11
279

Subgraph Matching with Semidefinite Programming

Embed Size (px)

Citation preview

�������� ���� � ��� ������� ��

��������� �

�� ������������

�� ����� ���

� ��������� � � ������� ����� � ��� �� ���� �������� �����������

��� !"! � ������� ���� �

������##�� ��������$����� ���������� %%%���&�������� ���������

��������

�� ������� � ���� �� ������ ������ � ��� ������ � ������ ��� �����

���� ��������� ���� ����� � ����� ��� �� ����� ���� ��������� ������ ������

�� ��� � ������ �� ������ ��������� �� ������ ������ ������ � ��

��������� ������ �� ������ ��� ������ ������� ������ �� ���� � ���� ��� ��

��� ��� ��������� ��������� ���� �� ��� ������ ��� �������� ����������

���������� ������ �� ������������ ����� �� � ������ ���� �� ���� !�������

���� ������� ��� ������� ���� ������ � ���������� ���� �� ����� ������ �

��������� ����������

'� %���( ��� ���� ������ � ���������� ����������� ������ ����

�� ������ � ���� �� �����

� ����������

������ �������� �� ��� ������� � �������� ������ ��� ��� � �����

�������� ���� �� ������� ���� ����� �� ��� � ���� ��� �������� ���� �� �

������ � ����� ��� � �� �� ��� �������� ���� ��������������

� ����� � �������� ��������� ��� ��������� ����� �� ������� �� �� ��!�

��� �� ��� � �� � �� ����� � �� ���� � ������ ��� ���� � � � � �

"����� �� �� � ���#����� � "���$����� ���� �� ����$ � ����� �� �����

������ � % � � �� � �� � �� ��������� ������� � �� � & "���$�

'� ��� ��������� ������ ����� �� � ���� ����� ���� � ���� � ���� (

��� � �� � � � ����� � ���� ��� � ���� �� �������� �� �#�� ��� ��� �

� "��������� ������

�������� ������� � �������� ������� �� ������ ����

279

�� � �� ����� � �� �� � ��� �������� � ����������� ����� ���� � �����

�� ��� ��)� � �����)� ������� � �� �� ����� � ��� � �� �� �� � �����

��� ���� � ����

( ���� � ���� �� ����� � ��� ����� ���� � ������� �� � ��� ����� � ���

��� ���� � ���� *� �� �� ������� �� � ����������� ��� ����� ���

����� � ���� � ��� �� �� ���� *��� � � ���� ���� ������� ����

� � �� ��������� ���� ���� ���� ��� � ������� �+�� ���� �������� ��� #�

��� �,�� ����� �� ��� �-�� �������������� � ���� �.� �� �������� ���� ����

���� ���� �/�� � ��� ���� ����� ��)�� ���� ����� ��� �# ����� ������ ����

����� ��� �� �� ����� ��� ������� �0�� �� � ���� ����� � ����� �� ���

� #���� ���1�� �� ��� ����� ��� � �� �2��

�� ���� �� ����� ��� ��� ��� ���� �� ��� ���� �� �������� ��� ����� ���

������� �� ���� �� ������ ��� ����� � ��� ������ �� ��� � � �������

���� ��� ���� ��� ������ �� ���� ��� � � ����� � ���� �� � ���� ������ � ���

����#� �� �������� ����� �������� � ���� ��� � �������� ���� �����3� ��

������� ������!��� ���� ��� ���� �� ��4� �� ��� 1� �� ��� ������

�������� ( ��� ����#�� ��� 1� �� ��� ������ ������� ��+� ����������

�� ��� ��� ��� � � ���� �� ��� � ��� ���� ����� ����� �� ���������

� ��� � ������� �� ��� ������!��� ��� # ��� � �� �������� �� �������

���� ������� ��,� ����� � ��� �� �� �� ��� ��� � ������ �� �����

������ � ��� � ���� �� ��� ���� �� ���� �� ���� �� ������ � ���

� � ������

�� ����������� ������� �� ���� ������� �� ������������ � �� ���� ����

��-��.�� ��� ������� �� �� ����� ���� ����� � ��� ������ �� � ����� � �

� ����� � ����� ����� ��� �� ������ �� ����# ���� ��� ���� �� ���

��� ���� ������� ���� �� � ���� ������� � ����� 5����� ����� ���

������!��� ��� # ��� ��������� � ��4� �� � ���� ����� ��� � ���� � ���

��������� �� ������ ���� ���� �� �� ���� �� � ���� � ��� � ����#

���� ����

6� ��� ���� ��� ����� � �� � ���� "6����� 3�3$� �� ��������� ��� ���

������� �������� ���� 1� �� ��� ����� � ����� ��� ����� � ����� �����

������� ��� ��� ��� � ��������� � ���� ��� ����� � �� � ��� ���� � ��

"6����� +$� ( 6����� ,� ������!��� ��� # ��� �� ���������� 7������ �

�#�������� �� ��������� � 6����� -� *� ���� ��� � �� � ��� ����� ��

� ��� ���������� �� ���� �� � ���� ������� � ��� � ��� �� ����#

���� ��� �����1��� � ���� � ���� ��������� �� �� �� ������� � ���

���� ��� ��� �� �� � ����������� � ����� ��� ����� � ���� � ���

�� �� ��� ���� �������� � !��� ��

280

-

,3

+

�,

. /

�0

��

�3�4

2 �+

3

-

+

#� � $� %��� ��� ���� ���� ���� � & ' ��� � & $( ������� ������������

� ��� ��� �� �� ���� � ����

( ���� ������� �� ���� ���� � ��� �� ��� � ������� ��� �� ��� ���� ��

��� ���� ��� ��� � ���� ������� � ��� ����� � ����

��� �������

*� ���� ��� ��� ������� �� ��� ��������� ���� � ���%

�� �� ����� �� �

�� �� � ��� � ���#

������ �� �� ���% � & �� & �� � � � � �

��� 8 ���# �� �� ���% ��� & �

���� �� �� �� ��� � ���# �

� � 9������� ������� �� � � :

��� ����� � � �������� ����

( ���� � ���� �� ������� ��������� � ��� � & "���$ ���� ���� � &

��� � � � � �� � ���� � � � � � � *� ����� ��� ����� � �� ���� �� �

��� ���� � �� ���� ��� �� ���������� ���� �� � �� ��� � � & ����

� � & ���� �������� ������������� *� ����� � � �� ;����������� �� �����

���� �� ������ �"� �$ �� �� ��� ����� �� ����� ��� ����� ���� �� � ��

� �� �� �������� �� � � ���

(� �� ���� ��� ��������� � ���� ��� ����� � �� � ��� ���� � ��� ���

����� � ������ �� ��� � �������� �� ��� ����� � �� � �� � ���� ����

� � ���� � ��� ��� ����� � �� "�� ��� �$� ���� ���� "� �$ ��

281

��!�� ��� �� � ��� ��� � �� ���� ���������� ������ �"� �$�

<�� � �4� ���� ����� ��� ���� ��� ������ �� ��� ����� ���� ��� ��������

�� �� � �������%

� & "���� � � ����� ��� � � ����� � � � � ��� � � ����$�� "�$

��� # �� ��� ���� � ���� ������ ���� !#�� �����# �� �� ���� �� ����

����� � �� �������� �� � ���� ���� ������� �� ����� �����# � ��� ����

*��� ����� ���� �� �� ��� �� ����� ��� ���������� ����� ������

"�"�� �$� � � � � �"���$$� � ���� �� ������� �� ���� ������ ��� �������

� ���# �� � � � ��� ����� ��������� & " ��� �

�$�� �� ����� � � ����

� � �� ���� �� ����� ��� ��� � ���� �%

���

��� � � �4� ���� "3$

�� & � � �� � �

(� �� ���� ��� �� � ��� ������� � ���# �� ��� ����� � �� �� ��� ��� ���

����� � ��/�� �� ����1����� ����� ��� ��� � ���� � "3$ ��� � ���

���� ��� ��� ����� � ����� ������� � �4� ����� �� ������� �����

�������� ���� � ������ � ���� ��� � � ��� ������� �� ���� ��� ��� ��� �

���������� � ���� ��� ������ �������� ��� "����� � ��$ � ��� �� �

"���� � ��$�

( ��� �#� ������� �� �#��� ��� ���� �� "3$ �� ������ ��� ��� � ���

��� ���� � ������� ����# ���� ��� ���� �� ����� �� � ���� ���

���� ��� ������ ��� � ��������� ����

� � �� �� � ������� ����� � ��� ����� �� � ����

� ������� �� ��� ��� ��� � ��������� �� ���� ��� ����� � �� � ��� ����

� ��� �� ��������� ��� ��� � ��������� ������ � "3$ ���� 1� �� ���

����%

���

���= ����� � � �4� ���� "+$

�� � � ����� � � ������� ��� �>���� �� ����� ������ � ������

�� 1� �� ��� ���� � "+$ ������� ��� �� ���� � ��������� �� �� ��� �����

� �� � ��� ���� � ��� ������������� ����� ����� ��� �����������

��������� � ����� ��� � ���� ;�� �# ����� ��� �� ���� � ���# �� ��� ���

282

����� � �� �������� � !��� � �� ��� ��%

�� &

��������������

4 � 4 � �

� 4 � � 4

4 � 4 � 4

� � � 4 �

� 4 4 � 4

��������������

*� ��� ��!� ��� ��������� �� �� ���� � ������%

?�� & ��� �� ��?�� & ��� �� ��

*��� ���� �� ��� � ������� �� ��� ����� �� ��� ��� �� ���� ��!�� � "�$�

��� � ���# � � "+$ �� ��� ��%

� & �� �?�� = ?�� ��� ",$

*� �#� �#�� � � ��� ��� ��� ����� � ��� ���� � ����� � ",$�

�� !��� ���� � �� ������ �%

��"�� �?��$� &

�����

����

"��$��" ?��$������

�� �������� ��� �� ���� ���� �� �� � �� ��� �������� � � � � ��� �����

� �� �� �������� "��$�� & �� ��� ��� ������ "� �����$ �������

���������� �������� � � � � ��� ���� � �� ����� �� �������� ���%

" ?��$� & 4� ��� �� ���� ��)�� � !��� 3�

������ � ��

���� � ��

��� & �

�� & �

������ � ��

���� � ��

��� & �

��� & �

��

@# ����% '��� ������ @# ����% : � ������

#� � )� ��� *������ ������� � ��� � �� ��� ���� ���� ��� ���� ��� � �������

������� � ��� � �� ��� ���� ����� � ���� *������ ���� ������� � ��� � ��� �

�� �� ������� �� ��� ���� ���� ����� ��� ���� ������

283

� �������� ��� ����� � �� �� � ����%

��" ?�� ���$� &�����

���

" ?��$��"��$������

��� ���� �� ��)�� ������� ����� � ��� �� �������� ������ �������

����� ����A� �� ��� ������� ;���� + ������� ��� ���� ������������� � ��� ���

������ � ��

���� � ��

��� & �

�� & �

����� � ��

���� � ��

��

��� & �

��� & �

@# ����% '��� ������ @# ����% : � ������

#� � (� ��� +������ � ��� � ���� ��� �� ������� ��� ���� ��� � ������� ����

��� �� �������� �� � ���� * ���� � ������� � ��� � ���� ��� ���� � ��� ��

����� ���� ������

� ����� ��� �� ��������� ����� ����

( ���� �� �� "3$� ������ ��� �� ��� ��� � ������� �� "+$ �� ������� ���

������� *� �#� ������ ����# ���� ��� ���� �� �� ������� B���C��� � ������� ;�� ���� ����� ��� � ������!��� ���� ��� �� �����

�� ��0��

;����� �� �������� �� ��� ��������� �������� "+$ � ��������� 1� �� �������%

���= ����� � �

���4 �

���

�� ��

���

� � ��

���� ��

� ���

���

���������� �

�D��

��

���� ��� ���� � �� ���� �� ���� ��� �� � ���# � ����� �� ����������

�������� ��!���� � � � � � �� E����� ���� � �� ����� �� � ��� ��� ����� �� ����� � ������ � ����#F

;����������� �� ������� �� ��� ������� ��� � ����� ��� ����� ����� �� �

�� ����# ������) ��� �������%

284

� (���� ����� �� �� �4� ��� �% ��� ����� �� �� ������ ������� ��

����� �� ��� !��� ����� � ��� �� � �� �� �1� � �� ��� �� � �

"���� ��� & ��� �$�

� 6�� ����� ��% ������� �� ��� ������ ��������� � "�$� �� �� �� ��

��� ����� �����

��� ��� & �� �� ��� ��� ���������� ����� ��� ����

������� �� ��� �� � � ������� �� ��

� 8 ���� ����� ���% �� ����� ��� � "3$ �� �� �� ��� �� ����� ���

���� ������� �� � �� ������� ��� ������� ��� �����%

��"�� � "��� ��$$� &

���

��

���

"��$��"��� ��$������

��""��� ��$� ��$� &

���

��

���

"��� ��$��"��$������

�� !��� �� ����� ��� ����� �� ��)�� ����1�� ������� �� ����� ����

����� �� ���� ��������� � �������� ��� ����� ���� �� ��)�� �������

����� ����� �������� �� � ���� �� ��� � �� �����# � ��� ���� � ���

���� � ���� ��� ��� ��� ����� �� ��)� �� ������� ����� �� � �� �

�� � ����� ���� ������ �� �������� ����� ;���� , ������� ��� ����

��!�� ���� � ��� ��� G��������� �� ������� � ��������� � ����

������ � ��� � ��� )��� �� ��� ���� ��� 1� �� ��� ������ ���������� ��

����� � ��� ���������� ������ � � �� �� )����

����� � �� ���� � ��

� & �

��� & ��

�� & ��

����� � �� ���� � ��

�� & �

��� & �

� & �

@# ����% : � ������ @# ����% : � ������

#� � ,� *��� ������ ���� � �� ���� � ������ � ��� ��������� �� ��� -�������

���������� ��������

�� ��� � ��������� ������ � ��� ��� � ����� ��� ��������� ���� �� �

285

�� ������!��� ���� � �� ��� ������� ����%

�� ��D��

�"-$

���� �� ��� & ��

�� ��� & �����

�� ��� & ��

� � 4

�� � �� ����� �� � "-$ � �� �� � � � � �� �� �������� ������!���� *� ����

�� ���� ��)� ��� ���� �� � "-$ �� ����# ������) ��� ��������

��� ��� ��� � ������� �� "-$ �� �������� ���� ������� ���� �������

��� �� � � ������� �� ��� ������� � � �� ���������� � �������

������� � � �� "+$� � ��� � 4�������� ������� ��������� ���������

� ���� �� ����� ��� ������� ��� � ���� ��� � ������������ ����%

� #�

�� �� � � �4� ���� ".$

���� �� & � �

�� � �

���!�� �" #$������� ! %�&�!�&

( ���� ������ �� ������ ������� ������� �� ������ �� ��� ����# ����

� �� � ���� ���� ��� ;���� � ������� ��� � �� ��������� ���� � ���

�#�������% �� ������ ������� �� - �������� ����� �� ��� ������ �� ����

��� ����� "��� !��� �� ����$� �� ��� ���� ���� ���� � & �+ �������� � �

��� ��� �� ��� 0 � ������ �������� "!��� �� ����$� �� ��������� ��

��� � ��� �� ��� ������ �� ��� E�� ��� ��� �� ���� �� ��� ����� ��������

� ��� ���� ��������� *� ��!�� ����� ��H���� ���� � �� ��� ��� ��������

������� �� ��� ����� �������� �� ��� ���� ��������%

�#������ ��4 I ��3-

��� � 4�- I 4�/-

���� ��� � 4�-

;�� ��� �#������� �� ������ ����� �"� �$ �� ��� ������ � �� ��������

� ����� ����� ��� ��� � � � �� ����� ��� �#������ � �� ������

� ��� � �� ������� ��� ����� �����# !�� �� ��� ���� �����# � �� ��� (

��� �# ���� ��� ������� ������� �� ����� �� �� ��� �% � �� 2� 3 ��

�4� + �� ��� , �� �3� - �� �+� ��� ����� ������� �� ��!�� �� �� �#���

286

����� ������� ���� ���� ������� ���� ����� �������� �� ��� � ������

�� � �� ���� ��� � ���!�� ���% 3 �� �� + �� 0� , �� ,� - �� 3�

�� ��� � ������) ��� ��� ��� ������� "3$ �� �� �� 4���������� � �����

���� ��� ����� �������� �� ��� ��� ��� ���� !��� ���� �������� ������� ���

������ ��� ��������� �� ��� � ���� �� ���� � !��� - ��� ��� � ���� ��

������� � ��������� � �����

4

1

2

3

5

,

. /

�0

��

�3�4

2 �+

3

-

+

#� � '� .����� ������

( ���� �� �� �� � ��� ������� � ���� � �� ��� ��� �� ��� ������!���

���� ��� ���� ��� �� ������ �� ���� � !��� /� ;���� . ����� ��� �

����� ������� � � ����� �� �1� � �� ��� �� � � "������� ��� !��� ������$

�� ��� ������� � �� "-$� ������� ��� ��� ���#� �� ���� �� ���������� ���

!�� ������� ���� � �� ����� ��������� �� �������� � ����� ���� ��

�����# �� ��� ����� � �� �� �� � �������� � ��� ���� � ��� ( ��� !���

����� ��� ��� ������ ���� ����� �����# � �� ���� �����# 2 � �

� ��� �� � ��� � � �� ��������� �������� "��� & �$ � ��� ����� ��������

�� ������ � ������ ��� � !��� . �� �� � ��� � �� ������ ��� �� ��

����� �� � ��� ��� ��� � ���� � � � ��� � ���� �� � ��� ��� �� �

� �� ����� ���� �� �� �� ������ �� ��� ����� �� �� & � � *��� ".$

��� ����� ������� � ����� ��������� ��� ����� � ���� �� � ���� ����

;���� / ��� ����� ��� � ��� �� � ����� ��� ��� � �� ����� �������� �� ���

����� � ��� �� ������ �����

' (��!�&�� �� )������ *��+

( ���� � ��� �� �������� ����# ���� ��� ���� �� ��� ��� �������

�� ���� �� � ����� ;�� ���� ������� �� �#����� ��� ��� � ���� ���

������ ��� ��� ������� ����� � � ����� � ��� ����� � ��� �� ���

287

13 13 13 13 130

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5

#� � /� 0� ���� �� ������ ���� � � 1� & 2$23

4

1

2

3

5

,

. /

�0

��

�3�4

2 �+

3

-

+

#� � 4� ������

1� �� ��� ���� ����� ��������� ��� ��� ��� � ����� ��� ��� �� ����

� ���� �� �� � � �� ��� ����# ���� �� �� �� � �� ���� �� ��� �

������ � ��� � � ������� �� !��� �#������� � ������� �� ��������

���� ��� ���� ������ ��� �� ���� ���� �� ���� �� ���!�� ��

%�������&

5$6 %� 7������� 8� !��� �� 9���� ��� *� :���� ������� )*+��� ��������� ��� ��

������� ������ ����� ;;, � ,���� -�� ���� ���� ����� ���+���� � $;;'�

5)6 7�7� 9<����= ��� �� >������� !���������� ������ �� � �������������

���� ����������� ����� � ���� �� ������ ���� - �� .� �� ���������

;)?/2@/,� $;;)�

5(6 ��A� A���� �� %������ ��� "� �� ��� %������ � * ���� ������ ����

������ �� ����� �� ��������� ������� �� ������ -��� # -��%�/��

41/B43?$2$;@$2(2� $;;,�

5,6 ��8� "��������� 8� A������� ��� %� !����� ��������� ������ �� ������

288

����� ���� ����������� ���������� 0111 2� ��� � ��� .� #� � ��� 0���##��

$41C3?4,;@4/,� $;;'�

5'6 *�D�8� "���� E�"� ������ ��� >�E� 7���� F����� ���� ������ ����

����� ������ � ����� ���&�� (21/3?;'(@;42� $;;4�

5/6 9��� %������ ��� 7� 9����� * ��� �� ����� �� ������������ ��� ����

��������� �������� 0111 2� ��� � ��� .� #� � ��� 0���##�� )21'3?,;(@'2,�

$;;C�

546 9� .� ��� >�E� 7���� ��������� ���� ������ ���� ��� �� �� �����

��� ��� ���� ����� ���������� 0111 2� ��� � ��� .� #� � ��� 0���##��

)(1$23?$$)2@$$(/� )22$�

5C6 *�D�8� "��� ��� >�E� 7���� :����������� ���� � ��������� ��

�� ������ 0111 2� ��� � ��� .� #� � ��� 0���##�� )21$$3?$)(/@$)'(� $;;C�

5;6 %� !������ A� �����-�� ��� ���� G����� %����� ���������� ��������� ����

�������� ������ 0111 2� ��� � ��� .� #� � ��� 0���##�� )$1$$3?$$2'@$$)2�

$;;;�

5$26 0� 9������ ��� A� *���������� ����� -������� ���� ����� ������� ����

���� -������� �� ����� ����������� )�����3 ��� ������ �� ���% ���

$/1$@,3?,;@/C� )22$�

5$$6 "� ����������� �� E��� ��� "� ���<��� >�������� � ���� ����������

�����-��� �� ��� ��� ���� ����@������ ������ �� ������ ������ F�

9� E��� ��� �� #������ ������� ��������/�����& 455!� ����� )$;$ �

,���� -��� ���� �������� �� �� (/$@(/C� %����� :������� ����� $)@$, )22$�

����� ���

5$)6 "� ����������� �� E��� ��� "� ���<��� !�������� ��������� � �

���� ��������� ������ � ��� -������� ���� ����� � ��������� ����

������ "��� ����� ������� ������� E���� 2)B)22)� D���� %���� ���

"��� ������ H��������� � %�������� :������� #��� )22)� ����������

5$(6 E�>� 9������� >� "���� !�%� !������� ��� .�� !�������� ��� -�������

���� ����� ������� F� !�%� !������ ��� D��G� D�� ������� 6 ��*/ �

��*�� ��� # )�����3 ���� �� �� ),$@((C� A����� *��� !���������� $;;C�

5$,6 .� +�������� �� ��� �� 9��� ������ ���� �� ������ � �0.� �����%�

(C1$3?,;@;'� $;;/�

5$'6 �� :�� ��� *� E�� ������� * �������� ���� ����� �� ����� �� ����

������ � 0111 2� ��� � ��� .� #� � ��� 0���##�� $C1,3?(44@(CC� $;;/�

5$/6 �� F���� ��� %� ���� D���� ��������� ������ �� ����������

����������� -����������&� )22$� � �������

5$46 :�.� 0�������� ��� .�*� ������ 0���&�� �� ��*�� ��� # )�����3 ����

8� ������ 0�� I��� $;CC�

5$C6 7� ������� E� ��� ��� ��� .� +�������� ��� ������� 6 ��*/ �

������7���� ��&� ����&� 9���� )222� A����� *��� !����

289