Sub-Dopplerovo hlaenje atoma

Danijel Buhin, F-4061Fizi£ki odsjek, PMF

(Datum: 19. sije£nja 2017.)

U seminaru se prou£ava sub-Dopplerovo hlaenje atoma te odreuje sub-Dopplerova temperaturaatoma rubidija u ovisnosti o frekventnom pomaku i intenzitetu lasera za hlaenje. Pri tome sekoristi σ+−σ− konguracija lasera i tehnika mjerenja vremena proleta primjenjena na oblak hladnihatoma u balisti£koj ekspanziji. Detaljno je opisan mehaizam σ+−σ− sub-Dopplerovog hlaenja te jeprimjenjen teorijski model za prilagodbu eksperimentalnih rezultata. Najniºa izmjerena temperaturaiznosi (56.6± 0.8) µK.

I. UVOD

Lasersko hlaenje je jedno od najrevolucionar-nijih otkri¢a atomske i molekulske zike. Ono jeotvorilo niz novih eksperimentalnih pravaca kojidanas probijaju granice na²e spoznaje. Jedna odnajvaºnijih primjena laserskog hlaenja jesu atom-ski satovi kojima se mjeri i £uva vremenski stan-dard, tj. sekunda denirana preko frekvencije hi-pernog prijelaza u atomima 133Cs. Atomske fon-tane temeljene na hladnim atomima cezija mjerevrijeme s velikom to£no²¢u, precizno²¢u te repro-ducibilnosti [1]. Meutim, nedavno su se razviliopti£ki satovi bazirani na hladnim atomima stron-cija zaobljenim u opti£kim re²etkama koji su donekoliko reda veli£ine to£niji od atomskih fontana,a izgube 1 s u vremenu ve¢oj od vremena starostisvemira [2].Druga zna£ajna primjena laserskog hlaenja su

Bose-Einsteinovi kondenzati (BEC) i Fermi dege-nerirani plinovi. To su kvantni sustavi s tem-peraturama puno niºim od Dopplerove tempera-ture, a dobivaju se sub-Doppleovim i evapora-tivnim hlaenjem. Fizika ultra-hladnih sustava(BEC za bozone i Fermi-degenerirani plin za fermi-one) najplodnije je podru£je istraºivanja modernekvantne zike. Jedno od najvaºnijih smjerova is-traºivanja su kvantni simulatori u kojima se ultra-hladni atomski sustavi koriste kao testni sistemiza rje²avanje problema u zici £vrstog stanja [3].Lasersko hlaenje po£iva na procesima apsorp-

cije i spontane emisije. Atom u interakciji s lase-rom prikladne valne duljina apsorbira foton te sepobudi u vi²e energijsko stanje. Nakon odreenogvremena koje se naziva vrijeme ºivota atoma, onspontano izra£i foton te se vrati u osnovno stanje.Kako je laserska zraka usmjerena, atom dobiva im-puls samo u jednom prostornom smjeru odreenomvektorom propagacije laserske zrake, dok se spon-tano emitira foton u nasumi£nom smjeru. Nakonmnogo ciklusa apsorpcije i emisije, ukupan impulskojeg atom dobije uslijed spontane emisije usrednjise u nulu pa je kona£an impuls atoma posljedicaapsorpcije fotona, dakle odreen je sa smjerom ²i-

renja laserske zrake. Ukoliko je frekvencija laseramanja od frekvencija prijelaza u atomu, atom ¢ezbog apsorpcije osje¢ati silu koja se protivi gibanjuatoma, tj. sila i brzina atoma su suprotnog smjera.Za male brzine atoma sila je proporcionalna br-zini atoma. Opisano predstavlja osnovni principlaserskog hlaenja atoma. Uklju£imo li prostornigradijent magnetskog polja sila na atom postajei prostorno ovisna te dolazi do prostornog zarob-ljavanja. Takav atomski sustav naziva se magneto-opti£ka stupica (eng. Magneto-optical trap, MOT)[4]. Najmanja temperatura atoma koja se postiºeu MOT-u naziva se Dopplerova temperatura.Sub-Dopplerovim hlaenjem postiºu se tempera-

ture i do nekoliko puta niºe od Dopplerovih tem-peratura. Pomo¢u metoda sub-Dopplerovog hla-enja najniºa temperatura koja se moºe posti¢i jetemperatura odboja (eng. recoil temperature). Se-minar je organiziran na slijede¢i na£in. U drugompoglavlju opisna je temperatura u laserskom hla-enju te neke temperaturne granice, u tre¢em po-glavlju opisan je princip sub-Dopplerovog hlaenjapomo¢u gradijenta polarizacije. U £etvrtom pog-ljavlju opisana je tehnika mjerenja vremena pro-leta, a u ²estom i sedmom poglavlju iznosimo re-zultate mjerenja.

II. TEMPERATURA U LASEROM

OHLAÐENIM ATOMSKIM SUSTAVIMA

U termodinamici temperatura je denirana kaoparametar stanja zatvorenog sustava u termalnojravnoteºi s okolinom. Takva denicija zahtjeva ter-malni kontakt sustava i okoline, tj. izmjenu toplines okolinom. U laserom ohlaenim sustavima tonije slu£aj jer atomi stalno apsorbiraju i raspr²ujusvjetlost, a time mijenjaju okolinu. Iako svjetlostsmatramo oblikom energije izmjena topline je za-nemariva. S obzirom da laserom ohlaeni atomskisustav moºe biti u stacionarnom stanju, ali sigurnone u termalnoj ravnoteºi, neprikladno je pri njego-vom opisu koristiti termodinami£ku deniciju tem-perature. Stoga se temperatura T denira preko

2

prosje£ne kineti£ke energije atoma, Ek [5]:

1

2kBT = 〈Ek〉 , (1)

gdje je kB Boltzmannova konstanta. Temperaturase moºe denirati na ovakav na£in jedino u slu-£aju dobro odreene raspodjele brzina jer postojibeskona£no mnogo raspodjela koje imaju jednakeprosje£ne vrijednosti kineti£ke energije. Te raspo-djele mogu biti jako razli£ite jedna od druge pa ihse nemoºe karakterizirati istom temperaturom.Laserskim hlaenjem smanjujemo brzinu atoma,

£ime smanjujemo i kineti£ku energiju, odnosnotemperaturu. S druge strane postoji niz procesakoji utje£u na ekasnost samog laserskog hlaenja,ali i na dodadno grijanje atoma. Stoga ovisno oparametrima atomskog sustava i lasera postoji ne-koliko grani£nih temperatura do kojih je laserskohlaenje ekasno. Prva i ujedno najvi²a tempe-ratura karakteristi£na za lasersko hlaenje odgo-vara energiji atoma kojima je brzina preko Dop-plerovog pomaka takva da se oni nalaze to£no nagranici apsorpcije svjetlosti. Tipi£ne brzine suvc = Γ/k ∼ 1 m/s, a odgovaraju¢a temperaturaje:

kBTC =mΓ2

k2, (2)

gdje su m masa atoma, Γ je prirodna ²irina atom-skog prijelaza, dok je k valni vektor lasera. Tem-peratura je reda veli£ine mK.Slijede¢a grani£na temperatura povezana je s

prirodnom ²irinom atomskog prijelaza i naziva seDopplerova temperatura. Zbog procesa spontaneemisije, pri £emu atomi dobivaju impuls u nasu-mi£nom smjeru, postoji difuzno grijanje pa je mi-nimalna temperatura koja se postiºe laserskim hla-enjem odreena slijede¢om relacijom:

kBTD =~Γ

2, (3)

a iznosi nekoliko stotina µK. Uz tu temperaturuveºe se i 1D brzina koja iznosi vD ∼ 30 cm/s.Posljednja karakteristi£na temperatura odgo-

vara energiji odboja pojedina£nog fotona. U pro-cesu apsorpcije ili emisije fotona atomi dobiju br-zinu odboja vr = ~k/m. Odgovaraju¢a promjenaenergije te s njom povezana temperatura iznosi:

kBTr =~2k2

m, (4)

a naziva se energija odboja te se smatra donjomgranicom za procese laserskog hlaenja. Tipi£noiznosi nekoliko µK, a odgovara brzinama oko vr ∼1 cm/s. Na slici 1 prikazana je temperaturna sklalas drugim zna£ajnim temperaturama u zici.

Slika 1. Temperaturna skala s iskazanim karakteristi£-nim temperaturama. Preuzeto iz [5].

III. SUB-DOPPLEROVO HLAÐENJE

U £lanku [6], predloºena su dva modela hlaenjaatoma ispod Dopplerove temperature: σ+ − σ−

konguracija tj. hlaenje pomo¢u gradijenta po-larizacije i lin⊥lin konguracija tj. Sizifovo hla-enje. Kako u eksperimentu koristimo σ+ − σ−

konguraciju laserskih zraka detaljnije ¢emo opi-sati taj model. Osim gradijenta polarizacije zasub-Dopplerovo hlaenje bitan je i energijski po-mak atomskih nivoa koji nastaje u interakciji s la-serskom zrakom (eng. light shift). Pomak atom-skih prijelaza proporcionalan je kvadratu Rabijevefrekvencije, tj. intenzitetu laserske zrake, a obr-nuto je proporcionalan frekventnom pomaku laser-ske zrake. Frekventni pomak (eng. detuning) jerazlika frekvencije laserske zrake ωL i frekvencijeatomskog prijelaza ωa:

δ = ωL − ωa. (5)

Zamislimo dvije kruºno polarizirane laserskezrake frekvencije ωL koje se propagiraju jedna na-suprot drugoj duº osi z. Ukupno elektri£no poljeiznosi:

E =E0[x cos(ωLt− kz) + y sin(ωLt− kz)]+E0[x cos(ωLt+ kz)− y sin(ωLt+ kz)] (6)

=2E0 cosωLt[x cos kz + y sin kz]. (7)

Izraz (6) predstavlja dvije suprotno propagiraju¢ekruºno polarizirane zrake. Kako ne postoji faznarazlika izmeu dva smjera polarizacije x i y, izraz(7) predstavlja linearno polarizirano polje £iji vek-tor polarizacije ε rotira jednoliko u prostoru okoosi. Kao ²to je prikazano na slici 2 vektor polari-zacije rotira za 180 kada se z promijeni za λ/2.

σ+ − σ− mehanizam sub-Dopplerovog hlaenjaopisati ¢emo na primjeru atoma s atomskim pri-

3

Slika 2. Vektor polarizacije za dvije suprotno propa-giraju¢e zrake u σ+ − σ− konguraciji. Preuzeto iz[5]

jelazom Jg = 1 → Je = 2, gdje je J uku-pan angularni moment atoma. Kvadrati Clebsch-Gordonovih koecijenta za prijelaze |1,m〉 →|2,m′〉 odgovaraju vjerojatnostima atomskih pri-jelaza, a m i m′ su projekcije ukupnog angularnogmomenta za osnovno i pobueno stanje. Kako jepolje linearno polarizirano, izborna pravila uvje-tuju prijelaze s ∆m = 0. Vjerojatnost za prijelaz|1, 0〉 → |2, 0〉 jednaka 2/3, dok je vjerojatnost zaprijelaz |1,±1〉 → |2,±1〉 jednaka 1/2 [7]. Vje-rojatnost da atomi promijene m prilikom procesaapsorpcije i spontane emisije iznose:

P (|1, 0〉 → |2, 0〉 → |1,±1〉) =2

3· 1

6=

1

9, (8)

P (|1,±1〉 → |2,±1〉 → |1, 0〉) =1

2· 1

2=

1

4. (9)

Iz prethodnih izraza slijedi da je za atom u miro-vanju ve¢a vjerojatnost da se nae u stanju |1, 0〉nego u stanju |1,±1〉, a omjer populacija jednak je9 : 4.Promotrimo sada slu£aj kada se atom giba ne-

kom brzinom v 6= 0 duº z osi. U sustavu koji segiba brzinom v kao i atom polarizacija elektri£nogpolja lasera je linearna i rotira. Uvodi se referentnisustav koji rotira tako da polarizacija uvijek imaisti smjer. U tom sustavu postoji ktivno magnet-sko polje koje je paralelno osi rotacije. Takav iner-cijalni £lan dovodi do vezanja stanja |1, 0〉 i |1,±1〉koje je proporcionalno s kv. Takvo vezanje nazivase neadijabatsko jer nestaje kada v → 0. U £lanku[6] je pokazano da vezanje uzrokuje neravnoteºu unaseljenostima izmeu |1,−1〉 i |1, 1〉 stanja:

Π+1 −Π−1 =40

17

kv

∆0, (10)

gdje su Π±1 populacije u stacionarnom stanju, a∆0 je energijski pomak atomskih prijelaza. Pret-postavimo da se atom giba prema z > 0 tako da jev > 0. Kako je frekvencija lasera manja od frek-vencije prijelaza slijedi da je i energijski pomak ∆0

negativan, a iz izraza (10) slijedi da stanje |1,−1〉ima ve¢u populaciju od stanja |1,+1〉.Iz Clebsch-Gordonovih koecijenata vidimo da

je za atom u stanju |1,−1〉 ²est puta vjerojatnije

da ¢e apsorbirati σ− foton koji se propagira premaz < 0 nego σ+ foton koji se propagira prema z > 0.Stoga sile na atom koje dolaze od interakcija s σ+

i σ− laserskih zraka ne¢e biti izjedna£ene. Kako zaatom koji se giba prema z > 0 i δ < 0 vrijedi da jeΠ−1 > Π+1 on ¢e s ve¢om vjerojatnosti aporbiratiσ− foton, a to rezultira promjenom impulsa atomau smjeru suprotnom od gibanja ²to dovodi do sma-njenja brzine, odnosno do hlaenja. Analogno vri-jedi za atome koji se gibaju u smjeru z < 0. Bitnoje naglasiti kako navedena sila nastaje zbog razlikeu populacijama, a ne zbog Dopplerovog efekta. Naslici III je prikazana ovisnost sile o brzini atoma.Plavom bojom ozna£ena je sila na atom u Dopple-rovom model, tj. u MOT-u dok je crvenom bojomprikazana sila na atom u sub-Dopplerovom modeluhlaenja. Razlika se uo£ava samo za male iznosebrzina te smo to podru£je pove¢ali i prikazali uumetku. Za male iznose brzine sub-Doppleova silana atom je linearna [6]

F = −αv, (11)

α =120

17

−δΓ5Γ2 + 4δ2

~k2. (12)

Kao vidimo na slici, u reºimu malih brzina sub-Dopplerova sila ima ve¢i nagib od Doppleove silepa je hlaenje u tom podru£ju ekasnije.

Slika 3. Ovisnost sub-Dopplerove sile na atom o br-zini. Prikazana je i ovisnost Dopplerove sile na atom obrzini te je u umetku prikazan reºim malih brzina. Ureºimu malih brzina obje sile imaju linearno pona²anje,no sub-Dopplerova sila ima ve¢i nagib pa je hlaenjeekasnije.

Ravnoteºna temperatura za prijelaz Jg = 1 →Je = 2 u 1D denirana je s [6]:

kBT =~Ω2

|δ|

[29

300+

254

75

Γ2/4

δ2 + Γ2/4

], (13)

4

(a) tTOF = 1.0 ms (b) tTOF = 2.5 ms (c) tTOF = 4.0 ms

(d) tTOF = 5.5 ms (e) tTOF = 7.0 ms (f) tTOF = 8.5 ms

Slika 4. Na slikama (a) - (f) prikazana je ekspanzija hladnog oblaka atoma rubidija za parametre δ = 18 MHzi I = 4.35 mW/cm2. Razli£ite boje odgovaraju intenzitetu uorescentnog signala, gdje je plavom bojom ozna-£en najmanji intenzitet. Za svako vrijeme ekspanzije na grafovima gore/desno prikazani su presjeci intenzitetauorescencije po osima x i z te prilagodba gaussijana na izmjerene vrijednosti.

gdje je Ω = Γ√I/Isat Rabijeva frekvencija, a I

je intenzitet laserske zrake za hlaenje, dok je Isatsaturacijski intenzitet. Iz izraza vidimo kako tem-peratura ovisi o frekventnom pomaku i intenzitetulasera za hlaenje te da raste linearno s porastomintenziteta laserske zrake.

IV. TEHNIKA VREMENA PROLETA

Temperaturu smo u eksperimentu mjerili ko-riste¢i tehniku vremena proleta (eng. time ofight, TOF). Vrijeme proleta odgovara vremenubalisti£ke ekspanzije oblaka koje se de²ava kadau t = 0 s isklju£imo laser za hlaenje i gradi-jent magnetskog polja pa na atome djeluje samosila teºa. Vrlo je bitna vremenska kontrola palje-nja i ga²enja lasera za hlaenje i magnetskog po-lja. Za kontrolu paljenja i ga²enja lasera koristimoakusto-opti£ke modulatore (AOM) £iji je principrada obja²njen u [8]. Osim toga pomo¢u AOM-akontrolirmo i frekvenciju laserskih zraka, tj. frek-ventni pomak. Hladni oblak sniman za razli£itavremena ekspanzije prikazan je na slici 4. Slikeprikazuju uorescenciju atoma u oblaku snimljenukamerom nakon ²to se oblak nakon odreenog vre-mena proleta obasja nakratko laserom za hlaenje

u vremenu jednakom vremenu ekspozicije kamereT0 = 0.3 ms. Rad magnetskog polja, lasera za hla-enje i kamere uskladili smo pomo¢u programskogpaketa Labview.Kamera je postavljena okomito na ravninu op-

ti£kog stola pa je na slikama je prikazana x − zravnina. Oblak se ²iri balisti£ki u x i y ravninidok u z smjeru postoji jednoliko ubrzano gibanjezbog akceleracije sile teºe. Oblak se u vremenu od10 ms zbog sile teºe spusti za otprilike 0, 6 mm.Oblak u po£etnom trenutku t = 0 s ima radijus σ0te pretpostavljamo da je po£etna raspodjela atomau prostoru gaussova:

P (x) =1√

2πσxexp

(− x2

2σ2x

). (14)

Kako je hladan oblak klasi£an plin, za njega vrijediMaxwell-Boltzmannova raspodjela brzina:

P (vx) =

(m

2πkBTx

)2

exp

(− mv2x

2kBTx

). (15)

Integracijom ukupne distribucije oblaka po pros-toru [9], dobivamo izraz koji govori o promjeni po-lumjera oblaka u vremenu:

σ(t) =

√σ20 +

kBT

mt2, (16)

5

gdje su σ(t) radijus oblaka u vremenu t, σ0 po£etniradijus oblaka, a m je masa atoma. Radijus oblakadobijemo iz prilagodbe Gaussijana na raspodjeluatoma. Kako bismo kona£no dobili temperaturu,lineariziramo izraz (16) pa iz nagiba pravca σ(t)2 =At2 + B izra£unamo temperaturu. Primjer grafaiz kojeg ra£unamo temperaturu dan je na slici 5.

Slika 5. Ovisnost kvadrata radijusa oblaka o kvadratuvremena.

V. TEMPERATURA ATOMA U

OVISNOSTI O FREKVENTNOM POMAKU

LASERA ZA HLAÐENJE

Mjerili smo ovisnost temperature atoma u ovis-nosti o frekventnom pomaku lasera za hlaenjeza interval frekventih pomaka od δ = −30 MHzdo −10 MHz s korakom od 2 MHz. Frekventnipomak smo mijenjali pomo¢u AOM-ova, tj. pro-mjenom frekvencije RF signala kojom se napajaAOM. Kako se intenzitet laserske zrake mijenjaza razli£ite vrijednosti frekvetnog pomaka, bilo jepotrebno izmjeriti snagu lasera nakon svake pro-mjene frekvetnog pomaka te namjestiti na pri-bliºno jednaku snagu. Snagu smo mjerili pomo¢umjera£a snage, a iz mjerenja ²irine zrake smo odre-dili intenzitet. U tehnici vremena proleta snimilismo 21 sliku od tTOF = 0 − 10 ms s korakom∆t = 0.5 ms. Nakon svake slike postoji vrijeme£ekanja twait = 1s koje odgovara vremenu po-trebnom za ponovno stvaranje oblaka. Za odre-eno vrijeme ekspanzije ponovili smo mjerenje petputa te smo snimili pozadinu kako bismo oduzeli²um. Svako mjerenje obraeno je na na£in opi-san u prethodnom poglavlju kako bismo izra£unalitemperaturu za dani frekventni pomak. Graf ovis-nosti temperature atoma u MOT-u o frekventnompomaku lasera za hlaenje prikazan je na slici 6.Na slici vidimo kako temperatura pada s poras-tom frekventnog pomaka lasera za hlaenje. Takvopona²anje je o£ekivano te smo na izmjerene po-

Slika 6. Ovisnost temperature hladnih atoma o frek-ventnom pomaku lasera za hlaenje. Prikazani su re-zultati mjerenja te prilagodba na izraz (13). Osimprilagodbe prikazana je i vrpca pouzdanosti u vrijed-nosti 95%. Govori nam da s pouzdano²¢u od 95 %moºemo re¢i da je stvarna srednja vrijednost tempe-rature unutar intervala pouzanosti za dani frekventnipomak. Radi usporedbe zelenom linijom prikazan jeteorijski model temperature za Dopplerovo hlaenje seksperimentalnim parametrima.

datke napravili prilagodbu koriste¢i teorijski mo-del dan relacijom (13). Prikazali smo i teorijskimodel Dopplerovog hlaenja kako bismo uspore-dili s modelom sub-Dopplerovog hlaenja te kakobismo odredili koje izmjerene temperature uistinujesu sub-Dopplerove. Dopplerova tempeatura zaatom rubidija iznosti TD = 146 µK, a od izmjere-nih temperatura sub-Dopplerove su one s frekvent-nim pomakom lasera za hlaenje δ = −30 MHzdo −16 MHz te iznose od T = (56.6± 0.8) µK do(145± 1) µK.

VI. TEMPERATURA ATOMA U

OVISNOSTI O INTENZITETU LASERA ZA

HLAÐENJE

Mjerili smo ovisnost temperature o intenzitetulasera za hlaenje. Koristili smo iste parametre zatehniku vremena proleta kao i u prethodnom po-glavlju. U ovom nizu mjerenja frekventni pomaklasera za hlaenje je bio konstantan te je iznosioδ = 16 MHz. Intenzitet zrake mjerili smo pomo¢umjera£a snage. Izmjerili smo temperaturu oblakaza intenzitete u rasponu I = 1.66−5.18 mW/cm2.Rezultat je prikazan na slici 7. Sa slike primje-¢ujemo kako temperatura raste linearno s pove¢a-njem intenziteta ²to je o£ekivano pona²anje. Osimo£ekivanog pona²anja postoji odsje£ak na osi kojisamim modelom (13) nije predvien. Kako u eks-

6

Slika 7. Ovisnosti temperature hladnih atoma o inten-zitetu laserske zrake za hlanje. Prikazani su rezultatimjerenja te prilagodba na izraz (13). Osim prilagodbeprikazana je i vrpca pouzdanosti u vrijednosti 95%.Govori kako s pouzdano²¢u od 95 % moºemo re¢i kakoje stvarna vrijednost temperature unutar intervala po-uzadnosti za dani intenzitet lasera za hlaenje.

perimentu ne koristimo dvije razli£ite zrake kojese propagiraju u suprotnom smjeru, nego retro-reektiranu zraku, intenziteti zraka nisu ujedna-£eni te je to jedan od mogu¢ih doprinosa odsje£kuna osi. Prikazan teorijski model (13) rezultat jepromatranja atoma s dvije razine, a mi proma-tramo rubidijev atom koji ima znatno komplici-raniju strukturu mogu¢e je da to takoer utje£ena iznos odsje£ka na osi. Osim navedenih raz-loga, postojanje odsje£ka na osi moºe uzrokovatii prisutnost neºeljenih magnetskih polja koja nisukompenzirana. Od izmjerenih temperature sub-Dopplerove se nalaze u intervalu intenziteta odI = 1.66 mW/cm2 do 3.93 mW/cm2 te iznose odT = (84± 1) µK do (142± 1) µK.

VII. ZAKLJUAK

U radu smo prou£avali sub-Dopplerovo hlae-nja atoma rubidija zarobljenih u magneto-opti£kojstupici. Detaljno je opisan princip σ+ − σ− sub-Dopplerovog hlaenja koje se koristilo u eksperi-mentu te je naveden teorijski model koji govorio ovisnosti sub-Dopplerove temperature o para-metrima atomskog sustava i lasera. Temperaturahladnih atoma mjerila se tehnikom vremena pro-leta. Za vremena ekspanzije oblaka od t = 0 msdo t = 10 ms kamerom smo snimili uorescencijuatoma iz £ega se izra£una radijus oblaka o vremenuproleta i temperatura oblaka.Izmjerena je ovisnost temperature o frekvent-

nom pomaku lasera za hlaenje u intervalu odδ = −30 MHz do −10MHz s korakom od 2 MHzte konstantnim intenzitetom lasera. Na slici 6 pri-kazni su rezultati mjerenja, a kako su rezultati o£e-kivani napravljena je prilagodba na teorijski modelte usporedba s Dopplerovim modelom. Dopplerovatemperatura za atom rubidija iznosi TD = 146 µK,a izmjerene sub-Dopplerove temperature se nalazeu intervalu od T = (56.6±0.8) µK do (145±1) µK.Izmjerena je ovisnost temperature o intenzitetu

lasera za hlaenje u intervalu od I = 1.66mW/cm2

do 5.18 mW/cm2 s konstantnim frekventnim po-makom lasera za hlaenje. Na slici 7 prikazanisu rezultati mjerenja. Iako rezultati pokazuju o£e-kivano linearno pona²anje, javlja se nezanemarivodsje£ak na osi koji samim modelom nije predvi-en. Mogu¢i razlozi su neujedna£enost intenzitetalaserskih zraka, kompliciranija struktura atoma uodnosu na teorijom predvieu strukturu te pos-tojanje neºeljenih magnetiskih polja. Izmjerenesub-Dopplerove temperature su u intervalu od T =(84± 1) µK do (142± 1) µK.

[1] T. P. Heavner et al., Metrologia 51, 174 (2014).[2] B. J. Bloom et al., Nature 506, 71 (2014).[3] I. Bloch, J. Dalibard, S. Nascimbène, Nature

Physics 8, 267 (2012).[4] N. anti¢, Lasersko hlaenje atoma, Diplomski rad,

PMF Zagreb (2012).[5] H. J. Metcalf, P. van der Straten, Laser Cooling

and Trapping, Springer, (1999).[6] J. Dalibard, C. Cohen-Tannoudji, J. Opt. Soc. Am.

B 6, 2023 (1989).

[7] C. Patrignani et al. (Particle Data Group), Chin.Phys. C 40, 100001 (2016).

[8] N. Neki¢, Dinamika hladnih atoma rubidija zato-£enih u magneto-opti£koj stupici, Diplomski rad,PMF Zagreb (2014).

[9] Y. Castin, K. Mölmer, Phys. Rev. Lett. 74, 3772(1995).