-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
1/213
1
UNIVERSITATEA TEHNICĂ ”GH. ASACHI” IAŞI
CONTRACT NR. 20 DIN 3 OCTOMBRIE 2005
O NOUĂ TEHNOLOGIE PRIVIND CREŞTEREA PRODUCTIVITĂŢII ŞI
CALITĂŢIIRULMENŢILOR – NTPR
ETAPA I : Studii privind necesitatea şi oportunitatea
introducerii în fabricaţie atehnologiei noi
Activitatea I.2 : Studii asupra tehnologiei de deformare
plastică
Colectiv:
- Universitatea Tehnică ”Gh. Asachi” Iaşi- Academia
Tehnică Militar ă Bucureşti- Universitatea „Ştefan
cel Mare” Suceava- Universitatea „Politehnica” Bucureşti
IAŞI – 20 decembrie 2005
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
2/213
2
CAPITOLUL I
STAREA DE TENSIUNE LA DEFORMAREA PLASTICĂ
1.1 Tensiune, tensiune normală şi tensiune
tangenţială
Se consider ă un corp, (figura 1.1) dintr-un material
continuu, omogen şi izotrop asupra
căruia acţionează un sistem de for ţe exterioare,
alcătuit din sarcinile 4321 ,,,
F F F F , din
sarcinile
distribuite 1q şi 2q şi din momentele concentrate
1 M şi 2 M . Sistemul de încărcare
menţine
corpul în echilibru. La echilibru, corpul opune sarcinilor o
rezistenţă dată de for ţele saleinterioare care
sunt dependente de condiţiile în care se află (starea
structurală, compoziţiachimică, temperatura, etc.).
Fig. 1.1. Determinarea elementelor torsorului for ţelor de
legătur ă într-o secţiune oarecare
Punerea în evidenta a sarcinilor într-o secţiune oarecare A-A se
poate faceconsiderând că se înlătur ă o parte a
corpului după această secţiune.
Pentru a r ămâne în echilibru o parte a corpului secţionat
trebuie introduse for ţele delegătur ă care erau în
masa corpului înainte de secţionare.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
3/213
3
Fig. 1.2. Vectorul tensiune şi tensiunile ce apar
într-o secţiune
Condiţia de echilibru static a păr ţii secţionate este ca
elementele torsoruluisistemului de for ţe interioare
faţă de un punct oarecare să fie egale şi de sens
contrar cu
componentele torsorului for ţelor exterioare aplicate
păr ţii izolate, faţă de acelaşi punct.Fie aria
elementar ă ∆A conţinută în secţiunea A - A şi
rezultanta for ţelor de
echilibru i F ∆ aplicată în punctul M al
ariei ∆A.
Raportul dintre rezultanta for ţelor interioare
i F ∆ şi aria ∆A se numeşte tensiune
medie nm P iar limita acestui raport când ∆A
tinde către 0 defineşte tensiunea reală din
punctul M al secţiunii de normală n .
dA
i F d
A
i F
A
nm P
A
n P =
∆
∆
→∆
=
→∆
= lim
0
lim
0
(1.1)
Vectorul n P ∆ se numeşte vector tensiune în
punctul M pentru un element de arie de
normalăn .
Vectorul tensiune poate fi descompus după direcţia n
şi după o direcţie din planul
tangent la secţiunea A - A. Cele două componente se
definesc ca tensiunea normală nσ şi
tensiune tangenţială nτ .
In afar ă de rezultanta i F ∆ , în punctul
M mai poate apărea si un moment i M ∆ .
Micromomentul nm , caracterizat prin relaţia (1.2) poate fi
descompus într-un momentnormal şi un moment tangenţial. In
majoritatea cazurilor de prelucrare prin deformare
plastică, examinarea condiţiilor de echilibru se face cu
neglijarea micromomentelor.
dAi M d
Ai M
Anm =
∆
∆
→∆= lim
0 (1.2)
Vectorul tensiune n P nu este funcţie numai de
punctul M considerat, ci şi de
orientarea secţiunii reprezentată prin tensorul normalei n
, adică n P = f(M, n ).
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
4/213
4
Pentru definirea tensorului tensiune într-un punct al unui corp,
acesta se
raportează la un sistem de axe Oxyz. Din acesta se
separ ă un paralelipiped elementar,orientat
după axele de coordonate, de trei laturi infinit mici dx, dy,
dz şi având unul din vârfuriîntr-un punct curent al corpului M (x,
y, z).
dAi M d
Ai M
Anm =∆
∆
→∆= lim 0 (1.3)
Pe cele trei feţe reciproc perpendiculare ce trec prin punctul M
apare câte un vector
tensiune care are o componentă normală iσ
şi două componente tangenţiale ijτ .
Există deci următoarele nouă componente ale
tensiunilor pe toate cele trei feţe ale paralelipipedului
elementar, care trec prin punctul M (figura 1.3.):
- pe faţa perpendicular ă pe Ox: xσ ,
xyτ , xzτ ;
- pe faţa perpendicular ă pe Oy: yσ ,
yxτ , yzτ ;
- pe faţa perpendicular ă pe Oz: zσ ,
zxτ , zyτ ;
-
Prin convenţie se admite drept pozitivă tensiunea
normală care exercită o acţiune de
întindere, iar negativă tensiunea normală ce produce o
acţiune de compresiune.Tensiunea tangenţială se
consider ă pozitivă când este orientată în
sensul pozitiv al axei
de coordonate cu care este paralelă, cu condiţia ca tensiunea
normală pe planul în careacţionează tensiunea
tangenţială luată în studiu să fie pozitivă.
Când lungimile dx, dy şi dz ale paralelipipedului elementar tind
spre zero, cele nouă componente menţionate mai sus
caracterizează starea de tensiuni în punctul M, definind
un
tensor σ T numit tensorul tensiune în acest
punct.
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= z yz xz
zy y xy
zx yx x
T σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
σ (1.4)
Fig.1.3 Tensiunile ce apar într-un punct material M.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
5/213
5
Dacă se presupune că ariile feţelor cubului sunt
suficient de mici, astfel încâtvariaţiile de tensiune pe aceste
suprafeţe să fie neglijabile se poate scrie:
.;; yz zy xy yx xz zx
τ τ τ τ τ τ ===
(1.5)
Această egalitate a tensiunilor tangenţiale se obţine din
condiţia de echilibru static alfor ţelor date pe feţele
cubului de aceste tensiuni. Prin urmare starea de tensiuni dintr-un
punctal corpului supus deformării plastice este complet
definită dacă se cunosc trei tensiuni
normale ( xσ , yσ , zσ
) şi trei tensiuni tangenţiale ( xyτ , yzτ
, zxτ ).
Starea de tensiuni dintr-un punct al corpului supus deformării
poate fi omogenă sauneomogenă.
Se consider ă că o stare de tensiune este
omogenă atunci când toate punctelecorpului asupra căruia
acţionează apar tensiuni identice. Dacă tensiunile nu
sunt identice stareade tensiune se
consider ă neomogenă.
Practic, datorită neuniformităţii distribuţiei
for ţelor pe suprafaţa corpului supusdeformării, cât şi
datorită neuniformităţii compoziţiei chimice, structurii şi
temperaturiiacestuia, procesele de deformare sunt realizate prin
stări de tensiune neomogene.
Cu toate acestea, pentru calcule practice, prin studiul
deformării la nivelulvolumelor elementare, considerate infinit mici
ş izotrope, starea de tensiune poate fi
admisă omogenă.
1.2 Vectorul tensiune pe o suprafaţă înclinată. Tensiuni şi
direcţii principale
Cele şase componente distincte ale tensorului tensiune, definite
pe trei suprafeţe planereciproc perpendiculare ce trec prin punctul
M(x, y, z), sunt suficiente pentru a determina
componentele vectorului tensiune pe orice secţiune plană ce
trece prin acest punct. In acest scop se consider ă
tetraedrul MABC, obţinut prin secţionarea
paralelipipedului elementar definit anterior cu un plan
înclinat, cu normala exterioar ă,definită prin parametrii
directori l, m, n (figura 1.4.).
Fig. 1.4 Vectorul tensiune şi tensiunile pe o
suprafaţă înclinată
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
6/213
6
Pe feţele laterale ale tetraedrului elementar MABC,
acţionează cele şasecomponente ale tensorului tensiune.
Atunci când distanţa de la punctul M la planul ABC tinde către
zero, vectorul
tensiune υ P şi componentele sale υ σ
şi υ τ reprezintă vectorul
tensiune pe
secţiunea de normală υ , oarecare, şi care
trece prin punctul M ( x,y,z ).Vectorul tensiune în funcţie de
componentele sale P x ,Py şi
P z pe axele decoordonate se poate
scrie:
k P j P i P P
z y x ++=υ . (1.6)
Valorile lui P x ,
P y şi P z pot fi
exprimate în funcţie de tensiunile ce lucrează pe
feţeletetraedrului elementar şi de cosinusurile directoare ale
secţiunii în care acţionează vectorultensiune, scriind
ecuaţiile de echilibru ale elementului de volum.
Ecuaţia de proiecţii pe axa x:
. MAB MAC MAC ABC P
zx yx x x τ τ σ
++=
Exprimând ariile feţelor perpendiculare ale tetraedrului în
funcţie de aria secţiunii ABCşi normala acesteia la care se mai
adaugă şi ecuaţiile de proiecţii pe axa y şi z se obţine:
zx yx x x nml P
τ τ σ ++=
zy y xy y nml P
τ τ τ ++= (1.7)
z yz xz z nml P
σ τ τ ++=
Se observă că aceste componente depind numai de
componentele tensorului tensiune şi
parametrii directori ai secţiunii.Relaţia (1.7 ) mai poate
fi scrisă:
{ } [ ]{ }nml
P P P
sauT P
z yz xz
zy y xy
zx yx x
z
y
x
⋅==σ τ σ
τ σ τ
τ τ σ
υ σ
Componenta normală υ σ a vectorului
υ P este proiecţia acestui vector pe
direcţia υ şi are relaţia de calcul:
z y x nP mP lP
++=υ σ (1 .8)
Mărimea componentei tangenţiale este diferenţa geometrica dintre
mărimea P şi
componenta υ σ .
( )222222 z y x z y x
nP mP lP P P P P
++−++=−= σ τ υ (1.9)
S-a ar ătat astfel că vectorul tensiune pe orice
suprafaţă plană ce trece prin punctulM(x, y, z) poate
fi exprimat prin componentele tensorului tensiune definit pe trei
secţiuni planereciproc perpendiculare, care trec prin acest
punct.
Dacă planul ABC se consider ă că este un
plan principal pe care vectorul tensiune,
υ P , este normal iar tensiunea tangenţială,
υ τ , este nulă, vectorul tensiune
poartă
denumirea de tensiune principală şi p P
σ σ υ υ == .
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
7/213
7
In acest caz componentele tensiunii principale pσ
pe cele trei axe de coordonate vor
fi:
p x l P σ =
p y m P σ = (1.10)
p z n P σ =
Înlocuind componentele P x , Py
şi P z date de relaţia (1.7) se obţine:
0=++− zx yx p x nml
τ τ σ σ
0=+−+ zy p y xy nml
τ σ σ τ (1.11)
0=−++ nml p z yz xz
σ σ τ τ
Considerând necunoscutele 1, m şi n, pentru ca sistemul de
ecuaţii (1.11) să admită soluţii diferite de cea banală,
este necesar ca determinantul său principal să fie nul.
( )( )
( )0=
−−
−=∆
p z yz xz
zy p y xy
zx yx p x
σ σ τ τ
τ σ σ τ
τ τ σ σ
(1.12)
Condiţia ∆= 0 reprezintă o ecuaţie de gradul trei în
pσ ca necunoscută, care se poate
scrie sub forma:
03213 =−+− I I I
p p p σ σ σ
(1.13)
unde coeficienţii 21 , I I şi
3 I au expresiile :
z y x I σ σ σ
++=1 222
2
zx yz xy x z z y y x I
τ τ τ σ σ σ σ σ σ
++−++= (1.14)
z yz xz
zy y xy
zx yx x
I σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
=3
Cele trei r ădăcini ale ecuaţiei (1.10)
reprezintă valorile tensiunilor normale
principale ale stării de tensiune şi se notează în
ordine descrescătoare a mărimii prin
1σ (tensiunea principală maximă), 2σ
(tensiunea principală intermediar ă) şi 3σ
(tensiunea principală minimă). Aceste tensiuni
depind numai de solicitarea corpului şi nu de sistemul decoordonate
la care se raportează.
Rezultă că nici coeficienţii I1, I2 şi I3 din ecuaţia
(1.10) nu depind de sistemul decoordonate ales şi ca urmare se
numesc invarianţi ai stării de tensiune.
Înlocuind pe rând cele trei valori ale tensiunilor principale
321 σ σ σ >> în
sistemul (1.11) se obţin trei serii de câte două ecuaţii
independente cu trei necunoscute (1, m,n).
Adăugând la fiecare serie de ecuaţii şi relaţia de legătura
dintre parametrii directoril2 + m2 + n2 = 1,
rezultă trei sisteme de câte trei ecuaţii având ca
necunoscute parametriidirectori ai direcţiilor principale. .
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
8/213
8
Fiecare sistem corespunde câte unei tensiuni normale principale,
aşa încât soluţia sareprezintă cosinusurile directoare ale
direcţiei pe care apare aceasta tensiune.
Se obţin astfel soluţiile 11 ,ml şi 1n pentru
direcţia lui 1σ , 22 ,ml şi 2n pentru
direcţia
lui 2σ şi 33 ,ml şi 3n pentru
direcţia lui 3σ .
Deoarece direcţiile principale sunt reciproc perpendiculare,
sistemul de coordonate se poate alege cu axele paralele cu
aceste direcţii; în acest caz tensiunile tangenţiale pe
feţele paralelipipedului elementar sunt nule, iar tensorul
stării de tensiune poate fi scris sub forma:
3
2
1
000000
σ
σ
σ
σ =T (1.15)
Invarianţii stării de tensiune capătă în acest sistem de
coordonate expresiile:
3211 σ σ σ ++= I
1332212
σ σ σ σ σ σ
++= I
3
2
1
3
000000
σ
σ
σ
= I (1.16)
In mod similar, faţă de un sistem de axe principale se
poate defini o suprafaţă de
normală υ ( 1, m, n ) în care componenta
tangenţială a vectorului să aibă
valoareamaximă.
Componenta normală a vectorului tensiune poate fi
definită cu relaţia:
32`1 nP mP lP P ++==
υ σ υ υ .în care 21 , P P
şi P 3 sunt proiecţiile vectorului tensiune pe
direcţiile principale.
Ţinând seama de relaţiile (1.4) şi de faptul că axele de
coordonate sunt direcţii principale (tensiunile tangenţiale ce
acţionează pe suprafeţele normale la aceste axe sunt nule)se
poate scrie:
32
22
`12 σ σ σ σ υ nml ++=
(1.17)
Folosind relaţia (1.6) în care se înlocuiesc componentele 21
, P P şi P 3 cu
valorile
corespunzătoare date de relaţiile (1.4) se obţine:
( ) ( ) ( )213222
22222
2122
2
σ σ σ σ σ σ τ υ
−+−+−= l nnmml ( 1.18 )
In particular secţiunea considerată poate fi
paralelă cu una din direcţiile principale(axa 3) n = 0
(figura 1.5) şi relaţia (1. 15 ) devine:
( )22122
2 σ σ τ υ −= ml sau
α ω σ
τ τ 2sin221 −±= (1.19)
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
9/213
9
Fig. 1.5 Secţiunea cu un plan paralel cu axa
principală 3
Pentru o stare de tensiune dată, caracterizată prin valori
cunoscute ale tensiunilornormale principale 1σ şi
1σ tensiunea tangenţială υ τ
variază cu unghiul α, atingându-şi
valoarea maximă pentru4
π α = şi
4
3π α = .
Aceasta rezultă din derivarea relaţiei (1.16) şi egalarea
acesteia cu zero.
0=α
τ υ
d
d sau ( ) 02cos21 =−
α σ σ din care rezultă că 4
π α = şi
4
3π α = .
Valoarea maxima a tensiunii tangenţiale este
221312 σ σ τ τ −±==
(1.20)
Indicele utilizat pentru τ indică direcţia
principală cu care este paralelă
secţiuneaconsiderată (n = 0). Rezultă că pe o
secţiune plană, paralelă cu una din direcţiile
principale, apar tensiuni tangenţiale maxime ca mărime
atunci când planul de secţiune bisectează interior sau
exterior unghiul diedru format de planele de coordonate care
seintersectează după direcţia principală
considerată, aceste tensiuni se numesc tensiunitangenţiale
principale şi sunt egale cu semidiferenţa tensiunilor normale
principale careacţionează pe planele principale bisectate.
;2
213
σ σ τ
−±= ;
231
2
σ σ τ
−±= ;
232
1
σ σ τ
−±=
Se observă că 0321 =++
τ τ τ .
Planele în care apar aceste tensiuni tangenţiale principale sunt
puse în evidenţă pecuburile elementare, raportate la
direcţiile principale, prezentate în figura 1.6.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
10/213
10
Fig. 1.6 Schemele planelor pe care
acţionează tensiunile tangenţiale principale
Dacă tensiunile normale principale îndeplinesc condiţia
321 σ σ σ >> , atunci
tensiunea tangenţială maximă cu valoarea cea mai mare
dintre cele trei perechi va
231
2max
σ σ τ τ −
±==
Tensiunea tangenţială maximă 2τ
prezintă importanţă pentru definirea
condiţiilorde plasticitate.
1.3. Tensiuni octaedrice
In teoria deformaţiilor plastice o importanţă
deosebită o prezintă componentelevectorului tensiune pe
o secţiune egal înclinată faţă de direcţiile principale
ale stării detensiune.
Reprezentând aceste secţiuni în cele opt cadrane ale sistemului
principal decoordonate se obţine un octaedru, de unde şi numele
componentelor menţionate mai sus detensiuni octaedrice.
Deoarece o faţă a octaedrului este egal înclinată
faţă de axele de coordonate (figura1.7.), parametrii
directori ai normalei ei sunt egali şi au valoarea:
3
1±=== nml (1.21)
Pe o suprafaţă înclinată, componenta normală a
vectorului tensiune va avea relaţia de
calcul dată de expresia (1.5) z y x
nP mP lP ++=υ σ
în care 11
σ l P P x == ; 22
σ m P P y == ;
33 σ n P P z ==
sau
32
22
12 σ σ σ σ υ nml ++=
.
Pe suprafaţa unui octaedru
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
11/213
11
mh σ σ σ σ σ
σ ==++
=3
3210 (1.22)
Fig. 1.7 Octaedrul şi tensiunile de pe suprafaţa
octaedrică
Tensiunea tangenţială pe o
suprafaţă înclinată are relaţia de calcul dată de
expresia(1.15):
Pe suprafaţa unui octaedru aceasta capătă forma:
( ) ( ) ( )2132
32
2
210 3
1σ σ σ σ σ σ τ −+−+−=
(1.23)
Se constată că tensiunea normală octaedrică,
0σ este egală cu media aritmetică
a tensiunilor normale principale,
adică reprezintă componenta hidrostatică a stării
de
tensiune ( h I
σ σ ==31
0 ).
Tensiunea tangenţială octaedrică, ţinând seama de relaţia
(1.17) mai poate fiscrisă sub forma:
23
22
210 3
2τ τ τ τ ++= (1.24)
Faţă de un sistem oarecare de coordonate, tensiunea
normală octaedrică r ămâne
egală cu tensiunea hidrostatică (31
0
I =σ ) iar tensiunea
tangenţială octaedrică ia forma:
( )2210 3231
I I −=τ
( ) ( ) ( ) ( )2222220 631
zx yz xy x z z y y x
τ τ τ σ σ σ σ σ σ τ
+++−+−+−= (1.25)
Se va demonstra ulterior că tensiunea tangenţială
octaedrică este direct
propor ţională cu energia
specifică modificatoare, înmagazinată în unitatea de
volum.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
12/213
12
1.4 Abaterea medie pătratică a unei stări de tensiune
date, faţă de
starea de tensiune echiaxială cea mai apropiată
In teoria plasticităţii, la studierea condiţiilor de apariţie şi
dezvoltare adeformaţiilor plastice ocupă un rol esenţial
principiul imposibilităţii apariţiei lor în cazul unei
stări de tensiune echiaxiale uniforme
σ σ σ σ === 321 de orice
intensitate.
Acest principiu este justificat de faptul că în cazul
stării echiaxiale nu există tensiuni tangenţiale pe nici o
faţă a elementului de volum infinit de mic şi
deformareamaterialului are loc f ăr ă forfecare. In
această situaţie este evident că posibilitatea
apariţieideformaţiilor plastice ale materialului trebuie
să fie determinată de valoarea abaterii stării detensiune
respective faţă de starea de tensiune echiaxială.
Această abatere poate fi caracterizată prin media
pătratelor diferenţelor dintretensiunile principale ale celor
două stări de tensiune considerate astfel:
( ) ( ) ( )[ ]231
32
2
2
1 σ σ σ σ σ σ
−+−+−=∆ (1.26)
în care: 1σ , 2σ , 3σ sunt tensiunile
principale ale unei stări de tensiune; σ este o tensiune
echiaxială oarecare.Să determinăm din relaţia 1.23
valoarea lui σ pentru care abaterea medie
pătratică
este minimă.Valoarea corespunzătoare a lui σ
reprezintă starea de tensiune echiaxială cea mai
apropiată de starea de tensiune dată.
Prin derivarea relaţiei (1.23) şi egalarea cu 0 a acesteia se
obţine:
( )[ ] 033
2321 =++−=
∆σ σ σ σ
σ d
d (1.27)
( ) mσ σ σ σ σ σ ==++=
032131
(1.28)
Derivata a doua a expresiei (1.24) este pozitivă şi prin
urmare 0σ σ = corespunde
unui minim al expresiei (1.23). Cu alte cuvinte, valoarea lui
σ determină starea de tensiuneechiaxială cea
mai apropiată.
Substituind această valoare a lui σ în relaţia
(1.23) se obţine următoarea valoare aabaterii medii pătratice
minime:
( ) ( ) ( )[ ]213232221min 91
σ σ σ σ σ σ −+−+−=∆
(1.29)
Această mărime poate fi folosită în teoria
plasticităţii drept criteriu al apariţiei şidezvoltării stării
plastice în punctul considerat al corpului deformat.
De asemenea valoarea minimă a abaterii medii aritmetice
α ∆ a unei stări de
tensiune date, faţă de starea de tensiune triaxială
egală cea mai apropiată
este propor ţională cu valoarea tensiunii
tangenţiale maxime în punctul considerat.
Dacă se notează α ∆ cu relaţia:
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
13/213
13
[ ]σ σ σ σ σ σ α
−+−+−=∆ 32131
(1.30)
în care σ este tensiunea principală a unei
stări de tensiune echiaxială
oarecare şi 123 σ σ σ ≤≤ o
stare de tensiune dată.
Valoarea minimă a lui α
∆ se obţine pentru2
σ σ = . Să presupunem de exemplu
că
12 σ σ σ ≤≤
( ) ;01 >−σ σ ( ) ;02
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
14/213
14
σ σ
σ
σ
000000
0 =T (1.34)
Tensorul sferic corespunde stării de tensiune prin care se poate
realiza schimbareavolumului corpului supus deformării,
f ăr ă schimbarea formei sale.
Un exemplu practic de deformare sub o stare de tensiune
caracterizată printr-un tensorsferic este introducerea unui
corp de formă sferică într-un lichid ce se află sub
presiune. Intoate punctele de pe suprafaţa exterioar ă a
corpului sferic vor acţiona for ţe care dau tensiuniegale cu
presiunea la care se găseşte lichidul.
Dacă asupra corpului sferic aflat sub presiune
hidrostatică se acţionează şi în sensulcomprimării sale
între două suprafeţe paralele, corpul sferic se va transforma
în elipsoid.
In felul acesta, starea de tensiune sub care se află
corpul permite atât schimbareavolumului (prin presiune
hidrostatică) cât şi schimbarea formei sale (prin tensiunile
decomprimare suplimentare).
Această stare de tensiune prin care se poate schimba forma
corpului se exprimă printr-un tensor ce poartă numele de
deviator al tensiunii:
0σ σ σ T T −=∆
(1.35)
Altfel spus, o stare de tensiune definită prin trei
tensiuni normale şi şase tensiuni
tangenţiale egale două câte două se poate descompune
într-o componentă sferică 0σ T şi o
nouă stare de tensiune caracterizată de σ ∆ .
Tensorul ce acţionează în cazul stării de tensiuni sferice
fiind tensiunea medie
aritmetică a tensiunilor normale (sau tensiune octaedrică)
ce defineşte starea de tensiune:
3 z y x
m
σ σ σ σ
++= =
3321 σ σ σ ++ (1.36)
rezultă deci că o stare de tensiune în general, poate
fi exprimată astfel:
m z yz xz
zym y xy
zx yxm x
m
m
m
z yz xz
zy y xy
zx yx x
σ σ τ τ
τ σ σ τ
τ τ σ σ
σ
σ
σ
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
−−
−+=
000000
(1.37)
Fig. 1.8 Reprezentarea grafică a deviatorului stării
de tensiune
Tensorul nou obţinut prin scăderea din tensorul iniţial a
tensorului sferic estetensorul deviator exprimat grafic în figura
1.8.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
15/213
15
In mod similar cu invarianţii stării de tensiune (
1 I , 2 I , 3 I ) definiţi prin
relaţiile
(1.11) se definesc şi invarianţii deviatorului de tensiune:
( ) ( ) (
)m zm ym xd I
σ σ σ σ σ σ −+−+−=1( )( ) (
)( ) ( )( ) 2222
zx yz xym xm zm zm ym ym xd I
τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
++−−−+−−+−−=
Dacă axele la care se raportează corpul coincid cu
axele principale relaţiile (1.35)capătă forma:
m z yz xz
zym y xy
zx yxm xd I
σ σ τ τ
τ σ σ τ
τ τ σ σ
−−
−=3
(1.38)
Dacă axele la care se raportează corpul coincid cu
axele principale relaţiile (1.35)capătă forma:
( ) ( ) ( ) mmmmd I I
σ σ σ σ σ σ σ 313211
−=−+−+−=
( )( ) ( )( ) ( )( ) 2222
zx yz xym xm zm zm ym ym xd I
τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
++−−−+−−+−−=
= 3
21
2
I I −
(1.39)
In teoria matematică a plasticităţii se foloseşte mult cel
de-al doilea invariant al
deviatoruluid I 2
Acesta poate fi considerat ca o generalizare matematică a
caracteristicilor stării de
tensiune într-un punct al unui corp deoarece pătratul
tensiunilor tangenţiale octaedrice
20τ
, pătratul valorii medii a tensiunilor tangenţiale din
jurul unui punct şi abaterea medie pătratică
minimă, min∆ , sunt propor ţionale cu cel de-al doilea
invariant al deviatorului tensiunilor.
Astfel, expresia luid I 2 din relaţiile (
1.35 ) prin transformare, ţinând seama că:
30 z y x
m
σ σ σ σ σ
++==
devine:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222222 66
1 zx yz xy x z z y y x
d I
τ τ τ σ σ σ σ σ σ
+++−+−+−= (1.40)
Într-un sistem de coordonate având drept axe direcţiile
principale, cel de-al doileainvariant are forma:
( ) ( ) ( ) ][6
1 213
232
2212 σ σ σ σ σ σ
−+−+−=
d I (1.41)
Comparând relaţia (1.38) cu expresia lui 0τ , (relaţia
1.20 ), cum2τ şi min∆
(relaţia 1.26) toate acestea sunt propor ţionale cu:
d I 220
3
2=τ
;
d m I 22
5
2=τ
;
d I 2min3
2=∆
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
16/213
16
In teoria plasticităţii o importanţă deosebită o are
mărimea denumită intensitatea
tensiunilor care se notează cu iσ , aceasta
mărime este propor ţională cu r ădăcina
pătrată din
cel de-al doilea invariant al deviatorului tensiunilor:
( ) ( ) ( ) ( )2222222 62
13
zx yz xy x z z y y x
d i I
τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ
+++−+−+−== (1.42)
Este evident că dacă luăm drept axe de coordonate
direcţiile tensiunilor principale(relaţia 8.39)
capătă forma:
( ) ( ) ( )2132
322
212
1σ σ σ σ σ σ σ
−+−+−=i (1.43)
1.6 Starea plană de tensiune
O stare de tensiune caracterizată de lipsa tensiunilor
paralele cu o axă decoordonate poartă denumirea de
stare plană de tensiune. Dacă axa pe care nu apar
componente ale stării de tensiune este axa z, atunci tensiunile
xσ , xyτ şi zyτ
de pe faţa
paralelipipedului sunt nule.
Conform principiului dualităţii tensiunilor tangenţiale sunt
nule şi tensiunile
xzτ şi zyτ . Starea de
tensiune r ămâne caracterizată numai de tensiunile
xσ , yσ şi xyτ
conţinute într-un plan perpendicular pe axa z (figura 1.9).
Fig. 1.9 Starea plană de tensiuneTensorul tensiune (1.3) se
reduce în acest caz la un tensor de ordinul unu:
y xy
yx xT σ τ
τ σ σ = (1.44)
Componentele vectorului tensiune în acest caz se determină
din particularizarearelaţiilor (1.4), astfel:
yx x x ml P
τ σ +=
y xy y ml P
σ τ +=
Tensiunea normală la secţiunea considerată
σ v se obţine din proiecţia vectorului
tensiune v P pe direcţia v :
y xv mP lP +=σ
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
17/213
17
Mărimea tensiunii τ v se obţine mai simplu proiectând
componentele P x şi Py
pe planul secţiunii şi rezultă:
y xv lP mP −=τ
Exprimând parametrii directori 1 si m în funcţie de unghiul a,
se obţin următoarelerelaţii:
α τ α σ sincos
yx x x P +=
α σ α τ sincos
y xy y P += (1.45)
α τ α σ σ σ σ
σ 2sin2cos22 xy
y x y xv +
−+
+=
α τ α σ σ
τ 2cos2sin2 xy
y xv +
−−= (1.46)
Procedând ca şi la starea spaţială de tensiune se obţin
tensiunile normale principale şi
tensiunile tangenţiale principale:
( ) xy y x y x 22
2,1 42
1
2 τ σ σ
σ σ σ +−±
+= (1.47)
( ) xy y x 2221
max 42
1
2 τ σ σ
σ σ τ +−±=
−±=
Un caz particular al stării plane de tensiune este forfecarea
pur ă sau tracţiunea -compresiunea biaxială.
Forfecarea pur ă este starea plană de tensiune
la care sunt nule toate tensiunile
normale (figura 1.10).
Fig. 1.10 Starea plană de forfecare
pur ă .
Tensorul tensiune are în acest caz următoarea forma:
0
0
xy
yxT τ
τ σ =
Valorile tensiunilor normale principale se determină cu
relaţia (1.44) în care
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
18/213
18
0== y x σ σ şi se
obţine:
xyτ τ ±=2,1 (1.48)
Starea de tensiune de forfecare pur ă este
echivalentă cu o stare plană de tensiune în
caretensiunile normale principale sunt egale ca mărime dar de semne
opuse.
Componenta sferică a tensorului stării de tensiune este
nulă şi deci tensorul sferic estenul, aşa încât prin
această stare de tensiune nu apare o modificare a volumului
corpului.
1.7 Ecuaţiile diferenţiale de echilibru
Se prezintă ecuaţiile diferenţiale de echilibru a
elementului de volum, în coordonatecarteziene, cilindrice sau
sferice, coordonate ce se aleg în funcţie de operaţia
tehnologică dedeformare plastică.
In coordonate carteziene . Considerând în volum elementar
de formă paralelipipedică de dimensiuni dx, dy, dz,
tensiunile de pe suprafeţele paralelipipedului se vordeosebi între
ele prin mărimi egale cu diferenţialele par ţiale ale
componentelor lor (figura1.11.)
Considerând elementul în echilibru şi neglijând for ţele de
iner ţie proprii, sumafor ţelor care acţionează pe
fiecare direcţie este nulă:
dxdydz z
dxdydxdzdy y
dydzdydzdx x
zx zx xy
xy xy x
x x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂++−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂++−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
τ τ τ
τ τ σ
σ σ -
0=dxdy zxτ Scriind în mod asemănător ecuaţiile
de echilibru si pe direcţiile y si z, reducând
termenii asemenea si împăr ţind la dx, dy, dz se obţin
ecuaţiile:
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z y x xz xy x
τ τ σ
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z y x yz y yx
τ σ τ (1.49)
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z y x
z zy zx σ τ τ
Ecuaţiile (1.49) mai poartă denumirea de ecuaţiile Cauchy
în coordonatecarteziene.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
19/213
19
Fig. 1.11 Echilibrul unui element de volum în
coordonate carteziene
Fig. 1.12 Echilibrul unui element de volum în coordonate
cilindrice
In coordonate cilindrice.
Considerând un element de volum situat într-un corp cilindric,
raportat la un sistem
de coordonate cilindrice ρ, θ şi z (fig.1.12), suma
proiecţiilor for ţelor ce acţionează pedirecţia ρ va
fi:
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
20/213
20
( ) −⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂++−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+ ρ θ ρ
τ τ θ ρ σ θ ρ ρ ρ
ρ
σ σ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
d d zdzd dzd d d
z z
02
2 =⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂++−−− dzd d dzd dzd
d z ρ
θ
τ τ θ ρ τ ρ τ ρ
θ σ
ρθ
ρθ ρ θρ θ
In această ecuaţie se consider ă pentru cazul
elementului de volum studiat
22sin
θ θ d d ≈ .
După unele transformări se ajunge la forma ecuaţiei de
echilibru pe axa ρ , la care seadaugă ecuaţiile pentru
axele θ şi z, deduse în mod analog:
( ) 011 =−+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂θ ρ
ρ ρθ ρ σ σ
ρ
τ
θ
τ
ρ ρ
σ
z z
021
=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂θρ
θ θ ρθ τ
ρ
τ
θ
σ
ρ ρ
τ
z
z (1.50)
011
=+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂θρ
θ ρ τ ρ
τ
θ
σ
ρ ρ
τ
z z z z
Ecuaţiile de echilibru ale elementului de volum în coordonate
cilindrice se potutiliza în studiul analitic al problemelor de
plasticitate, îndeosebi la prelucrarea prin
deformare a pieselor care au forme de revoluţie în raport cu o
axă. Astfel se poate obţine osimplificare a relaţiilor de
calcul.
In cazul în care starea de solicitare este axial
simetrică ( 0== ρθ θ τ τ
z ) ecuaţiile (1.47
) se pot scrie sub o formă mai simplă şi anume:
( ) 01 =−+∂
∂+
∂
∂θ ρ
ρ ρ σ σ
ρ
τ
ρ
σ
z z
0=+∂
∂+
∂
∂
ρ
τ σ
ρ
τ ρ ρ z z z
z (1.51)
Pentru problemele de solicitare plană, sistemul de coordonate
cilindrice setransformă într-un sistem de coordonate polare,
în care ecuaţiile (1.47) se scriu sub forma:
( )0
11=−+
∂
∂+
∂
∂
θ ρ
ρθ ρ σ σ
ρ θ
τ
ρ ρ
σ
021
=+∂
∂+
∂
∂θρ
θ ρθ τ ρ θ
σ
ρ ρ
τ (1.52)
In cazul unei stări plane de tensiune, axial simetrice (
0= ρθ τ ) relaţiile (1.49) se scriu
într-o singur ă ecuaţie astfel:
( ) 01 =−+∂
∂θ ρ
ρ σ σ
ρ ρ
σ (1.53)
ρ σ şi θ σ fiind în acest caz
tensiuni principale. In coordonate sferice. In cazul unor
probleme spaţiale simetrice, starea de tensiune se
poate studia cel mai comod în coordonate sferice.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
21/213
21
In acest sistem de referinţă, poziţia unui punct oarecare, este
dată de raza ρ şi decele doua unghiuri
θ şi φ (figura 1.13.).
Fig. 1.13 Sistemul de coordonate sferice
Ca şi în cazul anterior, se scriu ecuaţiile de echilibru în
coordonate sferice subforma:
0)2(1
sin
11=+−−+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂θ τ σ σ σ
ρ ρ
τ
θ ρ θ
τ
ρ ρ
σ ρθ ϕ θ ρ
ρϕ ρθ ρ ctg
( )( ) 031sin
11=+−+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ ρθ ϕ θ
θϕ θ ρθ
τ θ σ σ ρ ρ
τ
θ ρ θ
σ
ρ ρ
τ ctg (1.54)
Pentru cazul solicitării axial simetrice (când
= ρθ τ = ρϕ τ
=θϕ τ 0) sistemul de ecuaţii
(1.51) se scrie:
0)(2
=−+∂
∂θ ρ
ρ σ σ
ρ ρ
σ
0=∂
∂=
∂
∂
ϕ
σ
θ
σ ϕ θ (1.55)
ρ σ şi θ σ fiind
în acest caz tensiuni principale.
1.8. Schemele stărilor de tensiune
Prezentarea grafică prin tensiuni principale a unei stări
de tensiune într-un punct, portă
numele de schemă a stării de tensiune.In general, în timpul
procesului de deformare plastică are loc nu numai o schimbare
a
valorilor tensiunilor aplicate în infinitatea punctelor
materiale ale corpului ci şi semnul şi direcţia
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
22/213
22
acestor tensiuni. Insă în mai multe cazuri se poate admite
ca schema tensiunilor principale esteaceeaşi pentru toate punctele
materiale ale corpului şi caracterizează starea de tensiune
aîntregului corp supus deformării prin presiune.
Când toate tensiunile principale sunt diferite de zero apare o
stare de tensiune
spaţială, care poate fi de patru tipuri. Când una dintre
tensiunile principale este nulă, iar celelalte
diferite de zero, apare o stare de tensiune plană, care poate fi
de trei tipuri. De asemenea, cânddouă dintre tensiunile
principale sunt nule, va apare o stare liniar ă, care la
rândul ei poate fi dedouă tipuri. Deci se întâlnesc
nouă tipuri de scheme ale stărilor de tensiune prezentate
întabelul 1.1. si figura 1.14.
Tabelul 1.1 Caracterizarea schemelor stării de tensiune
1σ + -
σ 0 -
3σ 0 0Simbolul L2 PITipul Liniar ă
Plană Spaţială
Fig. 1.14. Reprezentarea grafica a schemelor stării de
tensiune
Din examinarea tabelului 1.1. se constată că schemele
de tensiune se pot înpăr ţi şi înalte două grupe mari în
funcţie de semnul pe care îl au tensiunile principale:
• scheme de tensiune cu tensiunile principale negative: L1, P1,
S1;
• scheme de tensiune cu tensiunile principale pozitive: L2, P3,
S4;
• scheme de tensiune cu semne diferite ale tensiunilor
principale: P2, S2, S3;
Schemele de tensiune liniare se întâlnesc mai rar în cadrul
proceselor de prelucrare
prin deformare plastică. Totuşi, în anumite condiţii, pot
apare şi scheme liniare ale stării detensiune. Astfel, la
deformarea prin întindere a unui corp cu lungime mult mai mare
decât
dimensiunile secţiunii transversale (întinderea sârmelor de
exemplu) apare schema detensiune L2. schema de tensiune L2 apare şi
când se supune o probă încercării la tracţiune îndomeniul de
tensiuni care nu produc apariţia gâtuirii probei.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
23/213
23
De asemenea schema de tensiune L2 mai apare la îndepărtarea
tablelor şi benzilor pemaşini cu role cât şi zonal la ambutisarea
tablelor (figura 1.15. zona B).
În ceea ce priveşte schema de tensiune L1 (comprimarea
uniaxială), aceasta poateapare în corpul supus deformării în
două cazuri:
- la comprimarea unei epruvete în lipsa frecări pe suprafeţele
de contact cu sculele
de deformare (caz teoretic);- la comprimarea unei epruvete cu
ajutorul unor scule conice (figura 1.16.) la care
unghiul conurilor (α) este egal cu unghiul de frecare φ=arctg µ,
în care µ este coeficientul defrecare pe suprafeţele de contact
dintre epruvetă şi sculele de deformare.
Fig.1.15 Schemele de tensiune ce apar în diferite zone ale
unui semifabricat ambutisat
Fig.1.16 Comprimarea unei epruvete prin schema de tensiune
LI folosind scule conice
Fig.1.16 Comprimarea unei epruvete prin schema de tensiune
LI folosind scule conice
In acest caz, egalitatea dintre α şi
β conduce la anularea efectului frecării
pesuprafeţele de contact.
Pentru starea de tensiune plană, se dau următoarele exemple
practice - schema de
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
24/213
24
tensiune Pl (comprimare biaxială), apare în cazul comprimării
unei epruvete paralelipipediceîntre două scule în formă
de pană, la care de asemenea, unghiurile penelor
α sunt egale cuunghiul de frecare φ.
In acest caz, deformarea trebuie să se efectueze într-un
dispozitiv care să asiguresprijinirea laterală a
epruvetei (figura 1.17).
În acest caz tensiunea pe direcţia z este dată de
for ţa de deformare (F), tensiunea pedirecţia x este
dată de reacţiunea dispozitivului la presiunea
exercitată de corpul deformat pe
pereţii acestuia, iar pe direcţia y tensiunea va fi
nulă ca urmare a anulării efectului frecării.Aceeaşi stare de
tensiune P1 se poate realiza şi prin comprimarea probei
paralelipipedice înlipsa dispozitivului de sprijinire laterală, dar
în acest caz tensiunea pe direcţia x este mult maimică decât
în cazul studiat anterior, deoarece aceasta se datoreşte numai
for ţelor de frecarede pe suprafeţele de contact care se opun
deformării pe direcţia x.
Schema plană de tracţiune biaxială P3 cu o oarecare
aproximaţie se poate admite că
apare în pereţii recipienţilor aflaţi sub presiune ridicată. În
acest caz, dacă se studiază o por ţiune
oarecare din peretele recipientului, aceasta va fi solicitată
la tracţiune pe întregconturul ei (figura 1.18), ceea ce
dă naştere la tensiuni principale doar pe direcţiile x şi
y.
Aproximaţia se datorează faptului că pe direcţia z
presiunii din recipient i se opune presiunea atmosferică,
apărând astfel şi pe această direcţie o tensiune. Diferenţa
mare dintre presiunea din recipient şi presiunea
atmosferică va da naştere unei tensiuni cu o
valoareneglijabilă în comparaţie cu valorile tensiunilor ce
apar în planul xOy.
Realizarea practică a schemei P2 ce cunoaşte numai pentru
un singur caz teoretic.
Acesta constă în comprimarea unei probe de forma celei
prezentate în figura 1.19. Tensiuneaσ din zona
înclinată a probei (produsă de for ţa de
deformare) se descompune in două
componente, din care zσ cu acţiune de
comprimare, iar xσ cu acţiune de tracţiune
a
punctului material.
Pentru schemele de tensiune spaţiale exemplele practice sunt
foarte multe, având învedere că marea majoritate a proceselor
de deformare plastică se realizează prin stări
detensiune spaţiale.
Astfel, schema de tensiune cu comprimare triaxială (SI) se
întâlneşte în procesele dedeformare plastică prin refulare,
laminare şi extruziune.
Fig.1.17 Comprimarea unei epruvete prin schema de
tensiune P1
Fig.1.18 Realizarea schemei detensiune P3 într-o
zonă a pereteluiunui recipient aflat sub presiune
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
25/213
25
In cazul refulării (comprimare între două suprafeţe plane
sau profilate) tensiunea principală 1σ este
dat ă de for ţa de deformare, iar tensiunile
2σ şi 3σ în planultransversal al corpului
deformat sunt date de către for ţele de frecare Ff de pe
suprafeţele de
contact, for ţe ce se opun deformării (figura1.20).Acelaşi
mod de apariţie a tensiunilor se întâlneşte şi în procesul de
laminare, unde
deformarea poate fi asimilată cu o succesiune de comprimări
din aproape în aproape pelungimea zonei de contact dintre laminat
şi cilindri. Astfel, tensiunea principală 1σ
este dată de for ţa de laminare (F) iar tensiunile
2σ şi 3σ , sunt date de for ţele de frecare
pedirecţia transversală (Ft) şi respectiv longitudinală
(Fl), care se opun deformării (figura1.21).
Fig. 1.21 Realizarea schemei de tensiune S1 la procesul
de laminare
La procesul de deformare prin extruziune, comprimarea
triaxială se realizează înzona de deformare (din
interiorul orificiului calibrat) sub acţiunea for ţei de
extrudare (F)
în direcţie axială, care dă naştere tensiunii principale
1σ şi a for ţelor de reacţiune datede pereţii
orificiului calibrat în plan transversal, care produc tensiunile
principale 2σ şi 3σ (f igura 1 .22).
In toate aceste exemple simbolizarea folosită pentru
tensiuni, corespundeaccepţiunii generale conform căreia 321
σ σ σ >>
Fig.1.19 Realizarea schemei de tensiune P2 (caz
teoretic)
Fig. 1.20 Realizarea schemei de tensiune S1 larefularea
unui corp cilindric
Fig. 1.22 Realizarea schemei de tensiune S1
la procesul de extruziune
Fig. 1.23 Realizarea schemei de tensiune S2 la procesul
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
26/213
26
Schema de tensiune cu comprimare pe două direcţii a axelor
de coordonate şi tracţiune pe cea de-a treia (S2) se
întâlneşte la:
-trefilarea şi tragerea sârmelor şi barelor, la care tensiunea
principală 1σ (de tracţiune)
este dată de for ţa de tragere (F), iar tensiunile
2σ şi 3σ (de comprimare), ca şi la
extruziune sunt date de către for ţele de reactiune ale
orificiului calibrat la apăsarea pe care o primeşte din partea
materialului supus deformării (figura 1.23).
-laminarea cu tracţiune în laminat, practicată în special
la fabricarea tablelor şi benzilor
la rece, unde pe direcţia longitudinală aplicându-se o
for ţă de tragere, tensiunea3
σ de la
laminarea convenţională îşi schimbă semnul devenind
pozitivă în timp ce tensiunilecelelalte r ămân
neschimbate (negative).
Schema de tensiune cu tracţiune pe două direcţii şi
comprimare pe cea de-a treia direcţiea axelor de coordonate (S3) se
întâlneşte zonal tot în procesul de ambutisare a tablelor
(figura1.15, zona C).
Ultima schemă de tensiune spaţială (S4) cu tracţiune
triaxială se întâlneşte în cazulepruvetelor supuse încercării
de tracţiune după apariţia gâtuirii. In zona gâtuirii,
for ţa ce
produce solicitarea la tracţiune a probei dă naştere
la o tensiune înclinată faţă de direcţia
for ţei,
care se descompune pe cele trei direcţii ale axelor de
coordonate în tensiunile principale 1σ , 2σ
şi 3σ ce acţionează în punctul material
de concurenţă al axelor decoordonate.
In legătur ă cu existenţa celor nouă scheme ale
stării de tensiune se subliniază că indiferent de tipul
schemei de tensiune, caracterul acesteia nu se va schimba
dacă seschimbă direcţia tensiunilor principale cu
condiţia însă a se menţine numărul şi sensulacestora
corespunzător unei anumite scheme de tensiuni. Pentru exemplificare
în figura 1.24se prezintă schema de tensiune S2 în toate
variantele ei posibile.
Fig. 1.24 Variantele posibile ale schemei de tensiune
S2
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
27/213
27
CAPITOLUL II
STAREA DE DEFORMARE IN PROCESELE DE PRELUCRARE PRIN
DEFORMARE PLASTICA
2.1 Starea de deformare într-un punct al corpului supus
deformării
Prin starea de deformare a unui corp supus acţiunii unor forte
exterioare se exprimă fenomenele geometrice ale procesului,
determinându-se criteriile care caracterizează schimbarea
formei corpului în timpul deformării sale.
In procesele de deformare plastică, toate punctele unui corp
metalic se deplasează,schimbându-şi astfel poziţiile lor
reciproce.
Având în vedere neuniformitatea distribuţiei for ţelor pe
suprafaţa corpului supusdeformării, cât şi neuniformitatea
compoziţiei chimice, a structurii şi temperaturii sale,deformaţiile
nu vor fi aceleaşi în toate punctele corpului.
Pentru a se asigura totuşi studierea proceselor de deformare în
condiţii izotrope serecurge, ca şi în cazul stării de tensiune la
studiul deformaţiilor volumelor elementareinfinit mici. Pentru ca
deformarea să fie compatibilă din punct de vedere
geometric, estenecesar să nu existe două particule care
să ocupe acelaşi loc în spaţiu şi de asemenea să nu se
producă spaţii goale în interiorul corpului. Pentru
satisfacerea acestor cerinţe
componentele deplasărilor pe cele trei direcţii ale axelor
decoordonate trebuie să varieze continuu de la un punct la
altul al corpului.Se consider ă un corp solid raportat la
un sistem triortogonal de axe Oxyz, un punct
curent al acestuia M, fiind determinat de vectorul de poziţie r
(figura 2.1).Acestui corp i se aplică un sistem echilibrat de
for ţe F1, F2, F3....Fn care nu modifică
cinematic poziţia corpului, acesta se deformează, punctele sale
materiale ocupând alte poziţii.Punctul M, considerat mai sus,
ocupă în starea deformată o nouă poziţie M', de
vector
de poziţie1
r . Vectorul r r u −=1
se numeşte vectorul deplasare al punctului curent M.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
28/213
28
k w jviuU ++=
unde u, v, w reprezintă componentele vectorului deplasare
U=f ( x,y,z ).In acelaşi corp dacă se
consider ă iniţial două puncte oarecare M si N,
aflate la distanta l
unul de altul, după deformare, punctele considerate
ocupă poziţiile M' si N', distanţa dintre elefiind notata cu
1'.
Diferenţa dintre distanţa 1' şi distanţa 1 se numeşte lungire
sau scurtare, după cum ∆leste pozitivă sau negativă.
∆l = l'-1 (2. 1)Raportul dintre variaţia de lungime ∆l şi
lungimea 1 poartă numele de lungire
sau scurtare specifica medie, mε , între punctele M
şi N.
l
l m
∆=ε (2.2)
Limita acestui raport atunci când distanţă dintre puncte
tinde la zero se numeşte lungiresau scurtare specifică în
punctul M, pe direcţia MN.
Mărimea ε poate fi definită şi pe direcţiile
axelor de referinţă, obţinându-se
deformaţiile xε , yε şi
zε .
In procesul deformării corpul capătă nu numai deformaţii
liniare cum sunt definitecele de mai sus, ci şi deformaţii
unghiulare.
Pentru definirea lor se consider ă un unghi oarecare
α f ăcut de două segmente MN şiML, care în urma
deformării se modifică, devenind α'.
Diferenţa mα ∆ între valoarea iniţială şi cea
finală a acestui unghi se numeşte lunecare
medie.
mα ∆ = α - α' (2.3)
Limita acestei diferenţe când punctele L şi N tind spre M
poartă numele de lunecare:
)(lim0,0
lim,
'α α α α −→→
=∆→
=∆ MN LM M N L
(2 .4)
Se defineşte lunecarea specifică, notată de obicei prin γ,
ca fiind lunecarea unui unghidrept. Conform relaţiei (2.4) ea este
pozitivă atunci când prin deformare unghiul drept scade
şinegativă în caz contrar.
Lunecarea specifică γ se identifică prin doi
indici, ce reprezintă direcţiile iniţiale careformează
unghiul drept. Conform relaţiei (2.4) ea este pozitivă atunci
când prin deformareunghiul drept scade şi negativă în caz
contrar.
Lunecarea specifica γ se identifică prin doi indici,
ce reprezintă direcţiile iniţiale careformează unghi
drept.
Astfel, lunecările specifice care apar într-un punct oarecare al
corpului între trei
direcţii paralele cu axele sistemului de referinţă se
notează cu xyγ , yzγ şi
zxγ .
Dacă se consider ă în corpul deformat un
paralelipiped elementar de laturi dx, dy şi dz,având unul din
vârfuri în M(x, y, z), în urma deformării corpului punctul M se
deplasează într-o
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
29/213
29
nouă poziţie M'(x+u, y+v, z+w) iar paralelipipedul se
deformează, modificându-şi atât laturilecât şi unghiurile
drepte.
Modificările dimensionale ale laturilor se apreciază prin
lungirile specifice
xε , yε şi zε pe
direcţiile de coordinate:
dx
dx x
∆=ε ; dy
dy y
∆=ε ; dz
dz z
∆=ε (2.5)
iar variaţiile unghiurilor drepte prin lunecările specifice
xyγ , yzγ şi zxγ .
Relaţia dintre componentele deformaţiei şi componentele
deplasării se poate obţinescriind legătura dintre deplasările
punctelor N,P şi Q şi deplasarea punctului M şi dezvoltareaîn serie
Taylor a expresiei deplasărilor U,V şi W în vecinătatea punctului M
cu neglijareainfiniţilor mici astfel:
dz Z
U dy
Y
U dx
X
U z y xU dz zdy ydx xU
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=+++ ),,(),,(
dz Z
V dy
Y
V dx
X
V z y xV dz zdy ydx xV
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=+++ ),,(),,( (2.6)
dz Z
W dy
Y
W dx
X
W z y xW dz zdy ydx xW
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=+++ ),,(),,(
ţinând seama de poziţiile particulare ale punctelor N,P şi Q
faţă de M (pentru N,dx=dz=0, pentru P, dx=dz=0 şi pentru Q,
dx=dy=0) din relaţiile (2.6) rezultă deplasările lor:
dx X
U U U N ∂
∂+= ; dy
Y
U U U P ∂
∂+= ; dz
Z
U U U Q ∂
∂+=
dx X
V V V N ∂
∂+= ; dy
Y
V V V P ∂
∂+= ; dz
Z
V V V Q ∂
∂+= (2.7)
dx X W W W N ∂∂+= ; dy
Y W W W P ∂∂+= ; dz
Z W W W Q ∂∂+=
Lungirile muchiilor MN = dx, MP = dy si MQ = dz pe direcţiile
axelor x, y şi z se obţin
Fig.2.2 Reprezentarea deformării într-un punct în planul
XOY
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
30/213
30
din relaţiile:
dx X
U U U U U dx
N M N ∂
∂=−=−=∆
dyY
V V V V V dy
P M P ∂
∂=−=−=∆
dz Z W W W W W dz
Q M Q ∂∂=−=−=∆
Expresiile lungirilor specifice xε , yε
şi zε rezultă înlocuind valorile lui
∆dx, ∆dy şi
∆dz în relaţia de definiţie a acestora (2.5):
x
u x ∂
∂=ε ;
y
v y ∂
∂=ε ;
z
w z ∂
∂=ε (2.8)
Pentru stabilirea legăturii dintre lunecările specifice şi
componentele deplasării seconsider ă proiecţiile a câte
două muchii ale paralelipipedului elementar, care trec
prin
punctul M, pe planul de coordonate cu care ele sunt
paralele iniţial.Astfel, dacă se notează cu α şi
β unghiurile dintre proiecţiile A'B' şi A' C' şi
direcţiile axelor Ox şi Oy, lunecarea specifică
xyγ , definită ca variaţie a unghiului
drept
BAC este:
xyγ =α+β
In triunghiurile A'B"B' şi A'C'C se pot scrie relaţiile:
( ) x x M N
x
v
dx
vdx x
vv
dxdx
V V
B A
BB
tg ε ε α +∂
∂
=+
−∂∂
+
=∆+
−
== 11
1'''
'
( ) y y M P
y
u
dy
dy y
uU
dydy
U U
C A
C C tg
ε ε β
+∂∂
=+∂∂
+=
∆+
−==
1
1
1'''
'''
In ipoteza deformaţiilor mici, lungirile specifice
xε şi yε sunt mult mai mici
decât
unitatea, iar unghiurile α şi β sunt şi ele foarte
mici încât tangenta poate fi aproximată prin unghi.
Astfel, relaţia (2.9) se poate scrie:
Y
U
X
V xy ∂
∂+
∂∂
=γ
Considerând în acelaşi mod şi proiecţiile muchiilor ce trec prin
M pe celelalte plane decoordonate se obţin şi celelalte relaţii
diferenţiale între deformaţiile specifice unghiulare
şideplasări:
Y
U
X
V xy ∂
∂+
∂∂
=γ ; Z
V
Y
W yz ∂
∂+
∂∂
=γ ; X
W
Z
U zx ∂
∂+
∂∂
=γ (2.10)
Ecuaţiile (2.8) şi (2.10) poartă denumirea ecuaţiile lui
Cauchy pentru deformaţii.Dacă se presupun cunoscute
componentele deformaţiilor liniare şi unghiulare într-un
punct curent M(x, y, z) al unui corp, definite
faţă de un sistem ortogonal oarecare OXyZ
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
31/213
31
se poate exprima lungirea specifică faţă de o direcţie
oarecare υ (l,m,n) precum
şi lunecarea specifică dintre această direcţie şi o
altă direcţie 1υ (/ 1 ,m 1 ,n 1 )
perpendicular ă pe ea în M.
Fig. 2.3 Deformarea distanţei dintre două puncte
infinit apropiate ale unui corpdeformat plastic
In acest scop, se consider ă în solidul deformat
două puncte infinit vecine, aflate
pe direcţia υ (l,m,n), M( x, y, z ) şi R ( x+dx,
y+dy, z+dz ) (figura 2.3).In urma deformaţiei, punctul M trece în
M' că pătând deplasările u,v şi w paralele
cu axele de coordonate, iar punctul R trece în R', deplasându-se
pe axe cu RU , RV şi RW
.
Mărimile acestor deplasări se obţin cu relaţiile (2.6). Lungirea
specifică υ ε pe direcţia
MR se calculează cu relaţia:
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
−≅
++−
=−
= 12
1
2)(
))((2
2'
2
22'
'
'''
ds
sd
ds
ds sd
ds sd ds
ds sd ds sd
ds
ds sd vε
Scriind mărimile lui d's şi ds în funcţie de proiecţiile lor pe
axele decoordonate, ţinând seama de relaţiile (2.6), (2.8) si
(2.10) se obţine:
zx yz xy z y xv
nl mnlmnml
γ γ γ ε ε ε ε +++++=222
(2.11)
Pentru determinarea lunecării specifice dintre direcţiile
perpendiculare
υ şi 1υ , 1υυ γ se scrie
condiţia de ortogonalitate dintre aceştia
01 =vv sau 0111 =++ nnmmll
In urma deformaţiei, elementele ds şi ds1 devin d's şi d's1
(figura 2.4) formând întreele un unghi dat de relaţia:
111sin
2cos)cos( '1
''1
''1
'1
''vvvvvvnnmml l s sd d
γ γ γ
π ≈=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=++=
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
32/213
32
Fig. 2.4 Lungirea specifică şi lunecarea
specifică de pe o direcţie în raport cu altă direcţie
Calculând parametrii directori'
1
'
, l l ,'
1
'
,mm ,'
1
'
,nn după unele transformări şi neglijândinfiniţii mici se
obţine:
)ln()()()(2 1111111111 ++++++++=
nl nmmnlmml nnmmll
zx yz xy z y xvv
γ γ γ ε ε ε γ (2.12)
2.2 Deformaţii specifice principale
Lungimea specifică V ε şi lunecarea
specifică 1vvγ definite cu ajutorul unei
corecţii
arbitrare 1v depind de parametrii directori 1, m, n, ai acestei
direcţii şi variază atunci când
direcţia se roteşte în jurul acestui punct.Ca şi la starea de
tensiune, există, pentru o stare dată de solicitare, anumite
direcţii pe
care lungi rea specifică atinge valori extreme şi între
care lunecarea specifică este nulă.Aceste direcţii
poartă numele de direcţii principale de deformaţie iar
lungirile specifice
corespunzătoare se numesc lungiri specifice principale.Pentru
determinarea acestor direcţii principale se pleacă de la
relaţia :
zx yz xy z y xv
nl mnlmnml
γ γ γ ε ε ε ε +++++=222
în care se consider ă că V ε
este o
lungire
specifică principală. zx yz xy z y x
nl mnlmnml nml
γ γ γ ε ε ε ε
+++++=++
222222 )(
unde l,m şi n sunt prametrii necunoscuţi ai direcţiilor
principale.Condiţia de extremum pentru ε este
echivalentă cu determinarea soluţiei de
extremum liber pentru funcţia:
( ) ( ) ( )
zx yz xy z y x
nl mnlmnml nml F
γ γ γ ε ε ε ε ε ε
+++−+−+−= 222),,(
Prin egalarea cu zero a derivatelor par ţiale ale lui F în
raport cu 1, m şi n, se obţinesistemul:
( ) 02 =++− zx xy x nml
γ γ ε ε
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
33/213
33
02 =+−+ zy y xy nml
γ ε ε γ (2.13)
( ) 02 =−++ nml z yz xz
ε ε γ γ
Pentru ca sistemul să admită soluţie diferită
de soluţia banală este necesar cadeterminantul principal al
sistemului să fie nul.
0
22
22
22
=
−
−
−
=∆
ε ε γ γ
γ ε ε
γ
γ γ ε ε
z yz xz
zy y
xy
xz xy x
(2.14)
Această condiţie reprezintă o ecuaţie de gradul trei
în ε care poate fi pusă subforma:
0322
13 =−+− J J J
ε ε ε (2.15)
unde 1 J , 2 J şi 3 J
sunt daţi de relaţiile :
z y x J ε ε ε
++=1
( )2222 41
zx yz xy x z z y y x J
γ γ γ ε ε ε ε ε ε
+++++=
z yz xz
zy y
xy
xz xy x
J
ε γ γ
γ ε
γ
γ γ ε
22
22
22
3 = (2.16)
Ca şi în cazul stării de tensiune, direcţiile principale de
deformaţie depind numai decorpul considerat şi de sarcinile la care
este supus, nedepinzând de alegerea sistemului de
referinţă, deci coeficienţii 1 J , 2 J
şi 3 J sunt invarianţi şi se numesc
invarianţii stării de
deformare.
Ecuaţia (2.15) are trei r ădăcini reale care
reprezintă lungirile specifice
pr incipale, nota te pr in 1ε , 2ε , 3ε
şi 1ε ≥ 2ε ≥ 3ε .
Pentru determinarea direcţiilor principale de deformaţie se
consider ă două din ecuaţiilesistemului (2.13) la
care se ataşează relaţia de interdependenţă a
parametrilor
directori, l2+m2+n2=l, obţinându-se un sistem neomogen de trei
ecuaţii, în l,m şi nnecunoscute.
Înlocuind pe rând pe cu valorile sale ε1 , ε2 şi
ε3 se obţin trei seturi de soluţii alesistemului
l l ,m1 ,n1 ,l 2 ,m2 ,n2 şi
I 3 ,m3 ,n3. Aceste soluţii reprezintă
parametrii directori ai celor treidirecţii principale de
deformaţie.
In raport cu direcţiile principale, deformaţiile specifice pe o
direcţie oarecare date derelaţiile (2.11) şi (2.12) devin:
23
22
21 nml v ε ε ε ε ++=
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
34/213
34
( )13121121 nnmmll vv ε ε ε γ
++= (2.17)
Pentru direcţiile perpendiculare pe planele octaedrice (planele
de egală
înclinare, faţă de axele principale) pentru care l=m=n=
3/1 se obţine
următoarea deformaţie specifică liniar ă:
z y xm J
ε ε ε ε ε ε ε ε
++==++== 3)(
31 13210 (2.18)
Lunecările specifice din punctul curent M (x,y,z) au valori
extreme pe planele ce bisectează diedrele principale şi
sunt determinate de relaţiile:
( )321 ε ε γ −±= ; ( )312
ε ε γ −±= ; ( )213
ε ε γ −±= (2.19)
Pe direcţiile între care apar lunecările specifice principale
apar următoarele lungirispecifice:
( )32'1
2
1ε ε ε += ; ( )31
'2
2
1ε ε ε += ; ( )21
'3
2
1ε ε ε += (2.20)
2.3 Tensorul deformaţie şi analogia cu tensorul tensiune
S-a ar ătat că vectorul deplasare U de componente
u,v,w poate servi la
determinarea deformaţiilor liniare z y x
ε ε ε ,, şi a celor unghiulare xyγ ,
yzγ , zxγ , yxγ ,
zyγ , xzγ
într-un punct al unui corp deformat.
Se observă că lunecările specifice se notează cu
doi indici ca şi tensiunile tangenţiale.
Ordinea de scriere a indicilor este dată de direcţia de
rotaţie produsă de deplasare:astfel dacă o muchie,
paralelă in iţial cu axa x se roteşte spre axa y, alunecarea
se
notează xyγ , iar dacă prin deformare,
muchia paralelă iniţial cu axa y se roteşte spre axa x,
lunecarea specifică se notează yxγ
. Dacă unghiul de rotire al elementului de rotire
este
acelaşi, atunci deformaţiile xyγ şi
yxγ şi prin urmare stările de tensiune rezultante
sunt şi ele
egale în cele două cazuri menţionate, deoarece este uşor
să se treacă de la un caz la altul printr-o rotaţie
rigidă, care nu presupune deformaţie aşa cum se prezintă în
figura 2.5.
Fig.2.5 Rotaţia rigidă a unui element de volum în
planul xOy
In felul acesta fiecare lunecare specifică xyγ
sau yxγ poate fi
considerată
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
35/213
35
compusă din două componente egale 1 /2
xyγ , 1 /2 yxγ ( 1 /2
xyγ = 1/2 yxγ ).
Din cele prezentate rezultă că deformarea într-un
punct al unui corp aflat într-o stare detensiune poate fi
determinată prin nouă componente: trei deformaţii
specifice liniare şi şasedeformaţii specifice unghiulare, egale
două câte două.
Aceste nouă componente prezentate sub forma unei matrice,
poartă numele de tensoruldeformaţiei:
z yz xz
zy y xy
zx yx x
T
ε γ γ
γ ε γ
γ γ ε
ε
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
= (2.21)
Starea de deformare într-un punct va fi deci pe deplin
determinată dacă se cunoaşte
tensorul deformaţiei în punctul respectiv.Proprietăţile
tensorului deformaţiei sunt analoage cu cele ale tensorului
tensiune.Faţă de un sistem de axe principale de deformare,
cărora le corespund
deformaţiile principale 1ε , 2ε , 3ε
tensorul deformaţiei se prezintă astfel:
3
2
1
00
00
00
ε
ε
ε
ε =T (2.22)
Lipsa deformaţiilor unghiulare conduce în cazul deformării unui
cub cu laturile pedirecţiile principale, la obţinerea unui
paralelipiped.
Aplicând legea constanţei volumului la deformarea unui
paralelipiped elementar cu
dimensiunile iniţiale dx,dy şi dz, şi dimensiunile finale dx+
xε dx, dy+ yε dy; dz+ zε dz
rezultă:
dv-dv'=dxdydz- dx(l+ xε )dy(l+ yε )dz(l+
zε )=0
sau dxdydz=dx(l+ xε )dy(l+ yε )dz(1+
zε );
de unde:
(1+ xε )(1+ yε )(1+ zε
)=1 (2.23)Rezovând ecuaţia (9.23 ) şi neglijând termenii
infinit mici de ordinul doi şi trei, se
obţine:
xε + yε + zε =0
respectiv:
1ε + 2ε + 3ε =0 ( 2.25 )
Deci în cazul deformării plastice, cu menţinerea constantă
a volumului deformat sumadeformaţiilor specifice liniare pe cele
trei direcţii principale este egală cu zero.
Rezultă că deformaţia
specifică liniar ă medie este egală cu zero,
deci şi tensorul specifical deformaţiei va fi tot egal cu zero.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
36/213
36
000
0000
0 ==
m
m
m
T ε
ε
ε
ε (2.26)
Cunoscându-se că ε T =0, va rezulta
că valoarea deviatorului deformaţiei, care
caracterizează schimbarea formei corpului supus
deformării, este egală cu valoareatensorului deformaţiei:
m
m
m
m
m
m
T T ε ε
ε ε
ε ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε ε
−−
−=−=−=∆
3
2
1
3
2
10
000000
000000
000000
Deci ε ε T =∆ (2.27)
Prin analogia dintre tensorii tensiunilor şi ai deformaţiilor
exprimaţi în raport cudirecţiile principale se poate scrie:
3321
0
σ σ σ
σ
++
= 3321
0
ε ε ε
ε
++
=
( ) ( ) ( )231222
32222
2122
0 σ σ σ σ σ σ τ
−+−+−= l nnmml (2.28)
( ) ( ) ( )2312
322
210 3
2ε ε ε ε ε ε γ −+−+−=
221
3
σ σ τ
−±= ; 21312 ε ε γ γ
−±==
231
2
σ σ τ
−±= ; ( )31213 ε ε γ γ
−±== (2.29)
232
1
σ σ τ
−±= ; ( )32123 ε ε γ γ
−±==
Dacă se notează: ( ) ( ) ( )2312
322
213
2ε ε ε ε ε ε ε
−+−+−=i (2.30) mărime numită
intensitatea deformaţiilor, atunci deformarea
specifică unghiular ă din planul octaedric, 0γ
,
mai poate fi exprimată şi prin relaţia: iε γ
20 = (2.31).
2.4 Schemele stării de deformare
Ţinând seama că la deformarea plastică a corpurilor
se consider ă că în mod practicvolumul acestora nu
se modifică, rezultă că nu pot exista stări de deformare
caracterizate dedeformaţii specifice principale cu acelaşi semn,
deoarece în acest caz suma acestora nu va maifi egală cu zero.
Rezultă deci, că întotdeauna deformaţia
specifică principală maximă va fiegală cu suma
celorlalte deformaţii specifice principale.
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
37/213
37
In consecinţă, variantele posibile pentru schemele de deformare
vor fi analoage celortrei scheme de tensiune caracterizate de
tensiuni principale cu semne diferite (P2, S3 şi S2 ).
Fig. 2.6 Schemele stării de deformare
Astfel poate exista o schemă de deformare plană şi
două scheme de deformarespaţială.
Aceste scheme pot fi caracterizate astfel (figura 2.6):
- schema I ∆ - (schema spaţială) este
caracterizată de micşorarea dimensiunii
corpului pe o direcţie (deformaţie specifică negativă) şi
creşterea corespunzătoare a
dimensiunilor pe celelalte două direcţii ale axelor de
coordonate (deformaţii specifice pozitive);- schema II ∆
- (schema plană) este caracterizată de două deformaţii
specifice
egale şi de semne contrare respectiv micşorarea dimensiunii
corpului pe o direcţiecorespunzător cu creşterea dimensiunii pe a
doua direcţie, în timp ce deformaţia specifică
pe cea de-a treia direcţie a axelor principale va fi
nulă;
- schema III ∆ - (schema spaţială) este
caracterizată de micşorarea
Dimensiunilor corpului pe două direcţii (deformaţii
specifice negative) şi creştereacorespunzătoare a dimensiunii pe
cea de-a treia direcţie a axelor principale (deformaţie
specifică pozitivă).La aceste scheme de deformare, prin
săgeţi se indică direcţiile în care au locdeformările,
respectiv direcţiile în care se deplasează particulele
corpului în timpul deformăriisale.
Dintre procesele de deformare plastică prin care se pot
realiza aceste trei scheme alestării de deformare se
menţionează următoarele:
- pentru schema I ∆ : refularea, lăţirea, calibrarea
în matriţă,umflarea, laminarea
benzilor şi profilelor înguste, etc.
- pentru schema II ∆ : matriţarea în matriţe cu
lăţimea cavităţii egală cu lăţimeasemifabricatului, laminarea
tablelor şi benzilor late, etc.
- pentru schema III ∆ : extruziunea, trefilarea
şi tragerea, etc.
Schema III D
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
38/213
38
2.5 Viteza de deformaţie
Viteza de deformaţie reprezintă variaţia deformării
specifice a unui corp supus unorfor ţe exterioare, în unitatea
de timp, sau variaţia volumului specific al unui corp deformat,
în
unitatea de timp:
(2.32)
Valorile absolute ale deformaţiilor specifice pe cele trei
direcţii nu pot caracterizaviteza de deformaţie, deoarece acestea
în diferite etape ale procesului de prelucrare pot fiegale, iar
vitezele de deformaţie diferite ca urmare a diferenţei ce poate
exista întredimensiunile de referinţă ale corpului deformat
în etapele de deformare respective. Din
această cauză pentru caracterizarea vitezei de
deformaţie se folosesc deformaţiile specifice, caredau valori
relative şi pentru vitezele de deformaţie.
Plecând de la relaţia xu x ∂∂=ε şi
înlocuind în expresia (2.32) se obţine:
dx
dv
t
u
dx
d
dt
X
U d
dt
d x x x =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∂∂
=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∂∂
==• ε ε (2.33)
în care: xdvt
u=
∂∂
, reprezintă variaţia în timp a componentei pe axa x a
vectorului deplasare a
unui punct material al corpului deformat şi
poartă denumirea de viteză de deformare. Aceastaîn unele
procese de prelucrare prin deformare este egală cu viteza
sculei (cum ar fi exemplude refulare).
Din relaţia (2.33) rezultă că viteza de deformaţie
depinde direct propor ţional de vitezade deformare şi invers
propor ţional de dimensiunea corpului pe direcţia
deformaţiei.
In mod similar şi pentru celelalte direcţii ale sistemului de
coordinate se obţin vitezede deformaţie :
dy
dv y y =ε şi
dy
dv y y =ε (2.34)
In cazul unei deformări uniforme relaţia (2.24) se poate
scrie:
t
ε ε =•
(2.35)
iar relaţiile (2 .25) şi (2. 26) obţin forma:
0 x
v x x =•
ε ;0 y
v y y =•
ε ;0 z
v z z =•
ε (2.36)
Starea de deformare fiind caracterizată şi de deformaţii
specifice unghiulare,
acestora din urmă le vor corespunde de asemenea şase
componente ale vitezei dedeformaţie unghiulare egale două câte
două:
vdt
dv
dt
d ==
ε ε
'
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
39/213
39
dt
d xy xy
γ γ =•
;dt
d yz yz
γ γ =•
;dt
d zx zx
γ γ =•
dt
d yx yx
γ γ =•
;dt
d zy zy
γ γ =•
;dt
d xz xz
γ γ =•
(2.37)
••
= yx xy γ γ ;
••
= zy yz γ γ ;
••
= xz zx γ γ In
concordanţă cu relaţiile (2.10) rezultă că vitezele
de deformaţie unghiular ă depind de
vitezele de deformare şi dimensiunile corpului
supus deformării plastice:•••
+=+=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
== yx xy y x xy
xy dx
dv
dy
dv
x
v
y
u
dt
d
dt
d γ γ
γ γ
2
1
2
1
respectiv:
•••
+=+== zy yz z y yz
yz dy
dv
dz
dv
dt
d γ γ
γ γ
2
1
2
1
•••
+=+== xz zx x z zx
zx dz
dv
dx
dv
dt
d γ γ
γ γ
2
1
2
1 (2.38)
Rezultă că viteza de deformaţie într-un punct al
unui corp supus deformării se poatedetermina tot prin
nouă componente (trei liniare şi şase unghiulare, egale între
ele două câtedouă) care de asemenea pot fi prezentate, prin
analogie cu starea de deformare sau cu stareade tensiune, printr-o
matrice care poartă numele de tensorul vitezei de
deformaţie:
•••
•••
•••
=•
z yz xz
zy y xy
zx yx x
T
ε γ γ
γ ε γ
γ γ ε
ε
2
1
2
12
1
2
1 2
1
2
1
(2.39)
Tensorul vitezei de deformaţie este identic în acelaşi timp cu
deviatorul vitezei dedeformaţie, având în vedere că
deformarea are loc cu menţinerea volumului constant,căruia îi
corespunde:
( ) 03
13210 =++== ε ε ε ε ε m
respectiv 00 =ε T .
Si pentru vitezele de deformaţie, prin analogie cu starea de
tensiune şi starea dedeformare pot exista direcţii pentru care
vitezele de deformaţie unghiulare corespunzătoaresunt nule. In
acest caz vitezele de deformaţie liniare corespunzătoare vor fi
viteze de
deformaţie principale ( )321 ,, ε ε ε ,
pentru care tensorul vitezei de deformaţie se prezintă
astfel:
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
40/213
40
•
•
•
=
3
2
1
00
00
00
ε
ε
ε
ε T (2.40)
De asemenea pot apare şi viteze de deformaţie unghiulare
principale pe plane a cărornormală formează cu una din
direcţiile axelor de coordonate un unghi de 90°, iar cu
celelaltedouă direcţii unghiuri de 45°.
Intre aceste viteze de deformaţie unghiular ă şi
vitezele de deformaţie
liniar ă principală există relaţiile:
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −±=
•••
2112 ε ε γ ; ⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −±=
•••
3223 ε ε γ ; ⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −±=
•••
3113 ε ε γ (2.41)
Analogia între starea de deformare şi viteza de deformaţie,
într-un punct al corpuluisupus deformării, se poate extinde şi
pentru determinarea invarianţilor tensorului vitezei dedeformaţie
octaedrică liniar ă şi unghiular ă, a
intensităţii vitezei de deformaţie cât şi lareprezentarea
grafică a schemelor vitezelor de deformaţie principale (figura
2.7).
Fig. 2.7 Schemele vitezelor de deformaţie principale
2.6 Ecuaţiile deformaţiilor de compatibilitate
In afar ă de ecuaţiile fundamentale de echilibru
stabilite (1.46) stările de tensiune şideformaţie trebuie
să satisfacă şi aşa numitele condiţii de compatibilitate
sau de continuitate.
Conform acestora, deformaţiile specifice şi derivatele lor
trebuie să fie funcţii continue(derivabile) în interiorul
corpului pentru ca în timpul deformării să nu
apar ă discontinuităţi dematerial în punctele
acestuia.
In această idee dacă se scriu derivatele
par ţiale de ordinul doi ale lunecărilorspecifice în raport cu
direcţiile între care se produc ele se obţine:
2
2
2
22
x y y x y x xy
∂
∂+
∂∂
=∂∂
∂ ε ε γ 2
2
2
22
z y z y y z yz
∂∂+
∂∂=
∂∂∂ ε ε γ
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
41/213
41
2
2
2
22
z x z y x z zx
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
∂ ε ε γ (2.42)
Prin derivarea de două ori a lungirilor specifice în
raport cu cele două direcţii perpendiculare pe direcţia
lungirii şi prin gruparea convenabilă a termenilor se obţin
relaţiile:
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
∂∂
=∂∂
∂
x y z x z y yz zx xy x
γ γ γ ε 22
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
∂∂
=∂∂
∂
y z x y z x zx xy yz y
γ γ γ ε
22 (2.43)
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
∂∂
=∂∂
∂
z x y z y x xy yz zx z
γ γ γ ε 22
Ecuaţiile (2.42) şi (2.43) reprezintă ecuaţiile de
compatibilitate ale deformaţiilor şise mai numesc şi ecuaţiile
continuităţii ale lui Saint-Venant.Conform acestor ecuaţii un corp
compact şi continuu înainte de deformare r ămâne
compact şi continuu şi după deformare. Primul grup de
relaţii exprimă continuitateacurburilor fibrelor corpului
deformat iar al doilea grup continuitatea unghiurilor relative
de r ăsucire .
-
8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică
42/213
42
CAPITOLUL 3
STAREA PLASTCA A MATERIALELOR
3.1 Teoria plasticităţii – istoric şi importanţă
Teoria, plasticităţii se ocupă cu studiul comportării
materialelor în zona de
deformaţii specifice, situată dincolo de cea în care este
valabilă legea lui Hooke.Descrierea matematică a
deformării plastice a metalelor nu este atât de bine dezvoltata
precum este cea a deformaţiilor elastice cu ajutorul
teoriei elasticităţii, deoarece
fenomenul deformării plastice este mult mai complicat decât cel
al deformării elastice.
De exemplu, în zona deformaţilor plastice nu există o
relaţie simplă între tensiune şi
deformaţia specifica, aşa cum există în cazul
deformaţiilor elastice. Mai mult,
deformaţia elastică depinde numai de stările
iniţială şi finală de tensiune, fiind
independentă de modul de variaţie a sarcinii, în timp ce în
domeniul plastic deformaţiaspecifică plastică depinde nu
numai de mărimea sarcinii finale, ci şi de modul cum ea m
variat pentru a atinge această valoare.
Teoria plasticităţii se ocupă de mai multe genuri de
probleme. Din punctai de
vedere al proiectării, plasticitatea se ocupă de
determinarea sarcinii maxime ce poate fi
aplicată asupra unui corp, f ăr ă a
produce o deforma ţie plastică excesivă. Criteriul de
plasticitate, trebuie exprimat in funcţie de tensiuni, în
aşa fel încât să fie aplicabil pentru
orice stare de tensiune. Proiectantul este de asemenea,
interesat în posibilitatea de a
putea determ
