Univerzitet u Zenici Pedagoki fakultet Odsjek: Matematika i
informatika Sadraj sveske sa vjebi iz predmetaUvod u linearnu
algebru (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 Uvod u Matematiku
Simboli i oznake3 Skupovi i operacije sa skupovima (skroz ukratko)4
Neki posebni skupovi7 Operacije na skupovima13 Skupovi i operacije
na skupovima (drugi pristup)15 Sedmica broj 2 Uvod u Matematiku
Funkcije i binarne relacije (skroz ukratko)18 Relacije22 Funkcije24
Skupovi i relacije26 Sedmica broj 3 Uvod u Matematiku Osnovne
osobine skupa realnih brojeva i njegovi podskupovi 28 Matematika
indukcija35 Matematika indukcija (drugi pristup)43 Sedmica broj 4
Uvod u Matematiku Polinomi48 Polinomi (drugi pristup)52 Sedmica
broj 5 i 6 Uvod u linearnu algebru Matrice57 Matrice (drugi
pristup)59 Determinante69 Determinante (drugi pristup)73 Rang
matrice76 Sedmica broj 7 Uvod u Linearnu algebru Inverzna matrica79
Matrine jednaine80 Sedmica broj 8 i 9 Opta algebra Operacije i
algebarske strukture88 Grupoid, Polugrupa i Grupa88 Abelova grupa89
Prsten, tijelo i polje96 Operacije i algebarske strukture (drugi
pristup)103 Sedmica broj 10, 11 i 12 Uvod u Linearnu algebru
Sistemi linearnih jednaina106 Gaussov postupak106 Metoda
determinanti (Cramerova metoda)107 Kroneker-Kapelijeva metoda111
Homogeni sisemi linearnih jednaina114 Sistemi linearnih jednaina
(drugi pristup)115 Determinante i sistemi linearnih jednaina (drugi
pristup)125 Sedmica broj 13 i 14 Vektorski prostor Realni vektorski
prostor.133 Vektorski podprostori.134 Linearna zavisnost i
nezavisnost vektora.136 Baza i dimenzije. Raunanje sa bazama.138
Sedmica br. 15 Linearne transformacije Sopstveni (svojstveni)
vektori i sopstvene (svojstvene) vrijednosti matrice.142 Minimalni
polinom matrice.145 Dodatak A Neki zanimljivi zadaci i rjeenja na
engleskom jeziku iz oblasti: Neki specijalni skupovi, Operacije sa
skupovima; Funkcije, Osobine funkcija; Relacije;Matematika
indukcija; Matrice, Mnoenje matrica;148 Dodatak B Ispitni rokovi
Pet ispitnih rokova i njihova rjeenja iz 2011. godine172 Literatura
i zbirke za dodatno usavravanje: Milii, Uumli; Zbirka zadataka iz
vie matematike 1; Mitrinovi; Matematika u obliku metodike zbirke 1.
dio; Stojanovi; Zbirka zadataka iz matematike 1; Mitrinovi,
Mihajlovi, Vasi; Linearna algebra, Polinomi, Analitika geometrija;
Vasi i ostali; Zbirka zadataka iz algebre, prvi i drugi dio;
Mesihovi, Arslanagi; Zbirka rijeenih zadataka i problema iz
matematike sa osnovama teorije i ispitni zadaci; (ova stranica je
ostavljena prazna)(sveska je skinuta sa stranice
http://pf.unze.ba/nabokov/ za uoene greke, mane i primjedbe pisati
na [email protected]) 3456789101112131415161718192021222324252
SkuovI I reIacIjeIojam skupa jo osnovni pojam u malomalici pa so
zalo i no oolniso. OvajpojamoLjasnjavamonavoooci piimjoinokogskupai
ukazujuci napiavilanjogovo upolioLo u malomalici.Skupovo oznacavamo
volikim slovima lalinico . 1. C. .... A. 1. ... a olomonlonokog
skupa malim slovima lalinico c. /. c. .... r. . ....Za skupovo i 1
kazomo oa su joonaki ako su saslavljoni oo islih
olomonala.ZaskupkazomooajopooskupskupaLakosvaki
olomonlizskupaisloviomono piipaoa i skupu 1. 1o oznacavamo sa _
1.Opoiacijo sa skupovima oolnisomo sa: 1 = r : r . r 1 ' 1 = r : r
. r 11 = r : r . r, 1^1 = (1) ' (1) 1 = (c. /) : c . / 1Zadatak 2.1
1|n.n.:( ' 1)C= C 1C.Hjesenje:r ( ' 1)C== r, ' 1== | (r ' 1)== | (r
. r 1)== r, . r, 1== r C. r 1C== r C 1C.Zadatak 2.2 1|n.n.:1=
1C.Hjesenje:r 1== r . r, 1== r . r 1C== r 1C.Zadatak 2.3 1|n.n.( 1)
' C= ( ' C) (1 ' C) .Hjesenje:r ( 1) ' C== r 1 . r C== r . r 1 . r
C== r . r C . r 1 . r C== (r . r C) . (r 1 . r C)== r ' C . r 1 '
C== r ( ' C) (1 ' C) .Zadatak 2.4 1|n.n.:( 1) C= (C) (1C)
.Hjesenje:r ( 1) C== r 1 . r, C== r . r 1 . r, C== r . r, C . r 1 .
r, C== (r . r, C) . (r 1 . r, C)== r C . r 1C== r (C) (1C) .Zadatak
2.5 1|n.n.:(1) (C1) = ( C) (1 ' C) .Hjesenje:r (1) (C1)== r 1 . r
C1== r . r, 1 . r C . r, 1== r . r C . r, 1 . r, 1== (r . r C) .
(r, 1 . r, 1)== r C . r, 1 ' 1== r ( C) (1 ' C) .26Zadatak 2.6
1|n.n.:( 1) (C 1) = ( C) (1 1) .Hjesenje:(r. ) ( 1) (C 1)== r 1 . C
1== r . r 1 . C . 1== r . C . r 1 . 1== (r . C) . (r 1 . 1)== (r. )
C . (r. ) 1 1== (r. ) ( C) (1 1) .Zadatak 2.7 1n ] |&A= 1. 2.
3. 4 . An.n. :|n.] J]n.nn nj1=_(r. ) A2: r < _j2=_(r. ) A2: r _
_jS=_(r. ) A2: r_.Hjesenje:Kako joA2= A A= (1. 1) . (1. 2) . (1. 3)
. (1. 4) . (2. 1) . (2. 2) . (2. 3) . (2. 4) .(3. 1) . (3. 2) . (3.
3) . (3. 4) . (4. 1) . (4. 2) . (4. 3) . (4. 4)laoa joj1=_(r. ) A2:
r < _ == (1. 2) . (1. 3) . (1. 4) . (2. 3) . (2. 4) . (3. 4)
.j2=_(r. ) A2: r _ _ == (1. 1) . (1. 2) . (1. 3) . (1. 4) . (2. 2)
. (2. 3) . (2. 4) . (3. 3) . (3. 4) . (4. 4) .jS=_(r. ) A2: r_ ==
(2. 1) . (3. 1) . (3. 2) . (4. 1) . (4. 2) . (4. 3) .Zadatak 2.8
A|n ]A= 1. 2. 3 . An.n. |nn :|n.] J]n.nn nj =_(r. . .) AS: r _
._.Hjesenje:Kako joAS= A A A= (1. 1. 1) . (1. 1. 2) . (1. 1. 3) .
(1. 2. 1) . (1. 2. 2) .(1. 2. 3) . (1. 3. 1) . (1. 3. 2) . (1. 3.
3) (2. 1. 1) . (2. 1. 2) .(2. 1. 3) . (2. 2. 1) . (2. 2. 2) . (2.
2. 3) . (2. 3. 1) . (2. 3. 2) .(2. 3. 3) (3. 1. 1) . (3. 1. 2) .
(3. 1. 3) . (3. 2. 1) . (3. 2. 2) .(3. 2. 3) . (3. 3. 1) . (3. 3.
2) . (3. 3. 3)pa joj =_(r. . .) AS: r _ ._= (1. 1. 2) . (1. 1. 3) .
(1. 2. 3) .Zadatak 2.9 1 |&&J]n.nnn ] :|n.]nj =_(r. ) 2: r
= 2_.An.n. |nn :|n.]j.Hjesenje:Izr = 2r = 2 r = ( )vioimooa 1. 2.
3. 4 . joiupiolivnomxnoLi LiopiiiooanLioj.Saoa = 1 ==r = 20 = 2 ==r
= 1 = 3 ==r = 10 = 4 ==r = pa joj =_(r. ) 2: r = 2_ == (20. 1) .
(1. 2) . (10. ) . (. 4) .272829303132333435363738394041425
AatenatIcka IndukcIjaZadatak 5.1 1|n.n. Jn .n n|. :.:Jnn h:]:
:.]J.1 3 (2: 1) = :2.Hjesenje:1) Iiovjoiimo oa li joonakosl viijooi
za: = 1:/ = 21 1 = 2 1 = 1T = 12= 1Daklo, joonakosl viijooi za: =
1.2) Iiolposlavimo oa lvionja viijooi za: = /, lj. noka viijooi1 3
(2/ 1) = /2.8) Dokazimo oa lvionja viijooi i za: = / 1, lj. oa
viijooi1 3 (2 (/ 1) 1) = (/ 1)2.1|n.1 3 (2/ 1) (2 (/ 1) 1) = /2 (2
(/ 1) 1) == /2 2/ 1 = (/ 1)2.Daklo, joonakosl viijooi i za: = /
1.4) Joonakosl viijooi za svaki piiiooan Lioj:.Annnn: Joonakosl
kiaco mozomo zapisalia
I=1(2/ 1) = :2.Zadatak 5.2 1|n.n. Jn .n n|. :.:Jnn h:]: :.]J.1S
2S 3S :S=_:(: 1)2_2.Hjesenje:1) Iiovjoiimo oa li joonakosl viijooi
za: = 1:/ = 1S= 1T =_1(11)2_2= 12= 1Daklo, joonakosl viijooi za: =
1.2) Iiolposlavimo oa lvionja viijooi za: = /, lj. noka viijooi1S
2S 3S /S=_/ (/ 1)2_2.8) Dokazimo oa lvionja viijooi i za: = / 1,
lj. oa viijooi1S 2S 3S (/ 1)S=_(/ 1) ((/ 1) 1)2_21|n.:1S 2S 3S /S
(/ 1)S=_/ (/ 1)2_2 (/ 1)S==/2(/ 1)24 (/ 1)S==/2(/ 1)2 4 (/ 1)S4==(/
1)2(/2 4 (/ 1))4==(/ 1)2(/2 4/ 4)4==(/ 1)2(/ 2)24==_(/ 1) (/
2)2_2==_(/ 1) ((/ 1) 1)2_2.Daklo, joonakosl viijooi i za: = / 1.4)
Joonakosl viijooi za svaki piiiooan Lioj:.Annnn: Joonakosl kiaco
mozomo zapisalia
I=1/S=_:(: 1)2_2.Zadatak 5.3 1|n.n. Jn .n n|. :.:Jnn h:]:
:.]J.11313 1(2: 1)(2: 1)=:2: 1.43Hjesenje:1) Iiovjoiimo oa li
joonakosl viijooi za: = 1:/ =11S=1ST =1211=1SDaklo, joonakosl
viijooi za: = 1.2) Iiolposlavimo oa lvionja viijooi za: = /, lj.
noka viijooi11313 1(2/ 1)(2/ 1)=/2/ 1.8) Dokazimo oa lvionja
viijooi i za: = / 1, lj. oa viijooi11313 1(2 (/ 1) 1)(2 (/ 1) 1)=(/
1)2 (/ 1) 1.1|n.:11313 1(2/ 1)(2/ 1)1(2 (/ 1) 1)(2 (/ 1) 1)==/2/
11(2 (/ 1) 1)(2 (/ 1) 1)==/2/ 11(2/ 1)(2/ 3)=/ (2/ 3) 1(2/ 1)(2/
3)==2/2 3/ 1(2/ 1)(2/ 3)=(2/ 1)(/ 1)(2/ 1)(2/ 3)=(/ 1)(2/ 3)=(/ 1)2
(/ 1) 1.Daklo, joonakosl viijooi i za: = /
1.Ijosonjakvaoialnojoonacino2/2 3/ 1=0suLiojovi /1= 12i/2= 1. pa
jo2/2 3/ 1 = 2 _/ 12_ (/ 1) = (2/ 1)(/ 1) .4) Joonakosl viijooi za
svaki piiiooan Lioj:.Annnn: Joonakosl kiaco mozomo zapisalia
I=11(2/ 1)(2/ 1)=:2: 1.Zadatak 5.4 1|n.n. Jn .n n|. :.:Jnn h:]:
:.]J.1213223 :2(2: 1)(2: 1)=:(: 1)2 (2: 1).Hjesenje:1) Iiovjoiimo
oa li joonakosl viijooi za: = 1:/ =1
1S=1ST =1(11)2(211)=1SDaklo, joonakosl viijooi za: = 1.2)
Iiolposlavimo oa lvionja viijooi za: = /, lj. noka viijooi1213223
/2(2/ 1)(2/ 1)=/ (/ 1)2 (2/ 1).8) Dokazimo oa lvionja viijooi i za:
= / 1, lj. oa viijooi1213223 (/ 1)2(2 (/ 1) 1)(2 (/ 1) 1)=(/ 1) ((/
1) 1)2 (2 (/ 1) 1).1|n.:1213223 /2(2/ 1)(2/ 1)(/ 1)2(2 (/ 1) 1)(2
(/ 1) 1)==/ (/ 1)2 (2/ 1)(/ 1)2(2 (/ 1) 1) (2 (/ 1) 1)==/ (/ 1)2
(2/ 1)(/ 1)2(2/ 1) (2/ 3)==/ (/ 1) (2/ 3) 2 (/ 1)22 (2/ 1) (2/
3)=(/ 1) (/ (2/ 3) 2 (/ 1))2 (2/ 1) (2/ 3)==(/ 1) (2/2 3/ 2/ 2)2
(2/ 1) (2/ 3)=(/ 1) (2/2 / 2)2 (2/ 1) (2/ 3)==(/ 1) (/ 2) (2/ 1)2
(2/ 1) (2/ 3)=(/ 1) (/ 2)2 (2/ 3)=(/ 1) ((/ 1) 1)2 (2 (/ 1)
1).Daklo, joonakosl viijooi i za: = /
1.Ijosonjakvaoialnojoonacino2/2 / 1=0suLiojovi /1= 12i/2= 2. pa
jo2/2 / 1 = 2 _/ 12_ (/ 2) = (2/ 1)(/ 2) .4) Joonakosl viijooi za
svaki piiiooan Lioj:.Annnn: Joonakosl kiaco mozomo zapisalia
I=1/2(2/ 1)(2/ 1)=:(: 1)2 (2: 1).44Zadatak 5.5 1|n.n. Jn .n n|.
:.:Jnn h:]: :.]J.3430 2: 1:2(: 1)2= 1 1(: 1)2.Hjesenje:1)
Iiovjoiimo oa li joonakosl viijooi za: = 1:/ =2111
(11)
=S1T = 1 1(11)
= 1 11=S1.Daklo, joonakosl viijooi za: = 1.2) Iiolposlavimo oa
lvionja viijooi za: = /, lj. noka viijooi3430 2/ 1/2(/ 1)2= 1 1(/
1)2.8) Dokazimo oa lvionja viijooi i za: = / 1, lj. oa viijooi3430
2 (/ 1) 1(/ 1)2((/ 1) 1)2= 1 1((/ 1) 1)2.1|n.:3430 2/ 1/2(/ 1)22 (/
1) 1(/ 1)2((/ 1) 1)2== 1 1(/ 1)22 (/ 1) 1(/ 1)2((/ 1) 1)2== 1 1(/
1)22/ 3(/ 1)2(/ 2)2== 1 (/ 2)2(2/ 3)(/ 1)2(/ 2)2= 1 /2 4/ 4 2/ 3(/
1)2(/ 2)2== 1 /2 2/ 1(/ 1)2(/ 2)2= 1 (/ 1)2(/ 1)2(/ 2)2== 1 1(/
2)2= 1 1((/ 1) 1)2.Daklo, joonakosl viijooi i za: = / 1.4)
Joonakosl viijooi za svaki piiiooan Lioj:.Annnn: Joonakosl kiaco
mozomo zapisalia
I=12/ 1/2(/ 1)2= 1 1(: 1)2.Zadatak 5.6 1|n.n. Jn .n n|. :.:Jnn
h:]: :.]J.121223 2:2 2: 1:(: 1)=:(2: 3): 1.Hjesenje:1) Iiovjoiimo
oa li joonakosl viijooi za: = 1:/ =12=2T =1(21S)11=2Daklo,
joonakosl viijooi za: = 1.2) Iiolposlavimo oa lvionja viijooi za: =
/, lj. noka viijooi121223 2/2 2/ 1/(/ 1)=/ (2/ 3)/ 1.8) Dokazimo oa
lvionja viijooi i za: = / 1, lj. oa viijooi121223 2 (/ 1)2 2 (/ 1)
1(/ 1)((/ 1) 1)=(/ 1) (2 (/ 1) 3)(/ 1) 11|n.:121223 2/2 2/ 1/(/ 1)2
(/ 1)2 2 (/ 1) 1(/ 1)((/ 1) 1)=45=/ (2/ 3)/ 12 (/ 1)2 2 (/ 1) 1(/
1)((/ 1) 1)==/ (2/ 3)/ 12 (/2 2/ 1) 2 (/ 1) 1(/ 1)(/ 2)==2/2 3//
12/2 4/ 2 2/ 2 1(/ 1)(/ 2)==2/2 3// 12/2 0/ (/ 1)(/ 2)==(2/2 3/) (/
2) 2/2 0/ (/ 1)(/ 2)==2/S 4/2 3/2 0/ 2/2 0/ (/ 1)(/ 2)==2/S 9/2 12/
(/ 1)(/ 2)=2/S 2/2 7/2 7/ / (/ 1)(/ 2)==2/2(/ 1) 7/ (/ 1) (/ 1)(/
1)(/ 2)==(2/2 7/ )(/ 1)(/ 1)(/ 2)=2/2 7/ / 2==2/2 2/ / / 2=(/ 1)
(2/ )/ 2==(/ 1) (2 (/ 1) 3)(/ 1) 1Daklo, joonakosl viijooi i za: =
/ 1.4) Joonakosl viijooi za svaki piiiooan Lioj:.Annnn: Joonakosl
kiaco mozomo zapisalia
I=12/2 2/ 1/(/ 1)=:(2: 3): 1.Zadatak 5.7 1|n.n. Jn .n n|. :.:Jnn
h:]: :.]J.17 [ aS 11Sa1.Hjesenje:1) Iiovjoiimo oa li joonakosl
viijooi za: = 1:1S 11S11= 1 111= 02 14041 = 1200 = 17898Daklo,
joonakosl viijooi za: = 1.2) Iiolposlavimo oa lvionja viijooi za: =
/, lj. noka viijooi17 [ IS 11SI1==IS 11SI1= 17.8) Dokazimo oa
lvionja viijooi i za: = / 1, lj. oa viijooi17 [ (I1)S
11S(I1)11|n.:(I1)S 11S(I1)1= I1 11SI1= IS 11SI1 11S== IS 11SI1 1331
== IS 11SI1 (1320 ) == IS 11SI1 11SI1 1320 == _IS 11SI1_ 11SI1 1320
== 17 11SI1 1778 == 17_ 11SI1 78_ = 171.gojo jo1= 11SI1 78.Daklo,
joonakosl viijooi i za: = / 1.4) Joonakosl viijooi za svaki
piiiooan Lioj:.Zadatak 5.8 1|n.n. Jn .n n|. :.:Jnn h:]: :.]J.19 [
72a 120a.Hjesenje:1) Iiovjoiimo oa li joonakosl viijooi za: = 1:721
1201= 72 120 = 17 72 = 247 = 1913.Daklo, joonakosl viijooi za: =
1.2) Iiolposlavimo oa lvionja viijooi za: = /, lj. noka viijooi19 [
72a 120a==72a 120a= 19.8) Dokazimo oa lvionja viijooi i za: = / 1,
lj. oa viijooi19 [ 72(a1) 120(a1)461|n.:72(a1) 120(a1)= 72a2 120a1=
72a 2 120a 0 == 72a (19 0) 120a 0 == 72a 19 72a 0 120a 0 == 72a 19
0 _72a 120a_ == 72a 19 019 = 19_72a 0_ = 191.gojo jo1= 72a 0.Daklo,
joonakosl viijooi i za: = / 1.4) Joonakosl viijooi za svaki
piiiooan Lioj:.Zadatak 5.9 1|n.n. Jn .n n|. :.:Jnn h:]: :.]J.sin r
sin 3r sin r sin (2: 1) r =sin2:rsin r.Hjesenje:1) Iiovjoiimo oa li
joonakosl viijooi za: = 1:/ = sin rT =sin
asin a= sin rDaklo, joonakosl viijooi za: = 1.2) Iiolposlavimo
oa lvionja viijooi za: = /, lj. noka viijooisin r sin 3r sin r sin
(2/ 1) r =sin2/rsin r.8) Dokazimo oa lvionja viijooi i za: = / 1,
lj. oa viijooisin r sin 3r sin r sin (2 (/ 1) 1) r =sin2(/ 1) rsin
r1|n.:sin r sin 3r sin r sin (2/ 1) r sin (2 (/ 1) 1) r ==sin2/rsin
r sin (2/ 1) r =sin2/r sin rsin (2/ 1) rsin r==sin2/r 12 [cos 2/r
cos (2/r 2r)[sin r==2 sin
Iacos 2Iacos(2Ia2a)2sin r=2 sin2/r cos 2/r cos 2 (/ 1) r2 sin
r==2 sin2/r cos2/r sin2/r cos2(/ 1) r sin2(/ 1) r2 sin r==sin2/r
cos2/r cos2(/ 1) r sin2(/ 1) r2 sin r==1 cos2(/ 1) r sin2(/ 1) r2
sin r=sin2(/ 1) r sin2(/ 1) r2 sin r==2 sin2(/ 1) r2 sin r=sin2(/
1) rsin r.Daklo, joonakosl viijooi i za: = / 1.4) Joonakosl viijooi
za svaki piiiooan Lioj:.Annnn: Joonakosl kiaco mozomo zapisalia
I=1sin (2/ 1) r =sin2:rsin r.47484950(Zadacisuskinutisastranice:
\pf.unze.ba\[email protected])51Zadaci
posueni iz knjige:Zbirka rijeenih zadataka i problema iz
Matematikesa osnovama teorije i ispitni zadaci;Behdet A. Mesihovi,
efket Z. Arslanagi;525354555657588 AatrIce. OeracIje sa
natrIcana.Zadatak 8.1 1n & nn:. =__2 4 3 2 01 1 7__i 1=__1 1 03
0 4 2 10__.1.:n`&nn. nn:. 1. 1. 1.Hjesenje: Maliico i 1 su
foimala 33 pa su moguco liazono opoiacijonao njima. 1 =__2 4 3 2 01
1 7____1 1 03 0 4 2 10__ =__3 3 110 2 100 3 17__ 1 =__2 4 3 2 01 1
7____1 1 03 0 4 2 10__ =__1 10 2 24 1 3__1 =__2 4 3 2 01 1 7__
__1 1 03 0 4 2 10__ =__39 8 7839 9 8039 13 80__.Zadatak 8.2 1nn
] nn:.n =_1 23 1_1.:n`&nn.1() = 32 21. jJ] ]1 ]J.n.`nn
nn:.n.Hjesenje:1() = 32 21== 3_1 23 1_
_1 23 1__1 23 1_2_1 00 1_ == 3_7 40 7__1 23 1_2_1 00 1_ ==_21
1218 21__ 101 __2 00 2_ =_14 23 14_.Zadatak 8.3 1n ] |.nn1(r) = 2r
r23 . nn:.n =__4 1 20 1 30 0 2__1.:n`&nn.1().Hjesenje:Jasno jo
oa viijooi 1() = 2231, gojo jo 1 jooninicna maliica.Iivo como
iziacunali invoiznu maliicu maliico po foimuli1=1oci cd,.Imamooci
=4 1 20 1 30 0 2=4 1 20 1 30 0 24 10 10 0= 8.Kofakloii maliico
su:11=1 30 2 = 2 12= 0 30 2 = 0 1S=0 10 0 = 021= 1 20 2 = 2 22=4 20
2 = 8 2S= 4 10 0 = 0S1=1 21 3 = S2= 4 20 3 = 12 SS=4 10 1 = 4pa jo
aojungovana maliica maliicocd, =__2 2 0 8 120 0 4__.Saoa jo1= 18__2
2 0 8 120 0 4__ =__1111S0 1S20 012__i2= 1 1=__1111S0 1S20 012__
__1111S0 1S20 012__ ==__116S16SS20 1 S10 011__.59Konacno, imamo
oa jo1() = 2 231== 2__4 1 20 1 30 0 2____116S16SS20 1 S10 011__3__1
0 00 1 00 0 1__ ==__8 2 40 2 00 0 4____116S16SS20 1 S10 011____3 0
00 3 00 0 3__ ==__7916S161S1S20 02710 0S1__.Zadatak 8.4 1n ]
|.nn1(r) = 2 3r r2. nn:.n =__1 1 20 2 10 0
3__1.:n`&nn.1().Hjesenje:Jasno jo oa viijooi 1() = 2132, gojo
jo 1 jooninicna maliica.Iivo como iziacunali invoiznu maliicu
maliico po foimuli1=1oci cd,.Imamooci =1 1 20 2 10 0 3=1 1 20 2 10
0 31 10 20 0= 0.Kofakloii maliico su:11=2 10 3 = 0 12= 0 10 3 = 0
1S=0 20 0 = 021= 1 20 3 = 3 22=1 20 3 = 3 2S= 1 10 0 = 0S1=1 22 1 =
3 S2= 1 20 1 = 1 SS=1 10 2 = 2pa jo aojungovana maliica maliicocd,
=__0 3 30 3 10 0 2__.Saoa jo1= 10__0 3 30 3 10 0 2__ =__11212012160
0 1S__i2= 1 1=__11212012160 0 1S__
__11212012160 0 1S__ ==__1S1110111S60 019__.Konacno, imamo oa
jo1() = 21 3 2== 2__1 0 00 1 00 0 1__ 3__1 1 20 2 10 0
3____1S1110111S60 019__ ==__2 0 00 2 00 0 2____3 3 00 0 30 0
9____1S1110111S60 019__ ==__2 91210171109S60 0 9S9__.Zadatak 8.5
1|n.n. Jn .n nn:.&(r) =_cos r sin rsin r cos r_:.]J.(t)(:) = (t
:). t. : .Hjesenje:60Kako jo(t) =_cos t sin tsin t cos t_i (r)
=_cos : sin :sin : cos :_laoa jo(t)(:) =_cos t sin tsin t cos
t_
_cos : sin :sin : cos :_ ==_cos tcos : sin tsin : cos tsin : sin
tcos :sin tcos : cos tsin : sin tsin : cos tcos :_ ==_cos tcos :
sin tsin : (cos tsin : sin tcos :)sin tcos : cos tsin : cos tcos :
sin tsin :_ ==_cos (t :) sin (t :)sin (t :) cos (t :)_ = (t
:).Zadatak 8.6 1n & nn:. =__2 0 14 3 21 1 1__i 1=__0 1 14 2 31
0 1__.1.:n`&nn. nn:.1= 11221 .Q = 231111. jJ] ]1 ]J.n.`nn
nn:.n.Hjesenje:Iziacunajmo invoiznu maliicu maliico po
foimuli1=1oci cd,.Imamooci =2 0 14 3 21 1 1=2 0 14 3 21 1 12 04 31
1== (0 0 4) (3 4 0) = 2 1 = 1.Kofakloii maliico su11=3 21 1 = 1 12=
4 21 1 = 2 1S=4 31 1 = 121= 0 11 1 = 1 22=2 11 1 = 3 2S= 2 01 1 =
2S1=0 13 2 = 3 S2= 2 14 2 = 8 SS=2 04 3 = 0pa jo aojungovana
maliicacd, =__1 1 32 3 81 2 0__Invoizna maliica maliico jo1=11__1 1
32 3 81 2 0__ =__1 1 32 3 81 2 0__.Iziacunajmo invoiznu maliicu
maliico1po foimuli11=1oci 1cd,1.Imamooci 1 =0 1 14 2 31 0 1=0 1 14
2 31 0 10 14 21 0== (0 3 0) (2 0 4) = 3 2 = .Kofakloii
maliico1su111=2 30 1 = 2 112= 4 31 1 = 7 11S=4 21 0 = 2121= 1 10 1
= 1 122=0 11 1 = 1 12S= 0 11 0 = 11S1=1 12 3 = 1 1S2= 0 14 3 = 4
1SS=0 14 2 = 4pa jo aojungovana maliicacd,1=__2 1 17 1 42 1
4__Invoizna maliica maliico1jo11=1__2 1 17 1 42 1 4__
=__211711211__.61Iziacunajmo maliicu22= 1 1=__1 1 32 3 81 2 0__
__1 1 32 3 81 2 0__ ==__0 10 2910 27 7811 19 __.Saoa jo1 = 11 2
21==__2 0 14 3 21 1 1__
__211711211____0 10 2910 27 7811 19 ____2 0 00 2 00 0
2__=__SS19117111SSS2S912S6__iQ = 2 311 11== 2 __2 0 14 3 21 1 1__3
__211711211____1 1 32 3 81 2 0__
__0 1 14 2 31 0 1__=__4 0 28 0 42 2 2____6SS21S126S12____1 1 4 4
12 3 11__ ==__21SSSS9SSS6SSS__.Zadatak 8.7 1.].. nn:.`n&
]Jnn`.n&A ( 1) = 2 1jJ] ] =__1 1 20 2 10 0 3__.1 ]J.n.`nn
nn:.n.Hjesenje:Noka jo1 = 1=__1 1 20 2 10 0 3____1 0 00 1 00 0 1__
=__2 1 20 3 10 0 2__Q = 2 1=__2 2 40 4 20 0 0____1 0 00 1 00 0 1__
=__1 2 40 3 20 0 7__.Saoa maliicna joonacina ima oLlikA1= Qkoja so
ijosava na sljoooci nacinA1 = Q ,11A111= Q11A1 = Q11pa jo ijosonjo
maliicaA= Q11.Iziacunajmo maliicu11po foimuli11=1oci
1cd,1Doloiminanla maliico1jooci 1=2 1 20 3 10 0 2= 12a kofakloii
maliico1su111=3 10 2 = 0 112= 0 10 2 = 0 11S=0 30 0 = 0121= 1 20 2
= 2 122=2 20 2 = 4 12S= 2 110 0 = 01S1=1 23 1 = 7 1S2= 2 20 1 = 2
1SS=2 10 3 = 062pa jocd,1=__0 2 70 4 20 0 0__.Daklo,11=112__0 2 70
4 20 0 0__ =__121671201S160 0 12__.Ijosonjo maliicno joonacino jo
maliicaA = Q11=__1 2 40 3 20 0 7__
__121671201S160 0 12__ ==__1212710 1 120 072__.Zadatak 8.8 1.]..
nn:.`n& ]Jnn`.n&A (2 31) = 21 jJ] ] =__1 1 20 2 10 0 3__.1
]J.n.`nn nn:.n.Noka jo1 = 2 31=__2 2 40 4 20 0 0____3 0 00 3 00 0
3__ =__1 2 40 1 20 0 9__Q = 21 =__2 0 00 2 00 0 2____1 1 20 2 10 0
3__ =__1 1 20 0 10 0 __.Saoa maliicna joonacina ima oLlikA1= Qkoja
so ijosava na sljoooci nacinA1 = Q ,11A111= Q11A1 = Q11pa jo
ijosonjo maliicaA= Q11.Iziacunajmo maliicu11po foimuli11=1oci
1cd,1Doloiminanla maliico1jooci 1=1 2 40 1 20 0 9= 9a kofakloii
maliico1su111=1 20 9 = 9 112= 0 20 9 = 0 11S=0 10 0 = 0121= 2 40 9
= 18 122=1 40 9 = 9 12S= 1 20 0 =1S1=2 41 2 = 0 1S2= 1 40 2 = 2
1SS=1 20 1 = pa jocd,1=__9 18 00 9 20 0 1__.Daklo,11=19__9 18 00 9
20 0 1__ =__1 2 00 1290 0 19__.Ijosonjo maliicno joonacino jo
maliicaA = Q11=__1 1 20 0 10 0 __
__1 2 00 1290 0 19__ ==__1 1 00 0190 0 9__.63Zadatak 8.9 1.]..
nn:.`n& ]Jnn`.n&( 21) A= 2 1 1n| ] =__1 1 20 2 10 0 3__i
1=__2 1 10 2 10 0 3__.1 ]J.n.`nn nn:.n.Hjesenje:Noka jo1 = 21=__1 1
20 2 10 0 3__2 __2 1 10 2 10 0 3__ ==__1 1 20 2 10 0 3____4 2 20 4
20 0 0__ =__3 1 40 2 10 0 9__Q = 2 1 1= 2 __1 1 20 2 10 0 3____2 1
10 2 10 0 3____1 0 00 1 00 0 1__ ==__2 2 40 4 20 0 0____2 1 10 2 10
0 3____1 0 00 1 00 0 1__ =__1 1 0 3 10 0 8__.Saoa maliicna
joonacina ima oLlik1A= Qkoja so ijosava na sljoooci nacin11 , 1A =
Q ,11111A = 11Q1A = 11Qpa jo ijosonjo maliicaA= 11Q.Iziacunajmo
maliicu11po foimuli11=1oci 1cd,1Doloiminanla maliico1jooci 1=3 1 40
2 10 0 9= 4a kofakloii maliico1su111=2 10 9 = 18 112= 0 10 9 = 0
11S=0 20 0 = 0121= 1 40 9 = 9 122=3 40 9 = 27 12S= 3 10 0 = 01S1=1
42 1 = 9 1S2= 3 40 1 = 3 1SS=3 10 2 = 0pa jocd,1=__18 9 90 27 30 0
0__.Daklo,11=14__18 9 90 27 30 0 0__ =__1S16160 1211S0 0
19__.Ijosonjo maliicno joonacino jo maliicaA = 11Q =__1S16160
1211S0 0 19__
__1 1 0 3 10 0 8__ ==__1S16160 S2110 0S9__.Zadatak 8.10 1.]..
nn:.`n& ]Jnn`.n&A1= A1n| ] =_ 2 11 2_.Hjesenje:Maliicna
joonacinaA1= A164jo okvivalonlna joonaciniA= 1joiA1= A1A1 A1= ( 1)
A1= ,A( 1) A1A = A 1 = A.Noka jo1= 1=_ 2 11 2__1 00 1_ =_ 1 11
3_.Saoa maliica joonacina ima oLlikA= 1koja so ijosava na sljoooci
nacin1 , A = 11A = 11A = 11.Invoizna maliica maliico jo
maliica1=13_2 11 2_ =_ 2S1S1S2S_pa jo ijosonjo maliicno joonacino
maliicaA= 11=_ 2S1S1S2S_
_ 1 11 3_ =_1S1S1SS_.Zadatak 8.11 `n:.& =__3 2 14 3 21 0
4__:Jn.. |n .h.: ]Jn .n:.`n . ]Jn nn..n:.`n nn:..Hjesenje:Kvaoialna
maliica jo simoliicna ako su joj olomonli simoliicni u oonosuna
glavnu oijagonalu, lj. ako joci)= c)ii viijooiS=12_
T_.Kvaoialnamaliicajoanlisimoliicnaakojojoonakasvojoj
nogalivnojliansponovanoj maliici i viijooi1=12_ T_.Kako joT=__3 4
12 3 01 2 4__onoa joS=12_ T_ =12____3 2 14 3 21 0 4____3 4 12 3 01
2 4____ =__3 3 13 3 11 1 4__I=12_ T_ =12____3 2 14 3 21 0 4____3 4
12 3 01 2 4____ =__0 1 01 0 10 1 0__.Zadatak 8.12 OJ:J.. :nnj nn:.
=__4 3 22 1 31 1 1112__.Hjesenje: =__4 3 22 1 31 1 1112__~__1 1 12
1 34 3 2211__~__1 1 10 3 10 7 2237__\1j:cji:c:c2\1 \24\1\S~__1 1 10
3 10 0 13230__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c7\23\S65Daklo,:c:q = 3.Zadatak
8.13 OJ:J.. :nnj nn:. =__3 2 11 1 32 1 2231__.Hjesenje: =__3 2 11 1
32 1 2231__~__1 1 32 1 23 2 1312__~__1 1 30 1 80 1
8377__\1j:cji:c:c2\1 \23\1 \S~__1 1 30 1 80 0
0370__.\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\2\SDaklo,:c:q = 2.Zadatak 8.14 OJ:J..
:nnj nn:. =__2 1 3 11 1 1 11 2 3 11 1 2 24342__.Hjesenje: =__2 1 3
11 1 1 11 2 3 11 1 2 24342__~__1 1 1 11 1 2 21 2 3 12 1 3
13244__~__1 1 1 10 0 1 30 3 2 00 3 1 13112__\1j:cji:c:c\1\2\1
\S2\1\1~__1 1 1 10 3 2 00 3 1 10 0 1 33121__~__1 1 1 10 3 2 00 0 1
10 0 1 33131__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\1 \S\1j:cji:c:c~__1 1 1 10 3 2
00 0 1 10 0 0
43134__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\Sj:cji:c:c\S\1Daklo,:c:q = 4.Zadatak
8.15 OJ:J.. :nnj nn:. =__2 3 4 11 1 1 31 3 2 23 4
42420__.66Hjesenje: =__2 3 4 11 1 1 31 3 2 23 4 42420__~__1 1 1 31
3 2 22 3 4 13 4 44220__~__1 1 1 30 4 3 0 1 2 0 1 2
4000__\1j:cji:c:c\1 \22\1\S3\1\1~__1 1 1 30 4 3 0 0 20 0 0
040300__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\2 4\S\S\1Daklo,:c:q = 3.Zadatak 8.16
OJ:J.. :nnj nn:. =__2 1 1 31 1 3 12 3 1 13 2 4 21433__.Hjesenje:
=__2 1 1 31 1 3 12 3 1 13 2 4 21433__~__1 1 3 12 1 1 32 3 1 13 2 4
24133__~__1 1 3 10 1 0 7 30 1 499__\1j:cji:c:c2\1\22\1 \S3\1\1~__1
1 3 10 1 0 0 18 220 0 0
049400__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\2\S\2\SDaklo,:c:q = 3.Zadatak 8.17 1
.n.n. J :n|nj n:nn:n` J:J.. :nnj nn:. =__` 1 11 ` 11 1
`__.Hjesenje: =__` 1 11 ` 11 1 `__~__1 1 `1 ` 1` 1 1__67~__1 1 `0 `
1 1 `0 1 ` 1 `2__\1j:cji:c:c\2\1\S`\1~__1 1 `0 ` 1 1 `0 0 2 `
`2__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\S \2=__1 1 `0 ` 1 1 `0 0 (1 `) (2
`)__Diskusija:1. ako jo` = 1 laoa jo:c:q = 1 joi jo =__1 1 10 0 00
0 0__2. ako jo` = 2 laoa jo:c:q = 2 joi jo =__1 1 10 3 30 0 0__8.
ako jo` ,= 1 i` ,= 2 laoa jo:c:q = 3.Zadatak 8.18 1 .n.n. J :n|nj
n:nn:n` J:J.. :nnj nn:. =__1 1 4 34 10 1 `7 17 3 12 4 3
2__.Hjesenje: =__1 1 4 34 10 1 `7 17 3 12 4 3 2__~__1 1 4 30 0 1 `
120 10 2 200 2 4__\1j:cji:c:c\24\1\S7\1\12\1~__1 1 4 30 2 40 0 1 `
120 10 2 20__~__1 1 4 30 2 40 0 0 `0 0 0
0__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\S3\2\1\2Diskusija:1. ako jo` = 0 laoa
jo:c:q = 2.2. ako jo` ,= 0 laoa jo:c:q = 3.68697071727
DeternInanteDoloiminanlo oiugog iooa iacunamo po foimulic c/ d = cd
/c.Zadatak 7.1 1.:n`&nn.1 13 4.Hjesenje:1 13 4 = 14 31 = 4 3 =
1.Zadatak 7.2 1.:n`&nn.2 13 4.Hjesenje:2 13 4 = 24 3(1) = 8 3 =
.Doloiminanlo liocog iooa iacunamo na ova nacina: Saiusovim
piavilomili LaIlasovim iazvojom ooloiminanlo po ooaLianoj visli ili
koloni (piilikomLaIlasovog iazvoja ooloiminanlo vooma jo povoljno
ooaLiali vislu ili kolonukoja ima nulo i po njoj izvisili
iazvoj).Zadatak 7.3 1.:n`&nn.1 2 34 1 22 0 1.Hjesenje:1:. nn`.n
- 5n:& :n.|1 2 34 1 22 0 1=1 2 34 1 22 0 11 24 12 0== (1 8 72)
(0 12 8) = 9.1:&j. nn`.n - 1n1|n :n.] (npi. po pivoj visli)1 2
34 1 22 0 1= 11 20 1(2)4 22 1 34 12 0 == 1 (1 12) 2 (4 4) 3 (24 2)
== 13 10 00 = 9.Doloiminanlo colvilog ivocog iooa iacunamo
LaIlasovim iazvojom oo-loiminanlo po ooaLianoj visli ili koloni, i
limo ioo ooloiminanlo smanjujomoza jooan.Zadatak 7.4 1.:n`&nn.4
2 3 02 0 31 2 4 23 1 1 1.Hjesenje:Izvisimo LaIlasov iazvoj ovo
ooloiminanlo po pivoj visli4 2 3 02 0 31 2 4 23 1 1 1= 40 32 4 21 1
122 31 4 23 1 132 0 31 2 23 1 102 0 1 2 43 1 1= 4(18) 2(20) 31 0 =
2Zadatak 7.5 1.:n`&nn. J:n.nnn&c / c // c c /c / c c/ c /
c.Hjesenje:73Koiisloci osoLino ooloiminanli, ooLijamoc / c // c c
/c / c c/ c / c=c / / c / // c c c / /c / / 0 c/ c c / c
cCdj:c/o|o:codn.c|id:nqn.Cdt:c cc/o|o:codn.c|i cct:tn.1:nqni
cct:tn/o|o:nj:cji:c|i.=c / / c / /(c /) c c / /c / / 0 c(c /) c (c
/) c1.j:cit:c cc/o|o:ci.|c ci:o.c,cd:i c/i)c/to: (c /) .= (c /)21 /
1 /1 c 1 /1 / 0 c1 c 1 cCdd:nqc/o|o:codn.:i:o cct:tn.= (c /)21 0 1
/1 c / 1 /1 (c /) 0 c1 0 1 c1.d:nqc/o|o:ci.|c ci:)c/to: (c /) .= (c
/)S1 0 1 /1 1 1 /1 1 0 c1 0 1 c1c.o,jod:nqo,/o|o:i= (c /)S__1 1 /1
0 c1 1 c1 1 /1 1 /1 1 c__= (c /)S(c / c c c / / / c /) == (c /)S(c
/) .Zadatak 7.6 1.:n`&nn. J:n.nnn&1 c c21 / /21 c
c2.Hjesenje:Koiisloci osoLino ooloiminanli, ooLijamo1 c c21 / /21 c
c2=1 c c20 / c /2c20 c c c2c2Cdd:nqc::tcodn.:i:oj:nCdt:c
cc::tcodn.:i:oj:n=/ c /2c2c c c2c21c.o,joj:o,/o|o:i=/ c (/ c) (/
c)c c (c c) (c c)= (/ c) (/ c)1 / c1 c c1.|c ci:o)c/to:c (/ c) i(/
c)= (/ c) (/ c) (c c).Zadatak 7.7 1|n.n.c2(c 1)2(c 2)2/2(/ 1)2(/
2)2c2(c 1)2(c 2)2= 4 (c /) (/ c) (c c)
.Hjesenje:Mnozonjomolomonalapivokolonosa 1i oooavanjomoiugoj i
liocojkoloni, ooLijamoc2(c 1)2(c 2)2/2(/ 1)2(/ 2)2c2(c 1)2(c
2)2=c22c 1 4c 4/22/ 1 4/ 4c22c 1 4c 4== 4 c22c 1 c 1/22/ 1 / 1c22c
1 c 1== 4 c2c c 1/2/ / 1c2c c 1=74= 4 c2c 1/2/ 1c2c 1== 4 c2c
1/2c2/ c 0c2c2c c 0== 4 c2c 1(/ c) (/ c) / c 0(/ c) (/ c) c c 0== 4
(/ c) (/ c)c2c 1/ c 1 0/ c 1 0== 4 (/ c) (/ c)/ c 1/ c 1 == 4 (c /)
(/ c) (c c) .757677(Zadacisuskinutisastranice:
\pf.unze.ba\[email protected])78798081828384858687888990919293949596979899100101(Zadacisuskinutisastranice:
\pf.unze.ba\[email protected])102103104105106107108109110111112113(Zadacisuskinutisastranice:
\pf.unze.ba\[email protected])1149
SIstenI IInearnIL jednacInaZadatak 9.1 1.n. nj|nn . :.].. .n4r 3
2.= 12r 3.= 1r .= 2___.Hjesenje:Maliica koolcijonala i piosiiona
maliica ovog sisloma jo =__4 3 22 1 31 1 1__j=__4 3 22 1 31 1
1112__.Ooiooimo iang piosiiono maliico:j=__4 3 22 1 31 1 1112__~__1
1 12 1 34 3 2211__~__1 1 10 3 10 7 2237__\1j:cji:c:c2\1 \24\1\S~__1
1 10 3 10 0 13230__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c7\23\SOoavojo vioimo oa jo
:c:q () = 3 i :c:q (j) = 3 pa jo sislom saglasan.Foimiiajmo novi
sislomr .= 23 .= 313.= 0___.Iz lioco joonacino vioimo oa jo .= 0 i
ako lo uvislimo u oiugu joonacinuooLicomo3 0 = 33 = 3 ===
1.Uvislavajuci.= 0 i= 1 u pivu joonacinu, ooLijamor 1 0 = 2r 1 = 2
==r = 2.Ijosonjo sisloma jo(r. . .) = (1. 1. 0) .Zadatak 9.2 1.n.
nj|nn . :.].. .n3r 2 .= 2r 3.= 32r 2.= 1___.Hjesenje:Maliica
koolcijonala i piosiiona maliica ovog sisloma jo =__3 2 11 1 32 1
2__j=__3 2 11 1 32 1 2231__.Ooiooimo iang piosiiono maliico:j=__3 2
11 1 32 1 2231__~__1 1 32 1 23 2 1312__~__1 1 30 1 80 1
8377__\1j:cji:c:c2\1 \23\1 \S~__1 1 30 1 80 0
0370__.\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\2\SOoavojo vioimo oa jo :c:q () = 2 i
:c:q (j) = 2 pa jo sislom saglasan.Foimiiajmo novi sislomr 3.= 3
8.= 7_.115Ovaj sislom ima lii nopoznalo a ovijo joonacino. Zalo
joonu nopoznaluLiiamo pioizvoljno.Noka jo, iocimo,.= c gojo joc
.Ako.= c uvislimo u oiugu joonacinu, ooLijamo 8c = 7 === 7 8c.Ako=
7 8c i.= c uvislimo u pivu joonacinu, ooLijamor 7 8c 3c = 3r 7 c =
3r = 4 c==r = 4 cIjosonjo sisloma jo(r. . .) = (4 c. 7 8c. c) . c
.Zadatak 9.3 1.n. nj|nn . :.].. .n2r 3. t = 4r . t = 3r 2 3. t = 4r
2. 2t = 3___.Hjesenje:Maliica koolcijonala i piosiiona maliica ovog
sisloma jo =__2 1 3 11 1 1 11 2 3 11 1 2 2__j=__2 1 3 11 1 1 11 2 3
11 1 2 24342__Ooiooimo iang piosiiono maliico:j=__2 1 3 11 1 1 11 2
3 11 1 2 24342__~__1 1 1 11 1 2 21 2 3 12 1 3 13244__~__1 1 1 10 0
1 30 3 2 00 3 1 13112__\1j:cji:c:c\1\2\1 \S2\1\1~__1 1 1 10 3 2 00
3 1 10 0 1 33121__~__1 1 1 10 3 2 00 0 1 10 0 1
33131__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\1 \S\1j:cji:c:c~__1 1 1 10 3 2 00 0 1
10 0 0 43134__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\Sj:cji:c:c\S\1Ooavojo vioimo
oa jo :c:q () = 4 i :c:q (j) = 4 pa jo sislom saglasan.Foimiiajmo
novi sislomr . t = 33 2.= 1. t = 34t = 4___.Iz colvilo joonacino
vioimo oa jot = 1.Akot = 1 uvislimo u liocu joonacinu ooLicomo. 1 =
3. = 2 ==.= 2.116Ako.= 2 it = 1 uvislimo u oiugu joonacinu,
ooLicomo3 4 = 13 = 3 === 1.Ako= 1,.= 2 it = 1 uvislimo u pivu
joonacinu, ooLicomor 1 2 1 = 3 ==r = 1.Ijosonjo sisloma jo(r. . ..
t) = (1. 1. 2. 1) .Zadatak 9.4 1.n. nj|nn . :.].. .n2r 3 4. t = 2r
. 3t = 4r 3 2. 2t = 23r 4 . 4t = 0___.Hjesenje:Maliica koolcijonala
i piosiiona maliica ovog sisloma jo =__2 3 4 11 1 1 31 3 2 23 4
4__j=__2 3 4 11 1 1 31 3 2 23 4 42420__.Ooiooimo iang piosiiono
maliico:j=__2 3 4 11 1 1 31 3 2 23 4 42420__~__1 1 1 31 3 2 22 3 4
13 4 44220__~__1 1 1 30 4 3 0 1 2 0 1 2 4000__\1j:cji:c:c\1
\22\1\S3\1\1~__1 1 1 30 4 3 0 0 20 0 0
040300__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\2 4\S\S\1Ooavojo vioimo oa jo :c:q
() = 3 i :c:q (j) = 3 pa jo sislom saglasan.Foimiiajmo novi sislomr
. 3t = 44 3. t = 0. 2t = 30___.Ovaj sislom ima coliii nopoznalo a
lii joonacino.Znaci, joonu nopoznalu uzimamo pioizvoljno.Noka jo,
npi. t = c(c ) .Iz lioco joonacino imamo. 2c = 30. c = 0 ==.= 0
c.Ako.= 0 c it = c uvislimo u oiugu joonacinu, ooLijamo4 3 (0 c) c
= 04 18 1c c = 04 = 24 20c=== 0 c.Ako = 0 c. .= 0 c i t = c
uvislimo u pivu joonacinu, ooLijamor 0 c 0 c 3c = 4r 3c = 4 ==r = 4
3c.117Ijosonjo sisloma jo(r. . .. t) = (4 3c. 0 c. 0 c. c) (c )
.Zadatak 9.5 1.n. nj|nn . :.].. .n3r 2 2.= 3r .= 14r .= 42r 3 3.=
2___.Hjesenje:Maliica koolcijonala i piosiiona maliica ovog sisloma
jo =__3 2 21 1 14 1 12 3 3__j=__3 2 21 1 14 1 12 3 33142__.Ooiooimo
iang piosiiono maliico:j=__3 2 21 1 14 1 12 3 33142__~__1 1 13 2 24
1 12 3 31342__~__1 1 10 0 0 1000__\1j:cji:c:c\23\1\S4\1\12\1~__1 1
10 0 0 00 0 01000__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\S\2\1\2Ooavojo vioimo oa
jo :c:q () = 2 i :c:q (j) = 2 pa jo sislom saglasan.Foimiiajmo novi
sislomr .= 1 .= 0_.Ovaj sislom ima lii nopoznalo a ovijo
joonacino.Znaci, joonu nopoznalu uzimamo pioizvoljno.Noka jo, npi.
.= c(c ) .Iz oiugo joonacino imamo c = 0 = c=== c.Ako= c i.= c
uvislimo u pivu joonacinu, ooLijamor . = 1r c c = 1 ==r =
1.Ijosonjo sisloma jo(r. . .) = (1. c. c) (c ) .Zadatak 9.6 1.n.
nj|nn . :.].. .n3r 2 . t = 32r 2. t = 0r 2 . t = 33r 3 3.=
3___.Hjesenje:Maliica koolcijonala i piosiiona maliica ovog sisloma
jo =__3 2 1 12 1 2 11 2 1 13 3 3 0__j=__3 2 1 12 1 2 11 2 1 13 3 3
03033__.118Ooiooimo iang piosiiono maliico:j=__3 2 1 12 1 2 11 2 1
13 3 3 03033__~__1 2 1 12 1 2 13 2 1 13 3 3 03033__~__1 2 1 10 3 0
30 8 4 20 3 0 33000__\1j:cji:c:c\22\1\S3\1\13\1~__1 2 1 10 3 0 30 0
12 180 0 0 030300__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c8\23\S\2\1Ooavojo vioimo
oa jo :c:q () = 3 i :c:q (j) = 3 pa jo sislom saglasan.Foimiiajmo
novi sislomr 2 . t = 33 3t = 012. 18t = 30___==r 2 . t = 3 t = 22.
3t = ___.Ovaj sislom ima coliii nopoznalo a lii joonacino.Znaci,
joonu nopoznalu uzimamo pioizvoljno.Noka jo, npi. t = c(c ) .Iz
lioco joonacino imamo2. 3c = 2. = 3c==.= 3c2.Ako.=Sc2it = c
uvislimo u oiugu joonacinu, ooLijamo c = 2 === 2 c.Ako= 2 c.
.=Sc2it = c uvislimo u pivu joonacinu, ooLijamor 2 (2 c) 3c2 c = 3r
4 2c 3c2 c = 3r 8 4c 3c 2c2= 3r 3 c2= 3r = 3 3 c2==r =3 c2.Ijosonjo
sisloma jo(r. . .. t) =_3 c2. 2 c. 3c2. c_(c ) .Zadatak 9.7 1.n.
nj|nn . :.].. .n2r 2 . 3t = 03r 3. t = 2r 3 4. 4t = 8r 2. 2t =
4___.Hjesenje:Maliica koolcijonala i piosiiona maliica ovog sisloma
jo =__2 2 1 33 1 3 1 3 4 41 1 2 2__j=__2 2 1 33 1 3 1 3 4 41 1 2
20284__.119Ooiooimo iang piosiiono maliico:j=__2 2 1 33 1 3 1 3 4
41 1 2 20284__~__1 1 2 22 2 1 33 1 3 1 3 4 44028__~__1 1 2 20 4 3
70 4 3 70 8 0 144141428__\1j:cji:c:c2\1\23\1\S\13\1~__1 1 2 20 4 3
70 0 0 00 0 0 041400__\1j:cji:c:c2\1\2\2\S2\2\1Ooavojo vioimo oa jo
:c:q () = 2 i :c:q (j) = 2 pa jo sislom saglasan.Foimiiajmo novi
sislomr 2. 2t = 44 3. 7t = 14_.Ovaj sislom ima coliii nopoznalo a
ovijo joonacino.Znaci, ovijo nopoznalo uzimamo pioizvoljno.Noka jo,
npi. .= c. t = ,(c. , ) .Iz oiugo joonacino imamo4 3c 7, = 144 = 14
3c 7, ===14 3c 7,4.Ako=11Sc7o1. .= c. t = ,uvislimo u pivu
joonacinu, ooLijamor 14 3c 7,42c 2, = 4r 14 3c 7, 8c 8,4= 4r 14 c
,4= 4r = 4 14 c ,4r =10 14 c ,4==r = 2 c ,4Ijosonjo sisloma jo(r. .
.. t) =_2 c ,4. 14 3c 7,4. c. ,_(c. , ) .Zadatak 9.8 1.n. nj|nn .nn
. & |&`n]& nj|nn. :.].. .-n nn:.`nn nJn2r . 3t = 1r 3.
t = 42r 3 . t = 33r 2 4. 2t = 3___.Hjesenje:Maliica koolcijonala i
piosiiona maliica ovog sisloma jo =__2 1 1 31 1 3 12 3 1 13 2 4
2__j=__2 1 1 31 1 3 12 3 1 13 2 4 21433__.120Ooiooimo iang
piosiiono maliico:j=__2 1 1 31 1 3 12 3 1 13 2 4 21433__~__1 1 3 12
1 1 32 3 1 13 2 4 24133__~__1 1 3 10 1 0 7 30 1
499__\1j:cji:c:c2\1\22\1 \S3\1\1~__1 1 3 10 1 0 0 18 220 0 0
049400__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\2\S\2\SOoavojo vioimo oa jo:c:q () =
3 i:c:q (j) = 3 pa jo sislom saglasan.Foimiiajmo novi sislomr 3. t
= 4 . t = 918. 22t = 40___.Ovaj sislom ima coliii nopoznalo a lii
joonacino.Znaci, joonu nopoznalu uzimamo pioizvoljno.Noka jo, npi.
t = c(c ) .Saoa sislom ima oLlikr 3.= 4 c .= 9 c9.= 20 11c___.Ovaj
sislom jo okvivalonlan maliicnoj joonaciniA= 1gojo su =__1 1 30 1 0
0 9__. A=__r.__. 1=__4 c9 c20 11c__.Ijosonjo maliicno joonacino jo
maliicaA= 11.Iziacunajmo maliicu1na osnovu foimulo1=1oci
cd,.Doloiminanla maliico jooci =1 1 30 1 0 0 9= 9Kofakloii maliico
su11=1 0 9 = 9 12= 0 0 9 = 0 1S=0 10 0 = 021= 1 30 9 = 9 22=1 30 9
= 9 2S= 1 10 0 = 0S1=1 31 = 2 S2= 1 30 = SS=1 10 1 = 1pa jo
aojungovana maliicacd, =__9 9 20 9 0 0 1__.Invoizna maliica maliico
jo1=19__9 9 20 9 0 0 1__ =__1 1290 190 019__.Saoa joA= 11=__1 1290
190 019__
__4 c9 c20 11c__ =__11c91910c92011c9__pa jor = 14c9 =19 10c9.
=20 11c9. c ijosonjo sisloma.121Zadatak 9.9 1.n. nj|nn .nn . &
|&`n]& nj|nn. :.].. .-n nJn J:n.nnn.2r . 3t = 1r 3. t = 42r
3 . t = 33r 2 4. 2t = 3___.Hjesenje:Maliica koolcijonala i
piosiiona maliica ovog sisloma jo =__2 1 1 31 1 3 12 3 1 13 2 4
2__j=__2 1 1 31 1 3 12 3 1 13 2 4 21433__.Ooiooimo iang piosiiono
maliico:j=__2 1 1 31 1 3 12 3 1 13 2 4 21433__~__1 1 3 12 1 1 32 3
1 13 2 4 24133__~__1 1 3 10 1 0 7 30 1 499__\1j:cji:c:c2\1\22\1
\S3\1\1~__1 1 3 10 1 0 0 18 220 0 0
049400__\1j:cji:c:c\2j:cji:c:c\2\S\2\SOoavojo vioimo oa jo:c:q () =
3 i:c:q (j) = 3 pa jo sislom saglasan.Foimiiajmo novi sislomr 3. t
= 4 . t = 918. 22t = 40___.Ovaj sislom ima coliii nopoznalo a lii
joonacino.Znaci, joonu nopoznalu uzimamo pioizvoljno.Noka jo, npi.
t = c(c ) .Saoa sislom ima oLlikr 3.= 4 c .= 9 c9.= 20
11c___.Iziacunajmo ooloiminanlo1. 1a. 1j. 1::1 =1 1 30 1 0 0 9=
91a=4 c 1 39 c 1 20 11c 0 9= 14c1j=1 4 c 30 9 c 0 20 11c 9= 19
10c1:=1 1 4 c0 1 9 c0 0 20 11c= 20 11cpa jor =1a1= 14c9 =1j1=19
10c9. =1:1=20 11c9. c ijosonjo sisloma.122Zadatak 9.10 1 .n.n. J
:n|nj n:nn:n` J.|&n. :]n]n .-nn`r .= 1r ` .= `r `.=
`2___.Hjesenje:Iziacunajmo ooloiminanlo1. 1a. 1j. 1::1 =` 1 11 ` 11
1 `=` 1 11 ` 11 1 `` 11 `1 1==_`S 1 1_(` ` `) = `S3` 2 == `S` 2` 2
= `_`21_2 (` 1) == `(` 1) (` 1) 2 (` 1) == (` 1) [`(` 1) 2[ = (`
1)_`2 ` 2 == (` 1)_`2 2` ` 2 = (` 1) [`(` 2) (` 2)[ == (` 1) (` 1)
(` 2) = (` 1)2(` 2) .1a=1 1 1` ` 1`21 `1 1` ``21==_`2 `2 `__`S 1
`2_ == `S `2 ` 1 = _`S`2_ (` 1) == `2(` 1) (` 1) = (` 1)_1 `2_ ==
(` 1) (1 `) (1 `) = (` 1) (` 1) (` 1) == (` 1)2(` 1) .1j=` 1 11 `
11 `2`` 11 `1 `2==_`S 1 `2__` `S `_ == `22` 1 = (` 1)2.1:=` 1 11 `
`1 1 `2` 11 `1 1==_`1 ` 1__` `2 `2_ == `12`2 1 =_`21_2== ((` 1) (`
1))2= (` 1)2(` 1)2.Daklo,1 = (` 1)2(` 2)1a= (` 1)2(` 1)1j= (`
1)21:= (` 1)2(` 1)2Diskusija:1. Ako jo1 ,= 0, lj. ` ,= 1 i` ,= 2.
laoa jo sislom saglasan i ijosonja suoala sar =1a1= (` 1)2(` 1)(`
1)2(` 2)= ` 1` 2 =1j1=(` 1)2(` 1)2(` 2)=1` 2. =1:1=(` 1)2(` 1)2(`
1)2(` 2)=(` 1)2` 2.2. Ako jo1 = 0, lj. ` = 1 ili` = 2. laoa jo
sislom noooiooon.*Za ` = 1 imamo oa jo 1 = 1a= 1j= 1:= 0 pa sislom
ima Loskonacnomnogo ijosonja.Uvislavajuci `=1upocolni sislom,
ooLijamooajosislomokviva-lonlansamojoonojjoonacini r
.=1.Luoucioaimamojoonujoonacinualii nopoznalo,
onoaovijonopoznaloLiiamopioizvoljno.Noka su npi. = c i.= ,.(c. , )
. 1aoa jor = 1 c ,. pa joijosonjo sisloma(r. . .) = (1 c ,. c. ,)
(c. , ) .123**Za` = 2 imamo oa jo1 = 0 ali jo1a= 9 pa sislom noma
ijosonja.Zadatak 9.11 1 .n.n. J :n|nj n:nn:nc J.|&n. :]n]n
.-nn(c 1) r .= 2c 1(2c ) r 4 .= c 2(2c 3) r (c 3) .= c
1___.Hjesenje:Iziacunajmo ooloiminanlo1. 1a. 1j. 1::1 =c 1 1 12c 4
2c 3 1 c 3= 2c(c 2)1a=2c 1 1 1c 2 4 c 1 1 c 3= (c 2) (7c )1j=c 1 2c
1 12c c 2 2c 3 c 1 c 3= c (c 2) (3c 1)1:=c 1 1 2c 12c 4 c 22c 3 1 c
1= (c 2) (9c ) .Diskusija:1. Ako jo 1 ,= 0 lj 2c(c 2) ,= 0 a lo jo
slucaj kaoa jo c ,= 0 i c ,= 2, laoajo sislom saglasan i ijosonja
su oala sar =1a1=(c 2) (7c )2c(c 2)=7c 2c =1j1= c (c 2) (3c 1)2c(c
2)= 3c 12. =1:1= (c 2) (9c )2c(c 2)= 9c 2c.2. Ako jo1 = 0, lj. c =
0 ilic = 2. laoa jo sislom noooiooon.*Zac = 2 imamo oa jo1 = 1a=
1j= 1:= 0 pa sislom ima Loskonacnomnogo ijosonja.Uvislavajucic = 2
u pocolni sislom, ooLijamo oa jo sislom joonacinar .= 3r 4 .= 4r .=
3___.Ispilajmo saglasnosl ovog sisloma: Iiosiiona maliica sisloma
joj=__1 1 1 31 4 41 1 1 3__.Ooiooimo njon iang:j=__1 1 1 31 4 41 1
1 3__~__1 1 1 30 0 70 0 0 0__\1j:cji:c:c\1 \2\1\2Foimiiajmo novi
sislomr .= 3 0.= 7_.Ovajsislom
imaliinopoznaloaovijojoonacino,pajoonunopoznaluLiiamopioizvoljno.
Nokajo, iocimo. =c. c . Saoa, izoiugojoonacino imamo 0c = 7 ===7
0c.Uvislavajuci=76ci.= c u pivu joonacinu ooLijamor 7 0cc = 3 ==r
=8 c.Daklo, ijosonjo sisloma jo(r. . .) =_8 c. 7 0c. c_**Zac = 0
imamo oa jo1 = 0 ali jo1a ,= 0 pa sislom noma
ijosonja.124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171UniverzitetuZeniciPedagoskifakultetOdsjek:
MatematikaiinformatikaZenica,27.01.2010.PismeniispitizpredmetaUvodulinearnualgebru1.
a) Dati su skupovi A = {a, b} i B= {1, 2}. Odrediti sve binarne
relacije iz A u B.
Kojeodnapisanihrelacijasufunkcije(preslikavanja)?Kojeodnapisanihfunkcijasubijekcije?b)Datjepolinomf(x)
= (b a)xn+ 2na b,a, b C.
Odreditiaibtakodaostatakpridjeljenjupolinomaf(x)sax23x +
2bude(2n1)x.2. NekajeS= {(1, a) : a
Q}inekajenaSdenisanabinarnaoperacijazvjezdica sa(1, a) (1, b) = (,
a + b + 1),
R.a)OdreditivrijednostparametratakodaskupSbudezatvorenuodnosunaoperaciju
.b)Zadobijenuvrijednostparametra pokazatidaje(S, )grupa.
DalijegrupaAbelova?3.
Rijesitisistemjednacinaidiskutovatinjegovarjesenjauzavisnostiodparametra:x1
x2x4+2x5= 1x1 + x2x3 3x4+4x5= 26x1x32x5= 3 .4x1x3 2x4+2x5= 4.
OdreditittakodamatricaM=5 0 01 2 t3 6
1imasvojstvenuvrijednostjednaku3.ZadobijenotodreditiostalesvojstvenevrijednostimatriceMisvojstvenevektore.(Zadacisuskinutisastranice:
\pf.unze.ba\[email protected])172173174UniverzitetuZeniciPedagoskifakultetOdsjek:
MatematikaiinformatikaZenica,10.02.2010.PismeniispitizpredmetaUvodulinearnualgebru1.
a)DatisuskupoviA = {2, 3, 5},B= {2, 4, 6}iE= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
OdreditisveskupoveXzakojevaziX E,A X= {3, 5}iB X= E.b)Sjeskupure
denihparova(p,
q),gdjesupiqcijelipozitivnibrojevi,arelacija(ro)jedenisananasljedecinacin(p,
q)(p
, q
) pq
= qp
. Dokazatidajerelacijaekvivalencije.2.
Rijesitisistemjednacinaidiskutovatinjegovarjesenjauzavisnostiodparametrax
+ 2z= 0(2 1)x+ y+ 4z= 23x+( + 2)y+( + 5)z= + 3 .3. DatesumatriceA
=1 2 02 3 10 1 1iB=2 3 01 0 12 1 3,aIjejedinicnamatricatrecegreda.
RijesitijednacinuB1XA = (3B 2I)1.4. NekasudatematriceA =1 1 00 2 00
0 1iB=2 0 00 2 20 0 1.
PokazatidaAiBimajurazlicitekarakteristicnepolinome(paprematomenisuslicne),aliimajuistiminimalnipolinom.
Prematomeneslicnematricemoguimatiistiminimalnipolinom.175(Rjesenjasuskinutasastranice
\pf.unze.ba\[email protected])176177178UniverzitetuZeniciPedagoskifakultetOdsjek:
MatematikaiinformatikaZenica,15.06.2011.PismeniispitizpredmetaUvodulinearnualgebru1.
a)NekasudatiskupoviA = {10k + 7 | k N}iB= {4p + 13 | p N}.
DokazatidajeA B = .b)NekajeA = {a, b, c, d, e, f}. Nekaje A
Azadanaovako = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a),(b, b), (b, c), (c,
a), (c, b), (c, b), (d, d), (d, e), (e, e), (e, d), (f,
f)}.Dokazatidaje(ro)relacijaekvivalencijeuA.2.
a)Izracunatideterminantun-togreda
1 a 0 . . . 0 01 1 + a a . . . 0 00 1 1 + a . . . 0 00 0 1 . . .
0 0............0 0 0 . . . a 00 0 0 . . . 1 + a a0 0 0 . . . 1 1 +
a
.b)DatajematricaA =1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1.
ProvjeritidalijeA1=14A.3.
Diskutovatirjesenjasistemauuzavisnostiodparametrat2xy+3z= 7x+2y6z=
ttx+5y15z= 8.4. NekajeV= {(x1, x2, x3, x4, x5) R5| x1 x2= x2 x3= x3
x4 i x5= 0}. SabiranjeuV jedenisanonauobicajennacin(x1, x2, x3, x4,
x5) + (y1, y2, y3, y4, y5) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3,x4 + y4, x5
+ y5)kaoimnozenjesaskalarom(x1, x2, x3, x4, x5) = (x1, x2, x3, x4,
x5). DokazitedajeVvektorskiprostortemuna
ditenekubazuiodreditedimenziju.(Rjesenjasuskinutasastranice
\pf.unze.ba\[email protected])179180181182183UniverzitetuZeniciPedagoskifakultetOdsjek:
MatematikaiinformatikaZenica,30.06.2011.PismeniispitizpredmetaUvodulinearnualgebru1.
(40%)(a)Nekasux = 2a + 3iy= 4a + 9,a
NprirodnibrojeviI)dokazatidajebroj(x + y)(y
x)djeljivsa24;II)odrditiostatakpridjeljenjubrojaysabrojemx.Odgovoreobrazloziti!(60%)(b)Nekasu(a,
b)i(c, d)elementiiz N N. Denisimorelaciju nasljedecinacin:(a, b)
(c, d)akkojeilia < cili(a = cib d). Dokazatidajerelacija
reeksivna,antisimetricna,tranzitivnaidazadovoljavazakontrihotomije(prisjetimoserelacija
P PzadovoljavazakontrihotomijenanekomskupuPakko x, y Pimamox yiliy
x).2. a)Izracunatideterminantun-togreda
x + 1 1 1 . . . 1 11 x 0 . . . 0 00 1 x . . . 0 00 0 1 . . . 0
0...............0 0 0 . . . x 00 0 0 . . . 1 x
.b)Odreditistrukturukojumnozenjematrica cininaskupu
a a b0 b
: a, b R
.3.
Diskutovatirjesenjasistemauuzavisnostiodparametra:5x13x2+2x3+4x4=
34x12x2+3x3+7x4= 13x16x2x35x4= 97x13x2+7x3+17x4= .4.
Nacisvojstvenevektoreisvojstvenevrijednostimatrice3 1 11 5 11 1
3.184(Rjesenjasuskinutasastranice
\pf.unze.ba\[email protected])185186187UniverzitetuZeniciPedagoskifakultetOdsjek:
MatematikaiinformatikaZenica,07.09.2011.PismeniispitizpredmetaUvodulinearnualgebru1.
a)OdreditisvepolinomePtrecegstepenakojizadovoljavajusljedeceuvjete:
P(0) = 1,P(1) = 4,P(2) = 15,P(1) = 0,P(2) = 5.
(PolinomtrecegstepenajeoblikaP(x) = ax3+ bx2+ cx +
d).b)Kojeodsljedecihbinarnihoperacijaa
bnacijelimbrojevimaaibsuasocijativne,akojesukomutativne?a bdef=a b,
a bdef=a2+ b2, a bdef=2(a + b), a bdef= a b.2.
a)Metodommatematickeindukcijedokazatida
1 10 1
n=
1 n0 1
zasvakiprirodanbrojn.b)NekajedatskupG = {e, a, a2, b, ab,
a2b}nakojemjedenisanaoperacijaobicnomnozenje
takvodaa3def=eib2def=e. Dokazatidaje(G, )grupa.
DalijegrupaAbelova?3.
Diskutovatirjesenjasistemauovisnostioparametra:(1 + )x1+ x2+ x3=
1x1+(1 + )x2+ x3= x1+ x2+(1 + )x3= 2.4.
IzracunatisvojstvenevrijednostiisvojstvenevektorematriceA =
3 22 3
nadpoljemkompleksnihbrojeve.188(Rjesenjasuskinutasastranice
\pf.unze.ba\[email protected])189190191192
