VYSOKA SKOLA BANSKA – TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA

FAKULTA STAVEBNI

Stavebnı statikaCvicenı

Jirı Brozovsky

Kancelar: LP – H 406/3Telefon: 597 321 321

E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz

WWW: http://www.fast.vsb.cz/brozovsky/

Podmınky pro zıskanı zapoctu

• testy na cvicenı:

– volitelne: 8x (1-4 body)

– povinne: 3x (5 bodu, moznost opravy pri neuspechu)

• celkovy pocet bodu za testy je 30, dalsıch 5 bodu je mozno

zıskat za aktivitu ve cvicenı

• za nedostatecnou aktivitu ve cvicenı se body odecıtajı (az -3

za cvicenı)

• minimalnı pocet bodu nutny pro zıskanı zapoctu je 18

2

Potrebne pomucky

• kalkulator s goniometrickymi funkcemi a odmocninou

• psacı potreby

• sesit nebo jiny zdroj papıru na psanı

• pravıtko (doporuceno)

3

Doporucena literatura

1. skripta: Jirı Benda: Stavebnı statika I., VSB-TU Ostrava, 2005

2. ucebnice: Jaroslav Kadlcak, Jirı Kytyr: Statika stavebnıch kon-

strukcı I., VUTIUM, 1998

3. on-line: elektronicke prednasky doc. Martina Krejsy:

http://www.fast.vsb.cz/228

4. on-line: prıklady dr. Vladimıry Michalcove:

http://fast10.vsb.cz/michalcova

5. on-line: prıklady dr. Lenky Lausove:

http://fast10.vsb.cz/lausova

4

Stavebnı statika?

5

Cvicenı 1

Opakovanı (matematika):

• Pythagorova veta

• Goniometricke funkce

• Prıklady pouzitı goniometrickych funkcı

6

Cvicenı 1

Opakovanı (fyzika):

• Prımkova soustava sil

• Rovnobeznık sil

• Rovinny svazek sil

7

Cvicenı 1

Opakovanı (fyzika) – pokracovanı:

• Staticky moment sıly k bodu

• Dvojice sil v rovine

• Rovinna soustava rovnobeznych sil

8

Opakovanı: Pythagorova veta

Platı pouze pro pravouhle trojuhelnıky!

b c

a

c2 = a2 + b2

c =√

a2 + b2

a =√

c2 − b2

b =√

c2 − a2

a, b . . . odvesny,

c . . . prepona (naproti pravemu uhlu).

9

Opakovanı: Goniometricke funkce

Uvedene vztahy platı pouze pro pravouhle trojuhelnıky!

α

b c

a

• Sinus α: sinα = bc

• Kosinus α: cosα = ac

• Tangens α: tanα = ba

a, b . . . odvesny,

c . . . prepona (naproti pravemu uhlu).

10

Opakovanı: Funkce sinus

α = 90

α = 180−

+

−

0

α = 270

+

αsin( )

−1

1

α = 0xα

y

sin(0o) = sin(0) = 0

sin(45o) = sin(π

4) =

√2

2sin(90o) = sin(

π

2) = 1

sin(180o) = sin(π) = 0

sin(270o) = sin(3

4π) = −1

11

Opakovanı: Funkce kosinus

α = 90

α = 180−

−

+

0

α = 270

−1 1αcos( )

+

α = 0xα

y

cos(0o) = cos(0) = 1

cos(45o) = cos(π

4) =

√2

2cos(90o) = cos(

π

2) = 0

cos(180o) = cos(π) = −1

cos(270o) = cos(3

4π) = 0

12

Opakovanı: Funkce tangens

α = 270

α = 90

α = 180−

+

−

0x

ο45 αtan( )

α = 0

+

1

−1

α

y

tan(0o) = tan(0) = 0

tan(45o) = tan(π

4) = 1

tan(90o) = tan(π

2) =∞

tan(180o) = tan(π) = 0

tan(270o) = tan(3

4π) = −∞

13

Opakovanı:Rozklad sıly na pravouhle slozky

Fx

F

x

y

α

αFy F =√

F 2x + F 2y

cos(α) =Fx

F⇒ Fx = F cos(α)

sin(α) =Fy

F⇒ Fy = F sin(α)

14

Opakovanı:Vypocet delky sikmeho prutu

α

a

bL

b

a

α x

y

L =√

a2 + b2

cos(α) =a

L⇒ L =

a

cos(α)

sin(α) =b

L⇒ L =

b

sin(α)

15

Prımkova soustava sil

F4 = 10 kN

F3 = 40 kN

F2 = 20 kN

F1 = 10 kN

R = 20 kN

• Vsechny sıly lezı v jedne prımce

• Na mıste pusobenı v ramci prımky

nezalezı

• Vyslednice (sıla, kterou lze sou-

stavu sil nahradit a ktera ma stejny

ucinek) :

R =n∑

i=1Fi

Prıklad: R =∑4i=1Fi = 10− 20 + 40− 10 = 20 kN

16

Prımkova soustava sil

• Stanovte smer a velikost vyslednic

• Urcete, zda nejaka ze soustav je v rovnovaze (R = 0)

63 3310

2010 10

20 5 10 5

a)

b)

c)

17

Rovnobeznık sil

F1

F2

R

φ

180 − φ

• Vypocet vyslednice dvou sil

• cıselne pomocı kosinove vety:

R =√

P 21 + F 22 + 2F1F2 cos(φ)

Napr. F1 = 10 kN, F2 = 11 kN, φ = 20o:

R =√

102 + 112 + 2 10 11 cos(200) = 20,68kN

18

Rozklad sıly na pravouhle slozky

Zvlastnı (jednodussı, tedy uzitecnejsı) prıpad rovnobeznıku sil

Fx

F

x

y

α

αFyF =

√

F 2x + F 2y

cos(α) =Fx

F⇒ Fx = F cos(α)

sin(α) =Fy

F⇒ Fy = F sin(α)

19

Rovinny svazek sil

x

z

α R

• Skupina sil se spolecnym pusobistem

• Vyslednici hledame ve trech krocıch:

1. rozklad vsech sil na slozky ve smeru

os X a Y

2. suma slozek v jednotlivych smerech:

Rx =∑ni=1Fx,i, Rz =

∑ni=1Fy,i

3. Urcıme vyslednici a jejı uhel od osy z:

R =√

R2x +R2z, cos(α) = RzR

20

Rovinny svazek sil

a) Stanovte smer a velikost vyslednice

b) Urcete sıly F1 a F2 tak, aby soustava byla v rovnovaze

(∑

Fx,i = 0,∑

Fz,i = 0)

220

50

120

o

o

o

20

60

10kN

kN

kN120

6020

90 o

oo

o

10 kN

80 kN

F1

F2

a) b)

21

Staticky moment sıly k bodu

90 o

rameno síla

bod

s

pP

paprsek síly

+

• Stanovıme: |M | = |P | |p|• Jednotka: [N m]

• Moment se nemenı, pokud se sıla

libovolne posunuje po svem pa-

prsku.

• Moment je kladny, otacı-li proti

smeru hodinovych rucicek.

22

Staticky moment sıly k bodu

Stanovte momenty sil ke stredum s a z:

F1 = 10 kN

F6 = 4 kN

F7 = 8 kN

F2 = 20 kN

F5 = 12 kNF3 = 6 kN

2 6 3

12 2

zs

90

70 72

60

45

30

F4 = 20 kN

Stanovte vyslednice momentu ke stredum s a z (∑

Mi,s).23

Dvojice sil

P

P

P

P

Pp

p

p

P

• Stanovıme: |M | = |P | |p|• Jednotka: [N m]

• Moment dvojice sil je stejny ke vsem bo-

dum telesa.

• Otacenım dvojice sil se moment ne-

menı.

• Vyslednice vıce dvojic sil je jejich alge-

braickym souctem.

24

Dvojice sil

Stanovte vysledny moment sil na obrazku.

30

30

10

20

20

10

12

10

3 4

25

Urcete vysledne staticke momentysil k bodum A . . . F

A

B C

DE F

56

10

15

2025

30

15

20

30

3.2 m3.2 m

9.6 m10

10

26

Varignonova momentova veta

Md = Rd pd =n∑

i=1Pi pi +

m∑

j=1Mj,

kde Mj je moment j-te dvojice sil a Pi pi staticky moment i-te

sıly k momentovemu stredu d.

27

Podmınky rovnovahy obecnerovinne soustavy sil

Rx =n∑

i=1Pi,x = 0

Rz =n∑

i=1Pi,z = 0

Ms =n∑

i=1(Pi,x pi,x + Pi,z pi,z) +

m∑

j=1Mj = 0

28

Rovinna soustava rovnobeznychsil

pi

Pi

R

d

• Vyslednice:

R =n∑

i=1Pi

• Vysledny staticky moment:

Mr = −R d = −n∑

i=1Pi pi

• Poloha vyslednice:

d =−Mr

R

29

Stanovte polohu a velikostvyslednice

210 20 25 30 8

1614128

30