28
Strömende Flüssigkeiten Man zerlegt die Flüssigkeit in kleine Volumenelemente ΔV. Die Bewegung der Massen Δm = ρΔV wird durch die Kräfte auf das Volumenelement bestimmt und mit dem Aktionsprinzip berechnet. Gewichtskraft: Kräfte durch Druckunterschiede: V p F p d grad = r V g F g d r r ρ = x z y p F d d 2 2 = z y p F d d 1 1 = V x p z y x x p z y p p F F F x d d d d d d ) ( 1 2 2 1 = = = + = x d 282

Strömende Flüssigkeiten - uni-kassel.de · Bereiche höherer Dichte werden nach unten beschleunigt. Besteht ein Druckunterschied zwischen links und rechts wird das Volumenelement

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Strömende Flüssigkeiten

Man zerlegt die Flüssigkeit in kleine Volumenelemente ΔV.

Die Bewegung der Massen Δm = ρ ΔV wird durch die Kräfte auf dasVolumenelement bestimmt und mit dem Aktionsprinzip berechnet.

Gewichtskraft:

Kräfte durch Druckunterschiede: VpFp dgrad−=r

VgFg drr

ρ=

x

zypF dd22 −=zypF dd11 =

Vxpzyx

xpzyppFFFx dddddd)( 1221 ∂

∂−=

∂∂

−=−−=+=

xd

282

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Bereiche höherer Dichte werden nach unten beschleunigt.

Besteht ein Druckunterschied zwischen links und rechts wird das Volumenelement seitwärts beschleunigt (oben/unten, vorn/hinten ebenso).

Zusätzlich wirken Reibungskräfte zwischen Volumenelementen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.

Gesamtkraft auf das Volumenelement die beschleunigt:

Beschreibung der Flüssigkeits-Bewegung durch Angabe der Geschwindigkeit

an jedem Ort zu jeder Zeit (Strömungsfeld).

Hängt nicht explizit von der Zeit ab, spricht man von einer stationären Strömung.

Rpg FFFFrrrr

++=

),,,(),( tzyxutru rrr=

),( tru rr

)(),( rutru rrrr=

283

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Beschleunigung eines Volumenelementes:

1. in stationärer Strömung:Das Volumenelement gelangt in der Zeit Δt von nachdort hat es ggf. eine andere Geschwindigkeit. → BeschleunigungBeispiel Beschleunigung in x-Richtung bei Verschiebung in x-Richtung:

Beispiel Beschleunigung in x-Richtung bei Verschiebung in y-Richtung:

Alle möglichen Verschiebungen zusammen ergeben:

rr tur Δ+rr

xxx u

xu

tu

∂∂

=d

d

yxx u

yu

tu

∂∂

=d

d

x∂

y∂

zx

yx

xxx u

zuu

yuu

xu

tu

∂∂

+∂∂

+∂∂

=d

d

284

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2. in zeitabhängiger Strömung:Zusätzlich kann das Strömungsfeld noch explizit von der Zeit abhängen.Allgemein gilt für die Beschleunigung in x-Richtung:

Mit der Abkürzung (Nabla)

ergibt sich

Des Volumenelement wird bescheunigt, wenn die Geschwindigkeit amselben Ort zunimmt oder wenn es in einen Bereich höherer Geschwindigkeitverschoben wird.

zx

yx

xxxx u

zuu

yuu

xu

tu

tu

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=d

d

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=∇zyx

,,r

uutu

tu rrr

rr)(

dd

∇⋅+∂∂

=

285

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Bewegungsgleichung für Flüssigkeit ohne Reibung:(Euler-Gleichung)Aktionsprinzip

Beschleunigung und Kräfte einsetzen:

liefert:

L. Euler, 1755

{{

pg

am

FFtuV

rrr

r

+=dddρ

VpgVuutuV dgradd)(d −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇⋅+∂∂ rrrrr

ρρ

pguutu grad1)(

ρ−=∇⋅+

∂∂ rrrrr

Euler-Gleichung

286

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Um die Flüssigkeit vollständig zu beschreiben muss man für jeden PunktGeschwindigkeit und Dichte bzw. Druck angeben.

Zur Berechnung der zeitlichen Entwicklung der Strömung muss aucheine Dgl. für die Dichte aufgestellt werden: Kontinuitätsgleichung

Zufluss/Abfluss-Bilanz für Volumenelement:

),( tru rr

),( trrρ

Strömungsfeld = Vektorfeld

Dichteverteilung = skalares Feld

x

zyut

mx dd

dd 1 ρ=

xd

zyut

mx dd'

dd 2 ρ−=

AbflussZufluss

Vxuzyx

xuzyuu

tm

tm

tm xx

xx dddddd)'(d

dd

ddd 21

∂∂

−=∂∂

−=−−=+= ρρρ287

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Berücksichtigung der anderen Seiten liefert:

dadurch ändert sich die Dichte in dem Volumenelement:

Die Klammer bezeichnet man als Divergenz = Quellstärke eines Vektorfeldes

Dichte im Volumenelement nimmt zu, wenn mehr zufließt als abfließt.Dichte im Volumenelement nimmt ab, wenn mehr abfließt als zufließt.

Vzu

yu

xu

tm zyx d

dd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=zu

yu

xu

tzyxρρ

dd

Vm

dd

ut

rdivdd ρρ

−= Kontinuitätsgleichung

288

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Stationäre Strömungen in Rohren ohne Reibung

Flüssigkeit sei inkompressibel also

Der Massenstrom ist überall im Rohr gleich (analog zum elektr. Strom).Gilt, weil es bei Inkompressibilität keine Quellen oder Senken gibt

Im Zeitelement dt tritt durch die Fläche A die gleich Masse dm, wie durch die Fläche

const. ),( =trrρ

xx uAuAtxA

tm ''

dd

dd ρρρ ===

A'A

also muss sein:xx uu >'

0div =ur

ur 'ur

289

'A

AA <'AA

uu

x

x ''=

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Berechnung des Druckes bei solchen Strömungen:Eulersche Gleichung war

Keine Abhängigkeiten von t, y, z, da stationär, ohne Reibung und g = 0.Ableitungen nach t, y, z sind Null.

Integrieren:

pguutu grad1)(

ρ−=∇⋅+

∂∂ rrrrr

xpu

xu

xx

∂∂

−=∂∂

⇒ρ1

∫∫ −= puu xx d1dρ

const. 121 2 +−=⇒ pux ρ

const. 221 =+ up ρ Bernoulli-Gleichung

221 uρp ist der statische Druck, heißt Staudruck

290

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Versuch:Der Druck wird mit Steigrohren gemessen.Im Bereich großer Geschwindigkeit ist derDruck kleiner (Bild a).

Mit Reibung (Bild b): Der Druck nimmt zusätzlich kontinuierlich zum Abfluss hin ab.

Energiebetrachtung:In dem Volumen ΔV ist die elastische Energie

gespeichert. Bei der Geschwindigkeit u hat ΔV die kinetische Energie:

Energieerhaltung liefert:

VpEelast Δ=

VuEkin Δ= 221 ρ

const. 221 =Δ+Δ=+ VuVpEE kinelast ρ

291

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Rohre mit Höhenunterschied:Zu elastischer und kinetischer Energie kommt noch potentielle Energie:

Energieerhaltung liefert:

also

VhgEpot Δ= ρ

const. 221 =Δ+Δ+Δ=++ VhgVuVpEEE potkinelast ρρ

const. 221 =++ hgup x ρρ

292

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Hydrodynamisches Paradoxon

Die schnelle Strömung zwischen den beiden Platten erzeugt Unterdruck:

Umgebungsdruck:

Druck zwischen Scheiben:

Unterdruck:

Die Scheibe schwebt, wenn:

00 pp =+

02

21 pup =+ ρ

221

0 upp ρ−=

221 uρ−

gmAu >221 ρ

293

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Dynamischer Auftrieb beim Fliegen:

Um einen Flugzeugflügel strömt die Luft entlang der Oberseite einen längeren Weg als entlang der Unterseite.

Dadurch oben schnelleres Strömen.

Druck oben:

Druck unten:

Die Druckdifferenz zwischen oben und unten erzeugt eine Kraft nach oben:

Durch die Reibung an der Tragfläche ist der Prozess etwas komplizierter.

1u

2u

21 uu >212

101 upp ρ−=

222

102 upp ρ−=

AuuF )( 22

212

1 −≈ ρ

294

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Reibung in Flüssigkeiten:

Zwei Platten mit einer Flüssigkeitsschicht dazwischenwerden gegeneinander verschoben.Wegen Reibung in der Flüssigkeit benötigt man die Kraft:

η : Viskosität oder Zähigkeit, Einheit: [η] = N s / m2 = Pa s

1u 2uxΔ

xuA

xuuAF z

dd12 ηη =

Δ−

=

Flüssigkeit η / mPa s T=20° T=0° T=100°

Wasser 1.00 1.79 0.282

Benzol 0.65

Ethanol 1.20

Glyzerin 1480 12000 15

Quecksilber 1.55

295

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Reibungskräfte in einem Strömungsfeld:

Volumenelement ΔV erfährt links und rechts Reibungskräfte:

1F

2Fx

z

xuzyF

dddd1 η−=

xx

z

xuzyF

d2 d

ddd+

zu

x

296b1F

2F

xxu

xu

zyxF x

z

xx

z

z ddd

dd

ddd d

= +η

Addieren und erweitern mit dx liefert:

Zusammen ergibt dies

21 FFFz +=

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Der Differenzenquotient ergibt gerade die zweite Ableitung von uz nach dx

Also:

Dies ist aber noch nicht die gesamte Kraftkomponente in z-Richtung,da auch Geschwindigkeitsänderungen in y und z-Richtung ebenso beitragen.

Insgesamt ergibt sich für die z-Komponente der Reibungskraft:

2

2

ddddd

xuzyxF z

z η=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

2

2

dzu

yu

xuVF zzz

z η

296

2

2d

ddd

dd

xu

xxu

xu

zx

z

xx

z

∂∂

=

−+

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Die anderen Komponenten der Reibungskraft erhält men ebenso

Diese Formel lässt sich abgekürzt mit dem Laplaceoperator schreiben

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

2

2

dzu

yu

xuVF zzz

z η

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

2

2

dzu

yu

xu

VF yyyy η

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

2

2

dzu

yu

xuVF xxx

x η

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

Die Reibungskraft lautet abgekürzt:

VuFR drr

Δ=ηAchtung: Delta bedeutet hier den Laplaceoperator!

297

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Navier-Stokes Gleichung

Differentialgleichung für die Bewegung einer viskosen Flüssigkeit:

{{

Rpg

am

FFFtuV

rrrr

r

++=dddρ

VuVpgVuutuV ddgradd)(d rrrrrr

Δ+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇⋅+∂∂ ηρρ

Wir teilen durch dV und erhalten die Navier-Stokes Gleichung

upguutu rrrrrr

Δ+−=∇⋅+∂∂ ηρρρ grad)(

Aktionsprinzip

Analog zur Euler-Gleichung aber mit Reibung

298

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Navier-Stokes Gleichung veranschaulicht an einer Menschenmenge

Ihre Geschwindigkeit ändert sich

weil Sie in einen Berech geschoben werden, wo die Leute schneller laufen

weil es bergab geht

weil auf der einen Seite mehr gedrängelt wird als auf der anderen Seite

weil Sie von den an Ihnen vorbeiströmendenLeuten mitgerissen werden

upguutu rrrrrr

Δ+−=∇⋅+∂∂ ηρρρ grad)(

tu∂∂r

ρ

uu rrr )( ∇⋅ρ

grρ

pgrad−

urΔη298b

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Laminare Strömungen

Laminare Strömung zwischen zwei Wänden:Kraft auf die Stirnfläche eines Volumenelementesaufgrund eines Druckunterschieds

oben

unten

Reibungskraft:

Bei einer stationären Strömung sind beide Kräfte gleich

zu

z

1p

2p

yxzpzFz dd)()( =

yxzzpzzFz dd)d()d( +=+

zzpyxFz d

ddddd −=⇒

2

2

ddddd

xuVuVF z

zz ηη =Δ=

zp

xuz

dd1

dd

2

2

η−=

d x0

299

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Lösen durch integrieren:

Aus den Randbedingungen erhält man die Konstanten c1 und c2

Das Geschwindigkeitsprofil ist parabelförmig.

1dd

dd c

zpx

xuz +−=⇒

η

21

2

dd

2cxc

zpxuz ++−=⇒

η

20)0( cuz ==

zpdcdc

zpdduz d

d2d

d2

0)( 11

2

ηη=⇒+−==

zpdxxuz d

d2

2

η−

−=

300

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Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren: Hagen-Poiseuille Gesetz

Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten sieht anders aus:

Es folgt:

zpuz d

d1η

−=Δ

44 344 210

und nach nAbleitunge1

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=Δ zzz r

urrr

u ϕ

zp

rur

rrz

dd11

η−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

1

2

dd

2c

zpr

rur z +−=∂∂

⇒η

z

2p

1p

01 =c 00

=∂∂

=r

z

ru

weil

L

301

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2

2

dd

4c

zpruz +−=⇒

η

Es folgt aus der Randbedingung :

zprRuz d

d4

22

η−

=

Berechnung des Durchflusses durch ein Rohr mit Länge L:

∫∫−−

==RR

z rL

pprRrrurt

V

0

2122

0

d4

2d2η

ππ

[ ]RrrRrL

ppt

V0

44122

2121

42

=−−

=ηπ

421

8R

Lpp

tV −=

ηπ Hagen-Poiseuille Gesetz

302

0)( =Ruz

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Turbulente Strömungen

Reynoldssche Zahl:Wir schreiben die Navier-Stokes-Gleichung

um und vernachlässigen die Schwerkraft:

Linearen Transformation von Zeit und Länge liefert dimensionslose DGL.

(kleine Buchst. mit Strich dimensionslos, große Buchst. fest mit Dimension)

upguutu rrrrrr

Δ+−=∇⋅+∂∂ ηρρρ grad)(

upuutu rrrrr

Δ+−=∇⋅+∂∂

ρη

ρgrad1)(

TLuu 'rr

='tTt = 'lLl = ρ2

2

'TLpp =

{

'''grad'')''(''

Re1

2 uLTpuu

tu rrrrr

Δ+−=∇⋅+∂∂

ρη

dimensionslose Reynolds-Zahl303

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Mit neuer Zeit und Längenskala gemessene Strömungen sind ähnlichzu den ursprünglichen Strömungen, wenn die Reynolds-Zahl gleich ist.

Anwendung: Strömungen um Schiffsmodelle in Zeitlupe betrachtet.

Interpretation der Reynolds-Zahl:

erweitern mit L2U liefert:

Die Reynolds-Zahl bietet eine Kriterium um Strömungen einzustufen:

Kleine Reynolds-Zahl = starke Reibung → laminare Strömung

große Reynolds-Zahl = viel kinetische Energie → turbulente Strömung

Reibung

kin2

23 2ReW

EULUL

==ηρ

ηρ

ηρ LU

TL

==2

Re

304

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WirbelIn reibungsfreien Flüssigkeiten wird die Gesamtwirbelstärke erhalten(Helmholtzsche Wirbelsätze). Entspricht dem Drehimpulserhaltungssatz.

Bildung von Wirbeln ist nur in Flüssigkeiten mit Reibung möglich.Bevorzugte Bildung an Hindernissen im Strömungsfeld.

Wirbelbildung an umströmter Kugel. Reynoldszahl = 1000

Ablösen der Wirbel und Bildung einer Karman-Wirbelstraße

305

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Wirbelstraße auf der Jupiteroberfläche

Weitere Beispiele zu Wirbelbildung durch numerische Lösung der Navier-Stokes Gleichung

Reynolds-Kriterium für Wirbelbildung:

Starke Reibung → laminare StrömungenKeine Reibung → Wirbelbildung unmöglichSchwache Reibung → Wirbelbildung

→ Remin < Re < ∞

Bei Strömung in Rohren: Remin ≅ 2000

306

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Magnus-Effekt:Durch Reibung an der Oberfläche eines rotierenden Zylinders ist dieStrömungsgeschwindigkeit an der einen Seite schneller als an der Anderen.

Geschwindigkeit oben:

Geschwindigkeit unten:

Nach Bernoulli ist also der statische Druck unten größer als oben → Auftrieb

Bei einem Zylinder der Länge l ist die Auftriebskraft von der Größenordnung:

vektoriell:

307

rvvo ω+=

rvvu ω−=

)( 2221

uo vvp −=Δ ρ

lrvrF ωρ 221≈

ωρ rrr×≈ vrlF 2