Suport curs 9fr.doc

7/25/2019 Suport curs 9fr.doc

1/17

MULTIMEA NUMERELOR REALE

1) Teorema fundamental a algebrei

CRQZN

2) Partea ntreaga numrului x este cel mai mare numr ntreg mai mic dect x.xxx


2/17

( ) bababa += ( ) ( )bababa += ( ) ### ## babbaaba +++=+

( ) ( )## babababa ++=+ ( ) ( )## babababa ++= ( ) bcacabcbacba +++++=++

/) Puteri

aaaan = ... +de n /ri)

10 =a

n

n

aa 1=

n mnm

aa =

yxyx aaa +=

yxyx

aaa ="

( ) yxyx aa = ( ) xxx baba = ( ) xxx baba "" =

1*Mul&imi .i elemente de logi" matemati"a) 4ulimea numerel/r reale

5n acest paragrap6 v/m preenta principalele mulimi de numere pe care le'ai studiat nanii precedeni, indicnd pr/prietile alge(rice, de /rdine i c/resp/nden cu punctele uneidrepte.

2rima mulime de numere cun/scute este mulimea numerel/r naturale, n/tat 7&0,1, , #, 8,n,8}, iar mulimea numerel/r naturale fr er/. 79& 1, , #,8,n, 8}:'a preciat, c nu se p/ate efectua scderea ntre d/u numere naturale /(inndu'se defiecare dat un numr natural. !xemplu 10'1;&'; care nu este numr natural.

, ) 2r/prietile adunrii pe >...2r/pietatea care leag cele d/u /peraii ntre ele se numete " distri(utivitatea nmulirii nrap/rt cu adunareaaB +(c)&aB( aB( +)a, (, c >. +revedei sc/aterea fact/rului c/mun)>eferit/r la relaia de /rdine " Cricare ar fi d/u numere reale ntre ele exist una din relaiile

DEF mai mic DGF mai mare D&F egal. :au DHF mai mic sau egal , DIF mai mare sau egal.


3/17

C un sens i / unitate de msur se numete axJntre munimerea punctel/r de pe ax i mulimea numerel/r reale exist / c/resp/nden

(iuniv/c. Cricrui numr real i c/respunde un punct pe ax i recipr/c. :'au mai intr/dusd/u sim(/luri respectiv DKF i D'KF, care repreint un numr f/arte mare p/itiv iar D'KFrepreint un numr f/arte mare n val/are a(s/lut dar cu semnul minus.

Pro-o!i&ie0 -redi"at0 "uantifi"atori0 o-era&ii logi"e elementere*

7umim alfa(et , / mulime de semne iar enunul este /rice succesiune de semne dintr'un alfa(et.!xemple"

1) 1L&10 ) #I- #) ;;*

10=+ *) x1H# ;) xM&, x,M,, =

:e numete pr/p/iie un enun care ntr'un c/ntext dat este fie adevrat fie fals. 7/tmpr/p/iiile cu litere mici " p, N, r, 8 sau cu litere mici indexate" p1, p, p#, 8.Oal/area de adevr a unei pr/p/iii este pr/prietatea acestuia de a fi adevrat sau fals. :e

n/tea"

O+p)&

falsestepdac

adevdevestepdac

,0

,1

:e numete predicat un enun care c/nine una sau mai mai multe varia(ile, cr/raatri(uindu'le Dval/riF /(inem pr/p/iii adevrate sau false.!xemplex1H# x> p+x)"x1H# p+x,M)" x se divide cu M3uantificat/rul existenial + x)p+x) +citim exista x pentru care are l/c p+x). !x" p+x)

x;&1% x&11 >3uantificat/rul universal + x )p+x) +citim /ricare ar fi x are l/c p+x). !x" p+x) x1G0, x>Cperaii l/gice elementare1. 7egaia 7egaia unei pr/p/iii p este pr/p/iia D n/n pF p care este adevrat cnd peste fals i este fals cnd p este adevratOal/area de adevr.

p p1 0

0 1. 3/nPuncia pr/p/iiil/r 3/nPuncia pr/p/iiil/r p, N este pr/p/iia p N +citim p i N)care este adevrat dac i numai dac p i N sunt adevrate i fals n celelalte cauri.#. isPuncia pr/p/iiil/r isPuncia pr/p/iiil/r p i N este pr/p/iia p N +citim p sau N)care este adevrat dac i numai dac cel puin una este adevrat i fals n ca c/ntrar.*. 5mplicaia pr/p/iiil/r 5mplicaia pr/p/iiil/r p, N n aceast /rdine este pr/p/iia pQN+p implic N sau dac p atunci N) care este fals dac i numai dac p este adevrat i N fals.;. !c6ivalena pr/p/iiil/r. !c6ivalena pr/p/iiil/r p, N este pr/p/iia n/tat pRN +pec6ivalent cu N sau p dac i numai dac N).

!xerciii"


4/17

1. i p+x)" x'H0 , x>. : se determine

val/rile lui x pentru care 1) p1+x) este adevrat , ) p+x) este adevrat #) p1+x) p+x) este adevrat *) p1+x) p+x) este adevrat.

$IRURI

ef* 1" :e numete ir de numere reale/ succesiune de numere reale, realiatdup / anumit regul.

7/taie" +an)" a1, a, a#, . . . , an, . . . S termenii irului ' 1,,# . . . S rang ' +a n) S termengeneral

4/duri de definire a iruril/r

a) e."ri-tiS prin enumerarea termenil/r irului.!x" +an)" , *, -, 1%, #, . . .

() 3u a4utorul termenului general!x" +an)" an&;n, 9Nn

") Prin intermediul unei rela&ii de re"uren&

!x" +an)" 1,

1 11

+== + na

aaan

nn

ef* 2" +an) se numete ir mrginit 9..0 NnMaiaM n > . +dac nu,irul este nemrginit)

ef* ac ( ) 911

11 ,11, Nna

a

a

a

sauaaaa n

n

n

n

nnnn

>


5/17

ef*" +an) & progresie aritmetic 1,1 += + nraa nn . r este raiapr/gresiei aritmetice.

Teorema 1" :irul +an) este pr/gresie aritmeric ,

11 +

= + naa

a nnn .

Teorema 2" Formula termenului generalrnaan )1+1 +=

a1& primul termen n & numrul de termeni ai irului r & raia pr/gresieiTeorema " Suma primilor n termeni ai unei progresii

aritmetice( )

1 naaS nn+

=

a1& primul termen an & ultimul termen al irului n & numrul de termeni ai irului!xerciii" :e d pr/gresia aritmetic +an)nI1. eterminai n fiecare din cauri , elementelecerute"

1) a1 r&. 3alculai a1;i :1;) a1&' a;&. 3alculai r i :1;#) ac a1a&* i a10a#&1 3alculai a1i r

:/luia pentru !x.1) a1;&a1+1;'1)9r :1;&( )

...

1;9#1#=+

PRORE$II EOMETRI3E

ef*" +(n) & progresie geometric ,.. 19 = nqbbiaRq nn Neste raia pr/gresiei ge/metrice.

Teorema 1" :irul +(n) este pr/gresie ge/metric .,11 = + nbbb nnnTeorema 2" Formula termenului general

1

1

= nn qbb .Teorema " Suma primilor n termeni ai unei progresii

aritmetice

=

=1,

1

1

1,

1

1

qdacaq

qb

qdacabn

S nn

!xemple" :e d pr/gresia ge/metric +(n)nI1cu raia Neterminai n fiecare din cauri, elementele cerute1) N&*, n&-, (-&*L1;. 3alculai (1 i :-

) *1

1=b, N&* 3alculai (10

#)

-

#0

1

=b

, N&' 1

, 3alculai (1

*) $L1 #1

,# == bb 3alcula NG0.


6/17

Aest de evaluare"1. : se determine numerele reale n pr/gresie ge/metric a, (, c dac suma l/r este %,

iar numerele a1, (%, c# sunt n pr/gresie aritmetic.

. : se gseasc suma primil/r d/ueci de termeni ai unei pr/gresii aritmetice dac01;1L% =+++ aaaa

#. : se gseasc primul termen a1i raia r a unei pr/gresii aritmetice dac "*$-*% $ aaaiaaa ==+

*. : se re/lve ecuaia ;1#1...x&;--;. ac +(n)nI1 este / pr/gresie ge/metric cu *-0 *1; == bbibb 3alculai (1i

N.

,UN3TII

1) 2t. a defini/ funcie este nev/ie de

lege

codomeniu

domeniu

" ...)+," = xf!f

x&a(scisa M& f+x) & /rd/nata!x" #)+," = xxfRRf #*)+,],0[" += xxfRf

2) Inter.e"&ia "u a5ele

a)( ) )0,+...0)+0 x!xxfyox ===

() ),0+...)+0 yxfyxoy ===

#) Inter.e"&ia grafi"elor" f+x)&g+x)*) 3om-unerea fun"&iilor !f " i Cg " este funcia "

( ))+))++)+," xgfxgfxhC!h == %) ,un"&ii -are .au im-are( iner.a unei fun"&ii

,UN3TIA E RAUL I

1) ef" 0,)+," += abaxxfRRf!x" 1)+," += xxfRRf2) Inter.e"&ia "u a5ele

a)

==+== 0,00)+

a

b!

a

bxbaxxfyox

() ),0+)+0 bbxfyxoy ===

) rafi"ul fun"&iei de gradul I

!ste / drea-t* :e c/nstruiete astfel" se afl intersecia cu axele, se repreint n sistem /rt/g/nal de

axe xCM cele d/u puncte < i T, ap/i se unesc aceste puncte /(inndu'se / dreaptce repreint graficul funciei.


7/17

!x . : se repreinte grafic funcia "f ( ) % = xxf . O/m gsi punctele unde Ufintersectea axele de c//rd/nate.

' 5nt. cu

( )0,##0%1

0

" !xx

y

xx

==

=

5nt. cu ( )%,0%%01

0"

==

= y

xyy

#) Monotonia fun"&iei de gradul I ac a67 atunci f+x)& cresctoare ac a87atunci f+x)& descresctoare ac a97atunci f+x)& constant ( )bxf =)+!x" f+x)&x'# +a& f+x)&cresct/are) f+x)& '*x; +a&'* f+x)&descresct/are) f+x)&L +a&0 f+x)&c/nstant)

;) $emnul fun"&iei de gradul I, 0,)+," += abaxxfRRf , se determin astfel"

:e scrie i se re/lv ecuaia ataat"a

bxbax

==+ 0

:e face ta(elul"

x ab

+f+x) semn c/ntrar lui a 0 semnul lui a

!xemplu" : se afle semnul funciei ( ) ,1-# += xxf atam ecuaia '#x1-&0 i gsim x&%.x ' %

( )xf 0 ' ' '

ac " ( ) ( ) 0"%, > xfx( ) 0"% == xfx

( ) ( ) 0",% e/lvm numrt/rul i numit/rul acestei fracii, ap/i studiem semnul n ta(elul.;x'10&0 x&Sx%&0 x&%

:/luia" ( ) ( ) ,%,xx ' %


8/17

;x'10 ' ' ' 0

'x% 0 ' '

%

10;

+

x

x ' ' ' 0 V ' '

!xerciii"

1) : se re/lve inecuaiile" a) 0#

1

+

x

x () 0

#1+ xxx

) : se repreinte grafic funciile" f"Q

a) ( ) [ ),# == "xxf () ( ) ( ]1,# == "xxf c)( ) [ ]#,11 =+= "xxf

>e/lvarea sistemel/r de tipul "

=+

=+bacpnm

pnymx

cbyax,,,,,,

>epetm met/da reducerii i met/da su(stituiei din gimnaiu.


9/17

a)

+

01

01#

0#

x

x

x

c) ( )

' ecuaia are rdcini reale diferite

aca

bxx

0 1

=== ' ecuaia are rcini reale egale

ac 0


10/17

aca

bxxx

0 ,11

=> , deci avem ta(elul"

x x1 x+

f+x) semnul lui a 0 semn c/ntrar lui a 0 semnul lui a

aca

bxx

0 1

=== , deci avem ta(elul"

x ab

+f+x) semnul lui a 0 semnul lui a

ac0


11/17

aca a&1G0, f are un minim Omin

aa

b

*,

Wmin&'

1

=

a

b

Ymin&'*

$min

*

$

*==

f

a

Za fel pentru a) i c).: se trasee graficul urmt/arel/r funcii"

( ) -)1 += xxxf ( ) **) += xxxf ( ) #)# += xxxf ( ) #)* += xxxfe/lvarea sistemel/r f/rmate dintr'/ ecuaie de gradul 5 i / ecuaie de gradul sau

intersecia dintre / dreapt i / para(/l , de f/rma

=++=+ nmcba

ycbxax

ynmx ,,,,

!xemplu"

0**1;#

;#

1

=++=+

+=

+=xxxxx

xxy

xy # 11 ==== yyxx


12/17

: se re/lve sistemele" 1)

=

=+

1

01

xxy

xy )

++=

=

#

0

xxy

xy #)

( )

=+

=++

L

yxxy

xyyx

Aest de evaluare"1. : se determine funcia ( ) cbxaxxff ++= ," dac punctele e/lvai sistemul simetric" ( ) ( ),%)%,".

-

11

#

10

R

yx

x

y

y

x

=+

=+

%. >epreentai grafic funcia"( ) ++= ";* fxxxf

EOMETRIE


13/17

Teorem:)ectorii u i v sunt coliniari * R a.i. v + u .-unctele %, &, ' sunt coliniare R a.i. ! + !C%& 'D R a.i. ! + !CProdusul scalar a doi vectori .

),c/s+ vuvuvu =

'yixu 11 += , 'yixv += 11 yyxxvu += ,

1

1 yxu +=aca 0, vu ,atunci 0= vuvu

Elemente de geometrie i trigonometrie

Formule trigonometrice.Proprieti.

sin Rxxx =+ ,1c/s

! Rxx ,1sin ! Rxx ,1c/s

sin/x012 xsin)= , Z(Rx , cos/x012= (Rxx ,,c/s) sin/a034+sinacos30sin3cosa cos/a034+cosacos3!sinasin3sin/a!34+sinacos3!sin3cos3 cos/a!34+cosacos30sinasin3sin1x+1sinxcosx, cos1x+cos xx sin

sin xx c/s)+ = cos xx sin)

+ =

t$x+ 0c/s,c/s

sinx

x

x ct$x+ 0sin,

sin

c/sx

x

x

t$/x02 tgx=) ct$/x02 ctgx=)

t$ ctgxx = )+

ct$ tgxx = )+

sina0sin3+1sin

c/s

baba + cosa0cos3+1cos

c/s

baba + sina!sin3+1sin

c/s

baba +

cosa!cos3+ !1sin

sin

baba +


14/17

Valori principale ale unciilor trigonometrice

x 5

%

*

#

#

sinx 5

1

# 5 ! 5

cosx

#

1 5 ! 5

t$x 5#

# # ! 5 ! 5

ct$x ! # #

# 5 ! 5 !

Semnele unciilor trig.sin:0,0,!,! t$.,ct$.:0,!0,!cos:0,!,!,0sin/!x4+ !sinx /impar4 cos/!x4+cosx/par4t$/!x4+ !t$x ct$/!x4+ !ct$x

:emnele funciil/r trig/n/metrice n cadraneXuncia @3adranul

5 55 555 5O

sin ' '

c/s ' ' c/s

sin=tg ' '

sin

c/s=ctg ' '

>educerea la primul cadran

ac

+

#,,,

,0

xxatuncix

,

# x avem"

xt = xt += xt = c/s t ' c/s x ' c/s x c/s xsin t sin x ' sin x ' sin x

!xemple" 1)$sin

$sin

$

%sin

$

%-sin

$

%sin

=

==

+=

)11c/s

11c/s

11

110c/s

11

1c/s

=

+=

+=

#)1#sin

%

11c/s

%

11c/s

%

*1c/s

%

*1100c/s

%

%*1c/s

==

==

+=


15/17

Teorema sinusurilor!C

c

b

!

a

sinsinsin== "16,unde 6 este raza cercului

circumscris triun$(iului.Teorema cosinusului!a !bccb c/s +=#ria unui triung$i!

#hb = #

),sin+ !C!!C! = # ))+)++ cpbpapp = %p+

cba ++

#

1 cccdreptunghi

= #

*

#llechilatera=

&a'a cercului circumscris unui triung$i!6+S

abc

*,unde 7 este aria

triun$(iului

&a'a cercului nscris ntrun triung$i:6+p

S,unde 7 este aria

triun$(iului iar p+

cba ++

Te.te re"a-itulatieAestul 1

a) :e d pr/gresia aritmetic ( ) 1nna de raie r, n care cun/atem #,#1 == ra 3alculai 1010; Siaa .

() :e d pr/gresia ge/metric ( ) 1nnl de raie N, n care cun/atem*

11=l , N&*.

3alculai 1010 Sil .c) : se determine parametrul real m nct ntre rdcinile ecuaiei 0# =+ mxx sexiste relaia" $

1 =xx

d) : se verifice identitatea"( )

tgbtgaba

ba=

+1

c/sc/s

c/s

e) :e d triung6iul


16/17

Aestul #

a) : se re/lve sistemele" a)

++=

=

1

xxy

xy ()

=+

=+

#

11

#

10

yx

x

y

y

x

() >e/lvai inecuaia"1;

1

#

;

#


17/17

Documents

Suport curs 9fr.doc