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Dimensionnementdes

structures

Antoine Legay2016-2017

Cnam-Paris

Table des matières

I Poutre et torseur de cohésion • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1I.1 Introduction au dimensionnement des structures 1

I.1.1 Modéle mécanique 2

I.2 Modèle de poutre 3

I.3 Poutre dans son environnement 5

I.4 Torseur de cohésion 6I.4.1 Définition 6

I.4.2 Détermination 7

I.4.3 Classification des sollicitations 8

II Sollicitations simples sur les poutres • • • • • • • • • • • • • • • • 9II.1 Traction 9

II.1.1 Torseur de cohésion 9

II.1.2 Contrainte normale 10

II.1.3 Allongement, déformation et déplacement 10

II.1.4 Relation contrainte-déformation 12

II.1.5 Relation entre effort normal et chargement 12

II.2 Torsion 13II.2.1 Torseur de cohésion 13

II.2.2 Moment quadratique polaire de section 14

II.2.3 Contrainte tangentielle 14

II.2.4 Déformation et rotation des sections 15


II.2.6 Relation entre moment de torsion et chargement 16

II.3 Flexion 17II.3.1 Torseur de cohésion 17

II.3.2 Moment quadratique de section 18

ii

II.3.3 Contrainte normale 18

II.3.4 Déformation 21

II.3.5 Déplacement 21


II.3.7 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement 22

III Calcul de treillis • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 25III.1 Hypothèses et critère de dimensionnement 25

III.1.1 Hypothèses sur les liaisons 25

III.1.2 Règles de construction d’un treillis 26

III.1.3 Critère de dimensionnement 28

III.2 Méthode des nœuds 28

III.3 Flambage des poutres droites 28

III.3.1 Introduction 28

III.3.2 Charge critique de flambage d’une poutre droite 29

III.3.3 Élancement et rayon de giration 31

III.3.4 Critère de dimensionnement 32

III.3.5 Autres conditions aux limites 33

IV Contraintes et déformations • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 35IV.1 Introduction 35

IV.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimensionnelles 36

IV.2.1 Opérateur des contraintes et des déformations 38

IV.2.2 Théorème de superposition 39

IV.3 Problème plan 39

IV.3.1 Hypothèses 39

IV.3.2 Etat de contraintes planes 40

IV.3.3 Expressions des contraintes subies par un carré non aligné avec x et y 41

IV.3.4 Expressions des déformations d’un carré non aligné avec x et y 43

IV.3.5 Relation entre les contraintes et les déformations d’un carré non aligné avec x et y 44

IV.3.6 Directions principales 44

IV.3.7 Cercle de Mohr des contraintes 45

V Critères de dimensionnement • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 49V.1 Objectifs 49

V.2 Matériaux ductiles : critère de Tresca 49

V.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises 51

V.4 Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises 52

V.5 Fatigue des matériaux 52

VI Enveloppes minces • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 55VI.1 Action d’un fluide au repos sur un solide 55

VI.2 Application à un réservoir cylindrique 56

VII Initiation au calcul éléments finis • • • • • • • • • • • • • • • • • 59VII.1 Étude de l’élément de barre 59

VII.1.1 Équilibre de l’élément barre 59

VII.1.2 Exemple d’application 60

VII.1.3 Remarques sur la méthode des éléments finis 61

iii

VII.2 Étude de deux barres 61VII.2.1 Assemblage des matrices de rigidité élémentaires 61

VII.2.2 Mise en œuvre pratique 63

VII.3 Élément barre pour le calcul des treillis 64

VII.4 Élément de poutre pour le calcul des portiques 65

VIII Moyens expérimentaux • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 67VIII.1 Jauges de déformation 67

VIII.1.1 Principe 67

VIII.1.2 Pont de Wheatstone 68

VIII.1.3 Utilisation du boîtier 70

VIII.1.4 Différents montages 71

VIII.1.5 Capteurs à jauges 72

VIII.1.6 Exploitation d’une rosette de 3 jauges à 45o 73

VIII.2 Photoélasticité 74VIII.2.1 Principes 74

VIII.2.2 Mise en équation 77

VIII.2.3 Réseaux de courbes caractéristiques 79

I — Poutre et torseur de cohésion

I.1 Introduction au dimensionnement des structures

Dimensionnement des structures

Une structure est un assemblage intelligent d’éléments et de matériaux afin d’assurer une

fonction. La figure I.1 montre par exemple la structure en balsa d’un avion d’aéromodélisme

permettant d’assurer la forme de la voilure portante, ainsi que la structure d’un pylône

électrique qui permet de maintenir les lignes électriques à une certaine hauteur.

Le but du dimensionnement est de déterminer les formes, dimensions, matériaux afin de

satisfaire la fonction demandée dans toutes les conditions de vie de la structure. Par exemple

la structure en balsa de l’avion d’aéromodélisme doit résister aux efforts aérodynamiques

Figure I.1 – Exemples de structures : structure en balsa d’un avion d’aéromodélisme, pylôneélectrique

2 Poutre et torseur de cohésion

Figure I.2 – Problème réel : dimensionnement des pieds d’une table.

en vol, la structure du pylône électrique doit résister à des vents forts et des surcharges de

neige et de verglas.

Deux principales méthodes existent pour dimensionner une structure :

— Méthode non prédictive "essai-erreur" : on construit un prototype réel (ou une maquette

à échelle réduite), puis on le teste en condition réelle ; cette méthode a l’avantage de

ne faire appel à aucune connaissance a priori de la mécanique mais est coûteuse.

— Méthode prédictive : on fait un modèle mécanique "virtuel" basé sur des équations ma-

thématiques, puis on le teste ; cette méthode est moins coûteuse, mais a l’inconvénient

de faire appel à des connaissances de mécanique et de mathématiques.

C’est cette deuxième méthode qui est développée dans ce cours. On se limite au dimension-

nement des structures en statique et en élasticité linéaire.

Problème réel

Le problème réel fait intervenir (Fig. I.2) :

— Une structure, comprenant des incertitudes sur sa géométrie et son matériau ;

— Des liaisons avec l’extérieur, souvent assez mal maîtrisées ;

— Des efforts appliqués, parfois assez complexes.

Lors de la phase de conception, la solution réelle de ce problème n’est pas accessible (dépla-

cements, contraintes, ...). Une fois la structure fabriquée et placée dans son environnement,

la solution est partiellement accessible par des mesures (jauges de déformation, photoélas-

ticité,... ).

I.1.1 Modéle mécanique

Afin de trouver une solution approchée du problème réel, on utilise un modèle mathématique

du problème réel. Les modèles généralement utilisés en mécanique sont :

— le modèle de poutre,

— le modèle de plaque,

I.2 Modèle de poutre 3

a) poutre b) coque c) tridimensionnel

1 variable

2 variables 3 variables

Figure I.3 – Trois modèles du pied de table.

— le modèle de coque,

— le modèle plan en contraintes planes,

— le modèle plan en déformations planes,

— le modèle axisymétrique,

— le modèle tri-dimensionnel.

Pour l’exemple précédent d’un pied de table, on peut par exemple choisir :

— Le modèle de poutre (Fig. I.3 a) :

— hypothèse cinématique de poutre

— 1 variable le long de l’axe de la poutre décrit le problème

— encastrement de type poutre

— torseurs d’efforts équivalents

— Le modèle de coque (Fig. I.3 b) :

— hypothèse cinématique de coque

— 2 variables sur la surface moyenne de la coque décrivent le problème

— encastrement de type coque

— torseurs d’efforts équivalents distribués

— Le modèle tri-dimensionnel (Fig. I.3 c) :

— encastrement tri-dimensionnel

— 3 variables dans les 3 directions de l’espace décrivent le problème

— forces surfaciques distribuées

Pour les trois modèles proposés, l’encastrement est modélisé de façon parfaite alors que la

liaison réelle est réalisée par une pièce intermédiaire souple. Ces modèles ne permettent pas

de dimensionner cette pièce intermédiaire. C’est au concepteur de choisir le modèle le plus

adapté par rapport aux critères de dimensionnement qu’il pense être les plus judicieux.

I.2 Modèle de poutre

Hypothèses géométriques

La figure I.4 montre un assemblage de poutres permettant de construire une charpente

métallique. Une poutre est un solide dont une dimension est plus grande que les 2 autres.


Figure I.4 – Charpente constituée d’un assemblage de poutres

Σ

Σ −→MOΣ

OΣ

−→s

Ω1

Ω1

Ω2

Figure I.5 – Modèle de poutre et coupure fictive en deux parties.

D’un point de vue plus géométrique, une poutre Ω est un solide engendré par une surface

plane Σ appelée section droite constante ou légèrement variable dont le plan reste orthogonal

à une courbe Γ de grand rayon appelée ligne moyenne décrite par le centre de surface OΣ

de la section droite Σ (Fig. I.5). La plus grande dimension transversale est petite devant la

longueur de la fibre moyenne (rapport de 5 à 10 au moins).

Dans le cadre de ce cours, on ne s’intéresse qu’aux poutres droites, c’est à dire celles

dont la ligne moyenne est une droite. De plus, dans la majorité des cas, on ne prend que

des sections constantes.

Hypothèses sur le matériau

On suppose que le matériau est :

— homogène : les propriétés sont les mêmes en tout point,

— isotrope : les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions, ce qui n’est pas le

cas d’un matériau composite,

— continu : le matériau ne contient pas d’aspérités, il y a continuité de la matière.

Hypothèses sur les déformations et les déplacements

On suppose que les déformations sont petites et restent dans le domaine élastique. De plus

le déplacement est aussi considéré petit devant la taille de la poutre, cela permet de faire

I.3 Poutre dans son environnement 5

≈

F

σ

F2

F2

σ

Figure I.6 – Principe de Saint-Venant.

Figure I.7 – Hypothèse de Bernoulli.

tous les calculs sur la configuration initiale et non déformée de la poutre.

Hypothèses sur le chargement

Le chargement est appliqué progressivement, on néglige les effets d’inertie et on ne s’intéresse

qu’à la configuration finale statique.

Principe de Saint-Venant

Les contraintes et les déformations dans une région éloignée du point d’application des

efforts ne dépendent que du torseur des efforts de cohésion au point considéré (Fig. I.6).

Autrement dit, la façon dont on applique le chargement n’a pas d’influence loin de

l’application de la charge.

Hypothèse de Bernoulli

Une section de la poutre initialement plane et perpendiculaire à la ligne moyenne reste plane

et perpendiculaire à la ligne moyenne après déformation (Fig. I.7).

I.3 Poutre dans son environnementLa poutre dans son environnement subit des actions mécaniques extérieures (Fig. I.8). Ces

actions sont partagées en deux groupes : actions des liaisons et actions des efforts extérieurs.

— La poutre est en liaison avec l’extérieur aux points Ai :

−→y

A1

−→xB1 B2 An Bm

Figure I.8 – Poutre dans son environnement.


— torseurs des actions mécaniques notés

LAi

→ ces actions sont inconnues

— Les efforts extérieurs sont appliqués aux points Bi

— torseurs des actions mécaniques notés

∆Bi

→ ces actions sont connues

Dans le plan (−→x , −→y ), les liaisons classiquement rencontrées sont :

— encastrement : −→x−→y

A

L

=

Fx Mx

Fy 0

0 Mz

A

— articulation :−→x

−→yA

L

=

Fx Mx

Fy 0

0 0

A

— appui simple :−→x

−→yA

L

=

0 Mx

Fy 0

0 0

A

La poutre est en équilibre sous l’action des efforts cités ci-dessus. Le principe fondamental

de la statique s’écrit

i=nb. liaisons∑

i=1

LAi

+i=nb. efforts∑

i=1

∆Bi

=

0

ou plus simplement avec les notations de ce cours

L

+

∆

=

0

.

La poutre est en équilibre isostatique si toutes les inconnues de liaisons peuvent être

déterminées en écrivant l’équilibre de la poutre. La poutre est en équilibre hyperstatique si

certaines inconnues de liaisons ne peuvent pas être déterminées en écrivant l’équilibre de la

poutre : le nombre d’inconnues non déterminées donne le degré d’hyperstatisme. Enfin, si il

y a plus d’équations que d’inconnues de liaisons, la poutre est mobile : le nombre d’équations

supplémentaires par rapport au nombre d’inconnues de liaisons est le degré de mobilité.

I.4 Torseur de cohésion

I.4.1 Définition

Une poutre Ω est coupée en deux parties par une section fictive Σ de centre de section

OΣ (Fig. I.5). Le torseur de cohésion est le torseur des actions mécaniques de Ω2 sur Ω1 à

travers la surface Σ exprimé en OΣ.

L’action surfacique de Ω2 sur Ω1 à travers la surface Σ est une force surfacique appelée

"vecteur contrainte" pour la direction normale −→n à Σ ; cette action surfacique est notée−→T(M, −→n ) (Fig. I.9). Le torseur de cohésion est la somme sur la surface Σ de

−→T(M, −→n ) où

−→n est le vecteur tangent à l’axe de la poutre en OΣ.

I.4 Torseur de cohésion 7

Ω1

OΣ

Σ

−→T(M, −→n )

−→nOΣ

Figure I.9 – Vecteur contrainte.

La résultante vaut :−→s =

∫∫

Σ

−→T (M, −→n )dΣ.

Le moment au point OΣ de Σ vaut :

−→MOΣ=

∫∫

Σ

−−−→OΣM ∧ −→

T(M, −→n )dΣ.

Finalement le torseur de cohésion en OΣ vaut :

KOΣ

=

−→s−→MOΣ

OΣ

I.4.2 Détermination

La détermination du torseur de cohésion se fait en écrivant l’équilibre de Ω1 ou de Ω2. On

utilise les notations suivantes :L

: torseur des actions mécaniques inconnues sur la poutre Ω provenant des liaisons,

∆

: torseur des actions mécaniques connues sur la poutre Ω,

L → 1

: torseur des actions mécaniques inconnues sur la partie Ω1,∆ → 1

: torseur des actions mécaniques connues sur la partie Ω1,

L → 2

: torseur des actions mécaniques inconnues sur la partie Ω2,

∆ → 2

: torseur des actions mécaniques connues sur la partie Ω2,

2 → 1

=

KOΣ

: torseur des actions mécaniques de Ω2 sur Ω1, c’est à dire le torseur

de cohésion.

L’équilibre de la poutre s’écrit

L

+

∆

=

0

.

Ceci permet de déterminer le torseur inconnu

L

dans le cas ou le problème est isostatique.

L’équilibre de la partie Ω1 s’écrit

L → 1

+

∆ → 1

+

2 → 1

=

0

où

2 → 1

est le torseur de cohésion

KOΣ

. On en déduit que le torseur de cohésion vaut

KOΣ

= −

L → 1

−

∆ → 1

.


−→x−→x −→xN

Traction

Mfz

TyFlexion

Mt

Torsion

Figure I.10 – Différentes sollicitations pour les poutres.

Traction Torsion Flexion pure Flexion simple

(plan (−→x , −→y )) (plan (−→x , −→y ))

KOΣ

=

N 0

0 0

0 0

OΣ

0 Mt

0 0

0 0

OΣ

0 0

0 0

0 Mfz

OΣ

0 0

Ty 0

0 Mfz

OΣ

Tableau I.1 – Sollicitations simples.

L’équilibre de la partie Ω2 s’écrit

L → 2

+

∆ → 2

+

1 → 2

=

0

où

1 → 2

= −

2 → 1

= −

KOΣ

d’après le théorème des actions mutuelles. On en

déduit que le torseur de cohésion vaut

KOΣ

=

L → 2

+

∆ → 2

.

I.4.3 Classification des sollicitations

Dans le cas d’une poutre droite, on utilise habituellement le repère orthonormé (−→x , −→y , −→z )

où −→x est suivant la ligne moyenne et les vecteurs −→y et −→z sont dans les directions transver-

sales. Dans ce repère, le torseur de cohésion vaut

KOΣ

=

N Mt

Ty Mfy

Tz Mfz

OΣ

où

— N est l’effort normal,

— Ty est l’effort tranchant suivant −→y ,

— Tz est l’effort tranchant suivant −→z ,

— Mt est le moment de torsion,

— Mfyest le moment de flexion autour de −→y (flexion dans le plan (−→x , −→z )),

— Mfzest le moment de flexion autour de −→z (flexion dans le plan (−→x , −→y )).

La figure I.10 présente graphiquement ces différents cas. Les sollicitations simples étu-

diées dans la suite du cours sont répertoriées dans le tableau I.1.

II — Sollicitations simples sur les poutres

II.1 Traction

II.1.1 Torseur de cohésion

On suppose une poutre d’axe −→x soumise à un chargement de traction : F−→x à l’extrémité

droite en A et −F−→x à l’extrémité gauche en O (Fig. II.1). L’aire de la section est notée S.

En isolant la partie (2) pour calculer le torseur de cohésion,

KOΣ

=

L → 2

+

∆ → 2

−→x

OΣ

Σ

A

lΣ

−→x

σ−→xOΣ

−→y−→z O O

−→y−→z

−F−→x

F−→x

Figure II.1 – Poutre en traction.

10 Sollicitations simples sur les poutres

avec

L → 2

=

0

et

∆ → 2

=

F−→x |−→0

A=

F−→x | −−→OΣA ∧ F−→x︸︷︷︸

=−→0 car colinéaires

OΣ

=

F−→x |−→0

OΣ

on a

KOΣ

=

F−→x |−→0

OΣ

donc l’effort normal N vaut ici F .

II.1.2 Contrainte normale

On suppose que le vecteur contrainte dans une section de la poutre (perpendiculaire à la

ligne moyenne) est porté par −→x et qu’il est uniforme sur toute la surface Σ. On note le

vecteur contrainte σ−→x ou σ est la contrainte normale de traction.

Le torseur de cohésion en OΣ centre de la section Σ vaut :

TOΣ

=

−→S−→MOΣ

OΣ

avec−→S =

∫∫

Σσ−→x dΣ = σ

∫∫

ΣdΣ

︸︷︷︸

=S aire section

−→x = σS−→x

et−→MOΣ

=∫∫

Σ(y−→y + z−→z ) ∧ σ−→x dΣ =

−→0

car y et z sont des fonctions impaires intégrées sur des intervalles symétriques. Finalement :

TOΣ

=

N−→x−→0

OΣ

où N est l’effort normal qui vaut N = σS ou encore

σ =N

S.

On parle de traction lorsque N et σ sont positifs, on parle de compression quand N et

σ sont négatifs.

II.1.3 Allongement, déformation et déplacement

Allongement

Lorsque la poutre est soumise à de la traction, le matériau étant déformable, elle s’allonge.

Cet allongement, noté ∆l, a une unité (millimètre ou mètre). La valeur de ∆l, pour un

même matériau et une même section S, dépend de la longueur l.

II.1 Traction 11

u(x)

x

u(x + δx)

x + δx

δx

u(x + δx) − u(x) + δx

Figure II.2 – Déformation d’un tronçon de poutre en traction

Déformation

Afin de pouvoir comparer les résultats entre eux, on préfère utiliser une grandeur adimen-

sionnée que l’on note ǫ et qui vaut

ǫ =∆l

l.

On appelle ǫ l’allongement axial unitaire.

La déformation axiale entraîne pour la plus part des matériaux des déformations dans

les directions transversales −→y et −→z notées ǫy et ǫz. Elles valent

ǫy = ǫz = −νǫ.

Le coefficient ν est appelé coefficient de Poisson, il caractérise le rétrécissement transversal

d’une poutre sollicitée en traction. Ce coefficient a été caractérisé par Siméon Denis Poisson

(français, 1781-1840).

Déplacement

La section fictive Σ située à l’abscisse x (−−→OOΣ = x−→x ) se déplace dans la direction axiale −→x

d’un vecteur u(x)−→x . Autrement dit, le vecteur u(x)−→x est le vecteur déplacement du point

OΣ.

On montre qu’il existe une relation entre la déformation ǫ(x) à l’abscisse x et le dépla-

cement u(x) donnée par

ǫ(x) =du(x)

dx.

La déformation est la dérivée du déplacement par rapport à x.

Preuve On isole un petit tronçon de poutre de longueur δx compris entre les abscisses x et x + δx (Fig.II.2). L’extrémité de gauche se déplace d’une valeur u(x), la section de droite se déplace d’une valeuru(x + δx). La longueur finale du tronçon est u(x + δx) − u(x) + δx, son allongement est u(x + δx) − u(x).La déformation du tronçon est alors

ǫ =u(x + δx) − u(x)

δxEn faisant tendre δx vers 0, on obtient exactement la définition de la dérivée :

limδx→0

u(x + δx) − u(x)δx

=du(x)

dx

On a bien

ǫ =du(x)

dx


∆L

L

F

Re

S

ǫ

σ

zone plastiquezone élastique

rupture

Figure II.3 – Essai de traction

II.1.4 Relation contrainte-déformation

Les essais sur des éprouvettes soumises à de la traction (Fig. II.3) montrent que ǫ et σ sont

proportionnels et obéissent à la loi

σ = Eǫ

dans le domaine élastique du matériau (voir aussi la figure V.1 dans la partie sur le critère

de Tresca). Cette constante E ne dépend que du matériau, c’est le module de Young ou

module d’élasticité longitudinal. Ce module a été caractérisé par Thomas Young (anglais,

1773-1829).

Son unité est le Pascal.

La limite élastique Re est la contrainte maximale admissible du domaine élastique. Le

critère de dimensionnement d’une poutre en traction est donc

σ <Re

s

où s est le coefficient de sécurité adopté.

En remplaçant ǫ par son expression en fonction de u, puis de N , on a

ǫ =σ

E=

N

ES,

soit la relation entre le déplacement et l’effort normal

du(x)dx

=N(x)

ES(x).

II.1.5 Relation entre effort normal et chargement

On étudie un tronçon de poutre qui n’est soumis qu’à un effort axial linéique p−→x . Par

exemple, pour une poutre verticale où l’axe −→x est vers le bas, cette force linéique vaut

p = ρgS

où ρ est la densité du matériau composant la poutre, g est la gravité et S est l’aire de la

section de la poutre.

Dans ce tronçon, on montre que l’on a la relation suivante entre l’effort normal et la

charge linéique :dN

dx+ p = 0.

II.2 Torsion 13

x x + δx

δx

N(x + δx)−N(x) p

Figure II.4 – Équilibre d’un tronçon de poutre en traction

O−→z

−→eθ

M

θ−→er

−→y

Σ

C−→xr

M ′γ −→x

A

α

Figure II.5 – Poutre sollicitée en torsion.

Preuve On isole un petit tronçon de poutre de longueur δx compris entre les abscisses x et x + δx (Fig.II.4). L’extrémité de gauche subit la force −N(x) car la matière est à droite et, par convention, l’effortnormal est l’action de la partie de droite sur la partie de gauche (en supposant que l’axe positif soit vers ladroite). L’extrémité de droite subit la force N(x+δx). Le tronçon subit la force linéique p, soit la résultantepδx. L’équilibre du tronçon s’écrit

−N(x) + N(x + δx) + pδx = 0

soit en divisant par δxN(x + δx) − N(x)

δx+ p = 0

En faisant tendre δx vers 0, on obtient exactement la définition de la dérivée :

limδx→0

N(x + δx) − N(x)δx

=dN(x)

dx

On a biendN(x)

dx+ p = 0

II.2 Torsion


On suppose une poutre de section circulaire d’axe −→x , encastrée à son extrémité gauche O

et soumise à un moment C−→x à son extrémité droite A (figure II.5).

En isolant la partie (2) pour calculer le torseur de cohésion,

KOΣ

=

L → 2

+

∆ → 2

avec

L → 2

=

0


−→y

Σ

−→er

−→eθ

−→zτ−→eθ

Figure II.6 – Répartition de la contrainte tangentielle dans la section d’une poutre sollicitée entorsion.

et

∆ → 2

=−→

0 | C−→x

A=

−→0 | C−→x +

−−→OΣA ∧ −→

0

OΣ

=−→

0 | C−→x

OΣ

on a

KOΣ

=−→

0 | C−→x

OΣ

donc le moment de torsion Mt vaut ici C.

II.2.2 Moment quadratique polaire de section

Le moment quadratique polaire de la section d’abscisse x est noté I0(x). Il peut dépendre

de x si la section de la poutre varie, son expression est :

I0(x) =∫ ∫

S(x)r2dS

Pour une section circulaire de rayon R (diamètre D = 2R), le calcul est le suivant :

I0 =∫ r=R

r=0

∫ θ=2π

θ=0r2(r dθ dr) = 2π

R4

4= π

D4

32

Pour une section circulaire creuse de diamètre extérieur De et de diamètre intérieur Di,

le moment quadratique polaire vaut

I0 =π

32

(D4

e − D4i

).

II.2.3 Contrainte tangentielle

On utilise le repère cylindrique (−→er , −→eθ , −→x ) pour repérer un point M de la poutre, ainsi−−→OM = x−→x + r−→e r. On suppose que le vecteur contrainte au point M appartenant à une

section de la poutre et pour la direction axiale −→x est porté par −→eθ et qu’il est proportionel

à r (Fig. II.6) :−→T (M, −→x ) = τ−→eθ

On peut montrer que la contrainte tangentielle en un point M de la poutre vaut :

τ(x, r) =Mt(x)I0(x)

r

où I0(x) est le moment quadratique polaire en OΣ de la section.

Preuve On suppose que la répartition de contrainte tangentielle τ est proportionnelle à r :

τ (x, r) = τmaxr

R

II.2 Torsion 15

−→z

−→y

x x + δx

δx

r

α(x + δx) − α(x)

δx

γ(x)

a

α(x)

γ(x)

α(x + δx)

a

r

Figure II.7 – Déformation et rotation des sections

où τmax est la valeur de la contrainte sur la peau de la poutre et R est la rayon de la poutre. Le momentdu torseur de cohésion

−→MOΣ

vaut

−→MOΣ

=

∫ ∫

Σ

−−−→OΣM ∧

−→T(M, −→n ) dΣ

soit ici−→MOΣ

=

∫ ∫

Σ

r−→er ∧ τmaxr

R−→eθ dΣ =

τmax

R

∫∫

Σ

r2dΣ−→x =τmax

RI0

−→x

Donc on aMt =

I0

Rτmax

soit aussiτmax =

R

I0Mt

En remplaçant dans l’expression de τ , on a bien le résultat attendu. •

II.2.4 Déformation et rotation des sections

Une section d’abscisse x tourne d’un angle α(x) sans se déformer. La déformation est une

distorsion angulaire entre deux sections très proches caractérisée par γ(x). Elle est propor-

tionnelle à r et à la variation de α(x), soit

γ = rdα

dx.

Preuve Deux sections distantes de δx tournent respectivement des angles α(x) et α(x + δx). La rotationrelative entre les deux sections est de α(x + δx) − α(x) (Fig. II.7). Cette rotation relative provoque ladistorsion angulaire γ(x) qui caractérise la déformation en torsion. La relation entre γ(x) et α(x) estétablie géométriquement en dessinant deux triangles rectangles :

— un triangle dans le plan tangent au cylindre, qui fait apparaître l’angle γ(x) (à gauche sur la figureII.7),

— un triangle dans le plan de la section, qui fait apparaître l’angle α(x + δx) − α(x) (à droite sur lafigure II.7). •

Ces deux triangles partagent un coté de longueur a. On peut écrire dans le triangle faisant intervenir γ(x)que

tan γ(x) =a

δx


et dans le triangle faisant intervenir α(x) que

tan(α(x + δx) − α(x)) =a

r

Les angles étant petits, on atan γ(x) ≈ γ(x)

ettan(α(x + δx) − α(x)) ≈ α(x + δx) − α(x)

En écrivant l’égalité de a, on aγ(x) δx = r(α(x + δx) − α(x))

En divisant par δx et en faisant tendre δx vers 0, on a la définition de la dérivée

γ(x) = r limδx→0

α(x + δx) − α(x)δx

On a bienγ(x) = r

dα

dx.


La contrainte tangentielle τ est proportionnelle à la distorsion angulaire γ et au module

d’élasticité transversal G :

τ = Gγ.

En remplaçant γ par son expression en fonction de α, on a

τ = rGdα

dx.

En utilisant l’expression de τ en fonction du moment de torsion, on a donc

dα(x)dx

=Mt(x)GI0(x)

.

Le module d’élasticité transversal G est fonction du module d’Young E et du coefficient

de Poisson ν :

G =E

2(1 + ν)

II.2.6 Relation entre moment de torsion et chargement

On étudie un tronçon de poutre qui n’est soumis qu’à une répartition linéique de moment

c−→x .

Dans ce tronçon, on peut montrer que l’on a la relation suivante entre le moment de

torsion et la répartition linéique de moment :

dMt

dx+ c = 0.

Preuve Soit un petit tronçon de poutre de longueur δx (Fig. II.8). L’équilibre en moment autour de −→x

s’écrit :

−Mt(x) + Mt(x + δx) +

∫ x+δx

x

c(x) dx = 0

En supposant que le couple linéique c(x) est constant on a :

∫ x+δx

x

c(x) dx = c δx

II.3 Flexion 17

δx

−→z

−→y

c−→x

Mt(x + δx)−→x−Mt(x)−→x

x x + δx

Figure II.8 – Équilibre d’un tronçon de poutre en torsion

v(x)

−F −→y

−→x

−→y

O OΣ A

Σ

−→x

−→yallongement des fibres, traction

rétrécissement des fibres, compression

L

−→y

−→z

Déformée de la section(coefficient de Poisson)

Figure II.9 – Poutre sollicitée en flexion.

donc l’équilibre devient

−Mt(x) + Mt(x + δx) + c δx = 0 ⇒Mt(x + δx) − Mt(x)

δx= −c

En faisant tendre δx vers 0, on a :

dMt

dx= −c soit aussi

dMt

dx+ c = 0.

II.3 Flexion


On suppose une poutre d’axe −→x , encastrée à son extrémité gauche O et soumise à un

chargement transversal −F−→y à son extrémité droite A (Fig. II.9).

En isolant la partie (2) pour calculer le torseur de cohésion, on a :

KOΣ

=

L → 2

+

∆ → 2

avec

L → 2

=

0


et

∆ → 2

=

−F−→y | −→0

A=

−F−→y | −−→OΣA∧(−F−→y )

OΣ

=

−F−→y | (l−x)−→x ∧(−F−→y )

OΣ

∆ → 2

=

− F−→y |(x − l)F−→z

OΣ

on a

KOΣ

=

− F−→y |(x − l)F−→z

OΣ

donc l’effort tranchant Ty et le moment de flexion Mfzvalent ici :

Ty = −F ; Mfz= (x − l)F.

II.3.2 Moment quadratique de section

Le moment quadratique autour de l’axe (OΣ, −→z ) de la section d’abscisse x est noté I(OΣ,−→z )(x).

Il peut dépendre de x si la section de la poutre varie, son expression est :

I(OΣ,−→z )(x) =∫ ∫

S(x)y2dS

On définit le moment quadratique autour de l’axe (OΣ, −→y ) comme :

I(OΣ,−→y )(x) =∫ ∫

S(x)z2dS.

Pour une section rectangulaire d’épaisseur h suivant −→y et de largeur b suivant −→z , le

calcul est le suivant :

I(OΣ,−→z )(x) =∫ h

2

−h2

∫ b2

−b2

y2dzdy = b

∫ h2

−h2

y2dy = b[y3

3

] h2

−h2

=bh3

12.

De même, on a :

I(OΣ,−→y )(x) =hb3

12.

Le théorème de transport de Huygens permet de calculer le moment quadratique d’une

section plus complexe :

I∆′ = I∆ + Sd2

où I∆ est le moment quadratique autour d’un axe passant par le barycentre de la section, S

est l’aire de la section et d est la distance entre les deux axes ∆′ et ∆. Le calcul de I pour

la section en "i" s’écrit :

I =c(a − h)3

12+ 2

(bh3

12+ bh

(a

2

)2)

Pour les sections les plus courantes, les moments quadratiques sont donnés sur la figure

II.10.

II.3.3 Contrainte normale

Une poutre en flexion subit des contraintes σ normales à la section et des contraintes tan-

gentielles τ . Dans le cas étudié, les fibres supérieures sont étirées et les fibres inférieures

sont comprimées. La fibre moyenne ne subit pas de contraintes normales.

II.3 Flexion 19

−→z

d

D

−→y

−→za

a

−→y

−→z

D

−→y

−→z

b

h

−→y

−→za

b

h

I =π(D4 − d4)

64

I =a4

12I =

bh3

12I =

πD4

64

section en I

c

−→y

Figure II.10 – Moments quadratiques des sections courantes


x

y

M(x, y)

−→x

−→y

σ<0

σ>0

σmax

−σmax

Figure II.11 – Contrainte normale dans une section de poutre sollicitée en flexion

On peut montrer que la contrainte normale en un point M (x, y) de la poutre vaut :

σ(x, y) = − Mfz(x)

I(OΣ,−→z )(x)y

où I(x) est le moment quadratique de la section.

De plus, même si la contrainte tangentielle τ n’est pas uniforme dans une section, une

bonne approximation de sa valeur est

τ(x) =T (x)S(x)

.

La contrainte tangentielle est généralement très petite devant la contrainte normale, elle est

donc souvent négligée.

Preuve On suppose que le vecteur contrainte dans une section de la poutre s’écrit sous la forme(Fig.II.11) :

−→T (M, −→n ) = −σmax

y

h/2−→x = σ(x, y)−→x

où σ(x, y) est la contrainte normale due à la flexion, La résultante du torseur de cohésion vaut :

−→s =

∫ ∫

Σ

−→T(M, −→n ) dΣ = −

σmax

h/2

∫ ∫

Σ

y dΣ−→x =−→0

car y est une fonction impaire intégrée sur un intervalle symétrique (de −h/2 à h/2).Le moment du torseur de cohésion vaut :

−→MOΣ

=

∫∫

Σ

−−−→OΣM ∧

−→T(M, −→n ) dΣ =

∫∫

Σ

(y−→y + z−→z ) ∧(

− σmaxy

h/2−→x

)dΣ

−→MOΣ

= −σmax

h/2

∫ ∫

Σ

(−y2−→z + zy−→y ) dΣ

Or ∫ ∫

Σ

zy dΣ = 0 et

∫ ∫

Σ

y2 dΣ = I(OΣ,−→z )(x),

donc :−→MOΣ

= I(OΣ,−→z )(x)σmax

h/2−→z

Par ailleurs, le moment du torseur de cohésion vaut−→MOΣ

= Mfz(x)−→z , donc :

σmax =h/2

I(OΣ,−→z )(x)Mfz

(x)

En remplaçant dans l’expression de la contrainte normale, on a :

σ(x, y) = −Mfz

(x)I(OΣ,−→z )(x)

y

II.3 Flexion 21

θ(x + δx)θ(x)

δxx

yδx′

Figure II.12 – Rotation θ(x) des sections pour une poutre sollicitée en flexion

II.3.4 Déformation

Pour une poutre en flexion, la déformation est due à la variation de l’angle de rotation θ(x)

des sections (Fig. II.12). L’état de contrainte étant équivalent à de la traction-compression

dans une fibre de la poutre, la déformation est un allongement unitaire ǫ dans la direction

axiale. Son expression en fonction de la rotation θ(x) des sections est :

ǫ(x, y) = −dθ(x)dx

y

Preuve Soit un petit tronçon de poutre de longueur δx (Fig. II.12). La section d’abscisse x tourne d’unangle θ(x), la section d’abscisse x + δx tourne d’un angle θ(x + δx). La fibre neutre de ce tronçon a pourlongueur δx, la fibre située à la distance y de la fibre neutre a pour longueur δx′ après déformation. Enconsidérant que les angles de rotation des section sont petits, cette longueur δx′ a pour expression :

δx′ = δx + yθ(x) − yθ(x + δx)

soit aussiδx′

− δx = −y(θ(x + δx) − θ(x)

)

Par ailleurs, la déformation ǫ dans la direction axiale de la fibre située à la distance y de la fibre neutrevaut :

ǫ =δx′

− δx

δxSoit aussi

ǫ = −yθ(x + δx) − θ(x)

δxEn faisant tendre δx vers 0, on a

ǫ = −dθ(x)

dxy

II.3.5 Déplacement

La poutre se déforme sous l’action du chargement. Les points de la ligne moyenne se dé-

placent suivant −→y de la valeur v(x). Autrement dit, le vecteur v(x)−→y est le vecteur dépla-

cement du point OΣ.

La dérivée première de v(x) représente la rotation de section d’abscisse x autour de −→z :

θ(x) =dv(x)

dx


L’état de contrainte étant équivalent à de la traction-compression, la relation entre la

contrainte normale σ et l’allongement unitaire ǫ suivant −→x est

σ = Eǫ


δx

p T (x + δx)

x x + δx

−T (x) Mf (x + δx)

−Mf (x)OΣ O∗

Σ

Figure II.13 – Équilibre d’un tronçon de poutre en flexion : effort tranchant

où E est le module d’Young du matériau.

Or on sait que

σ(x, y) = − Mfz(x)

I(OΣ,−→z )(x)y et ǫ = −dθ(x)

dxy

donc :

− Mfz(x)

I(OΣ,−→z )(x)y = −E

dθ(x)dx

y

En simplifiant par −y, on a :dθ(x)

dx=

Mf(x)EI(OΣ,−→z )(x)

.

ou bien en fonction de déplacement de la ligne moyenne

d2v(x)dx2

=Mf(x)

EI(OΣ,−→z )(x).

II.3.7 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement

On étudie un tronçon de poutre qui n’est soumis qu’à un effort transversal linéique p−→y .

Par exemple, pour une poutre horizontale où l’axe −→y est vers le haut (gravité vers le bas),

cette force linéique vaut

p = −ρgS

où ρ est la densité du matériau composant la poutre, g est la gravité et S est l’aire de la

section de la poutre.

Dans ce tronçon, on peut montrer que l’on a la relation suivante entre l’effort tranchant

et la charge linéique :dTy

dx+ p = 0.

On peut aussi montrer que l’on a la relation suivante entre le moment de flexion et l’effort

tranchant :dMfz

dx+ Ty = 0.

Preuve On isole un petit tronçon de poutre de longueur δx compris entre les abscisses x et x + δx (Fig.II.13).

L’extrémité de gauche subit la force −T (x)−→y car la matière est à droite et, par convention, l’efforttranchant est l’action de la partie de droite sur la partie de gauche (en supposant que l’axe positif soitvers la droite). L’extrémité de droite subit la force T (x + δx)−→y . Le tronçon subit la force linéique p, soitla résultante pδx−→y . L’équilibre du tronçon s’écrit en résultante sur −→y :

−T (x) + T (x + δx) + pδx = 0

soit en divisant par δxT (x + δx) − T (x)

δx+ p = 0

II.3 Flexion 23

En faisant tendre δx vers 0, on obtient exactement la définition de la dérivée :

limδx→0

T (x + δx) − T (x)δx

=dT (x)

dx

On a biendT (x)

dx+ p = 0

L’extrémité de gauche subit par ailleurs le moment de flexion Mf (x + δx). L’extrémité de droite subitle moment de flexion −Mf (x). L’équilibre en moment autour de −→z au centre de section située en x + δx

(point O∗

Σ) s’écrit :

Mf (x + δx)−→z − Mf (x)−→z +−−−−→O∗

ΣOΣ ∧ (−T (x)−→y ) =−→0

avec−−−−→O∗

ΣOΣ = −δx−→x . Le calcul du produit vectoriel donne :

−−−−→O∗

ΣOΣ ∧ (−T (x)−→y ) = T (x)δx−→z

On a alors en projetant sur −→z et en divisant par δx on a :

Mf (x + δx) − Mf (x)δx

+ T (x) = 0

En faisant tendre δx vers 0, on trouve alors :

dMf

dx+ T = 0.


Traction Torsion Flexion

KOΣ

=

N 0

0 0

0 0

OΣ

0 Mt

0 0

0 0

OΣ

0 0

Ty 0

0 Mfz

OΣ

déplacement translation u−→x rotation α−→x translation v−→y

déformation allongement ǫ distorsion γ allongement ǫ

relation ǫ =du

dxγ = r

dα

dxǫ = − d2v

dx2y

déplacement-déformation

relation σ = Eǫ τ = Gγ σ = Eǫ

contrainte-déformation

relation σ =N

Sτ =

Mt

I0

r σ = −Mfz

Iy

contrainte-efforts

relationdu

dx=

N

ES

dα

dx=

Mt

GI0

d2v

dx2=

Mf

EIdéplacement-efforts

équations reliantdN

dx+ p = 0

dMt

dx+ c = 0

dTy

dx+ p = 0

les efforts

généralisésdMfz

dx+ Ty = 0

Tableau II.1 – Résumé des formules pour les sollicitations simples

III — Calcul de treillis

III.1 Hypothèses et critère de dimensionnement

III.1.1 Hypothèses sur les liaisons

Un treillis est une structure composée de barres rotulées entre elles (Fig. III.1). Les barres

sont connectées entre elles par des nœuds, centres des liaisons rotules. Les articulations sont

supposées parfaites. Cette simplification permet de résoudre relativement facilement le pro-

blème. Même si les liaisons ne sont pas réellement des rotules mais des liaisons boulonnées,

on peut considérer dans une première approche la structure comme un treillis de barres

rotulées. Cela permet de trouver une bonne approximation des efforts normaux dans les

barres et donc de dimensionner.

La barre AB est connectée aux nœuds A et B. Le torseur des actions mécaniques de A

sur la barre vaut en A

TA

A=

−→FA|−→0

B

A

barre AB

−→FA

−→FB

Figure III.1 – Structure de type treillis de barres

26 Calcul de treillis

De même, le torseur des actions mécanique de B sur la barre vaut en B

TB

B=

−→FB|−→0

L’équilibre de la barre s’écrit en A

−→FA | −→

0

A+

−→FB | −→

AB ∧ −→FB

A=

−→0 | −→

0

Soient−→FA = −−→

FB

et−→AB ∧ −→

FB =−→0

L’effort extérieur−→FB est donc porté par l’axe de la barre. En notant

−→i le vecteur unitaire

allant de A vers B, on a

−→i =

−→AB

‖ −→AB ‖

et−→FB = −−→

FA = NAB

−→i

où NAB est l’effort normal dans la barre AB.

Une barre rotulée à ses deux extrémités ne subit que de la traction-compression. Chaque

barre reste un segment de droite après déformation, la figure III.1 montre la déformée globale

d’un treillis (barres en tirets).

Si l’on veut considérer les liaisons comme des encastrements, des moments sont alors

transmis et de la flexion apparaît dans les barres ainsi que de la torsion dans le cas d’une

structure tridimensionnelle : c’est un portique. La modélisation d’une structure comme un

treillis rotulé a longtemps été utilisée dans les bureaux d’études avant l’arrivée des moyens

de calculs informatiques.

III.1.2 Règles de construction d’un treillis

Treillis plan isostatique

Le système le plus simple est constitué par un triangle, soient 3 barres et 3 nœuds (Fig.

III.2a). En notant n le nombre de nœuds et b le nombre de barres, à partir d’un triangle

(n = 3, b = 4), chaque ajout de x nœuds impose l’ajout de 2x barres, soit

n = 3 + x ; b = 3 + 2x ; 2n = 3 + b

Le nombre de barres b est lié au nombre de nœuds n pour que le système soit isostatique. Il

faut de plus que les encastrements du treillis n’imposent pas d’hyperstatisme à la structure.

III.1 Hypothèses et critère de dimensionnement 27

Treillis hyperstatiquesTreillis isostatiques

a) n=3 ; b=3 b) n=4 ; b=5

Figure III.2 – Construction d’un treillis

Figure III.3 – Treillis avec mobilité interne

Treillis plan hyperstatique

Si 2n < 3+b alors le treillis est hyperstatique, la méthode de résolution des efforts normaux

présentée ensuite ne suffit pas à déterminer à elle seule les efforts dans les barres (Fig.

III.2b)). Il faut résoudre le problème en écrivant que les allongements des barres ne sont pas

indépendants pour que les barres restent articulées entre elles.

Treillis plan avec mobilité interne

Si 2n > 3 + b alors il y a indétermination des efforts normaux et des mouvements sont

possibles sans efforts extérieurs (Fig. III.4).

Treillis tridimensionnel

Le treillis tridimensionnel le plus simple est composé de 4 nœuds et de 6 barres. A chaque

nouveau nœud, il faut ajouter 3 nouvelles barres pour garder l’isostatisme. La règle d’un

treillis isostatique tridimensionnel est alors :

n = 4 + x ; b = 6 + 3x ; b = 3n − 6

b = 6

n = 4 + 1n = 4

b = 6 + 3

Figure III.4 – Treillis tridimensionnel


α −→x

−→y

−→u (α) (1)

(2)(n)

αn

α1

α2

−→F

Figure III.5 – Méthode des nœuds, équilibre d’un nœud.

III.1.3 Critère de dimensionnement

Les barres étant en état de traction (NAB>0) sont dimensionnées à la traction, les barres

étant en état de compression (NAB<0) sont dimensionnées au flambage.

III.2 Méthode des nœudsLa méthode permet de déterminer les efforts normaux dans les barres du treillis. On note

Ni l’effort normal dans la barre i. La méthode de résolution consiste à écrire successivement

l’équilibre de chaque nœud.

Soit un nœud N connecté à n barres et soumis à l’effort extérieur−→F (Fig. III.5). On

note −→u (α) le vecteur faisant un angle α avec l’axe −→x (sens trigonométrique positif). On

note αi l’angle entre −→x et le vecteur porté par la barre (i) s’éloignant du nœud N .

En notant Ni l’effort normal dans la barre (i), l’équilibre du nœud s’écrit :

n∑

i=1

Ni−→u (αi) +

−→F =

−→0

En écrivant ainsi l’équilibre de chaque nœud successivement, on aboutit à un système

d’équations vectorielles dont le nombre est le nombre de nœuds du treillis. En deux dimen-

sions le nombre d’équations scalaires est donc 2 fois le nombre de nœuds du treillis (3 fois en

tridimensionnel). Ces équations permettent de calculer les efforts normaux dans les barres

du treillis ainsi que les réactions aux appuis si le problème est isostatique.

III.3 Flambage des poutres droites

III.3.1 Introduction

Le flambage est un phénomène d’instabilité de l’équilibre. Cela peut être représenté sim-

plement par une bille en équilibre (fig. III.6) : la bille est en équilibre stable au fond d’une


équilibre instable

équilibre stable

Figure III.6 – Equilibre stable, équilibre instable

F < Fcr

F = Fcr

N = −F

Mf = 0

N = −F

Mf 6= 0

après flambageavant flambage

Figure III.7 – Poutre en compression

vallée, en équilibre instable au sommet d’une montagne. Par analogie, l’équilibre est dit

stable si la structure revient à sa position d’équilibre après une petite perturbation de sa

position.

Une poutre droite en compression garde sa forme droite tant que l’effort normal N est

inférieur à la charge critique de flambage Fcr (Fig. III.7).

III.3.2 Charge critique de flambage d’une poutre droite

Soit une poutre droite (Fig. III.8), rotulée à son extrémité droite, simplement appuyée à son

extrémité gauche, et soumise à un chargement de compression F−→x à son extrémité gauche.

Les torseurs d’efforts des liaisons s’écrivent :

LO

=

Y0−→y |−→0

O

et

LA

=

XA−→x + YA

−→y |−→0

A.

L’équilibre statique s’écrit

Y0−→y |−→0

O+

XA−→x + YA

−→y |−→0

A+

F−→x |−→0

O=

−→0 |−→0

O,

En déplaçant le torseur

LA

de A en O on a :

LA

O=

XA−→x + YA

−→y | −→OA ∧ (XA

−→x + YA−→y )

O


−→y

−→xO Av(x)

x

OΣ

O′

Σ

F−→x(1)

(2)

L

Figure III.8 – Étude sur la configuration déformée.

LA

O=

XA−→x + YA

−→y | L−→x ∧ (XA−→x + YA

−→y )

O

LA

O=

XA−→x + YA

−→y | LYA−→z )

O

L’équilibre statique s’écrit alors au point O :

Y0−→y |−→0

O+

XA−→x + YA

−→y | LYA−→z )

O+

F−→x |−→0

O=

−→0 |−→0

O

ce qui donne les résultats suivants après résolution :

XA = −F ; YA = 0 ; Y0 = 0

On suppose que la poutre possède une configuration déformée de type flexion en équilibre

sous l’action d’une charge de compression. L’étude du torseur de cohésion se fait sur cette

configuration déformée (Fig. III.8). Un point OΣ de la ligne moyenne avant déformation

devient le point O′

Σ après déformation.

On note le déplacement de ce point v(x) :

−−−→OΣO

′

Σ = v(x)−→y

Le torseur de cohésion en O′

Σ est l’action de (2) sur (1), en isolant (1), on a :

K = −Text→(1) = −F−→x |−→0 0

K = −F−→x |−−→O

′

ΣO ∧ (−F−→x )0′

Σ

−−→O

′

ΣO ∧ (−F−→x ) = (−x−→x − v(x)−→y ) ∧ (−F−→x ) = −v(x)F−→z

Finalement

K = −F−→x | − v(x)F−→z O′

Σ

donc l’effort normal vaut N = −F (négatif si F est positif) et le moment de flexion vaut

Mf = −v(x)F . Or le moment de flexion vaut aussi Mf = EIθ′(x) avec v′ = θ donc

Mf = EIv′′(x). Les deux expressions du moment de flexion doivent être égales, donc :

EIv′′(x) + v(x)F = 0.

Comme EI est positif, si F est positif, alors cette équation différentielle a une solution de

la forme

v(x) = α sin ωx + β cos ωx


n = 2

n = 1

n = 3

n = 4

Figure III.9 – Flambage d’une poutre droite articulée pour différentes valeurs de n.

Les conditions aux points O et A imposent que ces points ne se déplacent pas verticalement :

v(0) = 0 et v(L) = 0.

Cela entraîne que β = 0 et que sin ωL = 0 donc ω =nπ

Loù n est un entier. Finalement,

l’expression de v(x) est

v(x) = α sinnπ

Lx, donc v′(x) = α

nπ

Lcos

nπ

Lx, et v′′(x) = −α

n2π2

L2sin

nπ

Lx.

En remplaçant dans l’équation différentielle de départ, il vient

−EIαn2π2

L2sin

nπ

Lx + Fα sin

nπ

Lx = 0.

En simplifiant par α sin nπL

x, on trouve l’expression de F qui assure une solution à l’équation

différentielle :

F = EIn2π2

L2.

Si F est tel qu’il existe un n entier qui satisfasse cette dernière équation alors la configuration

d’équilibre peut être de la forme v(x) = α sin nπL

x.

Dans la pratique, la charge augmente en commençant par 0. Dès que la charge est

égale à EI π2

L2 , c’est à dire la première valeur de n entier (n = 1), alors la poutre prend la

configuration "courbe". La valeur de α n’étant pas donnée, cette valeur peut devenir très

grande et conduire à la ruine de la poutre.

La figure III.9 montre les déformées pour différentes valeurs de n.

III.3.3 Élancement et rayon de giration

Le rayon de giration r caractérise la "taille" de la section de la poutre. Le rayon de giration

(exprimé en m) vaut par définition :

r =

√

I

S

où I est le moment quadratique de la section et S est l’aire de la section.

L’élancement λ d’une poutre caractérise le rapport de sa longueur par le rayon de giration

de sa section. L’élancement caractérise aussi la flexibilité de la poutre : plus λ est grand plus


Poutre élancée, λ grand

Poutre courte, λ petit

Figure III.10 – Élancement d’une poutre droite.

la poutre est élancée, plus λ est petit plus la poutre est courte (Fig. III.10). L’élancement

(sans dimension) vaut par définition

λ =L

r

où L est la longueur de la poutre et r est le rayon de giration de la section.

III.3.4 Critère de dimensionnement

La contrainte normale dans la poutre quand N = Fcr, appelée contrainte critique de flam-

bage vaut (n = 1)

σcr =Fcr

S=

EIπ2

L2S.

En faisant apparaître l’élancement, on a :

σcr =Eπ2

λ2.

En notant Re la limite élastique du matériau, il y a risque de ruine par flambage si σcr < Re,

soit encore :

— Si σcr < Re, ruine par flambage : la charge critique de flambage est atteinte avant la

limite élastique, dimensionnement au flambage,

— Si Re < σcr, ruine par compression : la limite élastique est atteinte avant la charge

critique de flambage, dimensionnement en compression.

L’élancement critique λcr est l’élancement pour le lequel la charge critique de flambage

est atteinte en même temps que la limite élastique en compression :

σcr = Re ⇔ Eπ2

λ2cr

= Re ⇔ λcr =

√

Eπ2

Re

Cette valeur ne dépend que du matériau, par exemple pour un acier d’usage général :

E = 200 GPa ; Re = 240 MPa → λcr = 90

Finalement, le critère de dimensionnement d’une poutre en compression se résume ainsi :

— Si λ < λcr (≈ 100 pour l’acier) alors on dimensionne en compression :

— le critère s’écrit

σ =∣∣∣∣

N

S

∣∣∣∣ <

Re

s

où s est le coefficient de sécurité

— Si λ > λcr (≈ 100 pour l’acier) alors on dimensionne au flambage :


extrémité 1 extrémité 2 Le

rotulé rotulé L

libre encastré 2L

encastré encastré 0, 5 L

encastré rotulé 0, 7 L

n = 2

rotulé rotulé 0, 5 L

Tableau III.1 – Longueurs équivalentes suivant les conditions aux extrémités.

— le critère s’écrit

|N | <Fcr

s

où s est le coefficient de sécurité

Si λ est proche de λcr, des méthodes d’analyse plus fines existent mais ne sont pas

détaillées ici.

III.3.5 Autres conditions aux limites

Pour d’autres appuis aux extrémités, les formules restent valables en remplaçant la longueur

L par une longueur équivalente Le. Le tableau III.1 donne Le suivant les cas, L désigne la

longueur réelle de la poutre. La charge critique de flambage vaut alors :

Fcr = EIπ2

L2e

IV — Contraintes et déformations

IV.1 Introduction

Le solide Ω est en équilibre sous l’action de forces extérieures (Fig. IV.1).

Pour connaître l’état de contrainte à l’intérieur du solide, on isole un petit cube dΩ. Les

objectifs sont de :

— Caractériser les forces agissant sur le petit cube : ce sont des forces internes à la matière

qui sont vues par le cube comme des forces surfaciques (Pa ou MPa) agissant sur les

6 faces ; ces forces surfaciques sont appelées contraintes,

— Caractériser les déformations du petit cube : le cube s’allonge (ou se rétréci) dans

chaque direction et les angles initialement de 90o entre les arrêtes du cube changent,

— Établir les relations entre les contraintes et les déformations,

— Proposer un critère de dimensionnement.

dΩ

Figure IV.1 – Solide en équilibre sous l’action de forces extérieures.

36 Contraintes et déformations

σx

−σx

−→x

ǫx

ǫz

ǫy

dΩ

Figure IV.2 – Traction suivant x du petit cube.

IV.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimen-sionnellesOn isole le petit cube dΩ en étudiant plusieurs états simples :

— 3 états de traction dans les 3 directions −→x , −→y et −→z ,

— 3 états de cisaillement dans les 3 plans.

Le repère (−→x , −→y , −→z ) est aligné avec les arrêtes du cube. La superposition de ces 6 états

donne l’état de contrainte général dans lequel peut se trouver un petit élément de matière.

État de traction suivant −→xL’état de traction suivant −→x (Fig. IV.2) est caractérisé par des forces surfaciques σx

−→x et

−σx−→x appliquées sur les 2 faces ayant pour normales −→x et −−→x . Il est facile de vérifier que

le cube est bien en équilibre. On a les relations suivantes :

σx = Eǫx ; ǫy = −νǫx ; ǫz = −νǫx

où E est le module d’Young, ν le coefficient de Poisson, σx est la contrainte normale ap-

pliquée suivant −→x et ǫx, ǫy et ǫz sont les allongements unitaires suivant −→x , −→y et −→z . Ces

relations sont celles issues de la traction d’une poutre. Le coefficient de Poisson entraîne

des déformations dans les directions transversales. La contrainte σx a pour unité le Pa, les

déformations sont sans dimension.

On peut alors écrire les déformations en fonction des contraintes :

ǫx =1E

σx ; ǫy = − ν

Eσx ; ǫz = − ν

Eσx

État de traction suivant −→yDe la même façon, l’état de traction suivant −→y donne les relations suivantes :

σy = Eǫy ; ǫx = −νǫy ; ǫz = −νǫy

et on peut alors écrire les déformations en fonction des contraintes :

ǫx = − ν

Eσy ; ǫy =

1E

σy ; ǫz = − ν

Eσy

IV.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimensionnelles 37

−→x−τ−τ

τ

τ−→y

π2

− γ

Figure IV.3 – Cisaillement dans le plan (x, y) du petit cube.

État de traction suivant −→zEnfin, l’état de traction suivant −→z donne les relations suivantes :

σz = Eǫz ; ǫx = −νǫz ; ǫy = −νǫz

et on peut alors écrire les déformations en fonction des contraintes :

ǫx = − ν

Eσz ; ǫy = − ν

Eσz ; ǫz =

1E

σz

Cisaillement dans le plan (−→x , −→y )

On applique sur le cube les forces surfaciques suivantes (Fig. IV.3) :

• τ−→y sur la face de normale −→x• τ−→x sur la face de normale −→y• −τ−→y sur la face de normale −−→x• −τ−→x sur la face de normale −−→y

L’équilibre en résultante est facile à vérifier. L’équilibre en moment est vérifié en écrivant

la somme des moments au centre du cube.

La contrainte tangentielle τ engendre une distorsion angulaire γ du cube : l’angle de π2

avant déformation devient un angle de π2

− γ. La relation entre τ et γ s’écrit :

τ = Gγ

où G est le module d’élasticité transversale exprimé en Pa. La contrainte de cisaillement

(ou tangentielle) τ a pour unité le Pa, γ est sans dimension. L’expression de G en fonction

de E et ν est :

G =E

2(1 + ν)

Étant donné que cet essai est effectué dans le plan (−→x , −→y ), on utilise alors les notations

suivantes :

τxy = Gγxy

ou encore

γxy =1G

τxy


Cisaillement dans le plan (−→x , −→z )

En faisant simplement une permutation des indices xy en xz, on a

τxz = Gγxz

ou encore

γxz =1G

τxz

Cisaillement dans le plan (−→y , −→z )

En faisant simplement une permutation des indices xy en yz, on a

τyz = Gγyz

ou encore

γyz =1G

τyz

Superposition des 6 états

En supposant que l’on applique en même temps les 6 sollicitations simples au petit cube,

on a alors en ajoutant les contributions de chaque chargement aux déformations :

ǫx =1E

σx − ν

Eσy − ν

Eσz

ǫy = − ν

Eσx +

1E

σy − ν

Eσz

ǫz = − ν

Eσx − ν

Eσy +

1E

σz

γxy =1G

τxy ; γxz =1G

τxz ; γyz =1G

τyz

On rappelle que

G =E

2(1 + ν)

IV.2.1 Opérateur des contraintes et des déformations

Afin de simplifier les notations et de regrouper dans un même objet les 6 contraintes d’une

part et les 6 déformations d’autres part, on pose les deux matrices suivantes :

— On appelle opérateur des contraintes, la matrice S définie par

S =

σx τxy τxz

τxy σy τyz

τxz τyz σz

(−→x ,−→y ,−→z )

Les quantités σ sont appelées les contraintes normales, les quantités τ sont appelées

les contraintes de cisaillement.


−→y

−→x

h−→z

S : plan moyen

dΩ

Figure IV.4 – Plaque sollicitée dans son plan.

— On appelle opérateur des déformations, la matrice E définie par

E =

ǫx

γxy

2γxz

2

γxy

2ǫy

γyz

2

γxz

2γyz

2ǫz

(−→x ,−→y ,−→z )

Les quantités ǫ sont appelées les allongements unitaires, les quantités γ sont appelées

les distorsions angulaires.

IV.2.2 Théorème de superposition

Soit le chargement 1© donnant l’état de contrainte S 1©. Soit le chargement 2© donnant l’état

de contrainte S2©.

L’état de contrainte S associé à la somme des deux chargements et la somme des deux

opérateurs des contraintes :

S1© =

[

σ 1©x τ 1©

τ 1© σ 1©y

]

(−→x ,−→y )

S2© =

[

σ 2©x τ 2©

τ 2© σ 2©y

]

(−→x ,−→y )

S = S1© + S

2© =

[

σ 1©x + σ 2©

x τ 1© + τ 2©

τ 1© + τ 2© σ 1©y + σ 2©

y

]

(−→x ,−→y )

Il existe exactement le même théorème pour l’opérateur des déformations.

IV.3 Problème plan

IV.3.1 Hypothèses

On s’intéresse aux contraintes et déformations d’une plaque mince chargée dans son plan

(Fig. IV.5). On attache à la plaque un repère (−→x , −→y , −→z ) où −→z est perpendiculaire à la

plaque et −→x et −→y sont dans le plan Dans cette configuration, rien ne dépend de z.


−→x

dΩ −→y

dΩ

−→y

−→x-σx σx

τ

-τ

-τ

τσy

-σy

Figure IV.5 – Petit carré isolé.

IV.3.2 Etat de contraintes planes

On isole un petit cube dΩ de la plaque, d’épaisseur h, aligné avec les axes −→x et −→y . Ce cube

ne subit aucune contraintes sur la faces de normales −→z et −−→z , par conséquent : σz = 0,

τxz = 0, τyz = 0.

Afin de simplifier les notations :

— on note τ = τxy,

— on représente le cube de dessus comme un carré dans le plan (−→x , −→y ),

— on représente les contraintes sur les cotés du carré par une seule flèche au centre de

l’arrête.

Le dessin de la figure IV.5 représente un carré isolé de la plaque.

Le carré subit les contraintes suivantes :

— contrainte normale σx dans la direction −→x ,

— contrainte normale σy dans la direction −→y ,

— contrainte de cisaillement τ dans les directions −→x et −→y .

L’opérateur des contraintes dans le plan (−→x , −→y ) est noté

S =

σx τ

τ σy

(−→x ,−→y )

La figure IV.6 montre le carré déformé suite au chargement appliqué sur ses 4 cotés.

L’allongement du carré dans la direction −→x est caractérisé par l’allongement unitaire ǫx.

L’allongement du carré dans la direction −→y est caractérisé par l’allongement unitaire ǫy. La

distorsion angulaire du carré est caractérisé par γ.

A partir des relations tridimensionnelles entre les contraintes et les déformations, et en

utilisant le fait que σz = 0, τxz = 0, τyz = 0, on obtient :

ǫx =1E

σx − ν

Eσy

ǫy = − ν

Eσx +

1E

σy


ǫy

ǫx

π

2− γ

−→y

−→x

Figure IV.6 – Déformations du petit carré.

−→x

−→y−→y′

-τ-τ ′

-σ′

y

σ′

y −→x′

τ ′

dΩ′-σ′

x

τ ′

σ′

xα

dΩ

−→y

−→x-σx σx

τ

-τ

-τ

τσy

-σy

Figure IV.7 – Contraintes sur un petit carré non aligné à x et y.

γ =1G

τ

Soit en inversant les équations (résolution d’un système de 2 équations à 2 inconnues) :

σx =E

1 − ν2

(

ǫx + νǫy

)

σy =E

1 − ν2

(νǫx + ǫy

)

τ = Gγ

On rappelle que

G =E

2(1 + ν)

Ces relations sont valables dans le cas présent des contraintes planes.

IV.3.3 Expressions des contraintes subies par un carré non aligné avec x et y

Tous les développements précédents sont faits sur un carré aligné avec les axes −→x et −→y .

Pourtant rien n’empèche d’isoler un carré non aligné avec ces axes. On isole par exemple

sur la figure IV.7 un carré dΩ′ aligné avec les axes−→x′ et

−→y′ inclinés d’un angle α par rapport

à −→x et −→y .

Ce carré subit les contraintes suivantes :

— contrainte normale σ′

x dans la direction−→x′ ,


-τ-σy

−→y

α −→xM-σx

-τ

τ ′ σ′

x

ly

lx

lα

−→x′

Figure IV.8 – Petit triangle en équilibre autour de M .

— contrainte normale σ′

y dans la direction−→y′ ,

— contrainte de cisaillement τ ′ dans les directions−→x′ et

−→y′ .

On note S′ l’opérateur des contraintes dans la base (

−→x′ ,

−→y′ ) comme

S′ =

σ′

x τ ′

τ ′ σ′

y

(−→

x′ ,−→

y′ )

Il existe des relations entre S et S′. Afin de trouver ces relations, on isole autour du point

M un petit triangle d’épaisseur h (Fig. IV.8). On suppose que l’état de contrainte est le

même en tout point du triangle.

Le bilan des actions mécaniques agissante sur les 3 faces du triangle est

sur la face de normale − −→x :−→F 1 = −σxhly

−→x − τhly−→y

sur la face de normale − −→y :−→F 2 = −σyhlx

−→y − τhlx−→x

sur la face de normale−→x′ :

−→F 3 = σ′

xhlα−→x′ + τ ′hlα

−→y′

Les relations entre les longueurs des cotés sont

ly = cos α lα,

lx = sin α lα.

L’équilibre en résultante donne

−→F 1 +

−→F 2 +

−→F 3 =

−→0 ,

soit aussi en simplifiant par h

−σxly−→x − τ ly

−→y − σylx−→y − τ lx

−→x + σ′

xlα−→x′ + τ ′lα

−→y′ =

−→0 ,

soit en remplaçant lx et ly par leurs expressions en fonction de lα puis en simplifiant par lα :

−σx cos α−→x − τ cos α−→y − σy sin α−→y − τ sin α−→x + σ′

x

−→x′ + τ ′

−→y′ =

−→0 ,


De plus, les directions−→x′ et

−→y′ s’écrivent dans la base (−→x , −→y ) sous la forme

−→x′ = cos α−→x + sin α−→y

−→y′ = − sin α−→x + cos α−→y

En projetant l’équilibre en résultante sur−→x′ on a :

−σx cos2 α − τ cos α sin α − σy sin2 α − τ sin α cos α + σ′

x = 0

soit :

σ′

x = σx cos2 α + σy sin2 α + 2τ sin α cos α

En projetant l’équilibre en résultante sur−→y′ on a :

σx cos α sin α − τ cos α cos α − σy sin α cos α + τ sin α sin α + τ ′ = 0

soit :

τ ′ = (σy − σx) cos α sin α + τ(

cos2 α − sin2 α)

En utilisant les formules trigonométriques suivantes

cos2 α =1 + cos 2α

2; sin2 α =

1 − cos 2α

2; 2 cos α sin α = sin 2α

on a alors :

σ′

x =σx − σy

2cos 2α + τ sin 2α +

σx + σy

2

τ ′ = −σx − σy

2sin 2α + τ cos 2α

En isolant un triangle tourné d’un angle de π2

par rapport à celui utilisé, on en déduit que

σ′

y = σ′

x(α +π

2) = −σx − σy

2cos 2α − τ sin 2α +

σx + σy

2

IV.3.4 Expressions des déformations d’un carré non aligné avec x et y

Le carré non aligné avec x et y se déforme suite aux contraintes σ′

x, σ′

y et τ ′ qui lui sont

appliquées. La figure IV.9 montre le carré déformé suite au chargement appliqué sur ses 4

cotés. L’allongement du carré dans la direction−→x′ est caractérisé par l’allongement unitaire

ǫ′

x. L’allongement du carré dans la direction−→y′ est caractérisé par l’allongement unitaire ǫ′

y.

La distorsion angulaire du carré est caractérisé par γ′.

Les relations entre les déformations (ǫ′

x, ǫ′

y, γ′) et (ǫx, ǫy, γ) sont similaires à celle obtenues

pour les contraintes :

ǫ′

x =ǫx − ǫy

2cos 2α +

γ

2sin 2α +

ǫx + ǫy

2

ǫ′

y = −ǫx − ǫy

2cos 2α − γ

2sin 2α +

ǫx + ǫy

2

γ′

2= −ǫx − ǫy

2sin 2α +

γ

2cos 2α


−→x

−→y−→y′

−→x′

αǫy

ǫx

π

2− γ

−→y

−→x

ǫ′

y

π

2− γ′

ǫ′

x

Figure IV.9 – Déformations du carré non aligné à x et y.

IV.3.5 Relation entre les contraintes et les déformations d’un carré non alignéavec x et y

Les relations entre les contraintes et les déformations d’un carré incliné d’un angle α sont

les mêmes que celles pour le carré non incliné :

ǫ′

x =1E

σ′

x − ν

Eσ′

y

ǫ′

y = − ν

Eσ′

x +1E

σ′

y

γ′ =1G

τ ′

ou encore

σ′

x =E

1 − ν2

(

ǫ′

x + νǫ′

y

)

σ′

y =E

1 − ν2

(

νǫ′

x + ǫ′

y

)

τ ′ = Gγ′

On rappelle que

G =E

2(1 + ν)

IV.3.6 Directions principales

On dit que les directions−→x′ et

−→y′ sont directions principales si le carré incliné ne subit pas

de cisaillement, autrement dit, si τ ′ = 0 (Fig. IV.10). Les directions principales sont notées

dans la suite −→n1 et −→n2, elles sont orthogonales.

L’angle α0 tel que τ ′ = 0 soit nul vérifie l’équation

−σx − σy

2sin 2α0 + τ cos 2α0 = 0

soit

α0 =12

arctan( τ

σx−σy

2

)

Les directions principales −→n1 et −→n2 sont alors

−→n1 = cos α0−→x + sin α0

−→y


−→x

−→y−→y′

-τ-τ ′

-σ′

y

σ′

y −→x′

τ ′

dΩ′-σ′

x

τ ′

σ′

xα −→x

−→y

dΩ′

σ2

-σ2

σ1

-σ1

−→x′ = −→n1

−→y′ = −→n2

α0

Figure IV.10 – Directions principales.

−→n2 = − sin α0−→x + cos α0

−→y

Les contraintes principales σ1 et σ2 valent

σ1 = σ′

x(α0) et σ2 = σ′

y(α0)

soient

σ1 =σx − σy

2cos 2α0 + τ sin 2α0 +

σx + σy

2

σ2 = −σx − σy

2cos 2α0 − τ sin 2α0 +

σx + σy

2

IV.3.7 Cercle de Mohr des contraintes

Lorsque α varie, c’est à dire lorsque l’on fait varié l’inclinaison du petit carré isolé, σ′

x et τ ′

évoluent. Le but est de représenter les contraintes normale et tangentielle sur un graphique

quand α varie en portant σ′

x en abscisse et τ ′ en ordonnée dans un repère orthonormé.

Pour α donné, on a

σ′

x − σx + σy

2=

σx − σy

2cos 2α + τ sin 2α

τ ′ = −σx − σy


soit aussi en ajoutant les carrés des deux expressions précédentes

(

σ′

x − σx + σy

2

)2+ τ ′2 = R2

avec

R =

√(σx − σy

2

)2

+ τ 2

Ceci est l’équation d’un cercle dans le repère (σ′

x, τ ′), de centre (σx+σy

2 , 0) et de rayon R.

Le cercle peut être tracé à la règle et au compas (Fig. IV.11) :

— le centre C est le milieu du segment [σx σy] sur l’axe des abscisses

— un point du cercle a pour coordonnées (σx, τ)


2α0

σx

τ

R

C

σx+σy

2σx−σy

2

dΩ′

−→x

α

τ ′

σ2

σyσ′

x

σ1

−→x′

−→y′

Figure IV.11 – Cercle de Mohr des contraintes

Ce cercle représente l’ensemble des points (σ′

x, τ ′) possibles dans le repère (−→x′ ,

−→y′ ) quand α

varie.

Les contraintes normales principales σ1 et σ2 sont les points d’intersections du cercle avec

l’axe des abscisses car la contrainte tangentielle est nulle en ces deux points. On appelle

α1 l’angle caractérisant la direction principale −→n1 et α2 l’angle caractérisant la direction

principale −→n2. On sait que l’angle α0 tel que τ ′ soit nul vérifie

tan 2α0 =τ

σx − σy

2

=coté opposé

coté adjacent

Graphiquement, on mesure l’angle 2α0 comme l’angle reliant dans cet ordre les trois points

(σx, 0), C puis (σx, τ). Le sens positif est le sens trigonométrique.

Dans tous les cas, par convention, on prend σ1 à droite et σ2 à gauche.

— Si σy < σx (Fig. IV.12) alors α1 = α0 et α2 = α0 + π2 ,

— Si σx < σy (Fig. IV.13) alors α1 = α0 + π2

et α2 = α0.


C

τ ′

σ′

x

2α0C

τ ′

σ′

x

σy σx

2α0

σ2 σ1 σ2 σ1

α0 > 0 α0 < 0

τ

τ

σy σx

Figure IV.12 – Cas où σy < σx : α1 = α0 et α2 = α0 + π2

C

τ ′

σ′

x

C

σ′

x

σxx σyy

σ2 σ1 σ2 σ1σx

α0 > 0 α0 < 0

2α0

2α0

τ

τ

σy

τ ′

Figure IV.13 – Cas où σx < σy : α1 = α0 + π2

et α2 = α0

V — Critères de dimensionnement

V.1 Objectifs

Le but est de vérifier que les contraintes dans la structure restent acceptables pour ne pas

engendrer de rupture en fonctionnement. Pour les matériaux ductiles, les critères utilisés

couramment imposent que le matériau reste dans le domaine élastique en tout point de

la structure, c’est le cas des critères de Tresca et de Von Mises. De plus, le phénomène

de fatigue est le critère de dimensionnement à prendre pour les pièces subissant un grand

nombre de cycles de chargement.

V.2 Matériaux ductiles : critère de Tresca

Ce critère est dû à Henri Edouard Tresca (1814-1885) qui fut professeur titulaire de la

chaire de mécanique du Cnam. Il a observé que le faciès de rupture d’une éprouvette cassée

suite à un chargement de traction était incliné à 45o par rapport à l’axe de traction pour

les matériaux ductiles. Or le cisaillement étant maximal pour cet angle, il en a déduit

que la rupture se fait par glissement engendré par les contraintes de cisaillement. En effet,

l’expression de la contrainte de cisaillement pour la direction α est

τ ′ = −σx − σy


avec σy = 0 et τ = 0 pour un état de traction suivant −→x . Donc, τ ′ =σy

2sin 2α est maximal

pour 2α = 90o soit α = 45o. Le critère est donc basé sur le cisaillement maximal.

50 Critères de dimensionnement

zonezoneplastique

ǫxx

45o

σxx

zone

élast

ique

−σxx

zone utile de l’éprouvetteσxx

d’écrouissage

faciès de rupture à 45o

zone

de

stri

ctio

n

Figure V.1 – Essai de traction à rupture.

Re

2

τmax = Re

2

Re

σ′

x

τ ′

Figure V.2 – Cercle de Mohr à la limite élastique pour un essai de traction.

L’état de contrainte à la limite élastique d’une éprouvette de traction d’axe −→x est

S =

Re 0 0

0 0 0

0 0 0

(−→x ,−→y ,−→z )

Le cercle de Mohr associé à cet état de contrainte (Fig. V.2) donne le cisaillement maximal

τmax =Re

2. Le critère de Tresca est

τmax <Re

2.

Pour écrire le critère correctement, il faut raisonner en tridimensionnel. En tridimensionnel,

on peut trouver 3 directions principales associées à 3 contraintes principales σ1, σ2 et σ3

(Fig. V.3). Dans la base principale (−→n1, −→n2, −→n3), l’opérateur des contraintes s’écrit

S =

σ1 0 0

0 σ2 0

0 0 σ3

(−→n1,−→n2,−→n3)

Pour les 3 couples de valeurs (σ1, σ2), (σ1, σ3) et (σ2, σ3) on peut tracer 3 cercles de Mohr

(Fig. V.4). C’est ce que l’on appelle le tri-cercle de Mohr. La zone possible pour les couples

(σ′

x, τ ′) est la zone grisée comprise entre les trois cercles. Le cisaillement maximal dans ce

cas est

τmax =σ1 − σ3

2.

V.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises 51

plan σ2-σ3

plan σ1-σ

2

plan σ1-σ

3

σ1σ3

σ2

Figure V.3 – Trois plans des contraintes principales en tridimensionnel.

τ ′

τmax

Cercle (σ1, σ2)

σ1

Cercle (σ1, σ3)

Zone possibled’état de contrainte

σ′x

Cercle (σ1, σ3)

σ2σ3

Figure V.4 – Tri cercle de Mohr.

Suivant les valeurs et les signes des σ1, σ2 et σ3, le critère s’écrit en tridimensionnel

τmax = Max( |σ1 − σ2|

2,|σ1 − σ3|

2,|σ2 − σ3|

2

)

<Re

2.

En notant σT resca = 2τmax la contrainte équivalente de Tresca, le critère s’écrit

σT resca = Max(

|σ1 − σ2|, |σ1 − σ3|, |σ2 − σ3|)

< Re .

Dans le cas des contraintes planes, étant donné que σ3 = 0, le critère devient

σT resca = Max(

|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)

< Re .

V.3 Matériaux ductiles : critère de Von MisesLe critère de Von Mises (1883-1953), plus récent, est basé sur l’énergie de déformation que

le matériau peut stocker avant plastification. On note σV.M. la contrainte équivalente de Von

Mises. Elle vaut dans le cas tridimensionnel

σV.M. =1√2

√

(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2,

soit dans le cas des contraintes planes avec σ3 = 0

σV.M. =1√2

√

(σ1 − σ2)2 + σ21 + σ2

2.


Re−Re

−Re

Re

σ2

σ1

Re−Re

−Re

Re

σ2

σ1

Re−Re

−Re

Re

σ2

σ1

a) zone de Tresca c) comparaisonb) zone de Von Mises

Figure V.5 – Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises.

Le critère de Von Mises s’écrit

σV.M. < Re .

V.4 Comparaison des critères de Tresca et de Von MisesOn compare les critères de Tresca et de Von Mises dans le cas des contraintes planes. Dans

le plan (σ1, σ2), le lieu des points tels que σT resca < Re est

|σ1| < Re → −Re < σ1 < Re,

|σ2| < Re → −Re < σ2 < Re,

|σ1 − σ2| < Re → σ1 − σ2 < Re et σ2 − σ1 < Re.

Les deux premières lignes donnent un carré centré en (0, 0) de coté 2Re. Les deux condi-

tions suivantes donnent une zone comprise entre 2 droites de pente 1 et ayant pour ordonnées

à l’origine Re et −Re (). La zone de Tresca est représentée sur la figure V.5a).

Dans le plan (σ1, σ2), le lieu des points tels que σV.M. < Re est

σ21 + σ2

2 − σ1σ2 < R2e .

Ces points sont à l’intérieur d’une ellipse centrée en (0, 0) dont quelques points sont donnés

pour faciliter le tracé :

(±Re, 0) (0, ±Re) (Re, Re) (−Re, −Re)

La zone de Von Mises est représentée sur la figure V.5b).

On remarque que la zone de Von Mises est plus grande que celle de Tresca, la différence

est représentée sur la figure V.5c). Le choix du critère (Von Mises ou Tresca) se fait à partir

de résultats d’essais sur des éprouvettes en traction bi-axiale.

V.5 Fatigue des matériauxLa fatigue est un phénomène de détérioration d’une pièce consécutive à un grand nombre de

cycles de chargements (> 1000) alors que les contraintes sont dans le domaine élastique (les

V.5 Fatigue des matériaux 53

F−F

50

100

150

200

250

nb. cycles

10%

50%

90%MPa

Rr

100 101 102 103 104 105 106 107 108

Re

Rendu.

σ0a

temps

F/S

0

σ0a

−σ0a

Figure V.6 – Courbes de Wöhler : différentes probabilités de défaillance.

critères de Tresca et de Von Mises sont vérifiés). Schématiquement, à chaque cycle de char-

gement, des micro fissures apparaissent et grandissent dans les zones à fortes concentrations

de contraintes. Ces fissures se propagent et peuvent engendrer la ruine de la structure.

La courbe de Wöhler, obtenue de façon expérimentale sur une éprouvette sollicitée en

traction, donne la contrainte appliquée en fonction du nombre de cycle de chargements

à rupture (Fig. V.6). Les courbes sont données pour un chargement cyclique de moyenne

nulle avec une amplitude de σ0a. En réalité, une étude statistique doit être menée sur un

ensemble d’éprouvettes. On peut alors tracer plusieurs courbes pour différentes probabilités

de défaillance.

On utilise le plus souvent une seule courbe, celle ayant 10% de probabilité de défaillance

par exemple. On peut caractériser plusieurs valeurs sur cette courbe :

— limite à la rupture Rr : rupture après 1 cycle de chargement,

— limite élastique Re : le nombre de cycles à rupture se situe aux alentours de 103 à 104,

— limite d’endurance Rendu. : valeur pour laquelle le nombre de cycles devient infini,

elle est comprise entre 0, 3 × Rr et 0, 6 × Rr suivant les matériaux. Pour les al-

liages non ferreux, l’asymptote horizontale n’existe pas, on prend alors par convention

Rendu. = 0, 5 × Rr.

Les courbes de Wöhler dépendent cependant d’autres facteurs plus ou moins difficiles à

prendre en compte sans faire d’essais supplémentaires : taille de la pièce, état de surface,

corrosion, traitement de surface, température.

Dans le cas d’un chargement cyclique à contrainte moyenne σmoy non nulle (Fig. V.7),

on peut appliquer des formules empiriques permettant de trouver la contrainte équivalente

cyclique à moyenne nulle. Par exemple, la formule de Soderberg donne une relation entre

l’amplitude σa de la contrainte appliquée de moyenne non nulle σmoy à l’amplitude de la


F/S

σmoy − σa

σmoy + σa

σmoy temps

Figure V.7 – Chargement cyclique à moyenne non nulle

contrainte équivalente σ0a du chargement à moyenne nulle :

σa

σ0a

+σmoy

Re

= 1

Dans le cas d’un état de contrainte plan ou tri-dimensionnel, on utilise la contrainte

équivalente de Von Mises ou bien la contrainte équivalente de Tresca suivant le matériau :

le critère adapté est déterminé par des essais.

VI — Enveloppes minces

VI.1 Action d’un fluide au repos sur un solide

On suppose une surface Σ d’un solide en contact avec un fluide au repos dans lequel la

pression est uniforme. En chaque point M de la surface Σ, l’action du fluide est −p−→n où−→n est la normale unitaire sortante de Σ en M (Fig. VI.1).

La résultante de l’action du fluide sur le solide à travers Σ vaut :

−→s f→s = −∫∫

Σp−→n dΣ

Lorsque la pression est uniforme, cette résultante devient :

−→s f→s = −p

∫∫

Σ

−→n dΣ

Le calcul apparemment compliqué de l’intégrale double est en fait simple. On peut mon-

trer que la projection de −→s f→s sur une direction arbitraire−→d vaut :

−→s f→s · −→d = ±pS

où S est l’aire de la surface projetée de Σ sur un plan de normale unitaire−→d . Le signe +

ou − est à définir suivant les cas mais est souvent facile à trouver par intuition. De façon

générale :

— si−→d est un vecteur rentrant dans Σ, on a −→s f→s.

−→d = +pS ;

— si−→d est un vecteur sortant de Σ (cas du dessin), on a −→s f→s · −→

d = −pS.

56 Enveloppes minces

Fluide, pression p

Surface projetée plane S

Σ

M−→n

Solide

−→d

Figure VI.1 – Action d’un fluide sur un solide - Surface projetée.

VI.2 Application à un réservoir cylindriqueOn souhaite dimensionner un réservoir mince cylindrique sous pression (Fig. VI.2). Le cy-

lindre a pour rayon moyen R, sa longueur est L, son épaisseur est e, la pression intérieure

est notée p. On note S la surface intérieure du réservoir en contact avec le fluide. Le repère

orthonormé (−→er , −→eθ , −→z ) attaché au point M est tel que −→z soit porté par l’axe du réservoir.

On suppose que les vecteurs contrainte pour les directions −→er , −→eθ et −→z valent−→T (M, −→er ) =

−→0

−→T (M, −→eθ ) = σθθ

−→eθ

−→T (M, −→z ) = σzz

−→z

En coupant le réservoir par une section fictive ΣAA perpendiculaire à l’axe (section A-A

de normale −→z ), en isolant la partie Ω1 et en écrivant l’equilibre de Ω1 en résultante, il vient∫∫

ΣAA

σzz−→z − p

∫∫

S1

−→n dS =−→0 .

En projetant suivant la direction −→z , la surface projetée de S1 est un disque de rayon R, son

aire est πR2. La surface de coupe fictive ΣAA est un anneau de rayon moyen R et d’épaisseur

e. Le rayon étant beaucoup plus grand que l’épaisseur, une bonne approximation de son

aire est de remplacer l’anneau par un rectangle de longueur égale au périmètre et de largeur

égale à l’épaisseur du réservoir, soit 2πRe. Finalement, l’équation précédente, projetée sur−→z , devient

2πReσzz − πR2p = 0,

soit la contrainte axiale

σzz =pR

2e.

Cette contrainte ne dépend pas de la forme du fond du réservoir et est nommée l’effet de

fond.

VI.2 Application à un réservoir cylindrique 57

En coupant le réservoir dans le sens de la longueur par une section fictive ΣBB dans le

plan (−→er , −→z ) (section B-B de normale −→eθ ), en isolant la partie 1 et en écrivant l’équilibre de

Ω1 en résultante, il vient∫∫

ΣBB

σθθ−→eθ − p

∫∫

S2

−→n dS =−→0 .

Dans le calcul des aires qui suit, on néglige les aires des fonds sphériques par rapport

aux aires faisant intervenir la longueur du réservoir. Cela revient à isoler un tronçon du

réservoir autour du point M situé loin des fonds. En projetant suivant la direction −→eθ , la

surface projetée de S1 est un rectangle de longueur b et de largeur 2R, son aire est 2LR. La

surface de coupe fictive ΣBB est composée de 2 rectangles de longueurs b et de largeurs e,

son aire est 2Le. Finalement, l’équation précédente, projetée sur −→eθ devient

2Leσθθ − 2LRp = 0,

soit la contrainte circonférentielle

σθθ =pR

e.

La contrainte circonférentielle est deux fois plus importante que la contrainte axiale, c’est

elle qui dimensionne le réservoir. Les formules précédentes donne une bonne approximation

de l’état de contrainte d’un réservoir mince loin des fonds si l’épaisseur est petite devant les

dimensions du réservoir, soit à peu prés e < R40

et R < 3L.

A

BB

B-B

M

A-A

−→z

−→z

−→er

−→er

e

L

−→eθA

R

−→eθ

ΣBB

ΣAA

S1

S2

Figure VI.2 – Réservoir mince cylindrique en pression interne.

VII — Initiation au calcul éléments finis

VII.1 Étude de l’élément de barre

VII.1.1 Équilibre de l’élément barre

On désigne par barre une poutre travaillant seulement en traction-compression. Typique-

ment, les treillis de poutres sont souvent approximés dans un premier temps comme un

ensemble de barres rotulées entre elles (Fig. VII.1). Les 2 extrémités sont les nœuds de

l’élément.

Un élément de barre et représenté par un segment de droite reliant les deux extrémités

de la barre (Fig. VII.2). La barre est caractérisée par sa longueur l, par l’aire de sa section

Figure VII.1 – Exemple de calcul par éléments finis d’un pylône électrique (éléments barres).

60 Initiation au calcul éléments finis

−→x

−→y

1

u1 u2

2Avant déformation :

Aprés déformation :

F1−→x F2

−→x

OΣ

Figure VII.2 – Elément barre à 2 noeuds.

S et par son module d’Young E. Les extrémités sont appelés les nœuds de la barre, ils ont

pour abscisses x1 = 0 et x2 = l.

La barre est en équilibre sous les actions des forces F1−→x et F2

−→x aux nœuds 1 et 2. On

note les déplacements des nœuds 1 et 2 respectivement u1−→x , u2

−→x .

— Le torseur de cohésion en OΣ peut s’écrire de deux façons :

KOΣ

=

ext. → 2

⇒ N = F2

ou

KOΣ

= −

ext. → 1

⇒ N = −F1

On remarque que la barre est bien en équilibre car F1 + F2 = 0.

— La relation entre N , u1 et u2 pour une poutre en traction est

N =ES

lδl ⇒ N =

ES

l(u2 − u1)

— En utilisant les résultats précédents on a alors

F1 = −ES

l(u2 − u1) ⇒ F1 =

ES

l(u1 − u2)

F2 = −ES

l(u2 − u1) ⇒ F2 =

ES

l(−u1 + u2)

— Ces deux dernières relations s’écrivent sous la forme matricielle suivante :[

F1

F2

]

=ES

l

[

1 −1

−1 1

] [

u1

u2

]

La matrice

k =ES

l

[

1 −1

−1 1

]

est appelée la matrice de rigidité de l’élément barre.

VII.1.2 Exemple d’application

On prend une poutre encastrée à gauche (u1 = 0), et on applique un effort F à l’extrémité

droite (F2 = F ). Le système matriciel à résoudre est le suivant :

ES

l

[

1 −1

−1 1

] [

u1

u2

]

=

[

F1

F2

]

VII.2 Étude de deux barres 61

qui devient iciES

l

[

1 −1

−1 1

] [

0

u2

]

=

[

F1

F

]

où les inconnues sont le déplacement de l’extrémité droite u2 et la force de réaction de

l’extrémité gauche F1. Ce système de 2 équations à 2 inconnues donne la solution

u2 =Fl

ES

et

F1 = −F

L’effort normal est déterminé par

N =ES

l(u2 − u1) =

ES

l(

Fl

ES− 0) = F

VII.1.3 Remarques sur la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis est basée sur l’écriture de l’équilibre des éléments. La résolu-

tion d’un problème par éléments finis permet de déterminer les inconnues d’efforts de liaisons

(résolution du problème de statique) et les inconnues de déplacements et d’efforts normaux

(résolution du problème de r.d.m.) ; que le problème soit isostatique ou hyperstatique.

VII.2 Étude de deux barres

VII.2.1 Assemblage des matrices de rigidité élémentaires

On suppose deux barres de longueurs, de modules d’Young et de sections différentes collées

bout à bout et soumises à de la traction (Fig. VII.3). Les barres sont numérotées I et II,

elles sont reliées à trois nœuds 1, 2 et 3. Ces trois nœuds subissent les forces extérieures

F1−→x , F2

−→x et F3−→x . L’équilibre global s’écrit

F1 + F2 + F3 = 0.

A l’équilibre, l’ensemble des deux barres s’est déformé, les nœuds 1, 2 et 3 se sont déplacés

respectivement de u1−→x , u2

−→x et u3−→x (u1 < u2 < u3 si les deux barres sont en traction).

Les équilibres des nœuds s’écrivent :

— équilibre du nœud 1 (méthode des nœuds)

F1 + N1 = 0 ⇒ −N1 = F1

— équilibre du nœud 2

F2 − N1 + N2 = 0 ⇒ N1 − N2 = F2

— équilibre du nœud 3

F3 − N2 = 0 ⇒ N2 = F3

Pour chaque élément, on peut relier l’effort normal à l’allongement de la barre :


1 2 3I II

F1−→x N1

−→x1

I

N2−→x2

−N1−→x

−N1−→x

F2−→x

u1−→x u2

−→x u3−→x

état déformé

N1−→x

II−N2−→x N2

−→x

F3−→x−N2

−→x 3

E2, S2E1, S1

Figure VII.3 – Deux barres en traction.

— élément I :

N1 =E1S1

L1(u2 − u1)

— élément II :

N2 =E2S2

L2(u3 − u2)

En remplaçant dans les expressions des équilibres des nœuds, on a les trois équations

suivantes :

−E1S1

L1(u2 − u1) = F1

E1S1

L1(u2 − u1) − E2S2

L2(u3 − u2) = F2

E2S2

L2(u3 − u2) = F3

En notant k1 = E1S1/L1 et k2 = E2S2/L2, on a alors le système matriciel suivant :

k1 −k1 0

−k1 k2 + k1 −k2

0 −k2 k2

︸︷︷︸

K

u1

u2

u3

︸︷︷︸

U

=

F1

F2

F3

︸︷︷︸

F

Cette opération est l’opération d’assemblage des matrices de rigidité élémentaires, la matrice

K est appelée matrice de rigidité de la structure, le vecteur U est le vecteur des inconnues

VII.3 Élément barre pour le calcul des treillis 63

de déplacements et le vecteur F est le vecteur des forces extérieures :

KU = F

VII.2.2 Mise en œuvre pratique

La première étape consiste à écrire les deux matrices de rigidité des deux éléments

k1 =

u1 u2[ ]

k1 −k1 u1

−k1 k1 u2

et k2 =

u2 u3[ ]

k2 −k2 u2

−k2 k2 u3

en repérant les lignes et les colonnes de chaque matrice par les inconnues de déplacements

associées. On range ensuite dans la matrice de rigidité K de la structure chaque terme des

deux matrices à la ligne et la colonne correspondante :

K =

u1 u2 u3

k1 −k1 0 u1

−k1 k1 + k2 −k2 u2

0 −k2 k2 u3

Le système à résoudre est alors KU = F .

La deuxième étape consiste à faire le bilan des déplacements et des forces connus et

inconnus. En prenant un encastrement à l’extrémité gauche et en appliquant une force F à

l’extrémité droite, on a :

U =

u1

u2

u3

= 0, connu

inconnu

inconnu

F =

u1

u2

u3

inconnu, réaction à l’encastrement

= 0, connu

= F, connu

Si le déplacement est connu en un nœud alors la force est inconnue, si la force est connue

alors le déplacement est inconnu.

La troisième étape est la résolution du système d’équations complet afin de déterminer

toutes les inconnues

k1 −k1 0

−k1 k2 + k1 −k2

0 −k2 k2

0

u2

u3

=

F1

0

F

Une fois toutes les inconnues trouvées, on peut calculer les efforts normaux dans chaque

barre :

N1 =E1S1

l1(u2 − u1

︸︷︷︸

=0

)

et

N2 =E2S2

l2(u3 − u2).


u1

Y

u1

X

u2

X

θ

1

u2

Y −→x

−→X

−→Y

2

Figure VII.4 – Élément barre dans une base globale.

VII.3 Élément barre pour le calcul des treillisLes barres composant un treillis sont positionnées arbitrairement dans l’espace et font des

angles différents avec le repère global de la structure (−→X,

−→Y ) (Fig. VII.4).

On note θ l’angle entre l’axe−→X du repère global et l’axe −→x du repère local à la barre.

Le vecteur déplacement d’un point de la barre s’écrit dans le repère local

−→u = u−→x .

Il s’écrit dans le repère global−→u = uX−→

X + uY −→Y .

En projetant les deux équations précédentes sur −→x il vient

u = uX cos θ + uY sin θ.

En notant uX1 et uY

1 les déplacements suivant−→X et

−→Y du nœud 1 de la barre dans le repère

global, et en appliquant la formule précédente au nœud 1, on a

u1 = uX1 cos θ + uY

1 sin θ.

En utilisant les mêmes notations pour le nœud 2, on a

u2 = uX2 cos θ + uY

2 sin θ.

Ceci peut s’écrire sous la forme matricielle suivante

[

u1

u2

]

=

[

cos θ sin θ 0 0

0 0 cos θ sin θ

]

︸︷︷︸

=T

uX1

uY1

uX2

uY2

︸︷︷︸

=U

soit

u = TU

où U est le vecteur des inconnus de déplacements aux nœuds de l’élément dans le repère

global et T est la matrice de transformation passant du repère global au repère local.

VII.4 Élément de poutre pour le calcul des portiques 65

Il est possible d’écrire les mêmes relations pour les forces extérieures agissant aux nœuds

de l’élément :

−→F 1 = F1

−→x = F X1

−→X + F Y

1

−→Y et

−→F 2 = F2

−→x = F X2

−→X + F Y

2

−→Y

donc

F X1 = F1

−→x · −→X = F1 cos θ et F Y

1 = F1−→x · −→

Y = F1 sin θ

de même,

F X2 = F2 cos θ et F Y

2 = F2 sin θ

ce qui s’écrit sous forme matricielle

F X1

F Y1

F X2

F Y2

=

cos θ 0

sin θ 0

0 cos θ

0 sin θ

︸︷︷︸

=TT

[

F1

F2

]

La matrice qui apparaît pour les forces est la transposée de celle présente dans les relations

des déplacements. Finalement, l’équilibre de la barre écrit en fonction des déplacements et

des forces dans le repère local à la barre[

F1

F2

]

=ES

l

[

1 −1

−1 1

] [

u1

u2

]

devient en fonction des déplacements et des forces dans le repère global

F X1

F Y1

F X2

F Y2

=

cos θ 0

sin θ 0

0 cos θ

0 sin θ

ES

l

[

1 −1

−1 1

] [

cos θ sin θ 0 0

0 0 cos θ sin θ

]

uX1

uY1

uX2

uY2

Tous calculs faits, l’équilibre de la barre en deux dimensions s’écrit

ES

l

cos2 θ cos θ sin θ − cos2 θ − cos θ sin θ

cos θ sin θ sin2 θ − cos θ sin θ − sin2 θ

− cos2 θ − cos θ sin θ cos2 θ cos θ sin θ

− cos θ sin θ − sin2 θ cos θ sin θ sin2 θ

︸︷︷︸

=kg

uX1

uY1

uX2

uY2

=

F X1

F Y1

F X2

F Y2

où la matrice kg est la matrice de rigidité de l’élément barre en deux dimensions.

L’effort normal est déterminé par

N =ES

l(u2 − u1) =

ES

l

(

(uX2 − uX

1 ) cos θ + (uY2 − uY

1 ) sin θ)

VII.4 Élément de poutre pour le calcul des portiquesUn portique est constitué d’un ensemble de poutre assemblées entre elles par des liaisons

encastrements (Fig. VII.5).


I

II

III

IVV

Figure VII.5 – Exemple de portique discrétisé par des éléments poutres

−→y

−→x

0 l

θ(x)

w(x)

θ2

θ1w2w1

x

Figure VII.6 – Elément de poutre en flexion

Soit un élément de poutre de longueur l, de section S, de module d’Young E et de

moment d’inertie de section I (Fig. VII.6). Les deux extrémités de la poutre sont les nœuds

1 et 2 d’abscisses respectives 0 et l.

On utilise les notations suivantes :

— w(x) : déplacement suivant −→y de la section d’abscisse x,

— θ(x) : rotation de la section d’abscisse x,

— w1 : déplacement suivant −→y de la section au nœud 1,

— w2 : déplacement suivant −→y de la section au nœud 2,

— θ1 : rotation de la section au nœud 1,

— θ2 : rotation de la section au nœud 2,

— F1 : force extérieure suivant −→y au nœud 1,

— F2 : force extérieure suivant −→y au nœud 2,

— M1 : moment extérieur suivant −→z au nœud 1,

— M2 : moment extérieur suivant −→z au nœud 2.

En suivant la même démarche que pour l’élément barre, on peut montrer que l’équilibre

d’un élément s’écrit

2EI

l3

6 3l −6 3l

3l 2l2 −3l l2

−6 −3l 6 −3l

3l l2 −3l 2l2

︸︷︷︸

k

w1

θ1

w2

θ2

︸︷︷︸

u

=

F1

M1

F2

M2

︸︷︷︸

F

VIII — Moyens expérimentaux

VIII.1 Jauges de déformation

VIII.1.1 Principe

Le principe utilisé par les jauges de déformation est que la résistance électrique de certains

fils varie lorsqu’ils sont étirés (fig. VIII.1). La jauge est collée à la surface de la pièce, la

déformation de la pièce est alors reliée directement à la variation de résistance électrique de

la jauge.

La résistance électrique R d’une jauge est reliée à la résistivité du métal composant la

jauge ρ, à la longueur du fil L et à la section du fil S par :

R = ρL

S.

Des variations ∆ρ, ∆L et ∆S des trois caractéristiques de la jauge provoquent une variation

∆R de la résistance. Cette variation ∆R se calcule par

∆R =∂R

∂ρ∆ρ +

∂R

∂L∆L +

∂R

∂S∆S

Après calcul des dérivées et division par R, on trouve

∆R

R=

∆ρ

ρ+

∆L

L− ∆S

S

En supposant que la section du fil est un carré de coté h, un allongement relatif du fil de∆LL

provoque une déformation transversale de −ν ∆hh

où ν est le coefficient de Poisson du

matériau de la jauge. La section du fil S vaut S = h2. La variation ∆h de la largeur du fil

et la variation de section ∆S sont reliées par

∆S =∂S

∂h∆h = 2h∆h

68 Moyens expérimentaux

allongement du fil

avant déformation

aprés déformation ∆L

Figure VIII.1 – Jauge de déformation.

V

Ra

Rb

Rc

RdS

i1

i1i2

i2

Va

Vd

Vc

Vb

i

i

Figure VIII.2 – Pont de Wheatstone.

soit aussi∆S

S= 2

∆h

hEn remplaçant par la relation avec ∆L, on trouve

∆S

S= −2ν

∆L

L

Finalement, en négligeant la variation de résistivité du matériau qui est très petite en

pratique, on a∆R

R=

∆L

L(1 + 2ν)

On note k = 1 + 2ν le facteur de jauge. Ce facteur est donné par le fabricant de la jauge, il

est de l’ordre de 0, 5 à 3. On a alors

∆R

R= k

∆L

L= kǫ

où ǫ est l’allongement unitaire dans la direction de la jauge.

VIII.1.2 Pont de Wheatstone

Les variations de résistance électrique des jauges sont très petites, pour les mesurer, on

utilise un montage en pont de Wheatstone. Le pont de Wheatstone est un montage de

quatre résistances pour lequel on impose la tension d’entrée V et on mesure la tension de

sortie S (Fig. VIII.2) :

Va = Rai1 ; Vb = Rbi2 ; Vc = Rci2 ; Vd = Rdi1 ; V = Reqi

VIII.1 Jauges de déformation 69

avec1

Req

=1

Ra + Rd

+1

Rb + Rc

.

i = i1 + i2

S = Va − Vb

S = Vc − Vd

⇔

VReq

= i1 + i2 (1)

S = Rai1 − Rbi2 (2)

S = Rci2 − Rdi1 (3)

(1) ⇔ i1 =V

Req

− i2

En remplaçant dans (2) :

S = Ra

( V

Req

− i2

)

− Rbi2 =Ra

Req

V − (Ra + Rb)i2

⇒ i2 =( Ra

Req

V − S) 1

Ra + Rb

En remplaçant dans (3) :

S =Rc

Ra + Rb

( Ra

Req

V − S)

− Rd

V

Req

+Rd

Ra + Rb

( Ra

Req

V − S)

S(

1 +Rc

Ra + Rb

+Rd

Ra + Rb

)

=V

Req

( RaRc

Ra + Rb

− Rd +RaRd

Ra + Rb

)

SRa + Rb + Rc + Rd

Ra + Rb

= VRa + Rb + Rc + Rd

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

(RaRc + RaRd − RaRd − RbRd

Ra + Rb

)

Finalement

S = VRaRc − RbRd

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

Le pont est dit équilibré si S = 0, c’est à dire si RaRc = RbRd ou encore si

Ra

Rd

=Rb

Rc

.

On suppose le pont équilibré et on cherche quelle est la variation de tension de sortie

∆S quand les résistances varient respectivement de ∆Ra, ∆Rb, ∆Rc et ∆Rd. On sait que

au premier ordre on a

∆S =∂S

∂Ra

∆Ra +∂S

∂Rb

∆Rb +∂S

∂Rc

∆Rc +∂S

∂Rd

∆Rd.

Le calcul des dérivés donne

∂S

∂Rd

= V( −Rb

(Ra + Rd)(Rb + Rc)+ (RaRc − RbRd)

−Rb − Rc

(Ra + Rd)2(Rb + Rc)2

)

mais comme le pont est équilibré, on a RaRc − RbRd = 0 ce qui donne

∂S

∂Rd

= V( −Rb

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

)

.

De même∂S

∂Ra

= V( Rc

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

)

,


réglage du facteur de jauge

équilibrage du pont

Figure VIII.3 – Boîtier contenant le montage en pont de Wheatstone.

∂S

∂Rb

= V( −Rd

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

)

,

∂S

∂Rc

= V( Ra

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

)

.

Finalement

∆S =V

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

(

− Rb∆Rd + Rc∆Ra − Rd∆Rb + Ra∆Rc

)

.

Pour simplifier les calculs dans la suite, on prend les mêmes résistances nominales pour

les quatre résistances :

R = Ra = Rb = Rc = Rd.

Ceci se justifie car les jauges branchées sur le pont de Wheatstone sont généralement les

mêmes. La valeur de ∆S se simplifie

∆S =V

4

(

− ∆Rd

R+

∆Ra

R− ∆Rb

R+

∆Rc

R

)

.

En remarquant que

∆Ra

R= kǫa ;

∆Rb

R= kǫb ;

∆Rc

R= kǫc ;

∆Rd

R= kǫd ;

où k est le facteur de jauge, il vient

∆S =V

4k

(

− ǫd + ǫa − ǫb + ǫc

)

,

ou encore4∆S

kV= ǫa − ǫb + ǫc − ǫd.

VIII.1.3 Utilisation du boîtier

Le boîtier utilisé permet de faire le montage du pont de Wheatstone et d’afficher sur l’écran

la grandeur caractéristique de la variation de tension (Fig. VIII.3). Dans le cas où moins

de 4 jauges sont utilisées, il est possible de les remplacer par des résistances présentes dans

le boîtier et ayant des valeurs de résistance nominales équivalentes aux jauges branchées.


a

cd

b

Figure VIII.4 – Exemple de montage en pont complet : essai de traction.

Après branchement des jauges, il faut indiquer le facteur de jauge k et équilibrer le pont.

Le boîtier impose une tension V de 2 Volts.

La mesure affiche sur l’écran la valeur A

A =4∆S

kV.106

soit aussi

A = (ǫa − ǫb + ǫc − ǫd).106 .

Le facteur d’affiche 106 est due au fait que les déformations sont souvent comprises entre

10−6 et 10−3.

VIII.1.4 Différents montages

Exemple d’un pont complet

Les 4 jauges sont actives. En équipant judicieusement une éprouvette de traction de 4 jauges

montées en pont complet (Fig. VIII.4), on peut corriger les effets suivants :

— dilatation due à la température,

— flexion parasite.

On note ǫt la déformation due à la traction, ǫf la déformation due à la flexion sur la face

supérieure et −ǫf sur la face inférieure, enfin ǫd est la déformation due à la dilatation.

La disposition des jauges est la suivante :

— a : face supérieure, direction de traction → ǫa = ǫt + ǫf + ǫd

— b : face supérieure, direction transversale → ǫb = −νǫt + ǫd

— c : face inférieure, direction de traction → ǫc = ǫt − ǫf + ǫd

— d : face inférieure, direction transversale → ǫd = −νǫt + ǫd

l’affichage indique alors

A =4∆S

kV.106 = ǫa − ǫb + ǫc − ǫd = 2(1 + ν)ǫt

si k est le facteur de jauge. Si l’on souhaite que l’affichage donne ǫt, il suffit de multiplier k

par k′ de façon à avoir :

A =4∆S

kk′V.106 =

2(1 + ν)k′

ǫt = ǫt

c’est à dire k′ = 2(1 + ν). Le réglage du facteur de jauge sur le boîtier est alors 2k(1 + ν).


b

a

Figure VIII.5 – Exemple de montage en demi-pont : essai de flexion.

Exemple d’un demi-pont

Seulement 2 jauges sont actives. En équipant judicieusement une éprouvette de flexion de

2 jauges montées en demi-pont (fig. VIII.5), on peut corriger les effets suivants :

— dilatation due à la température,

— traction parasite.

On note ǫt la déformation due à la traction, ǫf la déformation due à la flexion sur la face

supérieure et −ǫf sur la face inférieure, enfin ǫd est la déformation due à la dilatation.

La disposition des jauges est la suivante :

— a : face supérieure, direction axiale → ǫa = ǫt + ǫf + ǫd

— b : face inférieure, direction axiale → ǫb = ǫt − ǫf + ǫd

l’affichage indique alors

A =4∆S

kV.106 = ǫa − ǫb = 2ǫf

si k est le facteur de jauge. Si l’on souhaite que l’affichage donne ǫf , il suffit de multiplier k

par k′ de façon à avoir :

A =4∆S

kk′V.106 =

2k′

ǫf = ǫf

c’est à dire k′ = 2. Le réglage du facteur de jauge sur le boîtier est alors 2k.

Quart de pont

Une seule jauge est active. Les 3 autres résistance doivent avoir les mêmes valeurs nominales

de résistance que la jauge. Si seule la jauge a est active, l’affichage indique

A =4∆S

kV.106 = ǫa.106

L’affichage donne directement l’allongement unitaire de la jauge a en µm/m si k est le facteur

de jauge. L’utilisation d’une seule jauge ne permet pas de corriger les effets parasites comme

l’influence des variations de température.

VIII.1.5 Capteurs à jauges

En vue de mesurer des grandeurs physiques (forces, accélérations, pressions ...), il est possible

de les faire agir sur un corps d’épreuve dont les déformations sont proportionnelles à la

grandeur mesurée. La figure VIII.6 montre un capteur de force utilisé dans une balance de

cuisine.


Figure VIII.6 – Capteur de force d’une balance de cuisine.

ǫ0 = ǫx

ǫ45 −→x

−→y

3 jauges à 0o, 45o et 90o

45o90o

0o

ǫ90 = ǫy

Figure VIII.7 – Rosette de 3 jauges à 45o.

Ce type de capteur est précis, fidèle et permet une certaine souplesse d’emploi. On

trouve ces capteurs dans des applications comme la pesée, la mesure de pression, la mesure

de force, la mesure de couple. Les domaines d’applications sont vastes : automobile, médical,

instruments de mesures...

Suivant les applications, les montages en quart de pont, demi-pont ou pont complet

peuvent être utilisés.

VIII.1.6 Exploitation d’une rosette de 3 jauges à 45o

Une rosette à 45o est constituée de 3 jauges collées en un même point et mesurant les

allongements unitaires dans 3 directions distinctes à 45o l’une de l’autre (Fig. VIII.7).

On place le repère (−→x , −→y ) de telle manière à aligner −→x et −→y avec les jauges perpendi-

culaires. On note ǫ0, ǫ45 et ǫ90 les allongements unitaires mesurés par les 3 jauges. Donc on

a les relations suivantes :

ǫ0 = ǫx

ǫ90 = ǫy

ainsi que

ǫ45 = λ(α = 45o)

ǫ45 =ǫx − ǫy

2cos (2 × 45o) + ǫxy sin (2 × 45o) +

ǫx + ǫy

2

ǫ45 = ǫxy +ǫx + ǫy

2On peut finalement en déduire les déformations au point de mesure dans la base (−→x , −→y ) en

fonction des allongements mesurés :

ǫx = ǫ0


Figure VIII.8 – Dispositif de photoélasticité, étude des isochromatiques d’un crochet soumis àde la traction.

ǫy = ǫ90

ǫxy = ǫ45 − ǫ0 + ǫ90

2

On peut ensuite en déduire l’opérateur des contraintes au point de mesure.

VIII.2 Photoélasticité

VIII.2.1 Principes

La photoélasticité permet d’étudier les contraintes dans des pièces planes en polymère trans-

parent par un système optique (Fig. VIII.8).

Définition électromagnétique de la lumière

Les phénomènes lumineux peuvent, selon la théorie électromagnétique, être considérés comme

liés à la propagation simultanée d’un champ électrique E et d’un champ magnétique H,

constamment perpendiculaires entre eux ainsi qu’à la direction de propagation, et dont les

valeurs sont des fonctions sinusoïdales du temps.

Lumière polarisée

Un filtre polarisant possède la propriété de ne laisser passer qu’une composante du champ

parallèle à une direction fixe dite axe de polarisation. Deux filtres polarisants successifs à

axes parallèles laissent passer la lumière ; s’ils ont croisés, c’est à dire à axes perpendiculaires,

ils ne laissent pas passer la lumière, le faisceau polarisé par le premier ayant une composante

nulle suivant l’axe du second (Fig. VIII.9).

VIII.2 Photoélasticité 75

polariseur 1 polariseur 2

lumière

polarisée

direction−→d 1

extinction

Sortie :

car−→d 1⊥−→

d 2−→d 1

−→d 2

lumière quelconque

polariseur 1 polariseur 2

lumière

polarisée

direction−→d 1

lumière polarisée

Sortie :

car−→d 1 ‖ −→

d 2−→d 1

−→d 2

lumière quelconque

Figure VIII.9 – Filtres polarisants.

Biréfringence accidentelle

Une lumière plane se présentant suivant une direction de polarisation quelconque par rapport

aux axes d’un corps biréfringent se décompose en deux composantes parallèles−→b 1 et

−→b 2 à

ces axes (Fig. VIII.10), chacune d’entre elles se comportant comme une onde plane autonome

progressant à une vitesse propre à sa direction.

La plupart des corps transparents isotropes deviennent biréfringents lorsqu’ils sont sou-

mis à des contraintes ; cette biréfringence accidentelle est telle que les axes de biréfringence

coïncident avec les directions principales des contraintes.

En plaçant le milieu biréfringent entre deux polariseurs croisés (Fig. VIII.10), on observe

alors une extinction de lumière lorsque les axes de biréfringence sont parallèles aux axes des

polariseurs : ce sont les isoclines.

De plus, chaque onde se propageant dans le milieu biréfringent suivant chacune des

directions de biréfringence−→b 1 et

−→b 2 se propage avec une vitesse différente (Fig. VIII.11).

L’onde suivant−→b 1 se propage à la vitesse c1 et celle suivant

−→b 2 se propage à la vitesse c2.

Les longueurs d’onde λ1 et λ2 des deux ondes sont différentes dans le milieu biréfringent,

mais sont identiques dans l’air après la traversée du milieu. Ce retard induit une extinction

de la lumière telle que (loi de Maxwell) :

σ1 − σ2 = Nλ

ce

où σ1 et σ2 sont les contraintes principales, N est l’ordre de frange, λ est la longueur d’onde,

c est la vitesse de la lumière et e est l’épaisseur du milieu biréfringent.

Le lieu des points où la lumière est éteinte due au retard sont les isochromatiques. L’ordre


lumière quelconque

polariseur 1 milieu biréfringent

−→d 1

−→b 2

polariseur 2

−→d 2

Sortie :extinction

lumière quelconque

polariseur 1 milieu biréfringent

−→d 1

−→b 1

−→b 2

polariseur 2

−→d 2

Sortie :lumière polarisée

−→b 1

−→b 1 est

direction principale

β −→z

−→y −→x

Figure VIII.10 – Phénomène de biréfringence accidentelle.

effet de la traversée de la lame dans la direction−→b 1

lumière dans le vide

effet de la traversée de la lame dans la direction−→b 2

retard

Milieubiréfringent

Figure VIII.11 – Différence de phase entre les deux ondes qui sortent du milieu biréfringent.


de frange N est la composante de la lumière éteinte en lumière blanche. Il y a extinction

totale en lumière monochromatique. L’observation des couleurs permet de déterminer N .

Ordre N couleur visible

1 passage rouge-bleu

2 passage rouge-vert

n passage rouge-vert

Dans la pratique, l’effet des isoclines perturbe l’observation des isochromatiques. On

ajoute alors dans le montage deux lames quart-d’onde pour faire disparaître les isoclines

(l’explication du fonctionnement des lames quart-d’onde n’est pas donnée ici).

VIII.2.2 Mise en équation

En sortie du polariseur 1 le vecteur lumineux est parallèle à−→d 1 = −→x :

−→L = a −→x sin

2π

T

(

t − z

c

)

.

Le vecteur −→x se décompose suivant−→b1 et

−→b2 comme :

−→x = cos β−→b1 − sin β

−→b2 .

Donc le vecteur lumière se présentant à l’entrée du milieu biréfringent vaut :

−→L = a cos β

−→b1 sin

2π

T

(

t − z

c

)

− a sin β−→b2 sin

2π

T

(

t − z

c

)

.

Pendant la traversée du milieu biréfringent d’épaisseur e, la lumière se propage à la vitesse

c1 suivant−→b1 et c2 suivant

−→b2 . Les temps de traversée suivant chaque direction valent :

t1 =e

c1et t2 =

e

c2.

Le retard par rapport au temps qu’aurait mis chaque onde pour traverser le milieu est :

δ1 = c(t1 − tvide) = c( e

c1− e

c

)

= e( c

c1− 1

)

et

δ2 = c(t2 − tvide) = e( c

c2− 1

)

.

On appelle n1 et n2 les indices du milieu biréfringent tels que :

n1 =c

c1et n2 =

c

c2.

Les retards δ1 et δ2 deviennent alors :

δ1 = e (n1 − 1) et δ2 = e (n2 − 1).

A la sortie du milieu biréfringent, le vecteur lumière a pour expression :

−→L = a cos β

−→b1 sin

2π

T

(

t − z

c− δ1

c

)


2π

T

(

t − z

c− δ2

c

)

,

soit :

−→L = a cos β

−→b1 sin

2π

T

(

t − z + (n1 − 1)ec

)


2π

T

(

t − z + (n2 − 1)ec

)

.


En effectuant le changement de variable :

z′ = z + (n1 − 1)e

on peut écrire :

z + (n2 − 1)e = z + (n1 − 1)e + (n2 − 1)e − (n1 − 1)e = z′ + (n2 − n1)e = z′ − δ

avec δ = e(n1 − n2) qui est le retard entre les deux composantes du vecteur lumière à

la sortie du milieu biréfringent. En remplaçant dans l’expression du vecteur lumière, son

expression devient :

−→L = a cos β

−→b1 sin

2π

T

(

t − z′

c

)


2π

T

(

t − z′ − δ

c

)

L’analyseur (ou polariseur 2) a pour direction de polarisation −→y . Le vecteur lumière à la

sortie de l’analyseur vaut :

−→L = a cos β sin β −→y sin

2π

T

(

t − z′

c

)

− a sin β cos β −→y sin2π

T

(

t − z′ − δ

c

)

car−→b1 .−→y = sin β et

−→b2 .−→y = cos β

En simplifiant, on a :

−→L = a cos β sin β

[

sin2π

T

(

t − z′

c

)

− sin2π

T

(

t − z′ − δ

c

)]−→y

avec :

sin p − sin q = 2 cosp + q

2sin

p − q

2on a :

−→L = −a sin 2β cos

2π

T

(

t − z′

c+

δ

2c

)

sin2π

T

( δ

2c

)−→y

L’amplitude de sortie du vecteur lumière vaut :

A = a sin 2β sinπ δ

T c

En introduisant la longueur d’onde λ = c T , on a :

A = a sin 2β sinπδ

λ

Cette amplitude vaut zéro dans deux cas différents :

sin 2β = 0 ou sinπδ

λ= 0.

Le premier cas sin 2β = 0 correspond aux isoclines, en effet ceci est équivalent à β = 0

ou β = π2 .

Le deuxième cas correspond aux isochromatiques :

sinπδ

λ= 0 ⇔ πδ

λ= Nπ ⇔ δ = λN


or la loi de Maxwell étant :

n1 − n2 = c(σ1 − σ2)

et δ = (n1 − n2)e, on a :

σ1 − σ2 =λ N

c eDans le cas d’une lumière monochromatique, on observe une extinction de lumière (bande

noire). Dans le cas d’une lumière blanche, seule la radiation correspondante à

c e (σ1 − σ2)λ

= N

est éteinte.

VIII.2.3 Réseaux de courbes caractéristiques

Isoclines

Lieu des points du plan ou les contraintes principales ont une direction constante, chaque

isocline est accompagnée d’une cote donnant cette orientation.

Exemple d’application :

Sur l’isocline dessinée pour l’angle 30o, les directions principales des contraintes pour

tous les points de cette isocline sont 30o et 30 + 90 = 120o.

Isochromatiques

Lieu des points du plan pour lesquels la différence des contraintes principales est constante,

proportionnelle à N : σ1 − σ2 = kN .

Exemple d’application :

On étudie une pièce rectangulaire trouée en son milieu, sur laquelle on applique un effort

de traction (fig. VIII.12). On peut considérer que loin du trou, l’état de contrainte est celui

d’une pièce en traction. Cela entraîne que σ2 = 0 et donc par conséquent σ1 = kN . Si de

plus, on place le premier passage rouge-bleu (N = 1) dans cette partie de la pièce, alors

σ1 = k, ou encore k = σ∞ où σ∞ est la contrainte de traction appliquée loin du trou.

Le long du trou, au point A, les directions principales des contraintes sont −→x et −→y . La

contrainte principale σyy est nulle car aucun effort extérieur n’est appliqué en ce point. On

a donc en ce point :

σxx = kN = Nσ∞

En connaissant le numéro de l’isochromatique passant par ce point, on connaît N , et par

conséquent la valeur de σxx. Si le point A est situé entre les isochromatiques 4 et 5, on en

déduit que

4σ∞ < σxx < 5σ∞

ou encore

4 <σxx

σ∞< 5.

Le coefficient de concentration de contraintes à cause de la présence du trou est compris

entre 4 et 5.


σ∞

−→y

−→x

loin du trou, la pièce est en état de traction

Isochromatique N=1

A

Figure VIII.12 – Plaque trouée en "traction".

Isostatiques

Les isostatiques sont les courbes donnant en chaque point du plan, par leur tangente et leur

normale en ce point, la direction des contraintes principales. Ce réseau peut se construire gra-

phiquement à partir du réseau des isoclines. La méthodologie est la suivante (Fig. VIII.13) :

— fixer le tracé des isoclines sous une feuille de papier calque,

— tracer le contour de la pièce étudiée,

— placer une feuille de papier avec un quadrillage sous l’ensemble précédent,

— orienter le quadrillage pour qu’il soit parallèle à la direction 0o (tous les points de

l’isocline 0o ont donc pour directions principales les axes du quadrillage),

— tracer le long de l’isocline 0o des petites croix parallèles et perpendiculaires au qua-

drillage (par exemple avec un intervalle de 1 cm entre deux croix),

— orienter le quadrillage pour qu’il soit parallèle à la direction 15o,

— tracer le long de l’isocline 15o des petites croix parallèles et perpendiculaires au qua-

drillage,

— recommencer ces opérations pour les directions 30o, 45o, 60o et 75o,

— enlever le tracé des isoclines de façon à avoir seulement les croix et le contour de la

pièce,

— placer une nouvelle feuille de papier calque sur les croix pour pouvoir effacer les iso-

statiques sans effacer les croix,

— tracer les isostatiques en suivant les trois règles :

— les isostatiques sont tangentes aux croix,

— les isostatiques sont parallèles et perpendiculaires entre elles,

— le bord de la pièce est une isostatique,

— garder seulement le tracé des isostatiques et vérifier que les trois règles sont respectées.


isoclines

croix

tracé des isostatiques

isostatiques

Figure VIII.13 – Étapes de construction des isostatiques.

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