Sujet + Corrigé

Sujet + CorrigéANNALES MATHÉMATIQUES BAC SPRIMITIVES, INTÉGRALES - 2016

SUJET 2AMÉRIQUE DU NORD

BAC S - 2016

CorreCtion réalisée

Par alain Piller

alainpiller.fr

OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2016

MATHÉMATIQUES

Série S Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de

spécialité

Durée de l’épreuve : 4 heures

Coefficient : 7

Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7.

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.

16 MASCOAN1 Page 1/7

Sujets Bac Maths 2016

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Annales Mathématiques Bac 2016Sujets + Corrigés - Alain Piller

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Maths Amérique du Nord 2016

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EXERCICE 1 (6 points )

(Commun à tous les candidats)

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B.L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est comprisentre 0,9 cm et 1,1 cm.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :

• 96 % de la production journalière est vendable.• La machine A fournit 60 % de la production journalière.• La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98 %.

On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les évènements suivants :A : « la bille a été fabriquée par la machine A » ;B : « la bille a été fabriquée par la machine B » ;V : « la bille est vendable ».

1) Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.

2) Justifier que P (B ∩ V ) = 0, 372 et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendablesachant qu’elle provient de la machine B.

3) Un technicien affirme que 70 % des billes non vendables proviennent de la machine B.A-t-il raison ?

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines Aet B.

1) Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans laproduction de la machine B par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance µ = 1et d’écart-type σ = 0, 055.Vérifier que la probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable est bien celletrouvée dans la partie A, au centième près.

2) De la même façon, le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machineA est modélisé à l’aide d’une variable aléatoire Y qui suit une loi normale d’espérance µ = 1 etd’écart-type σ′, σ′ étant un réel strictement positif.Sachant que P (0, 9 � Y � 1, 1) = 0, 98, déterminer une valeur approchée au millième de σ′.

Partie C

Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équipro-bable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Apès avoir été mélangées, les billes sont conditionnées ensachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet puisseêtre assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière.Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes decouleur noire.

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1) Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.

a) On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienneexactement10 billes noires. On arrondira le résultat à10−3.

b) Dans un sachet de40 billes, on a compté12 billes noires. Ce constat permet-t-il de remettreen cause le réglage de la machine qui teinte les billes ?

2) Si l’entreprise souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soitsupérieure ou égale à 99 %, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pouratteindre cet objectif ?

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Sujet Mathématiques Bac 2016 Intégrales S - corrigé


(commun à tous les candidats)

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateurd’eau.Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respec-ter le cahier des charges suivant :

• elle doit être située à deux mètres de sa maison ;• la profondeur maximale doit être de deuxmètres ;• elle doit mesurer cinq mètres de long ;• elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.

2 m

5 m

La partie incurvée est modélisée par la courbeCf de la fonctionf sur l’intervalle[2 ; 2e] définie par :

f(x) = x ln(x

2

)

− x+ 2.

La courbeCf est représentée ci-dessous dans un repère orthonorméd’unités 1 m et constitue une vuede profil de la cuve.On considère les pointsA(2 ; 2), I(2 ; 0) etB(2e ; 2).

1

2

1 2 3 4 5 6

TerrainCuve

TerrainCf

b bA B

T

I D

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

1) Justifier que les pointsB et I appartiennent à la courbeCf et que l’axe des abscisses est tangent àla courbeCf au pointI.

2) On noteT la tangente à la courbeCf au pointB, etD le point d’intersection de la droiteT avecl’axe des abscisses.

a) Déterminer une équation de la droiteT et en déduire les coordonnées deD.

b) On appelleS l’aire du domaine délimité par la courbeCf , les droites d’équationsy = 2, x = 2etx = 2e.S peut être encadrée par l’aire du triangleABI et celle du trapèzeAIDB.Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?

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3) a)Montrer que, sur l’intervalle[2 ; 2e], la fonctionG définie par

G(x) =x2

2ln(x

2

)

−x2

4

est une primitive de la fonctiong définie parg(x) = x ln(x

2

)

.

b) En déduire une primitiveF de la fonctionf sur l’intervalle[2 ; 2e].

c) Déterminer la valeur exacte de l’aireS et en déduire une valeur approchée du volumeV dela cuve au m3 près.

Partie B

Pour tout réelx compris entre2 et2e, on notev(x) le volume d’eau, exprimé en m3, se trouvant dansla cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale àf(x).On admet que, pour tout réelx de l’intervalle[2 ; 2e],

v(x) = 5

[

x2

2ln(x

2

)

− 2x ln(x

2

)

−x2

4+ 2x− 3

]

.

1) Quel volume d’eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est deun mètre ?

2) On rappelle queV est le volume total de la cuve,f est la fonction définie en début d’exercice etvla fonction définie dans la partie B.

On considère l’algorithme ci-contre.Interpréter le résultat que cetalgorithme permet d’afficher.

Variables : a est un réelb est un réel

Traitement : a prend la valeur 2b prend la valeur2eTant quev(b)− v(a) > 10−3 faire :

c prend la valeur(a+ b)/2Si v(c) < V/2, alors :

a prend la valeur cSinon

b prend la valeurcFin Si

Fin Tant que

Sortie : Afficher f(c)

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(Commun à tous les candidats)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(O,−→u ,−→v ).On considère le pointA d’affixe 4, le pointB d’affixe 4i et les pointsC etD tels queABCD est uncarré de centreO.Pour tout entier naturel non nuln, on appelleMn le point d’affixezn = (1 + i)n.

1) Écrire le nombre1 + i sous forme exponentielle.

2) Montrer qu’il existe un entier natureln0, que l’on précisera, tel que, pour tout entiern > n0,le pointMn est à l’extérieur du carréABCD.

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(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et detriangles équilatéraux représentée ci-dessous.

S

A

B

C

DO

I

Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1.On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la mêmelongueur.

1) Justifier que le repère�

O ;−−→OB,

−→OC,

−→OS

�

est orthonormé.

Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère�

O ;−−→OB,

−→OC,

−→OS

�

.

2) On définit le pointK par la relation−−→SK =

1

3

−→SD et on note I le milieu du segment [SO].

a) Déterminer les coordonnées du point K.

b) En déduire que les points B, I et K sont alignés.

c) On note L le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI).Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.

d) Déterminer les coordonnées du point L.

3) On considère le vecteur −→n

112

dans le repère�

O ;−−→OB,

−→OC,

−→OS

�

.

a) Montrer que −→n est un vecteur normal au plan (BCI).

b) Montrer que les vecteurs −→n ,−→AS et

−→DS sont coplanaires.

c) Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?

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EXERCICE 2

[ Amérique du Nord 2016 ]

Partie A:

1. a. Montrons que les points " B " et " I " appartiennent à la courbe C ƒ de ƒ:

Ici: ƒ ( ¥ ) = ¥ ln ¥2( ) – ¥ + 2

D ƒ = [ 2 ; 2 e ]

B = ( 2 e ; 2 ) et I ( 2 ; 0 ).

B appartient à la courbe représentative de ƒ ssi: 2 = ( 2 e ) ln 2 e2( ) – 2 e + 2 .

Or: ( 2 e ) ln 2 e2( ) – 2 e + 2 = ( 2 e ) x (1 ) – 2 e + 2

<=> ( 2 e ) ln 2 e2( ) – 2 e + 2 = 2 .

Donc oui: B ‡ C ƒ.

I appartient à la courbe représentative de ƒ ssi: 0 = ( 2 ) ln 22( ) – 2 + 2 .

Or: ( 2 ) ln 22( ) – 2 + 2 = ( 2 ) x ln (1 ) – 2 + 2

<=> ( 2 ) ln 22( ) – 2 + 2 = 0.

Donc oui: I ‡ C ƒ.

2

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Au total: " B " et " I " appartiennent bien à C ƒ.

1. b. Montrons que l’axe des abscisses est tangent à la courbe C ƒ au point I:

Cela est vérifié ssi: I ‡ C ƒ

et: la dérivée de ƒ au point I est nulle, car dans ce cas l’équation de la tangente au point I est y = 0.

I ‡ C ƒ, d’après la question précédente.

Calculons ƒ™:

Posons: ƒ = ƒ x ƒ + ƒ, avec: ƒ ( ¥ ) = ¥, ƒ ( ¥ ) = ln ¥2( ) et ƒ ( ¥ ) = – ¥ + 2 .

ƒ et ƒ sont dérivables sur ª comme fonctions polynômes, donc dérivables sur [ 2 ; 2 e ].

ƒ est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ comme fonction " ln ", donc dérivable sur [ 2 ; 2 e ].

Par conséquent, h = ƒ x ƒ est dérivable sur [ 2 ; 2 e ] comme produit de 2 fonctions dérivables sur [ 2 ; 2 e ].

Enfin, ƒ est dérivable sur [ 2 ; 2 e ] comme somme ( h + ƒ ) de 2 fonctions dérivables sur [ 2 ; 2 e ].

Ainsi, nous pouvons calculer ƒ™ pour tout ¥ ‡ [ 2 ; 2 e ].

Pour tout ¥ ‡ [ 2 ; 2 e ]: ƒ™ ( ¥ ) = 1 x ln ¥2( ) + ¥ x ln 1

¥( ) – 1=> ƒ™ ( ¥ ) = ln ¥

2( ) .Dans ces conditions, au point I ( 2 ; 0 ): ƒ™ ( 2 ) = 0.

1 2 3 1 2 3

1 3

2

1 2

3

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3Donc la dérivée de ƒ au point I est bien nulle.

Au total: l’axe des abscisses est bien tangent à la courbe C ƒ au point I.

2. a. Déterminons une équation de la droite T et les coordonnées du point D:

D’après l’énoncé: T est tangente à C ƒ au point B ( 2 e ; 2 )

D est le point d’ntersection de T avec l’axe des abscisses.

Étape 1: on détermine l’équation de la tangente T.

Nous savons que: pour tout ¥ ‡ [ 2 ; 2 e ], ƒ™ ( ¥ ) = ln ¥2( )

l’équation de T est: y – yB = ƒ™ ( B ) ( ¥ – ¥B ) .

D’où, l’équation de la droite T est: y – 2 = ƒ™ ( 2 e ) ( ¥ – 2 e ) => y = ¥ – 2 e + 2 .

Ainsi, l’équation de la droite T est: y = ¥ – 2 e + 2 .

Étape 2: on détermine les coordonnées du point D.

Comme D est sur l’axe des abscisses: yD = 0.

Dans ces conditions, nous avons:

y = ¥ – 2 e + 2 <=> 0 = ¥ – 2 e + 2 => ¥D = 2 e – 2 .

Ainsi, le point D est tel que: D ( 2 e – 2 ; 0 ).

2. b. Déterminons un encadrement du volume de la cuve:

S est encadrée par: l’aire du triangle ABI

l’aire du trapèze AIDB.

4

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Or: l’aire du triangle ABI, qui est rectangle en A, est: !1 = 12 [ AI x AB ],

l’aire du trapèze AIDB est: ! 2 = 12

( ID + AB ) x AI.

Nous obtenons ainsi: !1 = ( 2 e – 2 ) m 2 et ! 2 = ( 4 e – 6 ) m 2.

En conclusion, S est telle que: !1 < S < ! 2 ou encore: 2 e – 2 < S < 4 e – 6.

Nous savons que la longueur de la cuve est de 5 mètres.

Dans ces conditions, le volume V de la cuve est tel que: 5 ( 2 e – 2 ) < V < 5 ( 4 e – 6 )

cad: 17, 18 < V < 24, 37.

Ainsi, le volume V de la cuve est compris entre: 17, 18 m 3 et 24, 37 m 3.

3. a. Montrons que G est une primitive de g:

G ( ¥ ) = ¥ 2

2 ln ¥

2( ) – ¥ 2

4, et: g ( ¥ ) = ¥ ln ¥

2( ) .Ici: g est continue sur [ 2 ; 2 e ]. Elle admet donc une primitive G dérivable sur l’intervalle [ 2 ; 2 e ] et G est telle que: G™ = g.

Pour tout ¥ ‡ [ 2 ; 2 e ]: G™ ( ¥ ) = 2 ¥2( ) ln ¥

2( ) + ¥ 2

2( ) 1¥( ) – ¥2

<=> G™ ( ¥ ) = ¥ ln ¥2( ) + ¥

2 – ¥

2

=> G™ ( ¥ ) = ¥ ln ¥2( ) .

Au total, on a bien pour tout ¥ ‡ [ 2 ; 2 e ]: G est une primitive de g car G™ = g.

3. b. Déduisons-en une primitive F de ƒ sur [ 2 ; 2 e ]:

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5Nous remarquons que: ƒ ( ¥ ) = g ( ¥ ) – ¥ + 2, pour tout ¥ ‡ [ 2 ; 2 e ].

Dans ces conditions, nous avons, pour tout ¥ ‡ [ 2 ; 2 e ]:

F ( ¥ ) = G ( ¥ ) + ( – ¥ + 2 ) d¥

<=> F ( ¥ ) = G ( ¥ ) + – ¥ 2

2 + 2 ¥

<=> F ( ¥ ) = ¥ 2

2( ln ¥2( ) – ¥ 2

4 + – ¥

2

2( + 2 ¥

=> F ( ¥ ) = ¥ 2 2

ln ¥2( ) – 3 ¥ 2

4 + 2 ¥.

Au total, une primitive F de ƒ sur [ 2 ; 2 e ] est: F ( ¥ ) = ¥ 2 2

ln ¥2( ) – 34 ¥ 2 + 2 ¥.

3. c. c1. Déterminons la valeur exacte de S:

S = AB x AI – ƒ ( ¥ ) d¥ <=> S = ( 2 e – 2 ) x 2 – ƒ ( ¥ ) d¥

<=> S = ( 4 e – 4 ) – ¥ 2

2 ln ¥

2( ) – 34

¥ 2 + 2 ¥

=> S = ( e 2 – 3 ) m 2.

Au total, la valeur exacte de S est: ( e 2 – 3 ) m 2.

3. c. c2. Déduisons-en une valeur approchée du volume V:

Nous savons que la longueur de la cuve est de 5 mètres.

Dans ces conditions: V = 5 x ( e 2 – 3 )

=> V ≈ 22 m 3, au m 3 près.

Au total, une valeur approchée du volume V est: V ≈ 22 m 3, au m 3 près.

[ ]) )

2 e

2

2 e

2

[ ] 2 e

2

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Partie B:

1. Déterminons le volume d’eau demandé:

Nous allons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour répondre à cette question.

Il s’agit de déterminer V ( ¥ ) quand ƒ ( ¥ ) = 1.

Par tâtonnement et à l’aide d’une machine à calculer:

ƒ ( a ) = 1 quand a ‡ [ 4, 31 ; 4, 32 ].

Dans ces conditions, et d’après le théorème des valeurs intermédiaires:

V ( 4, 31 ) ≤ V ( a ) ≤ V ( 4, 32 ) <=> 7, 44 ≤ V ( ¥ ) ≤ 7, 53.

En conclusion, le volume d’eau demandé est: 7 m 3, au m 3 près.

2. Interprétons le résultat de l’algorithme:

L’algorithme permet d’afficher la hauteur d’eau dans la cuve lorsque cette dernière est à moitié remplie.

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