Struktura i analiza kinematyczna układów płaskich

TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW Struktura i analiza kinematyczna układów płaskich

Wykład dla kierunku: MECHATRONIKA

dr inż. Tomasz Geisler

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA

CZĘŚĆ I

ANALIZA STRUKTURALNA UKŁADÓW PŁASKICH 1. STRUKTURA UKŁADÓW 1.1. Wstęp Teoria Maszyn i Mechanizmów (TMM) jest dyscypliną nauk technicznych, obejmującą zakresem wiedzy zagadnienia z zakresu kinematyki i dynamiki mechanizmów i maszyn. TMM zawiera zagadnienia z zakresu nauk podstawowych i stosowanych, obejmując i wiążąc w całość m. in. zagadnienia mechaniki teoretycznej, matematyki, wytrzymałości materiałów i konstrukcji oraz budowy maszyn. Z zakresie kinematyki mechanizmów zawierają się zagadnienia analizy strukturalnej i określanie parametrów ruchu. Struktura mechanizmów określa własności geometryczne (wymiarowe) rozpatrywanego mechanizmu. Analiza kinematyczna pozwala wyznaczać położenia elementów (członów) w przyjętym układzie odniesienia oraz prędkości i przyspieszeń par kinematycznych, punktów i elementów mechanizmu. TMM zawiera też syntezę mechanizmów, zajmującą się opracowywaniem i konstrukcją mechanizmów spełniających z góry ustalone parametry kinematyczne i dynamiczne. Dynamika mechanizmów i maszyn bada ruch mechanizmów z uwzględnieniem sił i mas elementów. 1.2. Pojęcia podstawowe TMM Człon-ogniwo jest to zespół wszystkich elementów których ruch można traktować i opisać jako ruch jednego ciała bez względu, czy jest to pojedynczy element czy zespół elementów. Przykładem jest korbowód, którego częściami składowymi są: trzon, panewka, półpanewki, pokrywa, śruby, nakrętki (rys. 1.1). W zależności od funkcji spełnianej w mechanizmie, człony dzieli się na rodzaje (tab. 1):

Tab. 1 rodzaj członów możliwość ruchu

czynne - napędzające bierne - napędzane człony ruchome

łączniki - pośredniczące podstawy (ostoje) człony nieruchome

2

Rys. 1.1. Rysunek i schemat korbowodu Podstawa (baza, ostoja) – człon, względem którego poruszają się inne człony. W przyjętym układzie odniesienia podstawa jest nieruchoma. W zależności od charakterystyki materiału („tworzywa”) z jakiego są wykonane, człony dzieli się na:

- człony sztywne (umownie), jak dźwignie, korbowody, łączniki, korpusy, - człony podatne:

- sprężyste (np. sprężyny, resory) - wiotkie (np. pasy, liny, taśmy)

Para kinematyczna jest to ruchome połączenie członów. Wejście członów w pary kinematyczne odbiera im cześć stopni swobody, np. czop-gniazdo, suwak-prowadnica, śruba-nakrętka. Podział par kinematycznych uwzględnia rodzaj miejsca styku dwóch członów tworzących parę. Parami niższymi są pary w których teoretyczny styk członów jest powierzchniowy, a parami wyższymi te w których miejsce styku członów pary jest punktem lub linią. Łańcuch kinematyczny jest to zespół (szereg) członów połączonych ruchowo odpowiednimi parami kinematycznymi realizujący zdefiniowany ruch. Podział łańcuchów Kryterium podziału łańcuchów uwzględnia zakres cech związanych z budową wewnętrzną i rodzajem napędu. Podział łańcuchów opisano w tab. 2. i przedstawiono na rysunkach (rys. 1.2-1.7).

Tab. 2 podział łańcuch opis

zamknięty każdy człon łączy się przynajmniej z dwoma innymi członami 1

otwarty dowolny człon może się łączyć tylko z jednym członem prosty każdy człon łączy się tylko z dwoma innymi członami

2 złożony każdy człon łączy się z dowolną liczbą członów płaski ruch członów odbywa się tylko w płaszczyznach równoległych

3 przestrzenny ruch członów odbywa się w płaszczyznach dowolnych, nierównoległych jednobieżny ruch członów jest ściśle określony

4 niejedno bieżny ruch członów jest niejednoznaczny

3

Rys. 1.2. Łańcuch otwarty

Rys. 1.3. Łańcuch zamknięty

Rys. 1.4. Łańcuch prosty

Rys. 1.5. Łańcuch złożony

Rys. 1.6. Łańcuch jednobieżny

Rys. 1.7. Łańcuch niejedno bieżny W łańcuchu płaskim wszystkie człony wykonują ruchy w płaszczyznach równoległych do siebie. Łańcuch przestrzenny nie spełnia tego warunku. Mechanizm jest to zamknięty łańcuch kinematyczny z jednym członem spełniającym funkcję podstawy, charakteryzujący się liczbą członów czynnych równą jego ruchliwości. Mechanizm wykonuje ściśle określony kinematycznie ruch. Strukturę mechanizmu określa liczba członów, kolejność ich podłączania oraz liczba i rodzaje par kinematycznych. Struktura podaje także rodzaj ruchu elementów mechanizmu oraz liczbę stopni swobody. Mechanizm płaski – mechanizm w którym wszystkie pary kinematyczne i punkty należące do jego członów poruszają się po trajektoriach położonych na równoległych płaszczyznach. Mechanizm przestrzenny - mechanizm w którym niektóre pary kinematyczne i punkty niektórych członów poruszają się po trajektoriach przestrzennych położonych na przecinających się płaszczyznach. Maszyna – zespół mechanizmów przeznaczony do wykonywania określonej pracy użytecznej, związanej z procesami wytwarzania lub przemianą energii.

4

Przykłady mechanizmów stosowanych w technice przestawiono dalej. Na rys. 1.8. przedstawiono mechanizm podnośnika montażowego na podwoziu samochodowym, a na rys. 1.9. pokazano schemat tego podnośnika.

Rys. 1.8. Podnośnik montażowy na podwoziu samochodowym

Rys. 1.9. Schemat podnośnika montażowego

W przedstawionym podnośniku można wyróżnić części: kolumna obrotowa (1), belka górna członu dolnego (3), belka dolna członu dolnego (2), mocowanie (4), belka górna członu górnego (5), belka dolna członu górnego (6), pomost (7), siłowniki (8, 9).

5

Na kolejnych rysunkach (rys. 10) przedstawiono mechanizm wyrzynarki oscylacyjnej, model 3D (widok izometryczny) oraz przyjęty do analizy schemat kinematyczny. Wyrzynarka służy do cięcia krzywizn, oraz do cięć prostoliniowych.

a b c

Rys. 1.10. Mechanizm, model i schemat wyrzynarki oscylacyjnej

Na rys. 1.10 a-c przedstawiona jest zasadnicza część wyrzynarki, służąca do przeniesienia napędu. Wyrzynarka posiada system wewnętrznego wyrównoważenia, z dwustopniową regulacją oscylacji ostrza (20) (ruchu podbierania) w kierunku przesuwu wyrzynarki. Ustalenie struktury badanego układu polega na wyodrębnieniu występujących ogniw i łączących je par kinematycznych, przy zastosowaniu szeregu uproszczeń, nie wpływających, na charakter współpracy najważniejszych elementów wyrzynarki. W mechanizmie wyrzynarki można wyróżnić główne elementy: oś (podstawę 1), drążek unoszący (2), obejmę (masę wyrównoważajacą 3), koło zębate (4) powiązane z kołem mimośrodowym (4a), krzywki (9, 10), prowadnice (7, 8, 12, 13), rolkę (5) współpracującą z krzywką wewnętrzną drążka unoszącego. Podstawowy ruch drążka unoszącego odbywa się po pionowej linii prostej leżącej na płaszczyźnie, prostopadłej do ruchu roboczego wyrzynarki. Jednak po włączeniu funkcji podbierania, drążek wykonuje dodatkowo ruch w płaszczyźnie ruchu (posuwu) wyrzynarki. Pomimo, że w rozpatrywanym mechanizmie można wyodrębnić dwie płaszczyzny ruchu głównych elementów, wzajemnie do siebie prostopadłe, można go jednak z tego samego powodu, traktować jak mechanizm płaski.

6

1.3. Stopnie swobody i warunki więzi Stopniami swobody nazywane są możliwości ruchu rozpatrywanego elementu względem kierunków głównych przyjętego układu odniesienia. Jest to liczba współrzędnych niezależnych konieczna do określenia położenia elementu w przyjętym układzie odniesienia. Ograniczenie możliwości ruchu nakładają tzw. warunki więzi. Człon sztywny (punkt, ciało) w przestrzeni dysponuje sześcioma stopniami swobody. Można je przedstawić jako niezależne od siebie ruchy w przyjętym kartezjańskim układzie współrzędnych xyz. Są to trzy ruchy postępowe (translacje, przesuwy) wzdłuż osi x, y, z oraz trzy ruchy obrotowe (rotacje, obroty) wokół tych osi (rys. 1.11).

Rys. 1.11. Ruch ciała w układzie przestrzennym

Człony wchodząc (łącząc się) w pary kinematyczne nakładają na siebie określone ograniczenia ruchu, nazywane dalej więzami. Nałożenie więzów zmniejsza liczbę stopni swobody członów tworzących parę kinematyczną. Podział uwzględniający liczbę stopni swobody jednego elementu pary względem drugiego dzieli wszystkie pary na 5 klas. Oznacza się je cyframi rzymskimi I, II, III, IV, V. Czyli para kinematyczna oznaczana I, ma jeden stopień swobody, para II odpowiedni dwa stopnie swobody, itd.. W oznaczaniu stosuje się również oznaczenie odpowiednio p1-p5. Przykłady wszystkich par przedstawiono w tabeli 3.

Tab. 3.

Klasa przykład ruch

I (p1)

7

II (p2)

III (p3)

IV (p4)

V (p5)

Możliwy jest podział pary kinematyczne na klasy ze względu na ilość odebranych stopni swobody podawany w literaturze. W analizie układów płaskich występują tylko płaskie pary kinematyczne, które umożliwiają tylko wybrane ruchy względem siebie połączonych członów. Człon znajdujący się na płaszczyźnie może poruszać się wzdłuż osi płaskiego układu współrzędnych prostokątnych (np. x i y) oraz obracać się wokół osi prostopadłej do przyjętej płaszczyzny xy (np. oś z) (rys. 1.12).

Rys. 1.12. Ruch ciała w układzie płaskim

8

W związku z ograniczeniem ruchu elementu do płaszczyzny, występujące pary kinematyczne mogą należeć tylko do klasy I (p1) i II (p2) (tab. 4).

Tab. 4 klasa Przykłady

I (p1)

II (p2)

9

1.4. Wzory strukturalne 1.4.1. Założenia Podstawową cechą łańcucha lub mechanizmu, zawierającego wiele łańcuchów jest jego ruchliwość. Wzory strukturalne określają stopień ruchliwości względnej łańcucha kinematycznego w zależności od liczby członów wchodzących w skład łańcucha oraz od liczby par kinematycznych z podziałem na klasy. Przyjmując oznaczenia: nc – całkowita liczna członów, n=nc-1 – liczba członów ruchomych. Wszystkie człony ruchome przed wejściem w pary kinematyczne dysponowały łącznie stopniami swobody:

)1(6 −= cnx

W skutek połączenia tych członów ze sobą oraz związania z podstawą, liczba ich stopni swobody zostaje zmniejszona. Oznaczając przez pi liczbę par i-tej klasy i zakładając że w każdej parze jeden człon odbiera drugiemu (6-i) stopni swobody, to łącznie wszystkie ruchome człony tracą y liczbę swobody:

∑ −=5

1

)6( ipiy

Ruchliwość oznaczana przez W jest obliczana jest jako liczba pozostałych stopni swobody członów ruchomych i wynosi:

yxW −=

Ruchliwość dla łańcucha przestrzennego można zapisać:

54321 23456 pppppnW −−−−−=

Ruchliwość dla łańcucha płaskiego można zapisać:

2123 ppnW −−= gdzie p1 i p2 są parami kinematycznymi odpowiednio klasy pierwszej i drugiej. Pary p1 na płaszczyźnie są parami o ruchu obrotowym lub przesuwnym, a pary p2 są parami w których styk członów pary jest punktem lub linią. Wartości ruchliwości mechanizmów mogą przybierać wartości:

0W ≤ - łańcuch (mechanizm) sztywny 1W = - łańcuch normalny

W > 1 - łańcuch swobodny Wszystkie mechanizmy można podzielić na grupy. Mechanizmy grup: 0, I i II należą do mechanizmów przestrzennych. Do grupy III należą głownie mechanizmy płaskie z parami kinematycznymi klasy p1 i p2. Grupa IV obejmuje mechanizmy płaskie klinowe oraz mechanizmy śrubowe. W skład grupy V wchodzą ogniwa (człony) napędzające.

10

1.4.2. Zasady stosowane przy obliczaniu ruchliwości łańcuchów kinematycznych Zasada 1 W obliczaniu ruchliwości pomija się ogniwa kinematycznie zbędne, ponieważ wprowadzają tzw. więzi (więzy) bierne. Więzy bierne stosowane są ze względu na zwiększenie np. sztywności konstrukcji mechanizmu.

obliczenie nieprawidłowe obliczenie prawidłowe

pominięte człony np.: 5, 6 pary

kinematyczne p1

obliczenie ruchliwości pary

kinematyczne p1

obliczenie ruchliwości

1-2 1-4 1-5 1-6 2-3 3-5 3-6 3-4

1W

18253

pp2n3W

5n

21c

c

−=

−=⋅−⋅==−⋅−⋅=

=

1-2 1-4 2-3 3-4

1W

14233

pp2n3W

3n

21c

c

=

=⋅−⋅==−⋅−⋅=

=

Zasada 2 W obliczaniu ruchliwości nie uwzględnia się dodatkowych (lokalnych) stopni swobody. Przykładem jest np. zastosowanie w mechanizmie krzywkowym, konstrukcji popychacza zakończonego rolką.

11

obliczenie nieprawidłowe obliczenie prawidłowe

pominięty człon: 4 pary

kinematyczne pary

kinematyczne p1 p2

obliczenie ruchliwości p1 p2


1-2 1-3 3-4

2-4

2W

213233

pp2n3W

3n

21c

c

==−⋅−⋅=

=−⋅−⋅==

1-2 1-3

2-3

1W

112223

pp2n3W

2n

21c

c

==−⋅−⋅=

=−⋅−⋅==

Zasada 3 W obliczeniach ruchliwości pary kinematyczne wielołączne należy odpowiednio traktować (tab.5).

Tab. 5 Rodzaj pary schemat Oznaczenie par kinematycznych

dwułączna

1-2

trójłączna

1-2 1-3

czterołączna

1-2 1-3 1-4

Zasada 4 W celu uproszczenia obliczania ruchliwości, trójkąty przegubowe traktuje się jako jeden człon (sztywny)

12

1.4.3. Przykłady obliczania ruchliwości mechanizmów

pary kinematyczne 1 schemat mechanizmu

p1 p2 obliczenie ruchliwości

1-2 1-4 1-5 2-3 3-4 3-6 5-6

-

1W

17253

pp2n3W

5n

21c

c

=

=⋅−⋅==−⋅−⋅=

=

pary kinematyczne

2 schemat mechanizmu p1 p2


1-2 1-5 1-6 2-3 3-6 3-4 4-5

-

1W

17253

pp2n3W

5n

21c

c

=

=⋅−⋅==−⋅−⋅=

=

pary kinematyczne



1-2 1-3 1-5 1-6 3-4 4-5

2-3 5-6

1W

126253

pp2n3W

5n

21c

c

=

=−⋅−⋅==−⋅−⋅=

=

pary kinematyczne



1-2 1-3 1-5 1-7 4-5 6-7 3-4 3-6

2-3

1W

118263

pp2n3W

6n

21c

c

=

=−⋅−⋅==−⋅−⋅=

=

13



1-2 1-3 1-7 1-8 2-6 3-4 4-5 5-6 6-7 6-8

2-3

0W

1110273

pp2n3W

7n

21c

c

=

=−⋅−⋅==−⋅−⋅=

=



1-2 2-3 3-4 3-6 4-5 5-6

1-4

2W

116253

pp2n3W

5n

21c

c

=

=−⋅−⋅==−⋅−⋅=

=

pary kinematyczne



1-2 1-3 1-4 1-5

2-3 3-4 4-5

1W

134243

pp2n3W

4n

21c

c

=

=−⋅−⋅==−⋅−⋅=

=



1-2 1-4 3-4

1-3 2-3

1W

123233

pp2n3W

3n

21c

c

=

=−⋅−⋅==−⋅−⋅=

=

14



1-2 2-3 3-4

3W

33233

p2n3W

3n

1c

c

=

=⋅−⋅==⋅−⋅=

=



1-2 2-3 3-4 4-5

4W

44243

p2n3W

4n

1c

c

=

=⋅−⋅==⋅−⋅=

=

pary kinematyczne



1-2 2-3 3-4 4-5

4W

44243

p2n3W

4n

1c

c

=

=⋅−⋅==⋅−⋅=

=

pary kinematyczne



1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

6W

66263

p2n3W

6n

1c

c

=

=⋅−⋅==⋅−⋅=

=

15

1.5. Klasyfikacja mechanizmów Wprowadzenie klasyfikacji mechanizmów związane jest z ich dużą liczbą i różnorodnością rozwiązań technicznych. Dla uproszczenia klasyfikacje mechanizmów można podzielić na: - strukturalne, - funkcjonalne, - konstrukcyjne. 1.5.1 Klasyfikacja strukturalna Podstawową klasyfikacją mechanizmów płaskich jest klasyfikacja strukturalna. Klasyfikacja ta oparta jest na pojęciu rodzin, klas i grup. Liczbę rodziny określa liczba więzów ogólnych nałożonych na każdy człon mechanizmu. Rozpatrywane mechanizmy płaskie zaliczane są do rodziny trzeciej. Klasę mechanizmu określa najwyższa klasa grupy składowej lub klasa konturu (liczba tworzących go par kinematycznych). Grupy są to łańcuchy kinematyczne, które przyłączone do podstawy, posiadają zerową ruchliwość (układ sztywny). 1.5.2. Klasyfikacja funkcjonalna Klasyfikacja strukturalna będącą podstawą analizy i badania mechanizmów, nie uwzględnia cech użytkowych mechanizmów. Klasyfikacja funkcjonalna dzieli mechanizmy w zależności od ich funkcji i przeznaczenia w maszynach. Określone cechy funkcjonalne wyróżniają mechanizmy: robocze, napędowe, sterowania, rozrządu, włączania i wyłączania, zabezpieczające, pompy, hamulce, mechanizmy pras, młotów i wag oraz wiele innych. 1.5.3. Klasyfikacja konstrukcyjna Przedstawiony dalej podział mechanizmów uwzględnia ich konstrukcję. Podział ten nosi nazwę podziału konstrukcyjnego. Klasyfikacja mechanizmów według podziału konstrukcyjnego wymienia m. in. grupy mechanizmów: - mechanizmy dźwigniowe, - mechanizmy krzywkowe, - mechanizmy śrubowe, - mechanizmy ruchu obrotowego (przekładnie zębate, pasowe, cierne), - mechanizmy z członami sprężystymi, - mechanizmy hydrauliczne i pneumatyczne, - manipulatory. W ramach poszczególnych grup można wyróżnić podgrupy uwzględniające rodzaj członów i rodzaj ich ruchu.

16

1.5.4. Przegląd mechanizmów

Rys. 1.13. Mechanizm krzywkowy Rys. 1.14. Mechanizm dźwigniowy

Rys. 1.15. Mechanizm cierny Rys. 1.16. Mechanizm zębaty

Rys. 1.17. Mechanizm cięgnowy Rys. 1.18. Mechanizm śrubowy

Rys. 1.19. Mechanizm klinowy Rys. 1.20. Mechanizm manipulatora

17

1.6. Analiza mechanizmu czworoboku przegubowego Do często analizowanych mechanizmów dźwigniowych należy czworobok przegubowy (rys. 1.21). Zbudowany jest z czterech członów połączonych czterema obrotowymi parami kinematycznymi. Jego ruchliwość wynosi W=1. W podstawowej konfiguracji czworoboku przegubowego, człon AB (1) nosi nazwę korby, człon BC (2) nosi nazwę łącznika, człon CD (3) nosi nazwę ramienia a człon AD (4) jest podstawą. Długości odpowiednich członów określono wartościami l1 ÷ l4.

Rys. 1.21. Schemat czworoboku przegubowego Różne stosunki wymiarów członów umożliwiają na otrzymanie trzech odmian mechanizmu czworoboku: - korbowo-wahaczowy, - dwuwahaczowy, - dwukorbowy. O rodzaju określonej odmiany decydują nierówności zawierające długości członów:

l1+l2 < l3+l4 l1+l3 < l2+l4 l1+l4 < l2+l3

Nierówności noszą nazwę warunków Grashofa. Warunki ruchu odmian wynikają ze spełnienia lub nie, warunków Grashofa oraz warunków napędu i mocowania najkrótszego członu: Czworobok przegubowy występuje w odmianach jako mechanizm: korbowo-wahaczowy - warunki spełnione, człon najkrótszy jest korbą (napędową), dwuwahaczowy - warunki spełnione, człon najkrótszy jest łącznikiem, - warunki nie spełnione, człon najkrótszy jest podstawą, dwukorbowy - warunki spełnione, człon najkrótszy jest podstawą.

18

Rys. 1.22a. Rys. 1.22b.

Rys. 1.22c.

19

Rys. 1.22d. Rys. 1.22e. Odmiany czworobok przegubowego mogą wynikać z inwersji czyli przekształcenia polegającego na unieruchomieniu innego członu niż początkowego. Możliwe są też zmiany mechanizmu przez modyfikację czyli zastąpienie pary obrotowej na parę postępową. Łącznik w czworoboku przegubowym może posiadać sztywno związane ze sobą punkty. Trajektorie tych punktów noszą nazwę krzywych łącznikowych. W analizie mechanizmu czworoboku przegubowego oraz innych mechanizmów można określić szczególne położenia członów. Należą do nich położenia zwrotne i martwe (skrajne). Położenia zwrotne mechanizmu charakteryzują się zmianą zwrotu prędkości dla co najmniej jednej pary kinematycznej lub całego członu. Położenia martwe charakteryzuje się brakiem możliwości wzajemnego ruchu członów niezależnie od wielkości przyłożonych sił i momentów do członu napędzającego. Występowanie położeń martwych uzależnione jest od wyboru członu napędzającego. Określone położenia mechanizmu mogą być równocześnie położeniami zwrotnymi i skrajnymi. Położenia przedstawione na rysunku (rys. 1.22.d-e) są położeniami zwrotnymi przy członie napędowym 1, a jednocześnie są położeniami martwymi przy przyjęciu członu 3 za człon napędowy.

20

1.7. Obliczanie ruchliwości mechanizmów, przykłady do rozwiązania Przyjąć oznaczenia członów i wyznaczyć ruchliwość mechanizmów.

1

2

3

4

5

6

7

8

21

Treść wykładu opracowano na podstawie wymienionej literatury, treści wykładów z TMM prowadzonych na P. Cz. (Tabor J.), prac dyplomowych oraz pracy doktorskiej i własnych opracowań. LITERATURA Artobolewski J. J., Teoria mechanizmów i maszyn, Moskwa, 1988. Czołczyński K., Wykłady z Teorii Maszyn i Mechanizmów, Politechnika Łódzka, Łódź,

1996. Felis J., Jaworowski H., Cieślik J., Teoria maszyn i mechanizmów, Analiza mechanizmów,

cz. I, Kraków, 2004. Felis J., Jaworowski H., Teoria maszyn i mechanizmów, Przykłady i zadania, cz. II, Kraków,

2007. Gronowicz A., Miller S., Twaróg W., Teoria maszyn i mechanizmów, Zestaw problemów

analizy i projektowania, P. Wr., Wrocław, 2000. Kożewnikow S. N., Teoria mechanizmów i maszyn, MON, Warszawa, 1956. Materiały konferencyjne Ogólnopolskich Konferencji Naukowo-Dydaktycznych Teorii

Maszyn i Mechanizmów, 1996-2008. Mathcad PLUS 5.0, Podręcznik użytkownika, ABB Poland, Kraków, 1994. Miller S., Teoria maszyn i mechanizmów - Analiza układów kinematycznych, Politechnika

Wrocławska, Wrocław, 1996. Młynarski T., Listwan A., Pazderski E., Teoria mechanizmów i maszyn, cz. 1, 3, Politechnika

Krakowska, Kraków, 1997. Morecki A., Oderfeld J., Teoria maszyn i mechanizmów, PWN, Warszawa, 1987. Morecki A., Knapczyk J., Kędzior K., Teoria mechanizmów i manipulatorów, Podstawy i

przykłady zastosowań w praktyce, WNT, Warszawa, 2002. Oderfeld J., Wstęp do mechanicznej teorii maszyn, WNT, Warszawa, 1962. Olędzki A., Podstawy teorii maszyn i mechanizmów, WNT, Warszawa 1987. Parszewski Z., Teoria maszyn i mechanizmów, WNT, Warszawa, 1978. Rauh K., Praktische Getriebelehre, Springer - Verlag, Berlin, 1951. Siemieniako F., Teoria maszyn i mechanizmów z zadaniami, Politechnika Białostocka,

Białystok, 1993.

22

Skalmierski B., Mechanika, PWN, Warszawa, 1994. Skalmierski B., Mechanika, cz.1, Podstawy mechaniki klasycznej, Wydawnictwo P. Cz.,

Częstochowa, 1998. Wawrzecki J., Teoria maszyn i mechanizmów, Politechnika Łódzka, Łódź, 1994. Internet .............

TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW Struktura i analiza kinematyczna układów płaskich

Wykład dla kierunku: MECHATRONIKA

dr inż. Tomasz Geisler

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA

CZĘŚĆ II

ANALIZA KINEMATYCZNA UKŁADÓW PŁASKICH 2. ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMÓW PŁASKICH 2.1. Wstęp Analiza kinematyczna określa właściwości kinematyczne mechanizmów. Analiza kinematyczna stosowana jest do: - wyznaczania położeń ogniw oraz trajektorii wybranych punktów, - prędkości liniowych osi par kinematycznych i prędkości kątowych członów, - przyspieszeń liniowych osi par kinematycznych i przyspieszeń kątowych członów. Trajektoria lub tor punktu lub pary kinematycznej jest miejscem geometrycznym jego kolejnych położeń w przyjętym układzie odniesienia. Analiza prowadzona jest przy założeniu nieskończonej sztywności członów, dla mechanizmów jednobieżnych oraz bez uwzględniania wpływu mas i działających sił. Metody analizy kinematycznej można podzielić na: - graficzne, - analityczne, - numeryczne, - kombinacyjne. Wybór metody analizy związany jest z rodzajem mechanizmu, założeniem ilości i dokładności otrzymanych wyników oraz obrazowości i prezentacji wyników. Możliwe jest powiązanie metody graficznej z analityczną i stosowanie do analizy kinematycznej metody grafoanalitycznej. Wykorzystanie głównie metod analitycznych związane jest z rozwojem środków obliczeniowych (komputery) oraz dostępności oprogramowania. Jednak metody graficzne są dalej stosowane ze względu na obrazowość rozwiązania i aspekt dydaktyczny. 2.2. POJĘCIA PODSTAWOWE W wybranych zagadnieniach kinematyki, należy wprowadzić pojęcia podstawowe dotyczące ruchu punktu prostoliniowego i krzywoliniowego. Rozpatrując ruch człony jako bryły na płaszczyźnie należy uwzględnić jej ruch postępowy i obrotowy.

2

2.2.1. Analiza prędkości. Założenia teoretyczne Analizowanie ruchu wymaga wprowadzenia pojęcia przestrzeni i czasu. W układzie płaskim wprowadzamy układ współrzędnych Oxy, a w nim wektory jednostkowe i i j . Położenie punktu A w przyjętym układzie określa wektor położenia r(t) . Punkt A porusza się po torze tA (rys. 2.1).

Rys. 2.1. Ruch punktu w okładzie płaskim Wektor r(t) jest zależny od czasu i można go zapisać:

j)t(yi)t(x)t(r += Wektor położenia ma dwie składowe:

)t(yy),t(xx == Prędkość punktu określa pochodna po czasie wartości wektora r(t) :

rdt

)t(dr)t(V &==

Wartości składowych będących jednocześnie rzutami wektora w układzie Oxy można zapisać:

j)t(y)t(yV)t(V

i)t(x)t(xV)t(V

yy

xx

&&

&&

======

Znając składowe prędkości, można określić wartość wektora prędkości i kąty jakie tworzy on z osiami układu współrzędnych:

)t(V)t(VV 2y

2x +=

oraz:

V

Vsin,

V

Vcos yx == αα

Koniec wektora prędkości porusza się po torze nazywanym hodografem prędkości.

3

2.2.2. Analiza przyspieszeń. Założenia teoretyczne Przyspieszenie punktu poruszającego się na płaszczyźnie (rys. 2.1) można zapisać:

2

2

dt

rd

dt

dVa ==

Przyspieszenie jako wektor można przedstawić za pomocą współrzędnych:

jaiaa yx +=

gdzie:

2

2y

y2

2x

x dt

yd

dt

dVa,

dt

xd

dt

dVa ====

W celu wyznaczenia składowych przyspieszenia zależnych od krzywizny toru, przyjmuje się ruch punktu po torze krzywoliniowym o promieniu ρ. Po chwili dt ulega zmianie jego położenie i wartość prędkości (rys. 2.2). Wartość prędkości:

VVV1 ∆+=

Rys. 2.2. Zmiany prędkości punktu Przyrost prędkości V∆ rozkłada się na dwie wartości:

ϕVd - równoległą do promienia ρ,

dV - prostopadła do promienia ρ. Można zapisać:

VddVV +=∆ ϕ Ponieważ:

dt

dV

dt

Vd

dt

dVVd

t

Va +=+=

∆∆= ϕϕ

Znane są wartości:

ρωϕρ == V,dds

4

Otrzymuje się: ( ) ρε

ρρω

ρ+=+=

2V

dt

d

dt

Vdsa

czyli:

tn aaa +=

Wektor przyspieszenia jest sumą wektora przyspieszenia normalnego i wektora przyspieszenia stycznego. Koniec wektora przyspieszeń porusza się po torze nazywanym hodografem przyspieszeń.

5

2.3. ZWIĄZKI MI ĘDZY PRĘDKOŚCIAMI I PRZYSPIESZENIAMI PUNKTÓW JEDNEGO CZŁONU W RUCHU PŁASKIM

2.3.1. Ruch członu w ruchu postępowym Ruch członu na płaszczyźnie może być ruchem postępowym, obrotowym lub złożonym. W płaskim ruchu postępowym wszystkie punkty ciała poruszają się po jednakowych torach i w każdej chwili mają te same prędkości i przyspieszenia (rys. 2.3).

Rys. 2.3. Człon w ruchu płaskim Wartości wektorów można zapisać:

0

0

aa,aa

VV,VV

2B2A1B1A

2B2A1B1A

==

====

εω

2.3.2. Ruch członu w ruchu obrotowym W ruchu obrotowym każdy punkt członu sztywnego porusza się po torze w formie okręgu, którego środek znajduje się w osi obrotu. Prędkość każdego ruchomego punktu jest styczna do tego okręgu a jej wartość zależy od odległości od osi obrotu (rys. 2.4). Wartość prędkości można zapisać:

rV ⋅= ω

Poniżej przedstawiono korbę w ruchu z wartością prędkości kątowej ω.

6

Rys. 2.4. Rozkład prędkości w ruchu obrotowym

Dla przykładu (rys. 2.4) można zapisać:

OCV,OBV,OAV CBA ⋅=⋅=⋅= ωωω

gdzie odcinki OA, OB, OC są stałymi promieniami obrotu odpowiednich punktów. W ruchu obrotowym wektory przyspieszeń odchylone są pod tym samym kątem ψ (rys.2.5).

Rys. 2.5. Rozkład przyspieszeń w ruchu obrotowym Dla ruchu punktu A położonego na korbie OA (rys. 2.5), można zapisać składowe wartości przyspieszeń:

ε

ω

ra

rr

Va

tA

22An

A

=

==

Wartość przyspieszenia normalnego nAa wynika z krzywizny ruchu, a wartość przyspieszenia

stycznego tAa związana jest ze zmianą wartości prędkości liniowej.

Kierunek przyspieszenia stycznego jest zgodny z kierunkiem prędkości liniowej i jest zawsze styczny do toru ruchu. Kierunek przyspieszenia normalnego jest zgodny z kierunkiem promienia krzywizny ruchu i jest zawsze prostopadły do toru ruchu punktu.

7

Wartość przyspieszenia punktu A wynosi:

2422422tA

2nAA rrraaa εωεω +=+=+=

22n

t

rr

aa

tgωε

ωεψ ===

Wartości przyspieszeń punktów (rys. 2.5) można zapisać:

2tB

2nBB aaa +=

Wartości przyspieszeń zależne są od promienia położenia, prędkości i przyspieszenia kątowego. Przy założeniu, że prędkość obrotowa ω jest stała, a przyspieszenie kątowe ε równe zeru, całkowite przyspieszenia punktów równe są przyspieszeniu normalnemu.

r

Vraa

2A2n

AA === ω

2.3.3. Ruch członu w ruchu złożonym Przy ruchu złożonym członu, prędkość dowolnego punktu ciała w ruchu płaskim jest sumą geometryczną prędkości innego dowolnego punktu oraz prędkości którą by to ciało miało gdyby pozostawało w ruchu obrotowym względem tego punktu (rys. 2.6).

Rys. 2.6. Prędkości punktów członu w ruchu złożonym Sumowanie prędkości wynika z superpozycji ruchu postępowego i ruchu obrotowego. Przy rozpatrywaniu ruchu punktu (pary) B względem punktu (pary) A, prędkość punktu B można określić przez równanie wektorowe :

BAAB VVV +=

Prędkość VA jest prędkością w ruchu postępowym, VBA jest prędkością względną w ruchu obrotowym o środku obrotu w punkcie A. Wektor VBA jest prostopadły do wektora ρAB. Można przyjąć że ruchu rozpatrywanego członu, ruch punku A jest ruchem unoszenia a ruch punktu B względem punktu A jest ruchem względnym.

8

Podobnie jak przy określaniu prędkości w ruchu złożonym, wartość przyspieszenia punktu B jest sumą przyspieszenia punktu A (w ruchu postępowym) oraz przyspieszeniem punktu B w ruchu obrotowym (ruch względny) względem punktu A (rys. 2.7).

Rys. 2.7. Przyspieszenia punktów członu w ruchu złożonym Przyspieszenie punktu B można określić:

BAAB aaa += Ponieważ przyspieszenie względne BAa składa się z przyspieszenia stycznego tBAa i

przyspieszenia normalnego nBAa można zapisać:

nBA

tBAAB aaaa ++=

Przyspieszenie styczne tBAa jest prostopadłe do wektora ρAB, a przyspieszenie normalne n

BAa

ma kierunek promienia ρAB. 2.3.4. Środki obrotu W ruchu płaskim członu można wyznaczyć środki obrotu. W kinematyce wykorzystywane są one do wyznaczania kierunków prędkości i przyspieszeń punków metodami graficznymi i analitycznymi. Można rozróżnić środki stałe, trwałe i chwilowe. Wybrane pary kinematyczne mogą pełnić funkcję środków obrotu w ruchu bezwzględnym i względnym. W układach kinematycznych położenie stałych i trwałych środków obrotu związane jest z położeniem określonych par kinematycznych. Położenie chwilowych środków obrotu związane jest z położeniem punktów i par kinematycznych oraz ich kierunkami prędkości i przyspieszeń. Rozróżnia się chwilowe środki prędkości i chwilowe środki przyspieszeń.

9

2.3.4.1. Konstrukcja chwilowego środka pr ędkości (obrotu) Położenie chwilowego środka obrotu (CSO) wyznacza się prowadząc z dwóch punktów o znanej prędkości (VA, VB), linię prostopadłą do tej prędkości (rys. 2.8). Proste te noszą nazwę prostych zerowych lub promieni wodzących. Punkt przecięcia prostych jest chwilowym środkiem obrotu Qv członu ABC (CSO ABC). Kąt utworzony pomiędzy liniami prostopadłymi do wektorów w odpowiednich punktach a liniami łączącymi punkt Qv z końcami wektorów prędkości tych punktów wynosi ϕ i jest stały dla wszystkich punktów. Prędkość chwilowego środka prędkości równa jest zeru. Położenie punktu Qv można wykorzystać do określenia wektora prędkości punktu C. Prowadzi się linię łączącą punkt Qv z punktem C. Ponieważ kierunek prędkości jest zawsze prostopadły do tej linii, wystarczy odmierzyć kąt ϕ i narysować linię do przecięcia z kierunkiem wektora punktu C. Punkt przecięcia wyznacza koniec wektora VC. Miejsce geometryczne chwilowych środków prędkości w układzie stały nazywane jest centroidą stałą.

Rys. 2.8. Wyznaczanie chwilowego środka prędkości 2.3.4.2. Konstrukcja chwilowego środka przyspieszeń Położenie chwilowego środka przyspieszeń (CSP) wyznacza się na podstawie znajomości wektora przyspieszeń dla dwóch punktów członu. Zgodnie z równaniem wektorowym:

BAAB aaa += wyznacza się wartość przyspieszenia względnego BAa

Kierunek wektora tworzy z linią będącą przedłużeniem kierunku odcinka AB kąt ψ (rys. 2.9). Następnie wykreśla się linie proste odchylone od odpowiednich wektorów o kąt ψ. Kierunek odchylenia wynika z kierunku w jakim należy obrócić wektor BAa do pokrycia z kierunkiem członu AB (w tym przypadku w prawo).

10

Kąt ψ jest zawsze kątem ostrym. Chwilowy środek przyspieszeń Qa członu AB (CSP AB) wyznacza przecięcie tych linii. Przyspieszenie chwilowego środka przyspieszeń równa jest zeru.

Rys. 2.9. Wyznaczanie chwilowego środka prędkości

11

2.4. METODY ANALIZY STOSOWANE W KINEMATYCE MECHANIZ MÓW PŁASKICH

2.4.1. Metody graficzne Metody graficzne, klasyczne już w obecnej dobie komputeryzacji, są jednak nadal użyteczne, a często wygodniejsze i szybciej prowadzące do rozwiązania niż inne metody. Podstawowym celem ich zastosowania może być sprawdzenie wyprowadzonych zależności analitycznych, oraz sprawdzenie wyników uzyskanych innymi metodami. Zaletą metod graficznych jest ich niezaprzeczalny aspekt dydaktyczny, umożliwiający obrazowe przedstawienie zjawisk i zależności kinematycznych zachodzących w mechanizmach. Znajomość metod graficznych ułatwia też zapis analityczny rozpatrywanego mechanizmu. Wadą metod graficznych jest mała, choć nie zawsze, dokładność rozwiązania oraz duża czasochłonność wykonywanych konstrukcji graficznych. Metody graficzne można podzielić na metody dokładne oraz przybliżone. Do graficznych metod wyznaczania położeń i trajektorii należą metody m. in.: - geometryczna, - przecięć torów (lub miejsc geometrycznych), - pozornych położeń ogniw (lub kolejnych przybliżonych położeń), - analizy odległości, - wzornikowa. Do metod dokładnych zaliczana jest tylko metoda geometryczna. Graficzne metody określania prędkości i przyspieszeń dzielą się także na przybliżone i dokładne. Do przybliżonych zalicza się metody: - toru ocechowanego, - wykresów kinematycznych, - krzywizny toru. Podstawą do rozwiązania wyżej wymienionych metod jest znajomość zmian współrzędnych położenia w funkcji określonego parametru, najczęściej kąta obrotu ogniwa napędzającego. Do graficznych metod wyznaczania prędkości i przyspieszeń można zaliczyć metody: - rzutów prędkości, - prędkości względnych, - chwilowego środka obrotu i chwilowego środka przyspieszeń, - prędkości i przyspieszeń obróconych, - biegunowego wykresu prędkości i przyspieszeń, - podobieństwa Burmestra, - punktów pomocniczych (Assura), - proporcjonalności, - pozornych punktów pomocniczych, - podziału ruchu 2.4.2. Metody analityczne Podstawą zastosowania metod analitycznych jest uzyskanie algebraicznych zależności określających położenia członów mechanizmu w funkcji czasu lub parametru położenia członu czynnego. Określone związki położeń, po kolejnym różniczkowaniu umożliwiają otrzymanie zależności wykorzystywanych do wyznaczenia prędkości i przyspieszeń. Metody analityczne dzielą się na przybliżone i dokładne.

12

Podstawą zastosowania metod przybliżonych takich jak np. numeryczna i aproksymacji, jest znajomość toru punktu w ujęciu dyskretnym w jednakowych odcinkach czasu. Metody analityczne dokładne są metodami szeroko stosowanymi do uzyskania wyników o dużej dokładności. Zaliczają się do nich metody np.: - trygonometryczna, - wektorów liniowych, - macierzowa, - liczb zespolonych, - wektorowo - macierzowa, - wektorowo - wyznacznikowa, - modyfikacji. Najczęściej do analizy mechanizmów dźwigniowych stosuje się metodę wektorów liniowych (zapisu wektorowego). Zasadą tej metody, jest zastąpienie łańcucha kinematycznego członów mechanizmu odpowiednim łańcuchem wektorowym. W przypadku mechanizmów o bardziej skomplikowanej strukturze, konieczne jest wykorzystanie kilku lub kilkunastu zamkniętych łańcuchów wektorowych. Zapis łańcuchów wektorowych sprowadza się do zapisu układów równań rzutów wektorów na osie przyjętego układu współrzędnych. Otrzymane układy równań, różniczkowane po czasie pozwalają określić prędkości kątowe członów, oraz po kolejnym różniczkowaniu przyspieszenia kątowe członów mechanizmu. Uzyskane prędkości i przyspieszenia kątowe, wykorzystywane są dalej do obliczenia prędkości i przyspieszeń liniowych osi par kinematycznych, oraz punktów związanych z członami mechanizmu. 2.4.3. Metody numeryczne Metody numeryczne mogą być oparte są na iteracyjnym procesie rozwiązywania równań nieliniowych, będącym podstawą metody Newtona - Raphsona. Metoda ta wykorzystuje zależności analityczne do obliczeń położeń, a następnie obliczeń prędkości i przyspieszeń z zależności numerycznych, wynikających z metody przyrostów skończonych. Metoda przyrostów skończonych może także być wykorzystana do określania prędkości i przyspieszeń dla znanych, określonych graficznie położeń. Do metod numerycznych można także zaliczyć metodę, opartą na wykorzystaniu rozwinięcia funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera. 2.5. ZASTOSOWANIE METOD GRAFICZNYCH 2.5.1 Podziałki W celu graficznego przedstawienia mechanizmu i wielkości fizycznych takich jak: przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia, wprowadza się określone podziałki. Podziałka jest wielkością wymiarową i jej wartość określa się jako iloraz wielkości rzeczywistej i wartości długości odcinka ją odwzorującego. Rzeczywiste parametry przedstawiono za pomocą odcinków mierzonych w milimetrach. W pracy przyjęto następujące podziałki: µ l - podziałka długości, µ v - podziałka prędkości, µ a - podziałka przyspieszeń.

13

Dla odróżnienia, wartości rysunkowe zapisuje się w nawiasie np. ( )VB , a wartości

rzeczywiste bez nawiasu np. BV .

( )

=mm

m

l

llµ , ( )

⋅=

smm

m

V

V

B

Bvµ , ( )

⋅=

2B

Ba smm

m

a

aµ

Przyjmując jednostkę długości milimetr, wartość podziałki długości przyjmuje

wartość

=mm

mml 1µ lub

=mm

m001,0lµ czyli jednemu milimetrowi rzeczywistej długości

członu odpowiada jeden milimetr długości tego członu na rysunku. Wynika to z możliwości bezpośredniego odczytu uzyskanych graficznie wartości i porównania z obliczonymi bez konieczności przeliczeń. Także w celu dalszego łatwiejszego odczytu przyjmuje się podziałki prędkości i przyspieszeń: lv µωµ ⋅=

oraz µ ω µa v= ⋅ lub µ ω µa l= ⋅2 Takie przyjęcie podziałek powoduje że wielkości rysunkowe prędkości i przyspieszenia członu napędzającego mają wymiar rysunkowy tego członu. W praktyce konstrukcje graficzne i obliczenia numeryczne przeprowadza się przy założeniu że prędkość kątowa członu napędzającego ω=const. oraz przyspieszenie kątowe tego członu ε=0. Ruch taki nosi nazwę stałego lub głównego ruchu mechanizmu. Ponieważ przyjęto wartość ω=1 [rad/s], można zapisać wartości podziałek:

µ l

mm

mm s=

⋅

1 lub

⋅=

smm

m001,0lµ

oraz

µ a

mm

mm s=

⋅

1 2

lub

⋅=

2a smm

m001,0µ

Czyli, jeśli odczytana rysunkowa wartość prędkości punktu B wynosi np. ( )V mmB = 27 [ ] ,

to rzeczywista wartość prędkości tego punktu wynosi Vmm

sB v= ⋅ =

27 27µ lub

Vm

sB =

0 027, .

Analogicznie jeśli odczytana rysunkowa wartość przyspieszenia punktu wynosi np. ( )a mmB = 54 [ ] , to rzeczywista wartość prędkości tego punktu wynosi

amm

sB a= ⋅ =

54 54

2µ lub a

m

sB =

0 054 2, .

14

2.5.2. Konstrukcja przyspieszenia normalnego Przy przyjęciu odpowiednich podziałek długości, prędkości można graficznie wyznaczyć wartość przyspieszenia normalnego punktu A, w ruchu obrotowym (rys. 2.10).

Rys. 2.10. Konstrukcja przyspieszenia normalnego Wyznaczenie wektora rozpoczyna się od poprowadzenia linii łączącej środek obrotu korby, punktu O z końcem wektora prędkości punktu A. Następnie prowadzi się linię prostopadłą do poprzedniej do przecięcia z linią będącej przedłużeniem korby OA. Punkt przecięcia wyznacza koniec odcinka o początku w punkcie A, wyznaczający wektor

nAa− . Obrót o kąt 180° wyznacza wartość wektora n

Aa . Przyspieszenie normalne jest zawsze skierowane do środka krzywizny.

15

2.5.3. Wyznaczanie trajektorii wybranych punktów mechanizmu metodą graficzną Dalej przedstawiono wybraną metodę graficzną służącą do wyznaczania położeń wybranych par i punktów mechanizmu. Zastosowanie metody polega na ocechowaniu toru wybranego punktu. Wybrano punkt poruszający się po okręgu i wykonujący pełny obrót. Ocechowanie nakłada punkty na torze wybranego punktu odpowiadające równym przedziałom czasu. Liczba przedziałów związana jest z zakładaną dokładnością rozwiązania i wynosi od 12 do 24 położeń. Przykład zastosowania metody toru ocechowanego do wyznaczenia trajektorii punktów mechanizmu korbowo-wodzikowego, przedstawiono dalej (rys. 2.11). Dla mechanizmu przyjęto podziałkę długości i narysowano jego schemat kinematyczny. Przyjęto stałą wartość prędkości ω=const. W celu wyznaczenia trajektorii punktów C, E i F, podzielono tor punktu B (okręg – tB) na 12 części. Dla każdego z położeń punktu B (1÷12) określono położenia pozostałych punktów. Tory punktów E i F noszą nazwę krzywych łącznikowych.

Rys. 2.11. Trajektorie mechanizmu korbowo - wahaczowego

Otrzymane położenia mogą posłużyć do określenia prędkości i przyspieszeń punktów graficzną metodą toru ocechowanego.

16

2.5.4. Metoda planów W celu zastosowania metody planów, konieczne jest przyjęcie podziałek długości, prędkości i przyspieszeń. Wykorzystanie metody planów do wyznaczania prędkości i przyspieszeń par i punktów mechanizmu polega na graficznym rozwiązaniu równań wektorowych prędkości i przyspieszeń. Układy wektorowe konstruuje się dla danego położenia członu napędzającego. Do rozwiązania konieczna jest znajomość wartości prędkości dla jednego punktu oraz co najmniej znajomość kierunków wektorów prędkości i przyspieszeń drugiego punktu.

Rys. 2.12. Plan prędkości Wyznaczanie planu prędkości rozpoczyna się od przyjęcia podziałki prędkości µ v . Rozwiązanie rozpoczyna się z dowolnego punktu PV, umieszczając w nim początki wektorów prędkości punktów jednego członu (rys. 2.12). Dla członu ABC można zapisać:

CBBC

CAAC

BAAB

VVV

VVV

VVV

+=+=+=

Końce tych wektorów wyznaczają figurę abc (rys. 2.12), która nosi nazwę planu prędkości. Punkt przyjęty poza rysunkiem mechanizmu, nazywany jest biegunem prędkości (PV) i z niego prowadzone jest rozwiązanie. Figura abc jest podobna do członu ABC i obrócona względem niego o 90°, zgodnie z kierunkiem prędkości kątowej ω. Plan prędkości dla całego mechanizmu otrzymuje się rozwiązując graficznie odpowiednie równania wektorowe ze wspólnego bieguna PV. Kolejnym krokiem po wyznaczeniu wartości wektorów prędkości jest wyznaczenie przyspieszeń liniowych i kątowych. Podobnie jak w przypadku prędkości konieczne jest przyjęcie podziałki przyspieszeń µ a . Następnie początki wektorów przyspieszeń punktów A, B, C przesuwa się do jednego punktu Pa, nazywanego biegunem przyspieszeń. Końce wektorów przyspieszeń tworzą figurę abc, nazywaną planem przyspieszeń członu ABC (rys. 2.13).

17

Rys. 2.13. Plan przyspieszeń W rozwiązaniu należy uwzględnić zależności między wektorami:

BAAB aaa +=

CBBC

CAAC

aaa

aaa

+=

+=

Plan przyspieszeń abc jest podobny do członu ABC i jest obrócony względem niego o kąt (180-ψ), zgodnie z kierunkiem przyspieszenia ε. Wartość kąta ψ wynosi:

2tgarc

ωεψ =

Końce wektorów przyspieszeń punktów A, B i C wyznaczają odpowiednie wektory przyspieszeń względnych. Rozwiązanie przeprowadzone z biegunów prędkości nosi nazwę biegunowych wykresów prędkości lub przyspieszeń. Plan rozwiązania prędkości i przyspieszeń w całości lub w części można umieścić na rysunku (schemacie) mechanizmu.

18

2.5.5. Przykłady zastosowania graficznych metod wyznaczania prędkości i przyspieszeń 2.5.5.1. Mechanizm korbowo - wahaczowy Dla mechanizmu korbowo - wahaczowego przyjęto wymiary geometryczne mechanizmu oraz prędkość kątową ω=const korby O1A (rys. 2.14). Przyjęto podziałki długości, prędkości i przyspieszeń. Narysowano schemat mechanizmu. Rozwiązanie przeprowadzono częściowo na schemacie mechanizmu oraz z wykorzystaniem dodatkowych punktów (biegunów prędkości i przyspieszeń).

Rys. 2.14. Analiza mechanizmu korbowo - wahaczowego

W rozwiązaniu zastosowano konstrukcję przyspieszenia normalnego i wykorzystano zależności:

BAAB VVV +=

BAAB aaa += nAA

tA aa,0a ==

tBA

nBAAB aaaa ++=

19

2.5.5.2. Mechanizm korbowo - wodzikowy Dla mechanizmu korbowo - wodzikowego przyjęto wymiary geometryczne mechanizmu oraz prędkość kątową ω=const korby O1A (rys. 2.15). Przyjęto podziałki długości, prędkości i przyspieszeń. Narysowano schemat mechanizmu. Rozwiązanie przeprowadzono częściowo na schemacie mechanizmu oraz z wykorzystaniem dodatkowych punktów (biegunów prędkości i przyspieszeń) i prostej przewodniej. Przyspieszenie punktu C wyznaczono korzystając z chwilowego środka przyspieszeń (punkt Qa).

Rys. 2.15. Analiza mechanizmu korbowo - wodzikowego W rozwiązaniu zastosowano konstrukcję przyspieszenia normalnego i wykorzystano zależności:

CAAC

BAAB

VVV

VVV

+=+=

BAAB aaa += nAA

tA aa,0a ==

tBA

nBAAB aaaa ++=

20

2.6. ZASTOSOWANIE WYBRANEJ METODY ANALITYCZNEJ 2.6.1. Założenia metody wektorowej Podstawą przedstawianej dalej metody analitycznej (wektorowej) zastosowanej do analizy rozpatrywanych mechanizmów jest uzyskanie zamkniętych łańcuchów (wieloboków) wektorowych, zastępujących określone łańcuchy kinematyczne członów mechanizmów. Warunek zamknięcia można zapisać l n∑ = 0

lub

l

l

nx

ny

∑∑

=

=

0

0

∑ ∑∑ ∑

=

=

nnny

nnnx

sinll

cosll

α

α

nα - kąty nachylenia wektora do poziomej osi układu współrzędnych.

Równania 4.2.a-b przedstawiają warunek zamknięcia sumy rzutów wektorów l n na osie x i y przyjętego układu współrzędnych prostokątnych. Otrzymane sumy rzutów w postaci układów równań, różniczkowane po czasie pozwalają określić prędkości kątowe członów, oraz po kolejnym różniczkowaniu przyspieszenia kątowe członów mechanizmu. Uzyskane prędkości i przyspieszenia kątowe, wykorzystywane są dalej do obliczenia prędkości i przyspieszeń liniowych osi par kinematycznych. 2.6.2. Przykład. Analiza czworoboku przegubowego Do analizy przyjęto czworobok przegubowy ABCD (rys. 2.16) o znanych długościach członów: l1, l2, l3 i l4.

Rys. 2.16. Schemat czworoboku przegubowego

21

Przyjmując układ współrzędnych 0xy oraz zastępując człony odpowiednimi wektorami można zapisać równanie wektorowe:

0llll 4321 =+++

Po wprowadzeniu przyjętych kątów otrzymuje się równania zawierające sumy rzutów wektorów:

0lsinlsinlsinl

0lcoslcoslcosl

4332211

4332211

=+++=+++

αααααα

Przyjmując że kąt 1α jest kątem zadanym, określa się dla niego wartości pozostałych kątów

2α i 3α .

Rozwiązanie można przeprowadzić dowolnymi metodami analitycznymi lub z wykorzystaniem oprogramowania obliczeniowego. Znając położenie ogniw czworoboku można przystąpić do wyznaczania prędkości kątowych ogniw ruchomych (2) i (3) różniczkując równania położenia po czasie:

0coslcoslcosl

0sinlsinlsinl

333222111

333222111

=⋅+⋅+⋅=⋅−⋅−⋅−

αααααααααααα&&&

&&&

Z równań należy wyznaczyć wartości prędkości kątowych 2α& i 3α& przy założeniu stałej

wartości kąta 1α i jego prędkości kątowej 1α& . Aby uzyskać wartości przyśpieszeń kątowych ogniw należy zróżniczkować po czasie równania prędkości, otrzymując równania:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0cossinlcossinlcossinl

0sincoslsincoslsincosl

332

333222

222112

111

332

333222

222112

111

=⋅+⋅−+⋅+⋅−+⋅+⋅−

=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−

αααααααααααα

αααααααααααα&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

Z równań należy wyznaczyć wartości przyspieszeń kątowych 2α&& i 3α&& przy założeniu stałej

wartości kąta 1α i jego prędkości kątowej 1α& . W celu proszenia obliczeń wartość

przyspieszenia 1α&& można przyjąć równą zeru.

22

2.6.3. Analiza kinematyczna mechanizmu czworoboku przegubowego z parą przesuwną 2.6.3.1. Wyznaczanie położeń punktów mechanizmu Zastosowano metodę wektorów liniowych dla mechanizmu czworoboku przegubowego z parą przesuwną na dodatkowej korbie (rys. 2.17). Dane: AB=a1=400, AC=a2=300, AB=a3=300, O1A=r1=150, O3B=r2=500, O2E= r3=800, w1=500, w2=100, w3=900, h1=200, h2=400, h3=200, ω=1, ε=0.

Rys. 2.17. Przyjęte wielkości geometryczne mechanizmu Rozwiązanie zagadnienia położeń polega na zapisie i rozwiązaniu układu równań:

3233D2

3233D2

32111

32111

hsinr)sin(asinlh

wcosr)cos(acoslw

hsinrsinasinrh

wcosrcosacosrw

=−−++=−−++

=−++=−++

γααδγααδ

γαϕγαϕ

Przy założonej wartości ϕ niewiadomymi w układzie równań są wartości: Dl,,, δγα . Obliczenia przeprowadzono metodami numerycznymi zakładając zmienne wartości

kąta ϕ, .360...2,1i,i180i == πϕ

23

Poniżej przedstawiono wyniki obliczeń przedstawiające tory punktów (osi par kinematycznych) na tle położenia początkowego przedstawionych w uproszczeniu członów rozpatrywanego mechanizmu (rys. 2.18).

Rys. 2.18. Położenia punktów mechanizmu

24

2.6.4. Analiza kinematyczna wybranego mechanizmu IV klasy 2.6.4.1. Wyznaczanie położeń punktów mechanizmu Do analizy wybrano mechanizm IV klasy o zadanych wymiarach geometrycznych i wartościach kątów trójkątów (rys. 2.19).

Rys. 2.19. Przyjęte wielkości geometryczne mechanizmu IV klasy

Rozwiązanie zagadnienia położeń polega na zapisie i rozwiązaniu układu równań:

0sinasinbsindsinb

0cosacosbcosdcosb

hhsinrsindsincsinr

wwcosrcosdcosccosr

hhsinr)sin(csinasinr

wwcosr)cos(ccosacosr

hhsinrsinb)sin(asinr

wwcosrcosb)(cosacosr

332211

332211

23331122

23331122

122212221

122212221

133311211

133311211

=+−−=+−−

−=+++−=+++

−=−+−+−=−+−+

−=++++−=++++

αβδβαβδβ

ϕδγϕϕδγϕ

ϕγγαϕϕγγαϕ

ϕβααϕϕβααϕ

25

Przy założonej wartości ϕ niewiadomymi w układzie równań są wartości: α α β β γ δ ϕ ϕ2 3 1 2 1 1 2 3, , , , , , , .

Obliczenia przeprowadzono metodami numerycznymi zakładając zmienne wartości kąta ϕ

.360...2,1i,i180i == πϕ

Dane dla mechanizmu (wymiary liniowe w [mm], miary kątów w [rad]):

r r r a a b c c d

w w w h h h1 2 3 1 2 1 1 2

1 2 3 1 2 3

25 60 60 65 65 90 60 60 70

45 159 182 105 10 201

6

2

3

= = = = = = = = == = = = = =

= =

, , , , , , , , ,

, , , , , ,

,α π γ π

Położenia punktów można określić przez podanie równań, wynikających z sumy rzutów wektorów opisujących ich położenie w układzie współrzędnych. Poniżej podano współrzędne trzech interesujących punktów mechanizmu: Dla punktu B można zapisać:

x w r a

y h r aB

B

= + + += + + +

1 1 1 2

1 1 1 2

cos cos( )

sin sin( )

ϕ α αϕ α α

Dla punktu C można zapisać:

x w r a

y h r aC

C

= + += + +

1 1 2 2

1 1 2 2

cos cos

sin sin

ϕ αϕ α

Dla punktu E można zapisać:

x w r c

y h r cE

E

= + += + +

2 2 2 1 1

2 2 2 1 1

cos cos

sin sin

ϕ γϕ γ

W podobny sposób można określić położenie dowolnych punktów należących do członów mechanizmu lub związanych z jego członami. Do takich punktów należą np. środki długości dźwigni lub środki mas innych członów. Poniżej przedstawiono wyniki obliczeń przedstawiające tory punktów (osi par kinematycznych) na tle położenia początkowego członów rozpatrywanego mechanizmu (rys. 2.20). Wybrano ten sposób przedstawiania uzyskanych położeń ze względu na czytelność i obrazowość uzyskanych wyników. Oczywiście, za wspomniane położenie początkowe może być przyjęte każde inne położenie punktów mechanizmu.

26

Rys. 2.20. Położenia punktów mechanizmu IV klasy

2.6.4.2. Wyznaczanie prędkości punktów mechanizmu Rozwiązanie zagadnienia prędkości punktów polega na zróżniczkowaniu układu równań opisujących położenia. Otrzymuje się równania:

− − + − − =

+ + + + =− − + + + =

+ − + − =

− − − −

r a b r

r a b r

r a c r

r a c r

r c d r

1 1 2 2 1 1 1 3 3 3

1 1 2 2 1 1 1 3 3 3

1 2 2 2 2 1 1 2 2 2

1 2 2 2 2 1 1 2 2 2

2 2 2 1 1 1 3

0

0

0

0

ω ϕ α α α β β ϕ ϕω ϕ α α α β β ϕ ϕ

ω ϕ α α γ γ γ ϕ ϕω ϕ α α γ γ γ ϕ ϕ

ϕ ϕ γ γ δ δ

sin & sin( ) & sin & sin

cos & cos( ) & cos & cos

sin & sin & sin( ) & sin

cos & cos & cos( ) & cos

& sin & sin & sin &ϕ ϕϕ ϕ γ γ δ δ ϕ ϕ

β β δ δ β β α αβ β δ δ β β α α

3 3

2 2 2 1 1 1 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

0

0

0

0

sin

& cos & cos & cos & cos& sin & sin & sin & sin

& cos & cos & cos & cos

=

+ + + =

− + + − =

− − + =

r c d r

b d b a

b d b a

Przy założonej wartości ω, niewiadomymi w układzie równań są wartości:

.,,,,,,, 32112132 ϕϕδγββαα &&&&&&&&

27

Uzyskane wyniki obliczeń można przedstawić w postaci hodografów prędkości i przyspieszeń, lub w postaci wykresów (przebiegów) zmian prędkości i przyspieszeń w funkcji kąta obrotu korby napędzającej. Oczywiście można je sporządzić dla wszystkich punktów rozpatrywanego mechanizmu. Poniżej przedstawiono jednak wyniki obliczeń dla najbardziej interesujących, jak się wydaje punktów. Wyjątkiem są wykresy zestawieniowe prędkości i przyspieszeń wszystkich punktów mechanizmu przedstawione w celu pokazania wzajemnych ich proporcji. Poniżej przedstawiono wykres zestawieniowy prędkości punktów mechanizmu (rys. 2.21).

Rys. 2.21. Zestawienie zmian prędkości punktów mechanizmu uzyskane dla zmian kąta ϕ

Natomiast poniżej przedstawiono hodografy prędkości punktów A, B, C, D i E (rys. 2.22).

Rys. 2.22. Hodografy wektorów prędkości punktów B, D i E mechanizmu

28

2.6.4.3. Wyznaczanie przyspieszeń punktów mechanizmu Rozwiązanie zagadnienia przyspieszeń punktów polega na zróżniczkowaniu układu równań opisujących prędkości. Otrzymuje się równania:

− + − + + + − + +

− + =

− + + − + + − +

+ + =

− + −

r a b

r

r a b

r

r a

12

1 2 2 22

2 1 1 1 12

1

3 3 3 32

3

12

1 2 2 22

2 1 1 1 12

1

3 3 3 32

3

12

2

0

0

( sin cos ) (&& sin( ) & cos( )) (&& sin & cos )

(&& sin & cos )

( cos sin ) (&& cos( ) & sin( )) (&& cos & sin )

(&& cos & sin )

( sin cos ) (

ε ϕ ω ϕ α α α α α α β β β βϕ ϕ ϕ ϕ

ε ϕ ω ϕ α α α α α α β β β βϕ ϕ ϕ ϕε ϕ ω ϕ && sin & cos ) (&& sin( ) & cos( ))

(&& sin & cos )

( cos sin ) (&& cos & sin ) (&& cos( ) & sin( ))

(&& cos & sin )

(&& sin & cos ) (&& sin &

α α α α γ γ γ γ γ γϕ ϕ ϕ ϕ

ε ϕ ω ϕ α α α α γ γ γ γ γ γϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ γ γ γ

2 2 22

2 2 1 1 12

1

2 2 2 22

2

12

2 2 2 22

2 2 1 1 12

1

2 2 2 22

2

2 2 2 22

2 1 1 1

0

0

+ + + + + +

+ + =

− + − − + − + +

− − =

− + − +

c

r

r a c

r

r c 12

12

3 3 3 32

3

2 2 2 22

2 1 1 1 12

12

3 3 3 32

3

1 1 1 12

12

2 2 2 22

2

0

0

cos ) (&& sin & cos )

(&& sin & cos )

(&& cos & sin ) (&& cos & sin ) (&& cos & sin )

(&& cos & sin )

(&& sin & cos ) (&& sin & cos ) (&& sin & cos )

γ δ δ δ δ

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ γ γ γ γ δ δ δ δ

ϕ ϕ ϕ ϕβ β β β δ δ δ δ β β β β

− + +

− + =

− + − + + +

+ + =

− + + + + + +

−

d

r

r c d

r

b d b

a

b d b

a

3 3 3 32

3

1 1 1 12

12

2 2 2 22

2

3 3 3 32

3

0

0

(&& sin & cos )

(&& cos & sin ) (&& cos & sin ) (&& cos & sin )

(&& cos & sin )

α α α αβ β β β δ δ δ δ β β β β

α α α α

+ =

− − + − − +

+ + =

Przy założonej wartości ε, niewiadomymi w układzie równań są wartości:

.,,,,,,, 32112132 ϕϕδγββαα &&&&&&&&&&&&&&&&

Poniżej przedstawiono wykres zestawieniowy przyspieszeń punktów mechanizmu (rys. 2.23).

29

Rys. 2.23. Zestawienie zmian przyspieszeń punktów mechanizmu, uzyskane dla zmian kąta ϕ

Natomiast poniżej przedstawiono hodografy przyspieszeń punktów B, C i D (rys. 2.24).

Rys. 2.24. Hodografy wektorów przyspieszeń punktów A, B, C i D mechanizmu IV klasy

30

2.7. PRZYKŁADY DO ROZWI ĄZANIA Zadanie 1 a) Przyjąć podziałki i wyznaczyć graficznie prędkości i przyspieszenia oznaczonych punktów mechanizmu (rys. Z1). b) Wyznaczyć analitycznie trajektorie, prędkości i przyspieszenia oznaczonych par kinematycznych mechanizmu. Dane: O1O2=100, O1A=150, O2B=200, AB=200, BC=500 [mm], ω=100 [1/s], ε=0.

Rys. Z1 Zadanie 2 a) Przyjąć podziałki i wyznaczyć graficznie prędkości i przyspieszenia oznaczonych punktów mechanizmu (rys. Z2). b) Wyznaczyć analitycznie trajektorie, prędkości i przyspieszenia oznaczonych par kinematycznych mechanizmu. Dane: O1O2=200, O1A=100, O2B=200, AB=300, BC=100, CD=300 [mm], ω=100 [1/s], ε=0.

Rys. Z2

31

Zadanie 3 a) Przyjąć podziałki i wyznaczyć graficznie prędkości i przyspieszenia oznaczonych punktów mechanizmu (rys. Z3). b) Wyznaczyć analitycznie trajektorie, prędkości i przyspieszenia oznaczonych par kinematycznych mechanizmu. Dane: O1A=200, O1E=1000, AB=600, AC=600 [mm], ω=100 [1/s], ε=0.

Rys. Z3 Zadanie 4 a) Przyjąć podziałki i wyznaczyć graficznie prędkości i przyspieszenia oznaczonych punktów mechanizmu (rys. Z4). b) Wyznaczyć analitycznie trajektorie, prędkości i przyspieszenia oznaczonych par kinematycznych mechanizmu. Dane: O1O2=250, O2O3=150, O1A=100, O2B=200, O2D=150, O3F=300, AB=300, AC=150 [mm], ω=150 [1/s], ε=0.

Rys. Z4

32

Treść wykładu opracowano na podstawie wymienionej literatury, treści wykładów z TMM prowadzonych na P. Cz. (Tabor J.), prac dyplomowych oraz pracy doktorskiej i własnych opracowań. LITERATURA Artobolewski J. J., Teoria mechanizmów i maszyn, Moskwa, 1988. Czołczyński K., Wykłady z Teorii Maszyn i Mechanizmów, Politechnika Łódzka, Łódź,

1996. Felis J., Jaworowski H., Cieślik J., Teoria maszyn i mechanizmów, Analiza mechanizmów,

cz. I, Kraków, 2004. Felis J., Jaworowski H., Teoria maszyn i mechanizmów, Przykłady i zadania, cz. II, Kraków,

2007. Gronowicz A., Miller S., Twaróg W., Teoria maszyn i mechanizmów, Zestaw problemów

analizy i projektowania, P. Wr., Wrocław, 2000. Kożewnikow S. N., Teoria mechanizmów i maszyn, MON, Warszawa, 1956. Mathcad PLUS 5.0, Podręcznik użytkownika, ABB Poland, Kraków, 1994. Miller S., Teoria maszyn i mechanizmów - Analiza układów kinematycznych, Politechnika

Wrocławska, Wrocław, 1996. Młynarski T., Listwan A., Pazderski E., Teoria mechanizmów i maszyn, cz. 1, 3, Politechnika

Krakowska, Kraków, 1997. Morecki A., Oderfeld J., Teoria maszyn i mechanizmów, PWN, Warszawa, 1987. Morecki A., Knapczyk J., Kędzior K., Teoria mechanizmów i manipulatorów, Podstawy i

przykłady zastosowań w praktyce, WNT, Warszawa, 2002. Materiały konferencyjne Ogólnopolskich Konferencji Naukowo-Dydaktycznych Teorii

Maszyn i Mechanizmów, 1996-2008. Oderfeld J., Wstęp do mechanicznej teorii maszyn, WNT, Warszawa, 1962. Olędzki A., Podstawy teorii maszyn i mechanizmów, WNT, Warszawa 1987. Parszewski Z., Teoria maszyn i mechanizmów, WNT, Warszawa, 1978. Rauh K., Praktische Getriebelehre, Springer - Verlag, Berlin, 1951. Siemieniako F., Teoria maszyn i mechanizmów z zadaniami, Politechnika Białostocka,

Białystok, 1993.

33

Skalmierski B., Mechanika, PWN, Warszawa, 1994. Skalmierski B., Mechanika, cz.1, Podstawy mechaniki klasycznej, Wydawnictwo P. Cz.,

Częstochowa, 1998. Wawrzecki J., Teoria maszyn i mechanizmów, Politechnika Łódzka, Łódź, 1994. Internet .............

Documents

Struktura i analiza kinematyczna układów płaskich