Struktura konstrukcije

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić

GRAĐEVINSKA STATIKA 1

Predavanja

Akad. god. 2007/08

Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci

Literatura

V. Simović: Građevna statika I, Građevinski institut, Zagreb, 1988. I. P. Prokofjev: Teorija konstrukcija I, Građevinska knjiga, Beograd, 1966. I. P. Prokofjev: Teorija konstrukcija II, Građevinska knjiga, Beograd, 1968. V. Andrejev: Mehanika II - kinematika, Tehnička knjiga, Zagreb, 1973. W. Wagner, G. Erlhof: Praktična građevinska statika I, 1979. H. Werner: Tehnička mehanika, 1986. M. Đurić: Statika konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1979. M. Đurić, P. Jovanović: Teorija okvirnih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1977. J. C. McCormac: Structural Analysis, 1966. S. P. Timoshenko, D. H. Young: Theory of structures, McGraw-Hill, New York, 1988.

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 2

ZADAĆA GRAĐEVINSKE STATIKE

Građevinska statika jedan je od kolegija mehanike konstrukcija. Osnovni zadatak - projektiranje stabilnih građevina

nosivi sklop - konstrukcija • Pretpostavka da su vanjske i unutrašnje sile u ravnoteži na nedeformiranom nosaču ⇒

linearnost uvjeta ravnoteže • Pretpostavka o malim pomacima ⇒ linearnost veza deformacijskih veličina i pomaka Postupci proračuna:

• analitički

• grafički

• grafo-analitički Konstrukcija: geometrija + opterećenja - Proračunski modeli (sheme) konstrukcije

VRSTE KONSTRUKCIJA

(1) Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova:

- Linijske (štapne) konstrukcije: lančanice, lančani poligoni, rešetke, grede, stupovi, okviri, lukovi, roštilji

- Plošne (površinske) konstrukcije: stijene (zidovi), ploče, membrane, ljuske, naborane konstrukcije

- Masivne konstrukcije


(2) Podjela konstrukcija prema nivou kinematičke stabilnosti:

- Geometrijski promjenljivi sustavi - Geometrijski nepromjenljivi sustavi:

• Statički određene konstrukcije • Statički neodređene konstrukcije

Za rješavanje statički određenih sustava koriste se samo jednadžbe ravnoteže: 0x =∑ ; 0y =∑ ; 0M =∑

Za rješavanje statički neodređenih sustava koriste se: jednadžbe ravnoteže + dodatne jednadžbe

(3) Podjela konstrukcija prema položaju konstrukcije u prostoru:

• ravninske konstrukcije • prostorne konstrukcije

VRSTE OPTEREĆENJA

1) Po promjenljivosti u vremenu: • statička opterećenja

• dinamička opterećenja 2) Po načinu prijenosa na konstrukciju:

• koncentrirano opterećenje

• kontinuirano opterećenje

3) Statička opterećenja dijele se na: • Stalno opterećenje – mrtvi teret

• Pokretno ili povremeno opterećenje: živi teret na cestovnim mostovima, živi teret na željezničkim mostovima, pokretni teret u zgradama, teret snijega i leda i dr.

• Dopunska opterećenja: opterećenja vjetrom, temperaturna opterećenja, djelovanje skupljanja i puzanja materijala, slijeganje ili pomicanje ležajeva, potresne sile i dr.


STRUKTURA KONSTRUKCIJE

Konstrukcija = tijela + veze Unutrašnje veze: veze kojima se jednostavna tijela međusobno spajaju u sustav tijela Vanjske veze: veze tijela s podlogom

Unutrašnje veze

Četiri osnovna tipa: a) štapna veza – štap b) zglobna veza – zglob c) kruta veza – uklještenje d) kruta pomična veza – pomično uklještenje

a) štapna veza – štap

- kinematička karakteristika veze: oduzima 1 stupanj slobode; sprječava translacijski pomak dva tijela u smjeru štapa, omogućava translaciju u drugom smjeru i rotaciju tijela

- statička karakteristika štapne veze: preuzima jednu unutrašnju silu (na pravcu štapa)

I II I II

b) zglobna veza – zglob

Jednostruki zglob

I II

- kinematička karakteristika veze: oduzima 2 stupnja slobode; sprječava translacijske pomake dvaju tijela, omogućava samo rotaciju tijela

- statička karakteristika zglobne veze: preuzima dvije unutrašnje sile

A

B C

A

B D

C

E

materijalni zglob nematerijalni zglob


Višestruki zglob

Kolikostruki zglob:

1ni −= ; n je broj zglobno spojenih elemenata Broj stupnjeva slobode koji oduzima višestruki zglob: i2)1n(2Os =−=

c) kruta veza – uklještenje

I II

• kinematička karakteristika uklještenja: sprječava sva tri pomaka

• statička karakteristika uklještenja: može prenositi silu bilo kojeg pravca djelovanja kroz točku spoja i moment

V

V

H

HM M

K A

d

V

ruta veza dvaju elemenata ekvivalentna je vezi s tri štapa.

ko je kruta veza višestruka, onda je ekvivalentna vezi s štapova, n – broj priključenih elemenata )1n(3 −

) kruta pomična veza – pomično uklještenje

• kinematička karakteristika pomičnog uklještenja: oduzima dva stupnja slobode kretanja

• statička karakteristika veze: može prenositi silu okomito na pravac mogućeg pomaka i moment

edrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 6

Pomično uklještenje ekvivalentno je vezi s dva paralelna štapa.


Vanjske veze

α

α

Valjci Valjkasti oslon sa zglobom

Glatkapovršina

Sila s poznatimpravcem djelovanja

Kratko uže Kratki štap Sila s poznatimpravcem djelovanja

Osovina bez trenja ili zglob

Hrapavapovršina

Sila s nepoznatimpravcem djelovanja

Nepomični oslonac Sila i moment

Oslonac ili veza Reakcija Brojnepoznanica

ili

ili

1

1

2

3


Najčešći tipovi ležajnih veza:

F Pomični zglobni ležaj (klizni ležaj) - dva stupnjaslobode, jedna sila veze

Fx

Fy

Nepomični zglobni ležaj - jedan stupanj slobode,dvije sile veze

M

Fx

Fy

Upeti nepomični ležaj - nema niti jedan stupanjslobode, tri sile veze (dvije sile i moment upetosti)

Upeti pomični ležaj - jedan stupanj slobode(translacijski), dvije sile veze (jedna sila i moment)


KINEMATIČKA STABILNOST

Vezivanje točke i tijela s podlogom i međusobno Vezivanje materijalne točke

M

U ravnini

M

U prostoru Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje točke u ravnini:

nužan uvjet kinematičke stabilnosti: točka se mora vezati sa 2 štapa

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi ne smiju ležati na istom pravcu

A B

C

ispravno neispravnoA B

C

mehanizam - geometrijski promjenljiv sustav

Vezivanje tijela

U ravnini U prostoru Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje tijela u ravnini:

nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijelo mora imati 3 štapne veze s podlogom

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki Primjeri neispravno vezanog tijela (geometrijski promjenljivi sustavi):


Geometrijski promjenljivi sistemi – mogu imati pomake tj. mogu mijenjati oblik bez deformacija elemenata

Geometrijski nepromjenljivi sistemi – može doći do pomaka samo uslijed deformacije

elemenata Slučaj geometrijske promjenljivosti:

Vezivanje dva tijela (diska) u ravnini a) trima štapovima; b) kombinacijom štapa i zgloba; c) krutom vezom

I II

a)

I II

b)

c)

I II

Treba paziti na raspored veza!

nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijela se moraju međusobno vezati s 3 štapne veze

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki (ne smiju biti tri paralelne veze)

- geometrijski promjenljivo povezivanje dvaju diskova:

I II

I

II


Postupno spajanje diskova

III IVI II

Utvrđivanje geometrijske nepromjenljivosti konstruktivnih sustava

Da bi sustav međusobno vezanih tijela činio konstruktivni nosivi sustav, mora biti vezan s podlogom.

jedno tijelo (disk) → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav

A

B

C

dva diska → 2×3 = 6 stupnjeva slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu A i B) i 2 unutrašnje veze (jednostruki zglob u točki C); ukupno 6 veza → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav

jedan disk → 3 stupnja slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu) → geometrijski nepromjenljiv sustav → jedna veza više od minimalno potrebnog broja → statički neodređen sustav

A B

C

D E

I II

dva diska međusobno spojena zglobom C i štapom DE → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav

F

IA B

II

C D

E

dva diska su međusobno spojena samo sa dva štapa CD i EF ⇒ geometrijski promjenljiv sistem


Provjera geometrijske nepromjenljivosti može se provesti pomoću formule:

lnni2nn2n3s ziščd −∑−−+=

s - broj stupnjeva slobode konstruktivnog sustava dn - broj diskova; - broj čvorova; - broj štapova; - broj ležajnih veza; čn šn ln

zin - broj zglobova (i označava koliko-struki je zglob)

K+++=∑=

3z2z1zn

1izi n6n4n2ni2

0s = : sustav ima minimalno potreban broj veza → statički određen sustav

0s < : sustav ima suvišnih veza → statički neodređen sustav

0s > : sustav ima manjak veza → geometrijski promjenljiv sustav (mehanizam) Napomena:

0s ≤ : ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti (ali ne i dovoljan); treba provjeriti raspored veza

s = −1

geometrijski promjenljivi sustavi (kinematički labilni)


Primjer 1: A B C

D E

F G

Analiza 1. broj diskova 2nd = broj čvorova 2nč = (točke F i G) broj štapova 5nš = broj jednostrukih zglobova 1n 1z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 031252223s =−⋅−−⋅+⋅=

Analiza 2. broj diskova 7nd = broj čvorova 0nč = broj štapova 0nš = broj jednostrukih zglobova 2n 1z = (točke D i E) broj dvostrukih zglobova 2n 2z = (točke F i G) broj trostrukih zglobova 1n 3z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 0316242273s =−⋅−⋅−⋅−⋅= Primjer 2:

A

B

CIII

I I

1 4

2

3I

broj diskova 3nd = broj čvorova 0nč = broj štapova 4nš = broj jednostrukih zglobova 3n 1z = ( točke A, B, C) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 4332433s −=−⋅−−⋅= (sustav ima četiri suvišne veze)


Primjer 3:

A B C D

E

F

I II III

14

2

3

5

broj diskova 3nd = broj čvorova 2nč = (točke E i F) broj štapova 5nš = broj jednostrukih zglobova 2n 1z = (točke B i C) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 132252233s =−⋅−−⋅+⋅= (nedostaje jedna veza)

Primjer 4:

k

i

P

8nč = 13nš = 3n =l

031382s =−−⋅=

⇒= 0s ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti

Statički postupak ispitivanja geometrijske nepromjenljivosti sistema:

čvor i čvor k

P

V

V P=

V

V 0=

Zaključak: Ako u nekom statičkom sustavu s minimalnim brojem veza nije moguće odrediti vanjske i/ili unutrašnje sile pomoću jednadžbi ravnoteže, sustav je geometrijski promjenljiv.


KLASIFIKACIJA RAVNINSKIH ŠTAPNIH KONSTRUKTIVNIH SUSTAVA

Statički određeni sustavi 0s =

Statički određeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Prema strukturi elemenata mogu biti:

• punostjeni: sastoje se od čvrstih tijela, greda, diskova • rešetkasti : sastoje se samo od štapova • kombinirani: grede (diskovi) + štapovi

Vrste statički određenih sustava

Konzola

Konzolna greda

Konzolnistup

Konzola proizvoljnog oblika

Prosta greda

Greda s prepustom

Greda s dva prepusta

Greda spojena s podlogom s tri štapa

Poluokviri


Okviri

Trozglobni štapni sistemi

trozglobni luk trozglobni okvir

Indirektno opterećena greda

Gerberov nosač

Ojačana greda

Ojačana greda s prepustima

Okvir sa zategom Luk sa zategom


Okviri sazategama

Poduprte grede


Statički neodređeni sustavi 0s <

Statički neodređeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile ne mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Da bi se odredile sve reakcije i rezne sile, potrebne su dodatne jednadžbe.

Vrste statički neodređenih sustava

Obostrano upeta greda

Obostrano upeti okvir

Obostrano upeti poluokvir

Obostrano kruto spojen luk, iliobostrano upeti luk, naziva se isamo: upeti luk

Kontinuirana greda

Kontinuirani okvir sa zglobnim ležajevima

Kontinuirani okvir s upetim stupovima


Ojačane grede

Okviri i lukovi sa zategama

Poduprte grede


OPĆE KARAKTERISTIKE STATIČKI ODREĐENIH NOSAČA

1. Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. 2. Kod statički određenih nosača reakcije i unutrašnje sile ne ovise o obliku i veličini

poprečnog presjeka elemenata niti o materijalu iz kojeg su napravljeni pojedini elementi nosača.

3. Kod statički određenih sustava ne pojavljuju se reakcije i unutrašnje sile zbog djelovanja

promjene temperature, popuštanja oslonaca ili uslijed netočno izvedenog pojedinog elementa u sustavu.

4. Ako se kod statički određenog sustava opterećenje na dijelu jednog diska zamijeni statički

ekvivalentnim opterećenjem, neće doći do promjene reakcija kao ni unutarnjih sila na ostalom dijelu sustava izvan tog područja.

A B

P p

M

+

5. Statički određeni nosači nemaju rezervu u pogledu stabilnosti ako dođe do raskida neke

vanjske ili unutrašnje veze. Ako dođe do popuštanja na mjestu jedne veze, dolazi do gubitka stabilnosti sustava ili dijela sustava.


SILE U KONSTRUKTIVNIM SUSTAVIMA

Vanjske sile: vanjske aktivne sile i vanjske reaktivne sile

q1

P1 q2 P2

P3

BH

A

B

C

BV

AV

AH

P4

Unutrašnje sile: - unutrašnje sile u vezama ili reakcije veza - unutrašnje sile u osnovnim nosivim elementima ili sile u presjeku

A

B

C

P1

P2q

D

E

F

I

II

III

BH

BV

AV

AH

P2

D

F

A

C

q

D

B

C

P1

E

DH

DV

CH

CV

CVCH

S

S

DV

DH


Određivanje reaktivnih sila

F

L1

L2

L3

BCA

F

BCA

F

B

CA FB

A

Sustav Štapni model

Grafičkouravnoteženje

Prosta greda

Zglobni ležaj(dvije veze)

Klizni ležaj(jedna veza)

Trokut sila

Analitičko rješenje

B

Ax

Ay

Fx

Fy

a bL

yyA

yyyyB

xxi

FLaB0FaBL:0M.3

FLbA0FbAL:0M.2

FA0X.1

⋅=→=⋅+⋅−=

⋅=→=⋅−⋅=

=→=

∑

∑

∑

---------------------------------------------------------------- Kontrola: 0Yi =∑


Unutrašnje sile u presjecima Unutrašnje sile u presjeku predstavljaju ukupnu silu kojom u jednom presjeku jedan dio sustava djeluje na drugi.

F21

1Presjek

F1F3

F1

Trokut sila

F2

F3

F1

F2

F3

F1-1

M1-1

M1-1

F1-1

F1

F2

F3

T1-1

M1-1

M1-1

N1-1

T1-1

N1-1

Tri unutrašnje sile u presjeku: uzdužna sila (N) - normalna sila poprečna sila (T) - transverzalna sila moment savijanja (M) Veličine unutrašnjih sila dobivaju se iz uvjeta ravnoteže dijela sustava.

Definicije unutrašnjih sila u presjeku Uz duž na s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na tangentu na os elementa u točki presjeka. Pop rečna s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na okomicu (normalu) na os elementa u točki presjeka. Mome n t s a v i j a n j a u presjeku jednak je algebarskoj sumi momenata svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na točku presjeka u osi elementa.


Dogovor o predznacima unutrašnjih sila (konvencija) Klasična (na elementu):

Pozitivni smjerovi

M M

T T

N N

Uzdužna sila N smatra se pozitivnom ako u presjeku elementa izaziva vlak. Poprečna sila T je pozitivna ako dio sistema na koji djeluje nastoji zaokrenuti u smjeru kretanja kazaljke na satu. Moment savijanja M je pozitivan kada izaziva vlak u donjim rubnim vlakancima a tlak u gornjim vlakancima elementa. Suvremena (u presjeku): (kompjutorske metode)

u skladu s orjentacijom desnog koordinatnog sustava

Presjek

Os elementa

MT

N

Pozitivni smjerovi: u smjeru pozitivnih koordinatnih osi


Dijagrami unutrašnjih sila

To su grafički prikazi promjena unutrašnjih sila uzduž elemenata sustava. Dijagrami unutrašnjih sila crtaju se ili uzduž osi elemenata sustava ili na njihovim projekcijama.

F2

1

1

F1F3

F1x

F1y

F3x

F3y

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

F3xF1x

Nx

−

F3y

Tx

−

+F1y F2

Mx

+


OSNOVNE JEDNADŽBE GRAĐEVINSKE STATIKE

Za svaki presjek treba naći:

tri unutrašnje sile – moment savijanja M, poprečnu silu T i uzdužnu silu N

tri deformacijske veličine – relativnu promjenu kuta odnosno zakrivljenosti κ, relativno produljenje ε i relativno klizanje odnosno deformaciju uslijed posmika γ

tri pomaka – translatorni pomak uzduž osi u, poprečno na os elementa v i kut zaokreta ϕ

• jednadžbe ravnoteže

• jednadžbe uzajamnosti deformacija i pomaka

• fizikalne jednadžbe Jednadžbe ravnoteže – sadržavaju statički dio zadaće građevinske statike - veze između unutrašnjih sila i opterećenja:

xx n

dxdN

−= ; xx p

dxdT

−= ; xx T

dxdM

=

Jednadžbe uzajamnosti – geometrijske jednadžbe – veze između deformacijskih veličina i pomaka:

dxdu=ε ;

dxdv−ϕ=γ ;

dxdϕ=κ

Fizikalne jednadžbe – veze između sila i deformacijskih veličina:

EAN=ε ;

EIM=κ ; GA

Tk=γ

Pretpostavka da vrijedi Hookeov zakon.


Diferencijalne jednadžbe ravnoteže grede

Mi

Ri

i

Mj

Rj

jq

m

dx

ds dy

q − kontinuirano opterećenje; m − kontinuirani momenti

Ri, Rj, Mi i Mj − sile i momenti na krajevima promatranog dijela zakrivljene grede

Diferencijalno mali element grede duljine ds:

MT

N

dα

.

.

12

ρ

M+dM

T+dT

N+dNM

V

H

dα

.

.

12

ρ

M+dM

V+dV

H+dH

qn

m qtq x mqy

dx

dy

1. 2.

Uvjeti ravnoteže postavljaju se na nedeformiranoj gredi uz zanemarivanje beskonačno malih veličina drugog reda. 1. Uvjeti ravnoteže , , 0x =∑ 0y =∑ 0M2 =∑ :

0x =∑ → 0dyqdH x =⋅+ 0y =∑ → 0dxqdV y =⋅+

0M2 =∑ → 0mdxVdyHdM =−⋅−⋅− 2. Iz sume projekcija sila na pravac sile dNN + dobiva se:

0dsqdTdNddsin;1dcos

0)2d(cosdsqdsinTdcosNdNN

t

t

=⋅+α⋅−⇒α=α=α

=α⋅⋅+α⋅−α⋅−+

Iz sume projekcija sila na pravac sile dTT + dobiva se:

0dsqdNdT0)2d(cosdsqdsinNdcosTdTT nn =⋅+α⋅+⇒=α⋅⋅+α⋅+α⋅−+

Iz sume momenata na točku 2 dobiva se:

0dsmdsTdM0dsmdsTMdMM =⋅−⋅−⇒=⋅−⋅−−+


Ako se tri gornje jednadžbe podijele sa ds dobivaju se opće jednadžbe ravnoteže grede:

0mTds

dM

0qNdsdT

0qTdsdN

n

t

=−−

=+ρ

+

=+ρ

−

Veza između komponenata sila N i T i komponenata sila H i V:

MTN

TN

M α

M

M α

V

H

V

HT

N

H

VR

.

. α

α

α⋅+α⋅=

α⋅−α⋅=

cosVsinHT

sinVcosHN ili

α−α⋅=

α⋅+α⋅=

sinNcosTV

sinTcosNH

Jednadžbe ravnoteže elementa ravne grede

Ri

i

Rj

jdx1 2 1 2

pxmx

nx

Mx

Nx

Tx Tx+dTx

Nx+dNx

Mx+dMx

dx

dxds ↔ ; xt nq ↔ ; xn pq ↔ ; ∞=ρ ⇒

0mTdx

dM0p

dxdT

0ndx

dNxx

xx

xx

x =−−=+=+

U slučaju da nema opterećenja mx:

Diferencijalna veza između poprečne sile i opterećenja: xx p

dxdT

−=

Diferencijalna veza između momenta savijanja i poprečne sile: xx T

dxdM

=

Diferencijalna veza između momenta savijanja i opterećenja: x2x

2p

dxMd

−=


• Tangens kuta nagiba tangente na funkciju poprečne sile u nekoj točki grede jednak je negativnoj vrijednosti intenziteta kontinuiranog opterećenja u toj točki.

• Tangens kuta nagiba tangente na funkciju momenta savijanja u nekoj točki grede jednak je poprečnoj sili u istoj točki.

Veza između poprečne sile i opterećenja kada je opterećenje koncentrirana sila

Mil

Nil

Til

Pi

Tid

Nid

Mid

Suma projekcija sila na pravac djelovanja sile Pi mora biti jednaka nuli:

ii

idiii

dii

PT

TTT0PTT

=∆⇒

∆=−=−− ll

Skok u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu djelovanja koncentrirane sile. Na tom mjestu u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se lom.

T

M

+−

P

P

+

T

M

+ P

P

+

T

M

P

P

+

−

+


Skok u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se samo na mjestu gdje djeluje koncentrirani moment.

T

M

+

+

M

+

MO

MO

T

+

MO

MO

U području konstantnog vertikalnog kontinuiranog opterećenja ( ): .konstpx =

T

M

q

a

q a.

Mmax+

+

−

Lom u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu na kojemu se mijenja intenzitet kontinuiranog opterećenja.

T

M

pL pD

dxdT

dxdT

pp DLDL ≠⇒≠

dxdM

dxdM

TT DLDL =⇒=

DL MM =


Integralne veze između opterećenja i sila presjeka

1. ∫∫ −=−=−=→−= ==

=

=

2

11212

2

1

x

xxxxxxxx

xx

xxxx

x dxpTTTTdTpdxdT

43421

x

2

1

p dijagramaispod površina

x

xx12 dxpTT ∫−=

2. ∫∫ =−=−=→= ==

=

=

2

11212

2

1

x

xxxxxxxx

xx

xxxx

x dxTMMMMdMTdxdM

43421

x

2

1

T dijagramaispod površina

x

xx12 dxTMM ∫+=

Različiti slučajevi opterećenja:

0px = :

.konstTT 0x == − konstanta, funkcija 0. stupnja

xcMM 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)

ppx = (konstanta, funkcija 0. stupnja):

xbTT 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)

2210x xcxcMM ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)

xapp 0x += (pravac, funkcija 1. stupnja - linearna funkcija):

2210x xbxbTT ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)

33

2210x xcxcxcMM +++= − funkcija 3. stupnja (kubna parabola)

xsinpp 0x α= (trigonometrijska funkcija):

xcospTT 00x αα⋅+=

xsinpxTMM 2000x αα⋅++=


Primjer: Na gredi AB zadan je dijagram momenata savijanja. Potrebno je naći opterećenje.

a b c d

d/2

A BC

D E−

+

MC

MD ME

MB

−

M

T

TA TCl

TCd TD

l

TB− −

+

qPB

MB

PDPCPA

parabola 20

Prvo treba naći dijagram poprečnih sila.

-- na dijelu AC: a

MTT C

CA −== l

-- na dijelu CD: b

MMTT DC

DdC

+== l

-- na dijelu DE: 0TDE =

-- na dijelu EB poprečna sila je linearna funkcija:

dMM

22dMM

T , 0T BEBEBE

+−=

+−==

Opterećenje grede: -- u točkama A, C, D i B djeluju koncentrirane sile:

AA TP = ; dCCC TTP += l ; l

DD TP = ; BB TP =

-- na dijelu EB djeluje jednoliko kontinuirano opterećenje q:

dT

q B=

-- u točki B djeluje koncentrirani moment BMM =


Documents

Struktura konstrukcije