Stojan - Pripreme

8/18/2019 Stojan - Pripreme

1/22

Име и презиме: Стојан Максимовић

Разред: 3. Школа: гимназија

Датум: Час: Математика

Наставна област Полиедри

Наставна јединица Полиедарске површи и полиедри

Тип часа Час стицања нових знања

Циљ часа Обучити ученике да препознају основне

полиедре и неке њихове особине

Задаци

Образовни задаци

Функционални задаци Ученици треба да :

Примјеном мисаоних операција,

посебно апстракције и генерализације

развију способност за индуктивни

облик закључивања

Науче препознати полиедре и њихове

елемената

Васпитни задаци Ученици треба да развију :

• Концентрацију

• Способност за упоран и предан рад

• Поступност и систематичност у раду

• Тачност, прецизност и уредност у раду

• Позитиван однос према математици

Облици рада Фронтални

Наставна средства Табла, креда, маркер

Уводни дио:

Шта је то многоугао?

Главни дио:

Проста полиедарска површ је унија коначног броја многоуглова, при чему су задовољениследећи услови:

а) свака страница било ког многоугла је страница само те површи или још само једне, тј. њој

сусједне површи;

б) свака два сусједна многоугла припадају двјема различитим равнима;

в) свака два сусједна многоугла могу се повезати низом многоуглова из тог скупа, тако да свака

два узастопна члана тог низа буду сусједне површи.

Ако све странице многоуглова припадају по двјема површима, тада је полиедарска површ

затворена, а ако нека од страница многоуглова припада само једној површи, полиедарска

површ је отворена.

Проста затворена полиедарска површ раздваја скуп свих тачака простора на два дисјунктна

скупа:


2/22

а) скуп тачака са особином да за сваку тачку из тог скупа постоји права која са полиедарском

површи нема заједнички тачака;

б) скуп тачака са особином да таква права не постоји.

Први од ових скупова назива се спољашњост полиедарске површи, а други унутршњост

полиедарске површи.Унија просте затворене полиедарске површи и њене унутршњости назива се полиедар.

Као и многоуглови и полиедри могу бити конвексни и конкавни.

Конвексан многоугао Конкаван многоугао

Тврђење 1. Број ивичних углова било ког полиедра два пута је већи од броја његових ивица.

Доказ. У свакој страни полиедра број углова једнак је броју страница. С обзиром на то да је

свака ивица полиедра заједничка страница двију страна полиедра, свака ивица је узета два

пута. Према томе, број ивичних углова два пута је већи од броја ивица полиедра.

Тврђење 2. Збир свих ивичних углова конвексног полиедра који има тјемена износи

= ( − 2) ∗360°. Доказ. Пројектујемо полиедар нормално на раван која је тако одабрана да се никоја дватјемена полиедра не пројектују у исту тачку и никоја страна у једну дуж. На слици је приказан

један специјалан случај, пројекција полиедра на раван . При оваквој пројекцијисвака страна се пројектује у многоугао са истим бројем тјемена. Значи, збир унутрашњих углова

било које стране, једнак је збиру унутрашњих углова многоугла у који се та страна пројектује.

Из тога излази да је збор ивичних углова полиедра једнак збиру унутрашњих углова пројекција

свих страна полиедра на раван . Пројекција полиедра је многоугаона површ . Та површ је два пута покривена површима полиедра приликом пројектовања. Због тога приликомсабирања углова на пројекцији, углове при тјеменима површи треба узимати два пута. Акомногоугаона површ има тјемена, полиедар има − тјемена којима су пројекцијеунутрашње повррши

, па је:

= ( − 2) ∗360°+ ( − ) ∗360° = ( − 2) ∗360°.


3/22

Ојлерова теорема. Ако је број тјемена, број ивица, а број страна конвексног полиедра,тада важи једнакост: + = + 2.Доказ. Нека полиедар има страна. Нека прва страна има страница, друга страница,..., и нека -та страна има страница. Према томе, збир свих ивичних углова полиедраизноси:

= ( − 2 )180 + ( − 2 )180 + ⋯ + ( − 2 )180 = ( + + ⋯ + )180 − 360 = 2 ∗ 180 − ∗ 360 , јер је + + ⋯ + = 2 . С друге стране, према претходном трврђењу је = ( − 2) ∗360°, па је

2 ∗ 180 − ∗ 360 = ( − 2)360, одакле непосредно излази: + = + 2. Завршни дио:

Колико полиедар има ивичних углова?Колики је збир свих тих ивичних углова?

Како гласи Ојлерова теорема?


4/22


Разред: 3., гимназија Школа: средња


Наставна област Обртна тијела

Наставна јединица Лопта и полиедри. Лопта и обртна тијела.


Циљ часа Представити ученицима односе између лопте и

полиедара и лопте и обртни тијела.

Задаци
















Шта је сфера? Сфера је обртна површ која се добије обртањем кружне линије око осе која

садржи њен пречник.

Шта је полиедар? Полиеадар је унија просте затворене полиедарске површи и њене

унутрашњости.


За полиедар чија сва тјемена припадају сфери каже се да је уписан у сферу, а за сферу да је

описана око полиедра. Полиедар чије све стране додирују сферу је описан око сфере, а сфера

је у њега уписана.

За сферу уписану у полиедар важи следећи општи резултат: ако се у полиедар може уписати

сфера, њен центар се налази у тачки пресјека симетралних равни свих углова диедра датог

полиедра.

Да би се у призму могла уписати сфера потребно је и довољно да се у њен нормални пресјек

може уписати круг чији је пречник једнак висини призме сл. 1.


5/22

Сл. 1 Сл. 2

Да би се у пирамиду могла уписати сфера, довољно је да нагибни углови бичних страна према

основи пирамиде буду једнаки, сл. 2.

Прелазимо сада на сфере описане око полиедра. Опште тврђење гласи: ако се око полиедра

може описати сфера , тада њен центар лежи у тачки пресјека симетралних равни свих ивица

полиедра.

Ако је око неког полиедра описана сфера у тачи О, тада је тачка О једнако удаљена од свих

тјемена полиедра.

Да би се око призме могла описати сфера , потребно је и довољно да призма буде права и да

се око њене основе може описати круг.

Примјер 12. Око правилне тростране призме чија је висина једнака двострукој ивици основе је

описана лопта. Израчунати однос запремина лопте и призме.

Рјешење. Посматрајмо сл. 3. Из правоуглог троугла , чија је хипотенуза једнакаполупречнику R лопте, једна катета је полупречник круга описаног око једнакостраничногтроугла у основи призме, а друга катета

је половина

висине призме, добија се:

= + ( ) .Међутим, ако је страница једнакостраничног троугла уоснови призме, тада је: = √ , тј.

= , па је:

= + = , тј. =

√ .

Премо томе, запремина лопте износи: = 43

= 43 83√ 3

27 = 32 √ 3

27 , а запремина призме је:

= = √ 34 2 = √ 32 .

Дакле, тражени однос : = 64:27. Да би се око пирамиде могла описати сфера, потребно је и довољно да се око њене основе

може описати круг.

Лопта је уписана у прав ваљак ако основе и све изводнице ваљка додирују лопту. То је могуће

ако је пречник основе ваљка једнак висини ваљка (сл.4).

Сл. 3


6/22

Сл. 4 Сл. 5 Сл. 6

Лопта је уписана у праву купу ако основа и све изводнице купе додирују лопту (сл. 5).

Лопта је описана око ваљка ако су основе ваљка пресјеци лопте. Око оваквог ваљка се можеописати лопта (сл. 6).

Лопта је описана око купе, ако је основа купе пресјек лопте и ако врх купе припада

одговарајућој сфери. Око сваке купе може се описати лопта.

Примјер 2. Сфера је уписана у зарубљену купу полупречника основе R и r. Израчунати однос

површина сфере и омотача зарубљене купе.

Рјешење. С обзиром да је сфера уписана у праву зарубљену купу, то значи да је једнакокраки

трапез који представља осни пресјек зарубљене купе (сл.7). Дакле, за дужине његовихстраница важи: 2 + 2 = 2 → + = , гдје је дужинаизводнице зарубљене купе. Висина овог трапеза је пречник

сфере. Из правоуглог троугла налазимо: = −( − ) → = ( + ) − ( − ) , одакле је: =4 → = √ 2.На основу тога је полупречник p сфере једнак

= √ , па је

површина сфере: = 4 = 4. Омотач зарубљене купеизноси: = ( + ) = ( + ) , па је тражени однос: = 4: ( + ). Завршни дио:

Какав све однос може бити између полиедра и сфере?

А какав између ваљка и сфере, и купе и сфере?

Да ли се у сваку пирамиду може уписати сфера? Шта је потребно да би се могло уписати?

Задаћа:

1. Око сфере је описана правилна тространа призма, а око призме је описана сфера. Наћи

однос површина ових сфера.

2. У лопту запремине је уписана права купа која у осном пресјеку има угао при врху 2.Колика је запремина те купе?

3. У лопту полупречника r уписати ваљак површине омотача

2

. Наћи полупречник основе

ваљка.


7/22


Разред: 3. Школа: гимназија


Наставна област Вектори

Наставна јединица Вектори у координатном систему


Циљ часа Научити ученике како да представе векторе у

координатном систему

Задаци







Развијати вјештину рјешавања задатак

са векторима










Шта је вектор?

Шта је скаларни производ вектора?

Шта је векторски производ вектора?

Шта је мјешовити производ вектора?


Нека су ,⃗ ⃗ и ⃗ јединични, узајамно нормални вектори који чине десни триедар, и нека су, и осе одређене овим векторима. Произвољан вектор ⃗ може се на једнозначанначин изразити као линеарна комбинација вектора ,⃗ ⃗ и ⃗ , дакле као збир три вектора од којихсваки има правац једне од координатних оса.

Вектор ⃗ може увијек да се постави тако да му је почетак у координатном почетку , односнода је ⃗ = ⃗ , гдје тачка М има координате (,,). Ако је М′ нормална пројекција тачке М нараван a ′′ нормална пројекција тачке М′ на осу , онда је

⃗ = ⃗ = ′⃗ +′⃗ = ′′⃗ +′′′⃗ +′⃗ Вектор ′′⃗ колинеаран је са вектором ⃗ и из начина на који је формиран слиједи да је његовинтензитет једнак координати тачке М. Како овај вектор, при томе, колинеаран са вектором ⃗ ,слиједи да је ′′⃗ = ⃗ . Потпуно аналогно, вектор ′′′⃗ који је колинеаран са вектором ⃗


8/22

једнак је ′′′⃗ = ⃗ , а вектор ′⃗ колинеаран са вектором ⃗ једнак је ′⃗ = ⃗ , па је⃗ = ⃗ = ⃗+⃗+ ⃗

За вектор ⃗ = ⃗+⃗+ ⃗ кажемо да има координате , и и пишемо ⃗ = (,,) при чемутреба нагласити да су вриједности координата вектора ⃗ једнаке координатама тачке .Aко су вектори задати својим координатама, онда се и операције са векторима могу изразити

преко координата.

Прелазимо сада на извођење формула за операције са векторима у координатном облику.

Нека су ⃗ = ( , , ) и ⃗ = ( , , ) произвољни вектори. Тада је ⃗ = ⃗+ ⃗+ ⃗ ,⃗ = ⃗+ ⃗+ ⃗ , па, водећи рачуна о законима који важе за сабирање вектора и множењевектора бројем, добија се:

⃗ + ⃗ = ⃗+ ⃗+ ⃗ + ⃗+ ⃗+ ⃗ = ( + )⃗ + ( + ) ⃗+ ( + )⃗ тј.

⃗ + ⃗ = ( + , + , + ). (1) Слично, из једнакости ⃗ = ⃗+ ⃗+ ⃗ , слиједи:

⃗ = ⃗+ ⃗+ ⃗ = ( )⃗ + () ⃗+ ( )⃗ ⃗ = ( , , ). (2)

Специјално за −⃗ = (− , −, −), који је супротан вектору ⃗. На основу претходних формула, закључујемо да важи:

⃗ − ⃗ = ⃗ +− ⃗ = ( , , ) + (−, −, −) = ( − ) + ( − ) + ( − ). (3)

Формулама (1), (2) и (3) одређене су координате вектора ⃗ + ⃗ , ⃗ и ⃗ − ⃗ помоћу координатавектора ⃗ и ⃗ .Дужина вектора ⃗ добија се једноставно преко Питагорине теореме и једнака је:|⃗| = + + . Примјер 1. Нека су = (, , ) и = (, , ) двије тачке у простору. Одредимокоординате вектора ⃗ .Рјешење. Вектори ⃗ и ⃗ имају исте координате као тачке A и B, тј.

⃗ = ( , , ), ⃗ = ( , , ). Међутим, имамо ⃗ + ⃗ = ⃗ тј. ⃗ = ⃗ − ⃗ , одакле излази: ⃗ = ( − , − , − ).Завршни дио:

Домаћа задаћа:

1. Ако је ⃗ = (−4,2,9) и ако је ⃗ = (4,−3,1) , одредити координате тачке .2. Одредити углове које вектор ⃗ = (1, √ 2,1) захвата са координатним осама.


9/22


Разред: 3. разред Школа: гимназија


Наставна област Аналитичка геометрија

Наставна јединица Парабола, елипса, хипербола


Циљ часа Научити ученике дефиниције ових кривих и

њихове једначине

Задаци



Примјеном мисаоних операција, посебно

апстракције и генерализације развију

способност за индуктивни облик

закључивања

Развијање вјештина и способности

рјешавања задатака










Која је једначина праве?


10/22


ПАРАБОЛА:

Парабола је скуп тачака у равни са особином да је растојање сваке тачке од једне сталне

тачке(жиже) једнако одстојању те тачке од једне сталне праве(директрисе).

( , 0) је жижа параболе.Права = − је директриса параболе.Растојање тачке од диреткрисе обиљежава се са и назива се параметар параболе.Координатни почетак је тјеме параболе.

Једначина параболе је = 2 .На почетку смо описали параболу која се највише примјењује, али ту су и остале.

ЕЛИПСА:

Елипса је скуп тачака у равни с особином да је збир растојања ма које тачке од двију датих

тачака(жижа) сталан број.


11/22

, су радијус вектори елипсе и важи за било коју тачку на елипси + = 2 (константанброј).

(−,0), (,0) су жиже елипсе, гдје је = − . – је велика полуоса, а 2 je велика оса.- je мала полуоса, а 2 je мала оса. = је ексцентрицитет (још код елипсе важи да је < 1).Главна једначина елипсе је

+

= 1 или + = .

ХИПЕРБОЛА:

Хипербола је скуп тачака у равни са особином да је разлика растојања ма које тачке од двију

датих тачака сталан број.

а - је реална полуоса, 2а је реална оса.

b – je имагинарна полуоса, 2b је имагинарна оса.

, су радијус вектори и за њих важи | − | = 2 .(−,0), (,0) су жиже хиперболе, гдје је = + . = је ексцентрицитет (још код хиперболе важи да је > 1).Праве = − , =

су асимптоте хиперболе.

Главна једначина хиперболе је −

= 1 или − = .


12/22

Завршни дио:

Шта је парабола? Која је њена једначина?

Шта је елипса? Која је њена једначина?

Шта је хипербола? Која је њена једначина?

Шта представљају жиже код оваквих скупова тачака?

Задаћа:

1. Наћи координате жиже, једначину директрисе и графички приказати параболу дату

једначином:

а) = 4 б) 4 = 5 в) = −12 2. Одредити једначину параболе = 2 ако је дата:а) жижа (0,3),б) једначина директрисе = −1,в) тачка параболе (1,3).

3. Одредити ,, и нацртати елипсу чија је једначина:а) 9 + 25 = 225 б) + 36 = 9 ц) 18 + 4 = 81 4. Наћи ексцентрицитет и једначине директриса елипсе 9 + 5 = 45 .

5. Саставити једначину хиперболе ако је дато растојање жижа 10 и реална полуоса = 3.


Разред: Школа:


Наставна област Низови

Наставна јединица Дефиниција Ојлеровог броја е


Циљ часа Објаснити ученицима како се долази до броја

е

Задаци










13/22










Шта је гранична вриједност низа?

Шта су то монотони низови?


Нека је низ () дефинисан са = 1 + 1.

Заједно са низом () посматрамо и низ (), гдје је: = 1 +

( > 1). Ако у Бернулијеву неједнакост: ( 1 + ℎ ) ≥ 1 + ℎ уврстимо ℎ = − ( > 1), добијамо

(1 − 1) ≥ 1 − ∙ 1 = 1 −

1 ,

тј.

1 − 1

1 + 1

> 1 − 1, или

1 + 1 > (1 − 1) = ( − 1 ) = ( − 1) = (1 + 1 − 1). Доказали смо да је > , тј. да је низ () растући.Ставимо сада да је ℎ = 1/( − 1) , ( > 1), добијамо

1 + 1 − 1

≥ 1 + − 1 > 1 + 1,

јер је

> , што се одмах провјерава.

1 + = , слиједи (

∙

) >

одакле даље добијамо

− 1

> + 1

, или

1 + 1 − 1

> 1 + 1

, чиме смо доказали да за низ () важи > .Провјером добијамо да за > 1 вриједи < .Имамо < < ⋯ < < ⋯ < < ⋯ < одакле слиједи да је за свако = 1,2, ..0 < < = 4 , па је низ () растући и ограничен, постоји lim→ . Та гранична вриједностдефинише се као број .

lim→ = lim→ 1 + 1

= .

Број е је ирационалан и његова приближна вриједност је 2,71828.


14/22


Како се добија број е?

Колика је његова вриједност?


15/22


Разред: 4. разред Школа: гимназија


Наставна област Функције

Наставна јединица Сложена функција


Циљ часа

Задаци









Увјежбавање препознавања сложених

функција




• Поступност и систематичност у раду• Тачност, прецизност и уредност у раду





Шта је то функција?


16/22


Нека су дате двије функције : → и : → . Нека је ℎ: → таква функција да јеℎ() = () за свако ∈ . Функција ℎ назива се сложеном функцијом илисуперпозицијом функција и .ℎ = ∘ је ознака. ℎ() = ( ∘ )() = ( ()).

Графички приказ сложене функције

Примјер1: Функција = √1 − сложена фунцкија функција = √ и = 1 − . Другафункција је дефинисана за свако реално , а прва за ≥ 0, тј. 1 − ≥ 0 ⇔ ∈ [−1,1] . Дакле,област дефинисаности полазне фунцкије је = [−1,1].Примјер2: () = ( + 1) , () = sin . Наћи ∘ и ∘ .

() = (( + 1)) = sin( + 1) () = (sin) = (sin + 1) Видимо да је ∘ ≠ ∘ , тј. Операција суперпозиције није комутативна.

Примјер3: Нека је = − 2, ≠ −2. Одредити ().

Нека је = . Слиједи да је =

, ≠ 2 . Сад имамо

() = 2 + 12 − − 2 = 4 − 32 − , ≠ 2 Сада ако замијенимо са добијамо

() = 4 − 32 − , ≠ 2.


17/22


Шта је сложена функција?

Важи ли комутативност за ову врсту фунцкије?

У запису ∘ којом функцијом прво дјелујемо?

Задаћа:

1. Нека је 1 + = − 1, ≠ 0 . Одреди ().2. Ако је () = log , докажи да је () + () = (

).

3. Нека је () = + + . Докажи да је ( + 3) − 3( + 2) + 3( + 1) − () = 0 .


18/22


Разред: Школа:


Наставна област Интеграли

Наставна јединица Таблица основних интеграла; интеграли некихосновних функција


Циљ часа Упознати ученике са основним интегралима

Задаци



Развију способност препознавања

основних интеграла
















Уодни дио часа искористити да се ученици подсјете таблице основних извода.

Извод од () = −


I.

∫

=

( ≠ 1; > 0)

II. ∫ = ln|| + ( ≠ 0) III. ∫ = + ( > 0, ≠ 1), ∫ = + IV. ∫ = + V.

∫ = − + VI. ∫ = +


19/22

VII. ∫ = − +

VIII. ∫ √ = + +

IX.

∫

=

+

+

Примјер1: ∫ = =

користимо особину I.

Примјер2: ∫ = ∫()

= ∫()[()]

= ∫ (4 − 2 + 1 ) = −

+

+ .

Примјер3: ∫ = ∫

= ∫()()

= ∫ ( +) =

− + Примјер4: ∫ = ∫

= ∫

+

= ∫

+ ∫

= − + .


Каква је веза између интеграла и извода?

Задаћа:

1. ∫(2 + 1)

2.∫

3.∫

4.∫


20/22


Разред: 4. , гимназија Школа: средња


Наставна област Вјероватноћа

Наставна јединица Условна вјероватноћа и независнот.


Циљ часа Објаснити ученицима појам утицања једног

догађаја на други. Објаснити кад су два

догађаја независна.

Задаци












• Поступност и систематичност у раду• Тачност, прецизност и уредност у раду





Шта је то вјероватноћа?

Шта сматрамо под повољним догађајима?

Која је вјероватноћа да ћу од читавог вашег разреда прозвати одређеног ученика?


21/22


Нека су , два догађаја, при чему је () > 0. Претпоставимо да реализација догађаја може утицати на вјероватноћу реализације догађаја . Тада говоримо о условној вјероватноћи.Вјероватноћу догађаја А под условима који доводе до реализације догађаја ћемо означаватиса (|). Дефиниција. Нека су , два догађаја, при чему је () > 0. Условна вјероватноћа (|) (вјероватноћа догађаја А под условом да се реализовао догађај ) је

( |) = ()() . Примјер 1. Из шпила од 32 карте случајно се извлачи једна карта. Колика је вјероватноћа да је

извучен треф, ако се зна да није херц.

Рјешење. Посматрамо следеће догађаје:

А – извучена карта је треф – извучена карта није херц.

Ако је извучена карта треф онда сигурно није херц, па је ⊂ . Зато је ( ) = () .Тражена вјероватноћа је

( |) = ()() = ( )() =

824 =

13.

Под условом да важи ( ) > 0 и () > 0 , из ррлација( |) = ()() и ( |) =

()()

директно слиједи такозвано правилно множење:

( |) = ( ) ∙ () = (| ) ∙ ( ). На основу њега лако добијамо други израз за условну вјероватноћу:

( |) = ( )(|)() .

НЕЗАВИСНОСТ ДОГАЂАЈА.

Независност догађаја можемо посматрати на следећи начин: догађај А не зависи од догађаја ако реализација догађаја не утиче на вјероватноћу реализације догађаја А, односно, ако

( |) = ( ). Како је

( ) = ( |) = ( )() , слиједи

( ) = ( )(). Дефиниција. Догађаји А и су независни ако важи:

( ) = ( ) ∙ (). Примјер 2. Два пута се баца новчић. Колика је вјероватноћа да у оба бацања падне грб?

Рјешење. Посматрамо догађаје:

А - у првом бацању је пао грбА - у другом бацању је пао грб.

Како исход другог бацања не зависи од исхода првог бацања, догађаји А и А су независни, те је тражена вјероватноћа

(АА) = (А)(А) = 12 ∙12 =

14.


22/22


Шта је условна вјероватноћа?

Кад су два догађаја независна?

Задаћа: У кутији се налази 30 бијелих и 5 црних куглица. Случајно се извлаче двије. Наћивјероватноћу да ће обје бити бијеле.

Задаћа: Вјероватноћа да стријелац погоди циљ износи 0,85. Колика је вјероватноћа да не

погоди циљ ако гађа 3 пута?

Documents

Stojan - Pripreme