Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Iva Burazin

Interdisciplinarni pristup u nastavimatematike

Diplomski rad

Osijek, 2015.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Iva Burazin

Interdisciplinarni pristup u nastavimatematike

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2015.

Sadrzaj

Uvod 4

1 Interdisciplinarni pristup u nastavi matematike 5

2 Matematika u knjizevnosti 8

2.1 Opsezni knjizevni tekstovi koji se u cijelosti bave matematikom . . . . . . . 8

2.2 Knjizevni tekstovi u kojima se matematika pojavljuje kao mali dio cjeline . . 12

2.3 Kratki knjizevni tekstovi koji se u cijelosti bave matematikom . . . . . . . . 19

3 Matematika u povijesti 22

3.1 Kako povijest moze utjecati na nastavu matematike . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Korelacija matematike i povijesti matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Korelacija matematike i povijesnih dogadaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Matematika u geografiji i geodeziji 33

4.1 Korelacija matematike i geografije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Korelacija matematike i geodezije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Literatura 42

Sazetak 44

Title and summary 45

Zivotopis 46

Uvod

Tema diplomskog rada je korelacija nastave matematike s drugim predmetima u osnovnoj

i srednjoj skoli. Izmedu ostalih predmeta s kojima je matematika prirodno povezana, kao sto

su kemija, fizika ili informatika, istaknuta su cetiri predmeta, cija je korelacija s nastavom

matematike nesto manje poznata. Rad se sastoji od cetiri poglavlja.

U prvom poglavlju opisan je interdisciplinarni pristup u nastavi matematike te njegovi po-

zitivni ucinci na ucenje. Takoder je uveden pojam korelacije te naglasena sve veca potreba

za koreliranjem predmeta u skoli.

Drugo poglavlje opisuje kako povezati nastavu matematike s jednim od umjetnickih po-

drucja. Preciznije, u ovom poglavlju opisana je korelacija nastave matematike i knjizevnosti.

Navedena je klasifikacija knjizevnih tekstova koji se mogu koristiti u nastavi matematike,

kao i razni primjeri implementiranja istih u konkretne nastavne cjeline i jedinice.

U trecem poglavlju prikazana je korelacija nastave matematike s povijescu, gdje je paznja po-

svecena povijesti same matematike te su navedeni primjeri kako uvesti povijest matematike

u nastavni sat. Takoder su navedeni i primjeri kako iskoristiti poznate povijesne dogadaje

te uciniti nastavni sat zanimljivijim i uspjesnijim.

Cetvrto poglavlje zapocinje s korelacijom nastave matematike i geografije, koja je donekle

zastupljena u skolama, te ju je vrlo jednostavno provesti u nastavi. Na kraju je navedena

korelacija nastave matematike s geodezijom, koja je usko povezana s primijenjenom mate-

matikom, te je ova vrsta korelacije prirodnija od svih ranije navedenih. Takoder su navedeni

primjeri kako implementirati sadrzaje geografije i geodezije u konkretne nastavne cjeline i

jedinice.

Ovom prilikom se zelim zahvaliti mentoru diplomskog rada, doc. dr. sc. Ivanu Maticu na

korisnim savjetima i idejama tijekom procesa stvaranja rada.

Takoder se zahvaljujem obitelji i Andelku na podrsci i razumijevanju koje su mi pruzali

tijekom studiranja te rad posebno posvecujem majci.

5

1 Interdisciplinarni pristup u nastavi matematike

Iako je svakom pravom matematicaru koji voli svoju struku dovoljna matematika sama za

sebe, jer ju voli i razumije, cesto ce ucenicima u skoli tesko prenijeti taj interes, makar i u

najmanjoj kolicini. Kako bi nastavnik priblizio matematiku uceniku ili studentu, potrebno

je da bude kreativan, inovativan te spreman na razlicite izazove i dodatni angazman. Sva-

kog ucenika potrebno je motivirati i potaknuti na obradivanje matematickog sadrzaja te,

jos vaznije, postici da ucenik do kraja obaveznog obrazovanja razvije matematicku kompe-

tenciju, koja se definira kao osposobljenost ucenika za razvijanje i primjenu matematickog

misljenja u rjesavanju problema u nizu razlicitih svakodnevnih situacija.

Nisu potrebna istrazivanja niti znanstveni dokazi koji bi potvrdili kako mnogi ucenici

imaju otpor prema matematici. Opce je poznata stvar da matematika velikom broju djece

nije omiljen predmet. Svatko u vlastitoj okolini sigurno moze naci razne primjere djece ili

mladih ljudi kojima matematika ne ide, koji imaju otpor prema njoj jer misle da je teska ili

ne vide svrhu njenog ucenja. Cak i oni ucenici koji su u ranom skolovanju voljeli rjesavati ma-

tematicke probleme, u kasnijem skolovanju cesto gube taj interes iz raznih razloga; sadrzaji

postaju sve apstraktniji i kompleksniji, potrebno je povezivanje prethodno naucenih sadrzaja

s onim nadolazecim, vazno je savladati sve sadrzaje s razumijevanjem kako bi interes i volja

za ucenjem matematike opstali. U svemu tome mnogi se ucenici izgube i sukladno tome i

njihov interes nestaje.

Samo je pojedince moguce motivirati da matematiku uce zbog nje same, a za vecinu

drugih ucenika bit ce potrebno osmisliti razlicite metode poucavanja. Jedan od nacina kako

motivirati ucenike na ucenje matematike je usmjeravanje na primjenu matematike u svakod-

nevnim zivotnim situacijama, dakle da se ucenicima pokaze zasto uciti matematiku. Drugi

nacin, kojim ce se ovaj rad i baviti, je ucenje matematike kroz ucenje drugih predmeta,

odnosno znanstvenih i umjetnickih podrucja.

Matematiku je prirodno povezati s predmetima kao sto su fizika, kemija ili biologija. One

se medusobno ispreplicu i vec se dugi niz godina ta korelacija i koristi u nastavi. Primjerice,

matematiku u fizici moze se pronaci u nizu raznih poznatih konstanti, kao sto je naprimjer

Avogadrova, Boltzmannova, zatim kroz mehaniku, kinematiku, dinamiku, valove, titranje

itd. Iako su tu navedeni samo neki konkretni primjeri, jasno je da fizika bez matematike

ne bi postojala, te da su mnogi najveci znanstvenici poput Newtona, Laplacea, Fouriera i

mnogih drugih bili i matematicari i fizicari. Dugo se teorijska fizika nije ni mogla razdvo-

jiti od matematike. Takoder, matematika predvida rezultate mnogih pokusa i istrazivanja i

cesto daje smjer u kojem bi istrazivanje trebalo ici. Slicno, vrlo je lako pronaci matematiku

i u kemiji. Naravno, ocigledna poveznica je aritmetika koja je potrebna u stehiometrijskim

zadacima, zatim primjena funkcija i grafova za opis kemijskih procesa, izracunavanje volu-

mena raznih kristala, logaritmi koji su potrebni za definiciju pH otopina itd.

6

Ovaj rad bavi se ucenjem matematike uz pomoc knjizevnosti, povijesti, geografije i ge-

odezije. Mozda se cini kako je neobicno korelirati matematiku s nekim od ovih predmeta,

posebno s knjizevnoscu ili povijescu, no, moguce je pronaci poveznicu sa svim ovim pred-

metima, kao i s kemijom ili fizikom. Za ovaj nacin koreliranja potrebno je nesto vise truda i

angazmana, jer korelacija nije toliko ocita kao ona izmedu matematike, kemije i fizike.

U novije vrijeme sve vise se potice suvremena nastava u kojoj treba uvoditi interdiscipli-

narnost, odnosno korelirati razlicita podrucja ili predmete u jednu cjelinu. Takav je pristup

sve potrebniji danasnjem drustvu, te se njime napusta tradicionalna zatvorenost pojedinog

nastavnog predmeta. Korelacijom u nastavi i pretvaranjem odgojno - obrazovnog procesa

u harmonicnu cjelinu mogu profitirati i nastavnik i ucenik. Na taj ce nacin ucenik aktivno

uciti i razvijati svoje vjestine u vise smjerova, lakse ce usvajati i povezivati znanja te ce

njegovo ucenje biti kvalitetnije i bitno dublje. Interdisciplinarni pristup pozitivno ce utjecati

na samu motivaciju, ali i na razinu usvojenosti matematickih znanja i vjestina.

Prvo je potrebno razmotriti sto je to korelacija i kolika je njena vaznost u nastavnom

procesu. Pojam korelacije nije novijeg datuma, on postoji jos od grckih filozofa preko Le-

onarda da Vincija koji je izucavao razna podrucja znanosti i umjetnosti kako bi sva znanja

koja je stekao stopio u jedno. Snaga uma ne ovisi o kolicini podataka nagomilanih samih za

sebe, bez njihovog suodnosa; ona je dobro organiziran sustav u kojem su sve informacije po-

vezane u jednu skladnu cjelinu i cine znanje. Korelacija u nastavi je na neki nacin tehnika za

stvaranje konkretnih i trajnih znanja. Korelacija je medusobni odnos, uzajamna zavisnost,

povezanost u harmonicnu cjelinu.

Opcenito, postoje horizontalna i vertikalna korelacija nastavnih sadrzaja. Horizontalna

korelacija je povezivanje sadrzaja razlicitih nastavnih predmeta na nivou jednog razreda.

Pod vertikalnom korelacijom se podrazumijeva medusobno povezivanje nastavnih sadrzaja

na nivou vise razreda. Kod vertikalne korelacije nastavnih sadrzaja razlikuje se povezivanje

sadrzaja u okviru jednog nastavnog predmeta, ali kroz vise razreda (npr. povezivanje prirode

i drustva kroz cetiri razreda) i povezivanje istih sadrzaja koji se javljaju u vise nastavnih

predmeta vise razreda (npr. orijentacija se najprije obraduje u okviru prirode i drustva od

prvog do cetvrtog razreda, a nakon toga u nastavi geografije od petog do osmog razreda).

Covjekov um postoji kao cjelina. Iz tog razloga trebao bi i primati informacije, odnosno,

znanje kao skladnu cjelinu. Nijedan predmet u skoli ne treba biti izoliran od korelacije. Ko-

relaciju nastavnih sadrzaja moguce je uvijek pronaci, samo je pitanje koliki je za to potreban

trud i angazman nastavnika. Sasvim je poznata medusobna korelacija prirodnih znanosti,

kao i medusobna korelacija drustvenih znanosti. Mozda je u danasnje vrijeme ucenicima

potrebno ponuditi nesto sasvim novo i drugacije, kao naprimjer povezivanje matematike i

umjetnosti, matematike i povijesti, ili se nastavnici mogu zadrzati na nesto srodnijim pred-

metima, poput matematike i geografije ili matematike i geodezije.

7

Mnogi znanstvenici bave se interdisciplinarnim pristupom u poucavanju matematike. No,

osim znanstvenika, time se bave i ucitelji diljem svijeta koji pokusavaju zainteresirati svoje

ucenike i priustiti im iskustvo ucenja u ne samo jednom podrucju, odnosno predmetu, kao i

dati im priliku da sami uoce poveznicu medu razlicitim podrucjima ljudske djelatnosti.

Jedan od niza projekata u kojima se istrazuje interdisciplinarni pristup u poucavanju ma-

tematike nazvan je The ScienceMath Project, koji je proveden 2009. godine u Europi, kon-

kretno na sveucilistima i skolama Danske, Finske, Njemacke i Slovenije. Cilj projekta bio je

razvoj nastavnih metoda koji vode do cjelovitog i visedimenzionalnog ucenja matematickih

sadrzaja i koncepata. Prije pocetka samog projekta, poslani su upitnici za nastavnike u

180 skola u juznoj Njemackoj koji su ispitivali sto nastavnici misle o interdisciplinarnom

pristupu u poucavanju i njegovom provodenju u razredu. Ono sto je vazno naglasiti je da

vecina nastavnika smatra kako je interdisciplinarni pristup dobar jer omogucuje ucenicima da

sadrzaj koji uce promotre iz vise perspektiva, takoder smatraju da pomaze ucenicima dublje

razumjeti matematicke koncepte i da ce ih kroz interdisciplinarni pristup duze pamtiti. No,

s druge strane, iako vecina nastavnika smatra interdisciplinarni pristup vrlo ucinkovitim i

pozitivnim, samo ga ponekad primjenjuju u vlastitoj nastavi. Razlog tomu je nedostatak vre-

mena, ali i obrazovanja za pripremu materijala potrebnih za interdisciplinarno poucavanje.

Upravo je ovaj projekt dao nastavnicima potrebni materijal kako bi mogli primijeniti inter-

disciplinarno ucenje u svom radu s ucenicima.

Inspirirana ovim projektom, Ariana-Stanca Vacaretu, nastavnica matematike u sred-

njoj skoli u Rumunjskoj napravila je vlastiti istrazivacki eksperiment o kojem se moze vise

procitati u clanku dostupnom na internetu, Teaching and learning high school mathematics

through an interdisciplinary approach. Ovdje cemo samo iznijeti rezultate i staviti naglasak

na najbitnije cinjenice koje idu u prilog interdisciplinarnom pristupu. Eksperiment je prove-

den na 31 uceniku koji su pohadali deveti razred njihove skole sto odgovara prvom razredu

srednje skole u Hrvatskoj. Prije provodenja ovog istrazivanja ucenici su dobili inicijalni is-

pit znanja na kojem su postigli u prosjeku 56. 6 bodova od mogucih 100. U prvoj godini

provodenja istrazivanja nastavnica je obradivala realne brojeve kroz korelaciju s glazbom,

brojevne sustave kroz korelaciju s knjizevnosti, kvadratnu funkciju kroz korelaciju s fizikom

itd. Na ovakav pristup u poucavanju svi su ucenici reagirali pozitivno, sto su pokazali i

rezultati provjere znanja, na kojima su ucenici ovaj put u prosjeku postigli 75. 71 bod od

mogucih 100. Rezultati ispita govore sami za sebe te mogu biti poticaj i primjer mnogim nas-

tavnicima u hrvatskim skolama kako bi se odvazili na interdisciplinarni pristup u poucavanju

matematike.

8

2 Matematika u knjizevnosti

Knjizevnost i matematiku moze se povezati implementiranjem knjizevnog teksta u nastavu

matematike pomocu kojeg se mogu obradivati novi sadrzaji ili usustavljivati vec stecena

znanja i vjestine.

Medu raznim predmetima s kojima se matematika moze korelirati, svoje mjesto pronasla

je i knjizevnost, kao vazna stavka u obrazovnom i odgojnom procesu. Postoji nekolicina

znanstvenika koja se bavi korelacijom matematike s knjizevnoscu, izmedu ostalih to je i

profesorica Astrid Beckmann koja je podijelila knjizevne tekstove koji se mogu koristiti u

nastavi matematike u tri kategorije: tekstovi u kojima se matematika pojavljuje kao mali

dio cjeline, kratki tekstovi koji se u cijelosti bave matematikom te opsezni tekstovi koji se u

cijelosti bave matematikom.

Takoder, osim tekstova koji sadrze matematicke pojmove i koncepte, za korelaciju mogu

posluziti i tekstovi u kojima nema matematickih sadrzaja, ali se na temelju njih mogu izra-

diti zanimljivi zadaci.

2.1 Opsezni knjizevni tekstovi koji se u cijelosti bave matemati-kom

U radu cemo se prvo osvrnuti na knjizevne tekstove koji se u cijelosti bave matematikom.

Iako je na hrvatskom jeziku gotovo nemoguce pronaci tekstove, odnosno djela ove vrste, tu

je nekoliko stranih primjera.

Jedna od takvih knjiga je Jahac na bijelom konju njemackog autora Theodora Storma.

Knjiga datira iz 1888. te govori o mladome geodeti Haukeu koji, kada naslijedi od oca mjesto

upravitelja naselja u kojem zivi, izgradi novi nasip koji brani naselje od mora za vrijeme ve-

likih oluja i vjetrova. Hauke je uvjeren da je postojeci nasip prestrm te ponovnu izgradnju

temelji na matematickim saznanjima iz rane mladosti kada je citao Euklidove Elemente.

Hauke koristi povrsinu trokuta, paralelograma, trapeza te izracunava volumen tla koji je

potreban da bi se dobio odredeni profil nasipa. No, nekoliko godina kasnije, tijekom oluje

nasip popusti i voda poplavi naseljeno podrucje te prica zavrsava tragicno.

Drugi primjer je pripovijetka Zlatni kukac slavnog americkog knjizevnika Edgara Allana

Poea koja je popularizirala kriptografiju. Pripovijetka na napet i zanimljiv nacin govori o

potrazi za blagom preko pergamenta ispisanog sifriranom porukom. Pripovjedac zajedno s

Williamom Legrandom i njegovim slobodnim slugom Jupiterom, nakon mukotrpnog trazenja

i kopanja pronalazi kovceg pun blaga. Cijelu potragu potaknuo je Legrand koji je pronasao

stari pergament na kojemu je gusar, koji je zakopao blago, zapisao putanju kako doci do

njega. Sam pergament bio je dugo vremena izgubljen, te je kovceg s blagom bio netaknut

kad su ga glavni protagonisti ove price pronasli. Pergament je sadrzavao sljedeci niz znakova

(vidjeti [8]):

9

5 3 ‡ ‡ † 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 ‡ . ) 4 ‡ ) ; 8 0 6 * ; 4 8 † 8 6 0 ) ) 8 5

;1 ‡ ( ; : ‡ * 8 †8 3 ( 8 8 ) 5 * † ; 4 6 ( ; 8 8 * 9 6 * ? ; 8 ) * ‡ ( ; 4 8 5 ) ; 5 *

† 2 : * ‡ ( ; 4 9 5 6 * 2 ( 5 * - 4 ) 8 8 * ; 4 0 6 9 2 8 5 ) ; ) 6 † 8 ) 4 ‡ ‡ ; 1 (

‡ 9 ; 4 8 0 8 1 ; 8 : 8 ‡ 1 ; 4 8 † 8 5 ; 4 ) 4 8 5 †5 2 8 8 0 6 * 8 1 ( ‡ 9 ; 4 8 ; (

8 8 ; 4 ( ‡ ? 3 4 ; 4 8 ) 4 ‡ ; 16 1 ; : 1 8 8 ; ‡ ? ;

Pod pretpostavkom da je tekst pergamenta izvorno napisan na engleskom jeziku, Legrand

se dosjetio prebrojati sve znakove, te zakljuciti da je znak koji se najvise pojavljuje u poruci

slovo e, jer je to najcesce slovo u engleskom jeziku. Prevladavajuci znak bio je 8, pa, kako bi

provjerio svoju pretpostavku, pogledao je pojavljuje li se 8 u parovima - jer u engleskom se

slovo e vrlo cesto pojavljuje dvostruko, kao primjerice u rijecima: meet, fleet, speed, seen,

been, agree. Dobio je potvrdu svoje pretpostavke, jer se znak 8 pojavio pet puta u paru.

Zatim je Legrand iskoristio cinjenicu da je u engleskom jeziku najcesca rijec the, te je otkrio

da ; predstavlja t, 4 predstavlja h itd. Daljnim desifriranjem, Legrand je dobio poruku koja

ga je odvela do velikog blaga:

A good glass in the bishop’s hostel in the devil’s seat forty-one degrees and

thirteen minutes Northeast and by north main branch seventh limb east side shoot

from the left eye of the devil’s-head a bee-line from the tree through the shot fifty

feet out.

Jos je jedna zanimljiva kratka prica poznatog americkog logicara Raymonda Smullyana

Kako je Kazir dobio zenu. Prica na bajkovit nacin opisuje situaciju u kojoj kralj proscu svoje

kceri postavlja naizgled teske zadatke koje treba rijesiti kako bi dobio kraljev blagoslov. No,

uz poznavanje matematicke logike zadaci postaju lako rjesivi. Prvi od zadataka koje je kralj

zadao proscu bio je sljedeci (vidjeti [8]):

”Cinis se osobit mladic”, rece mu kralj, ”i siguran sam da ces se svidjeti

mojoj neudanoj kceri. Ali najprije moras proci test. Imam dvije kceri - Ameliu

i Leilu; jedna je udana, druga nije. Ako prodes test i ako te moja neudana kci

prihvati, mozes ju ozeniti.”

”Je li Amelia udana ili je to Leila?”, pitao je prosac.

”E, tvoj je zadatak da to otkrijes, odgovorio je kralj. To je test. Dopusti da

poblize objasnim, nastavio je kralj. Moje su dvije kceri identicne blizanke, ali su

po naravi potpune suprotnosti: Leila uvijek laze, a Amelia uvijek govori istinu.”

”Kako neobicno”, uzviknuo je prosac.

”Doista neobicno”, uzvratio je kralj. ”Takve su od ranog djetinjstva. U svakom

slucaju, kad udarim u gong, obje ce moje kceri doci. Tvoj je zadatak odrediti je

li udana Amelia ili Leila. Jasno, necu ti reci koja je Amelia, a koja Leila, niti

koja je od njih udana. Mozes pitati samo jedno pitanje, i to samo jednu od njih

dvije, a onda moras zakljuciti kako se zove moja neudana kcer.”

10

Kako bi prosac saznao koja je kci neudana, jednoj od kceri trebao bi postaviti pitanje

”Jesi li ti tip osobe koja tvrdi da je Amelia udana?”. Princip razmisljanja je sljedeci:

Ako kcer kojoj postavi pitanje odgovori ”da” i ona je:

• Amelia - ona govori istinu, dakle Amelia je udana

• Leila - ona laze, tj. ona nije tip osobe koji bi tvrdio da je Amelia udana; ali kako bi i

to bila laz, Amelia je udana.

Ako kcer kojoj postavi pitanje odgovori ”ne” i ona je:

• Amelia - ona govori istinu, Amelia nije udana pa je Leila udana

• Leila - ona laze, tj. ona je tip osobe koji bi tvrdio da je Amelia udana; ali kako bi to

bila laz, Leila je udana.

Ovaj princip pitanja naziva se Goodmanov princip pomocu kojeg osoba uvijek moze

saznati pravi odgovor ukoliko osoba kojoj postavlja pitanje uvijek laze ili uvijek govori istinu.

U svakom slucaju, prosac bi saznao koja kcer nije udana, iako ne bi morao znati je li kcer

kojoj je postavio pitanje lazljivica ili govori istinu. No, kralj je znao da zadatak i nije toliko

zahtjevan, te je pretpostavio da Kazir poznaje Goodmanov princip pa je postavio jos jedan

uvjet, a to je da pitanje sadrzi samo tri rijeci, sto je prosca jako zbunilo te nije ni postavio

pitanje.

Evo kako je Kazir trebao razmisljati: Trebao je pitati: ”Jesi li udana?”

Ako kcer kojoj postavi pitanje odgovori ”da” i ona je:

• Amelia - ona govori istinu, dakle Amelia je udana

• Leila - ona laze, sto znaci da Leila nije udana pa je Amelia ona koja je udana.

Ako kcer kojoj postavi pitanje odgovori ”ne” i ona je:

• Amelia - ona govori istinu, Amelia nije udana pa je Leila udana

• Leila - ona laze, a to znaci da je ona, Leila, udana.

Dakle, princip razmisljanja je vrlo slican kao kod Goodmanovog principa, no prosac ga

se nije dosjetio jer je bio uplasen.

Zadnji od postavljenih zadataka glasio je ovako:

”Dakle”, rekao je kralj hladno proscu (koji se tresao poput pruta), ”do sada

si pao na cetiri testa. Izgleda da imas problema s pitanjima od tri rijeci, stoga

cu ovaj put izostaviti taj uvjet.”

”Koje olaksanje”, pomisli prosac.

”Kad se zacuje gong”, rekao je kralj, ”samo jedna od mojih kceri ce se pojaviti.

11

Mozes ju pitati samo jedno pitanje na koje se moze odgovoriti samo s ”da” ili”

ne”, a pitanje moze imati koliko god zelis rijeci. Iz njezinog odogovora moras

zakljuciti i njezino ime i je li udana.”

Kralj je odlucio ovaj zadatak uciniti nerijesivim, te je postavio uvjete tako da postoje

cetiri moguca slucaja, ali kako su samo dva odgovora koja ce Kazir dobiti, ”da” ili ”ne”,

nemoguce je odrediti koji je od cetiri slucaja tocan. Ima nekoliko pitanja (najmanje cetiri)

koja bi uz malo srece mogla biti dobra, primjerice, pitanje ”Je li tocno da si ti udana i da

je tvoje ime Amelia?” Leila bi na ovo pitanje odgovorila ”da” (bez obzira je li udana jer

je slozena tvrdnja kojoj su dijelovi povezani s ”i” netocna u slucaju kad su obje tvrdnje

netocne, ali i u slucaju kad je samo jedna od tvrdnji netocna). Amelia, ukoliko je udana

odgovorila bi s ”da”, a ukoliko nije, s ”ne”.

Tako odgovor ”da” ostavlja prosca u mraku, dok odgovor ”ne” pokazuje da je kcer koja

se pojavila zasigurno Amelia i da je neudana. Prosac bi, postavivsi ovo pitanje, s dvadeset

pet postotnom sigurnosti mogao otkriti koja je od cetiri tvrdnje tocna. No, nema ni jednog

pitanja koje bi jamcilo da ce se sa sigurnoscu moci odrediti koja je od cetiri mogucnosti

ispravna, tako da ni ovaj test Kazir nije prosao, no neudana kci odlucila je pobjeci s njim

bez kraljevog dopustenja te prica na neki nacin ima sretan kraj.

Prijevod ove i prethodne price moze se naci na stranicama Hrvatskog matematickog

elektronickog casopisa math.e koji izdaje Hrvatsko matematicko drustvo. Ondje se takoder

nalaze i drugi clanci o poveznici matematike i knjizevnosti i to pod rubrikom Matematika u

literaturi koja je bila dio ovog casopisa u razdoblju od 2004. do 2008. godine.

Svaki od navedenih tekstova, ili samo njihovi ulomci, mogli bi posluziti u nastavi ma-

tematike kako bi se razbila monotonija suhoparnog racunanja. Jedan od nacina je da se

ucenicima za domacu zadacu zada citanje odredene knjige ili ulomka te rjesavanje zadanog

problema, ili samo citanje price moze biti uvod u odredenu nastavnu temu. Ovo bi sva-

kako na ucenike djelovalo motivirajuce jer bi pobudilo znatizelju u njima i pitali bi se sto

zajednicko imaju matematika i knjizevni tekst. Taj pristup imao bi vise pozitivnih ucinaka:

poticanje na citanje, razvijanje pozitivnog stava prema matematici, ukazivanje na sveprisut-

nost matematike i na to da se ona razvija iz ljudskog iskustva itd.

Sto se tice ove kategorije tekstova, ne smije se zaboraviti na velik broj djecjih knjiga

namijenjen uzrastu izmedu 4 i 8 godina koje su pune matematickih pojmova i sadrzaja.

Djeci su izuzetno zanimljive knjige na engleskom kao sto su The Secret Birthday Message

Erica Carlea iz 1986. godine te Mr.Archimedes’ Bath Pamele Allen iz 1982. godine. Ove

dvije knjige samo su mali dio bogatog izbora djecje literature u kojima ima matematike, no

na hrvatskom jeziku tesko je naci takve primjerke.

Prica The Secret Birthday Message govori o djecaku koji dobije sifriranu cestitku za

rodendan koja ga vodi do rodendanskog poklona (cestitka je sifrirana pomocu geometrijskih

likova). Citajuci ovu knjigu djeca mogu nauciti razlikovati geometrijske likove te zajedno

12

s glavnim junakom doci do malenog psica koji je njegov rodendanski poklon. Na Slici 1

prikazana je cestitka koju je djecak dobio.

Slika 1: Sifrirana cestitka

Druga navedena prica, Mr.Archimedes’ Bath spominje problem podizanja razine vode

svaki puta kada se tijelo uroni u vodu, te, na djeci zanimljiv nacin, govori o Arhimedovom

zakonu koji kaze ”Tijelo uronjeno u tekucinu lakse je za masu istisnute tekucine.”

U ovu kategoriju moze se ubrojati i prica Lewisa Carrolla, koji je i sam bio matematicar

te je cijelu pricu motivirao matematickim idejama, a radi se o prici Alisa s one strane ogle-

dala. Prica je nastala 1871. godine, a nastavak je njegove popularne price Alisa u zemlji

cudesa.

2.2 Knjizevni tekstovi u kojima se matematika pojavljuje kao malidio cjeline

Sljedeca kategorija o kojoj ce biti rijec su tekstovi u kojima se matematika pojavljuje kao

mali dio cjeline. Jako je velik izbor ovakve literature, te cemo ovdje izdvojiti samo neke

primjere.

Jedan od dobrih primjera tekstova ove kategorije su romani poznatog francuskog pisca

Julesa Vernea, Put na mjesec iz 1870. u kojem pisac spominje eksplicitne definicije parabole

i hiperbole te Tajanstveni otok iz 1874. godine koji je dozivio i nekoliko ekranizacija. U

njemu je, izmedu ostalih matematickih pojmova, izdvojen odlomak koji govori o pravilima

za slicnost trokuta. Odlomak je sljedeci (vidjeti [22]):

”Jesu li ti poznata osnovna pravila geometrije?”, upita inzenjer obrativsi se

Herbertu.

”Nesto malo, gospodine Cyruse”, odgovori Herbert koji se nije htio istrcati.

13

”Vidis, drago dijete, ja sam sad napravio dva slicna trokuta, oba pravokutna.

Strane prvog, manjeg trokuta su: okomito zaboden stap, razmak izmedu kolcica

i podnozja stapa i razmak izmedu kolcica i vrha stapa kao hipotenuza, dok su

strane drugog trokuta: okomiti bedem ciju visinu moramo izracunati, razmak od

zabodenog kolcica do podnozja granitnog bedema i razmak izmedu kolcica i vrha

bedema koji prolazi vrskom stapa, sto predstavlja hipotenuzu veceg trokuta, a u

stvari je produzena hipotenuza prvog trokuta.”

”Ah, gospodine Cyruse, sad sam shvatio!”, povice Herbert. ”Kao sto je razmak

od kolcica do stapa razmjeran razmaku od kolcica do okomitog bedema, tako je i

visina stapa razmjerna visini okomitog bedema.”

”Tocno tako, Herberte”, slozi se inzenjer. Kad budemo izmjerili dva prva raz-

maka, poznavajuci visinu stapa, ostaje nam da izracunamo razmjer. Tako cemo

dobiti visinu bedema, a da se ne moramo muciti da ga izmjerimo izravnim pu-

tem.”

Izmjerili su oba vodoravna razmaka pomocu samog stapa, cija je visina iznad pi-

jeska bila tocno deset stopa. Prvi razmak, to jest onaj izmedu kolcica i tocke gdje

je stap bio zaboden u pijesak, iznosio je petnaest stopa. Drugi je pak razmak, to

jest onaj izmedu kolcica i podnozja okomitog bedema, iznosio pet stotina stopa.

Posto bijahu obavili sva ta mjerenja, inzenjer i djecak se vratise u Dimnjake.

Jos je jedan slavni pisac u svoje djelo uvrstio matematicke koncepte, a radi se o velikom

ruskom piscu Lavu Nikolajevicu Tolstoju te njegovom romanu Rat i mir iz 1869. godine.

Tolstoj koristi matematiku kako bi podrzao svoju teoriju o povijesti za koju kaze da ju treba

analizirati matematicki i statisticki, a ne kao slucajne i odvojene dogadaje. Osim toga, ko-

ristio je pojam omjera i linearnih jednadzbi kako bi pojasnio da slabija vojska (poput ruske)

moze pobijediti jacu (poput francuske) ako imaju dovoljno duha i energije. Omjer i propor-

cija moze se iskoristiti kako bi se povezao i objasnio odnos izmedu moci vojske i njezinog

duha.

Sljedece djelo je kratka prica Mladi Arhimed engleskog knjizevnika Aldousa Huxleya

izasla 1938. godine kao dio kolekcije prica Giocondin posmijeh i druge pripovijesti. U njoj

pisac donosi dva dokaza Pitagorina teorema koja je jako dobro uklopio u sam kontekst price,

te se cini da su oni tu upravo zbog estetike, odnosno knjizevnosti. Ova se prica moze odlicno

uklopiti kao uvod u cjelinu Pitagorin poucak u osmom razredu osnovne skole. Ulomci su

sljedeci:

Pa nastavi da dokaze Pitagorin poucak - ali ne onako, kako je to Euklid

ucinio, nego nacinom jednostavnijim i uvjerljivijim, koji je po svoj prilici upotri-

jebio Pitagora sam. Nacrtao je kvadrat i razdijelio ga dvjema unakrsnim okomi-

cama u dva kvadrata i dva jednaka pravokutnika. Jednake pravokutnike razdijelio

je opet njihovim prijecnicama u cetiri jednaka pravokutna trokuta. Dva kvadrata

imadu da budu kvadrati na dvjema stranicama svakoga od tih trokuta, koje nisu

14

hipotenuze. Tako je nacrtao prvi geometrijski lik. U drugom je uzeo cetiri pravo-

kutna trokuta, u koja su pravokutnici bili podijeljeni, i tako ih poredao oko prvo-

bitnog kvadrata, da su njihovi pravi kutovi ispunjavali uglove kvadrata, hipotenuze

bile okrenute unutra, a vece i manje stranice bez prekida sastavljale stranice kva-

drata (od kojih je svaka jednaka zbroju tih stranica). Tako je prvobitni kvadrat

nanovo razdijeljen u cetiri pravokutna trokuta i kvadrat na hipotenuzama. Cetiri

trokuta jednaka su dvama pravokutnicima prvobitne podjele. Zato je kvadrat na

hipotenuzi jednak zbroju dvaju kvadrata - kvadrata na drugim dvijema stranicama

– u koje je zajedno s pravokutnicima prvobitni kvadrat najprije bio razdijeljen.

U tom dokazu covjek spusti okomicu od pravoga kuta na hipotenuzu, a polazeci

sa cinjenice, da su dva tako stvorena trokuta skladna izmedu sebe i s prvobitnim

trokutom i da je razmjer, u kome njihove slicne stranice stoje jedna prema drugoj,

zato jednak, moze se algebraicnom formulom dokazati da su c2 + d2 (kvadrati na

objema drugim stranicama) jednaki a2 + b2 (kvadratima na dvjema osjeccima

hipotenuze) plus 2ab; a ovo potonje je, to se lako moze dokazati geometrijski,

jednako (a + b)2 ili kvadratu na hipotenuzi.

Jos je jedno zanimljivo djelo vec spomenutog pisca Lewisa Carrolla iz 1865. godine, a

radi se o prici Alisa u zemlji cudesa. U ovom poznatom djecjem romanu, djevojcica Alisa

se u jednom trenutku pribojava da je postala netko drugi te se pokusava prisjetiti tablice

mnozenja kako bi provjerila zna li jos uvijek ono sto je znala jucer (dok je jos sasvim sigurno

bila Alisa). Odgovarajuci ulomak je sljedeci (vidjeti [2]):

”Da vidimo: cetiri puta pet jest dvanaest, a cetiri puta sest jest trinaest, a

cetiri puta sedam je - joj meni! Ako budem ovako dalje, nikad necu doci do

dvadeset!”

Ako se pretpostavi da je djevojcicin racun tocan, ona zaista nikada nece doci do dvadeset.

Ucenicima se moze postaviti zadatak da pokusaju obrazloziti zasto. Da bi dosli do odgovora

moraju pretpostaviti da su tvrdnje koje Alisa izgovara istinite ili, bolje receno, ustanoviti

kada su one istinite. Tada ce, nastavivsi niz koji je Alisa zapocela, shvatiti zasto nikada nece

doci do dvadeset.

Osim korelacije sa starijom knjizevnoscu, postoji mogucnost koreliranja matematike s

modernijim knjizevnim djelima, sto ce ucenicima biti posebno zanimljivo.

Jedan takav roman svakako je poznat ucenicima u osnovnoj skoli jer se nalazi na popisu

lektire za peti razred. Radi se o piscu Anti Gardasu i djelu Miron u skripcu koje je prvi puta

izdano 1999. godine. Anto Gardas je u ovaj roman uveo sifriranje teksta. Nacin sifriranja,

odnosno ”sifarski sustav”, kako je u knjizi nazvan, smislio je glavni junak, Miron, a temelji

se na klasicnoj kriptografiji, odnosno sifiranju i desifriranju pomocu kljuca. Djecak Miron

upadne u nevolju, biva otet od strane mladica koji od njegovog oca traze novac kako bi ga

oslobodili. Miron mora u pismu potvrditi da je otet, ali se dosjeti da bi mogao u poruku

dodati sifrirani tekst kako bi svome ocu odao lokaciju na kojoj se nalazi (vidjeti [6]).

15

Tata, istina je sto su ti gore napisali. Stvarno sam u skripcu. Ako imas toliko

novaca posalji im, a ako nemas makar negdje pozajmi. Oni zbilja misle ozbiljno.

Ovo pisem ja, Miron, mozes se uvjeriti ako ovo usporedis s mojim rukopisom

u biljeznicama, one su u donjoj ladici moga stola. Rekli su mi da ispod ovoga

stavim i datum tvoga rodenja i maticni broj da bi ti znao da ovo zbilja pisem

ja. Samo nisam siguran da znam one dvije brojke pri kraju, pa cu njih staviti u

zagradu.

2 5 23 10 22 26 10 5 25 27 15 13 (54) 24

”Miron”

Mironov otac, profesor Leopold je, nakon sto je primio poruku, zbilja potrazio biljeznice

u donjoj ladici Mironova stola, iako je znao da ondje ne stoje. Tamo je pronasao dva papira,

desifrirao tekst koji je Miron stavio na kraj svoje poruke, te tako s policijom pronasao sina.

Ulomak je sljedeci (vidjeti [6]):

Na jednom je papiru bila nacrtana nekakva krizaljka s kvadraticima. S lijeve

i desne strane, te odozgo i odozdo, omedena je slovima od A do Z. U svakom

su kvadraticu bile upisane brojke. Na drugom papiru bio je naslov ”Uputa za

koristenje sifarskog sustava”, a ispod njega tekst. Profesor Leopold vrati se s

papirima u svoju sobu i stade ih proucavati. Malo kasnije opet poce mrmljati:

”Gledaj ti njega, moga genijalca! Zaista me je uputio na donju ladicu kako bih

nasao ovo. Sada mi puca pred ocima! Ovo je sjajan sifarski sustav! Svoje ime

stavio je u navodnike, upozorivsi me tako da ga koristim kao tajnu rijec, sifru.

Odlicno!”

U Mironovoj sobi nasao je ravnalo. Koristeci se uputama i sifrom ”Miron”, stade

rjesavati onaj niz brojki ispisan pri dnu pisma. Prva je brojka 2. Podmjesti

ravnalo pod slovo M u okomitom nizu abecedarija, zaustavi se na vodoravnoj crti

kod brojke 2 iznad koje se, u vrhu krizaljke, nalazilo slovo K. To slovo upise na

cisti papir, a ravnalo podmjesti pod slovo I; zastade kod brojke 5, a na vrhu u

vodoravnom abecedariju ocita slovo R. I njega upise pored vec upisanog K. Na

isti je nacin dosao do slova A, pa do slova NJ, i tako dalje. Kad je sve brojke

osim onih u zagradi pretvorio u slova, dobio je

KRANJCEVICEVA (54) B.

Osim Ante Gardasa jos je jedan knjizevnik nasao u svojim romanima mjesta za sifriranje

i tajne poruke. Radi se o romanu Koko i duhovi autora Ivana Kusana. Knjiga je prvi

put izdana 1958. godine, a 2011. i ekranizirana u film koji je vrlo popularan medu djecom.

Takoder se, kao i prethodni roman, nalazi na popisu lektire za peti razred osnovne skole.

Tajna mapa koja prikazuje put, sifrirana uz pomoc kljuca, ovog puta pomaze glavnom junaku

Koku da spasi svoje prijatelje i otkrije skroviste starog Vinceka, za kojega su on i prijatelji

mislili da je duh. Koko je zbunjen i trazi pomoc nastavnika matematike da mu pomogne

oko tih neobicnih brojeva i slova na mapi, ali nastavnik u tome ne uspijeva. Kada Koko vec

16

izgubi nadu, u pomoc mu stize stari pilar Isak, koji uspijeva odgonetnuti kljuc te prevodi

sifrat u smisleni tekst koji Koka odvede na tocno mjesto gdje se nalaze Vincek i njegovi

prijatelji. Mapa je prikazana na Slici 2, a ispod nje ulomak u kojem je objasnjen nacin

desifriranja (vidjeti [11]).

Slika 2: Sifrirana mapa

”Dajte mi papira i olovku”, brzo izusti Isak umjesto odgovora. ”Sad cemo

odmah vidjet!”

U tren oka mu se olovka i biljeznica stvorise pod rukom. Samo su starcu ruke

drhtale, pa isprva nije mogao pisati. Stoga tutnu olovku Koku u saku: ”Vidis”,

govorio je isprekidano, ”ovdje gore pise - poceti 7. III. 1945. To je napisano za

nekog kome taj datum nesto znaci... Dakle, zasto ne bismo poceli od broja 7...”

”Gdje? Kako? Koji broj sedam?”, pitao je Koko koji se takoder tresao od glave

do pete kao da je po vjetrovitu vremenu izasao iz prohladne vode.

”Eto”, pokaza Isak kaziprstom, ”tu pise ’Luka Mireo’, a ispod rijeci su brojevi.

Ali to je samo varka. Treba poceti od sedmice, to je zapravo broj jedan. Tako su

zadnja tri slova R, E, O”, tu starcu ponestane glasa i on duboko uzdahnu od cega

gotovo ugasi petrolejku, ”tako su R, E i O zapravo 1, 2 i 3, a onda se sprijeda

od slova L opet nastavlja po redu: 4, 5, 6 i tako dalje. Razumijes li? To je

jednostavno. Pisi sad sto ti govorim.”

. . .

’Tri metra od cijevi su vrata tri metra dalje je novac pod zemljom.’ Pored vrata,

sto su bila nacrtana u hodniku, stajala je strelica pokazujuci na jedno mjesto u

zidu. Zapravo, ondje je pisalo: ’Poluga za otvaranje vrata’. Ipak, najvise ih je sve

17

iznenadilo kad odgonetnuse one rijeci sto bijahu podno nacrta debelo uokvirene.

Ondje je doslovce stajalo: ’Sve ostavljam svojoj kceri Katici’.

Kriptografija nije dio nastavnog plana i programa u skolama, ali je svakako vrlo zanimljiva

strana matematike koja bi se ucenicima svidjela. Svaki nastavnik moze izdvojiti nekoliko

skolskih sati kako bi ucenike upoznao s klasicnom kriptografijom. Time bi se ucenicima

pokazala ljepota i moc matematike. S obzirom da su ovi romani u popisu lektire, moguce je

ostvariti korelaciju izmedu hrvatskog jezika i matematike.

Jedna popularna knjiga koja je svima poznata, i vecinu ucenika ce zaintrigirati cinjenica

da u njoj ima matematike, je Hobit autora J. R. R. Tolkiena. Knjiga je prvi puta izdana

jos 1937. godine, ali je svoju najvecu popularnost stekla u 21. stoljecu kada je ekranizirana

zajedno uz filmove Gospodar prstenova. U ulomku koji slijedi, carobnjak Gandalf iskoristio

je covjekovu osjetljivost na male brojeve te je pricom o nezgodi koja im se prethodno dogodila

omeo Beorna i naveo ga da ugosti ukupno petnaest osoba u svojoj kuci iako je prvotno mislio

da ce ih biti samo dvoje (vidjeti [20]).

”Najbolje ce biti da vi ovdje pricekate”, rece carobnjak patuljcima, ”a kad ja

viknem ili fucnem, mozete poceti dolaziti za mnom. Vidjet cete kojim cu putem

ja ici - ali, pazite, samo u parovima, i da bude oko pet minuta razmaka izmedu

svakog para. Buduci da je Bombur najdeblji pa vrijedi za dvojicu, najbolje ce

biti da on dode sam, zadnji. Hajdemo, gospodine Bagginse! Ulaz je negdje s ove

strane.” I rekavsi to, pode uz zivicu vodeci sa sobom prestrasenog hobita.

. . .

”Boze milosrdni!”, promrmlja Beorn,”Nemojte mi samo reci da goblini ne znaju

brojiti. Znaju, znaju. Dvanaest nije petnaest, i oni to dobro znaju.”

”Znam i ja. Bili su tamo Bifur i Bofur. Nisam se usudio prije vam ih predstaviti,

ali evo i njih.” Udu Bifur i Bofur.

”A evo i mene!”, nadoda Bombur dascuci za njima. On je bio debeo, a i ljutio

se sto je ostao zadnji. Nije htio cekati pet minuta nego je odmah dosao za onom

dvojicom.

”E pa, sad ste zbilja petnaestorica, a kako goblini znaju brojati, pretpostavljam

da vas je toliko bilo i na drvecu. Sad bismo mozda mogli zavrsiti tu vasu pricu

bez daljnjih upadica?”

Gospodin Baggins je tek tada shvatio koliko je Gandalf mudro postupio. Upadice

su zapravo jos vise zainteresirale Beorna za pricu, a radi price nije odmah otjerao

patuljke sa svog praga kao sumnjive prosjake. Nikad nije bez velike potrebe pozivao

goste u kucu. Imao je vrlo malo prijatelja, koji su prebivali prilicno daleko od

njega, i nikad nije pozivao vise od dvojice prijatelja u isti mah. A sad mu je

petnaest neznanaca sjedilo na trijemu.

18

Sljedeci primjer modernije knjizevnosti je poznati Harry Potter i Kamen mudraca iz 1997.

godine engleske spisateljice J. K. Rowling. Ova knjiga nudi vise mogucnosti za povezivanje

matematike s knjizevnoscu, no navest cemo dvije uz pripadajuce ulomke iz knjige.

Prvi ulomak je pogodan za uvjezbavanje pretvaranja iz brojevnih sustava (vidjeti [15]):

Griphook otkljuca vrata. Zapuhne ih zelenkasti dim sto je navro kroz vrata,

a kad se dim razide, Harry zine. Unutra su bile hrpe zlatnika, stupovi srebrnjaka

i gomile broncanih knutova. ”Sve je ovo tvoje”, nasmijesi se Hagrid.

Da je sve to Harryjevo - nevjerojatno! Dursleyjevi sigurno nisu znali za ovo jer

bi mu inace sve skupa oteli dok bi pljesnuo dlanom o dlan. Koliko su se samo

puta tuzili da ih previse kosta njegovo uzdrzavanje! A za sve to vrijeme postojalo

je ovo njegovo malo bogatstvo pohranjeno duboko ispod Londona!

Hagrid pomogne Harryju da potrpa nesto od tog blaga u torbu. ”Ovi su ti zlatnici

galeoni”, objasni mu. ”Galeon ima sedamnajst srebrnih srpova, a srp dvadeset i

jedan knut, to je zbilja jednostavno. Dobro, ovo ce ti bit dosta za dva polugodista,

ostalo cemo ostavit ovdi za tebe.”

Dakle, radi se o carobnjackom monetarnom sustavu u kojem je baza za preracunavanje

jedinica 17, odnosno 21. Ovaj se odlomak moze iskoristiti u sedmom razredu osnovne skole

u sklopu nastavne jedinice Preracunavanje mjernih jedinica. Ucenici bi sigurno bili motivi-

raniji za rjesavanje zadataka ukoliko bi se i Harry Potter ukljucio u njihove zadatke. Tu se

mogu osmisliti razni zadaci, kao naprimjer, otkrivanje koliko je veliko Harryjevo bogatstvo

pretvarajuci ga u kune.

Drugi motivacijski primjer nalazi se u sljedecem odlomku (vidjeti [15]):

Klobuk ljepotan, to sigurno nisam,

Ali tko po izgledu sudi se vara,

Ma nadite klobuk bolji od mene,

Kakvi cilindri, kakva tijara.

. . .

U Gryffindor mozda svrstat’ se zelis,

. . .

Ili ces u Hufflepuff mozda otici,

. . .

Ili pak s drustvom sebi slicnih,

Kanis poci u dom Ravenclawa,

. . .

A mozda ce ipak Slytherini

Postati tvoji druzi od milja.

Ova je pjesma prigodna za sedmi razred osnovne skole kada ucenici uce vjerojatnost

slucajnog dogadaja. Postoje razliciti nacini kako se moze uklopiti u sat vjezbe. Dakle,

Harrya, Hermionu i Rona treba smjestiti u cetiri doma: Gryffindor, Hufflepuff, Ravenclaw

19

ili Slytherin. Primjerice, zadatak moze biti sljedeci: ”Kolika je vjerojatnost da ce svatko

od troje djece biti smjesteno u ucenicki dom u kojem svi zele biti, u Gryffindor?”. Zatim,

moze se postaviti pitanje ”Kolika je vjerojatnost da ce svi troje biti smjesteni u dom Gryf-

findor?”. Takoder se moze zakomplicirati zadatak, pa postaviti pitanje na sljedeci nacin:

”Je li vjerojatnije da svi troje postanu clanovi istog doma ili da svi troje budu smjesteni

u razlicitim domovima?”. S obzirom da su zadnja dva pitanja nesto teza i ucenici ne rade

uvjetnu vjerojatnost u osnovnoj skoli (koja je potrebna kako bi se rijesio zadnji zadatak),

takvi zadaci se mogu pripremiti za ucenike dodatne nastave, ali i u redovnoj nastavi svim ce

ucenicima biti zanimljivo ako im se pokaze da obicnim prebrojavanjem i ispisivanjem svih

mogucih slucajeva te trazenjem onih koji zadovoljavaju uvjet postavljen u zadatku mogu

odgovoriti na prethodna pitanja.

Dakle, svako od nabrojanih djela (koja su samo mali dio bogatog izbora slicnih knjiga)

moze posluziti na razne nacine za korelaciju matematike i knjizevnosti. Neke od mogucnosti

su vec navedene u radu, a tu su i sljedece ideje: u dogovoru s nastavnikom hrvatskog ili

engleskog jezika ucenicima se moze zadati matematicka lektira na hrvatskom ili engleskom

jeziku, na samome satu kao motivacija moze posluziti citanje knjizevnog teksta koji je na neki

nacin povezan s matematikom, nakon obradenog gradiva za vjezbu mogu posluziti primjeri

koji ce biti inspirirani nekim, vec spomenutim, likovima iz knjizevnosti, ili, kao najkreativ-

nija mogucnost je, da ucenici sami osmisle kratku pricu ili scenarij u kojem ce biti rijec o

obradenim matematickim pojmovima.

2.3 Kratki knjizevni tekstovi koji se u cijelosti bave matematikom

Tekstovi druge kategorije, tj. kratki tekstovi koji se u cijelosti bave matematikom su vec

prisutni u nastavi, posebno u udzbenicima za nize razrede osnovnih skola i to u obliku raznih

pjesmica i brojalica koje pomazu ucenicima lakse usvojiti pojmove, definicije i svojstva.

Primjeri takvih tekstova su sljedeci:

Ako je ispred zagrade

znak vise,

zagrada se brise,

a ako je manje,

u zagradi se mijenja

stanje.

Kvadrat nad hipotenuzom, to zna svako dijete, jednak je zbroju kvadrata nad

obje katete.

Za razliku od kvadrata,

kocke su geometrijska tijela

koja zauzimaju neki prostor,

20

to zna zemlja cijela

Kocka ima 8 vrhova

i omeduje je 6 kvadrata,

ako ne vjerujete nama,

pitajte svoju sestru ili brata.

Zanimljiva je i zbirka pjesama Paje Kanizaja pod nazivom 3cave pjesme koja izmedu

ostalih sadrzi i sljedece dvije koje su vrlo zanimljive i mogle bi djecu privuci i zainteresirati

za matematicke pojmove. Izdvojene su dvije pjesme (vidjeti [9]):

Naginjao sam se naprijed

Jer sam bio vrlo radoznao

Da sam postao od kvadrata

romb na kraju sam spoznao.

3CAVA PJESMA

Pucali su 1aesterac

kad je lijeva spojka pala,

a bilo je jasno kao 1 x 1

da je to suceva po2la!

3fun se nije od muke

3jeznio cijeli dan,

pio je u 5rinji kao smuk

i 8ljen ostao zedan!

S 3jeskom je 5ar

u 5ak sa 3bina pao,

a slomio je mnogo 5eljki

u 6inama kad je tresnje krao!

Nije covjek te3ijeb

i na drvo se tesko po5i

i kad je vec imao 5lju,

nije ga trebalo 9ati!

Ovu sam 3cavu pjesmu u 8i

sa 6arom pisao sred 3ijema

u 3kou sluzeci se 3kovima!

Gle, a broja ce3 uopce nema!

Sve su to 3carije,

ako 3jezno gledam!

Trebalo je bolje za5i

cak 10a 3ca, a nedostaje 7!

21

Za stvaranje tekstova ove kategorije potrebna je samo kreativnost, sto nastavnika, sto

ucenika, jer jedna od metoda koja se moze iskoristiti u nastavi je ta da ucenici sami smisle

nekoliko stihova o matematickim pojmovima koje trenutno obraduju po programu. Samim

smisljanjem pjesmice ili brojalice ucenici mogu cak i nesvjesno vrlo brzo usvojiti definicije ili

svojstva i pritom se dobro zabaviti. Kako bi znali sto trebaju napraviti, nastavnik im moze

pokazati slicne pjesmice ili sam napisati neke od njih.

Za primjer moze posluziti i sljedeca pjesma preuzeta iz 5. broja casopisa Matematika i

Skola iz 2000. godine. Autorica pjesme je Dubravka Glasnovic, a pjesma se zove Pjesmica o

nuli i moze uvelike olaksati ucenicima da zapamte svojstva zbrajanja, mnozenja, oduzimanja

i dijeljenja s nulom. Ovdje nije citirana pjesma u cijelosti, nego njen dio koji govori o

prethodno spomenutim svojstvima.

Zbrojis li me broju Jedan,

ja se vrlo lako predam.

U toj igri bez pardona

pobjednik je uvijek ona.

Oduzimanje - to je isto

glupa igra skroz na cisto.

Oduzmes li me od Jedan

rezultat je isto vrijedan.

Mnozenjem se, blago meni,

cijeli rezultat promijeni.

Jedinica sada gubi,

pa da varam, svima trubi.

Probale su Dvica, Trica,

al’ su prosle tuzna lica.

Jer kad mnozis brojem Nula,

rezltat je opet NULA.

Kad sa Jedan dijelis mene,

rezultat se ne okrene.

Nula podijeljeno s osam

Nulu daje, a ja to sam!

Ali sada savjet slusaj:

NIKADA ni ne pokusaj

s Nulom neki broj podijelit’

jer se neces bas veselit’.

Evo, to je sa mnom tako,

vidis da je sve to lako.

Ako imas to u glavi,

matematicar ti si pravi!

Dakle, koristenje matematike kako bi se ispricala prica i koristenje price kako bi se objas-

nila matematika su dvije strane iste medalje. Ono udruzuje ono sto nikad nije trebalo razdva-

jati: znanstvenika i umjetnika u nacinima otkrivanja istine o svijetu. Korelacija knjizevnosti

i matematike omogucuje ucenicima da uoce kako se matematika primjenjuje u stvarnom svi-

jetu, doprinosi razvoju njihovih matematickih sposobnosti, kreativnog misljenja i logickog

razmisljanja, te odbacuje pridjeve poput ”teska”, ”dosadna”, ”suhoparna” i slicno, koji se

matematici u skoli cesto pripisuju.

22

3 Matematika u povijesti

3.1 Kako povijest moze utjecati na nastavu matematike

Osim uvodenjem knjizevnih tekstova u nastavu matematike, ucenike se moze motivirati

koreliranjem matematike i povijesti, i to na vise nacina.

U Nacionalnom okvirnom kurikulumu posebno je istaknuta vaznost ucenja matematike

kroz praksu i primjenu na razne realne situacije koje ce docekati svakog ucenika vise puta u

zivotu. Govori se o razumijevanju principa i koncepata, a ne stvaranju ljudskih racunala i

kalkulatora. Od nastavnika se trazi da prikazu ucenicima sto vise stvarnih zivotnih primjera

u kojima je matematika primjenjiva te da ih se time sto vise motivira i potice na ucenje

matematike.

No, iako je primjena matematike u stvarnom danasnjem svijetu izuzetno vazna, ne

smije se nikako zaboraviti da matematika ima svoju itekako dugu povijest koja takoder

moze posluziti za motivaciju na nastavnom satu. Ucenici zasigurno na satu matematike ne

razmisljaju o njenoj povijesti, o vaznosti mnogih matematicara, njihovih dostignuca i otkrica

koja nam danas omogucuju toliko toga. Zato su nastavnici matematike tu da ih osvijeste

kako matematika ima dugu proslost koja seze jos u 20. stoljece prije Krista kada Babilonci

i Egipcani pisu svoje prve spoznaje o matematici na babilonskim glinenim plocicama i egi-

patskom papirusu.

Postoji pet glavnih podrucja u kojima povijest matematike moze podrzati, obogatiti i

poboljsati samu nastavu matematike (vidjeti [5]):

• ucenje matematike

• razvoj pogleda na prirodu matematike i matematickog

• didakticka i pedagoska pozadina nastavnika

• afektivna predispozicija prema matematici

• razumijevanje matematike kao kulturno-ljudskog djelovanja.

Pravilna integracija povijesti u matematiku moze odigrati vaznu ulogu u otkrivanju kako

matematicki koncepti, strukture i ideje pomazu u organizaciji naseg fizickog, drustvenog i

mentalnog svijeta. Povijest matematike je vrijedan izvor pitanja i problema koji se mogu

iskoristiti u nastavi zbog svog sadrzaja ili kao motivacija za ucenike. Nastavnicima ona

moze pomoci da matematiku ucenicima predstave na ”prirodan” nacin te da ju iskoriste kao

svojevrstan most izmedu matematike i ostalih predmeta. Dakle, korelacijom matematike i

povijesti mogu profitirati i nastavnik i ucenici. Osim sto ona moze koristiti u razumijevanju

i boljem prihvacanju matematike, takoder je korisna za osobni rast i razvoj vjestina kod

23

ucenika koji ce kroz ovakav nacin nastave citati, pisati, traziti izvore, dokumentirati, anali-

zirati i pricati o matematici.

Ucenici kroz pregled povijesti matematike mogu nauciti da su pogreske, nesigurnosti,

sumnje, intuitivno argumentiranje, slijepe ulice, kontroverze i alternativni pristupi proble-

mima sastavni dio razvoja matematike. Na ovaj ce nacin bolje razumjeti zasto pretpostavke

i dokazi, koji su iskazani davno u proslosti, jesu ili nisu dali zadovoljavajuce odgovore na pos-

tojece probleme. Indirektno ce mozda dobiti motivaciju za postavljanje vlastitih pitanja, teza

i pretpostavki. Upoznavanje s povijesti ce im pomoci i u razumijevanju matematickog jezika.

Povijest takoder moze pomoci ucenicima da se uvjere da matematika nije gotov proizvod

namijenjen ucenju napamet, nego da ju je razvio covjek svojim intelektualnim naporima,

te da je usko povezana s kulturom i drustvom, kao i s ostalim znanostima. Postoje razni

povijesni dogadaji i primjeri koji ukazuju na cinjenicu da je razvoj matematike bio u velikoj

mjeri odreden drustvenim i kulturnim cimbenicima.

3.2 Korelacija matematike i povijesti matematike

Kako ucenici ne bi matematiku dozivljavali kao skup definicija, aksioma, teorema i do-

kaza potrebno je upoznati ih s vremenskim kontekstom i motivima zbog kojih su odredene

definicije i teoremi nastali, kao i s osobama koje stoje iza njih. Puno je zanimljivih prica i

anegdota koje bi se mogle iskoristiti kao uvod i motivacija u svaku nastavnu temu. Americki

matematicar Howard Eves, koji se bavio povijescu matematike, kratko je sumirao kako aneg-

dote mogu pozitivno utjecati na nastavu matematike: ”Te price i anegdote su se pokazale

jako korisne u razredu - kao zanimljivi dodaci zacinile su nastavu i unijele dasak zabave,

uvele ljudski element, inspirirale ucenike, usadile postovanje i divljenje prema velikim znan-

stvenicima i matematicarima, te su istaknule odredene koncepte ili ideje.” Pricanjem takvih

prica nastavni sati postat ce puno zanimljiviji te ce se ucenici zainteresirati kada shvate da

iza svega sto uce stoji dugacka i zanimljiva povijest.

Jedna od takvih prica mogla bi biti ona o Pitagori i njegovoj filozofsko-religioznoj skoli

poznatoj kao ”pitagorejska” skola koja je dala velik doprinos matematici i njenom razvoju.

Pitagorejci su cvrsto vjerovali da se sve oko nas, pa i cijeli svemir moze objasniti brojevima

te da se sve moze prikazati u obliku broja, pri cemu je svaki broj kvocijent dva cijela broja.

Kada su pokusali izmjeriti hipotenuzu jednakokracnog pravokutnog trokuta, dosli su do za-

kljucka da se ona ne moze prikazati kao kvocijent dva cijela broja, sto ih je uzasnulo. Drugim

rijecima, u pokusaju da dokazu da je√

2 moguce prikazati u obliku razlomka, dokazali su

upravo suprotno, odnosno pokazali su da je√

2 iracionalan broj. Pitagorejci su time dosli

do otkrica iracionalnih brojeva, no to su cuvali u dubokoj tajnosti jer je to otkrice bilo pro-

turjecno s njihovim vjerovanjima i ucenjima.

24

Ova zanimljiva prica mogla bi posluziti nastavniku matematike u srednjoj skoli kao uvod

u nastavnu cjelinu Iracionalni brojevi. Time bi ucenicima docarali da iracionalni brojevi

i uvodenje oznake za korijen imaju svoj smisao te da ih nije neki matematicar izmislio iz

cistog hira.

Sljedeci primjer koreliranja matematike s njenom proslosti bio bi prigodan za sat vjezbe

nakon obradene teme Brojevni sustavi u cetvrtom razredu gimnazije. Radi se o staroegipat-

skom algoritmu za mnozenje i dijeljenje, koji se svodi na kombinaciju binarnog i dekadskog

sustava.

Mnozenje se svodi na udvostrucavanje i zbrajanje. Primjerice, za mnozenje 41 s 59 svaki

od faktora dobije svoj stupac. Prvi redak sastoji se od broja 1 i drugog faktora. U svakom

iducem retku brojevi se udvostrucavaju, dakle u prvom stupcu se ispisuju potencije broja 2.

Udvostrucavanje staje kada se u prvom stupcu dobije broj veci od prvog faktora (u obzir se

uzimaju retci prije tog retka):

41 591 59 ?2 1184 2368 472 ?16 94432 1888 ?

Nakon toga se provodi niz oduzimanja brojeva prvog stupca:

• 41− 32 = 9 (od 41 se oduzme najveci broj prvog stupca)

• 9 − 8 = 1 (od dobivenog rezultata se oduzme najveci (od njega manji) clan prvog

stupca sve dok se ne dobije 0)

• 1− 1 = 0

Dakle, broj 41 mozemo zapisati kao zbroj 32 + 8 + 1. Za vrijeme oduzimanja posebno se

oznace brojevi desnog stupca u retcima iz kojih su koristeni brojevi za oduzimanje. Oznaceni

brojevi ce biti 1888, 472 i 59. Ti se brojevi zbroje: 1888 + 472 + 59 = 2419, a dobiveni

rezultat je umnozak brojeva 41 i 59, sto se lako moze provjeriti. Sada treba uociti da smo na

ovaj nacin broj 41, odnosno prvi faktor, zapisali pomocu potencija broja 2, dakle binarno:

41 = 32 + 8 + 1 = 25 + 23 + 20 = (101001)2. Dijeljenje se provodi analogno.

Osim sto bi ovakvim nacinom dijeljenja i mnozenja ucenici uvjezbali prebacivanje iz de-

kadskog u binarni sustav i obrnuto, upoznali bi se s egipatskim nacinom vrsenja osnovnih

racunskih operacija starim gotovo 4000 godina, sto bi ih svakako impresioniralo i nastavni

sat ucinilo zanimljivijim.

25

Sljedeci primjer korelacije matematike i povijesti pogodan je ukoliko nastavnik zeli ucenici-

ma pribliziti geometriju. Najcesce su ucenici za geometriju nezainteresirani i smatraju ju

nepotrebnom za kasnije obrazovanje ili svakodnevni zivot. U prvom razredu gimnazije u

nastavnom programu nalazi se cjelina Kruznica i krug. Pravilni mnogokuti, gdje ucenici uce

o Talesovom teoremu o proporcionalnosti duzina. Kako bi nastavnik ucinio ovu temu zanim-

ljivom, ucenike moze upoznati s Talesom, njegovim postignucima i vremenskim kontekstom

u kojem je nastao njegov teorem. Kao uvod u samu temu moze posluziti prica kako je Tales

izmjerio visinu Keopsove piramide u Egiptu u doba kada je to bilo zbilja tesko direktno

izmjeriti.

Tales je poznati starogrcki matematicar koji je uvelike pridonio razvoju matematike, a

djelovao je na prijelazu iz 7. u 6. stoljece prije Krista. Jedan je period zivota proveo u Egiptu,

gdje se upoznao s geometrijom te svoje spoznaje prenio u Grcku. Poznata je prica o tome

kako je Tales izmjerio visinu Keopsove piramide, koja je sve do 1887. godine, kada je izgraden

Eiffelov toranj, bila najvisa gradevina na Zemlji koju je covjek izgradio svojim rukama. Ta-

les se dosjetio da ce visinu piramide izmjeriti pomocu sjene, vlastite visine i cinjenice da su

Sunceve zrake paralelne. Kada je bio suncan dan, Tales je stao blizu piramide, pricekao da

duljina sjene koju pravi njegovo tijelo bude jednaka njegovoj visini, jer je znao da ce tada i

duljina sjene koju pravi piramida biti jednaka visini piramide. Ovo mjerenje Tales je izvrsio

uz pomoc obicnog uzeta te dobio da je visina piramide 147 metara.

Takoder, Tales je dao i metodu kako izmjeriti visinu piramide u bilo koje doba dana, tako

da nije potrebno cekati trenutak kada ce visina tijela biti jednaka duljini sjene koju tijelo

pravi. Zabode se stap u pijesak i usporedi se visina stapa s duljinom njegove sjene, odnosno,

stavi se u omjer. Visina piramide se tada dobije ako se duljina sjene piramide pomnozi s

dobivenim omjerom. To vrijedi upravo zbog jednakosti omjera visine stapa i duljine njegove

sjene te visine piramide i duljine njezine sjene (Slika 3).

Slika 3: Talesovo mjerenje visine piramide

26

Iz ovog zanimljivog dogadaja proizasao je jedan od poznatijih teorema koji je osnova

teorije slicnosti geometrijskih objekata, Talesov teorem o proporcionalnosti duzina. Teorem

glasi (Slika 4):

Neka se dva pravca sijeku u tocki E i neka dva paralelna pravca sijeku te pravce u tockama

A, B, odnosno C, D. Tada je d(A,B) : d(E,B) = d(C,D) : d(E,D).

Slika 4: Talesov poucak

Za motivaciju osnovnoskolaca mogla bi posluziti prica o tome zasto se bas slovima x i y

oznacavaju nepoznanice u jednadzbama koje tako cesto rjesavaju. Radi se zapravo o pukoj

slucajnosti i prici o prvom objavljenom djelu Renea Descartesa, velikog matematicara iz 17.

stoljeca. Tadasnji tiskarski stroj funkcionirao je tako sto su se koristile plocice na kojima su

bila izlivena slova koja su onda pritiskom na papir ostavljala na njemu trag. Nakon sto je

Descartes dao svoj rad u tiskaru, pojavio se problem u tiskanju te su ga pitali jesu li mu zbilja

toliko potrebna slova y i z u njegovom tekstu. Descartes je zelio znati zasto ga to pitaju

pa mu je tiskar rekao da nema dovoljno slova z. Zatim je Descartes pitao kojh slova imaju

dovoljno, a tiskar mu je odgovorio da imaju i vise nego dovoljno slova x. Sve ostalo je povijest.

Drugi, jos zanimljiviji, primjer za osnovnu skolu je upoznavanje ucenika s vedskom ma-

tematikom. Ova tema svakako bi zaintrigirala ucenike, te bi saznali ponesto o povijesti

indijske matematike, ali i upoznali se s novim i kreativnijim nacinom izvrsavanja osnovnih

racunskih operacija. Vedska matematika potjece iz razdoblja od 1500. do 500. godine prije

Krista. Postupke i principe staroindijske matematike, koje je otkrio Sri Bharati Krsna Tir-

thaji izmedu 1911. i 1918. godine, moze se pronaci u njihovim spisima Vedama. Prema

njegovom istrazivanju, sva matematika temelji se na 16 sutri ili formula izrazenih rijecima.

Ovdje cemo navesti samo jedan jednostavniji dio njihovih saznanja, a to je mnozenje

dvoznamenkastih brojeva koje se moze izvrsiti cak i napamet za samo nekoliko sekundi.

Primjerice, ukoliko treba pomnoziti brojeve 85 i 94, zapisat cemo ih jedan ispod drugoga,

dok ce se s desne strane svakog broja zapisati devijacija, tj. razlika izmedu broja i baze, dakle

27

85 − 100 = −15, i 94 − 100 = −6. Vazno je napomenuti da se za bazu uzimaju potencije

broja 10, te da se ona bira tako da bude sto bliza brojevima koje treba pomnoziti.

85 −1594 −6

7990

Zatim se dijagonalno zbroje brojevi 85 i -6 ili 94 i -15 te se dobije isti broj, 79, kojeg zapisemo,

a drugi dio rezultata dobijemo tako da pomnozimo brojeve desnog stupca, -15 i -6. Njihov

umnozak je 90, i taj se rezultat zapise uz prvi dobiveni broj, pa se dobije rezultat mnozenja

85 · 94 = 7990, sto se moze provjeriti uobicajenim mnozenjem.

Da bi ucenici usvojili ovaj i neke ostale principe vedske matematike, potrebno je samo

da dobro vladaju racunskim operacijama s malim brojevima. Vedska matematika vrlo je

zanimljiva i sigurno ce povecati interes ucenika za matematiku opcenito. Osim toga, ona

moze ubrzati racunanje te razvijati logicko razmisljanje i kreativnost kod ucenika.

Sljedeci primjer korelacije moze se iskoristiti u petom i sestom razredu osnovne skole.

Radi se o grckom matematicaru Eratostenu koji je zivio i djelovao u 3. stoljecu prije Krista.

Posebno se isticu dva njegova dostignuca, od kojih je jedno poznato pod nazivom Eratoste-

novo sito, a drugo je vrlo precizno izracunavanje opsega Zemlje.

U petom razredu ucenici se susrecu s prostim brojevima, pa ih nastavnik moze upoznati s

metodom dobivanja prostih brojeva krizanjem i zaokruzivanjem prirodnih brojeva, tj. s Era-

tostenovim sitom. Prije svega, ucenicima treba predstaviti Eratostena, opisati vremenski

kontekst u kojem je zivio te cime se bavio i kako je dosao do ovog postupka ”prosijavanja”

prirodnih brojeva nakon kojega u ”situ” ostaju samo prosti brojevi.

Metoda se moze opisati na sljedeci nacin: Napravi se popis nekoliko uzastopnih prirodnih

brojeva. Prekrizi se broj 1. 2 je prost broj, njega se zaokruzi, a svi brojevi djeljivi s 2, tj.

visekratnici broja 2 se prekrize. Prvi neprekrizeni broj jest 3, to je prost broj i njega se

zaokruzi. Prekrize se svi visekratnici broja 3. Sljedeci neprekrizeni broj je 5, to je prost broj

pa se prekrize svi visekratnici broja 5 itd. Ovim postupkom dobiju se prosti brojevi koji su

zaokruzeni, a svi prekrizeni brojevi su slozeni brojevi (Slika 5).

28

Slika 5: Eratostenovo sito

Kao sto se moze vidjeti iz slike, zbilja se radi o prosijavanju. Jedan od razloga zasto se

taj postupak zove Eratostenovo sito je i slutnja da je Eratosten navodno busio brojeve koji

se krizaju, pa je nakon zavrsetka algoritma njegov papirus izgledao kao cetvrtasto sito.

Takoder se u petom razredu ucenici upoznaju s kruznicom i krugom, kutovima i mjere-

njem kutova, a u sestom se razredu susrecu s kutovima uz presjecnicu usporednih pravaca,

sto je potrebno kako bi se izracunao opseg Zemlje. Zato bi se nakon obradenih navedenih

tema s ucenicima mogao napraviti istrazivacki projekt mjerenja opsega Zemlje na nacin kako

ga je prije vise od 2000 godina izmjerio i sam Eratosten.

Eratosten je bio jedno vrijeme upravitelj knjiznice u Aleksandriji pa su mu bila dostupna

sva znanja onoga doba. U to vrijeme vjerovalo se da je Zemlja okrugla. Eratosten je uocio

kako sunceva sjena ne pada pod istim kutom u podne 21. lipnja (prvi dan ljeta) u Aleksandriji

i Sieni (danasnji Asuan) koja se nalazi gotovo na sjevernoj obratnici. To je jedino moguce

ako je Zemlja zakrivljena. Zamislio je da je zemljina kugla presjecena po meridijanu na

kojem se nalaze Siena, i sjeverno od nje, 5000 stadija dalje, Aleksandrija, te dobio sljedecu

sliku (Slika 6).

29

Slika 6: Eratostenova mjerenja

Dakle, kut pod kojim upadaju sunceve zrake na Zemljinu povrsinu u Sieni je iznosio 0◦, a

u Aleksandriji priblizno 7. 2◦. Opseg Zemlje O odnosi se prema luku SA duljine 5000 stadija

kao puni kut od 360◦ prema kutu od 7. 2◦ sto ga zatvara luk SA.

O : 5000 = 360 : 7.2

Eratosten je iz ovog omjera lako izracunao da je O = 250000, tj. da je opseg Zemlje

250 000 stadija. Pouzdanost Eratostenovog mjerenja je tesko utvrditi jer je u anticko doba

koristeno nekoliko razlicitih vrijednosti za stadij. Ako se uzme da 1 stadij iznosi priblizno

158 metara, tada je Eratostenova vrijednost za Zemljin opseg bila priblizno 39 600 kilome-

tara, sto je vrlo blizu stvarne vrijednosti. Danas je poznato da prema satelitskim mjerenjima

opseg Zemlje po meridijanu iznosi 40 008 km.

Eratostenov postupak mjerenja Zemljinog opsega ucenicima bi donio prakticno znanje,

povezali bi matematiku s povijesti, povecao bi se njihov interes za matematiku opcenito te

bi dobili pozitivan stav prema nastavi matematike ukoliko bi se slicne metode kao sto je ova

primjenjivale sve cesce u razredu.

Dakle, prethodno opisana metoda za motivaciju je zapravo koreliranje matematike s po-

vijescu same matematike. Uvodenjem prica iz povijesti matematike, nastavnici bi ucenicima

matematiku ucinili blizom i privlacnijom.

30

3.3 Korelacija matematike i povijesnih dogadaja

No, osim sto se matematika moze korelirati sa svojom prosloscu, drugi je nacin korelacije

s povijescu koristenjem stvarnih povijesnih dogadaja iz proslosti covjecanstva kako bi puko

i, ponekad ucenicima, besmisleno racunanje dobilo svrhu. Brojni su povijesni dogadaji i

cinjenice dobra podloga za kreiranje matematickih zadataka koji ce ucenike privuci jer ce

time nauciti i ponesto o konkretnim povijesnim dogadajima, ali i uvjezbati i shvatiti mate-

maticke principe i koncepte.

Jedan primjer korelacije matematike s povijesnim dogadajima prikazan je u Tablici 1.

Radi se o zanimljivom nacinu koji moze pomoci ucenicima da bolje razumiju i nauce potencije

broja 10. Ovaj je primjer preuzet od autora Keitha Enevoldsena. Radi se o prikazu 10

dogadaja iz povijesti kroz potencije broja 10.

Prije nekoliko: Tocnije, prije: Dogadaj:1010 desetaka milijardi godina 13− 14 milijardi godina Stvaranje svemira109 milijardi godina 4.5 milijardi godina Nastanak Zemlje108 stotina milijuna godina 500 milijuna godina Prve fosilizirane zivotinje107 desetaka milijuna godina 65 milijuna godina Izumiranje dinosaura106 milijuna godina 2 milijuna godina Nastanak prvih kamenih alata

105 stotina tisuca godina 800 tisuca godina Covjek koristi vatru104 desetaka tisuca godina 30 tisuca godina Pojava umjetnosti103 tisuca godina 5 tisuca godina Prvo pismo102 stotina godina 1492. Otkrice Amerike101 desetaka godina 1969. Prvi covjek na Mjesecu

Tablica 1.: Povijesni dogadaji kroz potencije broja 10

Sljedeci primjer moze posluziti u osnovnoj skoli u sedmom razredu nakon sto se ucenici

u sklopu povijesti upoznaju s Napoleonom Bonaparteom i njegovim bitkama. Jedna od

najvecih bitki, Napoleonova invazija na Rusiju 1812. godine moze posluziti za kreiranje za-

nimljivih zadataka u kojima ucenici mogu vizualizirati velicinu Napoleonove vojske i saznati

povijesne podatke i tijek same invazije. Zadaci se mogu izraditi na temelju poznate vizu-

alizacije C. J. Minarda, koji je jedan od prvih francuskih inzenjera koji je koristio graficki

prikaz kako bi prikazao neke statisticke podatke. Najpoznatiji je upravo po kartografskom

prikazu brojcanih podataka o kretanjima francuske vojske prema Moskvi 1812. godine (Slika

7).

31

Slika 7: Minardov prikaz Napoleonove invazije na Rusiju 1812. godine

Iz ovog prikaza moze se vidjeti s koliko je vojnika Napoleon krenuo prema Rusiji, a s

kolikim brojem vojnika se vratio nakon teskih i velikih gubitaka. Karta prikazuje tocan put

kojim je francuska vojska prosla do Moskve i kojim se putem vratila u Pariz. Iako je Na-

poleon dobro napredovao i probio se sve do Moskve, te ju osvojio, ondje je zatekao pustos,

te se njegovi vojnici nisu mogli nahraniti niti pronaci skloniste. S obzirom da su Rusi na-

pustili Moskvu i nisu potpisali kapitulaciju, Napoleon se poceo povlaciti te je u povratku u

Francusku stradao velik broj vojnika zbog gladi, bolesti, hladnoce i manjih bitaka s Rusima.

Na karti svjetla linija prikazuje put za Moskvu, dok crna linija prikazuje povratak. Debljina

linije govori o broju vojnika na odredenom polozaju na karti. Minard 1 milimetrom prikazuje

10 000 vojnika. Tako se moze procitati i odrediti koliki je broj vojnika u bilo kojem polozaju.

U pocetku je Napoleon raspolagao vojskom od 422 000 ljudi, tek je 100 000 stiglo u Moskvu,

a samo se 10 000 vratilo svojim domovima.

Osim broja vojnika, Minard je prikazao na karti i vazne bitke, vrijeme, temperaturu, tijek

i smjer kretanja vojske. Ova vizualizacija podataka zainteresirat ce ucenike istovremeno i

za povijesni dogadaj, ali i za matematicke sadrzaje koje ona sadrzi. Takoder je pogodna za

kreiranje zanimljivih povijesnih zadataka. Ucenicima se moze zadati da razmotre cijeli tijek

invazije, izracunaju Napoleonove gubitke u odredenom vremenskom periodu, procijene u ko-

jem je razdoblju bilo mirno i bez bitki s obzirom na konstantni broj vojnika kroz odredeni

vremenski period i slicno.

Povijest ucenicima moze pomoci da shvate zasto je matematika danas bas takva kakva

je. Vrlo vazan faktor koji je utjecao na razvoj matematike kroz povijest bili su prakticni

problemi na koje su ljudi nailazili i koje su trebali rijesiti. Aritmetika se razvila kako bi se

zadovoljile potrebe trgovine. Za najraniju geometriju pretpostavlja se da se razvila kako bi

32

rijesila probleme u mjerenju zemljista. U kasnijoj povijesti razvoj topova zahtijevao je razvoj

balistike itd. Puno puta u povijesti najmocnija zemlja po ekonomskoj i vojnoj moci takoder

je bila i vodeca zemlja u poznavanju i razvijanju matematike. Kada se ucenici upoznaju s

tim cinjenicama, velika je vjerojatnost da ce im matematika postati zanimljivija i privlacnija

nego prije.

33

4 Matematika u geografiji i geodeziji

4.1 Korelacija matematike i geografije

Kao sto je naglaseno u prvom poglavlju, matematiku je prirodnije korelirati s nesto srod-

nijim, odnosno ”prirodnijim” znanostima. Prvo sto povezujemo s matematikom su fizika,

kemija, u novije vrijeme i informatika. No, tu je jos niz znanosti i znanstvenih disciplina

koje imaju matematicku pozadinu. Neke od njih su geografija i geodezija, koje po svojoj

definiciji takoder nisu prirodne, ali je puno lakse pronaci poveznicu koja ce posluziti nastav-

niku u interdisciplinarnom pristupu.

Geografija je Pravilnikom o znanstvenim i umjetnickim podrucjima, poljima i granama

svrstana u interdisciplinarna podrucja znanosti te se po samoj definiciji moze korelirati s ve-

likim brojem ostalih znanosti, podrucja i grana. Geografija u osnovnoj i srednjoj skoli cesto

iziskuje matematicka znanja, tj. matematicku kompetenciju kako bi se neki njeni sadrzaji

mogli bolje razumjeti pa nije tesko pronaci poveznicu izmedu ova dva predmeta.

Na nasem podrucju nema puno istrazivanja ni literature o korelaciji matematike i geogra-

fije, ali za razliku od korelacije matematike i knjizevnosti, nastavnicima ovdje nisu potrebni

toliko veliki angazman ni materijali koji bi im dali smjernice kako korelirati ove predmete i

osmisliti nastavne sadrzaje.

Korelacija matematike i geografija namece se sama po sebi, te se vec nalazi unutar os-

novnoskolskih i srednjoskolskih udzbenika iz matematike u obliku zadataka kao sto su, pri-

mjerice, zadaci s omjerima gdje se spominje mjerilo karte, o cemu ucenici uce na satima

geografije, zatim, racunanje udaljenosti ili vremenske razlike izmedu gradova gdje ucenici

moraju biti upoznati s pojmovima geografske duzine i sirine itd.

Prvo s cime se ucenici susrecu iz geografije su oblik i velicina Zemlje, kao i duljina njenog

promjera i polumjera. S obzirom da se na osnovnoskolskoj razini uci da je Zemlja kugla,

u razumijevanju ovih pojmova iz geografije uvelike moze pomoci znanje o kugli, promjeru

i polumjeru koje ucenici stjecu na nastavi matematike. Nastavni plan i program u nekim

situacijama nije potpuno uskladen, kao naprimjer kod samog pojma kugle, odnosno obiljezja

kugle, koja ucenici iz matematike uce u osmom razredu osnovne skole, dok se s tim pojmom

iz geografije susrecu vec u petom razredu. No, ta cinjenica ne sprjecava nastavnika geografije

i matematike da medusobno suraduju i zajednicki osmisle nastavne sate koji ce djeci biti

zanimljiviji te ce korelacijom znanja o kugli iz matematike i znanja o Zemaljskoj kugli iz

geografije usvojiti puno vise nego da im se ne ukaze na poveznicu izmedu ovih nastavnih

jedinica i predmeta.

Jos je jedna ocita korelacija, a radi se o koordinatnom sustavu iz matematike i mrezi

meridijana i paralela, tj. geografskoj mrezi iz geografije. Ucenici se prvo susrecu s geograf-

34

skom mrezom u petom razredu iz geografije, dok u sedmom uce o koordinatnom sustavu,

a u osmom se iz geografije susrecu s racunanjem geografskih duzina i sirina. Da bi ucenici

u osmom razredu s lakocom odredivali polozaj nekog grada ili objekta na Zemlji preko

racunanja njegove geografske duzine i sirine, vazno je da su dobro upoznati s pojmom koor-

dinatnog sustava. Upravo se u ovom primjeru moze uociti direktna primjena matematike u

geografiji koja ucenicima moze matematiku pribliziti i uciniti puno zanimljivijom.

Sljedeci primjer koreliranja je takoder vrlo cest i moze ga se naci u zadacima u udzbenicima

iz matematike. Radi se o mjerilu geografske karte s kojim se ucenici iz geografije upoznaju

u petom razredu, a u nastavi matematike ti se sadrzaji mogu iskoristiti u osmisljavanju za-

dataka s razlomcima u petom i sestom ili zadataka s omjerima u sedmom razredu. Tu je

takoder i drustvena geografija s kojom ucenici upoznaju u visim razredima osnovne skole,

a prigodno je za koreliranje s gradivom iz statisticke matematike s kojom se ucenici upoz-

naju u sedmom razredu. Radi se, primjerice, o demografskim promjenama, kretanju broja

stanovnika, zatim prikazu temperature zraka kroz neki period, racunanje stope rodnosti i

smrtnosti itd. Svi se ovi primjeri iz geografije mogu iskoristiti kako bi se zadaci u nastavi

matematike ucinili osebujnijim i privlacnijim.

U sljedecim odlomcima navest cemo konkretne primjere i zadatke u kojima se koristi

koreliranje matematike i geografije kako bi se ucenicima dala dodatna motivacija. Ukoliko

nastavnik slicne zadatke cesto primjenjuje u nastavi, ucenici ce se uvjeriti koliko je matema-

tika rasirena i primjenjiva i u ostalim predmetima u skoli, te ce shvatiti da je vazno povezivati

znanja kako bi ona ostala trajna.

Prvi primjer koji cemo prikazati moze se implementirati u sedmom razredu tijekom

obrade gradiva Omjer i proporcija. U osmisljavanju zadataka za vjezbu i provjeru nas-

tavnici mogu iskoristiti mjerilo geografske karte koje su ucenici usvojili u petom razredu

iz geografije kako bi zadatke ucinili zanimljivijima. Neki od niza zadataka koje je moguce

osmisliti su sljedeci primjeri:

• Zracna udaljenost izmedu Pule i Dubrovnika je 500 km, a na geografskoj karti ta

udaljenost iznosi 20 cm. U kojem mjerilu je izradena ta karta?

Ucenici ovdje trebaju prepoznati da velicine koje stave u omjer treba pretvoriti u istu

mjernu jedinicu, skratiti ih, te dobiti rjesenje da je mjerilo ove karte 1 : 2 500 000.

• Marko je putovao autom iz jednog grada u drugi i presao udaljenost od 32 km. Kolika

ce biti duzina tog puta prikazana na geografskoj karti mjerila 1 : 200 000?

Ucenici ce ovdje odgovarajuce velicine staviti u razmjer te uz koristenje pravila kako

racunati s omjerima, dobiti rjesenje da je udaljenost tog puta na geografskoj karti 16

cm.

Korelacija mjerila karte i nastavne cjeline Omjer i proporcija odlicno bi posluzila u os-

35

tvarenju projektne nastave koja bi se mogla odrzati u suradnji s nastavnikom geografije.

Primjerice, projektni zadatak moze biti izrada karte koja ce sadrzavati informacije o udalje-

nosti izmedu ucenikove kuce i skole, poste, ambulante, kao i medusobne udaljenosti kuca koje

pripadaju ucenicima koji sudjeluju u istom timu. Kroz ovaj projekt ucenici ce medusobno

suradivati, mjeriti stvarne udaljenosti, odrediti u kojem mjerilu mogu napraviti kartu te

postupno crtati kartu koja ce biti proizvod ovog projekta i koju mogu predstaviti ostalim

timovima u razredu.

Drugi primjer moze se iskoristiti u sedmom razredu tijekom obrade cijelina Postoci te

Statistika i vjerojatnost. Statistika i vjerojatnost tek je prije nekoliko godina uvedena u

program osnovne skole jer se uvidjelo da je njena primjena siroka, te da je potrebno ucenike

vec u osnovnoj skoli upoznati s njezinim osnovama. U zadacima je prikazano kako se popis

broja stanovnika moze iskoristiti u racunanju statistickih podataka i prikazu istih.

• Prema popisu stanovnista u Hrvatskoj je 2011. godine zivjelo 4 290 612 stanovnika,

od toga u Osjecko-baranjskoj zupaniji 304 899, a u Vukovarsko-srijemskoj 180 117 sta-

novnika. Izracunaj udio ovih zupanija u ukupnom broju stanovnika u Hrvatskoj.

Ucenici ce ovdje staviti u omjere broj stanovnika te lako izracunati da je udio sta-

novnista Osjecko-baranjske zupanije priblizno 7%, a Vukovarsko-srijemske priblizno

4%.

• Prema popisu stanovnista iz 2011. godine u sredisnjoj i istocnoj Hrvatskoj zivjelo je

ukupno 1 282 510 stanovnika, od toga u Bjelovarsko-bilogorskoj zupaniji 119 661,

Viroviticko-podravskoj 84 586, u Pozesko-slavonskoj 78 013, u brodsko-posavskoj 158

559, u Osjecko-baranjskoj 304 899, u Vukovarsko-srijemskoj 180 117, u Karlovackoj 128

749 te u Sisacko-moslavackoj 172 977 stanovnika. Izracunaj udio stanovnistva svake

od zupanija te podatke prikazi stupcastim dijagramom.

Slicno kao u prethodnom zadatku, ucenici racunaju udio po zupanijama u postocima

te prikazuju podatke dijagramom te na taj nacin vjezbaju postupak koji su usvojili

na nastavi matematike, dok istovremeno dobiju uvid koje su zupanije naseljenije od

drugih.

Sljedeci primjer odnosi se i na osnovnu i na srednju skolu. Vazno je da ucenici iz geografije

poznaju pojam geografske sirine i duzine kako bi mogli rijesiti zanimljive zadatke poput

sljedecih:

• Iz prilozene karte iscitaj na koliko se stupnjeva istocne geografske sirine nalaze Vukovar

i Zagreb te izracunaj u koliko sati Sunce izlazi u Zagrebu, ako je u Vukovaru izaslo u

6 sati i 10 minuta.

36

Ucenici znaju iz geografije da 1◦ geografske sirine oznacava 4 minute, pa ce iz karte

zakljuciti da je stupanjska razlika izmedu Vukovara i Zagreba 3◦, sto je 12 minuta.

Dakle, s obzirom da je Vukovar istocnije od Zagreba, u Zagrebu ce Sunce izaci 12

minuta kasnije nego u Vukovaru, tj. u 6 sati i 22 minute.

• Zrakoplov je poletio u 23 sata iz Zagreba prema glavnom gradu Indije, New Delhiju.

Duljina leta je 6400 km, a brzina 800 km/h. U koliko sati ce zrakoplov sletjeti po

indijskom vremenu ako se Zagreb nalazi na 16◦ istocne geografske sirine, a New Delhi

na 77◦ istocne geografske sirine?

U ovome zadatku treba primijeniti nekoliko pojmova kako bi se doslo do rjesenja. S

obzirom da je zadana duljina leta i brzina zrakoplova, potrebno je iskoristiti formulu

za vrijeme kod jednolikog pravocrtnog gibanja t = sv

te izracunati da let traje 8 sati. Iz

podataka o geografskoj sirini ucenici ce izracunati da je stupanjska razlika izmedu ova

dva grada 61◦, sto znaci da je vremenska razlika 4 sata i 6 minuta. Ucenici zakljucuju

da ce zrakoplov poletjeti po indijskom vremenu u 3 sata i 6 minuta, te da ce sletjeti

nakon 8 sati, sto ce biti u 11 sati i 6 minuta.

Posljednji primjer koji cemo navesti odnosi se na osmi razred osnovne skole i cjelinu

Geometrijska tijela. Geografski podaci u ovom primjeru cine rjesavanje zadataka puno za-

nimljivijim svim ucenicima, te ce kroz ovakve zadatke ucenici nauciti nove informacije koje

nisu usko vezane za matematiku. Ovakav pristup u zadacima ce sigurno privuci veci broj

ucenika, te ce se njihova motivacija povecavati. Zadaci su sljedeci:

• Godine 1815. eruptirao je vulkan Tambora na indonezijskom otoku Sumbava. Erupcija

je raznijela vrh vulkana, te se visina vulkana smanjila sa 4000 na 2850 metara. Vulkan

37

je oblika uspravnog stosca kojemu promjer baze iznosi 60 kilometara, dok je promjer

nastalog kratera 6 km. Krater je dubok 1.110 m.

a) Izracunaj obujam vulkana Tambora prije erupcije.

b) Izracunaj obujam vulkana koji je unisten u erupciji.

c) Izracunaj obujam vulkana Tambora nakon erupcije.

Ucenici ce u ovom primjeru primijeniti formulu za racunanje volumena stosca, te ce

uvrstavanjem poznatih podataka s lakocom doci do trazenih rjesenja.

• Venera je drugi planet po udaljenosti od Sunca, bez satelita, nesto manji od Zemlje.

Njen promjer je 12 704 km. Izracunaj oplosje i obujam Venere.

U ovom jednostavnom primjeru ucenici ce primijeniti formulu za racunanje oplosja

i volumena kugle, te ce saznati informacije o velicini Venere i moci ju usporediti s

velicinom Zemlje.

Iz navedenih primjera mozemo zakljuciti da se matematika i geografija ispreplicu tijekom

cijelog osnovnog i srednjoskolskog obrazovanja, te da nije potreban veliki angazman kako

bi se, u ovom slucaju, vertikalna korelacija provela u izvodenju nastavnih sati. Potrebno

je minimalno informiranje nastavnika kako bi se sadrzaji uskladili te kako bi se ucenicima

prikazala poveznica izmedu ova dva predmeta.

Cesto se geografija oslanja na matematiku te joj je matematika potrebna u smislu raznih

izracuna i obrade podataka. Primjerice, kretanje Zemlje i njezini neposredni gravitacijski i

elektromagnetski odnosi i fizicka geografija neophodno trebaju matematicku pozadinu kako

bi se ta podrucja moglo pravilno i potpuno razumjeti. No, matematika se moze itekako oslo-

niti na geografiju u smislu motivacije i primjene, posebice u projektnoj nastavi. Projektnom

nastavom ucenici profitiraju u vise aspekata, sudjelovanjem u radu na nekom projektu razvi-

jaju svoje vjestine i znanje u prakticnom smislu, sto ce velikoj vecini ucenika biti potrebno u

buducem radu i zivotu. Ovom korelacijom ucenicima bi se posebno mogao staviti naglasak

na vaznost logickog razmisljanja i povezivanja znanja.

4.2 Korelacija matematike i geodezije

Jos je jedna znanost o kojoj ce u radu biti rijec, i koju je posve prirodno korelirati s

matematikom, a radi se geodeziji koja se ubraja medu tehnicke znanosti. Geodezija je zna-

nost koja istrazuje i definira oblik i velicinu Zemlje, bavi se izmjerom Zemljine povrsine te

njenim prikazivanjem na planovima, kartama i drugim oblicima prikaza. Geodezija je usko

povezana s primijenjenom matematikom. Ocito je da se posebno geometrija intezivno koristi

u geodeziji.

38

Primjerice, kod oblika i velicine Zemlje uvelike je doprinijela matematika kako bi se ba-

rem njeni dijelovi mogli pravilno definirati. Zemlja ima slozen oblik geoida, te je nemoguce

matematicki definirati citavu njenu povrsinu. No, pojednostavljivanjem plohe geoida, moze

se reci da je Zemlja rotacijski elipsoid, sto je zapravo fizicko - matematicki model koji pred-

stavlja aproksimaciju oblika Zemljine povrsine. Slicno, geodetski koordinatni sustav ima

takoder matematicku pozadinu, kartografsko preslikavanje Zemlje u ravninu takoder ne bi

bilo moguce bez matematike i njenih zakona te naposlijetku tu su i geodetska mjerenja koja

se uvelike oslanjaju na aritmetiku, statistiku i trigonometriju.

Dakle, kao i kod korelacije s geografijom, korelacija matematike i geodezije namece se

prirodno i ocite su poveznice koje se mogu unijeti u nastavne sate te time ucenicima dati

predozbu o sirokoj primjeni matematike. S obzirom da se u pozadini geodezije nalazi slozenija

matematika, prikladnije ce biti ovu vrstu korelacije implementirati u srednjoj nego u osnov-

noj skoli. Moguce je ostvariti istrazivacku nastavu, zainteresirati djecu izvan nastavnog

sadrzaja za matematiku i to upravo uz pomoc korelacije s geodezijom.

Fokusirat cemo se na geodetska mjerenja, odnosno opisati kako se geodezija moze uklopiti

u srednjoj skoli kao motivacija za terenski rad i istrazivacku te projektnu nastavu. Ucenici

se u drugom razredu gimnazije prvi put susrecu s trigonometrijskim funkcijama te njihovom

primjenom na pravokutni trokut, dok u trecem razredu proucavaju primjene trigonometrije

u geometriji. Zanimljivo je da se cak u Nastavnom planu i programu za gimnazije medu

sadrzajima koji se obraduju navodi i Primjena trigonometrije u stereometriji, fizici, tehnici i

geodeziji. Dakle, cesto se i u udzbenicima nalaze zadaci koji ucenicima ukazuju na primjenu

matematike u geodeziji.

No, nastavniku se ovdje pruza prilika da osmisli terensku nastavu gdje ce ucenici vlasti-

tim vjestinama i znanjem provoditi prakticna mjerenja na terenu. Takoder, ove bi nastavne

jedinice i poveznica s geodetskim mjerenjima mogla posluziti za osmisljavanje projektne nas-

tave koja bi ucenicima pomogla u razvijanju vjestina timskog rada i kritickog odnosa prema

svom i tudem radu.

Prvo sto ce trebati napraviti bit ce sprava za mjerenje kutova, s obzirom da se ne ocekuje

kako je skola opremljena teodolitom, geodetskom napravom za mjerenje kutova. Uz pomoc

ove sprave moze se mjeriti visina promatranih objekata, kao sto su stabla, zgrade ili tornjevi.

Ovu se spravu jednostavno moze izraditi, te bi bilo prikladno ucenicima dati upute za njenu

izradu, sto bi bio odlican pocetak projekta. Sprava se sastoji od plastificiranog lista papira

na kojemu su naznaceni stupnjevi i od viska koji visi iz pravog kuta papira. Kako bi se

moglo preciznije promatrati, na jedan krak kuta nalijepi se plasticna slamka kroz koju ce se

promatrati objekt ciju visinu zelimo izmjeriti (Slika 8).

39

Slika 8: Naprava za mjerenje kutova

Ukoliko je potrebno izmjeriti visinu promatranog stabla, nacin na koji se vrsi mjerenje

je sljedeci: ucenik izmjeri udaljenost od tocke promatranja do stabla, a uz pomoc naprave

mjeri kut pod kojim vidi vrh stabla. Ove zabiljezene podatke i trigonometriju pravokutnog

trokuta ce iskoristiti kako bi mogao dovrsiti mjerenje. Slijede primjeri:

• Ucenik je visok 1.5 metar (tj. promatra se udaljenost od tocke u kojoj stoji do njegovog

oka), udaljenost izmedu njega i stabla je 60 metara, te je kut pod kojim ucenik vidi

vrh stabla jednak 24◦ (Slika 9).

Slika 9: Mjerenje visine stabla

40

Ucenik ce visinu stabla izmjeriti na sljedeci nacin:

Gledat ce trokut ABC, gdje je A tocka iz koje on promatra stablo, B tocka na vrhu

stabla i C tocka na stablu u ravnini ucenikovih ociju. Iz danog trokuta ce izracunati

duljinu duzine koja je odredena tockama B i C, te ce toj duljini pridodati svoju visinu

i izracunati ukupnu visinu stabla. Rjesenje ovog konkretnog primjera ce glasiti:

|BC| = |AC| · tg 24◦ = 26.71

26.71 + 1.5 = 28.21.

Dakle, visina stabla je 28.21 metar.

• Sljedeci primjer moze se ucenicima zadati za domacu zadacu tako da svaki od njih ima

razlicite rezultate mjerenja i razlicita rjesenja zadatka. Zadatak je da ucenik izmjeri

visinu zgrade koja je susjedna onoj u kojoj on stanuje. To treba uciniti uz pomoc

naprave za mjerenje kutova te znanja koje je stekao iz trigonometrije na nastavi ma-

tematike. Zadatak se svodi na sljedeci primjer:

Sa prozora visokog 20 metara vrh susjedne zgrade vidi se pod kutem od 12◦, a sa zemlje

(tocno ispod prozora) pod kutem od 58◦. Koliko je visoka susjedna zgrada? (Slika 10).

Slika 10: Mjerenje visine susjedne zgrade

Ucenik ce skicirati situaciju koju promatra te ce iz dva promatrana trokuta ABD i

BCE, jednakosti duljina stranica BD i CE te koristeci trigonometriju pravokutnog

trokuta dobiti visinu zgrade. Dobije se jednadzba s jednom nepoznanicom koja se

jednostavno rijesi i dobije se da je x = 3.06, tj. visina zgrade je priblizno 23 metra.

41

U navedenim primjerima ne radi se o teskom matematickom izracunu, ali se istrazivacka

nastava sastoji upravo u izlasku na teren, snalazenju kako pripremiti sve potrebne materijale

bez kojih nije moguce obaviti zadatak. Uceniku koji ce primjenu trigonometrije prouciti na

ovaj nacin ce sigurno ostati trajnije i kvalitetnije znanje nego uceniku koji ce nauciti formule

napamet samo kako bi postigao uspjeh na ispitu, bez imalo interesa gdje se te formule pri-

mjenjuju.

Slican pristup nastavi, kroz izlazak na teren i mjerenje odredenog objekta moze se izvesti

i u trecem razredu, gdje ucenici imaju prosireno znanje o primjeni trigonometrije na trokut.

Vidimo da je za interdisciplinarni pristup potreban puno veci angazman i kreativnost

nastavnika. No, vec pri prvim implementacijama nekih drugih predmeta ili znanosti u nas-

tavu matematike, nastavnik ce uociti koliko to pozitivno utjece na ucenike. Ucenici ce tako

shvatiti da im je matematika zbilja potrebna, upoznat ce se s njenom ljepotom i time koliko

je rasirena u svakodnevnom zivotu i radu svakog covjeka, te ce dobiti motivaciju za ucenje i

napredovanje na samom satu, sto je cilj svakog nastavnika.

42

Literatura

[1] A. Beckmann, B. Sriraman, Mathematics and Literature: Perspectives for interdis-

ciplinary classroom pedagogy, Proceedings of the 9th International History, Philosophy

and Science Teaching Group, Calgary, 2007.

[2] L. Carroll, Alisa u zemlji cudesa, dostupno na: http :

//sr.scribd.com/doc/82111827/CARROL− LEWIS− Alisa− u− zemlji− cudesa

[3] B. Cekrlija, Vremeplovom kroz matematiku, dostupno na: https :

//archive.org/stream/VremeplovomKrozMatematiku

[4] I. Drazic, Knjizevni tekst kao didakticko sredstvo, Matematika i skola, 38 (2009), 115–

119.

[5] J. Fauvel, J. V. Maanen, History in Mathematics Education, Kluwer Academic Pu-

blishers, Norwell, 2002.

[6] A. Gardas, Miron u skripcu, Alfa, Zagreb, 2002.

[7] I. Gusic, Matematicki rijecnik, Element, Zagreb, 1995.

[8] J. Gusic, Matematika u literaturi, math.e, Hrvatski matematicki elektronicki casopis, 1

(2004), 2 (2004), 6 (2006)

[9] P. Kanizaj, 3cave pjesme, Skolska knjiga, Zagreb, 2007.

[10] J. Klowss, Using History to Teach Mathematics, dostupno na: http :

//math.unipa.it/ grim/21project/Klowss328− 330.pdf

[11] I. Kusan, Koko i duhovi, Znanje, Zagreb, 2011.

[12] S. Lipsey, Mathematics in Literature, dostupno na: http :

//math.unipa.it/ grim/SiLipsey.PDF

[13] D. Marin, I. Maruna, A. Marin, Korelacija nastavnih sadrzaja geografije i mate-

matike u osnovnoj skoli, dostupno na: http : //www.gdst.hr/korelacija−nastavnih−sadrzaja− geografije− i− matematike− u− osnovnoj− skoli

[14] M. Miloloza, Vedska matematika, Osjecki matematicki list, 8 (2008), 19–28.

[15] J. K. Rowling, Harry Potter i Kamen mudraca, Algoritam, Zagreb, 2001.

[16] M. Sandberg, Charles Minard’s Flow Map of Napoleon’s Russian Campaign of 1812,

dostupno na: http : //datavizblog.com/2013/05/26/dataviz− history− charles−minards− flow− map−of− napoleons− russian− campaign− of−1812− part− 5/

43

[17] J. Shatzer, Connecting Children’s Literature and Mathematics, The Reading Teacher,

61 (2008), 649–653.

[18] Z. Sikic, Eratosten, Matka, 4 (1993), 14–16.

[19] S. Suljic, Primjena trigonometrije u geodeziji, Matematika i skola, 18 (2003), 109–112.

[20] J. R. R. Tolkien, Hobit, Algoritam, Zagreb, 2002.

[21] A. Vacaretu, Teaching and learning high school mathematics through an interdiscipli-

nary approach, dostupno na: http : //directorymathsed.net/download/Vacaretu.pdf

[22] J. Verne, Tajanstveni otok, Slobodna Dalmacija, Split, 2005.

44

Sazetak

U ovom radu opisan je interdisciplinarni pristup u nastavi matematike, kao i njegovi

pozitivni ucinci na ucenje. Na samom pocetku rada uvedeni su pojam i vrste korelacije.

Naglasena je sve veca potreba za koreliranjem predmeta u skoli kako bi se stvarala trajnija

znanja te su dani primjeri kako primijeniti korelaciju u nastavi. Rad se ponajvise osvrce na

korelaciju nastave matematike i knjizevnosti, kao jednog od umjetnickih podrucja. Navedena

je klasifikacija knjizevnih tekstova i primjeri implementiranja istih u nastavu matematike.

Zatim je prikazana korelacije matematike s povijescu, gdje je naglasak stavljen na korelaciju

sa samom povijescu matematike, ali su dani i primjeri kako poznati povijesni dogadaji mogu

nastavni sat uciniti uspjesnijim. Naposlijetku, rad opisuje korelaciju nastave matematike

s geografijom te s geodezijom, koja je izuzetno zanimljiva za primjenu u nastavi matema-

tike. Takoder, navedeni su primjeri kako sve spomenute predmete mozemo implementirati u

konkretne nastavne cjeline i jedinice u osnovnoj i srednjoj skoli.

45

Title and summary

Interdisciplinary approach in teaching mathematics. This paper describes an

interdisciplinary approach to teaching mathematics, as well as its positive effects on learning.

At the very beginning, work introduce the concept and types of correlation. It highlights

the growing need for correlating the school subjects to creating lasting knowledge, and

examples how to apply correlation in teaching. The paper mainly refer to the correlation

of mathematics and literature, as one of the artistic field. Work states the classification of

literary texts and examples of implementation of literature in teaching. Then it shows the

correlation of mathematics to history, where the emphasis is placed on the correlation with

the history of mathematics, but there are given examples of how well-known historical events

can make lessons more successful. Finally, the paper describes the correlation of mathematics

to geography and the land surveying, which is very interesting for use in the teaching of

mathematics. Also, it states examples of how all these subjects can be implemented in

specific teaching units in primary and secondary schools.

46

Zivotopis

Rodena sam u Zagrebu 27. prosinca 1991. godine. Upisala sam Osnovnu skolu Josipa

Lovretica u Otoku, tijekom cijeg sam pohadanja sudjelovala vise puta na natjecanjima iz

matematike te se tu razvila moja privrzenost matematici. U sedmom razredu sudjelovala

sam na drzavnom natjecanju iz matematike.

Nakon zavrsene osnovne skole upisala sam prirodoslovno-matematicki smjer Gimnazije M.

A. Reljkovica u Vinkovcima. 2010. godine upisala sam Sveucilisni preddiplomski studij

matematike na Odjelu za matematiku u Osijeku, te sam se tijekom trece godine studija

preusmjerila na Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike.