Sveska-2 El Teh

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    1/61

    Univerzitet u NiuFakultet zatite na radu, Ni

    Dejan M. Petkovi

    Dejan D. Krsti Vladimir B. Stankovi

    Elektromagnetna zraenja - izvodi sa predavanja i vebiSveska II

    STACIONARNO ELEKTRINOPOLJE I JEDNOSMERNA STRUJA

    Ni, 2010. godine

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    2/61

    AutoriProfesor dr Dejan M. Petkovi,

    Fakultet zatite na radu, NiDr Dejan D. Krsti, docentFakultet zatite na radu, NiVladimir B. Stankovi, dieFakultet zatite na radu, Ni

    Medicinski konsultantDr Ljiljana urdilovi-Petkovi,

    NaslovElektromagnetna zraenja - izvodi sa predavanja i vebi, Sveska IISTACIONARNO ELEKTRINO POLJE I JEDNOSMERNA STRUJA

    Prvo izdanje, Ni, 2010.

    IzdavaFakultet zatite na radu, Ni18000 Ni, arnojevia 10a

    Za izdavaaDekan fakulteta, profesor dr Ljiljana ivkovi

    RecenzentiProfesor dr Predrag Dimitrijevi,Prirodno-matematiki fakultet, NiProfesor dr Dragan Velikovi,Fakultet zatite na radu, Ni

    Odlukom Nauno-nastavnog vea Fakulteta zatite na radu u Niu,kvalifikovano kao udbenik.

    Tehnika obradaAutori

    KoriceRodoljub AvramoviFakultet zatite na radu, Ni

    tampaRolerprint, Ni

    Tira200 primeraka

    ISBN 978-86-6093-014-1

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    3/61

    Posveeno uspomeni na

    Akademika prof. dr Branka Popovia

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    4/61

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    5/61

    Sadraj

    Predgovor

    01 - Elektrina struja02 - Razlika potencijala i pojam stacionarnosti03 - Stacionarna elektrina struja04 - Prosto strujno kolo05 - Stacionarno elektrino polje06 - Pokretljivost nosilaca naelektrisanja07 - Jaina elektrine struje - 108 - Smer elektrine struje09 - Jaina elektrine struje - 210 - Gustina elektrine struje11 - Jednaina kontinuiteta12 - Jednaina kontinuiteta i merenje jaine struje13 - PrviKirchoffov zakon14 - Sloena elektrina kola15 - Ohmov zakon16 - Izraunavanje otpornosti

    17 - Ekvivalentne otpornosti18 Merenje otpornosti19 -Jouleov zakon20 - Temperaturna zavisnost otpornosti21 - Snaga potroaa i izvora napajanja22 - Elektromotorna sila23 - DrugiKirchoffov zakon24 - Kondenzator u kolu jednosmerne struje - 125 - Kondenzator u kolu jednosmerne struje - 2

    26 - Realni i idealni generatori - 127 - Realni i idealni generatori - 228 - Reavanje elektrinih kola29 - Teorema superpozicije30 - Thveneninova teorema31 -Nortonova teorema32 - Teorema kompenzacije33 - Teorema reciprociteta34 - Neposredna primena osnovnih zakona35 - Metod konturnih struja36 - Metod potencijala vorova37 - Analogija statikog i stacionarnog elektrinog polja

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    6/61

    38 - Elektroda sfernog oblika u homogenoj sredini39 - Granini uslovi40 -Teorema lika

    41 - Uzemljiva oblika sfere42 - Prelazna otpornost uzemljivaa i napon koraka43 - Merenje otpornosti uzemljivaa44 - O gustinama naelektrisanja45 - Vreme relaksacije46 Neki efekti jednosmerne struje na ljude

    Literatura

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    7/61

    Predgovor

    Tekst pod nazivom Stacionarno elektrino polje i jednosmernastruja je namenjen studentima Fakulteta zatite na radu u Niu i trebalo bi

    da poslui za savladavanje gradiva iz predmeta koji se, kako po staromtako i po novom nastavnom planu, izuavaju na ovom fakultetu. Dobrimdelom tekst moe da poslui i studentima drugih fakulteta. Tekst jeprilagoen savremenim metodama uenja. Izuavanje elektromagnetnihzraenja podrazumeva neka prethodna znanja iz fizike, vie matematike ielektrotehnike. I pored toga to se radi o izvodima sa predavanja u veinisluajeva data su sva neophodna objanjenja.

    Osnovna ideja prvopotpisanog autora je da kroz seriju Sveski izoblasti elektromagnetike prui kompletnu literaturu koja je potrebnainenjeru koji se bavi ili e se baviti zatitom od uticaja elektromagnetnihpolja. Tako je u ovoj svesci osim teorijskih izlaganja prikazano mnotvorezultata iz prakse, metodi merenja, kao i osvrt na postojee standarde.

    Tekst se moe nai i na adresi www.znrfak.ni.ac.rs

    U Niu, na Vidovdan 2010. godine,Autori

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    8/61

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    9/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 9

    1 - Elektrina struja

    Kad se dolo do saznanja o elektrinoj struji, provodna tela su nazvana

    elektrodama (Grk: electron - ods - put kojim ide elektricitet). Farady jepri prouavanju elektrolize (Grk: lsis - razlaganje, a ovde se radi orazlaganju neke tenosti na sastojke pomou elektrine struje) daoelektrodama nazive anoda (Grk: nods - put navie) i katoda (Grk:kthods- put nanie). Tako je i ostalo, za svako provodno telo je usvojennaziv elektroda; i tako je katoda negativno naelektrisana elektroda, a anodapozitivno naelektrisana elektroda.

    Sve do pojave elektronske teorije, krajem IX veka, smatralo se da jeelektrina struja kretanje nestiljivg fluida koji tee kroz provodnike kaonestiljiv tenost u cevima. Ovakvo shvatanje nije smetalo da buduotkriveni kvantitativni odnosi izmeu elektrine struje i prateih pojava,kao to su magnetno polje, termiki efekti, elektrolitike pojave i drugiefekti. Upravo su Faradayevi eksperimeni sa elektrolizom naveliHelmholtza da ukae na postojanje elementarnih nosilaca naelektrisanja.Danas se pouzdano zna da su nosioci naelektrisanja elektroni inaelektrisane estice materije ili joni (Grk: in - ono to ide, materijalnideli kao nosilac naelektrisanja).

    Elektrinu struju ini kretanje nosilaca naelektrisanja.Za postojanje elektrine struje je potrebno da postoje:

    slobodni nosioci naelektrisanja (elektroni i joni) iizvori kretanja nosilaca naelektrisanja.

    elektrina strujaElektronske struje nastaju u vrstimprovodnicima i u vakuumu. Jonskestruje su karakteristine za elektrolizu. elektronska jonska

    Bitna razlika izmeu ove dve vrste struja je to elektronske struje skoronita ne menjaju u sredini kroz koju protiu, dok kod jonskih struja dolazido vidljivog prenosa mase.

    Kretanje naelektrisanih tela, gde je izvor kretanja sila neelektrinogporekla ili kretanje nosilaca naelektrisanja zbog inercionih sila (na primer,snop elektrona u vakuumskoj cevi), je konvekciona struja.

    elektrina strujaKondukcione struje ili strujeprovodnosti nastaju samo usled

    dejstva elektrinog polja.kondukciona konvekciona

    (Lat: conductio - provoenje elektriciteta i toplote; convectio - strujanje).

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    10/61

    10 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    2 - Razlika potencijala i pojam stacionarnosti

    Strujanje ili protok nestiljivog fluida izmeu spojenih sudova je savrena

    analogija sa elektrinom strujom.Protok tenosti izmeu spojenih sudova koji sunapunjeni do razliitih nivoa e se odvijati svedok nivoi tenosti u oba suda ne budu jednaki, tj.dok potencijalne energije ne budu jednake.Meutim, brzina strujanja tenosti se vremenomsmanjuje od poetne vrednosti do nule.

    Oigledno da jednom napunjen jedan od spojenih sudova ne moe da odristalnu brzinu protoka tenosti u drugi sud.

    Jo u antika vremena je bio konstruisan vodeni sat. Govornik je imaopravo govora sve dok voda ne iscuri iz jedne pune posude u drugu. Otuda ipotiu termini vreme je iscurelo i vreme je isteklo. Meutim, smanjivanjemnivoa vode u posudi iz koje voda istie vreme se za sluaoce produavalo,a govornici bi ekali i poslednju kap da se prijemna posuda napuni.

    Reenje je pronaeno tako to je posuda izkoje voda istie (izvor) uvek puna do vrha.

    To se obezbeivalo stalnim prilivom vodeu izvor, a viak vode bi odlazio sa strane.Primajua posuda (ponor) se tako punilakonstantnom brzinom i svim govornicimaje bilo omogueno jednako vreme, a ne doposlednje kapi. Tako je u vremenu ostva-rena stalna razlika potencijalnih energija.

    Da bi se ostvarila stalna brzina protoka

    tenosti potrebno je iz prijemnog suda uizvorni prepumpavati tenost kako birazlika u nivoima (potencijalnim energi-jama) u vremenu ostala konstantna. Takose obrazuje jedan zatvoreni sistem ilizatvoreno kolo u kome postoji izvor -pumpa.

    Stacionarno strujanje (N.Lat:stationarius - nepokretan) je nepromenjivo uvremenu i smeru proticanja i za to je neophodan izvor energije.

    Stacionarne struje su jednosmerne.U vremenu se ne menja brzina protoka.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    11/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 11

    3 - Stacionarna elektrina struja

    Struja nastaje usled razlike u potencijalima tj. potencijalnim energijama.

    Ako se izmeu elektroda kondenzatora unese provodno telo koje spajaelektrode, pod dejstvom elektrinog polja doi e do prenosa naelek-trisanja sa elektrode koja je na viem potencijalu do elektrode koja je naniem potencijalu, tj. do uspostavljanja elektrine struje. Struja e proticatisve dok potencijali elektroda ne budu izjednaeni, tj. sve do nestankaelektrinog polja.

    Jednom napunjen kondenzator ne moe da odristalnu struju, jer se potencijalna razlika stalno

    smanjuje. Dielektrici su u veoj ili manjoj meriprovodni, pa se svaki kondenzator ispunjen, bardelimino, dielektrikom pre ili kasnije potpunoisprazni.

    Za protok stacionarne elektrine struje je potrebno: zatvoreno strujno kolo

    izvor koji odrava stalnu potencijalnu razliku u kolu

    U izvorima stalne potencijalne razlike tj. elektrinognapona deluju sile neelektrinog porekla koje vrerazdvajanje pokretljivih nosilaca naelektrisanja ipotiskuju ih prema krajevima. Kao to pumpa uzatvorenom kolu protoka tenost vri rad protiv silegravitacije, tako izvor napona u zatvorenom strujnomkolu vri rad protiv sila elektrinog porekla.

    Izvori stalnog napona su veinom elektrohemijski, fotoelektrini ielektromehaniki. To su generatori (Lat: generator - roditelj, stvaratelj).Teorijski, to su izvori elektromotorne sile (Eng:ElectroMotor Force)

    Elektrina energija koju stvara generator u potpunosti se pretvara u nekidrugi vid energije. Zbog jednostavnosti u razmatranju, neka je jedinipotroa energije dielektrik koji je upravo veza izmeu elektrodakondenzatora. Tada se jednostavnim simbolima moe predstaviti prostozatvoreno strujno kolo.

    U narednim izlaganjima bie pokazano da kondenzator u kolu

    jednosmerne struje zapravo predstavlja prekid i da struja protie krozkondenzator samo u prelaznom reimu, tj. samo dok se kondenzator puniili prazni.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    12/61

    12 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    4 - Prosto strujno kolo

    Iz simbola za ravan kondenzator izvodi se simbol za

    generator jednosmernog napona kojim treba da senaglasi razlika izmeu katode i anode. Iz provodneveze izmeu obloga kondenzatora sledi simbol zapotroa energije.

    Prvi uoeni efekat elektrine struje je bio zagrevanje provodnika, pa jeovaj termogeni potroa obeleen simbolom (N.Lat: resistentia -otpornost, odupiranje). U prosto elektrino kolo je dodat i prekida (kaoto je to ventil u sluaju cevovoda). Simboli za ematsko prikazivanje

    elektrinih kola mogu biti i sloeniji, posebno kad su u elektrina kolaukljueni razliiti generatori ili elementi koji imaju promenljivu otpornost.

    Ovi simboli uvek prikazuju koncentrisane elektrine karateristike, kao tosu otpornost, kapacitivnost ili izvor napona. Meutim, svaki izvornapajanja ima svoju unutranju otpornost. U nekim sluajevima unutranjuotpornost generatora je mogue zanemariti.

    Takoe, iani provodnici koji strujno kolo inezatvorenim imaju svoju otpornost. Najee se

    unutranja otpornost generatora posebno prikazuje, aiani provodnici se smatraju idealnim ili se njihovaotpornost prikazuje koncentrisano tako da uematskom prikazu ostaju samo koncentrisaneotpornosti.

    5 - Stacionarno elektrino polje

    Elektrino polje koje je pokreta nosilaca naelektrisanja, takoe mora biti

    stalno u vremenu i posledino razlika potencijala mora biti konstantna.Prostor u kome se nosioci naelektrisanja kreu je stacionarno elektrinopolje.

    Stacionarna naelektrisanja se razlikuju od statikih po tome to stalnomenjaju svoj poloaj u provodnoj sredini, ali im je u posmatranom deluzapremine u svakom trenutku gustina ista. To znai da je elektrino poljekoje stvaraju stacionarna naelektrisanja isto kao i elektrino polje statikihnaelektrisanja koja su rasporeena na isti nain.

    Meutim, izmeu elektrostatikog i stacionarnog elektrinog polja postojirazlika. U jednom formiranom elektrostatikom polju se ne vri nikakavrad. U stacionarnom elektrinom polju rad se vri stalno, a utoak energijese nadoknauje generatorima (izvorima) stalne jednosmerne struje.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    13/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 13

    6 - Pokretljivost nosilaca naelektrisanja

    Kretanje nosilaca naelektrisanja u strujnom polju je veoma sloeno.

    Nosioci naelektrisanja joni (u elektrolitikim rastvorima) i elektroni (umetalnim provodnicima) se sudaraju sa elementarnim esticama materije, ai meusobno. U daljim izlaganjima bie rei samo o kondukcionoj struji ito u provodnicima. Najbolji provodnici elektrine struje (i toplote) sumetali koji po pravilu imaju kristalnu strukturu. U metalima elektroni naspoljanjim ljuskama su vrlo slabo vezani za matine atome i ve nasobnim temperaturama se slobodno kreu kroz kristalnu reetku koja jeobrazovana od nepokretnih atomskih ostataka - jona.

    U odsustvu stranog elektrinog polja, ovo

    termiki izazvano kretanje elektrona jehaotino, poput kretanja molekula u nekomrastvoru ili gasu.

    Meutim, u malom elementu zapremine, , i u kratkom vremenskomintervalu, , za mnotvo elektrona, , mogue je definisati makro-

    skopsku srednju brzinu termikog kretanja, . Utvreno je da na sobnoj

    temperaturi srednja brzina elektrona u metalima iznosi oko .

    Vd

    Tv

    td qd

    km/s100

    Kada u provodniku postoji strano elektrino

    polje, haotinom kretanju elektrona se dodajejedno usmereno i progresivno kretanje.

    Elektroni e i pored stalnih sudaranja sa jonima kristalne reetke ipak stiido izvora polja, tj. do anode. Dakle, opti pravac struje elektrona je isti kaoi pravac stranog elektrinog polja, ali je smer suprotan.

    Izmeu dva sudara elektron se, pod dejstvom stranog elektrinog polja,kree ravnomerno ubrzano sa poetnom brzinom, 0)0(1 === tvv , da bi

    pri sledeem sudaru imao brzinu )(2 == tvv .

    Neka je srednje vreme izmeu dva sudara . Kakoje brzina usmerenog kretanja elektrona znatno manjaod brzine termikog kretanja srednje vreme izmeudva sudara je mogue odrediti kao Tvs /= , gde je

    srednja vrednost preenog puta, a srednja

    brzina termikog kretanja. Oigledno, ovo vremezavisi od materijala i temperature provodnika.

    Tv

    amFrr

    =

    Em

    e

    t

    va

    rrr==

    d

    d

    Em

    etav

    ==

    0

    2 d

    Srednja brzina je 2/)( 21 vvv += i direktno jesrazmerna jaini stranog elektrinog polja, gde jekoeficijent srazmernosti pokretljivost elektrona.u

    EuEm

    ev rrr ==2

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    14/61

    14 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    7 - Jaina elektrine struje - 1

    Najvanija kvantitativna veliina kojom se opisuje elektrina stuja je

    jaina struje. Iz hidrodinamike je poznato da je jaina toka nestiljivogfluida, u sluaju stacionarnog toka, jednaka odnosu koliine proteklogfluida i vremena potrebnog za toj protok. Po analogiji jaina elektrinestruje je odnos protekle koliine naelektrisanja i vremena koje je potrebnoza taj protok.

    U optem sluaju struja je promenljiva u vremenu pa se zadefiniciju koristi diferencijalni kolinik. Za stacionarna poljato nije neophodno. U elektrolitima struju ine i pozitivni inegativni joni koji se kreu u suprotnim smerovima. Zbog

    razliitog znaka jona jaine jonskih struja se sabiraju.

    t

    qti

    d

    d)( =

    t

    qI=

    Jaina struje je skalarna veliina. Meutim kretanjenaelektrisanja ima svoj smer ime se definie i smerstruje. Jedinica za jainu struje je dobila naziv ampersa oznakom , u ast francuskog fiziara Ampera(Andre - Mari Amper, 1775 - 1836).

    A

    [ ] As

    C==I

    Instrumenti za merenje jaine struje dobili su naziv ampermetri, ainstrumenti koji mere veoma male vrednosti jaina struje su dobili nazivgalvanometri prema italijanskom fiziologu Galvaniju (Luigi Galvani,1737-1798), iji su eksperimenti sa proputanjem slabih sruja kroz abljebatake vrlo dobro poznati.

    U oba sluaja za merenje se koriste efekti elektrine struje, a instrumentimoraju biti tako konstruisani da u to manjoj meri poremete struje koje supostojale pre njihovog prikljuivanja.

    Merenje jaine elektrine struje i potencijala je uvek posredno.

    Merenje se zasniva na nekom makroskopskom efektu kao to je mehanikiili hemijski.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    15/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 15

    8 - Smer elektrine struje

    Znatno pre otkria elektrona dogovorom je usvojeno da je smer struje isti

    kao i smer elektrinog polja ili kretanja pozitivnih jona. Ovakav dogovorje usvojen, jer se prema teoriji elektrinog fluida smatralo da fluid uvek idesa mesta na viem potencijalu ka mestu koje je na niem potencijalu.

    Smer struje jesuprotan smeru kretanja elektrona u metalnim provodnicima.

    U sloenim elektrinim kolima smer struje najee nije mogue unapredodrediti. Zbog toga se u nekim ili svim granama elektrinog kola smerstruje pretpostavlja i naziva se referentni smer. Nakon prorauna se

    pokazuje da je jaina struje u nekim granama elektrinog kola negativna,to znai da je smer struje suprotan od referentnog tj. pretpostavljenog.

    9 - Jaina elektrine struje - 2

    Jaina struje od se dobija kad kroz popreni presek provodnika u

    svakoj sekundi protekne elektrona.

    A1181024196.6C1

    Kako je prebrojavanje elektrona (ili jona) praktino nemogue, zadefinisanje i merenje jaine struje se koriste propratni efekti, pa je amperbio definisan kao jaina stalne jednosmerne struje koja u vodenomrastvoru srebronitrata ( ) u svakoj sekundi na katodi izdvoji masu

    srebra od .

    3AgNO

    g10118.1 3

    Danas se za definiciju ampera koristi magnetni (mehaniki) efekatelektrine struje. U internacionalnom sistemu jedinica, SI, amper je etvrta

    osnovna jedinica (kilogram, metar, sekund i amper) koja je definisana kaoosnovna, a u sutini je izvedena od drugih osnovnih jedinica. Jaina strujeje definisana pomou izvedene jedinice za silu ( ) i postajeosnovna jedinica u SI.

    2m/skgN =

    Amper je ona jaina stacionarne elektrine struje, koja odravana u dvaparalelna provodnika beskonanih duina i zanemarljivo malih povrinapoprenih preseka, a koji se nalaze na rastojanju od u vakuumu, ini

    da ovi provodnici dejstvuju jedan na drugog silom od njutna pojednom metru duine provodnika.

    m1

    27

    10

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    16/61

    16 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    10 - Gustina elektrine struje

    Jaina struje je direktno srazmerna broju nosilaca naelektrisanja. Neka je

    zapreminska gustina elektrona u provodniku (koncentracija). Poduticajem stranog elektrinog polja kroz popreni presek provodnika, ija jepovrina , stalnom srednjom brzinom u vremenu proe koliinanaelektrisanja , odakle se dobija izraz za jainu struje.

    'N

    S v tdqd

    dd ' d '

    dq

    q N e S v t I N ev S t

    = = = .

    Neka kroz bakarni provodnik poprenog preseka protie struja

    od . Eksperimentalno je utvreno da je koncentracija slobodnih

    elektrona u bakru

    2mm1=SA1=I

    19 3' 8.5 10 mmN = 35.7 =v

    . Tako se dobija da je srednjamakroskopska brzina elektrona , to je znatno manje od

    srednje brzine termikog kretanja, pa je zanemarivanje uinjeno priodreivanju srednjeg puta izmeu dva sudara sasvim opravdano.

    m/s10 5

    'IJ NS

    = = ev Ako se jaina struje podeli povrinom poprenogpreseka dobija se nova veliina - gustina struje.Jedinica za gustinu struje sledi iz definicije. Prilikomdefinisanja jaine struje povrina poprenog preseka

    provodnika je smatrana skalarnom veliinom.

    [ ]2m

    A=J

    Meutim, i povrina i brzina su vektorske veliine.

    'I N ev S=rr

    'I

    J NS

    = =

    evr r

    r

    vJrr

    =

    Algebarski znak jaine struje je zapravo znak skalarnogproizvoda vektora gustine struje i vektora povrine.Jednom usvojeni referentni smer struje odreuje smernormale poprenog preseka i obrnuto, usvojeni smernormale na povrinu poprenog preseka provodnikaodreuje referentni smer struje koji nije obavezno isti sasmerom koji je dogovorom odreen.

    SJI rr=

    U optem sluaju provodnik nije konstantnog poprenog preseka i gustinastruje du provodnika nije konstantna i pored toga to je jaina struje usvakom poprenom preseku ista.

    Zbog toga se gustina struje definie pomoudiferencijalnog kolinika. Iz te definicije seuobiajeno izraunava jaina struje.

    SIJ rr

    dd= =

    S

    SJI rvd

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    17/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 17

    11 - Jednaina kontinuiteta

    Neka se u zapremini V koja je ograniena zatvo-

    renom povrinom nalazi neka koliinaproizvoljno rasporeenih naelektrisanja .

    Sq = V dVq

    Ova koliina naelektrisanja moe da se izmeni samo ako kroz graninupovrinu naelektrisanja pristiu u zapreminu ili je naputaju, obrazujuipritom kondukcione ili konvekcione struje.

    Poto izlazni fluks vektora gustine struje krozpovrinu predstavlja ukupnu struju, to jeprema definiciji jaine struje on jednak

    negativnom prirataju koliine naelektrisanja uvremenu.

    S

    t

    qSJ

    Sd

    dd =rr

    Ako naelektrisanja naputaju zapreminu fluks(skalarni proizvod) je pozitivan, a koliinanaelektrisanja se smanjuje.

    =V

    dd

    dd V

    tSJ

    S

    rr

    Obrnuto, ako naelektrisanja pristiu u zapreminu fluks je negativan, aprirataj naelektrisanja je pozitivan.

    Kad operacije diferenciranja po vremenu i integra-ljenja po zapremini, kao nezavisne, zamene mestadobija se jednaina kontinuiteta naelektrisanja.

    =V

    dd Vt

    SJS

    rr

    Kad se primeni teorema Gauss-Ostrogradskyogsledi diferencijalni oblik jednaine kontinuitetanaelektrisanja.

    tJ

    =r

    div

    Poslednje dve jednaine su samo matematiki zapis zakona o konzervacijinaelektrisanja.

    Zbir svih naelektrisanja u kosmosu je nepromenljiv.

    U stacionarnom strujnom polju raspored naelektrisanja mora da budestacionaran. To znai da na mesto naelektrisanja koja naputaju zapreminudolazi ista koliina novih naelektrisanja, i obrnuto naelektrisanja kojapristiu u zapreminu potiskuju iz nje istu koliinu naelektrisanja.

    0d =S

    SJrr

    Drugim reima, zapreminska gustina naelektrisanjaje u vremenu nepromenljiva i izvodi po vremenu sujednaki nuli. Dakle, stacionarno strujno polje jebezizvorno. Strujnice polja su zatvorene krive.Naelektrisanja se kreu poput nestiljive tenosti. 0div =J

    r

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    18/61

    18 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    12 - Jednaina kontinuiteta i merenje jaine struje

    Primena jednaine kontinuiteta naelektrisanja u integralnom obliku na

    jedan provodnik (strujnu tubu) u kome je uspostavljeno stacionarno poljedovodi do sledeeg razmatranja. Formira se zatvorena povrina koja sesastoji od povrina poprenih preseka, i , koje su u optem sluaju

    razliite, i povrine omotaa . Ukupni fluks vektora gustine struje

    kroz ovu povrinu je jednak zbiru flukseva kroz sve navedene delovepovrine.

    1S 2S

    omS Jr

    0212om1

    =+=++= SSSSSS

    SdJSdJSdJSdJSdJSdJrrrrrrrrrrrr

    Fluks kroz povrinu omotaa je jednak nuli. Matematiki gledano, vektornormale povrine omotaa i vektor gustine struje grade prav ugao, pa jeskalarni proizvod ova dva vektora jednak nuli. Meutim, fiziki smisao jeda naelektrisanja ne naputaju provodnik i gustina struje van provodnika jejednaka nuli. Na povrinama poprenih preseka vektori normala povrina igustine struje su istog pravca. U odnosu na bilo koji usvojeni smer strujeskalarni proizvodi su suprotnih znakova, pa se ta dva sabirka anuliraju.Odavde sledi da je ukupni fluks vektora jaine struje kroz ovakvuzatvorenu povrinu jednak nuli.

    Posledino, to znai da su jaine struja udva posmatrana preseka jednake bez obzirana povrine poprenih preseka.

    2

    2

    1

    1

    ISdJSdJISS

    === rrrr

    U svakom poprenom preseku provodnika jaina struje je ista.

    Ovo razmatranje upuuje na nain merenjajaine elektrine struje. Granu elektrinogkola treba prekinuti, a na mestima prekidaubaciti ampermetar.

    Merenje jaine struje prekidanjem strujnogkola je samo od teorijskog znaaja. Upraksi se merenje jaine struje vri po-sredno, bez prekidanja elektrinog kola,tako to se provodnik obuhvati instru-

    mentom koji se naziva "strujna kleta".

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    19/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 19

    13 - PrviKirchoffov zakon

    Kada su struje kanalisane provodnicima posma-

    traju se vorovi u kojima se spajaju tri ili vieprovodnika. Formira se zamiljena zatvorenapovrina koja obuhvata posmatrani vor. Poto jevektor gustine struje van provodnika jednak nuli,ukupni izlazni fluks je jednak zbiru parcijalnihflukseva kroz povrine poprenih preseka svihprovodnika.

    ++=321 SSSS

    SdJSdJSdJSdJrrrrrrrr

    Pozitivne normale na povrinama poprenihpreseka su kolinearne sa spoljanjom normalomzatvorene povrine i sa referentnim smerovimastruja koje sve utiu u vor. Tako se dobija

    0321 =++ III ,

    to je poznato kao prviKirchoffov zakon. Odavdeje jasno da bar jedna od struja koja utie u vorima stvarni smer suprotan od referentnog. Naprimer,

    213 III += .

    Gustav Kirchoff,1824-1887

    U optem sluaju u jednom voru se sustie provodnika.n

    Algebarski zbir jaina svih struja u voru elektrine mree je jednak nuli.

    01 ==n

    kkI

    14 Primer sloenog elektrinog kola

    0 1 3I I I= +

    1 2 4I I I= +

    2 5I I= 0 5 4 3I I I I= + +

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    20/61

    20 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    15 - Ohmov zakon

    vJrr

    =

    EuEm

    ev

    rrr=

    =

    2

    Iz prethodno izvedenih izraza za gustinu struje i

    srednju brzinu usmerenog kretanja elektrona, sledida je gustina struje direktno proporcionalna jainielektrinog polja. Koeficijent srazmernosti jespecifina provodnost koja osim od materijala(koncentracije slobodnih elektrona) zavisi jo samood temperature (brzine termikog kretanja). Tvm

    seNu

    2

    2==

    Tako se za gustinu struje dobija konaan izraz, kojije zapravo Ohmov zakon u lokalnom ili diferen-cijalnom obliku.

    EJrr

    =

    U stacionarnom strujnom polju, u kome je struja kanalisana tankim ihomogenim provodnikom stalnog poprenog preseka, treba uoiti deoprovodnika ogranienog sa dva poprena preseka na rastojanju l izmeukojih postoji napon U. Tada je jaina struje u provodniku

    UGUl

    SSESJI ==== ,

    gde je koeficijent srazmernosti elektrina provodnost. Recipronavrednost provodnosti je otpornost,

    GR G/1= .

    Tako se dobija Ohmov zakon u integralnom obliku ijedinice za otpornost om i provodnost simens. I

    UR = ,UIG =

    Georg SimonOhm, 1787-1854

    [ ][ ]

    [ ]===

    A

    V

    I

    UR ,

    [ ][ ]

    [ ]S

    V

    A===

    U

    IG .

    Ranija jedinica za provodnostje bila Mho (unazad itanoOhm) i imala je oznaku .

    Ernst Werner vonSiemens, 1816-1892

    Reciprona vrednost specifine provodnosti jespecifina otpornost sa oznakom, , ali ovajsimbol ne treba meati sa zapreminskom gustinomnaelektrisanja. Iz definicije slede i jedinice zaspecifinu provodnost i specifinu otpornost.

    [ ] S/m=

    [ ] m1 =

    =

    SlR =

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    21/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 21

    16 - Izraunavanje otpornosti

    Integralni oblikOhmovog zakona je rezultat eksperimentalnih istraivanja,

    dok je diferencijalni oblik istog zakona izveden na osnovu teorijskihistraivanja. Oba oblika su skladna kad se otpornost izraunava za tanak ihomogen provodnik konstantnog poprenog preseka. Meutim, u optemsluaju specifina otpornost i popreni presek posmatranog delazapremine, kroz koji protiu stacionarne struje, mogu da budu promenljiveveliine.

    U svakoj taki stacionarnog strujnogpolja vai Ohmov zakon,

    JErr

    = .

    Izmeu bilo koja dva poprena preseka,na rastojanju postoji stalnapotencijalna razlika

    ld

    RIIlS

    lllEU d

    )(

    d)(dd === r

    rrr

    .

    U strujnoj tubi vektori normale poprenog preseka ivektora tangente strujnice su kolinearni, odakle slediopta formula za izraunavanje otpornosti. U specijal-nom sluaju, kad su specifina otpornost i poprenipresek stalne veliine, sledi ve izvedena formula.

    )(

    d)(d

    lS

    llR =

    =2

    1 )(

    d)(

    lS

    llR

    S

    lR =

    na C20 oMaterijal

    [ ]S/m C1/o Bakar 6106.59 3109.3 Aluminijum 6

    108.37 3

    106.3

    Konstantan 6102 31005.0 ista voda 5102 3101.5 Zemlja 24 1010 3101.5

    Zavisnost specifineotpornosti od

    temperature iskazujese pomou

    temperaturnogkoeficijenta ,

    (videti lekciju 20).

    Primer

    Potrebno je odrediti poluprenik provodnika nainjenog od aluminijumatako da ima istu otpornost kao i provodnik od bakra koji ima istu duinu.

    1/

    /=

    =Cu

    Al

    Cu

    Al

    Cu

    Al

    Sl

    Sl

    R

    R

    Cu

    AlCuAl dd

    =

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    22/61

    22 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    Primer- Linijski razdelnik napona - potenciometar

    Otpornik je nainjen od otporne trake duine , stalne irine b i debljine

    koja linearno raste od vrednosti

    L

    c 0cc = do vrednosti 0ncc = . Potrebno jeodrediti zavisnost otpornosti od poloaja klizaa , Lx 0 . Promenadebljine otporne trake se dobija kao jednaina prave kroz dve take, pa jepovrina poprenog preseka,

    ( ) ,..2,1),()1()()( 00 ==+== nxfL

    bcxnL

    L

    bcxbcxS

    Otpornost izmeu klizaa i poetka trake je

    +

    ==

    Lx

    nn

    R

    xf

    x

    bc

    LxR

    x

    x)1(1ln

    1)(

    d)( 0

    000

    Otpornost izmeu klizaa i kraja trake je

    L

    xn

    n

    n

    R

    xf

    x

    bc

    LxR

    L

    x

    xL

    )1(1ln

    1)(

    d)( 0

    0 +==

    .

    Ukupna otpornost je

    1

    ln00

    =+=

    n

    nRRRR xLxu .

    U specijanom sluaju, 1=n , nema promeneu povrini poprenog preseka pa je i otpor-nost linearna funkcija poloaja klizaa. Doovih rezultata se dolazi neposredno izpoetnih izraza za povrinu poprenog pre-seka i bez potrebe za integraljenjem iliposredno iz konanih izraza za otpornosti

    kad je potrebno potraiti granine vrednostitih izraza.

    L

    xR

    bc

    xxR x 0

    00 )( ==

    =

    L

    xRxRxL 1)( 0

    01

    0 1

    lnlim R

    n

    nRR

    nu =

    =

    U optem sluaju povrinapoprenog preseka semenja po linearnom za-konu, a otpornost izmeupoetne i klizne take semenja po logaritamskomzakonu. Takav rezultat za-pravo savreno odgovaraljudskim ulima i zato imaveliku primenu u audio ivideo ureajima.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    23/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 23Primer - Obrtnirazdelnik napona - potenciometar

    Kad se otporna traka, irine b , iz prethodnog

    primera, savije u kruni luk srednjegpoluprenika dobija se obrtni potenciometar.aU ovom sluaju kliza se okree oko ose odpoetne vrednosti 0= do krajnje vrednosti

    02 = , a debljina trake, , se dobija kaojednaina prave kroz dve take,

    c

    )(22)( 00

    00

    0

    =

    cnc

    cc .

    Povrina poprenog preseka je funkcija ugaonekoordinate )()( = cbS ,

    )(2222

    )1()1(2)(

    0

    0

    0

    00

    =

    ++

    = fSnn

    cbS .

    Dalje, otpornosti izmeu poetka otpornika i klizaa, odnosno klizaa i

    kraja otpornika su

    )(

    )(ln

    1)(

    d

    )(

    d)22(

    )(

    d)(

    0

    000

    01

    00

    =

    =

    ==

    f

    f

    n

    R

    fR

    fS

    a

    lS

    lR

    l

    i

    )(

    )2(ln

    1)(

    d)( 00

    2

    02

    0

    =

    =

    f

    f

    n

    R

    fRR .

    Pri niskim nivoima nadraaja (na primer, jaina zvuka ili osvetljenost)male promene otpornosti treba da proizvedu takve promene jaine struje(napona) koje proizvode osetne promene nadraaja. Obrnuto, to je viinivo nadraaja ula su sve manje osetljiva na promene, a velike promeneotpornosti treba da daju male promene u jaini struje ili napona.

    Ukupna otpornost potenciometra je

    )( )2(ln1 00021 =+ ffnRRR

    .

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    24/61

    24 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    17 - Ekvivalentne otpornosti

    Redna ili serijska veza. Kroz

    razliitih otpornika koji su vezani nared protie struja iste jaine. PremaOhmovom zakonu to je isto kao i da jeu elektrinom kolu vezan samo jedanotpornik ija je otpornost jednakazbiru svih redno vezanih otpornika.

    N

    =

    =N

    kke RR

    1

    Izmeu prikljuaka svakog od otpornika napon je raliit, a rauna se poOhmovom zakonu. Redna veza otpornika je razdelnik napona.

    Paralelna veza. Kroz razliitih otpornika koji su vezani paralelnoprotiu razliite jaine struja, ali je na krajevima svih otpornika napon isti.Paralelna veza otpornika je razdelnik struja. Prema prvom Kirchoffovomzakonu, ukupna jaina struje je jednaka zbiru jaina svih struja kojeprotiu kroz paralelno spojene otpornike.

    N

    e

    N

    k k

    N

    kk R

    U

    RUII ===

    == 11

    1

    Tako se dolazi do izraza za ekvivalentnu otpornost

    paralelno vezanih otpornika. Jaina struje krozsvaki od otpornika rauna se po Ohmovom zakonu.Ekvivalentna otpornost paralelno vezanih otpornikaje uvek manja od najvee prikljuene otpornosti.

    N

    =

    =N

    k ke RR 1

    11

    Ekvivalentna otpornost dva jednaka paralelno vezana otpornika je jednakapolovini otpornosti jednog od njih.

    Veze u zvezdu i trougao. esto je neophodno deo elektrine mreepretvoriti iz oblika zvezde u trougao i obrnuto. Neka su temene take

    zvezde i trougla oznaene redom sa A , i , i neka u te vorove utiustruje , i , respektivno.

    B CAI BI cI

    Da bi zvezda itrougao u otpornomsmislu bili jednakineophodno je danaponi izmeu vo-rova budu jednaki.

    Neka su u zvezduvezani otpornici

    AR , i .BR CR

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    25/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 25Na primer, prema referentnim smerovima i Ohmovom zakonu naponizmeu taaka i jeA B

    BBAAAB IRIRU = ,

    i mora biti jednak naponu izmeu istih taaka u trouglu. Neka u trougaonojvezi kroz otpornike , i protiu struje jaina , i

    , respektivno.ABR BCR CAR ABI BCI

    CAI

    Poto u konturi koja spaja vorove nema izvora napona, zbir svih naponamora biti jednak nuli, ili

    0=++ CACABCBCABAB IRIRIR .

    Prema usvojenim referentnim smerovima i prvomKirchoffovom zakonu je

    ABBBC III += , ABACA III += Zamenom ovih vrednosti u prethodnu jednainu odreuje se jaina strujekroz otpornik , a samim tim i napon izmeu taaka iABR A B ,

    BCABCAB

    BCABA

    CABCAB

    CAABAB IRRR

    RRI

    RRR

    RRU

    ++

    ++=

    Izjednaavanjem izraza za napone u zvezdi i trouglu slede veze za dveekvivalentne otpornosti. Trea ekvivalentna otpornost se dobija ako se istipostupak primeni na neka druga dva vora. Inverzne formule za transfor-

    maciju otpornike zvezde u trougao se elementarnim postupkom dobijajuiz prethodno izvedenih.

    Zvezda iz trougla Trougao iz zvezde

    CABCAB

    CAABA RRR

    RRR

    ++=

    C

    BABAAB R

    RRRRR ++=

    CABCAB

    BCABB RRR

    RRR

    ++=

    A

    CBCBBC R

    RRRRR ++=

    CABCAB

    BCCAC RRR

    RRR

    ++=

    B

    ACACCA R

    RRRRR ++=

    U posebnom sluaju kad su sveotpornosti u trouglu jednake

    RRRR CABCAB ===

    3/RRRR CBA ===

    U posebnom sluaju kad su sveotpornosti u zvezdi jednake

    RRRR CBA ===

    RRRR CABCAB 3===

    Meovite veze otpornika se reavaju uzastopnim primenama izvedenihformula sve dok se meovita veza ne svede na jednu ekvivalentnuotpornost.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    26/61

    26 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    Primer - Beskonana otpornika kaskada

    Ekvivalentna otpornost otpornike ka-

    skade, u kojoj su sve otpornosti iste, ikoja se sastoji od dve jednake elije sedobija tako to se sa primenom formulakrene od kraja kaskade. Tako se dobija daje ekvivalentna otpornost

    RR e 3

    52 = .

    Na isti nain, za kaskadu od tri, etiri i pet elija se dobija

    61538.18

    133 == RR e , 61904.121

    344 == RR e i 61818.155

    895 == RR e .

    Poveavanjem broja elija proruun ekvivalentne otpornosti postaje sveobimniji. Zato, u nekim sluajevima prorauna elektrinih kola, trebaprimeniti i neka druga znanja. Na ovom primeru treba uoiti da suekvivalentne otpornosti kolinici dva susedna lana Fibonaccijevog niza(Leonardo Pisano, 1175-1240 ?, poznat kao sin Bonaijev -filius Bonacci- Fibonacci), u kome se svaki naredni lan dobija kao zbir prethodna dva,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Tako je mogue odrediti ekvivalentnu

    otpornost za bilo koji broj elija (ak i beskonaan) u otpornikoj kaskadi.Oigledno je da, za veliki (beskonani) broj elija koje su vezane uotporniku kaskadu, jedna elija vie ili manje nee bitno promenitiekvivalentnu otpornost.

    To znai da je ekvivalentu otpornost cele kaskademogue zameniti paralelnom vezom jedne elije iekvivalentnom otpornou ostatka kasade koja ja istakao i za celu kaskadu. Pozitivno reenje dobijenekvadratne jednaine dovodi do konanog rezultata za

    ekvivalentnu otpornost beskonane otpornikekaskade.

    +

    +=

    e

    ee RR

    RRRR

    2

    RRe 2

    51+

    =

    Koeficijent u izrazu za ekvivalentnu otpornost beskonane otpornikekaskade, RRe = , je Fi, poznati zlatni broj 61803398.1= .

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    27/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 27

    Primer Zlatni broj

    Potrebno je odrediti vrednost otpornosti

    tako da ekvivalentna otpornost budejednaka ba otpornosti .

    xRxR

    ( )

    x

    xx

    x

    xe RR

    RRRRR

    RR

    RRRR

    +++

    =+

    +=

    Iz uslova da je xe RR = sledi kvadratna jednaina ije je pozitivno reenje

    2

    5RRRx

    += ili RRx = , gde je 2

    51+= .

    Na isti nain se reava problemodreivanja nepoznate kapacitivnosti

    koja treba da bude jednaka ekvivalentnojkapacitivnosti,

    xC

    xe CC = .

    CCx )1( =

    Primer Jednake ekvivalentne otpornosti

    Za dva prikazana elektrina kola treba odrediti vezu izmeu otpornostitako da im ekvivalentne otpornosti budu jednake.

    11 3

    2RRe =

    22 35RRe =

    21 2

    5RR =

    Primer Poveanje mernog opsega ampermetra

    Najvea jaina struje koju moe da izmeri ampermetar unutranjeotpornosti je . Kolika je otpornost koja se paralelno vezuje

    ampermetru da bi merni opseg bio n puta vei?aR aI dR

    ada InII =+ , ad InI )1( = , aadd RIRI = , )1/( = nRR ad .

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    28/61

    28 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    18 - Merenje otpornosti

    Otpornost se meri posredno merenjem napona na krajevima otpornika i

    struje koja protie kroz otpornik. Time se unosi sistemska greka zbogpostojanja unutranjih otpornosti ampermetra i voltmetra. Najee su obainstrumenta spojena u jedan koji se zove se ommetar. Pomoupromenljivog otpornika podeava se maksimalni otklon ampermetra

    (kratak spoj izmeu prikljuaka,

    pR

    0=xR ) a zatim se skala ampermetralinearno badari.

    Za merenja otpornosti koriste se i elektrinimostovi od kojih je najjednostavnijiWheatstone (Charles Wheatstone, 1802-1875) most. Meutim, ovaj most nijepronaao Wheatstone ve Samuel Hunter(Samuel Hunter Christie, 1784-1865).Naalost to nije usamljen sluaj u nauci.

    U optem sluaju kroz sve grane elektrinog kola, koje je nazvano most,protiu struje. Meutim, samo u jednom sluaju kroz granu koja sadriampermetar, tj preko mosta, ne protie struja. Tada je most u ravnotei, toznai da su vorovi i D na istom potencijalu.vor je zajedniki za otpornike i , to

    znai da su na njima naponi jednaki. vor jezajedniki za otpornike i , to znai da su

    naponi na tim otpornicima jednaki. Izmeu vorova

    i ne protie struja, to znai da ista jainastruje, , protie kroz otpornike i , a ista

    jaina struje, , kroz otpornike i .

    C

    D1I

    1R

    x

    2R

    xR

    A

    3

    2R 3R

    R

    BR

    1

    R

    2I

    0=BDU

    DCBC UU =

    ADAB UU =

    121 RIRI x =

    2231 RIRI =

    Kad se primeni Ohmov zakon na dve paralelnegrane ovog elektrinog kola, i kad se dobijenejednaine podele, sledi konaan izraz za nepoznatuotpornost.

    2

    31R

    RRRx =

    U praktinoj primeni otpornici i su nainjeni kao jedan kontinualni

    otpornik, sa klizeim kontaktom za vezu sa ampermetrom. Tada je odnosotpornosti jednak odnosu duina ili broja navojaka neke otporne ice poredkoje se nalazi skala badarena u omima.

    1R 2R

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    29/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 29

    19 -Jouleov zakon

    U provodnicima nosioci naelektrisanja su elektroni,

    pa je ukupno naelektrisanje u elementu zapremineodreeno koncentracijom elektrona. Sile

    elektrinog polja, pomerajui naelektrisanja vre rad.

    qVd

    VeNq d= tvEqlFA ddd

    rrrr==

    U provodnicima, zbog stalnih sudara elektrona sa jonima kristalne reetke,celokupan rad se pretvara u toplotu.

    Zagrevanje provodnika usled proticanja elektrinestruje je poznat Jouleov gubitak ili Jouleov efekat.Joul je bio engleski fiziar koji je prouavaooslobaanje toplote u provodnicima kroz koje protieelektrina struja. Ta prouavanja su uobliena krozpoznati Jouleov zakon ili efekat. Snaga Jouleovihgubitaka po elementu zapremine je

    VEJVEveNt

    AP dd

    d

    dd

    rrrr=== . James Joule,

    1818-1890

    Tako se dobijaJouleov zakon u lokalnom ili diferen-cijalnom obliku. EJV

    P rr=

    d

    d

    Protok nosilaca naelektrisanja kroz provodnik uslovljen je postojanjemelektrinog polja, tj. postojanjem potencijalne razlike izmeu dva poprenapreseka provodnika.

    U homogenom provodniku konanih dimenzija ukupna snaga Dulovihgubitaka je

    ===lV S

    IUlESJVEJPrrrrrr

    ddd .

    Tako se dolazi do Jouleovog zakona u integralnomobliku, onako kako ga je predstavio samJoule. IUP=

    U sluaju stacionarnih struja koje su kanalisane krozprovodnike i diferencijalni oblikJouleovog zakonadobija jednostavnije oblike.

    22

    d

    dEJ

    V

    P==

    Jedinica za snagu je dul po sekundi ili vat, saoznakom W , u ast kotskog fiziara i inenjera,koji je poznat po parnoj maini (James Watt, 1736-1819). Iz Jouleovog zakona sledi i ekvivalentna

    jedinica za snagu, tj. amper-volt.

    [ ]s

    JW ==P

    sWJ =

    VAW =

    U elektroprivredi se za elektrini rad upotrebljava jedinica .kWh

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    30/61

    30 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    Kad se uz Jouleov zakon doda i Ohmov zakon slede formule koje se

    Jaina struje Otpornost Napon

    najee upotrebljavaju za proraun snage, napona i jaine struje uprovodnicima.

    Snaga

    IP 2= RPI /= 2/IPR = IP/U=

    IUP= UPI /= PUR /2= PRU=

    RUP /2= RUI /= IUR /= IRU =

    0 - Temperaturna zavisnost otpornosti

    agrevanje provodnika ima najvei uticaj na promenu specifine

    2

    Zotpornosti provodnika. Porastom temperature poveava se brzinatermikog kretanja i uestalost sudara elektrona sa jonskom reetkom.Samo neke legure kao to su manganin ( %84Cu%,4Ni%,12Mg )ili konstantan ( %60Cu%,40Ni ) imaotpornost, i to sa opsegu od C0 0 do C100 0 .

    Promena specifine otpornosti )(T

    ju skoro konstantnu specifinumo u temperaturnom

    sa porast teme mom rature oe sepredstaviti redom

    ...)()()(1) 312

    111 ++++ TTTTTTT ()( = T

    emperatura je ona temperatura na kojoj je poznata specifinaT 1Totpornost. Za uzan temperaturni opseg se obino koristi sobna temperatura

    ( C20 o ili ee C23 o ). Temperaturni koeficijenti ...,, se za svakip nik utvruj erimentalno, a vrednost im vrlo brzo opada.

    U praktinoj primeni se koristi samo prvi

    rovod u eksp

    lan reda, pa je zavisnost linearna.

    ( ))(1)()( 11 TTTT +=

    nteresantno je da neki materijali, kaI o to je na primer legura konstantan,

    zavisnost nije linearna i u proraun se ukljuuju i

    moe da se odri satima bez izvora napajanja.

    imaju negativan prvi temperaturni koeficijent, to znai da im sa porastomtemperature specifina otpornost opada. Ova legura se inae koristi zaproizvodnju grejnih tela.

    blizini apsolutne nuleUvii lanovi reda. Kod nekih metala, kao to su vanadijum, kalaj i olovo,specifina otpornost u blizini apsolutne nule naglo pada na zanemarljivu

    vrednost. Ova pojava se naziva superprovodnost. U elektrinom kolu,nainjenom od olova, u blizini apsolutne nule, jednom uspostavljena struja

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    31/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 31

    apona imaju svoju

    nutranju otpornost, tako i izvori jednosmernog napona imaju svoju

    21 - Snaga potroaa i izvora napajanja

    Kao to instrumenti za merenje jaine struje ili n

    uunutranju otpornost, koja kao i kod instrumenata treba da bude poznata.Instrumenti, zbog unutranje otpornosti, vezivanjem u elektrino kolo umerenje unose sistemsku greku. Nasuprot tome, napon izvora napajanja jepoznat na krajevima izvora, pri emu je ve ukljuena unutranjaotpornost, uR . Znai da je napon koji daje izvor isti kao i napon na

    potroau. Potroa je, za sada, termogena otpornost, R , gde se celokupanrad pretvar u Jouleove gubitke. Meutim, u ovom sluaju, gubici ilinekorisna snaga se razvijaju na unutranjoj otpornosti izvora napajanja, a

    korisna snaga se razvija na potroau ili prijemniku.

    U elektrinom kolu koje se sastoji od izvora

    a

    apajanja napona i unutranje otpornosti , in U upotroaa otpornosti

    R

    , protie stacionarna strujajaine I, koja se od uje pomou Omovog zakona.re

    uRR

    UI

    +

    =

    uRR

    UP

    +=

    2

    2

    2

    )( uR

    RR

    URP

    +=

    Ukupna snaga, P, koju daje izvor napajanjaodreuje se pomou Dulovog zakona. Snaga na

    e

    efinietepen korisnog dejstva

    potroau je odre na otpornou i jainom strujekroz potroa. Iz tako izvedenog izraza za snagu kojase razvija na potroau slede dva razmatranja.

    Odnos korisne snage i ukupne snage ds

    uR

    RR RPP +==

    0d

    d=

    R

    PR

    uRR =

    R

    UP

    MAXR 4

    2

    =

    . to vei stepen korisnog

    ektronici, gde se radi sa malim snagama,ostavlja se uslov da se to vea snaga preda

    dejstva je od bitnog znaaja za elektroenergetskesisteme pa se tei da otpornost potroaa bude tomanja.

    U elppotroau. Snaga na potroau je jednaka nuli za

    0=R i R . Prema Rolle (Michel Rolle, 1652-1719) teoremi izmeu dve nule neprekidne funkcije

    na vrednost, koja se odreujeizjednaavanjem prvog izvoda sa nulom. Tako sedobija da unutranja otpornost izvora napona i

    otpornost potroaa treba da budu jednake, uRR

    postoji ekstrem

    = .Ovaj uslov se naziva uslov prilagoavanja po snazi. 5.0= = uRR

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    32/61

    32 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    22 - Elektromotorna sila

    Kao to je ve reeno za odravanje stacionarne struje u jednoj ili vie

    rana elektrinog kola moraju postojati izvori jednosmernog napona, ijim

    nja Ohmvog zakona u

    kalnom ili diferencijalnom obliku.

    gradom se odrava stacionarno stanje. Rad izvora vre sile koje mogu bitielektrinog porekla, ali i neelektrinog porekla (hemijskog, biolokog, fotoporekla ili kretanje naelektrisanih tela). U svim sluajevima radi se ostranim ili eksternim silama koje imaju zajedniku osobinu da deluju naslobodne nosioce naelektrisanja, kao to bi to inilo neko strano tj.eksterno elektrino polje.

    Tako se dolazi do uopte

    lo

    JEE errr

    =+

    Za dve take i q na linijskom provodniku koje je deo elektrinog k la io

    u kome postoji izvor napajanja je

    =+qqqq

    lElE ddrrrr

    ==p

    pq

    pp

    e

    p

    RIS

    lIlJ

    ddrr

    .

    Prvi sabirak je razlika potencijala izmeu posmatranih taaka. Drugiotorna sila,sabirak je elektrom

    pqTako je prethodni izraz mogu zapisati u formi

    E , koja deluje izmeu istih taaka.

    eoptenog oblika Ohmovog zakona u integralnomu

    obliku.q pq pU I qR+ =E

    Elektromotorna sila ima prirodu napona i jednaka je potencijalnoj razlicimeu pozitivnog i negativnog prikljuka izvora napajanja. Meutim, to

    ao to e biti odmah pokazano, dovode do drugogirchoffovog zakona.

    zakon DrugiKirchoffov zakon

    izje usmerena veliina koja je orijentisana kroz izvor napajanja od

    negativnog ka pozitivnom kraju izvora, to odgovara smeru stranogelektrinog polja.

    Ova razmatranja, kK

    PrviKirchoffov

    0n

    1

    =

    =kkI 0=

    n

    U 1=k

    k

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    33/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 33

    23 - DrugiKirchoffov zakon

    q pq pU I qR+ =E

    0=pqU

    Prethodno razmatranje se moe primeniti i na

    atvorenu konturu koja predstavlja najprostijernom reimuednaka nuli,

    zelektrino kolo. Kako je u stacionacirkulacija vektora elektrinog polja jto je i zbir napona jednak nuli i odatle sledi drugiKirchoffov zakon.

    I R=E

    U matematikom zapisu ovog zakona E je zbir svih

    u elektrinom kolu, a

    elektromotornih sila

    R ukupna otpornost elektrizapis ovog zakona se ne razlikuje od Ohmovog zakosutinska razlika je

    nog kola. Formalnina. Meutim, postoji

    r u drugomKirchoffovom zakonu uestvuju sile neelek-

    n

    moe

    trinog porekla, ije dejstvo na slobod e nosioce naelektrisanja odravastacionarni reim u elektrinom kolu.

    Za bilo kakvo sloeno elektrino kolo ukome deluje vei broj elektromotornih silatreba uoiti neku zatvorenu konturu. Zasvaki deo konture izmeu dva vorase primeniti drugi Kirchoffov zakon. Kadse sve jednaine saberu sledi

    , , ,

    n n n

    ij ij ij iji j i j i j

    U I R+ = E .

    Ako je smer obilaska po konturi isti kao i smer struje u nekoj grani strujapozitivnim znakom i obrnuto. Isto vai i za elektromotorne

    sile.

    Za primer sa slike se dobija

    zakon je mogue iskazati kao to sledi.

    U proizvoljnoj zatvorenoj konturi sloenog elek-trinog kola zbir svih elektromotornih sila jejednak zbiru padova napona na otpornicima.

    se uzima sa

    0)()()()( 14433221 =+++=

    n

    ijU .,ji

    Definitivno, drugiKirchoffov

    , ,

    n n

    ij ij iji j i j

    I R= E

    O vni zakoni) su osnova

    z kona razvijen je v ib je metod konturn hs

    hmov zakon, prvi i drugi Kirchoffov zakon (osno

    a reavanje sloenih elektrinih kola. Iz osnovnih zaroj metoda za reavanje elektrinih kola, kao totruja, metod potencijala vorova i td.

    ei

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    34/61

    34 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    24 - Kondenzator u kolu jednosmerne struje - 1

    Kondenzator u kolu jednosmerne struje je prekid. Naime, struja postoji

    samo u prelaznom reimu, tj. u kratkom vremenskom intervalu dok sekondenzator puni ili prazni. Zbog toga e biti razmatranevrednosti struje, napona i koliine naelektrisanja koje su v

    trenutneremenski

    zavisne veliine sve do uspostavljanja ravnotenog stanja.

    Punjenje kondenzatora. Po drugomKirchoffovom zakonu elektromotorna sila jejednaka zbiru padova napona na otporniku ikondenzatoru. Padove napona treba izrazitipreko koliina naelektrisanja:

    t

    tqRRtiuR d

    )(d)( == , )(

    1)( tq

    CtuC = .

    )()( tutuE CR +=

    Tako se dobija nehomogena linearna diferen-ina prvog redacijalna jedna u kojoj su svi

    lanovi dimenziono jain truja.e sR

    Etq

    RCt

    tq=+ )(

    1

    d

    )(d

    To znai da proizvod mora da predstavlja vreme. VremeRC RC= naziva se vremenska konstanta, to postaje

    diferencijalna jednaina rei.Do reenja diferencijalne jednain

    jo oiglednije kad se

    e moe da sedoe ako se jednostavnim pregrupisavanjemlanova dovede na oblik koji razdvaja pro-menljive.

    tRCtqEC

    tq 1

    )(

    )(d=

    d

    Integracijom leve i desne strane dobija se traenoi aditivnu konstantu integracije. Da bi reenje biloje i poetni uslov. Zato, neka je u poetnom trenu

    reenje, a on e sadratijednoznano, potrebantku,

    o

    0=t , kondenzatorbio prazan (neoptereen), tj. 0)0( =q . Tako se dolazi do ko nog reenja.na

    t )(tq )(tuC )(ti

    t )1()( / = teECtq )1()(/ = teEtu

    C

    = /)( teR

    Eti

    0=t 0)0( =q 0)0( =Cu RE

    i =)0(

    t ECQq ==)( EUu CC ==)( 0)( == Ii

    = 3t Qq 95.0)3( EuC 95.0)3( RE

    i 05.0)3(

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    35/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 35

    25 - Kondenzator u k lu jednosmerne struje - 2

    Iz injenice da se kondenzator puni po eksponencijalnom zakonu, to zna i

    da u vrlo kratkom vremenskom intervalu napon na kondenzatoru dostieuli. OvaNeka su

    lektromotorna sila,

    o

    skoro maksimalnu vrednost, a jaina struje vrlo brzo tei nzakonitost se moe iskoristiti za merenje kapacitivnosti.

    E, i otpornost,e , poznate veliine.

    ogue odrediti i

    Merenjem napona na kondenzatoru i vremenakoje je potrebno da napon na kondenzatorudostigne neki deo teorijskog maksimuma, moese odrediti kapacitivnost. Takoe, nepoznatuvrednost kapacitivnosti je m

    merenjem jaine struje i vremena potrebnog dajaina struje opadne na neki deo teorijskogmaksimuma.

    =

    E

    tuR

    tC

    C )(1ln

    =)(ln ti

    E

    RR

    tC

    Najee se koristi upravo napunjenost konden-zatora od %95 , jer je tada 305.0ln . R

    tC

    3

    a primer, akN o je = M1R i ako izmereno vreme, potrebno da napon namotorne sile,kondenzatoru dostigne %95 vrednosti elektro , ili da

    ost od vrednosti maksim struje,

    nosi a

    jaina struje opadne na vre

    , tada je izra

    dn

    unata k

    %5

    pacitivnost

    alne

    s3=t F1=Ciz .

    kra

    ektrom napona na konden-

    Pranjenje kondenzatora. Prosto elektrinokolo sadri kondenzator napunjen oliinomnaelektrisanja Q i otpornik. U kolu nema izvo

    0)( =

    elza

    otorne sile. Zbirtoru i na otporniku, od trenutka uspostavljanja

    kontakta (u prelaznom reimu), je jednak nuli.Kad se naponi izraze preko koliinanaelektrisanja dobija se homogena diferen-cijalna jednaina prvog reda. Konstantaintegracije odreuje se iz poetnog uslova

    Qq =)0( , odakle sledi konano reenje.

    )(t+ utu RC

    )(1

    )( tqC

    tuC =

    ttqRtRituR d )(d)()( ==

    0)(1

    d

    )(d=

    + tq

    t

    tq

    = /)( teQtq

    Koliina naelektrisanja, napon na kondenzatpranjenju kondenzatora opadaju po eksponencijalno

    oru i jaina struje prim zakonu.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    36/61

    36 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    26 - Realni i idealni generatori - 1

    Ve je ranije napomenuto da izvori jednosmernog

    apona nisu savreni i da imaju svoju unutranjunotpornost, uR . Stvarna struja koja protie kroz

    rosto kolo je kolinik elektromotorne sile, E=p , i

    le

    ukupne otpornosti. Odatle se dobijaju izrazi za naponna potroau i unutranju otpornost izvora. Naosnovu pos dnjeg izraza merenjem je mogueodrediti unutranju otpornost.

    uRR

    EI

    +=

    RR

    ERIRU

    u +==

    I

    IRERu

    =

    Prvo se izmeri napon na prikljucima izvora elektromizvor neoptereen. To je napon praznog hoda. Zatimformiranjem prostog strujnog kola, tj. prikljuivanjem

    otorne sile kada jese izvor optereti,

    potroaa otpornostiR . Merenjem jaine struje dobijaju se podaci za proraun unutranjeotpornosti.

    Kad je unutranja otpornost izvora elektromotorne sile znatno manja odprikljuene otpornosti, RRu > . Tada je jaina struje u prostomelektrinom kolu skoro sna od otpornosti potroaa i drugihgeneratora koji se mogu s ti id

    U ovom sluaju je pogodno uvesti pojam idealnogstrujnog generatora, ija je osnovna karakteristikajaina struje sI koja je konstantna i nezavisna od

    otpornosti potroaa. Idealni strujni generaelektrinim emama predstavlja kruiem sastrelicom koja oznaava smer struje.

    su

    IREI ==

    us R

    RERIU ==

    U sluaju koji tei idealnom, strujnom generatoru se motpornik koji predstavlja unutranju otpornost. Paraotpornosti generatora i otpornosti potraaa je vrl

    potroaa. U graninom (idealnom) slu

    oe paralelno dodatilelna veza unutranje

    o bliska otporno ti

    aju unutranja otpornost gene-

    s

    ratora tei beskonanosti, uR , a ekvivalentna otpornost paralelneveze je jednaka otpornosti potroaa.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    37/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 37

    ne mre

    nja ekvivalentne otpornosti mree)ni generatori se uklanjaju. Uosti ostaju u mrei. U

    27 -Realni i idealni generatori - 2

    Kad je potrebno iz elektri e ukloniti izvore stacionarnog elek-

    trinog polja (obino zbog odreivanaponski generatori se kratko spajaju, a strujalnim sluajevima njihove unutranje otpornre

    idealnim i skoro idealnim sluajevima unutranje otpornosti ne utiu nakonfiguraciju mree i ekvivalentnu otpornost.

    Realni naponski generator

    RRu >

    U realnim uslovima naponski generator je mogue zameniti ekvivalentnimstrujnim generatorom i obrnuto. Teorema ekvivalencije je opta teoremateorije elektromagnetnih polja koja se u najkraem svodi na injenicu da su

    i proizvode isto elektrom osvi izvori elektromagnetnog polja koj agnetnpolje meusobno ekvivalentni. Svedeno na struje i napone u stacionarnomelektrinom polju to znai da je potroa uvek u istom reimu bez razlikeda li je generator koji ga napaja naponski ili strujni.

    nRR

    EI

    +=

    nRR

    REU

    +=

    s

    ss

    RR

    RIRU

    +=

    s

    ss

    RR

    IRI

    +=

    Kad se izjednae izrazi za jainu struje kroz potroa ili izrazi za napon nakrajevima potroaa dolazi se do izraza za traenu ekvivalenciju.

    Izjednaavan m brojilaca i imenilaca dolazi se dodnog generatora u drugi.Idealne generatore nije mogue konvertovati.

    je

    s

    ss

    n RRIR

    RRE

    +=

    +izraza za konverziju je

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    38/61

    38 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    28 - Reavanje elektrinih kola

    Linearna elektrina kola ili mree u optem sluaju sadre linearne

    otpornike (za koje vai Ohmov zakon) i izvore elektrunutranje otpornosti ne zavise od jaine i s omotornih sila ijemera proticanja struje krozotpornosti i vrednosti elektro-jaine struja u granama kola.

    a superpozicije Neposredna primena Ohmovog zakona

    izvor. U najveem broju sluajeva sveotornih sila su poznate, a nepoznate sum

    Naravno moe biti izuzetaka, ali se prilikom reavanja elektrinih kola, unajveem broju sluajeva, problem se uvek svede na odreivanje jainastruja.

    Za reavanje elektrinih kola razvijen je veliki broj metoda. Prilikomreavanja od velike koristi je i primena teorema iz teorije elektrinih kola.Neke od teorema i metoda su:

    TeoremTeorema reciprociteta Neposredna primenaKirchoffovih zakonaThveneninova teorema Metod konturnih strujaNortonova teorema Metod potencijala vorovaTeorema kompenzacije Ostali metodi koji se svode na matrine

    2 o i

    T je p seovih zakona.

    rani linearne elektrine mree, kojuljno rasporeenih izvora napona, je

    9 -Teorema superp z cije

    eorema superpozicijeostavljaju na osnovuKirchoff

    osledica linearnosti jednaina kojep

    Ukupna jaina struje u bilo kojoj gproizvodi proizvoljan broj proizvojednaka zbiru jaina struja koje bi u toj grani proizvodili ti isti izvorinapona kad deluju zasebno.

    Princip linearne superpozicije vai i u elektrostatici, ali je to zapravo optiprincip koji vai u teoriji elektromagnetnih polja u linearnim sredinama.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    39/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 39

    30 - Thveneninova teorema

    Teoremu koja sledi prvo je definisao Helmholtc jo 1853. godine. Pedeset

    godina kasnije, francuski inenjer telegrafije, Thvenenin (Lon CharlesThvenenin, 1857-1926) je ponovo doao do iste teoreme koja po njemu inosi naziv (nije prvi put uinjena nepravda).

    loenu elektrinu mreu je mogue podeliti na

    zamenitia svoju

    S

    izolovanu pasivnu granu koja je od interesa iostatak mree koji predstavlja aktivnu crnukutiju. Dalje, crnu kutiju je moguezvorom elektromotorne sile koji imi

    unutranju otpornost.To je Thveneninov ekvivalent ili Thveneninov generator.

    rna kutija moe da bude predstavljena prostC im ekvivalentom samo ako jeizmerena, sa dovoljnom

    eni, a daproraunu (pri merenjug strujnog generatoraa uklanja iz elektrinog

    i njena ekvivalentnaajeva izvan kutije je .

    ekvivalentna otpornost crne kutije izraunata ilitanou, kada su svi izvori stacionarnog elektrinog polja iskljupri tome sve unutranje otpornosti izvora ostaju use ini sistemska greka). U sluaju idealnounutranja otpornost je beskonana pa se cela gran

    kola. Na taj nain crna kutija postaje pasivnatpornost gledano sa kr TRo

    apon na krajevima van kutije, , je naponTUN

    R

    = UUT AB praznog hoda, tj. napon koji se moe izraunatiili izmeriti (opet sa zadovoljavajuom tanou)kad je pasivna grana uklonjena. Konano, izrazza jainu struje kroz izdvojenu pasivnu granuelektrine mree je isti kao i izraz za jainustruje koju daje realan generator kroz potroa.

    0== UeT RR

    RR

    UI

    T

    T

    +=

    Thveneninov ekvivalent

    U odnosu na bilo koja dva kraja svaku sloenumreu, koja sadri izvore stacionarnog elektrinmogue predstaviti prostim ekvivalentom koji snapona i samo jednu redno vezanu otpornost.

    linearnu elektrinuog polja i otpornos , jeadri samo jedan izvor

    ti

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    40/61

    40 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    31 -Nortonova teorema

    N

    gj1

    ezultate do kojih je doaoublikovao, a drugi u okviru istraivanja uBellovim laboratorijama je daomo interni tehniki izvetaj. I pored toga to se ne radi o nekimektakularnim rezultatima, jer je konverzija svakog realnog naponskog

    poznata, teorema je dobila naziv porugim svojim patentima.

    ortonova teorema je proirenje Thveneninove teoreme na strujni

    enerator. I u ovom sluaju je uinjena nepravda. Teoremu su nezavisnoedan od drugog prikazali 1926. godine Mayer (Hans Ferdinand Mayer,896-1980) i Norton (Edward Lawry Norton, 1898-1983). Prvi, u okvirustraivanja u Siemensovim laboratorijama je ri

    psaspgeneratora u strujni generatoristraivau koji je bio poznat po d

    Nortonov ekvivalent

    U odnosu na bilo koja dva kraja svaku sloenu linearnu elektrinumreu, koja sadri izvore stacionarnog elektrinog polja i otpornosti, jemogue predstaviti prostim ekvivalentom koji sadri samo jedan strujniizvor i samo jednu paralelno vezanu otpornost.

    Ekvivalentna otpornost posmatrane elektrine mree, NR , je ista kao i kod

    Thveneninovog ekvivalenta, TN RR = . Ekvivalentna otpornost se dobija

    raunski ili merenjem kad su svi izvori elektromotornih sila i strujeiteni. Jaina strujeNortonovog strujnog generatoraj izmeu posmatranih krajeva elektrine mree kadss

    strujnih generatora pone zapravo jaina strujeu ta dva prikljuka spojena savrenim provodnikom, tj. kad su u kratkompoju.

    Thveneninov ekvivalent Nortonov ekvivalent

    Napon praznog hoda Struja kratkog spoja

    = RT UU AB TTRN RUII /0AB ==

    32 -Teorema kompenzacije ili zamene

    Ma koji deo sloene elektrine mree koji je sa ostatkom mree povezansa dva prikljuka mogue je zameniti (kompenzovati) i to:

    id orom ija je dnakanaponu istim referentn

    idealnim strujnim generatorom ija jaina struje je jednaka jainistruje izmeu delova elektrine mree sa istim referentnim smerom

    ealnim naponskim generat elektromotorna sila jeizmeu prikljuaka sa im smerom,

    .

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    41/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 41

    3 -Teorema reciprociteta

    ne

    smrea i vai

    ektrine mree

    3

    eorema reciprociteta ili teorema uzajamnosti vai za linearne elektriT

    mree koje sadre samo jedan izvor napona. Ova teorema, kao i teoremauperpozicije, je posledica linearnosti osnovnih jednaina elektrinihu optoj teoriji elektromagnetnih polja u linearnim sredinama.

    Ako neki izvor napona dejstvuje u jednoj grani pasivne eli prouzrokuje neku jainu struje u nekoj drugoj grani te iste mree, tadataj isti izvor napona premeten u drugu posmatranu granu elektrinemree u prvoj posmatranoj grani prouzrokuje struju iste jaine.

    Na taj nain se za deo

    elektrine mree iz koje seizuzima grana, koja je odinteresa, usvaja termin crnakutija koja moe biti aktivnaili pasivna..

    3

    A

    4 -Neposredna primena osnovnih zakona

    ko se sloeno elektrino kolo sastoji od K grana i Nvorova, tada je

    otrebno postaviti K nezavisnih linearnih jednaina. Na osnovu prvogostaviti

    pKirchoffovog zakona se moe p 1N jedna koje su linearno

    razli i da je preostali brojina,

    nezavisne jer su svi vorovijednaina, 1

    iti. To zna+= NKn , p

    Kirchoffovog zakona. Meutimsloenom kolu moe postavit

    otrebno ovu drugog, takvih jedna ina ima toliko koliko se u

    i zatvore ntura. Da bi sistem od

    postaviti

    h ko

    na osn

    ni Klinearnih jednaina imao jednoznano reenje i te jednaine moraju biti

    eusobno nezavisne. Zato zatvorene konture treba birati tako da se svakarani elektrinog

    se metod koji jea

    irati jednain

    mnova kontura razlikuje od prethodne po jednoj novoj g

    ola. Da bi izbor nezavisnih kontura bio olakan koristikzasnovan na teoriji grafova. Prvo se nazn e grane koje povezuju svevorove mree a da pri tome ne obrazuju ni jednu zatvorenu konturu. Jasnou svakoj mrei postoji vie moguih reenja. Oznaene grane predstavljajustablo. Neoznaene grane su spojnice kojih ima tano onoliko koliko jepotrebno form a na osnovu drugogKirchoffovog zakona.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    42/61

    42 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    35 - Metod konturnih struja

    Metod konturnih struja je direktna posledica drugogKirchoffovog zakona,

    a u odnosu na neposrednu primenu Kirchoffovih zakona ima prednost jerse sistem jednaina vrlo jednostavno i na ematizovani nain formira. Brojina je jednak broju nezavisnih kontura, tj. broju nepoznatih

    konturnih struja. Ako sloeno elektrino kolo sadri strujne generatoretada su jaine struja u tim granama unapred poznate i moraju bitinezavisne grane odgovarajuih nezavisnih kontura kojima pripadaju.

    jedna

    Kako su konturne struje samo zamiljeneer

    po konturi. Prema drugomKirchoffovom zakonu,

    njihov smer se unapred pretpostavlja kao smobilaenja

    za svaku nezavisnukonturu zbir padova napona je jednak zbiruelektromotornih sila koje deluju u toj konturi.Tako se dobija sistem jednaina

    ( )( )

    ( )

    ( )

    =

    II

    I

    II

    I

    nk

    nk

    E

    E

    I

    I

    RRRR

    RRRR

    KK

    KK

    222221

    111211

    n

    k

    n

    k

    nnnk

    knkk

    E

    E

    I

    I

    RR

    RR

    M

    M

    M

    M

    K

    MOM

    K

    ina sa istim indeksima predstavljaju zbir svihnturi koja je oznaena tim indek

    nn

    kk

    RR

    RR

    K

    OMM

    K

    MMMOMM

    21

    21

    Koeficijenti u sistemu jedna

    tpornosti koje pripadaju ko som, tj. to subirovi svih otpornosti kroz koje protie konturna struja sa tim indeksom

    pa su nazvani sopstvena otpornost. Koeficijenti sa razliitim indeksima ili

    meusobne otpornosti su zbir svih otpornosti koje su zajednike za dveindeksirane konture. Ako kroz zajedniku granu dve konture protiukonturne struje suprotnih smerova koeficijenti imaju negativan znak iobrnuto. Slobodni lanovi sistema jednaina su zbir svih elektromotornihsila koje pripadaju konturi za koju se jednaina sastavlja.

    Nakon reavanja sistema jednaina odreuju se jaine struja u pojedinimranama sloenog elektrinog kola. Jaina struje u nezavisnoj grani je

    oz

    gjednaka jaini konturne struje, a jaina struje u grani koja pripada veem

    broju kontura je jednaka zbiru (ukljuujui znak) svih konturnih struja kojekroz tu granu elektrinog kola protiu.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    43/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 43

    trebalo postaviti

    36 - Metod potencijala vorova

    Metod potencijala vorova je zasnovan na posrednoj primeni Kirchoffovih

    zakona. U odnosu na direktnu primenu Kirchoffovih zakona daje manjiroj jednaina, tj. broj je jednak broju jednaina koje bib

    po prvom Kirhofovom zakonu. U sloenoj elektrinoj mrei prvo trebaobeleiti vorove, a zatim izdvojiti granu i vie paralelno vezanih granaizmeu dva vora. Neka izmeu vorova i i j postoji samo jedna granasa proizvoljnim brojem otpornosti (provodnosti) i izvora elektromotornesile tada je, prema definiciji, napon izmeu posmatranih vorova

    j

    ,d ijijij ERIlEU === rr

    i

    jiij

    gde je RR ukupna otpornost grane elektrinog kola i EE = jiij = jiijalgebarski zbir svih elektromotornih sila u posmatranoj grani.Metod e biti objanjen na primeru topologije elektrinog kola sa slike.

    Ukoliko kolo ne sadri ni u jednojgrani idealni naponski generator,potrebno je postaviti sistem od

    1= nx NN jednaina, gde je n

    broj vorova. Jedan od vorova seerentni i obeleava s

    se na potenusvaja za ref0 i nalazi

    ecijalu

    00 = .

    Ostali vorovi obeleavaju se brojevima 1...,...,,2,1 nk (proizvoljno) injihovi potencijali u odnosu na referentni su 21 ...,,...,, nk ,1respektivno.Sistem jednaina po metodi potencijal

    a vorova za elektrino kolo je

    ( )111 = Jn ,11212111 ...... GGGG nkk

    ( )211,2

    ... = JG nn 2222121 ... + GGG kkM

    ( )knnkkkkk

    JGGG kG =+ 112211 ...... ,M

    ( ) 11 =nn J 1,1,122,111,1 ...... + nnkknnn GGGG

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    44/61

    44 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    Ako iskoristimo injenicu da za napone izmeu bilo kog vora ireferentnog vora vai

    kkkU == 00 ,

    sistem jednaina postaje( )( )

    ( )

    =

    +

    +

    +

    +

    ( )

    1

    2

    1

    0,1

    0

    20

    10

    1,1,1

    1,21

    1,222221

    1,111211

    n

    k

    n

    k

    nnkn

    nkkkkk

    nk

    nk

    J

    J

    J

    J

    U

    U

    U

    U

    GG

    GGGG

    GGGG

    GGGG

    M

    M

    M

    K

    KK

    MMMOMM

    KK

    KK

    2,11,1 nn GG

    M

    K

    MOMOMM

    Provodnosti ( ijij RG /1= ) sa istim indeksima su sopstvene provodnosti, tj.

    provodnosti koje su prikljuene u vor sa zadatim indeksom. Provodnostisa razliitim indeksima su zbir svih provodnosti izmeu dva indeksiranavora. Samo se sopstvene provodnosti uzimaju sa pozitivnim predznakom,dok su sve ostale sa negativnim predznakom.

    ( )k

    Jza tik

    predstavlja algebarski zbir struja svih strujnih generator vezanih

    vor. Da bi se dobio ovakav sistem jednaina neophodno je i sve

    naponske generatore transformisati u strujne. Ukoliko struja utie u voruzima se sa pozitivnim znakom i obrnuto.

    Jaina struje u grani koja spaja posmatrane vorove je

    ijijijijij EGUGI +=

    ijijjiijij EGUUGI += 00 ,

    gde je

    paraleln

    ponski generator,motorne sile,

    upotrebljena provodnost umesto otpornosti, jer se u sluaju vie

    ih grana izmeu dva vora ukupne provodnosti i elektromotornesile dobijaju samo sabiranjem po svim granama. Ako neka od grana sadriidealni strujni generator, jaine struje, SI , ovog generatora se dodaje levoj

    strani prethodne jednaine.

    Ukoliko izmeu dva vora postoji idealni naelektro , tj. ako neka od grana sadri samo idealni naponskigenerator bez ikakvih pornosti, za referentni vor se uzima vor za kojije vezan negativni pol generatora. U tom sluaju napon vora za koji je

    ot

    vezan pozitivni pol generatora dobija vrednost elektromotorne silegeneratora, EUk =0 . Samim tim sistem jednaina se redukuje i ne pie sejednaina za taj vor.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    45/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 45

    ri

    eka je dato elektrino kolo u kome je

    Primer Vie naina reavanja elekt nog kola

    N

    zbog jednostavnosti ukljuen samo jedanizvor elektromotorne sile, , i kome susve otpornosti jednake, . Take u kolu(ne i vorovi) su obeleene po parovimaAB , CD i EF . Zadatak je odrediti jainustruje i napo taaka AB.n izmeu

    Neposredna primena osnovnih zakona

    U taki (voru) C ukupna jaina struje1

    I s

    struje 2I i 3I kroz dve paralelno vezane gran

    potencijalna razlika izmeu taaka CD i ADsledi da je 32 2II

    321

    III +=

    12 3

    2II =

    13 3

    1II =

    RRe 3

    5=

    e grana na

    e. Kako je

    ista to= . Ekvivalentna otpornost

    taaka u kojima je prikljuen izvorRR ||= . Tako se dobija ukupna ja

    koja protie kroz izvor n aja

    gle

    nap

    dano iz

    ona jeina struje

    ap nja i ekvivalentnutpornost.

    RRe 2+

    o

    RRI

    e1 == ,EE 5

    3R

    IIAB 53== ,E1 U

    Za posmatrano elektrino kolo mog je tavitisamo dve nezavisne konture. Neka to budu kontureFECD i Dve nezavisne konture dajusistem od dve linearno nezavisne jednaine se tri

    struja.

    EAB 51= .

    ue pos

    nepoznate jaine

    DCAB .

    ERIRI =+ 21

    0232 =+ RIRI

    321 III +=

    Trea neophodna jednaina se dobija iz prvogKirchoffovog

    vor C . Do

    zakona za

    bijeni sistem jednaina je mogue reiti metodom eliminacije.Meutim, za sloenija elektrina kolaznatno je pogodnije sistem zapisati u

    noj formi. Reavanjem dobijenogmatrisistema jednaina dobijaju se poznatirezultati.

    11

    =

    00

    1200

    3

    2

    1 E

    III

    RRRR

    Thveneninova teorema

    Po ovoj teoremi celo elektrino kolo, osim otpornika izmeu taaka ABse zamenjuje crnom kutijom, a ova se zamenjuje ekvivalentnimThveneninovim (naponskim) generatorom.

    ,

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    46/61

    46 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    Ekvivalentna unutranja otpornost ovog gse dobija kad se posmatrano sa strane paAB izrauna (ili izmeri) ekvivalentna okad su sv

    eneratorara taakatpornost

    i naponski izvori kratko spojeni, kad sutrujni izvori uklonjeni i kad su krajevi

    n). Ekvivalentni nraunava (meri) kad su krajevi ot

    svi s

    e iz

    AB apon

    voreniotvoreni (otpornik uklonje

    ABs(napon praznog hoda). Tako je

    RR3

    = i UU = EUET 0= 2 CDABT 21

    == .

    no uklonjen otpornikdob

    R

    Kada se na dobijeni ekvivalent prikljui prethodija se:

    R

    E

    RR

    UI

    T

    TAB 5

    1=

    += , RIUAB =

    Nortonova teorema

    EAB 5

    1= .

    kvivalentni strujni generator se dobija kada seekvivalentna otpornost iz na isti nain kao i

    za ekvivalentni naponski

    Erauna

    generator. Ekvivalentnajaina struje se dobija kad se take AB kratkospoje (struja kratkog spoja).

    ,R

    EIN 3

    1=RRR TN 2

    3== .

    i strujni generator ponovo prikljui otpornik, strujae deli na struju kroz ekvivalentnu unutranju otpornost i struju kroz

    Kada se na ekvivalentnsprikljueni otpornik, ABIII uN += . Kako su obe otpo

    isti napon, ABU , sledi da je

    rnosti prikljuene na

    R

    EII N 5

    1

    5

    3AB ==AB3

    2IIu = , a odavde sledi i ve poznati rezultat .

    Metod konturnih struja

    Posmatrano elektrino kolo ima dve nezavisne konture i mogue ga jeopisati sa dve nezavisne konturne struje, tj. sistemom od dve jednaine sa

    dve nepoznate. Neka su konture iste kao i u primeru neposredne primene

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    47/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 47

    irchoffovih zakona. Konturna struja pripada konturi , a

    konturna struj

    eka smerovi obilaska po konturama odgovarajutraeni sistem jednaina.

    1kI FECDKa 2kI konturi DCAB .

    N ERIRI kk = 21203 21 =+ kk RIRI

    redosledu taaka, pa slediReavanjem dobijenog sistema jednaina se dobija:

    R

    EIk 5

    31 = , R

    EIk 5

    12 = ,

    11 kECII R

    EIIII kkCD 5

    2I== , 23 kI AB II == , 212 === .

    grane. Takesu na istom potencijalu (

    Metod potencijala vorovaPosmatrano elektrino kolo ima samo dva vora i tri B , D iF 0=== FDB

    ka . Prema

    ) te je bilo h

    jedan vor. Drugi vor je ta metodu potencijalamoe da se postavi samo jedna jednaina

    koja od nji

    C vorova

    GEGGG =++ C)21

    ( iz koje sledi E5

    2C = , ili

    RRR 5252

    E

    E

    11AB = ,I

    BC 2

    =

    = ERIU 5

    eutim, zbog ilustrativnopostavimo da je trei vor tak A .Tada je mogue postaviti sistem od dve

    GEGGGG =

    1ABAB == .

    M sti pret-a

    jednaine sa dve nreavanjem se dobija p

    + + AC)(

    0)( AC =++ GGG

    EU5

    1BA

    epoznate, ijimoznati rezultat.

    = AB =

    Zadaci za vebu

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    48/61

    48 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    Primer- Odreivanje napona u otpornikoj kaskadi

    Posmatra se prvo razdelnik napona ili jedna elija otpornike kaskade.

    Neposrednom primenom osnovnih zakona nalazi se da je napon naposlednjem otporniku polovina ulaznog napona. Razmatranje se proirujena kaskadu koja se sastoji od dve elije i dobija se da je napon naposlednjem otporniku petina ulaznog napona.

    R

    UI

    20= , 01 2

    1URIU == . 12 2

    1UU = , 01

    32UU = , 02 5

    321UU = .

    53 32Kad se u razmatranje uvrsti jo jedna elija i kad se inioci proizvoda ubroijocu i imeniocu ne skrauju sledi

    23 2

    1

    UU = , 12 5

    3

    3

    2

    UU = , 01 13

    8

    8

    5

    UU = , 03 13

    8

    8

    5

    5

    3

    3

    2

    2

    1

    UU = .

    Lako se uoava da se i u brojiocu i imeniocu poslednjeg izraza nalaziproizvod lanova Fibonaccijevog niza koji se dobija tako to je svaki

    lan jednak zbiru prethodna dva. Uoptavanjem se dobija rezultat

    naredniza kaskadu od 4=n elije.

    01234 34

    21

    21

    13

    13

    8

    8

    5

    5

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    1

    13

    8

    8

    5

    5

    3211321111

    321532121UUUUU ====

    a taj nain se mogu odrediti svi naponi u otpornikoj kaskadi saNproizvoljnim brojem elija, a odnos ulaznog napona i napona naposlednjem otporniku u kaskadi od n elija je jednak vrednosti n2 -toglanaFibonaccijevog niza koji generiu poetne vrednosti 2,1 10 == aa .

    012345

    89

    55

    55

    34

    34

    21

    21

    13

    13

    8

    8

    5

    5

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    105

    = UU

    Tako je na primer, za 5=n ,

    89105

    0

    == aU

    U

    .

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    49/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 49

    j

    akon i prvi Kirchoffov zakon. Stacionarno elektrinopolje je bezizvorno i bezvrtlono i moefunkcijom elektrinog skalar potencijala. Iz ovih kon-statacija sledi da funkcija potencijala zadovoljavaLaplaceovu jednainu koja je potpuno jednaka saonom za elektrostatiko polje kad je provodnost

    ri istim graninim uslovima reenja Laplaceove

    u je sa neznat-

    37 - Analogija statikog i stacionarnog elektrinog polja

    U delovima stacionarnog strujnog pol a gde ne deluju

    elektromotorne sile gustina struje zadovoljava Ohmov

    J

    zse opisati

    sredine konstantna.

    Pjednaine su ista i nije vano da li je to elektrostatikoili stacionarno elektrino polje.

    Iz ove analogije sledi niz korisnih rezultata. Uelektrostatikom polju se definie kapacitivnost, a ustacionarnom elektrinom polju se definie provod-nost. Izjednaavanjem izraza za napone koji se odatledobijaju sledi veza izmeu osnovnih veliina za ovadva polja. Kada jedna elektroda obuhvata drugu (sferni

    ondenzator, koaksijalni vod) analogijknom grekom mogue proiriti.

    Err

    =

    0div =Jr

    0rot =Er

    = gradEr

    0)grad(div =

    const.= 0)grad(div =

    0=

    UqC /=

    UIG /=

    GI

    Cq =

    Pomenuta greka se sastoji u zanemarivanju dela pprolazi provodnik od unutranj

    o rine kroz kojue elekrode kroz spoljanju. Tada je za

    elektrik ko a

    v

    homogeni i linearni, ali nesavreni dielektrik, dakle diprovodnost,

    ji im

    =S

    SEqrr

    d , =S

    SdEIrr

    .

    nvodnost, i obrnuto.

    Kad se ove formule uvrste u prethodnu relaciju sledi jojedna relacija koja se upotrebljava za proraukapacitvnosti kada je poznata pro

    =C

    G

    Do istog rezultata je mogue doi i kada se uporede formule za provodnosti kapacitivnost dela strujne tube.

    Neka je ravan kondenzator ogranien elektrodama istogpoprenog preseka, ija je provodnost znatno veaod provodnosti d ktrika je kondenzator

    oz koji protie struja. Deobom formula za

    l

    SG =

    d

    SC =

    S,iele kojom

    ispunjen i krprovodnost i kapacitivnost (ovde je dl= ) se dolazi dove poznatog odnosa.

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    50/61

    50 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    Primer - Poduna odvodnost koaksijalnog voda

    Neka je dat koaksijalni vod unutranjeg poluprenika i spoljanjeg

    konstanta

    a

    poluprenika b koji je ispunjen homogenim, linearnim ali nesavrenimdielektrikom ija je dielektrina i provodnost . Vod je

    dnom prostoru.povri u polu-

    prikljuen na jednosmerni napon U.

    Elektrino polje je radijalno i postoji samo u meuelektroPrimenom Gaussovog zakona na zamiljenu cilindrinuprenika

    nr, bra , za jainu elektrinog polja se dobij

    a:

    = SEq

    S

    rrd

    =

    lqlrE2 r

    r

    qE

    1

    2

    =

    r.

    Napon izmeu elektroda jea

    bq

    r

    rqrEU

    bb

    ln2

    d

    2d

    =

    ==

    aa

    rrr

    ,

    a poduna kapacitivnost je

    a

    bU

    qC

    ln

    2=

    = .

    U telekomunikacijama provodnost izmeu elektroda koaksijalnog voda jenepoeljna karakteristika i naziva se odvodn st. M utim, koaksijani vod

    enjuje i kao linijski detektor poara i provale (na primer kad je vodagaen ili nagoreo) i tada je brza promena odvodnosti poeljna karak-

    a osnovu analogije poduna odvodnost

    koaksijalnog voda je konano:

    o ese primnteristika.

    a

    bCG

    ln

    2=

    = N

    o istog rezultata dolazi se i na sledei nain:D

    ===SS

    SEU

    SDUU

    qC

    rrrrdd

    1

    ===

    SS

    SEU

    SJUU

    IG

    rrrrdd

    1

    == GCSEU Srr

    d1 .

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    51/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja 51

    8 - Elektroda sfernog oblika u homogenoj sredini

    nalazi u sredini ija

    ost u svim pravcima stalna, fluks vektorau

    3

    Ako se elektroda sfernog oblika

    je provodngustine struje kroz zamiljenu sfernu povrinpoluprenika r koja obuhvata elektrodu, ar ,mora biti jednak jaini struje koja utie u elektrodu.Mala povrina koju zauzima uvodni p nik moebiti zanemarena. Ako su ostale elektrode kroz koje sestrujno polje zatvara dovoljno daleko, tada jetacionarno strujno polje radijalno.

    rovod

    s

    Dobijaju se izrazi koji su formalno isti kao izrazi za elektrinu indukciju ielektrino polje naelektrisane sfere, samo to umesto koliine naelek-

    ina struje i umesto dielektrine konstante specifina

    elektrino polje

    trisanja stoji japrovodnost.

    Statiko elektrino polje Stacionarno

    24)(

    r

    qrD

    =

    24)(

    r

    qrE

    =

    24)(

    r

    IrJ

    =

    24)(

    r

    IrE

    =

    Primer - Tanka cilindrina elektroda u homogenojNeka u elektrodu oblika cilindra, koja se nalazi u

    ne provodnosti

    sredini

    homogenoj sredini , kroz provodnik zanemarljivih dimenzija utiespecifi

    struja jaine I. Kad su ostale elektrode kroz koje se zatvara strujno poljeveoma udaljene, strujno polje u okolini elektrode je aksijalno simetrino uodnosu na osu elektrode.

    Poto redine znspecifine provodnosti elektrode, mogue je korisanalogiju sa odgovarajuim proble om elektrostatike

    nog provodnika konane duine

    je specifina provodnost s atno manja odtiti.m

    CR1

    =

    a

    hh

    C2

    ln

    4=

    Kapacitivnost cilindrih i poluprenika a , koji je znatno manji od duine, je

    poznata iz elektrostatike, pa se korienjem analogije2

    dobija izraz za prelaznu otpornost (odvodnost) izmeuelektrode i okolne sredine.

    h

    aR

    =4

    ln

    h2

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    52/61

    52 Stacionarno elektrino polje i jednosmerna struja

    39 - Granini uslovi

    Analogija elektrostatikog i stacionarnog elektrinog polja se proiruje i na

    razli

    vektora gustine struje. Izezvrtlonog karaktera stacionarnog elektrinog poljaedi uslov za tangencijalne komponente vektoraustine struje (videti: Sveska I)

    granine uslove koji vae na razdvojnoj povrini dve sredinespecifinih provodnosti.

    Granine uslove za vektor gustine struje je mogue

    itih

    izvesti na potpuno isti nain kao i u sluaju elektro-statikog polja. Primenom prvogKirchoffovog zakonau integralnom obliku na zatvorenu cilindrinupovrinu ije su osnovice paralelne razdvojnojpovrini dve provodne sredine dobija se granini uslov

    za normalne komponente

    nn JJ 21 =

    nn EE 2211 =

    2

    2

    1

    1

    =

    tt JJ

    2

    1

    2

    1

    tg

    tg

    =

    bslg

    G

    ranini uslovi za vektor gustine struje izakon o prelamanju linija stacionarnogstrujnog polja dobijaju se i analogijom io znatno jednostavnije.t

    g

    Potrebno je u

    raninim uslovima za elektrostatikopolje vektor elektrine indukcije, D

    r,

    zameniti vektorom gustine struje, Jr

    , adielektrinu konstantu, , specifinomelektrino provodnou,m .

    U specijalnom sluaju, kad je jedna sredina savren prov 2odnik, , a

    druga savren izolator, 02 , to vrlo priblino o

    provodniku koji se nalazi u vazd

    dgo

    u, sledi da je

    vara struji u

    uh 01 =nJ

    va se dobija

    onenta vektorponenti elektri

    , jer nem

    ruje iz provodnika u ok ni prostor. Iz prvog granije . Iz drugog i tre nog uslo

    samo mpkoja je srazm tangencijalnoj kom. Konano, poto su to jedine komponente opet se dobija,

    , to je poznat

    a isticanja

    nog uslova sledi i dada je 1 =tJ

    a gustine struje unog polja,

    st oleg grani

    tangencijalna koerna

    rezultat.

    02 =nJTako ostajeprovodniku

    t E222 =

    Er

    =

    0 .

    tJ

    Jr

  • 7/22/2019 Sveska-2 El Teh

    53/61

    Stacionarno elektrino polje i jednosmerna