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Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung Hagen-Poiseuillesches Gesetz Stokessches Gesetz

Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung Hagen-Poiseuillesches Gesetz Stokessches Gesetz

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Page 1: Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung Hagen-Poiseuillesches Gesetz Stokessches Gesetz

Strömung realer Flüssigkeiten

Laminare Strömung

Hagen-Poiseuillesches Gesetz

Stokessches Gesetz

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Inhalt

• Strömung idealer Flüssigkeiten – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli

• Strömung realer Flüssigkeiten– Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung– Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz – Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes

• Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz

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Die reale Flüssigkeit

• Bei Bewegung gibt es Reibung zwischen den Teilchen– innerhalb des Mediums– zwischen Medium und Wänden

Beachte: Trotz konstanter Kraft ist die Geschwindigkeit konstant!

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Die laminare Strömung

D

Ein Objekt in Höhe D bewege sich mit der Geschwindigkeit vo

• Die angrenzende Schicht der Flüssigkeit bewegt sich auch mit vo,

• Die am Boden des Gefäßes anliegende Schicht steht still• In den dazwischen liegenden Schichten verändert sich die

Geschwindigkeit linear mit dem Abstand zu den Grenzen

vo

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Geschwindigkeit der „Lamellen“ bei laminarer Strömungvo

Einheit

1 m/sGeschwindigkeit einer Lamelle im Abstand x vom Boden

vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts

x 1 m Abstand der Lamelle zum Boden

xD

vxv 0)(

x

D

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Gradient der Geschwindigkeitvo

x

D

Einheit

1 m/s Gradient der Geschwindigkeit

vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts

D 1 m Abstand des Objekts vom Boden

D

v

dx

dv 0

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Kraft zur Bewegung bei laminarer Strömung

1 N Newtonsche Gleichungdx

dvAF

Die Kraft gegen die Reibung ist proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit

vo

x

D

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Einheit

1 N

Kraft zur Bewegung einer Schicht in einer Strömung mit Geschwindigkeitsgradient dv/dx

1 N·s/m2 Viskosität der Flüssigkeit

1 m2 Fläche der Schicht

Die Newtonsche Gleichung

dx

dvAF

A

„Newtonsche Flüssigkeiten“: Flüssigkeiten, in denen dieses Kraftgesetz gilt

Nicht „Newtonsche Flüssigkeiten“: z. B: Polymere und Dispersionen

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Aussage der Newtonschen Gleichung für die Reibung in viskosen Medien:

In viskosen Medien ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit

• Folge: – Eine beliebig kleine Kraft führt zum „Kriechen“ – Bei konstanter Antriebskraft stellt sich - bei

genügend langer Fahrbahn - eine konstante Geschwindigkeit ein

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Anwendung der Newtonschen Gleichung:

• Strömung in einem Rohr– Hagen-Poiseuillesches Gesetz

• Fallgeschwindigkeit einer Kugel in einem viskosen Medium– Stokessches Gesetz

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Strömung in einem Rohr

Druckkraft

Reibungskraft

r

l

Die Druckkraft ist im Gleichgewicht mit der Reibungskraft

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Parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil im Rohr

p1 p2

Zur Herleitung: Die Reibungskraft der Mantelfläche bei Bewegung des Zylinderrings aus Flüssigkeit mit Geschwindigkeit v ist gleich der Druckkraft auf die Stirn-Fläche des Rings (vgl. http://www.uni-tuebingen.de/uni/pki/skripten/mechanik.html Abschnitt Hydro- u. Aerodynamik…)

drr

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Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz

Einheit

1 m3/sDefinition der Volumenstromstärke

1 m3/s

Die Volumenstromstärke in einem Rohr nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu

421

8R

l

ppI

dt

dVI

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Versuch zur laminaren Strömung

• Linearer Druckabfall in Strömungsrichtung bei laminarer Strömung zwischen den Wänden

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Versuch zum Hagen-Poiseuilleschen Gesetz

• In der Strömung durch ein Rohr wird das Parabel-förmige Geschwindigkeitsprofil der Flüssigkeit durch „Verziehen“ eines Fadens aus gefärbter Flüssigkeit sichtbar

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Das Stokessche Gesetz

Die Kugel fällt nach einiger Zeit mit konstanter Geschwindigkeit: Gleichförmige Bewegung, also kräftefrei

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Versuch zum Stokesschen Gesetz

• Fall von Kugeln unterschiedlichen Durchmessers in Glyzerin. Man erkennt, dass sich nach kurzer Beschleunigung eine vom Radius abhängige, konstante Geschwindigkeit einstellt

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Das Stokessche Gesetz

Einheit

1 NReibungskraft auf eine Kugel

1 N·s/m2 Viskosität

1 m Radius der Kugel

1 m/s Geschwindigkeit

vrF 6rv

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Weshalb fällt die Kugel – trotz Gravitation - kräftefrei?

• Nach unten zieht die Schwerkraft

• Entgegen der Bewegungsrichtung steht die Reibungskraft

• Konstant bleibt die Geschwindigkeit - d.h. der Fall ist kräftefrei - wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist

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Kräfte beim Fall in ein viskoses Medium : Schwerkraft, Trägheitskraft, Reibungskraft

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Kräfte Gleichgewicht beim Fall in viskosen Medien

Einheit

1 NReibungskraft auf eine Kugel

1 N Schwerkraft

1kgMasse einer Kugel, Dichte ρ, Radius r

1 m/sGleichgewicht zwischen Reibungs- und Schwerkraft

1 m/sKonstante Fall-End-Geschwindigkeit

vrF 6

334 rm

gmF

3346 grr

9

2 2gr

Page 23: Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung Hagen-Poiseuillesches Gesetz Stokessches Gesetz

Fall im viskosen Medium

Nicht alle Körper fallen gleichschnell• Bei gleicher Form fallen schwere Körper

schneller • Bei gleicher Dichte fallen große Körper schneller• Körper fallen mit konstanter Geschwindigkeit,

das heißt kräftefrei, wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist

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Zusammenfassung

• Bei der Strömung realer Flüssigkeiten gibt es Reibung

• Laminare Strömung• Newtonsche Gleichung: Reibungskraft

proportional zu– Gradient der Geschwindigkeit im Medium– Viskosität– Fläche der bewegten Lamelle

• „Newtonsche Flüssigkeit“: Kraft zur Bewegung proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit

• Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz • Reibungskraft auf eine Kugel ist proportional zur

Geschwindigkeit: Das Gesetz von Stokes– Konstante End-Geschwindigkeit beim Fall in viskosen

Medien

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finis