R. U. Seydel, Tools for Computational Finance, Fourth Edition, Springer, 2009.

18

Mentor: Franka Miriam Brückler

Nacrtna geometrija u studiju strojarstva

Student: Marija Rendi¢

Podru£je: nacrtna geometrija

Prikladno za studij: svi nastavni£ki studiji

Preduvjeti: Nacrtna geometrija

Opis: U radu ¢e se dati pregled tema iz nacrtne geometrije speci£nih za studij strojar-stva. Konkretno, obradit ¢e se teme koje se ne obrauju u standardnom kursu nacrtnegeometrije u sklopu studija matematike: krovne plohe, kotirana projekcija, tereni. Tako-er, obradit ¢e se i neke standardnije teme koje se na druga£iji ili detaljniji na£in od onogu istoimenim kolegijima za matemati£are obrauju u sklopu studija strojarstva, posebnoprodori oblih tijela i kosa projekcija. Obratitit ¢e se paºnja i na mogu«oct kori²tenjaGeogebre u nastavi nacrtne geometrije za studij strojarstva.

Literatura:

J. Justinijanov¢, Nacrtna geometrija I, Zagreb, 1980.J. Justinijanov¢, Nacrtna geometrija II, Zagreb, 1980.I. Babi¢, S. Gorjanc, A. Sliep£evi¢, V. Szirovicza, Nacrtna geometrija zadaci, HDK-GIKG, Zagreb, 2002.M. Opali¢, M. Kljajin, S. Sebastijanovi¢, Tehni£ko crtanje, Zrinski d. d., akovec/SlavonskiBrod, 2007.S. Varo²anec,materijali iz Nacrtne geometrije, http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/ng/dodatni.html

19


Matematika labirinata

Student: Marko Kneºevi¢

Podru£je: popularizacija matematike, teorija grafova


Preduvjeti: Programiranje 1, Kombinatorna i diskretna matematika

Opis: Labirinti imaju dugu povijest, a uz logicko razmisljanje potrebno za njihovo osmi-sljavanje i rjesavanje postoje mnogi drugi matematicki aspekti. U radu cense dati pregledtematike, s tezistem na topologiji i teoriji grafova vezanoj za labirinte te algoritmima zageneriranje i rjesavanje labirinata. Rad ce biti dopunjen i povijesnim pregledom te pri-mjerima upotrebe teme u popularizaciji matematike.

Literatura:

M. Gardner, Origami, Eleusis and the Soma Cube, Mathematical Association of America,2008.O. Ore, An Excursion into Labyrinths, The Mathematics Teacher, 52 (1959.) 367370H. Dudeney, Amusements in Mathematics, Dover Publications, 1959.C. J. Budd, C. J. Sangwin, Maths aMazes, +plus magazine, http://plus.maths.org/content/maths-amazes

T. Phillips, Through Mazes to Mathematics, http://www.math.sunysb.edu/~tony/mazes/T. Phillips, The Octosphericon and the Cretan Maze, http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-octo-cretan

20


Grupa Rubikove kocke

Student: Marija Benko

Podru£je: popularizacija matematike, teorija grupa

Prikladno za studij: svi studiji, posebno nastavni£ki i Teorijska matematika

Preduvjeti: Algebarske strukture

Opis: Jedna od najpoznatijih matemati£kih igra£aka i ujedno jedna od najpopularnijihigra£aka na svijetu je Rubikova kocka. U pozadini postupaka za rje²avanje Rubikove kockeje teorija grupa. Grupa Rubikove kocke GR sastoji se od svih mogu¢ih poteza na kocki ili,²to je ekvivalentno, od svih mogu¢ih rasporeda kvadrati¢a na povr²ini Rubikove kocke kojise mogu dobiti bez njena rastavljanja. Cilj ovog rada je opisati razna svojstva grupe GR,poput njenih elemenata, cikli£kih podgrupa i sl., te njihovu primjenu na rje²avanje kocke.Posebna ¢e se paºnja posvetiti mogu¢nosti kori²tenja Rubikove kocke u svrhu popularnogprezentiranja osnova teorije grupa.

Literatura:

D. Joyner, Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and OtherMathematical Toys, The Johns Hopkins University Press, 2002.F. M. Brückler, Grupa Rubikove kocke, Pou£ak 36 (2009) 4-15D. Bump, Mathematics of the Rubik's Cube, http://match.stanford.edu/bump/rubik.html

T. Davis, Group Theory via Rubik's Cube, http://www.geometer.org/rubik/group.pdfLecture Notes on the Mathematics of the Rubik's Cube, http://www.permutationpuzzles.org/rubik/webnotes/rubik_notes.html

21


Geometrija prirode

Student: Biljana Stipeti¢

Podru£je: popularizacija matematike, geometrija

Prikladno za studij: svi studiji, posebno nastavni£ki

Preduvjeti: Elementarna geometrija, Analiti£ka geometrija, Uvod u diferencijalnu ge-ometriju

Opis: ire je poznato da se Fibonaccijevi brojevi i s njima povezan omjer zlatnog rezanerijetko mogu uo£iti u raznim biljkama. Takoer je dobro poznato da su mnogi pri-rodni oblici primjerice oblaci pribliºno fraktalni, a da pahuljice snijega pokazuju istitip simetrije kao pravilni ²esterokut. Cilj ovog rada je sistematizirati geometrijske oblikei uzorke (krivulje, tijela, plohe pozitivne i negativne zakrivljenosti, fraktale, simetrije,spirale, poplo£avanja i dr.) koji se pojavljuju u makroskopskoj prirodi: biljkama, ºi-votinjama, geolo²kim formacijama, . . . . Posebna ¢e se paºnja posvetiti mogu¢nostimakori²tenja objekata iz prirode u vizualizaciji matemati£kih nastavnih tema.

Literatura:

I. Stewart, Das Rätsel der Schneeocke, Spektrum Akademischer Verlag, 2002.C. Alsina, R. B. Nelsen, Math Made Visual, The Math. Association of America, 2006.R. Knott, The Fibonacci Numbers and Golden Section in Nature, http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley& Sons, 1990.S. Colman, Harmonic proportion and form: in nature, art and architecture, Dover Publi-cations, 2003.

22

Mentor: Zvonimir Bujanovi¢

Razvoj web aplikacija pomo¢u okruºenja Django

Student: Nikolina Ivezi¢

Podru£je: ra£unarstvo

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: poznavanje programskog jezika Python

Opis: Meu brojnim okruºenjima za izradu web aplikacija (eng. web application fra-mework), u posljednje vrijeme sve je popularniji Django. Django je okruºenje otvorenogkoda, u potpunosti bazirano na programskom jeziku Python. Primarna mu je namjenarapidni razvoj sloºenih web-sjedi²ta zasnovanih na bazama podataka, pri £emu slijedi pa-radigmu Model-View-Controller.Cilj ovog diplomskog rada je dati osnovni pregled okruºenja Django, te pomo¢u njegarazviti vlastitu web aplikaciju.

Literatura:

Django Documentation, https://docs.djangoproject.com/en/1.7/Tango with Django A beginner's guide to web development with Django, http://www.tangowithdjango.com/

Greenfeld, Daniel; Roy, Audrey: Two Scoops of Django: Best Practices for Django 1.6,(2nd ed.), Two Scoops Press, 2014.

23

Mentor: Zvonimir Bujanovi¢

Razvoj web aplikacija pomo¢u Node.js

Student: Ivan Lesar

Podru£je: ra£unarstvo


Preduvjeti: poznavanje programskog jezika JavaScript

Opis: Programski jezik JavaScript tradicionalno se koristi za implementaciju klijentskestrane web aplikacija. Node.js je nova platforma bazirana na jeziku JavaScript, naprav-ljena s ciljem jednostavne implementacije serverske strane brzih i skalabilnih web apli-kacija. Osnovna ideja kojom se postiºe takva u£inkovitost je ne-blokiraju¢i mehanizamulazno-izlaznih operacija, pokretan dogaajima (engl. event-driven). Uz takav pristup,Node.js je idealan za podatkovno intenzivne aplikacije koje se izvr²avaju u realnom vre-menu.Cilj ovog diplomskog rada je opisati platformu Node.js i istaknuti njezine prednosti uodnosu na klasi£ne implementacije web-servera. Student ¢e demonstrirati njezine mogu¢-nosti izradom odgovaraju¢e sloºenije web aplikacije.

Literatura:

Web-stranice projekta Node.js, http://nodejs.org/Nodeschool Open source workshops that teach web software skills, http://nodeschool.io/

Wilson, Jim: Node.js the Right Way, Pragmatic Bookshelf, 2013.

24

Mentor: Lavoslav aklovi¢

Algoritmi odreivanja Nashove ravnoteºe u teoriji igara

Student: Marina Zadro

Podru£je: Teorija igara

Prikladno za studij:

Preduvjeti:

Opis: Cilj rada je razumjeti indukciju unazad i napisati program u pythonu koji ¢e traºitisubgame perfect Nashovu ravnoteºu. To se pokazuje kao zahtjevan programski zadatak.Biti ¢e govora i o sloºenosti algoritma, s naglaskom na α−−β pruning algoritam.

Literatura:

25


Formalizacija igara

Student: Adam Nik²i¢

Podru£je: Umjetna inteligencija


Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e se prou£avati inteligentni sustavi koji su u stanju igre na osnovi aps-traktnog Game Description Language (GDL)

Literatura:

Michael Genesereth, Michael Thielscher: General Game Playing

26


Grafovi preferencije i njihova primjena

Student: Adrian Satja Kurdija

Podru£je: Teorija odlu£ivanja


Preduvjeti:

Opis: Nove metode u podru£ju odlu£ivanja uo£avaju potrebu za grafom preferencija kaoosnovnom strukturom. U radu ¢e biti biti prou£eno poop¢enje metode potencijala prekomultigrafova s raznim primjenama.

Literatura:

J. Fürnkranz, E. H. Hüllermeier: Pairwise Preference Learning and Ranking,L. aklovi¢: Teorija vrednovanja

27


Analiza korespodencije

Student: Vladimir Jerebi¢

Podru£je: Optimizacija i statistika


Preduvjeti:

Opis: Analiza korespodencije uvodi numeri£ku skalu u skup vrijednosti para kategorij-skih varijabli. U radu ce biti objasnjena matemati£ka pozadina metode s primjenama usociologoji, znanosti o okoli²u, medicini. . .

Literatura:

Michael Greenacre: Correspondence Analysis in Practice

28


Ravnoteºa u teoriji igara

Student: Andro Maduna

Podru£je: Teorija igara


Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e biti dokazan teorem egzistencije ravnoteºe igre koriste¢i tehniku varija-cijskog ra£una.

Literatura:

J. P. Aubin: Mathematical Methods of Game and Economic Theory

29


DEA - slabosti i pobolj²anja

Student: Kristina Dukanovi¢

Podru£je:


Preduvjeti:

Opis: Data Envelopment Analysis (DEA) je tehnika ra£unanja ekasnosti proizvodnihstruktura (javnih ustanova) a vi²e inputa i vi²e outputa tehnikom linearne optimizacije.U radu ¢e biti opisane (poznate) slabosti metode i mogu¢a pobolj²anja.

Literatura:

Cooper, Seiford, Tone: Data Envelopment Analysis i vezana literatura

30


Teorija igara i dizajn mehanizma

Student: Melita Vidov

Podru£je: Algoritamska teorija igara


Preduvjeti:

Opis: Mechanism design prou£ava igre s nepotpunim informacijama. Tipi£an pristuprje²avanju takvih igara je preko tipova igra£a a ne samih igra£a. U radu ¢e biti dokazaniosnovni teoremi iz teorije ozbora i obraeni neki tipovi 'mehanizama'.

Literatura:

T. Börgers, An Introduction to the Theory of Mechanism Design

31


Igre s ponavljanjem

Student: Ivan Petruni¢

Podru£je:


Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e se prou£avati igre dva igra£a s ponavljanjem. Bit ¢e dokazani osnovniteoremi koji govore o strukturi skupa ravnoteºa (Folk theorem).

Literatura:

J. P. Benoa, V. Krishna: The Folk Theorems for Repeated Games: A Synthesis

32

Mentor: Tomislav Do²li¢

Logaritamsko pona²anje nizova zadanih linearnim rekurzijama

Student: Josip Kauf

Podru£je: kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis: Niz s pozitivnim £lanovima je log-konveksan ako je kvadrat svakog njegovog £lanamanji ili jednak od umno²ka susjednih mu £lanova. Ako je nejednakost obrnuta, niz jelog-konkavan. U radu bi se trebalo prou£avati logaritamsko pona²anje nizova zadanihkratkim linearnim rekurzijama s konstantnim koecijentima.

Literatura:

D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika

33

Mentor: Andrej Dujella

Statisti£ki testovi za polialfabetske ²ifre

Student: Nikolina Mori¢

Podru£je: kriptograja


Preduvjeti:

Opis: Prikazat ¢e se napadi na klasi£ne polialfabetske ²ifre koji su zasnovani na nekimstatisti£kim svojstvima jezika. Obradit ¢e se i druge primjene statisti£kih testova u krip-toanalizi.

Literatura:

A. G. Konheim, Computer Security and Cryptography, Wiley, 2007.F. L. Bauer, Decrypted Secrets. Methods and Maxims of Cryptology, Springer-Verlag,2000.W. F. Friedman, Military Cryptanalysis, Aegean Park Press, 1980.

34


Transpozicijske ²ifre ADFGX i ADFGVX

Student: Andrea Toli¢



Preduvjeti:

Opis: Prikazat ¢e se kriptoanaliti£ki napadi na najpoznatije njema£ke transpozicijske²ifre iz prvog svjetskog rata. Dat ¢e se prikaz i ostalih vaºnih kriptografskih tehnika iosoba iz tog perioda.

Literatura:

C. P. Bauer, Secret History. The Story of Cryptology, CRC Press, 2013.W. F. Friedman, Military Cryptanalysis, Aegean Park Press, 1980.D. Kahn, The Codebreakers. The Story of Secret Writing, Scribner, New York, 1996.(hrvatski prijevod: ifranti protiv ²pijuna, Centar za informacije i publicitet, Zagreb,1979)

35


NTRU kriptosustav

Student: Valentina Pribani¢



Preduvjeti:

Opis: Obradit ¢e se jedan od novijih kriptosustava s javnim klju£em, NTRU kriptosustav.U ovom se kriptosustavu kod ²ifriranja koriste polinomi na kojima se denira operacijacikli£ke konvolucije. Pored toga se koristi redukcija ovako dobivenih polinoma po dvamarelativno prostim modulima p i q. Prikazat ¢e se veza NTRU kriptosustava s problemomnalaºenja najkra¢eg vektora u re²etki.

Literatura:

J. Hostein, J. Pipher, J. H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography,Springer, 2008.P. Q. Nguyen, B. Vallee (Eds.), The LLL Algorithm. Survey and Applications, Springer,2010.

36


Na£ini djelovanja blokovnih ²ifri

Student: Monika Ratkajec



Preduvjeti:

Opis: Blokovne ²ifre deniraju kako se ²ifrira jedan blok otvorenog teksta. Budu¢i da je upravilu otvoreni tekst znatno duºi od jednog bloka, poznato je nekoliko na£ina djelovanja(modes of operation) pomo¢i kojih blokovne ²ifre obrauju dulje poruke. U radu ¢e seopisati i usporediti ti na£ini djelovanja. Obradit ¢e se i druge metode koje mogu pove¢atisigurnost blokovnih ²ifri, poput vi²estrukog ²iranja (na primjeru 3DES-a).

Literatura:

L.R. Knudsen, M.J.B. Robshaw, The Block Cipher Companion, Springer, 2011.W. Stallings, Cryptography and Network Security. Principles and Practice, Prentice Hall,2005.

37

Mentor: Alan Filipin Suvoditelj: Andrej Dujella

Metode rje²avanja Pellove jednadºbe

Student: Jasna Bagovi¢

Podru£je: teorija brojeva


Preduvjeti: Poloºen kolegij Teorija brojeva ili Elementarna teorija brojeva

Opis: U ovom diplmoskom radu obradit ¢e se osnovni rezultati o diofantskoj jednadºbioblika x2−dy2 = 1 te njenim poop¢enjima. Naglasak ¢e biti na povijesnom prikazu raznihmetoda kori²tenih u njenom rje²avanju.

Literatura:

M.J. Jacobson, H.C. Williams, Solving the Pell Equation, Springer, 2009.E.J. Barbeau, Pell's Equation, Springer-Verlag, 2003.T. Nagell, Introduction to Number Theory, Chelsea, 1981.

38

Mentor: Alan Filipin Suvoditelj: Andrej Dujella

Digitalan potpis i sigurnost

Student: Josipa Nikoli¢

Podru£je: teorija brojeva, kriptograja


Preduvjeti: Poloºen kolegij Kriptograja

Opis: U ovom diplomskom radu odbradit ¢e digitalan potpis s posebnim naglaskom nanjegovu sigunost.

Literatura:

J. Katz, Digital signatures, Springer, 2010.S. Goldwasser, M. Bellare, Lecture notes on Cryptography, 2008.

39

Mentor: Zrinka Franu²i¢

Fibonaccijevi i Lucasovi polinomi

Student: Ivana ok£i¢



Preduvjeti:

Opis: Rekurzivnim relacijama koje nalikuju na onu pomo¢u koje se odreuju Fibonacci-jevi brojevi mogu se denirati razli£ite klase polinoma. Na primjer Catalan je prou£avaoFibonaccijeve polinome denirane relacijom

fn(x) = xfn−l(x) + fn−2(x),

gdje je f1(x) = 1, f2(x) = x i n > 2, dok je Jacobsthal prou£avao polinome

Jn(x) = Jn−1(x) + xJn−2(x),

gdje je J1(x) = J2(x) = 1 i n > 2. U radu ¢e se izvoditi eksplicitne formula za takve i sli£nepolinome, te pripadne fukcije izvodnice. Nadalje, primjenom elementarnog matri£nogra£una dobit ¢e se neki zanimljivi identiteti.

Literatura:

1. T. Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with applications, John Wiley & Sons, 2001.2. A. Dujella, Fibonaccijevi brojevi, HMD, Zagreb, 2000.3. B. Pavkovi¢, D. Veljan, Elementarna matematika 1, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1992.

40


Catalanovi brojevi u trokutastim shemama

Student: Goran Banjanin

Podru£je: tteorija brojeva, kombinatorika


Preduvjeti:

Opis: Catalanovi brojevi Cn deniraju se sa

Cn =1

n+ 1

(2n

n

), n ≥ 0.

Prvih nekoliko £lanova ovog niza je 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430,... Uz njih se veºumnogi kombinatorni problemi kao ²to su problem triangulacije konveksnog n-terokuta,putova u cjelobrojnoj mreºi, binarnih stabala, itd. U radu ¢e se najprije pokazati nekaosnovna svojstva Catalanovih brojeva. injenica da Catalanove brojeve moºemo 'prona¢i'unutar Pascalovog trokuta omogu¢it ¢e dokaze nekih zanimljivih rekuzivnih formula zaCatalanove brojeve. Kona£no, denirat ¢e se i istraºiti Catalanov trokut koji zapravopredstavlja donji trokut matrice £iji su elementi denirani rekuzivnom relacijom. Dat ¢ese i neke geometrijske i kombinatorne interpretacije Catalanovog trokuta.

Literatura:

1. T. Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with applications, John Wiley & Sons, 2001.2. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, 2001.

41


Fermatovi brojevi

Student: Ivana Lepan

Podru£je: Teorija brojeva


Preduvjeti:

Opis: Brojevi oblikafm = 22m + 1, m = 0, 1, 2, . . . (1)

nazivaju se Fermatovi brojevi. Ako je broj fm prost, onda ga nazivamo Fermatovimprostim brojem. Prvih pet £lanova niza (1) su prosti (f0 = 3, fl = 5, f2 = 17, f3 = 257,f4 = 65537) i to su zasad i jedini poznati Fermatovi prosti. Otvoreno je pitanje postojili ih jo². U radu ¢e se iskazati i dokazati najvaºnija svojstva Fermatovih brojeva, te datipregled nekih nerije²enih problema koji se veºu uz Fermatove brojeve.

Literatura:

1. M. K°íºek, F. Luca, L. Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theoryto Geometry, Springer-Verlag New York, 2001.2. L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality,Chelsea Publishing Company, New York, 1956.3. G. A. Jones,J. M. Jones, Elementary Number Theory, Springer, 2006.

42


Neke prakti£ne primjene veriºnih razlomaka

Student: Antonija Mohar

Podru£je: Teorija brojeva


Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e se opisati kako se pomo¢u veriºnih razlomaka rje²avaju neke diofantskejednadºbe (linearne i kvadratne), te aproksimiraju neki iracionalni brojevi. Opisat ¢e seosnovna svojstva veriºnih razlomka i konvergenti.

Literatura:

1. C. G. Moore, An Introduction to Continued Fractions, National Council of Teachers ofMathematics, Washington, 1964.,2. H. M. Stark, An Introduction to Number Theory, MIT Press, 1978.

43

Mentor: Pavle Goldstein Neposredni voditelj: Maja Karaga

Provodjenje χ2-testa na Android ureajima

Student: Nela Tomi¢

Podru£je: vjerojatnost i statistika, objektno orjentirano programiranje, programiranjeza Android


Preduvjeti: znanje iz kolegija Programiranje za suvremene procesore i Vjerojatnost istatistika

Opis: Rad izlaºe teorijsku pozadinu χ2-testa, kao i osnovne koncepte i speci£nosti An-droid programiranja, s naglaskom na tehnologije kori²tene u radu. Kona£an cilj rada jeizrada potpuno funkcionalne Android aplikacije za provoenje χ2-testa.

Literatura:

Wei-Meng Lee: Beginning Android 4 Application Development, Apress, 2012.Reto Meier: Professional Android 4 Application Development, Wrox, 2012.Nikola Sarapa: Teorija vjerojatnosti, kolska knjiga, 2002.

44

Mentor: Pavle Goldstein

Vi²estruko poraravnanje i HMM

Student: Mihaela Stojkovi¢

Podru£je:

Prikladno za studij: za sve smjerove

Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se prou£avati skriveni Markovljevi modeli za poravnanje proteinskihfamilija.

Literatura:

Durbin et al: Biological Sequence Analysis, CUP, 2000

45


Statisti£ki aspekti pretraºivanja proteoma

Student: Iva Sori¢

Podru£je:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se prou£avati statistika pretraºivanja proteoma pomo¢u lokalnih porav-nanja.

Literatura:


46


Statistika vi²estrukog poravnanja

Student: Mateja Vragovi¢

Podru£je:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se prou£avati statisti£ki aspekti vi²estrukih poravnanja proteinskih fa-milija.

Literatura:


47


Statisti£ki aspekti optimizacije HMM-a

Student: Irma Val£i¢

Podru£je:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se prou£avati razni algoritmi optimizacije jednostavnih skrivenih Mar-kovljevih modela i pridruºene statistike.

Literatura:


48


Topolo²ki Markovljevi lanci

Student: Grgo Slavica

Podru£je:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se prou£avati topolo²ki Markovljevi lanci i razni tipovi njihovih ekviva-lencija.

Literatura:

Franks, J.: Flow equivalence of subshifts of nite typeParry, Tuncil: Classication Problems in Ergodic Theory

49


Primjena skrivenih Markovljevih modela na prou£avanje genoma

Student: Maja Cigula

Podru£je:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se prou£avati skriveni Markovljevi modeli i njihova primjena pri analizigenoma.

Literatura:


50

Mentor: Marcela Hanzer

Analiti£ko produljenje funkcije

Student: Nediljka Oluji¢

Podru£je: kompleksna analiza


Preduvjeti: poloºen kolegij kompleksna analiza

Opis: U radu ¢e se uvesti pojam analiti£kog produljenja funkcije, pojam singularne iregularne to£ke te prirodne granice. Dokazali bi se teoremi Ostrowskog i Hadamarda orazvojima funkcija koje imaju prirodnu granicu. Uvelo bi se produljenje duº krivulje idokazao teorem o monodromiji. Uvele bi se modularne funkcije i pokazalo bi se da im jerealna os prirodna granica. Naposljetku, dokazao bi se mali Picardov teorem.

Literatura:

Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1986.

51

Mentor: Marcela Hanzer

Od kongruencijskih brojeva do elipti£kih krivulja

Student: Borna Cicvari¢

Podru£je: algebra, teorija brojeva, kompleksna analiza

Prikladno za studij: Teorijska, Primjenjena matematika

Preduvjeti: poloºen kolegij Algebarske strukture; poºeljno je da poloºen i kolegij Algebra

Opis: U radu bi se klasi£ni problem odreivanja je li neki prirodni broj n kongruencijskiili ne, povezao s teorijom elipti£kih krivulja. Denirale bi se elipti£ke krivulje, dvostrukoperiodi£ke funkcije, Weierstrassova forma, te promatralo zbrajanje na elipti£koj krivulji.Prou£avale bi se to£ke kona£nog reda, te na koncu to£ke nad kona£nim poljima i timedala veza s originalnim problem kongruencijskih brojeva.

Literatura:

Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer, 1984.

52

Mentor: Vjeran Hari

Nove metode za ra£unanje spektralne dekompozicije simetri£nematrice reda 3 i 4

Student: Marija Kranj£evi¢

Podru£je: linearna algebra, teorija matrica


Preduvjeti: Poloºen kolegij Vektorski prostori

Opis: Cilj je implementirati nove algoritme za ra£unanje spektralne dekompozicije si-metri£nih matrica malog reda. Ti algoritmi se onda koriste kao jezgreni algoritmi zara£unanje blok dijagonalizacijskih algoritama za simetri£ne matrice reda n. Ima nekolikopristupa kako izvesti nove algoritme, a bazirani su na dolje spomenutim £lancima. Udrugom £lanku, ideja je da se simetri£na matrica reda 3 dijagonalizira pomo¢u tri, a reda4 pomo¢u 6 ravninskih rotacija. Da se to moºe, vidi se tre¢eg £lanka, o CS dekompozicijiortogonalnih matrica reda 3 i 4. Programi bi se pisali prvo u MATLABu, zatim u FOR-TRANu.

Literatura:

Jakov£evi¢ Stor N., Slapni£ar I., Barlow J. L.: Accurate eigenvalue decomposition of ar-rowhead matrices and applications, prihva¢eno za objavljivanje u Linear Algebra Appl.Hari V., Mateja² J.: Diagonalization of a 4 × 4 symmetric matrix via 6 plane rotations,u pripremi.Hari V., Zadelj-Marti¢ V.: Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda,math.e 10 (http://e.math.hr/csdekompozicija/index.html)

53

Mentor: Davor Horvati¢

Otkri¢e ubrzanog ²irenja svemira

Student: Andrea Rudeº

Podru£je: astrozika

Prikladno za studij: Matematika i zika

Preduvjeti: Vjerojatnost i statistika, Astronomija i astrozika

Opis: Osnove kozmologije predstavljaju zavr²ni dio kurikuluma zike za prirodoslovno-matemati£ke gimnazije. Kozmolo²ka slika svemira izrazito se promijenila u zadnjih 15godina, tako da je jedan od klju£nih problema u razradi te teme njegova prezentacijau okviru spomenutog kurikuluma. Diplomski rad metodi£ki bi razradio temu i objasniomiskoncepcije koje se javljaju kod u£enika. Dodatno bi se napravila analiza eksperimen-talnih mjerenja te odredili parametri regresijskim metodama koji opisuju ²irenje svemira.

Literatura:

Introduction to Cosmology. Barbara Ryden, 2003 (San Francisco: Addison Wesley)

54

Mentor: Davor Horvati¢

Svojstva BiotSavartovog operatora i njegova primjena uprirodnim znanostima

Student: Marina Suton

Podru£je: elektrodinamika

Prikladno za studij: Matematika i zika

Preduvjeti: Elektrodinamika, matemati£ka analiza i linearna algebra

Opis: BiotSavartov operator ima izrazito ²irok spektar primjene u prirodnim znanos-tima i tehnici. Studenti navedeni operator upoznaju u okviru Elektrodinamike i Biot-Savartovog zakona. No, kako smo naveli, njegova svojstva omogu¢uju njegovu izrazito²iroku primjenu te je osnovna ideja diplomskog rada dati kompletni pregled primjenekroz speci£ne slu£ajeve. Takoer, metodi£ki dio biti ¢e razraen tako da budu¢i prof.zike i matematike izgradi temelj boljeg prezentiranja te, ne tako lagane teme.

Literatura:

D.J. Griths: Introduction to Electrodynamics, by Prentice-Hall, Inc. Upper Saddler Ri-ver, New Jersey, 1999, 3rd edition, Jason Cantarell, Dennis DeTurck and Herman Gluck,The BiotSavart operator for application to knot theory, uid dynamics, and plasmaphysics, J. Math. Phys., Vol. 42, No. 2, February 2001.

55

Mentor: Miljenko Huzak

Modeli kratkoro£nih kamatnih stopa

Student: Maria uljak

Podru£je: nancijska matematika

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Predznanje iz predmeta Slu£ajni procesi i Teorija vjerojatnosti 1, 2. Po-ºeljno predznanje iz predmeta Financijska matematika 1, 2.

Opis: Modeli kratkoro£nih kamatnih stopa (engl. short rate models) su stohasti£ki modeliza kamatne stope kao rje²enja odgovaraju¢ih Itovih stohasti£kih diferencijalnih jednadºbi.Primijenjuju se za vrednovanje odreenih nancijskih instrumenata (vrijednosnica i izve-denica) u nancijskoj matematici. Uz deniciju i navoenje osnovnih karakteristika mo-dela kratkoro£nih kamatnih stopa s posebnim naglaskom na tzv. ane modele, te analizunajvaºnijih poznatih modela, tema obuhva¢a i preglede potrebnih elemenata stohasti£kogra£una, rezultata arbitraºne teorije, vrijednosnica i izvedenica.

Literatura:

D. Filipovi¢, Term-Structure Models, Springer, 2009.Lixin Wu, Interest Rate Modeling, Theory and Practice, CRC Press, 2009.

56


Bayesovska regresijska analiza

Student: Iva Bogojevi¢

Podru£je: primijenjena statistika

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Predznanje iz predmeta Matemati£ka statistika i Primijenjena statistika.

Opis: Statisti£koj analizi linearnog regresijskog modela pristupa se s bayesovskog aspekta:parametri modela se tretiraju kao slu£ajne veli£ine s poznatom apriornom distribucijom,a glavni cilj analize je na osnovi opaºenih podataka odrediti posteriornu razdiobu para-metara s primjenom na predvianja varijable odziva. Posebno se razmatraju problemi sneiformativnom aprirnom distribucijom i konjugirani (normalni) model.

Literatura:

S.T. Rachev et al., Bayesian Methods in Finance, Wiley, 2008.C.P. Robert, The Bayesian Choice, A Decision-Theoretic Motivation, Springer, 1994.M.J. Schervish, Theory of Statistics, Springer-Verlag, 1995.

57


Faktorska analiza

Student: Sanja Sr²a

Podru£je: primijenjena statistika

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika

Preduvjeti: Predznanje iz predmeta Matemati£ka statistika i Primijenjena statistika.

Opis: Faktorska analiza je eksplorativna statisti£ka disciplina u kojoj se linearnim statis-ti£kim metodama izu£ava korelacijska struktura opaºenih varijabli. Tema rada obuhva¢apreciznu matemati£ku formulaciju faktorskog modela, matemati£ki opis njegovih svoj-stava, procjenu i primjenu ilustriranu kroz primjere.

Literatura:

A. Basilevsky, Statistical Factor Analysis and Related Methods, Theory and Applications,Wiley, 1994.

58


Asimptotska razdioba statistika baziranih na rangovima

Student: Ena Jurilj

Podru£je: matemati£ka i primijenjena statistika


Preduvjeti: Predznanje iz predmeta Matemati£ka statistika, Primijenjena statistika, Te-orija Vjerojatnosti 1, 2.

Opis: Velik broj neparametarskih testova bazira se na statistikama koje ovise o rango-vima. U radu ¢e se dokazati op¢i centralni grani£ni teorem za statistike koje su funkcijerangova, a zatim ¢e se taj teorem primijeniti na niz neparametarskih veli£ina i metodakoje se zasnivaju na analizi rangova (Spearmanov koecijent korelacije, Wilcoxonov testrangova itd.)

Literatura:

T.S. Ferguson, A Course in Large Sample Theory, Chapman & Hall, 1996.

59


Granice odredivosti izvora zaraze procesa ²irenja epidemije namreºama

Student: Alen Lan£i¢

Podru£je: Teorija vjerojatnosti


Preduvjeti: Predznanje iz Teorije vjerojatnosti 1,2

Opis: U istraºivanju ²irenja epidemija na kompleksnim mreºama u zadnjih godinu danaje dio istraºivanja posve¢en izradi algoritama koji poku²avaju odrediti vrh koji ima naj-ve¢u vjerodostojnost kao izvor zaraze uz opaºenu realizaciju ²irenja zaraze zaustavljenu unekom trenutku nakon po£etka ²irenja. Zbog prohibitivne sloºenosti egzaktnih metoda,koriste se razli£ite aproksimacije koje daju to£no rje²enje na posebnim klasama mreºa.Motivirani takvim razvojem dogaaja, u ovom se radu prvo ukazuje na fundamentalnenedostastke takvog pristupa, a pojmovi koji se £esto koriste u ovom podru£ju se mate-mati£ki postavljaju na £vrste temelje. Razmatra se nova mjera, odredivost, i istraºuju senjena svojstva.

Literatura:

A. Lan£i¢, N. Antulov-Fantulin, M. ikic, H. tefan£i¢, Phase diagram of epidemic spre-ading - unimodal vs. bimodal probability distributions,Physica A: Statistical Mechanicsand its Applications 390 (2011) 65-76M. ikic, A. Lan£i¢, N. Antulov-Fantulin, H. tefan£i¢, Epidemic centrality and the unde-restimated epidemic impact on network peripheral nodes, The European Physical JournalB (EPJ B), 86:440 (2011) 1-13N. Antulov-Fantulin, A. Lan£i¢, H. tefan£i¢, M. ikic, FastSIR Algorithm: A Fast Al-gorithm for simulation of epidemic spread in large networks by using SIR compartmentmodel, Information Sciences 239 (2013) 226-240

60

Mentor: Goran Igaly

Fraktali u nastavi matematike i informatike

Student: Sanja Kolar

Podru£je: nastava matematike i informatike

Prikladno za studij: Profesor matematike i informatike

Preduvjeti: Poloºen kolegij Metodika nastave informatike I, poznavanje programiranjau nekom programskom jeziku

Opis: S obzirom da nisu dio obveznog osnovno²kolskog i srednje²kolskog gradiva, fraktalise rijetko spominju u redovnoj nastavi te su u£enici slabo upoznati s njima. Ovaj diplomskirad pokazat ¢e na koji na£in povezati nastavu matematike i informatike s fraktalima iu£initi ju zanimljivijom u£enicima.

Literatura:

B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Times Books, 1982.H.O. Peitgen, H. Jurgensen, D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science,Springer, 2004.K. J. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, JohnWiley and Sons, 2003.

61

Mentor: Goran Igaly

OpenCV biblioteka i primjene

Student: Dino Frani¢

Podru£je: ra£unarstvo, ra£unarsko inºinjerstvo

Prikladno za studij: diplomski studij ra£unarstva i matematike, diplomski sveu£ili²nistudij Matematika i informatika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: poloºen kolegij Multimedijski sustavi, poznavanje programiranja u program-skom jeziku C/C++

Opis: U ovom diplomskom radu istraºivat ¢e se programska biblioteka OpenCV (OpenSource Computer Vision Library). Posebno ¢e se pokazati primjena ove biblioteke nakonkretnom primjeru te primijeniti neko od mogu¢ih ubrzanja pomo¢u GPU jedinice.

Literatura:

Daniel Lélis Baggio, Shervin Emami, David Millán Escrivá, Khvedchenia Ievgen, NaureenMahmood, Jasonl Saragih, Roy Shilkrot - Mastering OpenCV with Practical ComputerVision Projects, Packt Publishing, 2012.Kenneth Dawson-Howe - A Practical Introduction to Computer Vision with OpenCV(Wiley-IS&T Series in Imaging Science and Technology), Wiley, 2014.Samarth Brahmbhatt - Practical OpenCV (Technology in Action), Apress, 2013.The OpenCV Reference Manual, Release 2.4.9.0, dostupno 14.11.2014 na http://docs.

opencv.org/opencv2refman.pdf

The OpenCV Tutorials, Release 2.4.9.0, dostupno 14.11.2014 na http://docs.opencv.

org/opencv_tutorials.pdf

62

Mentor: Goran Igaly

Mogu¢nosti online u£enja u nastavi matematike

Student: Ana Mili²i¢

Podru£je: metodika nastave matematike

Prikladno za studij: Diplomski sveu£ili²ni studij Matematika; smjer: nastavni£ki, Di-plomski sveu£ili²ni studij Matematika i informatika; smjer: nastavni£ki, Diplomski sve-u£ili²ni studij Matematika i zika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: Ostvareni ECTS bodovi iz kolegija Metodika nastave matematike, Metodikanastave informatike, Primjena ra£unala u nastavi matematike

Opis: Primjena aktivnog online u£enja, uporaba elektroni£kih medija, edukacijske teh-nologije te informacijskih i komunikacijskih tehnologija (ICT) u obrazovanju kod nas udana²nje vrijeme nije £esta. Meutim, razvojem dru²tva ¢e online u£enje postati neizos-tavan dio obrazovanja. Cilj ovog rada je predstaviti Moodle/Loomen, sustav za onlineu£enje, te u njemu obraditi odredjeni broj nastavnih jedinica iz matematike za u£enikeosnovne i/ili srednje ²kole i procijeniti stvarne mogu¢nosti sustava online u£enja u nastavimatematike danas.

Literatura:

1. T. Anderson, The Theory and Practice of Online Learning, Athabasca University Pres,2009.2. P. Shank, The online learning idea book, Proven ways to enhance technology - basedand blended learning, Pfeier, Essential resources for training and HR professionals, 2011.3. J. Seltzinger, Vodi£ kroz Moodle za nastavnike, http://moodle.srce.hr/2014-

2015/my/, preuzeto 13.11.2014.4. Z. Beki¢, Pravilnik o organizaciji i kori²tenju sustava za e-u£enje Merlin, Zagreb,http://moodle.srce.hr/2014-2015/my/, preuzeto 13.11.2014.

63

Mentor: Goran Igaly

Algoritmi za prepoznavanje pokreta i primjena na automatskopra¢enje objekata

Student: Alan Kun²tek

Podru£je: ra£unarstvo, ra£unarsko inºinjerstvo

Prikladno za studij: diplomski studij ra£unarstva i matematike

Preduvjeti: poloºen kolegij Multimedijski sustavi

Opis: U ovom diplomskom radu istraºit ¢e se algoritmi za analizu uzastopnih slika do-bivenih kamerom, u svrhu odredjivanja na kojem dijelu slike nastaje promjena, odnosnogdje je detektiran pokret. Od istraºenih algoritama odabrat ¢e se jedan, te se konkretnoimplementirati automatsko pra¢enje objekata kamerom koja snima (npr. pra¢enje preda-va£a za vrijeme predavanja). Bit ¢e potreban osvrt na tehnologije koje su nam potrebneza realizaciju ovakve primjene. Takoer ¢e biti potrebno istraºiti metode za ltriranjemanjih nebitnih pokreta, kako kamera ne bi pratila svaki pomak ruke ili premje²tanjegovornika s noge na nogu.

Literatura:

Casey Reas and Ben Fry - Getting Started with Processing, O'Reilly Media inc., Sebas-topol, CA, June 2010.Daniel Shiman - Learning Processing, A Beginner's Guide to Programming Images, Ani-mation, and Interaction, Morgan Kaufmann Publishers, MA, 2008.Ester Martinez-Martin, Ángel P. del Pobil - Robust Motion Detection in Real-Life Sce-narios, Springer, 2012.Andrew Kirillov, Motion Detection Algorithms, http://www.codeproject.com/Articles/10248/Motion-Detection-Algorithms, 27 March 2007A. Manzanera, J. C. Richefeu, A Robust and Computationally Ecient Motion DetectionAlgorithm Based on Σ −∆ Background Estimation, http://perso.ensta-paristech.fr/~manzaner/Publis/icvgip04.pdf, November 2014Introduction To Motion Detection, https://www.ridgerun.com/developer/wiki/index.php/Introduction_to_Motion_Detection, November 2014Sen-Ching S. Cheung, Chandrika Kamath, Robust Techniques for Background Subtrac-tion in Urban Trac Video, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;?doi=10.1.1.214.6703&rep=rep1&type=pdf, 2004.Cristopher Wren, Ali Azarbayejani, Trevor Darell, Alex Pentland, Real-Time Tracking ofthe Human Body, http://pdf.aminer.org/001/033/397/pfinder_real_time_tracking_of_the_human_body.pdf, July 1997.

64

Mentor: Dijana Ili²evi¢

Konstrukcije pravilnog sedmerokuta

Student: Nikola Lepen

Podru£je: elementarna geometrija

Prikladno za studij: Matematika - smjer nastavni£ki, Matematika i informatika - smjernastavni£ki, Matematika i zika - smjer nastavni£ki

Preduvjeti: kolegij Elementarna geometrija

Opis: Poznato je da se pravilni sedmerokut ne moºe konstruirati ravnalom i ²estarom. Zakonstrukcije pravilnog sedmerokuta, osim ravnala i ²estara, treba koristiti svojstva konikaili neke konstrukcije koje nisu izvodljive ravnalom i ²estarom. Zadatak ovog diplomskograda je opisati neke konstrukcije pravilnog sedmerokuta, primjerice Arhimedovu kons-trukciju i nekoliko konstrukcija koje su izveli srednjovjekovni arapski matemati£ari.

Literatura:

V. Ben£i¢, Elementarna geometrija, II dio, za pedago²ke akademije, kolska knjiga, Za-greb, 1974.Ð. Pauni¢, Pravilni poligoni, Dru²tvo matemati£ara Srbije, Beograd, 2006.B. Pavkovi¢, D. Veljan, Elementarna matematika I, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1992.

65


Feuerbachova kruºnica i Simsonov pravac

Student: Magdalena Mikuli¢

Podru£je: elementarna geometrija


Preduvjeti: kolegij Elementarna geometrija

Opis: Neka su u trokutu ABC to£ke A′, B′, C ′ polovi²ta stranica, to£ke A′′, B′′, C ′′ polo-vi²ta duºina AH,BH,CH, gdje je H ortocentar, a to£ke A1, B1, C1 noºi²ta visina. Svihdevet to£aka A′, B′, C ′, A′′, B′′, C ′′, A1, B1, C1 leºe na istoj kruºnici i ta se kruºnica nazivakruºnica devet to£aka ili Feuerbachova kruºnica. Neka je k kruºnica opisana trokutuABC te neka su to£ke A0, B0, C0 noºi²ta okomica spu²tenih iz bilo koje to£ke kruºnicek na pravce na kojima leºe stranice trokuta ABC. Tada to£ke A0, B0, C0 leºe na istompravcu i taj se pravac naziva Simsonov pravac. Zadatak ovog diplomskog rada je prou£itisvojstva Feuerbachove kruºnice trokuta i njegovog Simsonovog pravca te njihove meu-sobne veze.

Literatura:

Z. Kolar-Begovi¢, A. Tonkovi¢, Feuerbachov teorem, Osje£ki matemati£ki list 9 (2009),2130.A. Mari¢, Neki pou£ci o Simsonovom pravcu, Bilten seminara iz matematike za nastavnikementore 14 (2005), 5864.D. Palman, Kruºnica devet to£aka i Feuerbachov teorem, Matematika 1 (1986), 5464.D. Palman, Simsonov pravac trokuta, Matematika 2 (1985), 3845.D. Palman, Trokut i kruºnica, Element, Zagreb, 2004.B. Pavkovi¢, D. Veljan, Elementarna matematika I, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1992.R. Ugle²i¢, Feuerbachova kruºnica, Matka 12 (2003/2004), 1718.M. de Villiers, Generalizacija kruºnice 9 to£aka i Eulerova pravca, Pou£ak 9 (2008), 3544.

66


Osnove logike sudova

Student: Petra Lucia Bakoti¢

Podru£je: osnove matematike


Preduvjeti: kolegij Uvod u matematiku

Opis: Cilj ovog diplomskog rada je opisati osnove logike sudova i ideju dokaza, kao te-melje za deduktivno zaklju£ivanje.

Literatura:

V. Devide, Matemati£ka logika, prvi dio (klasi£na logika skupova), Posebna izdanja Ma-temati£kog instituta, knjiga 3, Beograd, 1972.I. Lakatos, Dokazi i opovrgavanja, kolska knjiga, Zagreb, 1991.S. Mintakovi¢, F. uri¢, Osnove matematike sa zbirkom zadataka, kolska knjiga, Zagreb,1985.N. Prijatelj, Osnove matemati£ke logike, Prvi del: Simbolizacija, DMFA, Ljubljana, 1992.

67

Mentor: Zvonko Iljazovi¢

Dekompozicijski prostori

Student: Mihaela Moker

Podru£je: topologija


Preduvjeti:

Opis: Kada je (X, T ) topolo²ki prostor te F particija od X, onda na F imamo topologijukoja se sastoji od svih G ⊆ F takvih da je

⋃G ∈ T . Pitanje je koja svojstva ima tako

dobiveni topolo²ki prostor te na koji na£in ona ovise o svojstvima polaznog prostora. Uovom radu ¢e se prou£avati neki problemi s tim u vezi.

Literatura:

C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975.S. B. Nadler, Continuum theory, Marcel Dekker, Inc., New York, 1992.

68


Disperzija i potpuna omeenost

Student: Tamara Bili¢



Preduvjeti:

Opis: Za kona£an niz to£aka u metri£kom prostoru kaºemo da je r-raspr²en ako sumeusobne udaljenosti tih to£aka ve¢e od r. Ovaj pojam je u odreenoj vezi s pojmompotpune omeenosti metri£kog prostora. Cilj ovog rada jest prou£iti vezu izmeu tihpojmova.

Literatura:

W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975.C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.

69


Hausdorova metrika

Student: Marina Volari¢



Preduvjeti:

Opis: Za neprazne, zatvorene i omeene skupove A i B u nekom metri£kom prostoru(X, d) deniramo njihovu Hausdorovu udaljenost kao inmum skupa svih ε > 0 sasvojstvom da za svaki a ∈ A postoji b ∈ B takav da je d(a, b) < ε te da za svaki b ∈ Bpostoji a ∈ A takav da je d(b, a) < ε. Na ovaj na£in dobivamo metriku na odreenojfamiliji podskupova od X. U ovom radu ¢e se prou£avati razna svojstva Hausdorovemetrike.

Literatura:

C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975.S. B. Nadler, Continuum theory, Marcel Dekker, Inc., New York, 1992.

70


Hilbertov prostor

Student: Maja tajduhar



Preduvjeti:

Opis: U ovom radu ¢e se prou£avati Hilbertov prostor l2. Prou£avat ¢e se neka svojstvatog prostora, a naglasak ¢e se staviti na one £injenice vezane za ovaj prostor koje su uvezi s odreenim topolo²kim rezultatima efektivnog tipa.

Literatura:

W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.

71


Izometri£ki ekvivalentni nizovi

Student: Denis Vrdoljak



Preduvjeti:

Opis: Za kona£ne nizove x1, . . . , xn i y1, . . . , yn to£aka u metri£kom prostoru (X, d) ka-ºemo da su izometri£ki ekvivalentni ako je d(xi, xj) = d(yi, yj) za sve i, j. Nadalje, re¢i¢emo da su dani kona£ni nizovi r-izometri£ki ekvivalentni ako je |d(xi, xj)− d(yi, yj)| < rza sve i, j. U ovom radu ¢e se prou£avati ovi, kao i pojmovi sli£ni ovima, te ¢e se prou£a-vati neki rezultati koji povezuju dane pojmove i izometrije od (X, d).

Literatura:

W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.

72


Izra£unljivi metri£ki prostori

Student: Anita Kuruc

Podru£je: teorija izra£unljivosti, topologija


Preduvjeti:

Opis: Izra£unljiv metri£ki prostor je metri£ki prostor zajedno s nizom £ija slika je gustai takvim da se udaljenosti izmeu £lanova niza mogu efektivno izra£unati. Rije£ je ovaºnom konceptu u izra£unljivoj analizi i topologiji. U ovom radu ¢e se prou£avati nekinjegovi aspekti.

Literatura:

V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:4376, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.M. Vukovi¢, Izra£unljivost, skripta, 2009.

73


Izra£unljivi topolo²ki prostori

Student: Marija Lijovi¢



Preduvjeti:

Opis: Izra£unljiv topolo²ki prostor je topolo²ki prostor zajedno s enumeracijom bazepripadne topologije koja je efektivna u smislu da se odreene relacije izmeu pojedinih£lanova te baze mogu efektivno izraziti. Pitanje je kako se u tom kontekstu mogu opisatipojmovi i rezultati vezani za razne tipove izra£unljivosti skupova. To je problematikakoja ¢e se prou£avati u ovom radu.

Literatura:

V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:4376, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.V. Brattka, Plottable real number functions and the computable graph theorem, SIAM J.Comput., 38(1):303328, 2008.K. Weihrauch, T. Grubba, Elementary Computable Topology, Journal of Universal Com-puter Science, 15(6), 1381-1422, 2009.

74


Lokalna izra£unljivost

Student: Igor Su²i¢



Preduvjeti:

Opis: Kada je rije£ o izra£unljivosti poluizra£unljivih skupova, vaºnu ulogu igra pojamizra£unljivosti skupa A do na skup B. Da je A izra£unljiv do na B zna£i da se A moºeefektivno prekriti proizvoljno 'malim' skupovima od kojih svaki sije£e B. U ovom radu¢e se prou£avati ovaj pojam te neki s njim povezani koncepti.

Literatura:

V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:4376, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.V. Brattka, Plottable real number functions and the computable graph theorem, SIAM J.Comput., 38(1):303328, 2008.K. Weihrauch, T. Grubba, Elementary Computable Topology, Journal of Universal Com-puter Science, 15(6), 1381-1422, 2009.

75


Metri£ka ravnina

Student: Marija Tomi¢ Kruljac

Podru£je: geometrija, topologija


Preduvjeti:

Opis: Metri£ka ravnina je odreena geometrijska struktura koja podrazumijeva i metrikuna danom skupu. Uz neke dodatne pretpostavke na tu strukturu dolazi se do pojmaapsolutne ravnine. U ovom radu ¢e se prou£avati neki aspekti ovih pojmova.

Literatura:

B. Pavkovi¢, D. Veljan, Elementarna matematika 1, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1992.H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry J. Wiley, New York, 1969.

76


Poliedri

Student: Marijana Brada²

Podru£je: geometrija, topologija


Preduvjeti:

Opis: Poliedri su objekti izgraeni od simpleksa, pri £emu se u toj izgradnji simpleksispajaju na odreeni na£in po svojim stranicama. Poliedri igraju vaºnu ulogu u topologiji.U ovom radu ¢e se prou£avati neka njihova svojstva.

Literatura:

J. R. Munkres, Elements of Algebraic Topology Addison-Wesley Publishing Company,Menlo Park, California, 1984.I. M. Singer, J. A. Thorpe, Lecture Notes in Elementary Topology and Geometry Springer-Verlag, New York-Heielberg-Berlin, 1967.

77


Poluizra£unljivost

Student: Eugen i£kovi¢



Preduvjeti:

Opis: Skup S je poluizra£unljiv ako se mogu efektivno prebrojati svi racionalni otvorenipokriva£i tog skupa. Ovaj pojam je u odreenoj vezi s pojmom korekurzivno prebrojivogskupa, kao i s nekim ostalim konceptima izra£unljivosti. U ovom radu ¢e se prou£avatirazni aspekti poluizra£unljivosti.

Literatura:

V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:4376, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.K. Weihrauch, T. Grubba, Elementary Computable Topology, Journal of Universal Com-puter Science, 15(6), 1381-1422, 2009.M. Vukovi¢, Izra£unljivost, skripta, 2009.

78


Rekurzivne multifunkcije

Student: Elvir Balti¢

Podru£je: teorija izra£unljivosti


Preduvjeti:

Opis: U ovom radu ¢e se prou£avati funkcije oblika Nk → P(Nn). Prou£avat ¢e serekurzivnost takvih funkcija te jo² neki pojmovi s tim u vezi. Obradit ¢e se i potrebne£injenice iz klasi£ne teorije rekurzivnih funkcija.

Literatura:

H. Rogers, Theory of recursive functions and eective coputability, McGraw-Hill, 1967.M. Vukovi¢, Izra£unljivost, skripta, 2009.

79


Rekurzivnost realnih funkcija

Student: Ivana ore

Podru£je: teorija izra£unljivosti


Preduvjeti:

Opis: U ovom radu ¢e se prou£avati rekurzivne funkcije Nk → R. Prou£avat ¢e se ineki pomovi s tim u vezi kao i razna svojstva takvih funkcija. Obradit ¢e se i potrebne£injenice iz klasi£ne teorije rekurzivnih funkcija.

Literatura:

K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.H. Rogers, Theory of recursive functions and eective coputability, McGraw-Hill, 1967.M. Vukovi¢, Izra£unljivost, skripta, 2009.

80


Svojstvo efektivnog pokrivanja

Student: Marko Pavi£i¢



Preduvjeti:

Opis: Za izra£unljiv metri£ki prostor kaºemo da ima svojstvo efektivnog pokrivanja akose za danu racionalnu zatvorenu kuglu mogu efektivno prebrojati svi njeni racionalniotvoreni pokriva£i i to uniformno po svim racionalnim zatvorenim kuglama. U prostorimakoji imaju to svojstvo se mogu dobiti odreeni rezultati koji ne vrijede op¢enito. U ovomradu ¢e se obraditi neke £injenice vezane za svojstvo efektivnog pokrivanja.

Literatura:

V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:4376, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.H. Rogers, Theory of recursive functions and eective coputability, McGraw-Hill, 1967.M. Vukovi¢, Izra£unljivost, skripta, 2009.

81

Mentor: Anamarija Jazbec

Modeliranje dijabetesa pomo¢u logisti£ke regresije s nominalnomzavisnom varijablom

Student: Anto Dodik

Podru£je: statistika


Preduvjeti:

Opis: Koriste¢i bazu s predavanja na¢i model koji najbolje predvia pojavnost dijabetesatipa I i II pomo¢u varijabli koje se nalaze u bazi.

Literatura:

1. Allison P.D. (1999) Logistic Regression Using SAS: Theory and Application. Cary,NC:SAS Institute Inc.2. Stokes, M.E., Davis C.S., Koch G.G. (2000) Categorical Data Analysis Using SASSystem, Second Edition. Cary, NC:SAS Institute Inc.

82


Linearna regresijska analiza simboli£kih podataka

Student: Tomislav Lektori¢



Preduvjeti:

Opis: Vrlo £esto nemamo to£nu izmjeru nekog obiljeºja, ve¢ znamo neki interval ili uvelikim bazama podataka ºelimo grupirati podatke i analizirati tako grupirane podatke.U ovom radu trebalo bi denirati linearni regresijski model za simboli£ke podatke.

Literatura:

1. Billard L, Diday E. (2006) Symbolic data Analysis: Conceptual Statistics and DataMining, John Wiely, Chichester.2. Diday E, Noirhomme M (eds.) (2008) Symbolic Data and the SODAS Software. JohnWiely, Chichester.3. http://iti.srce.hr/multimedia/ITI/snimke/2008/Lynn_Bilard.wmv

83


Klasikacijska stabla

Student: Anja Dami²



Preduvjeti:

Opis: Klasikacijska stabla koriste se za predvianje £lanstva objekata u klase kategori£kizavisne varijable pomo¢u jedne ili vi²e prediktorskih varijabli. Cilj klasikacijskih stabalaje predvidjeti ili objasniti odgovore na kategori£ku zavisnu varijablu.

Literatura:

1. Hastie T, Tibshirani R, Friedman J (2001) The Elements of Statistical Learning: DataMining, Inference and Prediction, Spirnger. New York.2. http://support.sas.com/publishing/pubcat/chaps/57587.pdf

84


Modeliranje pojavnosti endemske nefropatije pomo¢u logisti£keregresije

Student: Maja ekoranja



Preduvjeti:

Opis: Koriste¢i bazu o endemskoj nefropatiji na¢i model koji najbolje predvia pojavnostendemske nefropatije pomo¢u varijabli koje se nalaze u bazi.

Literatura:

1. Allison P.D. (1999) Logistic Regression Using SAS: Theory and Application. Cary,NC:SAS Institute Inc.2. Stokes, M.E., Davis C.S., Koch G.G. (2000) Categorical Data Analysis Using SASSystem, Second Edition. Cary, NC:SAS Institute Inc.

85


Vi²efaktorska analiza varijance ponovljenih mjerenja

Student: Nikolina Molnar



Preduvjeti:

Opis: Vi²efaktorska analiza varijance kod koje promatramo i ponovljena mjerenja anali-ziranih subjekata. Uz efekt izmeu subjekata postoji i efekt izmeu subjekata (autokore-lacija).

Literatura:

Davis C. S. (2002) Statistical Methods for the Analysis of Repeated Measurements, Sprin-ger, New York.

86

Mentor: Matija Kazalicki

Bayesova statistika i primjene

Student: Iva Zovko



Preduvjeti: nema

Opis: Ameri£ki statisti£ar Nate Silver je privukao paºnju nematemati£ke javnosti kada jena ameri£kim predsjedni£kim izborima 2012. godine to£no prognozirao rezultate glasova-nja u svim saveznim drºavama. Njegov model je bio baziran na Bayesovoj statistici. Ciljovog diplomskog je obraditi osnove Bayesove statistike i objasniti primjene u predvianjurezultata izbora kao i primjene u sudskoj praksi (slu£aj R v Adams).

Literatura:

J. Albert Bayesian computation with R, New York : Springer Science + Business Media,2009

87

Mentor: Matija Kazalicki

Bitcoin

Student: Ines Franciskovi¢



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj ovog diplomskog rada je opisati matemati£ku pozadinu kriptovalute Bitcoin.

Literatura:

S. Nakamoto, Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System, bitcoin.orgA. Antonopoulos, Mastering Bitcoin - Unlocking digital currencies, https://github.

com/aantonop/bitcoinbook

88

Mentor: Vjekoslav Kova£

Tehnika Bellmanovih funkcija u matemati£koj analizi

Student: Marin Buºan£i¢

Podru£je: matemati£ka analiza (harmonijska analiza)


Preduvjeti: nema

Opis: Metoda Bellmanovih funkcija je jedna od najja£ih i najoriginalnijih tehnika zadokazivanje raznovrsnih ocjena u matemati£koj analizi. Osnovna ideja je proiza²la iz ra-dova D. L. Burkholdera, dok su je F. Nazarov, S. Treil i A. Volberg pretvorili u sustavnuteoriju. Nazvana je u £ast R. E. Bellmana jer ima dodirnih to£aka s njegovim radom upodru£ju optimalne stohasti£ke kontrole, ali taj aspekt nije nuºan za njenu primjenu unu-tar harmonijske analize, £ime ¢e se baviti ovaj rad. Osnovna je ideja da je dokaz ocjeneodgovaraju¢eg tipa ekvivalentan pronalaºenju jedne jedine funkcije s traºenim svojstvima,tzv. Bellmanove funkcije za dani problem.Cilj ovog rada je obrazloºiti osnovni princip tehnike Bellmanovih funkcija te ga potomprimijeniti na nekoliko konkretnih problema u harmonijskoj analizi. Tako ¢e se obraditipojam Carlesonove mjere i Carlesonov teorem ulaganja, koji ¢e se dokazati spomenutomtehnikom. Jo² jedna obraena tema bit ¢e Ap/A∞ teºine i ocjene vezane uz njih. Velikinaglasak ¢e se staviti na elaboriranje trikova za pronalaºenje samih Bellmanovih funkcija:heuristi£kih supstitucija kod diferencijalnih jednadºbi i numeri£kih simulacija na ra£u-nalu.

Literatura:

(1) J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Pro-vidence, 2000.(2) F. Nazarov, S. Treil, The hunt for a Bellman function: applications to estimates forsingular integral operators and to other classical problems of harmonic analysis, St. Pe-tersburg Math. J. 8 (1997), 721824.(3) E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscilla-tory Integrals, Princeton University Press, Princeton, 1993.

89


Fourierova analiza na lokalno kompaktnim abelovim grupama ineke primjene

Student: Ljudevit Palle

Podru£je: matemati£ka analiza (Fourierova analiza)


Preduvjeti: nema

Opis: Tema ovog rada bit ¢e osnove Fourierove analize u kontekstu op¢enitih komutativ-nih lokalno kompaktnih grupa, koja se ponekad naziva i apstraktna harmonijska analiza.Preliminarne potrebne materijale £init ¢e teorija Radonovih mjera, osnove topolo²kihgrupa i egzistencija Haarove mjere. U glavnom dijelu rada denirat ¢e se dualna grupa,fundirati Fourierova transformacija, dokazati Fourierov teorem inverzije, pokazati Planc-herelov identitet te kona£no dokazati Pontrjaginov teorem o bidualu. Kulminacija radnjebit ¢e rezultati koji primjenjuju tu op¢enitu teoriju, poput Bochnerovog teorema ka-rakterizacije Fourierovih transformata kona£nih mjera i karakterizacije skoro-periodi£nihfunkcija pomo¢u Bohrove kompaktikacije.

Literatura:

(1) G. B. Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis, Studies in Advanced Mat-hematics, CRC Press, Boca Raton, 1994.(2) G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, drugo iz-danje, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.(3) E. Hewitt, K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, Volume I: Structure of Topolo-gical Groups, Integration Theory, Group Representations, drugo izdanje, Springer-Verlag,New York, 1994.(4) E. Hewitt, K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, Volume II: Structure and Analysisfor Compact Groups, Analysis on Locally Compact Abelian Groups, Springer-Verlag, NewYork, 1997.(5) D. Ramakrishnan, R. J. Valenza, Fourier Analysis on Number Fields, Graduate Textsin Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1999.

90


Babenko-Becknerov teorem

Student: Ana Perkovi¢

Podru£je: matemati£ka analiza, teorija vjerojatnosti


Preduvjeti: nema

Opis: Glavni cilj ovog rada bit ¢e dokazati poznati rezultat o normi Fourierove transfor-macije kao linearnog operatora sa Lp u Lq, pri £emu su p i q konjugirani eksponenti te je1 ≤ p ≤ 2. Sve do 1975. godine postojala je samo slutnja o pravoj vrijednosti te norme i£injenici da se ona postiºe za Gaussove funkcije. Pomalo iznenauju¢e, Becknerov origi-nalni dokaz tog rezultata je u su²tini vjerojatnosni dokaz, jer koristi nizove Bernoullijevihpokusa i konvergenciju prema normalnoj razdiobi. U radu ¢e biti izloºeni svi potrebnipreliminarni koncepti iz realne analize i teorije vjerojatnosti, potom denicija i osnovnasvojstva Fourierove transformacije te kona£no svi detalji dokaza glavnog teorema.

Literatura:

(1) W. Beckner, Inequalities in Fourier analysis, Annals of Mathematics 102 (1975), 159182.(2) J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Pro-vidence, 2001.(3) N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, kolska knjiga, Zagreb, 1992.(4) E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Prince-ton University Press, Princeton, 1971.

91


Vali¢ne karakterizacije Soboljevljevih prostora

Student: Mario Stip£i¢



Preduvjeti: nema

Opis: Glavni cilj ovog rada je iskazati i dokazati karakterizacije Soboljevljevih prostora ipripadnih normi (do na ekvivalenciju) u terminima koecijenata funkcije u prigodnoj or-tonormiranoj vali¢noj bazi. Promatrat ¢e se nehomogeni prostori Soboljeva Ws,p i njihovehomogene varijante Ws,p. Svaka od tih klasa prostora poop¢uje Lebesgueove prostore Lp,1 < p < ∞ pa zato ovi rezultati £ine dalekoseºne generalizacije Littlewood-Paleyeve te-orije. U uvodnim poglavljima ¢e se obraditi i sve potrebne £injenice o ortonormiranimvali¢ima, kao i osnovna svojstva Fourierove transformacije i temperiranih distribucija.

Literatura:

(1) R. Coifman, Y. Meyer, Wavelets: Calderón-Zygmund and multilinear operators, Cam-bridge University Press, Cambridge, 1997.(2) G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wileyand Sons, New York, 1999.(3) E. Hernández, G. Weiss, A First Course on Wavelets, Studies in Advanced Mathema-tics, CRC Press, Boca Raton, 1996.(4) Y. Meyer, Wavelets and Operators, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

92

Mentor: Vedran Kr£adinac

Kriptomorzmi matroida

Student: Marija Ivan£i¢



Preduvjeti: nema

Opis: Teorija matroida povezuje ideje iz linearne algebre, geometrije, kombinatorike i te-orije grafova. Pojam matroida moºe se uvesti na mnogo na£ina: preko nezavisnih skupova,baza, ciklusa, zatvorenih skupova, funkcije ranga, zatvara£a ili hiperravnina. injenica dasu sve te denicije meusobno ekvivalentne poznata je pod nazivom kriptomorzam. Ciljovog diplomskog rada je dokazati ekvivalentnost raznih denicija matroida i ilustrirati£emu odgovaraju ti pojmovi u primjenama matroida u raznim podru£jima matematike.

Literatura:

G. Gordon, J. McNulty, Matroids: a geometric introduction, Cambridge University Press,2012.

93

Mentor: Vedran Kr£adinac

Rastavljivi dizajni

Student: Ilija Markovi¢



Preduvjeti:

Opis: Paralelna klasa je skup blokova koji £ine particiju skupa svih to£aka. Dizajnje rastavljiv ako se skup svih blokova moºe particionirati na paralelne klase. U ovomdiplomskom radu obradit ¢e se osnovni rezultati o rastavljivim dizajnima prema petompoglavlju dolje navedene knjige.

Literatura:

Y.I. Ionin, M.S. Shrikhande, Combinatorics of symmetric designs, Cambridge UniversityPress, 2006.

94

Mentor: Robert Manger

Aspektno-orijentirani razvoj softvera

Student: Ivan Puntari¢

Podru£je: softversko inºenjerstvo

Prikladno za studij: Diplomski studij Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti:

Opis: Aspektno-orijentirani razvoj softvera zasniva se na jednoj novoj programerskojapstrakciji, takozvanim aspektima. Jedan aspekt implementira funkcionalnost koja bimogla biti potrebna na puno razli£itih mjesta u programu. Osim odgovaraju¢eg pro-gramskog koda, aspekt takoer sadrºi deniciju gdje se sve taj kod mora uklju£iti (kopi-rati) u program. Aspekti se koriste zajedno s drugim apstrakcijama kao ²to su objektiili metode. Izvr²ivi aspektno-orijentirani program stvara se automatski kombiniranjemobjekata, metoda i aspekata. U diplomskom radu potrebno je izloºiti glavna svojstvaaspektno-orijentiranog razvoja softvera, te opisati barem jedan programski jezik ili alatkoji podrºava aspekte. U prakti£nom dijelu rada trebalo bi izraditi i testirati vlastitiprogram koji na svrsishodan na£in koristi aspekte.

Literatura:

I. Sommerville: Software Engineering, Ninth Edition. Addidon Wesley, 2010.I. Jacobson, P-W Ng: Aspect-Oriented Software Development with Use Cases. Addison-Wesley, 2005.M.D. Groves: AOP in .NET - Practical Aspect-Oriented Programming. Manning Publi-cations, 2013.V.O. Safonov: Using Aspect-Oriented Programming for Trustworthy Software. Wiley-Interscience, 2008.

95


Temporalne baze podataka

Student: Andrea Per£inli¢

Podru£je: baze podataka


Preduvjeti:

Opis: Podaci se vremenom mijenjaju. U ve¢ini baza podataka s promjenama se izlazi nakraj tako da se za svaki podatak pohranjuje samo njegova najnovija vrijednost. Dakle kodsvake promjene vrijednost se aºurira, a stara vrijednost se gubi. Koji put to nije dovoljnojer nas zanimaju i prethodne, a moºda £ak i budu¢e vrijednosti istog podatka. Tempo-ralne baze podataka su takve baze koje za svaki podatak mogu lako reproducirati njegovuprethodnu ili pretpostaviti njegovu budu¢u vrijednost. Temporalne baze dopu²taju pos-tavljanje temporalnih upita gdje uvjeti pretraºivanja ovise o vremenu. U diplomskomradu potrebno je izloºiti na£ine realizacije temporalne baze, bilo pomo¢u konvencionalnihrelacijskih tehnologija i konvencionalnog SQL-a, bilo pomo¢u specijaliziranih softverskihrje²enja. Diplomski rad treba sadrºavati i vlastiti studijski primjer gdje se koristi neki odizloºenih na£ina realizacije.

Literatura:

C.J. Date, H. Darwen, N. Lorentzos: Time and Relational Theory - Temporal databasesin the Relational Model and SQL. Second Edition. Morgan-Kaufmann, 2014.K. Ahsan, P. Vijay: Temporal databases - Information Systems. Booktango, 2014.T. Johnston, R. Weis: Managing Time in Relational Databases - How to Design, Updateand Query Temporal Data. Morgan-Kaufmann, 2010.

96


Protokoli za nadzor i konguraciju ra£unalne mreºe

Student: Marko Stojanovi¢

Podru£je: mreºe ra£unala, softversko inºenjerstvo


Preduvjeti:

Opis: Nadzor ra£unalnih mreºa denira se kao pra¢enje stanja mreºe i spojenih ureajate detekcija problema unutar mreºnog sustava. Konguracija ra£unalnih mreºa podrazu-mijeva pode²avanje parametara mreºnih uredjaja i servisa u svrhu njihovog boljeg rada.U ovom radu dati ¢e se pregled protokola koji se koriste za nadzor i konguraciju ra£u-nalnih mreºa (SNMP, DHCP, DNS, PF). Podaci prikupljeni putem protokola za nadzorpohranjivat ¢e se u bazu podataka. Za jednostavniji prikaz trenutnih i pro²ih stanja mreºei interakciju s bazom podataka izradit ¢e se web su£elje. U radu ¢e se navesti i objasnitisve tehnologije kori²tene za izradu baze podataka i rad s bazom, te tehnologije potrebneza izradu i ispravan rad web su£elja.

Literatura:

D. R. Mauro, K. J. Schmidt: Essential SNMP ,1st Edition, O'Reilly, 2001.L.L. Peterson , B.S. Davie : Computer Networks - A Systems Approach. 4th Edition,Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, 2007.P.N.M. Hansteen: The Book of PF: A No-Nonsense Guide to the OpenBSD Firewall, NoStarch Press, 2011.R. Nixon: Learning PHP, MySQL, JavaScript, CSS & HTML5, 3rd Edition, O'Reilly,2014.

97


Razvoj mobilnih aplikacija pomo¢u alata Swift

Student: Vanja Vukovi¢

Podru£je: softversko inºenjerstvo, programski jezici


Preduvjeti:

Opis: U radu treba objasniti speci£nosti razvoja mobilnih aplikacija u odnosu na stan-dardne aplikacije te speci£nosti platforme iPhone u odnosu na ostale mobilne platforme.Dalje treba opisati novi programski jezik za razvoj iPhone aplikacija Swift te odrediti po£emu se on razlikuje od starijih jezika. Sastavni dio rada morao bi biti studijski primjerrazvoja konkretne aplikacije za iPhone pomo¢u Swift.

Literatura:

J. Conway, A. Hillegass, C. Keur: iOS Programming - The Big Nerd Ranch Guide, 4thEdition, Big Nerd Ranch Guides, 2014.C. Hockenberry: iPhone App Development - The Missing Manual, O'Reilly Media, 2010.M.A. Lasso, T. Stachowitz: Swift Fundamentals - The Language of iOS Development,LearnToProgram Inc, 2014.

98


Veliki podaci (big data)

Student: Andrea Grozdek

Podru£je: baze podataka, distribuirani procesi


Preduvjeti:

Opis: Pojam "veliki podaci" (big data - BD) odnosi se na podatke koji prema²uju ka-pacitet konvencionalnih sustava za upravljanje bazama podataka. Dakle: ili je koli£inapodataka prevelika, ili se podaci generiraju prebrzo, ili se oni ne uklapaju u uobi£ajenepodatkovne arhitekture. Da bi iz BD izvukli neku korisnu informaciju, nije nam dovoljanobi£ni softver za baze podataka ve¢ su takoer potrebne i napredne tehnologije poputdistribuiranih datote£nih sustava, distribuiranog ra£unanja te ra£unanja u oblaku. Takvetehnologije postale su dostupne tek u novije vrijeme. Obradom BD uz pomo¢ naprednihtehnologija mogu¢e je do¢i do preciznijih analiza i izvje²taja nego ²to je to bilo mogu¢eprije. Te analize izvje²taji ne moraju se vi²e oslanjati na uzorkovanje i statisti£ke procjeneve¢ se dobivaju egzaktnom obradom cijele populacije. U diplomskom radu potrebno jedati pregled sada²njeg stanja u vezi BD te izraditi studijski primjer zasnovan na resursimadostupnim na Internetu.

Literatura:

O'Reilly Team: Big Data Now - 2012 Edition. O'Reilly Media, 2012.V. Mayer-Schonberger, K. Cukier: Big Data - A Revolution That Will Transform HowWe Live, Work, and Think. Houghton Miin Harcourt, 2013.J. Hurwitz, A. Nugent, F. Halper, M. Kaufman: Big Data for Dummies. John Wiley andSons, 2013.

99


Rje²avanje kombinatornih problema pomo¢u tokova u mreºama

Student: Juraj ikonja

Podru£je: oblikovanje i analiza algoritama, modeliranje, optimizacija

Prikladno za studij: Diplomski studij Ra£unarstvo i matematika, Diplomski studijPrimijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: Tokovi u mreºama obi£no sluºe za rje²avanje nekih oblika problema linearnogprogramiranja, dakle za optimizaciju gdje su varijable realni brojevi. No zanimljivo je dase ista tehnika takoer moºe upotrijebiti za neke kombinatorne probleme, gdje varijablemoraju poprimati cjelobrojne ili £ak 0/1 vrijednosti. U tu svrhu sluºimo se dosjetljivokonstruiranim mreºama s jedini£nim tokovima i kapacitetima. U ovom diplomskom radu,student najprije treba izloºiti dio teorije o tokovima u mreºama te opisati neke algoritmeza ra£unanje tih tokova. Zatim se treba posvetiti rje²avanju odabranih kombinatornihproblema kao ²to su optimalno pridruºivanje (optimal assignment), savr²eno sparivanje(perfect maching) i sli£ni. Za svaki od promatranih kombinatornih problema potrebnoje opisati konstrukciju koja ga svodi na ra£unanje toka u mreºi. Takoer, u sklopu radapotrebno je razviti i testirati program koji implementira na ra£unalu neko od razmatranihrje²enja.

Literatura:

S. Even: Graph Algorithms, Second Edition. Cambridge University Press, 2012.D. Jungnickel: Graphs, Networks and Algorithms, Fourth Edition. Springer, 2013.

100

Mentor: Miljenko Maru²i¢

Odreivanje indikatora uspje²nosti na studiju matematike

Student: Mislav Zorko



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj rada je na osnovu dostupnih pokazatelja kao ²to su bodovi na upisu, rezultatdrºavne mature, ocjene iz srednje ²kole, ocjene poloºenih kolegija odrediti vezu s uspje²-no²¢u studiranja. Uspjeh moºe biti deniran na vi²e na£ina: poloºeni svi ispiti s prveili druge godine studija, zavr²en studij, unutar unaprijed deniranog vremensko raspona.Od statisti£kih metoda predvidiva je upotreba regresijskih analiza.

Literatura:

101

Mentor: Jadranka Mi¢i¢ Hot Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Levinsonova nejednakost

Student: ana Ljuboja

Podru£je: analiza


Preduvjeti:

Opis: Prou£avanjem Levinsonove nejednakosti kroz povijest, moºemo dati "mali primjerkako matemati£ari razvijaju matematiku". N. Levinson je 1964. g. je dokazao sljede¢unejednakost:

n∑i=1

pif(xi)− f(n∑i=1

pixi) ≤n∑i=1

pif(yi)− f(n∑i=1

piyi)

uz odreene uvjete na funkciju i relane brojeve pi, xi, yi, i = 1, . . . , n. Nakon toga slijediniz radova mnogih autora koji su prou£avali tu nejednakost uz slabije uvjete, te dali njenugeneralizaciju i pronjenja.Cilj diplomskog rada je napraviti pregled razvoja i dokaze Levinsonove nejednakosti krozpovijest, od 1964. g. do danas.

Literatura:

1) N. Levinson, Generalization of an inequality of Ky Fan, J. Math. Anal. Appl. 8(1964), 133-134.2) P.S. Bullen, An inequality of N. Levinson, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak.Ser. Mat. Fiz. 412-460 (1973), 109112.3) A. McD. Mercer, Short proof of Jensen's and Levinson's inequalities, Math. Gazette94 (2010), 492-495

102

Mentor: eljka Milin ipu²

Plohe konstantne negativne zakrivljenosti i Bäcklundovetransformacije

Student: Slavko Davidovi¢

Podru£je: diferencijalna geometrija

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Plohe negativne zakrivljenosti mogu¢e je parametrizirati tako da se parametarskekrivulje podudaraju s asimptotskim, a one su dodatno parametrizirane duljinom luka.Tada kut izmeu asimptotskih krivulja zadovoljava sinus-Gordonovu parcijalnu diferenci-jalnu jednadºbu. Bäcklundove transformacije te jednadºbe omogu¢uju konstrukciju novihploha konstantne negativne zakrivljenosti. Primjerice, polaze¢i od pseudosfere, najpoz-natije plohe konstantne negativne zakrivljenosti, pomo¢u Bäcklundovih transformacijadobiva se Dinijeva ploha. Cilj je ovog diplomskog rada prou£iti Bäcklundove transforma-cije, te konstruirati niz primjera ploha konstantne negativne zakrivljenosti.

Literatura:

1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon,Modern Dierential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. C. Rogers, W.K. Schief, Bäacklund and Darboux Transformations, Geometry and Mo-dern Applications in Soliton Theory, Cambridge University Press, 2002.

103


Geometrija u graditeljstvu

Student: Josip Peri¢

Podru£je: geometrija, diferencijalna geometrija, edukacija matematike


Preduvjeti:

Opis: U suvremenom graditeljstvu, u posljednje je vrijeme do²lo do velike ekspanzijeu kori²tenju razli£itih geometrijskih oblika. Cilj ovog diplomskog rada prou£iti je, sastanovi²ta geometrije, a posebno diferencijalne geometrije, klase ploha koje se pojavljujuu arhitektonskim djelima ²irom svijeta, posebno u sportskim objektima. To su, primjerice,rotacijske, prav£aste, klizne, zavojne i tzv. slobodne plohe. U radu ¢e se prou£iti njihovageometrijska i diferencijalno geometrijska svojstva. Takoer, u radu ¢e se napraviti pregledzanimljivih graevinskih objekata te ¢e ih se analizirati s geometrijskog stanovi²ta.

Literatura:

1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon,Modern Dierential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. W. Kühnel, Dierential geometry, Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2000.3. G. Glaeser, Geometry and Its Applications in Arts, Nature and Technology, Springer,2013.4. H. Pottmann, A. Asperl, M. Hofer, A. Kilian, Architectural geometry, Springer 2010.

104


Aksonometrija i anaglifske slike

Student: Marta Kvesi¢

Podru£je: geometrija, nacrtna geometrija, edukacija matematike


Preduvjeti:

Opis: Cilj ovog rada je izraditi didakti£ki materijal koji prati ²kolske sadrºaje geometrijeprostora - prikazivanje tijela (posebno, Platonovih) i njihovih ravninskih presjeka. Idejaje izraditi tzv. anaglifske slike navedenih trodimenzionalnih objekata. Anaglifska slikaprostornog objekta sastoji se od dvije aksonometrijske slike objekta (na papiru), jedneplave i jedne crvene, dobivene pogledima iz razli£itog oka. Koriste¢i nao£ale s plavimi crvenim staklima, te se slike integriraju u stereoskopsku sliku, £ime se postiºe prividtrodimenzionalne dubine. U tu svrhu, u radu ¢e se najprije prou£iti metoda paralelnogprojiciranja - aksonometrija, pomo¢u koje ¢e se konstruirati projekcije tijela i njihovihravninskih presjeka. Zatim ¢e se analizirati na£ini stvaranja anaglifskih slika.

Literatura:

1. Vilko Ni£e, Deskriptivna geometrija I-II, kolska knjiga, Zagreb, 1987.2. Imre Pál, Nacrtna geometrija u anaglifskim slikama, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1966.3. Dominik Palman, Nacrtna geometrija, Element, Zagreb, 2003.4. Vlasta Szirovicza, Ana Sliep£evi¢, Nacrtna geometrija I-II, Element i HDKGIKG,Zagreb, 1996.

105


Fokalne plohe

Student: Ivo ok£i¢

Podru£je: geometrija, diferencijalna geometrija


Preduvjeti:

Opis: Fokalni skup plohe je skup svih njezinih sredi²ta zakrivljenosti. Primjerice, ukolikoje to£ka plohe umbili£ka, njezina dva sredi²ta zakrivljenosti degeneriraju u jedno, te jezbog toga fokalni skup sfere jedna to£ka (njezino sredi²te). Op¢enito, (regularni) fokalniskup plohe moºe se sastojati od dvije plohe, tzv. fokalne plohe ili evolute, od jedne plohei jedne krivulje ili od dvije krivulje. U radu ¢e se prou£iti diferencijalno-geometrijskasvojstva tih skupova.

Literatura:

1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon,Modern Dierential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. W. Kühnel, Dierential geometry, Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2000.

106


Plohe konstantne srednje zakrivljenosti

Student: Petra Vuka²inovi¢



Preduvjeti:

Opis: Plohe konstantne srednje zakrivljenosti, H = const., sadrºe dvije velike klase ploha tzv. minimalne plohe, H = 0, i tzv. cmc-plohe, odnosno prave plohe konstantne sred-nje zakrivljenosti, H = const. 6= 0. Meu njih spadaju, primjerice, helikoid i katenoidkao minimalne plohe, te sfera i Delaunayeve plohe kao cmc-plohe. U radu ¢e se ispitatitemeljna diferencijalno-geometrijska svojstva ploha konstantne srednje zakrivljenosti, tenjihova realizacija u obliku tankog sloja, odnosno, mjehuri¢a od sapunice.

Literatura:

1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon,Modern Dierential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. W. Kühnel, Dierential geometry, Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2000.3. J. Oprea, The mathematics of soap lms: Explorations with Maple, Student Mathema-tical Library, 10, AMS, Providence, 2000.

107


Fundamentalni teorem za krivulje

Student: Ivan Be²eni¢



Preduvjeti:

Opis: Fundamentalni teorem diferencijalne geometrije za krivulje u prostoru tvrdi dapostoji jedinstvena (do na izometriju prostora) prostorna krivulja sa zadanom eksijom itorzijom. Cilj rada je dokazati teorem, te prou£iti primjere tako zadanih krivulja, odnosnoklase krivulja zadane funkcijskim vezama izmeu eksije i torzije.

Literatura:

1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon,Modern Dierential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. W. Kühnel, Dierential geometry, Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2000.

108

Mentor: Ante Mimica

Brownovo gibanje

Student: Marija uker

Podru£je: slu£ajni procesi

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Matemati£ka statistika

Preduvjeti: Slu£ajni procesi

Opis: Brownovo gibanje (Wienerov proces) je originalno bilo postavljeno kao modelengleskog botani£ara Roberta Browna za gibanje male £estice u uidu, koja se sudara smolekulama tog uida. Danas je Brownovo gibanje standarni model u teoriji stohasti£kihprocesa, statistici, zici, ekonomiji i drugim znanostima. U ovom diplomskom radu ¢e senakon denicije napraviti Lévyjeva konstrukcija jednodimenzionalnog Brownovog gibanjai dokazati neka njegova elementarna svojstva, kao ²to su skaliraju¢e svojstvo, principreeksije, simetrija, jako Markovljevo svojstvo, martingalno svojstvo. Iako su trajektorijeBrownovog gibanja neprekidne, pokazuje se da nisu diferencijabilne. Naime, pokazat ¢ese da su lokalno α-Hölder neprekidne za α < 1

2te ¢e se izvesti njihov modul neprekidnosti

poznat kao Lévyjev modul neprekidnosti.

Literatura:

P. Mörters, Y. Peres, Brownian Motion, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.R. L. Schilling, L. Partzsch, Brownian motion: An Intorduction to Stochastic Processes,Birkhäuser, De Gruyter, Berlin/Boston, 2012.S. I. Resnick, Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin, 2010.

109

Mentor: Ante Mimica

Brownov most i Kolmogorov-Smirnovljeva statistika

Student: Nikolina Blaºevi¢



Preduvjeti: Statistika, Slu£ajni procesi

Opis: Brownov most je stohasti£ki proces koji je distribucijski jednak Brownovom gibanjuuvjetovanom da u trenutku t = 1 bude u po£etnoj poziciji i primjer je Gaussovskogprocesa. Ovaj proces se takoer koristi u izvoenju asimptotske razdiobe Kolmogorov-Smirnovljeve statistike, koja sluºi za testiranje £injenice dolazi li slu£ajni uzorak iz nekepopulacije s neprekidnom razdiobom. U diplomskom radu ¢e se konstruirati Brownovmost i izvesti asimptotska razdioba Kolmogorov-Smirnovljeve statistike.

Literatura:

S. I. Resnick, Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin, 2010.R. Durrett, Probability: Theory and Examples, Cambridge University Press, Cambridge,2010.R. L. Schilling, L. Partzsch, Brownian motion: An Intorduction to Stochastic Processes,Birkhäuser, De Gruyter, Berlin/Boston, 2012.G. G. Roussas, A Course in Mathematical Statistics, Academic Press, New York, 1997.

110

Mentor: Ante Mimica

Brownovo gibanje i Hausdorova dimenzija

Student: Petra Lazi¢




Opis: Jedan od na£ina za prou£avanje trajektorija Brownovog gibanja je koriste¢i konceptHausdorove dimenzije. Pri prou£avanju se mogu postaviti sljede¢a pitanja:

• Koliki je velik skup koji posjeti Brownovo gibanje u ravnini (tzv. planarno Brownovogibanje)?

• Koliko je velik skup dvostrukih to£aka planarnog Brownovog gibanja?

• Ako s B = Bt : t ≥ 0 ozna£imo jednodimenzionalno Browvnovo gibanje, koliko jevelik skup t ≥ 0 : Bt = 0? Naime, iako je t 7→ Bt neprekidna funkcija, pokazuje seda je taj skup beskona£an i bez izoliranih to£aka. Osim toga, primjer je fraktalnogskupa Hausdorove dimenzije 1

2.

U ovom diplomskom radu ¢e se istraºiti svojstva trajektorija Brownovog gibanja pomo¢utehnika koje koriste Hausdorovu dimenziju i dokazati neki klasi£ni rezultati iz te teorije,kao ²to su Frostmannova lema te McKeanovov rezultat o Hausdorovoj dimenziji skupakojeg posjeti Brownovo gibanje.

Literatura:

P. Mörters, Y. Peres, Brownian Motion, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.P. Matilla, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Fractals and Rectiability,Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

111

Mentor: Ante Mimica

Itôv integral i primjene

Student: Ana Kova£evi¢

Podru£je: Slu£ajni procesi



Opis: Jednodimenzionalno Brownovo gibanje B(t) : t ≥ 0 se moºe promatrati kaoslu£ajna neprekidna funkcija. Budu¢i da je, gotovo sigurno, takva funkcija neomeenevarijacije, nije mogu¢e denirati Lebesgue-Stieltjesov integral

∫ 1

0f(s)dB(s) . Iskoristimo

li £injenicu da se radi o slu£ajnim funkcijama, moºe se denirati tzv. Itôv (ili stohasti£ki)integral.U ovom diplomskom radu ¢e se napraviti konstrukcija stohasti£kog integrala te ¢e se datineke njegove primjene.Dokazat ¢e se analogon Newton-Leinizove formule, Itôva formula, ispitat ¢e se kako seplanarno Brownovo gibanje u skupu kompleksnih brojeve pona²a kada se transformirapomo¢u konformnih preslikavanja (posebno, odredit ¢e se asimptotska distribucija tzv.namotajnog broja). Takoer ¢e se dokazati Tanakina i Feynman-Kacova formula.

Literatura:

P. Mörters, Y. Peres, Brownian Motion, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.R. L. Schilling, L. Partzsch, Brownian motion: An Intorduction to Stochastic Processes,Birkhäuser, De Gruyter, Berlin/Boston, 2012.B. Øksendal, Stochastic Dierential Equations, 6th Edition, Springer, Berlin, 2003.R. Durrett, Stochastic Calculus. A Practical Introduction, CRC Press, 1996.

112

Mentor: Goran Mui¢

Divizori na krivuljama u Pn

Student: Marin Petkovi¢

Podru£je: algebarska geometrija


Preduvjeti: Algebarske krivulje, Uvod u algebarsku geometriju

Opis: Studiraju se divizori i diferencijalne forme na projektivnim krivuljama, preslikava-nja meu krivuljama te se iskazuje i dokazuje Bezuotov teorem za krivulju u Pn.

Literatura:

I. Shafarevich, Basic algebraic geometry I, Springer Verlag, 1993.

113

Mentor: Goran Mui¢

Egzistencija meromorfnih funkcija na Riemannovim plohama

Student: Aleksandar Milivojevi¢

Podru£je: algebarska geometrija, kompleksna analiza


Preduvjeti: Algebarske krivulje, Uvod u algebarsku geometriju

Opis: Studiraju se kompaktne Riemannove plohe, preslikavanja meu njima te se doka-zuje da imaju dovoljan broj meromorfnih funkcija da se mogu uloºiti u projektivni prostorkao projektivne algebarske krivulje.

Literatura:

H. M. Farkas, I. Kra, Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics 71, Springer,1991

114

Mentor: Filip Najman

Lokalno-globalni princip

Student: Ivona Mrkalj



Preduvjeti: Poloºen kolegij Algebarske strukture

Opis: Ako polinomijalna jednadºba ima rje²enje u racionalnim brojevima, tada imarealno i p-adsko rje²enje za svaki prost p - globalno rje²enje daje lokalna rje²enja svugdje.Lokalno-globalni ili Hasseov princip je pitanje za kakve polinomijalne jednadºbe vrijediobrat ove tvrdnje. U ovom diplomskom radu prou£it ¢e se najpoznatiji rezultati o lokalno-globalnom principu, te dokazati teorem Hasse-Minkowskog, koji kaºe da lokalno-globalniprincip vrijedi za sve kvadratne forme.

Literatura:

H. Cohen, Number Theory, Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer, 2007.J. P. Serre, A course in Arithmetic, Springer, 1973.

115


Birch-SwinnertonDyerova slutnja

Student: Marko Sikiri¢



Preduvjeti: Poloºen kolegij Algebarske krivulje ili Elipti£ke krivulje u kriptograji

Opis: Birch-SwinnertonDyerova slutnja je jedan od otvorenih milenijskih problema, tepovezuje rang elipti£ke krivulje nad poljem algebarskih brojeva sa redom nulto£ke njeneL-funkcije u to£ki 1. U ovom diplomskom radu uvest ¢e se svi pojmovi nuºni za preciznoiskazivanje slutnje, te ¢e se dati pregled dokazanih slu£ajeva ove slutnje.

Literatura:

D. Hussemoller, Elliptic Curves, Springer, 2007.J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 2009.

116


Teorija brojeva kroz povijest

Student: Ana Gmajni¢



Preduvjeti: nema

Opis: U ovom diplomskom radu ¢e se dati povijesni prikaz, te ¢e se dokazati najvaºnijiklasi£ni rezultati iz teorije brojeva.

Literatura:

A. Weil, Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre,Birkhäuser, 2007.O. Ore, Number theory and its history, McGraw-Hill, 1948.

117


Primjena L-funkcija u teoriji brojeva

Student: Marija Patljak



Preduvjeti: nema

Opis: L-funkcije igraju vaºnu ulogu u teoriji brojeva. U ovom diplomskom radu ¢e seobjasniti teorija Dirichletovih L-funkcija koje su generalizacija Riemannove ζ-funkcije,te ¢e se prikazati njihova primjena u teorija brojeva. Vaºan primjer takve primjene jeDirichletov teorem o prostim brojevima u aritmeti£kim progresijama.

Literatura:

T. Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer, 1976.J. P. Serre, A course in Arithmetic, Springer, 1973.

118

Mentor: Goranka Nogo

Uloga u£eni£kih aktivnosti u nastavi informatike u osnovnoj isrednjim ²kolama

Student: Marko Gredi£ak

Podru£je: metodika nastave informatike

Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti:

Opis: Aktivno u£eni£ko sudjelovanje u procesu u£enja u skladu je sa suvremenim tenden-cijama u nastavnoj teoriji i praksi. Takav pristup ima za posljedicu bolje razumijevanjekoncepata i duºe zadrºavanje nau£enoga. Od studenta se o£ekuje da osmisli i analiziraprimjere u£eni£kih aktivnosti £ijom se provedbom realiziraju postavljeni obrazovni ci-ljevi.O£ekivana u£eni£ka postignu¢a u navedenim aktivnostima trebaju biti usklaena sonima navedenim u HNOS-u i NOK-u.

Literatura:

CSTA K12 Computer Science Standards, (2011), http://csta.acm.org/Curriculum/sub/CurrFiles/CSTA\_K-12\_CSS.pdf

Computer Science Unplugged, (2014), http://csunplugged.org/activitiesNacionalni okvirni kurikulum, (2011), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2685Nastavni plan i program za osnovnu ²kolu, (2006), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2199

119


Aproksimacijski algoritmi za odreivanje minimalnog vr²nogpokriva£a grafa

Student: Ana Klobu£ar

Podru£je: oblikovanje i analiza algoritama


Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e biti promatran sljede¢i problem: za zadani graf G treba prona¢i podskupK skupa vrhova u G takav da je svaki brid u G incidentan s barem jednim vrhom iz K.Skup K zove ze vr²ni pokriva£ grafa G. Od interesa ¢e biti vr²ni pokriva£i najmanjegkardinaliteta. Problem je NP-teºak i £esto se javlja u primjenama. Od studentice seo£ekuje da prou£i postoje¢e aproksimacijske algoritme, dizajnira i ekasno implementiramodikacije nekih od njih te analizira dobivene rezultate.

Literatura:

T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edition,MIT Press, 2009.S.Dasgupta, C.H.Papadimitriou, U.V.Vazirani, Algorithms, 2006, http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/all.pdf

D.P.Williamson, D.B.Shmoys, The Design of Approximation Algorithms, Cambridge Uni-versity Press, 2010.

120


Algoritmi za djelomi£no podudaranje znakovnih nizova

Student: Sanjin Ruºi¢



Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e biti promatran sljede¢i problem: za zadani znakovni niz koji sadrºizamjenske znakove treba u danom tekstu prona¢i sve znakovne nizove koji se s njim"podudaraju". Rije£ je o vaºnom problemu koji ima primjenu u mnogim podru£jimara£unarstva, kemije i bioinformatike. Od studenta se o£ekuje da prou£i razli£ite tehnikeoblikovanja algoritama za podudaranje i djelomi£no podudaranje znakovnih nizova te dadizajnira, analizira i implementira modicirane verzije nekih postoje¢ih algoritama.

Literatura:

T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edition,MIT Press, 2009.C.Charras, T.Lecroq, Exact String Matching Algorithms, College Publications, 2004.K.J.Krauss,Matching Wildcards: An Empirical Way to Tame an Algorithm, (2014), http://www.drdobbs.com/architecture-and-design/matching-wildcards-an-empirical-

way-to-t/240169123

121


Algoritmi za podudaranje znakovnih nizova

Student: Amalia Sou£ek



Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e biti promatran problem odreivanja svih znakovnih nizova u tekstu kojise podudaraju sa zadanim znakovnim nizom. Rije£ je o problemu koji ima primjenu umnogim podru£jima ra£unarstva i bioinformatike. Od studentice se o£ekuje da prou£ipostoje¢e algoritme, dizajnira i ekasno implementira modikacije nekih od njih te ana-lizira dobivene rezultate.

Literatura:

T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edition,MIT Press, 2009.C.Charras, T.Lecroq, Handbook of Exact String Matching Algorithms, (2014), http:

//www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/

S.S.Skiena, The Algorithm Design Manual, 2nd edition, Springer Verlag, 2008.

122

Mentor: Katarina Ott

Progresivnost u oporezivanju dohotka od rada u odabranimzemljama EU - Hrvatska, Austrija, Maarska, Poljska, Gr£ka

Student: Marin Onorato

Podru£je: ekonomika javnog sektora

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: nema

Opis: (1) Skupiti podatke o obveznim doprinosima i porezu na dohodak u Hrvatskoj,Austriji, Maarskoj, Poljskoj i Gr£koj (osnovice i stope doprinosa; osobni odbici, poreznirazredi i stope poreza na dohodak), (2) Za svaku zemlju izra£unati iznose doprinosa iporeza na dohodak za tipizirane pojedince i obitelji (za ²iroki raspon iznosa bruto pla¢e),(3) Usporediti prosje£ne i grani£ne stope za te zemlje; usporediti progresivnost sustava utim zemljama.

Literatura:

ok, M., M.A. Grulja, T. Turk, and M. Verbi£, Taxation of wages in the Alps-Adriaticregion, Financial Theory & Practice, 37, 259-77, 2013.ISER. EUROMOD Country Reports, Institute for Social and Economic Research https:

//www.iser.essex.ac.uk/euromod/resources-for-euromod-users/country-reports

Lambert, P.J. The distribution and redistribution of income, Manchester University Press,Manchester, 2001.Keen, M., H. Papapanagos, and A. Shorrocks, Tax Reform and Progressivity, The Econo-mic Journal, 110, 50-68, 2000.Musgrave, R.A., and T. Thin, Income Tax Progression, 1929-48, Journal of Political Eco-nomy, 56, 498-514, 1948.OECD. Taxing Wages 2014, OECD Publishing.Urban, I., The tax burden on labour in Croatia, Newsletter. Institute of Public Finance,Zagreb, 2009.

123


Progresivnost u oporezivanju dohotka od rada u odabranimzemljama EU - Hrvatska, Italija, Bugarska, Latvija, panjolska

Student: Maja Cundi¢



Preduvjeti: nema

Opis: (1) Skupiti podatke o obveznim doprinosima i porezu na dohodak u Hrvatskoj,Italiji, Bugarskoj, Latviji i panjolskoj (osnovice i stope doprinosa; osobni odbici, poreznirazredi i stope poreza na dohodak), (2) Za svaku zemlju izra£unati iznose doprinosa iporeza na dohodak za tipizirane pojedince i obitelji (za ²iroki raspon iznosa bruto pla¢e),(3) Usporediti prosje£ne i grani£ne stope za te zemlje; usporediti progresivnost sustava utim zemljama.

Literatura:




124


Progresivnost u oporezivanju dohotka od rada u odabranimzemljama EU - Hrvatska, Slovenija, e²ka Republika, Litva,

Francuska

Student: Ivana Beketi¢



Preduvjeti: nema

Opis: (1) Skupiti podatke o obveznim doprinosima i porezu na dohodak u Hrvatskoj,Sloveniji, e²koj Republici, Litvi i Francuskoj (osnovice i stope doprinosa; osobni odbici,porezni razredi i stope poreza na dohodak), (2) Za svaku zemlju izra£unati iznose dopri-nosa i poreza na dohodak za tipizirane pojedince i obitelji (za ²iroki raspon iznosa brutopla¢e), (3) Usporediti prosje£ne i grani£ne stope za te zemlje; usporediti progresivnostsustava u tim zemljama.

Literatura:




125


Progresivnost u oporezivanju dohotka od rada u odabranimzemljama EU - Hrvatska, Njema£ka, Slova£ka, Estonija, Belgija

Student: Ana Gabrilo



Preduvjeti: nema

Opis: (1) Skupiti podatke o obveznim doprinosima i porezu na dohodak u Hrvatskoj,Njema£koj, Slova£koj, Estoniji i Belgiji (osnovice i stope doprinosa; osobni odbici, po-rezni razredi i stope poreza na dohodak), (2) Za svaku zemlju izra£unati iznose doprinosai poreza na dohodak za tipizirane pojedince i obitelji (za ²iroki raspon iznosa bruto pla¢e),(3) Usporediti prosje£ne i grani£ne stope za te zemlje; usporediti progresivnost sustava utim zemljama.

Literatura:




126

Mentor: Pavle Pandºi¢

Reprezentacije kompaktnih Liejevih grupa

Student: Mateja Pantaler

Podru£je: algebra, matemati£ka analiza, geometrija


Preduvjeti: nema

Opis: Ovo je jedan od mogu¢ih uvoda u teoriju reprezentacija, gdje se po£inje od analizefunkcija na kompaktnoj Liejevoj grupi i gradi nekomutatitvni analogon Fourierove analize.U primjeru kad je grupa kruºnica, dobivaju se standardni Fourierovi redovi, a u sloºenijimprimjerima umjesto osnovnih harmonika eint u igru ulaze matri£ni koecijenti ireducibilnihreprezentacija grupe.

Literatura:

A.W.Knapp, Representation theory of semisimple groups, an overview based on examples,Princeton University Press, 1986.S.Kurepa, Kona£nodimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehni£ka knjiga, Zagreb,1967.V.S.Varadarajan, Lie Groups Notes, Representations of compact Lie groups, http://www.math.ucla.edu/~vsv/liegroups2007/liegroups2007.html

127


Reprezentacije simplekti£kih Liejevih algebri

Student: Josip Grguri¢

Podru£je: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: Ovo je uvod u teoriju reprezentacija sa £isto algebarske strane. Polazi se odpojma Liejeve algebre, prou£ava se njihova struktura i kona£nodimenzionalne reprezenta-cije. Naglasak je stavljen na konkretne primjere simplekti£kih Liejevih algebri, posebnona simplekti£ku algebru ranga 2, sp(4,C).

Literatura:

W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A rst course., Springer, 1991.R.Goodman, N.Wallach, Representations and invariants of the classical groups, Cam-bridge University Press, 1998.J. Humphries, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1971.

128


Reprezentacije kona£nih grupa

Student: Matea Baraba

Podru£je: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi obrauju osnove teorije kona£nodimenzionalnih reprezentacija ikaraktera u primjeru kona£nih grupa. Uklju£ene su i standardne konstrukcije kao induci-ranje i tenzorski produkti reprezentacija. Sve je ilustrirano konkretnim primjerima.

Literatura:

J.-P.Serre, Linear representations of nite groups, Springer, 1977.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A rst course., Springer, 1991.

129


Dirichletov teorem

Student: Mateja kledar

Podru£je: teorija brojeva, matemati£ka analiza


Preduvjeti: nema

Opis: Ova tema predstavlja uvod u analiti£ku teoriju brojeva. Krajnji cilj je Dirichletovteorem o prostim brojevima u aritmeti£kim nizovima. Ideja je da se dio potrebnih pojmovai £injenica obradi detaljno, a dio da se samo skicira ili objasni na primjerima.

Literatura:

A.J. Hildebrand, Introduction to Analytic Number Theory, http://www.math.uiuc.edu/~hildebr/ant

T.M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976.

130

Mentor: Igor Paºanin

Integralne jednadºbe i primjene

Student: Helena Fran£e²evi¢


Prikladno za studij: nstavni£ki studiji

Preduvjeti:

Opis: U ovom radu bavili bi se klasikacijom i osnovnim metodama rje²avanja integralnihjednadºbi. Posebna paºnja posvetila bi se jednadºbama Fredholmovog i Volterrinog tipate njihovim primjenama.

Literatura:

M.Rahman, Integral Equations and their Applications, WIT Press, 2007.R.P.Kanwal, Linear Integral Equations: Theory & Technique, Birkhauser, 1997. H.Hochstadt,Integral Equations, J. Wiley & Sons, 1994.

131

Mentor: Ozren Per²e

Abel-Runijev teorem

Student: Josipa Pavkovi¢

Podru£je: algebra


Preduvjeti: Poºeljno je poznavanje osnovnih algebarskih pojmova s kolegija Linearnaalgebra i Algebarske strukture

Opis: U ovom radu planira se obraditi Abel-Runijev teorem o nerije²ivosti polinomi-jalne jednadºbe stupnja ve¢eg ili jednakog pet u terminima radikala, kori²tenjem alata izteorije Galoisovih grupa.

Literatura:

J. J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, AmericanMathematical Society, Providence, RI, 2010.

132


Vektorski produkt na Rn

Student: Matea Pavlek

Podru£je: algebra



Opis: U ovom radu planira se obraditi teorem o postojanju vektorskog produkta naRn samo za n = 0, 1, 3, 7, te diskutirati veza s Hurwitzovim teoremom o postojanjukompozicijskih algebri samo u dimenzijama 1, 2, 4 i 8.

Literatura:

N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman, San Francisco, 1974.W. S. Massey, Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces, TheAmerican Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), 697701.P. F. McLoughlin, When does a cross product on Rn exist?, arXiv:1212.3515.

133


Pro²irenja grupa

Student: Helena Schill

Podru£je: algebra



Opis: U ovom radu planira se obraditi pojam pro²irenja (ekstenzije) grupe i veze togpojma s odreenim grupama kohomologije.

Literatura:


134


Jordan-Hölderov teorem za grupe

Student: Mila Strpi¢

Podru£je: algebra



Opis: U ovom radu planira se obraditi teorem o jedinstvenosti kompozicijskog niza zagrupe, te neke njegove primjene.

Literatura:


135

Mentor: Maja Planini¢

Istraºivanje u£eni£kog razumijevanja elektromagnetske indukcije

Student: Matea Makarun

Podru£je: metodika nastave zike

Prikladno za studij: Matematika i zika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: Metodika nastave zike 1 (odslu²ana)

Opis: Mnoga edukacijska straºivanja u zici svrstala su elektromagnetsku indukciju meunajzahtjevnije koncepte srednjo²kolske zike. U£enici imaju brojne pote²ko¢e s razumije-vanjem, matemati£kim opisom i eksperimentalnim predvianjima vezanim uz elektromag-netsku indukciju. Ovaj bi diplomski rad imao za cilj identicirati neke od tih pote²ko¢ana uzorku od 66 hrvatskih srednjo²kolaca (tre¢i razred), koji su pisali test konstruiranupravo da bi ispitao u£eni£ko razumijevanje elektromagnetske indukcije i s njom poveza-nih pojmova (magnetsko polje, Lorentzova sila, tok magnetskog polja, Lenzovo pravilo).Diplomandica bi kategorizirala i analizirala dobivene u£eni£ke odgovore, prou£ila rele-vantnu literaturu, na£inila pregled pote²ko¢a otkrivenih u istraºivanju, te ih usporedilas ranije istraºenim pote²ko¢ama vezanim uz elektromagnetsku indukciju u Hrvatskoj iu svijetu. Kroz ovaj rad diplomandica bi imala priliku ste¢i uvid u proces provoenja irezultate edukacijskih istraºivanja u zici, produbiti svoje razumijevanje istraºivane teme,te ste¢i uvid u u£eni£ke pote²ko¢e i mogu¢nosti njihovog ublaºavanja.

Literatura:

Thong, W. M. & Gunstone, R. Some Student Conceptions of Electromagnetic Induction,Res. Sci. Educ. (2008) 38, 31-44.Chabay, R. W & Sherwood, B. A. Electric & Magnetic Interactions, John Wiley & Sons,Inc., 1995, New York.

136

Mentor: Rajna Raji¢ Suvoditelj: Damir Baki¢

Normalne matrice

Student: Ana imi¢



Preduvjeti: nema

Opis: U diplomskom radu dale bi se razne karakterizacije normalnih matrica, obradileneke matri£ne nejednakosti za normalne matrice, prou£ile normalne matrice £iji su ele-menti nule i jedinice. Unutar klase normalnih matrica posebno bi se prou£ile unitarnematrice. Opisala bi se veza izmeu unitarnih matrica i kontrakcija.

Literatura:

C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Philadelphia, SIAM, 2000.F. Zhang, Matrix Theory: Basic Results and Techniques, 2nd edition, Springer-Verlag,New York, 2011.

137


Pozitivna preslikavanja na prostoru matrica

Student: Suzana Kerman



Preduvjeti: nema

Opis: Linearno preslikavanje ϕ : Mn(C) → Mk(C) je pozitivno ako je ϕ(A) pozitivnosemidenitna matrica za svaku pozitivno semidenitnu matricu A ∈ Mn(C). U ovomdiplomskom radu dao bi se prikaz osnovnih rezultata o pozitivnim preslikavanjima, unutarkojih vaºnu klasu £ine potpuno pozitivna preslikavanja. Poseban naglasak bio bi na uloziovih preslikavanja u dokazivanju raznih matri£nih nejednakosti.

Literatura:

R. Bhatia, Positive denite matrices, Princeton University Press, Princeton and Oxford,2007.F. Zhang, Matrix Theory: Basic Results and Techniques, 2nd edition, Springer-Verlag,New York, 2011.

138


Geometrija kubi£nih polinoma

Student: Petra Kukec



Preduvjeti: nema

Opis: Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment £iji su krajevi meusobno razli£iterealne nulto£ke polinoma p : R → R sadrºi barem jednu stacionarnu to£ku polinomap. U radu bi se najprije dokazali neki kompleksni analogoni ovog teorema za polinomeproizvoljnog stupnja. Posebna paºnja posvetila bi se zatim polinomima tre¢eg stupnja,gdje bi se prikazali razni rezultati o geometrijskoj vezi nulto£aka polinoma tre¢eg stupnjai njegovih stacionarnih to£aka.

Literatura:

A. Aziz, A new proof of Laguerre's theorem about the zeros of polynomials, Bull. Austral.Math. Soc. 33 (1986), 131-138.C. Frayer, M. Kwon, C. Schafhauser, J. A. Swenson, The geometry of cubic polynomials,http://www.uwplatt.edu/~swensonj/gocp/GOCPv11-js.pdf

D. Kalman, An elementary proof of Marden's theorem, Amer. Math. Monthly 115 (2008),330-337.V. V. Prasolov, Polynomials, 2nd edition, Moscow Center for Continuous Math. Educa-tion, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2004.E. B. Sa, J. B. Twomey, A note on the location of critical points of polynomials, Proc.Amer. Math. Soc. 27 (2) (1971), 303-308.

139


Dvostruki redovi

Student: Jasmina Marinkovi¢



Preduvjeti: nema

Opis: Dvostruki red realnih brojeva je ureen par ((ak,l), (Am,n)) dvostruko indeksiranihnizova realnih brojeva, gdje je Am,n =

∑mk=1

∑nl=1 ak,l za (m,n) ∈ N ×N. U radu bi se

najprije dao prikaz osnovnih rezultata o dvostruko indeksiranim nizovima. Zatim bi seuveo pojam dvostrukog reda, opisali razni kriteriji za ispitivanje njegove konvergencije,prou£ili dvostruki redovi potencija, te posebno Taylorovi dvostruki redovi.

Literatura:

B. V. Limaye, M. Zelster, On the Pringsheim convergence of double series, Proc. EstonianAcad. Sci. Phys. Math. 58 (2) (2009), 108-121.S. R. Ghorpade, B. V. Limaye, A Course in Multivariable Calculus and Analysis, Springer,New York, 2010.

140

Mentor: Daria Rovan Suvoditelj: Aleksandra iºme²ija

Motivacijska uvjerenja i konceptualna promjena pri u£enjumatematike

Student: Vedran Jovanovi¢

Podru£je: psihologija obrazovanja


Preduvjeti: nema

Opis: Pri u£enju matematike, posebno je vaºno razumjeti koji sve £initelji utje£u nareorganizaciju znanja prilikom usvajanja novih koncepata. Uz kognitivne faktore, u stje-canju znanja vaºnu ulogu imaju i afektivni, motivacijski i socijalni faktori. Prema teorijio£ekivanja i vrijednosti pretpostavlja se da na kvalitetu obrazovnih ishoda u zna£ajnojmjeri utje£u motivacijska uvjerenja u£enika i to posebno uvjerenje o kompetentnosti tesubjektivna vrijednost koju u£enik pridaje u£enju odreenog sadrºaja. Cilj diplomskograda je utvrditi ulogu motivacijskih uvjerenja pri usvajanju koncepata iz matematike.

Literatura:

Limon, M. i Mason, L. (2002). Reconsidering conceptual change. Issues in theory andpractice. Dordrecht: Kluwe;Vosniadou, S. (2013), The international handbook of conceptual change (2nd ed.). NewYork: Routledge;Vosniadou, S., Baltas, A. i Vamvakoussi, X. (2007), Re-framing the conceptual changeapproach in learning and instruction. Oxford: Elsevier.;Wentzel, K.R. i Wigeld, A. (2009). Handbook of motivation in school. New York: TaylorFrancis.

141


Konceptualna promjena i uklju£enost na nastavi matematike

Student: Anamarija Boºi¢



Preduvjeti: nema

Opis: Dosad provedena istraºivanja razine uklju£enosti ili zalaganja u£enika ukazujuda se radi o sloºenom konstruktu koji se sastoji od razli£itih komponenti. Bihevioralnauklju£enost odnosi se na sudjelovanje u nastavnim aktivnostima, emocionalna uklju£enostobuhva¢a pozitivne i negativne afektivne reakcije, dok kognitivna uklju£enost uklju£ujespremnost da se uloºi napor neophodan da se razumiju kompleksne ideje i svladaju zah-tjevne vje²tine. Cilj diplomskog rada je utvrditi kako su razli£ite komponente uklju£enostina nastavi matematike povezane s usvajanjem novih koncepata u matematici.

Literatura:

Christenson, S.L., Reschly, A.L. i Wylie, C. (2012). Handbook of research on student en-gagement. New York: Springer;Limon, M. i Mason, L. (2002). Reconsidering conceptual change. Issues in theory andpractice. Dordrecht: Kluwe; Vosniadou, S. (2013), The international handbook of concep-tual change (2nd ed.). New York: Routledge;Vosniadou,S., Baltas, A. i Vamvakoussi, X. (2007), Re-framing the conceptual change ap-proach in learning and instruction. Oxford: Elsevier

142


Povezanost interesa i konceptualne promjene pri u£enjumatematike

Student: Anamarija Kurtovi¢



Preduvjeti: nema

Opis: Interes je energiziraju¢i £initelj koji je povezan s odabirom i ustrajno²¢u pri ak-tivnostima koje uklju£uju procesiranje informacija. Kako je interes uvijek je vezan uzspeci£an objekt, aktivnost ili predmet, model razvoja interesa je posebno prikladan zaispitivanje kako je u£enje novih nastavnih sadrºaja povezano s motivacijom u£enika. Ciljdiplomskog rada je utvrditi povezanost situacijskog i osobnog interesa s usvajanjem kon-cepata iz matematike.

Literatura:

Limon, M. i Mason, L. (2002). Reconsidering conceptual change. Issues in theory andpractice. Dordrecht: Kluwe;Vosniadou, S. (2013). The international handbook of conceptual change (2nd ed.). NewYork: Routledge;Vosniadou, S., Baltas, A. i Vamvakoussi, X. (2007), Re-framing the conceptual changeapproach in learning and instruction. Oxford: Elsevier.;Wentzel, K.R. i Wigeld, A. (2009). Handbook of motivation in school. New York: TaylorFrancis.

143

Mentor: Sa²a Singer

Izrada strategija trgovanja elektri£nom energijom u Njema£kojkori²tenjem metode potpornih vektora

Student: Lea Bala²ko

Podru£je: strojno u£enje, umjetna inteligencija


Preduvjeti: nema

Opis: Trgovina elektri£nom energijom je razmjena velike koli£ine elektri£ne energije zanovac, tako da svako pobolj²anje strategije trgovanja moºe donijeti veliku zaradu. Nave-dene strategije su vaºne, jer, pored prota, dovode do smanjenja razmaka izmeu kupovnei prodajne cijene, ²to pove¢ava sigurnost i u£inkovitost trºi²ta. Time izravno donose niºecijene krajnjim kupcima elektri£ne energije i dovode do smanjenja emisije CO2 u zrak.Rad bi sadrºavao pregled trºi²ta elektri£ne energije i opis postupka izrade strategije trgova-nja elektri£nom energijom kori²tenjem metode potpornih vektora. Na primjeru podatakas njema£kog trºi²ta elektri£ne energije izradila bi se strategija trgovanja s ciljem maksi-miziranja prota i prikazali rezultati na skupu podataka za u£enje i testiranje.Savjetnik pri izradi ovog rada je dr. sc. Marin Matija², Petrol d.o.o., Zagreb.

Literatura:

Rafal Weron, Electricity price forecasting: A review of the state-of-the-art with a look intothe future, International Journal of Forecasting 30(4), 2014, pp. 10301081Abhisek Ukil, Intelligent Systems and Signal Processing in Power Engineering, Springer,2007 (Poglavlje 4: Support Vector Machine)Marin Matija², Electric load forecasting using multivariate metalearning, Doktorska di-sertacija, FER, Zagreb, 2013, https://bib.irb.hr/datoteka/636228.Marin_Matijas_-_PhD_thesis.pdf

144


Poravnanje vi²e nizova

Student: Neven Grubeli¢

Podru£je: algoritmi, genetski algoritmi


Preduvjeti: nema

Opis: Poravnanje vi²e nizova (Multiple sequence allignment) je problem poravnanja triili vi²e nizova, porijeklom iz biologije i genetike i uglavnom se odnosi na proteine, DNAili RNA sekvence.U radu bi se izloºile neke osnovne klase metoda koje se koriste za rje²enje ovog problema(dinami£ko programiranje, progresivno i iterativno poravnanje i sl.), a naglasak rada jekonstrukciji i usporedbi raznih varijanti genetskih algoritama.Od studenta se o£ekuje programiranje ovih algoritama, testiranje i analiza dobivenih re-zultata.

Literatura:

Multiple sequence alignment (i literatura na toj stranici), http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_sequence_alignment

Max-Planck-Institut für molekulare Genetik, Online Lectures on Bioinformatics: http:

//lectures.molgen.mpg.de/online_lectures.html

R. L. Haupt, S. E. Haupt, Practical genetic algorithms (second edition), Wiley Intersci-ence, 2004.C. Notredame, D. G. Higgins, SAGA: sequence alignment by genetic algorithm, http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC145823/

C. Notredame, E. A. O'Brien, D. G. Higgins, RAGA: RNA sequence alignment by geneticalgorithm http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC147093/

145


Fibonaccijeve hrpe

Student: Marino Lon£ar

Podru£je: strukture podataka i algoritmi


Preduvjeti: nema

Opis: Fibonaccijeva hrpa je struktura podataka koja se sastoji od vi²e stabala kojazadovoljavaju standardnu svojstvo ureaja u hrpi (oznaka djeteta je ve¢a od oznake ro-ditelja).U prvom dijelu rada treba opisati strukturu obi£ne hrpe, pripadne operacije i njihovusloºenost, te nekoliko primjena hrpe u rje²avanju problema kombinatorne optimizacije.Drugi dio rada posve¢en je detaljnom opisu strukture Fibonaccijeve hrpe, s naglaskomna njezine prednosti za neke posebne probleme, poput traºenja minimalnog razapinju¢egstabla ili najkra¢ih puteva iz jednog vrha grafa.Od studenta se o£ekuje programiranje ovih algoritama, testiranje i analiza dobivenih re-zultata.

Literatura:

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, (SecondEdition), MIT Press and McGraw-Hill, 2001 (Poglavlje 20: Fibonacci Heaps, pp. 476497)M. L. Fredman, R. E. Tarjan, Fibonacci heaps and their uses in improved network opti-mization algorithms, Journal of the ACM 34(3), 1987, pp. 596615

146


Latentna semanti£ka nanaliza, varijante i primjene

Student: Ana Marasovi¢

Podru£je: Numeri£ka matematika, Umjetna inteligencija

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo

Preduvjeti: dobro znanje numeri£ke linearne algebre

Opis: Latentna semanti£ka analiza (LSA) je jedna metoda za klasikaciju velikih koli£inapodataka, sa svrhom pretraºivanja i rudarenja takvih skupova podataka, prvenstveno naInternetu. Problem klasikacije svodi se na primjenu dekompozicije singularnih vrijed-nosti (SVD). Osnovna primjena metode je u klasikaciji tekstualnih dokumenata, a unovije vrijeme koristi se i za analizu drugih vrsta podataka, poput slika i video zapisa.Ovaj rad bi obradio osnovni oblik LSA i pripadne algoritme iz numeri£ke linearne al-gebre. U nastavku rada, opisale bi se neke novije varijante LSA (poput probabilisti£keLSA), proizasle iz primjena za posebne vrste problema. Izbor varijanti i na£in prikaza(ve¢i naglasak na razradu algoritama, odnosno, na njihovu primjenu) ovisi o sklonostimastudenta prema odgovaraju¢im podru£jima (numeri£ka matematika, ra£unarstvo, strojnou£enje).

Literatura:

Latent semantic analysis (i literatura na toj stranici) http://en.wikipedia.org/wiki/Latent_semantic_analysis

Thomas K. Landauer, Peter W. Foltz, Darrell Laham, An Introduction to Latent Seman-tic Analysis http://lsa.colorado.edu/papers/dp1.LSAintro.pdfChristopher D. Manning, Prabhakar Raghavan, Hinrich Schütze, Introduction to Infor-mation Retrieval, Cambridge University Press, 2008. http://nlp.stanford.edu/IR-

book/information-retrieval-book.html T. Hofmann, Probalilistic Latent SemanticAnalysis, http://cs.brown.edu/~th/papers/Hofmann-UAI99.pdf

147


Klasikacija teksta

Student: Ana Marasovi¢

Podru£je: numeri£ka matematika, umjetna inteligencija

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo

Preduvjeti: Dobro znanje numeri£ke linearne algebre

Opis: Klasikacija tekstualnih dokumenata je vrlo vaºno podru£je u pretraºivanju i ru-darenju velikih koli£ina tekstualnih podataka koji se mogu na¢i na Internetu.Ovaj rad bi obradio nekoliko metoda za klasikaciju teksta, po£ev od standardne la-tentne semati£ke analize (LSA), koja problem klasikacije svodi primjenu dekompozicijesingularnih vrijednosti (SVD). U nastavku rada opisale bi se novije metode na bazi polu-nadziranog strojnog u£enja, proiza²le iz podru£ja umjetne inteligencije, poput probabilis-ti£ke latentne semanti£ke analize, maksimizacije o£ekivanja i transduktivnog zaklju£ivanjana bazi potpornih vektora.

Literatura:

Latent semantic analysis (i literatura na toj stranici), http://en.wikipedia.org/wiki/Latent_semantic_analysis

Thomas K. Landauer, Peter W. Foltz, Darrell Laham, An Introduction to Latent Seman-tic Analysis, http://lsa.colorado.edu/papers/dp1.LSAintro.pdfT. Joachims, Transductive Inference for Text Classication using Support Vector Machi-nes, http://www1.cs.columbia.edu/~dplewis/candidacy/joachims99transductive.pdf

K. Nigam, A. C. McCallum, S. Thrun, T. Mitchell, Text Classication from Labe-led and Unlabeled Documents using EM, http://www.kamalnigam.com/papers/emcat-mlj99.pdf

T. Hofmann, Probalilistic Latent Semantic Analysis, http://cs.brown.edu/~th/papers/Hofmann-UAI99.pdf

148


Algoritmi za generiranje prostih brojeva manjih od N

Student: Karlo Pe£ek

Podru£je: oblikovanje i analiza algoritama, teorija brojeva


Preduvjeti: nema

Opis: Eratostenovo sito sluºi za generiranje svih prostih brojeva manjih od zadanog pri-rodnog broja N i jedan je od najstarijih poznatih algoritama u povijesti. U novije vrijemepojavilo se nekoliko varijanti algoritama za isti problem, baziranih na ideji sita, s ciljempobolj²anja ekasnosti osnovnog algoritma.Cilj rada je opisati osnovni algoritam i novije varijante sita, analizirati njihovu sloºenost iimplementirati ih u nekom programskom jeziku (na pr. Python, zbog svojstava cjelobrojnearitmetike). Na kraju, treba napraviti analizu dobivenih rezultata u pogledu ekasnostite razmotriti mogu¢e optimizacije ovih algoritama.

Literatura:

G. H. Hardy, E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford UniversityPress, (6. izdanje 2008, originalno izdanje 1938)Melissa E. O'Neill, The Genuine Sieve of Eratosthenes, Harvey Mudd College, Claremont,CA, USA, http://www.cs.hmc.edu/~oneill/papers/Sieve-JFP.pdfPaul Pritchard, Improved Incremental Prime Number Sieves, Grith University, Queens-land, Australia, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.52.835&rep=rep1&type=pdf

A. O. L. Atkin, D. J. Bernstein, Prime sieves using binary quadratic forms, Mathematicsof Computation, Vol. 73, No. 246, 2003, pp. 10231030Sundaram's Sieve, http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Sundaram

149

Mentor: eljko Skoko

Strukturna i elektri£na svojstva ºeljeznih fosfatnih stakala

Student: Nedjeljko uvela

Podru£je: zika kondenzirane tvari

Prikladno za studij: Matematika i zika; smjer nastavni£ki

Preduvjeti: poloºeni kolegiji Osnove zike 14

Opis: Suvremeni na£in ºivota, velik napredak u znanosti i razvoj tehnologije teºi izradi,razvoju i primjeni novih materijala. Jedan od materijala za visoku tehnolo²ku uporabu jestaklo, posebno fosfatno staklo koje ima ²iroku primjenu. Fosfatna su stakla zanimljivasa znanstvenog i tehnolo²kog gledi²ta zbog svojih speci£nih strukturnih, magnetskih ielektri£nih svojstava. Prednosti u odnosu na silikatna i boratna stakla uklju£uju: nisketemperature taljenja i stakli²ta, visoki termi£ki koecijent ²irenja, visoku UV transmisiju,veliku kemijsku stabilnost i kompozicijsku eksibilnost. U okviru diplomskog rada biti¢e dan dan teorijski prikaz dosada²njih rezultata na podru£ju ºeljeznih svojstava, zatim¢e biti izveden eksperimentalni dio koji ¢e uklju£ivati strukturna istraºivanja metodomrendgenske difrakcije u polikristalu, kao i elektri£na mjerenja metodom impedancijskespektroskopije.

Literatura:

1. K. J. Rao, Structural chemistry of glasses, Elsevier, Oxford, 2002.2. J. E. Shelby, J. E. Shelby, Introduction to glass science and technology, 2. izd., TheRoyal Society of Chemistry, Cambridge, 2005.3. R. K. Brow, J. Non-Cryst. Solids, 263-264 (2000) 1-28.4. A. anti¢ i A. Mogu²-Milankovi¢, Croat. Chem. Acta 85 (2012) 245-254. preglednirad5. J. A. Mydosh, Spin Glasses: An Experimental Introduction, Taylor & Francis, London,1993.

150

Mentor: Sini²a Slijep£evi¢

Procjena vrijednosti brzo rastu¢ih poduze¢a

Student: Tomislav Biljani¢

Podru£je: nancijska matematika

Prikladno za studij: Financijska matematika, Statistika

Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi procjenu vrijednosti brzo rastu¢ih poduze¢a metodomdiskontiranog nov£anog toka

Literatura:

Copeland, Koller, Murrin, Valuation, Willey 2004 (4th edition).

151


Statisti£ke metode u planiranju farmaceutskih ispitivanja

Student: Marija Radni¢



Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi nekoliko statisti£kih metoda za segmentaciju pacijenatatemeljem rizi£nih faktora.

Literatura:

A. L. Jorgensen, M. Pirmohamed, Risk modeling strategies for pharmacogenic studies,Pharacogenomics 12 (2011), 397-410.

152


Slabo i jako mije²anje u ergodskoj teoriji

Student: Iva Barada

Podru£je: dinami£ki sustavi

Prikladno za studij: Financijska matematika, Statistika, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi razli£ite denicije i svojstva pojma mije²anja (mixing)u ergodskoj teoriji.

Literatura:

K. E. Petersen, Ergodic Theory, Cambridge University Press, 1989.

153


Statisti£ka analiza preºivljavanja i primjene

Student: Mateja Antolkovi¢



Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi neke statisti£ke metode analize preºivljavanja (Survivalanalysis), te primjenu na biomedicinu.

Literatura:

J. P. Klein, M. L. Moeschberger, Survival Analysis, Techniques for Censored and Trun-cated Data, Springer, 2003.

154


Statisti£ke metode izra£una Unisex premija u osiguranju

Student: Petra Haban



Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi statisti£ke metode za izra£un premija izbjegavaju¢i dis-kriminaciju po odreenom rizi£nom faktoru (npr. spol).

Literatura:

A. Olivieri, E. Pitacco, Introduction to insurance mathematics, Springer, 2011.

155


Takensov teorem i primjene

Student: Karla ivkovi¢

Podru£je: dinami£ki sustavi


Preduvjeti:

Opis: Takensov teorem govori o mogu¢nosti reprezentiranja atraktora nelinearnog dina-mi£kog sustava na temelju ishoda nekog mjerenja (tj. vremenskog niza). Diplomski rad¢e obraditi teoriju te ilustrirati primjenu na primjerima.

Literatura:

J. C. Robinson, Dimensions, Embeddings and Attractors, Cambridge University Press,2010.

156

Mentor: Maja Star£evi¢

Apsolutna vrijednost broja

Student: Danka Jelen£i¢

Podru£je: algebra, analiza

Prikladno za studij: nastavni£ki smjerovi

Preduvjeti:

Opis: U prvom dijelu rada opisao bi se na£in uvoenja pojma apsolutne vrijednosti brojau nastavi matematike, kao i sama motivacija za uvoenje tog pojma. Gradivo vezano zaapsolutne vrijednosti uglavnom se doºivljava kao jedno od teºih dijelova gradiva. Razlogse moºe na¢i u samoj deniciji funkcije apsolutne vrijednosti koja je denirana tako da prirje²avanju zadataka pripadni problem moramo £esto razlagati na vi²e slu£ajeva. Potrebnoje prezentirati nekoliko karakteristi£nih zadataka koji se rje²avaju na nastavi i predloºitina£in njihove obrade.U drugom dijelu rada analizirat ¢e se razna svojstva funkcije apsolutne vrijednosti i srod-nih funkcija. Objasnit ¢e se crtanje pripadnih grafova, kao i nekih krivulja koje u denicijisadrºe apsolutne vrijednosti. Dobiveni grafovi i krivulje ¢e se primijeniti na rje²avanje jed-nadºbi i nejednadºbi i pripadnih sustava.U zadnjem dijelu rada predstavit ¢e se sloºeniji zadaci i tvrdnje u kojima se koriste apso-lutne vrijednosti, poput zadataka koji se pojavljuju na natjecanjima.

Literatura:

Zbirke i udºbenici iz osnovne i srednje ²kole, zadaci s natjecanja

157


Geometrija kugle i sfere

Student: Ruºica Kora¢



Preduvjeti:

Opis: U uvodnom dijelu rada bi se napravio osvrt na gradivo osnovne i srednje ²kolevezano za kuglu i sferu. Navele bi se i dokazale tvrdnje koje se koriste u nastavi te bi sena nekoliko primjera objasnili karakteristi£ni tipovi zadataka kakvi se pojavljuju u skloputih nastavnih cjelina. U ostalim poglavljima bi se iskazali i dokazali jo² neki sloºenijirezultati vezani uz ta dva pojma. Potrebno je obraditi i sferni trokut, odnosno datipregled najvaºnijih £injenica iz sferne geometrije i trigonometrije. Na kraju rada trebaobjasniti kako se koriste sferne koordinate i navesti neke primjene.

Literatura:

R. S. Heath, Solid geometry, Rivingtons, London, 1922.Zbirke i udºbenici iz osnovne i srednje ²kole, zadaci s natjecanja

158


Karakteristi£ne to£ke trokuta

Student: Anita Bingula



Preduvjeti:

Opis: etiri karakteristi£ne to£ke trokuta su teºi²te, ortocentar te sredi²ta upisane iopisane kruºnice. Cilj rada je ²to detaljnije opisati svojstva tih to£aka, dokazati nekerezultate vezane uz te to£ke, ali i prona¢i u literaturi i navesti ²to vi²e speci£nih to£akatrokuta £ija su svojstva dosad izu£avana (npr. Fermatova to£ka, Brocardova to£ka, Feuer-bachova to£ka ...). Neke od odabranih to£aka ¢e se detaljnije izu£iti. Potrebno je ispitatipostoje li neke veze izmeu to£aka (kao npr. u slu£aju to£aka koje pripadaju Eulerovompravcu).

Literatura:

A. Mari¢, Trokut, Element, 2007.Zbirke i udºbenici iz osnovne i srednje ²kole, zadaci s natjecanja

159


Ravninske krivulje

Student: Renata krivanek

Podru£je: Geometrija, analiza

Prikladno za studij: Nastavni£ki smjerovi

Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e se napraviti klasikacija ravninskih krivulja, odnosno opisat ¢e se razli£itina£ini tvorbe krivulja u ravnini. Npr. krivulja moºe biti denirana kao presjek dane plohei neke ravnine, zatim moºe predstavljati geometrijsko mjesto to£aka koje zadovoljavajudano svojstvo, moºe biti denirana kao rezultat nekog geometrijskog preslikavanja ve¢poznate krivulje ili je putanja to£ke koja se giba po odreenom zakonu. To su samo nekiod na£ina zadavanja. U radu je potrebno detaljnije opisati ²to vi²e na£ina deniranjakrivulje i navesti konkretne primjere. Neke od krivulja koje se mogu promatrati su konike,ali i druge poznate krivulje kao ²to su Descartesov list, strofoida, Pascalov puº, cikloida,rozeta, astroida, Descartesov oval, lemniskata, sinusoidna spirala, itd. Za svaku odabranukrivulju potrebno je opisati kako nastaje, navesti glavna obiljeºja, te izvesti jednadºbu ukoordinatnom sustavu.

Literatura:

A.A. Savelov, Ravninske krivulje, kolska knjiga, Zagreb, 1979.

160

Mentor: Ana Su²ac

Istraºivanje studentskog razumijevanja grafova u zici imatematici

Student: Elizabeta Kazotti

Podru£je: edukacijska istraºivanja

Prikladno za studij: Matematika i zika; nastavni£ki

Preduvjeti: nema

Opis: Prethodna istraºivanja su pokazala da strategije koje studenti koriste u rje²avanjuzadataka s grafovima ovise o kontekstu zadataka. Cilj ovog diplomskog rada je istraºitistudentske strategije u rje²avanju zadataka u kojima je potrebno kvalitativno i kvanti-tativno odrediti nagib i povr²inu ispod grafa u zikalnom i matemati£kom kontekstu.Mjereni su pokreti o£iju studenata PMF-a i Filozofskog fakulteta dok su rje²avali para-lelne zadatke iz zike i matematike ²to je dalo dodatni uvid u njihov na£in rje²avanja.

Literatura:

Planini¢ M, Ivanjek L, Su²ac A, Milin-ipu² . (2013) Comparison of university students'understanding of graphs in dierent contexts. Physical Review ST Physics Education Re-search 9:020103.Duchowski AT. Eye Tracking Methodology Theory and Practice. London, Springer-Verlag,2007

161

Mentor: Ana Su²ac

Istraºivanje studentskog razumijevanja mjerenja i usporedbeizmjerenih podataka

Student: Petra Martinjak



Preduvjeti: nema

Opis: Mjerenja i mjerna nesigurnost su nezaobilazni dio svih eksperimentalnih znanosti.Cilj ovog diplomskog rada je istraºiti razumijevanje procesa mjerenja i usporedbe iz-mjerenih podataka kod studenata prve i tre¢e godine nastavni£kog studija zike. Osimstandardnog testiranja, kod dijela studenata su mjereni i pokreti o£iju tijekom rje²avanjazadataka.

Literatura:

Volkwyn TS, Allie S, Buer A, Lubben F. (2008). Impact of a conventional introductorylaboratory course on the understanding of measurement. Physical Review ST PhysicsEducation Research 4:010108.

162

Mentor: Ana Su²ac

Istraºivanje u£eni£kih i studentskih strategija u rje²avanjuzadataka s grafovima iz svakodnevnog ºivota

Student: Nikolina Skenderovi¢



Preduvjeti: nema

Opis: U£enici i studenti pokazuju pote²ko¢e u rje²avanju zadataka s kontekstom iz sva-kodnevnog ºivota, posebno ako se ne susre¢u £esto s takvom vrstom zadataka. Cilj ovogdiplomskog rada je istraºiti u£eni£ko i studentsko razumijevanje grafova kao vaºnog izvorainformacija. Osim standardnog testiranja i mjerenja pokreta o£iju tijekom rje²avanja za-dataka kod studenta, odreeno je i koliko je prisutan strah od matematike kod u£enikasrednje ²kole.

Literatura:

Fensham PJ. (2009) Real World Contexts in PISA Science: Implications for Context-Based Science Education. Journal of Research in Science and Teaching 46: 884896.

163

Mentor: Dragutin Svrtan

Aranºmani hiperravnina

Student: Damjan Murkovi¢

Podru£je: kombinatorika, ra£unarstvo


Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Kombinatorna i diskretna ma-tematika odnosno Kombinatorika

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate o aranºmanima hiperravnina u n-dimen-zionalnom anom prostoru

Literatura:

P. Orlik and H. Terao, Arrangements of hyperplanes,Grundlehren der MathematischenWissenschaften,1992,Springer Verlag,E. Miller et al.: Geometric Combinatorics, A co-publication of the AMS and IAS/ParkCity Mathematics Institute 2007.

164


Riemannov tenzor zakrivljenosti

Student: Branimir Stojanovi¢

Podru£je: diferencijalna geometrija


Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Diferencijalna geometrija 1 i 2

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate iz Riemannove geometrije s naglaskomna Riemannovom tenzoru zakrivljenosti.

Literatura:

S.Gallot, D.Hulin, J.Lafontaine Riemannian Geometry, Universitext, Springer, 1987M.Berger, A panoramic view of Riemannian Geometry, Springer Verlag 2003

165


Catalanovi brojevi

Student: Jelena Babi¢



Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Kombinatorna i diskretna ma-tematika i Kombinatorika

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate o Catalanovim brojevima i obraditi nekeod bijekcija za razli£ite interpretacije.

Literatura:

R.P.Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 1: Second Edition (Cambridge Univer-sity Press, 2012), xiii+626 pp.D.Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Zagreb, Algoritam, 2001

166

Mentor: Juraj iftar

Schwartz-Zippelova lema i neke njezine primjene

Student: Klara Nesterovi¢

Podru£je: algebra, teorija algoritama

Prikladno za studij: Teorijska matematika, nastavni£ki smjerovi

Preduvjeti:

Opis: Polinom P stupnja d u jednoj varijabli, nad poljem F , ima najvi²e d razli£itihnulto£aka u polju F . Stoga, ako je S neki k-£lani podskup od F, za k > d vjerojatnostda slu£ajno izabrani element iz S bude nulto£ka polinoma P nije ve¢a od d/k. Schwartz-Zippelova lema daje jednostavan analogni rezultat za polinom P u n varijabli: ako se izskupa S nasumce i nezavisno izabere n elemenata, vjerojatnost da P u toj n-torci poprimivrijednost 0 takoer nije ve¢a od omjera d/k.Dokaz ove tvrdnje moºe se provesti matemati£kom indukcijom, a zanimljive su razli£iteposljedice i primjene: testiranje jednakosti polinoma, savr²eno sparivanje u grafovima,algoritam za ispitivanje asocijativnosti u grupoidu itd. Rije£ je o probabilisti£kim algo-ritmima koji daju dobre rezultate za razmjerno mali broj evaluacija.

Literatura:

J. Matou²ek: Thirty-three miniatures. Mathematical and Algorithmic Applications of Li-near Algebra, AMS, 2010.R. Zippel, Probabilistic algorithms for sparse polynomials, Lecture Notes in Computerscience vol. 72(1979), 216-226.R. J. Lipton, The curious history of the Schwartz-Zippel lemma, http://rjlipton.

wordpress.com/2009/11/30/the-curious-history-of-the-schwartz-zippel-lemma/

167

Mentor: Juraj iftar

Izoperimetri£ke i izoparametri£ke gure u ravnini

Student: Marija Protrka


Prikladno za studij: nastavni£ki smjerovi, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Ravninske gure jednakog opsega nazivaju se izoperimetri£kima. Klasi£ni je pro-blem odreivanja gure zadanog opsega koja obuhva¢a najve¢u povr²inu. Za guru opsegaO i povr²ine P standardni izoperimetri£ki kvocijent Q denira se s Q = 4πP/O2. VrijediQ ≤ 1, s tim ²to jednakost nastupa samo za krug i to je rje²enje izoperimetri£kog pro-blema.U radu ¢e se prikazati neki rezultati o izoparametri£kim gurama u ravnini, dakle takvimravninskim likovima kojima su pridruºeni jednaki opsezi i jednake povr²ine. Jedan smjeristraºivanja bavi se izoparametri£kim gurama koje nisu sukladne. U tu svrhu uvodi se,kao modikacija Q, koecijent k = O2/4P (contour ratio) pomo¢u kojeg se izraºava nu-ºan uvjet da bi se dvije gure skaliranjem mogle svesti na izoparametri£ke. Navest ¢ese zanimljivi primjeri izoparametri£kih gura koje nisu sukladne. Posebno ¢e se istraºi-vati prsteni, to jest gure omeene dvjema sli£nim jednostavnim zatvorenim krivuljama.Primjerice, kvadrat i krug nikad nisu izoparametri£ki, ali kvadratni prsten i kruºni prstento mogu biti.

Literatura:

Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian, Isoperimetric and isoparametric pro-blems Amer. Math. Monthly 111 (2) (2004), 118-136.A. Treibergs. Inequalities that imply the Isoperimetric Inequality, http://www.math.

utah.edu/~treiberg/isoperim/isop.pdf

168

Mentor: Juraj iftar

Primitivni tetraedri u trodimenzionalnoj cjelobrojnoj re²eci

Student: Nata²a Marin

Podru£je: algebra, geometrija


Preduvjeti:

Opis: Primitivnim politopom u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru En naziva sepolitop £iji vrhovi pripadaju cjelobrojnoj re²eci Zn, ali nema drugih to£aka re²etke unutrini ili na rubu. U radu ¢e se prikazati neki rezultati o primitivnim tetraedrima ure²eci Z3, s naglaskom na prebrojavanje klasa ekvivalencije primitivnih tetraedara zadanogvolumena. Naime, za n = 3 situacija je bitno druk£ija nego za ravninski slu£aj, u kojemuiz Pickove formule (povr²ina konveksnog poligona s vrhovima u Z2 iznosi I + B/2˘1,pri £emu B je broj to£aka re²etke na rubu, a I u nutrini poligona) i £injenice da takavpoligon moºe imati najvi²e 4 vrha slijedi da to moºe biti samo trokut povr²ine 1/2 iliparalelogram povr²ine 1. Za n = 3 nema gornje mee za volumen primitivnog tetraedra.Na temelju Reznickove klasikacije primitivnih simpleksa i drugih rezultata izvode seeksplicitne formule za broj klasa unimodularne ekvivalencije primitivnih tetraedara ure²eci Z3.

Literatura:

M. R. Khan, A Counting Formula for Primitive Tetrahedra in Z3 Amer. Math. Monthly106 (6) (1999), 515-533.B. Reznick, Lattice Point Simplices, Discrete Math. 60 (1986), 219-242.

169

Mentor: Juraj iftar

Malfattijev problem

Student: Mateja a²o



Preduvjeti:

Opis: Izvorni problem G.F. Malfattija (1803.) odnosi se na izrezivanje tri valjka jednakevisine iz uspravne trostrane prizme tako da ukupni volumen valjaka bude maksimalan.Malfatti je problem sveo na pronalaºenje tri kruga upisana u trokut tako da zbroj njihovihpovr²ina bude maksimalan, no njegova slutnja da rje²enje £ine tri kruga od kojih svakidodiruje dvije stranice trokuta i ostala dva kruga pokazala se pogre²nom. Takav problemrazmatran je ina£e jo² ranije u Japanu. U 20. stolje¢u Malfattijeva slutnja opovrgnuta jekroz nekoliko radova u kojima je pokazano da za svaki trokut, kao i za jo² za neke likove,pohlepni algoritam daje ve¢u povr²inu tri upisana kruga od Malfattijeve konguracije.U radu ¢e se prikazati glavni rezultati kroz povijest rje²avanja Malfattijeva problema i,posebno, konstrukcije spomenute konguracije.

Literatura:

R. M. Andreatta, A. Bezdek and J. Boronski, The problem of Malfatti: two centuries ofdebate, Math. Intelligencer 33(1) (2010), 72-76.H. Lob and H. W. Richmond, The solution of Malfatti's problem for a triangle, Proc.London Math. Soc. 30 (1930), 287304.M. Goldberg, On the original Malfatti problem, Math. Mag. 40 (1967), 241247.V. A. Zalgaller and G. A. Los, The solution of Malfatti's problem, J. Math. Sciences,72(4) (1994), 31633177.

170

Mentor: Juraj iftar

Fermat-Steinerov problem

Student: Monika Cikojevi¢



Preduvjeti:

Opis: Prikazat ¢e se povijest, razli£iti na£ini rje²avanja i poop¢enja klasi£nog problemaiz planimetrije kojim su se bavili mnogi znameniti matemati£ari. U osnovnoj formulaciji,treba odrediti to£ku u ravnini trokuta ABC tako da zbroj njezinih udaljenosti od vrhovaA, B i C bude minimalan. Za primjene je vaºna i teºinska varijanta tog problema, ukojoj su zadane tri pozitivne konstante kao teºine vrhova. Postavlja se i inverzni Fermat-Steinerov problem, postoje li za zadanu to£ku P takve teºine da upravo P bude rje²enjeproblema, a istraºuje se i takav izbor teºina da bi rje²enje bila neka od istaknutih to£akatrokuta (ortocentar, teºiste, sredi²te upisane i opisane kruºnice).

Literatura:

S. Gueron and R. Tessler, The Fermat-Steiner problem, Amer. Math. Monthly 109(5)(2002), 443-451.(Ovaj £lanak sadrºi opseºan popis literature, iz kojeg ¢e se jo² neki naslovi iskoristiti zadiplomski rad).

171

Mentor: Juraj iftar

Descartesov list i Fermatova metoda kvadrature

Student: Maja Nemet

Podru£je: diferencijalni i integralni ra£un, geometrija


Preduvjeti:

Opis: Descartesov list (Folium de Descartes) krivulja je s jednadºbom x3 + y3 = 3axy,koja ima mnoga zanimljiva svojstva, a s njom je povezan i glasoviti "izazov" Descartesanjegovom velikom matemati£kom suvremeniku Pierreu Fermatu. Fermat ne samo ²toje s lako¢om rije²io zadatak odreivanja tangenti kojeg je Descartes smatrao iznimnote²kim, nego je izra£unao i povr²inu unutar "petlje" ("lista") te predloºio vlastitu metodu"kvadrature" (zapravo integriranja) za ²iru klasu krivulja. U radu ¢e se najprije prikazatirazli£ita rje²enja za izra£unavanje povr²ine unutar Descartesova lista, a zatim i primjenaFermatove metode na sli£ne i op¢enitije probleme, npr. za krivulje s jednadºbom oblikax2m+1 + y2m+1 = (2m+ 1)xmym. Za njegovo doba, prvu polovicu 17. stolje¢a, Fermatoveideje pokazuju se posebno originalnima i dalekoseºnima.

Literatura:

J. Paradís, J. Pla and P. Viader Fermat and the Quadrature of the Folium of Descartes,Amer. Math. Monthly 111, No. 3 (2004), 216-229.(Ovaj £lanak sadrºi opseºan popis literature, iz kojeg ¢e se jo² neki naslovi iskoristiti zadiplomski rad).

172

Mentor: Juraj iftar

Algebarski pristup iterativnim metodama tangente i sekante

Student: Marko Sa£i¢

Podru£je: geometrija, algebra

Prikladno za studij: Teorijska matematika, nastavni£ki smjerovi

Preduvjeti:

Opis: U matemati£koj analizi i, posebno, numeri£koj matematici poznate su klasi£nemetode tangente (Newton-Raphson) i sekante za pribliºno odreivanje nulto£aka zadanefunkcije f . To su iterativni postupci kojima se, za po£etni izbor (procjenu ili "pogaa-nje") to£ke T0 (za tangentu) odnosno dviju to£aka S1, S2 (za sekantu) formiraju nizovi Tni Sn.Uo£avanjem podudarnosti meu podnizovima ovih nizova kad se uzme f(x) = x2− x− 1(²to vodi do vrijednosti "zlatnog reza"), zajedno s nizom veriºnih razlomaka dobivenih ite-racijama funkcije m(x) = 1+1/x, dolazi se na ideju promatranja binarne operacije x∗y =(xy+1)/(x+y−1) na pro²irenju polja R, zatim op¢enito x∗y = [xf(y)˘yf(x)]/[f(y)˘f(x)]pri £emu je f diferencijabilna funkcija na pro²irenju R. (U prvom, posebnom slu£aju ope-racija ∗ dobiva se primjenom metode sekante na funkciju f(x) = x2 − x − 1). Sadavaºnu ulogu dobiva asocijativnost operacije ∗, jer ako je to svojstvo ispunjeno za nekufunkciju f onda dolazi do podudaranja podnizova nizova (Tn) i (Sn) analogno kao kodf(x) = x2 − x− 1.Asocijativnost ne vrijedi op¢enito, no pomo¢u Pascalovog teorema o ²esterovrhu upi-sanom u koniku uspijeva se pokazati asocijativnost za klasu racionalnih funkcija oblikaf(x) = (ax2 + bx+ c)/(dx+ e).Uz ovakvo poop¢enje, moºe se izloºiti niz zanimljivih posebnih slu£ajeva i primjena, odkojih su neke poznate iz matematike i zike (relativisti£ko zbrajanje, grupa to£aka elip-ti£ke krivulje itd).

Literatura:

S. R. Northshield, Associativity of the secant method Amer. Math. Monthly 109 (2002),246-257. http://faculty.plattsburgh.edu/sam.northshield/monthly.pdfM. Filaseta, Newton's method and simple continued fractions, Fibonacci Quart. 24 (1986),41-46.

173

Mentor: Tomislav iki¢ Suvoditelj: Mladen Vukovi¢

Primjeri objavljenih matemati£kih zadataka PISA istraºivanjavezanih uz pojam funkcije

Student: Matej So²i¢

Podru£je: Metodika nastave matematike

Prikladno za studij: Diplomski studij Matematika; smjer: nastavni£ki, Diplomski stu-dij Matematika i informatika; smjer: nastavni£ki, Integrirani studij Matematika i zika;smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: nema

Opis: Kandidat ¢e analizirati javno objavljene matemati£ke zadatke u PISA istraºivanjukoji su povezani s matemati£kim konceptima iz NOK-ove domene Algebra i funkcije.

Literatura:

1. Learning Mathematics for Life; OECD http://browse.oecdbookshop.org/oecd/

pdfs/free/9809111E.PDF

2. PISA 2012 Released Mathematics Items; OECD http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/

pisa2012-2006-rel-items-maths-ENG.pdf

3. PISA Relased Items - Mathematics; OECD http://www.oecd.org/pisa/38709418.

pdf

4. NOK; http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/NOK.pdf5. Materijali za kolegije Metodika nastave matematike 1-4 http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali.php

174

Mentor: Jan najder Suvoditelj: Mladen Vukovi¢

Analiza tekstova projektnih prijedloga primjenom postupakastatisti£ke obrade prirodnoga jezika

Student: Hermina Petric Mareti¢

Podru£je: obrada prirodnog jezika, strojno u£enje


Preduvjeti: nema

Opis: U posljednje je vrijeme porastao interes za grupnim nanciranjem (engl. crowd-funding) kreativnih projekata. Postoje mnoge internetske stranice, kao ²to su Kickstarteri RocketHub, na kojima se potencijalnim investitorima objavljuju prijedlozi takvih pro-jekata. Usporedno s time porasla je potreba za strojnom obradom tekstova projektnihprijedloga, koja bi omogu¢ila pronalaºenje, pregledavanje, klasikaciju i usporedbu pro-jekata, analizu trendova, predvianje uspjeha projekta, ekstrakciju informacija i sl.Tema diplomskoga rada jest primjena postupaka statisti£ke obrade prirodnog jezika (nad-ziranog i nenadziranog strojnog u£enja) za semanti£ku usporedbu projektnih prijedloga.U okviru rada potrebno je prou£iti postupke modela tema (engl. topic model), kao ²toje model latentnoga Dirichletovog zauze¢a (LDA), te primjenu takvih modela za ekspolo-rativnu analizu zbirki dokumenata, ozna£avanje tema (engl. topic labeling) i ekstrakcijuklju£nih rije£i. Opcionalno prou£iti modele za slijedno ozna£avanje podataka (npr. modeluvjetnih slu£ajnih polja) i primjenu takvih modela za segmentaciju teksta prema temat-skoj odnosno funkcijskoj strukturi.U prakti£nome dijelu rada potrebno je implementirati postupak za usporedbu i grupiranjeprojekata temeljen na tematskim zna£ajkama ekstrahiranima iz tekstova projektnih pri-jedloga. Postupak primijeniti i vrednovati na prikladnome skupu podataka na engleskomejeziku (npr. prijedlozi projekata sa stranice Kickstarter).

Literatura:

Manning, Christopher D. Foundations of statistical natural language processing. Ed.Hinrich Schütze. MIT press, 1999.Blei, David M., Andrew Y. Ng, and Michael I. Jordan. "Latent Dirichlet allocation." theJournal of machine Learning research 3 (2003): 993-1022.Mei, Qiaozhu, Xuehua Shen, and ChengXiang Zhai. "Automatic labeling of multino-mial topic models." Proceedings of the 13th ACM SIGKDD international conference onKnowledge discovery and data mining. ACM, 2007.Laerty, John, Andrew McCallum, and Fernando CN Pereira. "Conditional random -elds: Probabilistic models for segmenting and labeling sequence data." (2001).Greenberg, Michael D., et al. "Crowdfunding support tools: predicting success & failure."CHI'13 Extended Abstracts on Human Factors in Computing Systems. ACM, 2013.Mitra, Tanushree, and Eric Gilbert. "The language that gets people to give: Phrases thatpredict success on kickstarter." Proceedings of the 17th ACM conference on Computersupported cooperative work & social computing. ACM, 2014.

175

Mentor: Kristina ori¢

Model proizvodnje i zaliha u nesavr²enom proizvodnom procesu

Student: Marina Mandi¢

Podru£je: dinami£ki sustavi, optimizacija

Prikladno za studij: za sve studije

Preduvjeti: poznavanje metoda optimizacije i koncepata iz kolegija Dinami£ki sustavi uekonomiji

Opis: U literaturi se uglavnom prou£avaju savr²eni proizvodni procesi koji su prikladniza u£enje koncepata i usvajanje teorijskih znanja. No, znamo da u praksi proizvodnjiprocesi nimalo nisu savr²eni. Stoga se £esto dogaa da se proizvodi moraju popravljati iponovo doraivati. To iziskuje dodatne tro²kove. Ovaj rad denira problem optimalnogupravljanja s ciljem maksimizacije dobiti poduze¢a uz odreivanje optimalne razine pro-izvodne produktivnosti i zaliha uzimaju¢i u obzir te dodatne tro²kove.

Literatura:

1. Clarke, F. (2013). Functional Analysis, Calculus of Variatons and Optimal Control.Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, London2. Koutsoyiannis A., Moderna mikroekonomika, Mate d.o.o., 1997.3. Shib Sankar Sana, A production-inventory model in an imperfect production process,European Journal of Operational Research 200 (2010) 451-464

176


Modeliranje dinamike zaliha

Student: Frane Tomi¢

Podru£je: dinami£ki sustavi, optimizacija



Opis: Uzimaju¢i u obzir potraºnju za odreenom robom na trºi²tu, kao i njezine postoje¢ezalihe, poduze¢e maksimizira svoju dobit. Problem se denira kao problem optimalnogupravljanja. Rje²enje problema su optimalne vremenske putanje proizvodnje i zaliha natemelju kojih se onda provodi analiza poslovnih ciklusa u nekoj ekonomiji.

Literatura:

1. Clarke, F. (2013). Functional Analysis, Calculus of Variatons and Optimal Control.Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, London2. Koutsoyiannis A., Moderna mikroekonomika, Mate d.o.o., 1997.3. L. Pieroni, M. Ricciarelli, Modelling dynamic storage function in commodity markets:Theory and evidence, Economic Modelling 25 (2008) 1080-1092

177


Difuzijski modeli u turizmu

Student: Matea Lustek

Podru£je: optimizacija, dinami£ki sustavi



Opis: Turisti£ko trºi²te je vrlo osjetljivo, pa turisti£ka poduze¢a i ostali akteri na njemumoraju optimalno rasporediti sve svoje resurse ukoliko ºele privu¢i klijente. Jedan od na-£ina je i izu£avati plasiranje informacije o novoj usluzi ili proizvodu koje se moºe odvijatiputem promocije ili prijenosom informacija sa starih na nove klijente. U tom izu£avanjumoºe se koristiti i Bass-ov difuzijski model, kao i njegova verzija, ²to je slu£aj u ovomradu.

Literatura:

1. Koutsoyiannis A., Moderna mikroekonomika, Mate d.o.o., 1997.2. J. P. H. Hsiao, C. Jaw, T. C. Huan, Information diusion and new product con-sumption: A bass model application to tourism facility management, Journal of BusinessResearch 62 (2009) 690-6973. Seierstad A., Sydsaeter K., Optimal control theory with economic application, North-Holland, First Edition 1987

178

Mentor: Daria Tot Suvoditelj: Aleksandra iºme²ija

Vrednovanje kao strategija u£enja matematike

Student: Marijana Hunjek

Podru£je: didaktika, metodika nastave matematike


Preduvjeti: nema

Opis: Vrednovanje u suvremenom odgojno-obrazovnom procesu ima vi²estruku svrhu:vrednovanje za u£enje, vrednovanje kao u£enje i vrednovanje nau£enog. Cilj diplomskograda je prikazati neke prednosti vrednovanja kao strategije u£enja te opisati speci£nostiprimjene tog mehanizma u nastavi matematike.

Literatura:

Kyriacou, C. (1995). Temeljna nastavna umije¢a: metodi£ki priru£nik za uspje²no po-u£avanje i u£enje. - Zagreb: Educa.Male², D. i Muºi¢, V. (1990). Mogu¢nost vrednovanja nastavnika od strane u£enika, ivoti ²kola, 39 (1), 1-22.Meyer, H. (2005). to je dobra nastava? Zagreb: Erudita.Muºi¢, V. (1998). Nove mogu¢nosti u vrjednovanju pri usmjerenosti nastave na sudionike.U: Vrjednovanje obrazovanja. Osijek: Pedago²ki fakultet.Prange, K. (2005). Kompetencije izmeu profesionalizacije i evaluacije. Pedagogijska is-traºivanja, 1, Zagreb, 49-57.Tobey, C. R. , Keeley, P. D. (2011). Mathematics Formative Assessment: 75 PracticalStrategies for Linking Assessment, Instruction, and Learning, Corwin Pr Inc.Depka, E. (2007). Designing Assessment for Mathematics, 2nd edition Corwin Pr Inc.McMillan, J. H. (2010). Classroom Assessment: Principles and Practice for EectiveStandards-Based Instruction, 5th edition, Pearson Education.Popham, W. J. (2013). Classroom assessment: What teachers need to know, PrenticeHall.

179


Primjena metoda aktivnog u£enja u nastavi algebre i funkcija uosnovnoj ²koli

Student: Karmen upan



Preduvjeti: nema

Opis: Primjenom metoda aktivnog u£enja u£enik je postavljen u interaktivan odnos sasadrºajima, dobiva ulogu kreatora i izvr²ioca £ime nastava dobiva novu dimenziju, a u£e-nje postaje izazov. Svaka metoda moºe biti pokreta£ka za u£enike, ali ni jedna sama posebi ne jam£i aktivno u£enje. Cilj je ovoga rada prikazati na koji na£in aktivna nastavaosigurava obrazovne ishode i aktivan poloºaj u£enika kao konstruktora vlastitog znanja ito putem: prilagoavanja nastavnih oblika, metoda i sredstava rada individualnim potre-bama i mogu¢nostima svakog u£enika kako bi se djelovalo na razvoj razli£itih podru£jau£enikove posebnosti; planiranje i pripremu prema sposobnostima u£enika; uvaºavanjerazli£itih stilova u£enja u£enika kao i uvaºavanje razvojnih razlika; omogu¢avanje aktiv-nog, samostalnog u£enja i prakti£nog djelovanja u£enika.

Literatura:

Jensen, E. (2004), Razli£iti mozgovi, razli£iti u£enici, Zagreb: Educa.Marzano, R. J., Pickering, D. J., Pollock, J. E. (2006). Nastavne strategije. Kako primi-jeniti devet najuspje²nijih nastavnih strategija. Zagreb: Educa.Mattes, W. Nastavne metode (75 kompaktnih pregleda za nastavnike i u£enike) (2007).Zagreb. Naklada Ljevak.Murdock, J., Kamischke, E., Kamischke, E. (2002). Discovering Algebra. An Investiga-tive Approach, Key Curriculum. Press.Van de Walle, J. A., Karp, K. S., Bay-Williams, J. M. (2012). Elementary and MiddleSchool Mathematics: Teaching Developmentally, Pearson.Steele, J. L. , Meredith, K. S. Temple, C. Walter, S. (2001). itanje i pisanje za kriti£komi²ljenje, vodi£i kroz projekt (I.-VIII.). Zagreb: Forum za slobodu odgoja.E. Terhart (2001). Metode pou£avanja i u£enja,. Zagreb: Educa.

180


Suradni£ko u£enje u nastavi aritmetike u osnovnoj ²koli

Student: Borjana Brdar



Preduvjeti: nema

Opis: Pojam suradni£kog u£enja obuhva¢a razli£ite nastavne oblike s ciljem poticanjasvih u£enika. Suradni£ko u£enje ne zna£i da grupni rad zamjenjuje individualnu, odnosnofrontalnu nastavu. Cilj je ovoga rada prikazati pregledno te na konkretnim primjerima iznastave aritmetike u osnovnjoj ²koli u£inkovite oblike djelovanja kojima je mogu¢e obo-gatiti nastavu £ime ¢e u£enje postati trajniji i u£inkovitiji proces. Takoer, uputiti naintegraciju strategija suradni£kog u£enja u proces u£enja.

Literatura:

Bruening, l. Saum, T. (2008). Suradni£kim u£enjem do uspje²ne nastave. Zagreb: Nak-lada Kosinj.Cindri¢, M., Miljkovi¢, D. i Strugar, V. (2010). Didaktika i kurikulum. Zagreb: IEP-D2.Jensen, E. (2003). Super-nastava. Zagreb: EducaMarzano, R. J., Pickering, D. J., Pollock, J. E. (2006). Nastavne strategije. Kako primi-jeniti devet najuspje²nijih nastavnih strategija. Zagreb: Educa.Mattes, W. Nastavne metode (75 kompaktnih pregleda za nastavnike i u£enike) (2007).Murdock, J., Kamischke, E., Kamischke, E. (2002). Discovering Algebra. An Investiga-tive Approach, Key Curriculum. Press.Van de Walle, J. A., Karp, K. S., Bay-Williams, J. M. (2012). Elementary and MiddleSchool Mathematics: Teaching Developmentally, Pearson.

181

Mentor: Sanja Varo²anec

Jedna generalizacija konveksnih funkcija

Student: Ivana Mrvi£i¢

Podru£je: analiza

Prikladno za studij: svi

Preduvjeti:

Opis: Meu raznim generalizacijama konveksnih funkcija posebnu ulogu igraju s-konveksnefunkcije koje je 1978. denirao W.W. Breckner. Za funkciju f : I → R kaºemo da jes-konveksna ako za sve x, y ∈ I i t ∈ [0, 1] vrijedi f(tx+ (1− t)y) ≤ tsf(x) + (1− t)sf(y).U ovom radu ¢e se opisati svojstva klase s-konveksnih funkcija.

Literatura:

1. Breckner, W.W, Stetigkeitsaussagen fur eine Klasse verallgemeinerter konvexer funk-tionen in topologischen linearen Raumen, Publ. Inst. Math. 23 (1978), 13-20.2. Hudzik, H, Maligranda, L, Some remarks on s-convex functions, Aequationes Math.48, (1994), 100-111.3. Kirmaci US et al, Hadamard-type inequalities for s-convex functions, Applied Mathe-matics and Computations, 193 (2007), 26-35.

182


Homotetija i sli£nost u ²kolskoj matematici

Student: Ivana Major omoi


Prikladno za studij: edukacijski smjerovi

Preduvjeti:

Opis: Denirati homotetiju, sli£nost, dokazati razna svojstva, osvrnuti se na ulogu tihpreslikavanja u ²kolskoj matematici, komentirati razli£ite pristupe ovoj problematici. Pro-u£iti primjenu ovih preslikavanja u razli£itim dijelovima matematike.

Literatura:

1. Pavkovi¢, Veljan, Elementarna matematika 1,2, Zagreb, 1992.2. Palman, Trokut i kruºnica, Element, Zagreb, 1992.3. srednjo²kolski udºbenici i drugi izvori

183


Bicentri£ki parovi to£aka trokuta

Student: Topalovi¢ Bernarda



Preduvjeti:

Opis: Promatraju se to£ke ravnine £ije su baricentri£ne koordinate oblika f(a, b, c) :f(b, c, a) : f(c, a, b) gdje je f pozitivno homogena funkcija, za koju je f(a, b, c) 6= f(a, c, b)pri £emu su a, b, c duljine stranica £vrstog trokuta. Kao ²to odabrani trokut ima neko-liko tisu¢a centara (prema Kimberlingovoj listi 5000), tako se u trokutu pojavljuje i nizto£aka koje nazivamo bicentri£ki parovi to£aka. Najpoznatiji takav par su prva i drugaBrocardova to£ka trokuta. U radu ¢e se prou£iti generalna svojstva ovih to£aka, te nekiposebni primjeri istih.

Literatura:

1. Pavkovi¢, Veljan, Elementarna matematika 1, TK, Zagreb, 1992.2. Palman, Trokut i kruºnica, Element, Zagreb, 1992.3. Encyclopedia of Triangle Centers, http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

184


Teºi²nice trokuta i teºi²te

Student: karo Tonio



Preduvjeti:

Opis: U radu ¢e se razmotriti razna svojstva teºi²nica trokuta i teºi²ta te dokazati ih pomogu¢nosti na vi²e na£ina. Promotrit ¢e se konstrukcije trokuta u kojima je bar jedandani element teºi²nica trokuta. Za potrebe rje²avanja problema kad konstrukcija nijemogu¢a, dokazati potrebne teoreme o postojanju konstruktibilnih rje²enja jednadºbe.

Literatura:

1. vr£ek i dr. Geometrie trojuhelnika, Praha 1988.2. D. Palman, Trokut i kruºnica, Element, Zagreb, 1992.3. A. Mari¢, Planimetrija, Element, Zagreb4. Pavkovi¢, Veljan, Elementarna matematika 1, TK, Zagreb, 1992.

185


Karakteristi£ne to£ke i pravci £etverokuta

Student: Grbac Irena



Preduvjeti:

Opis: Kao ²to u trokutu moºemo promatrati mnoge karakteristi£ne to£ke, tako se i ukonveksnom £etverokutu pojavlju to£ke, pravci i gure koje imaju neka zanimljiva svoj-stva. Najpoznatije takve gure su Newtonov pravac, kvaziortocentar, teºi²te s obziromna vrhove, teºi²te s obzirom na stranice itd. U radu ¢e se prou£iti svojstva ovih struktura.

Literatura:

1. Pavkovi¢, Veljan, Elementarna matematika 1, TK, Zagreb, 1992.2. D. Palman, Trokut i kruºnica, Element, Zagreb, 1992.3. A. Myakishev, On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral, Forum Geome-tricorum 6(2006), 289-295.4. Honsberger, Ross, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry,Math. Assoc. Amer., 1995

186


(M,N) - konveksne funkcije pridruºene paru sredina M i N

Student: Matija Ili¢

Podru£je: analiza

Prikladno za studij: svi

Preduvjeti:

Opis: U prvom dijelu rada ¢e se opisati osnovna svojstva konveksnih funkcija, a potom¢emo paºnju usmjeriti prema tzv. (M,N)-konveksnim funkcijama i njihovim svojstvima.Najpoznatiji primjeri tih funkcija su logaritamski konveksne, te multiplikativno konveksnefunkcije.

Literatura:

1. C. Niculescu, L.-E.Persson, Convex functions and Applications, Springer, 2006.2. F. Proschan et all, Convex functions, Partial Orderings and Statistical Applications,Acad. Press, 1992.

187

Mentor: Marko Vrdoljak

Cjelobrojno programiranje

Student: Tina ulina

Podru£je: Optimizacija

Prikladno za studij: svi diplomski studiji

Preduvjeti:

Opis: Za razliku od zada¢a linearnog programiranja, kod zada¢a cjelobrojnog programi-ranja ne postoji analogon Farkaseve leme pa tako ni lijepe teorije dualnosti. Cilj rada jeprikazati teorijske rezultate zada¢a cjelobrojnog programiranja i neke metode rje²avanja.

Literatura:

A. Schrijver. Theory of linear and integer programming, Wiley 1999.Y. Pochet, L. Wolsey. Production planning by mixed integer programming, Springer, 2006.

188


Mreºna optimizacija u planiranju ºeljezni£kog prometa

Student: Matej Jusup

Podru£je: Optimizacija

Prikladno za studij: svi diplomski studiji

Preduvjeti:

Opis: Cilj rada je modelirati niz problema organizacije ºeljezni£kog prometa kao problemeoptimizacije na grafovima i opisati algoritme za njihovo rje²avanje.

Literatura:

R. Ahuja, C. Cunha, G. Sahin. Network Models in Railroad Planning and Scheduling, uTutorials in operations research (ur. J. Smith), pp. 54-101, Informs, 2005.

189


Optimizacija svojstvenih vrijednosti Laplaceovog operatora

Student: Kristina Bolfek

Podru£je: Matemati£ka analiza

Prikladno za studij: Diplomski studiji: Teorijska matematika, Primijenjena matema-tika, Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe 2

Opis: Rad se bavi odreivanjem domene koja optimizira k-tu svojstvenu vrijednost La-placeovog operatora, s obzirom na dane rubne i geometrijske uvjete. Povijesno, problemodreivanja otvorenog skupa zadanog volumena koji minimizira najmanju svojstvenu vri-jednost uz Dirichletov rubni uvjet prou£avao je Rayleigh 1877. godine, ali su mnogapitanja jo² uvijek otvorena.Cilj rada je prikazati korisne tehnike (Schwarzovo preslagivanje, Steinerova simetrizacija)u rje²avanju zada¢a tog tipa.

Literatura:

A. Henrot. Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Birkhäuser, 2006.

190


Metoda nivo skupa u optimizaciji oblika

Student: Petar Kun²tek

Podru£je: Matemati£ka analiza

Prikladno za studij: Diplomski studiji: Teorijska matematika, Primijenjena matema-tika, Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe 2

Opis: Rad prou£ava zada¢e optimizacije oblika kojima je cilj odrediti domenu koja mi-nimizira zadani funkcional. Ovisnost funkcionala o domeni dana je preko funkcije cilja rje²enja rubne zada¢e za parcijalnu diferencijalnu jednadºbu na promatranoj domeni.Metoda je zasnovana na Hadamardovom pristupu preko derivacije funkcionala s obziromna varijaciju domene, a zapis same domene proveden je kori²tenjem metode nivo skupa.

Literatura:

G. Allaire, F. Jouve, A.-M. Toader, Structural optimization by the level-set method, Inter-national Series of Numerical Mathematics, vol. 147, pp.1-15, Birkhäuser, 2003.J. Sethian. Level set methods and fast marching methods, Cambridge University Press,1999.

191

Mentor: Mladen Vukovi¢

Nepotpunost i neodlu£ivost aritmetike

Student: Daniel Jelu²i¢

Podru£je: matemati£ka logika i ra£unarstvo


Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Matemati£ka logika i Izra£un-ljivost

Opis: Glavni cilj diplomskog rada je dokazati Gödelove teoreme nepotpunosti, Tarskijevteorem o nedenabilnosti aritmeti£ke istine, te Churchov teorem o neodlu£ivosti logikeprvog reda. U prvom dijelu diplomskog treba obraditi postupak aritmetizacije sintakse,te dokazati da je predikat dokazivosti rekurzivno prebrojiv ako se radi o teoriji s rekurziv-nim skupom aksioma. Nakon toga treba dokazati reprezentabilnosti rekurzivnih funkcijau Peanovoj aritmetici. Klju£ni posljednji korak za dokaz Gödelovih teorema je lema o k-snim to£kama. U zadnjem dijelu treba razmotriti vezu izmeu neodlu£ivosti Hilbertovogdesetog problema i Gödelovih teorema.

Literatura:

W. Rautenberg, A Concise Introduction to Mathematical Logic, Springer, 2006.P. Smith, An Introduction to Gödel's Theorems, Cambridge University Press, 2008.M. Vukovi¢, Matemati£ka logika, Element, 2009.

192

Mentor: Mladen Vukovi¢ Suvoditelj: Tin Perkov

Skupovne interpretacije modalne logike

Student: Filip Kir²ek

Podru£je: matemati£ka logika

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Matemati£ka logika i Teorijaskupova

Opis: Postoje mnoge interpretacije modalne logike. Vjerojatno je najpoznatija Solo-vayeva interpretacija modalnosti kao dokazivosti. Solovay je razmatrao i sljede¢e skupovneinterpretacije modalnosti: "istinito u svim tranzitivnim modelima teorije ZF" i "istinitou Vκ, za svaki nedostiºivi kardinal κ." Za svaku od tih skupovnih interpretacija denirase modalni sistem i pripadna semantika. U diplomskom radu treba dokazati teoreme mo-dalne adekvatnosti i potpunosti, te zatim dokazati Solovyev teorem potpunosti modalnelogike u odnosu na navedene skupovne interpretacije.Metodu forcinga uveo je Cohen 1962. godine kako bi dokazao nezavisnost aksioma izborai hipoteze kontinuuma u odnosu na ostale aksiome ZermeloFraenkelove teorije skupova.Metoda forcinga je postala fundamentalna metoda u teoriji skupova. Interpretaciju mo-dalne logike pomo¢u forcinga uveo je Hamkins 2003. godine. Ako pretpostavimo da jeZFC konzistentna teorija tada su ZFCdokazivo valjani principi o forcingu upravo oni kojisu dokazivi u modalnoj teoriji S4.2.

Literatura:

G. Boolos, The Logic of Provability, Cambridge University Press, 1993.J. D. Hamkins, B. Löwe, The modal logic of forcing, Transection of the American Mat-hematical Society, 360 (2008), 17931817T. Jech, Set Theory, Springer, 2003.W. Rautenberg, A Concise Introduction to Mathematical Logic, Springer, 2006.

193

Mentor: Kre²o Zadro

Toplinske pumpe

Student: Ivana Katini¢

Podru£je: zika £vrstog stanja

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji zike

Preduvjeti:

Opis: Toplinska pumpa akumuliranu sun£evu energiju u zemlji, vodi ili zraku uz pomo¢elektri£ne energije pretvara u toplinsku energiju za sustav grijanja, hlaenja ili pripremepotro²ne tople vode. To su sustavi obnovljivog, jeftinog i ekolo²ki £istog na£ina grijanja,koji rade na principu sli£nom kao i rashladni ureaji. Osnovni proces koji obja²njavanjihov rad je Carnotov kruºni proces. Polaze¢i od termodinami£kih zakonu u radu ¢e bitiobja²njen na£in rada pumpi. Zatim ¢e biti opisane neke neke realizacije te analizirananjihova u£inkovitost.

Literatura:

194