Stevan Krunic - Limarski Radovi

5/10/2018 Stevan Krunic - Limarski Radovi

1/97


2/97

S TEVAN KRUN IC d ip l. in z.J ELENA KRUNIC, dipL inz,

LIMAR KI RADOVIK ON ST RU IS AN JE I K RO JE NJE O BL IK A O D L IM A A L AT I S PO JE VI I

V E ZE I ZVOElENJ E L IMARSK lH RADOVA

AGMKNJIGA2007.


3/97

Stevan Krunic, dip!. ini. - Jelena Krunic, dipl. ini.LIMARSKI RADOVI, n izdanjeReceuzent:Radivoje Janicijevie, dipl. inz.Izdavac:AGMknjiga11080 Zemun, Vrtlarska 27/9,tel all 618554; 0638470725Za izdavaca:Slavica Saric-Ahmic, direktor i glavni urednikTehnicka obrada:Aleksandar Kostic, dipl. grad ini.Tiraz:300 primerakaStampa:StudioMS

Clf ' - Karanornaanrr ja y ny6JIHKaI~:rrjnHaponua 6 n 6J InOTeKa Cp fi aj e , E e or pa n696(035)693.8(035)KRUNIC, StevanUmar.ski rado.ci :.konstr:uisanje ikrojenje oblika cd lima, a1ati ,spojevi i~eze, 1.zvod~nJelimarskih radova I Stevan Krunic, Jelena Krunic, - 2. izd. [i. e Iizd. u izdanju AGM knjige]. - Zemun :AGM knjiga, 2007 . .(Beograd : Studio MS). - 192 s tr. :g ra fpr ikaz i ;24 emTiraz 500. - BibJiografija : str . 191.

I ISBN 978-86-86363-06-01. Kruni', Jelenaa) Limarski radovi - PrirucnicieOBISS.SR-TD 144227340Fo~o~~~iranje iii.umn~zavanje ~a bilo koji nacin iii ponovno objavljivanje ove knjige _ u~ehm 1:1u delovima rnje dozvoljeno bez prethodne izricite saglasnosti ipismenog odobreniaizdavaca. ~

vSADRZAJ

PREDGOVOR DRUGOM IZDANJU 7KONSTRUISANJE I KROJENJE OBLIKA onLIMA 91. ORTOGONALNA I KOSA PROJEKCIJA GEOMETRIJSKm TELA 112. RAVNI PRESECI I MREZE GEOMETRIJSKIH TELA 17

Preseci imreze rogljastih tela 20Ravan presek imreza cetvorostrane prave prizme 20Presek i mreza kose trostrane prizme 22Mreza zarubljene pirarnide 24Ravni preseci imreze oblih tela 27Presek i mreza valjka 27Presek i mreza kose oblice 29Presek i mreza prave kupe 31Mreza zarubljenog konusa , 32Presek i mreza kosog konusa 33Konusni preseci po hiperboli iparaboli 35

3. MEDUSOBNI PRODORI I MREZE GEOMETRIJSKIH TELA 39Medusobni zador i mreza dye elipticne obliee , 46Prodori imreze konusa 49Zador rotaeione obliee ikonusa kad im se osovine seku 51Konstrukeije promene oblika preseka kanala 59Prodori oblih i rogljastih tela 68Prodor lopte i oblice 73Konstrukcija slozenog kolena (prema L G. REVENKO) 75Razvijanje slozenog kolena U ob1iku slova S 78Razvijanje slozenog kolena izvijenog po dva pravea 80Razvijanje kolena u obliku slova S izvijenog u dva pravea 83

3


4/97

Razvijanje trokraka nastalog od dva slozena koiena 87Razvijanje mreze slozenog konusnog kolena 89Razvijanje slozenog kolena sastavljenog od delova rotacionog konusa 92Konstrukeija i razvijanje mreze lopte 94Konstrukeija i razvijanje lopte od konusnih segmenata 96Razvijanje mreze lopte 98Razvijanje zasecene lopte 103Razvijanje zavojnih povrsina 106Konstrukcija iazvijanje torze 109

IZVODENJE LIMARSKIH RADOVA 1114.MATERIJALI .: ; 111

Celik 111Crni lim 112Poeinkovani lim 113Lim od einka 113Bakami lim 114Mesing 114Olovni lim 114Aluminijumski lim 114

5.ALAn I MASINE ZA LlMARSKE RADOVE 117Sprave za merenje iobelezavanje 117

6. SPAJANJE I POVEZIVANJE KONSTRUKCIJA ODLIMA 123Zavarivanje 123Postupei zavarivanja 123Osnovni pojmovi u tehniei zavarivanja 124Elektrolucno zavarivanje 125Uredaji koji se koriste za elektrolucno zavarivanje 127Elektrode 128Priprema osnovnog materijala za zavarivanje 129Tehnika elektrolucnog zavarivanja 130Primeri tehnike e lektrolucnog zavarivanja 133Ugaoni spojevi 134Preklopni spojevi 135Horizontalno - vertikalni spojevi 136Vertikalni spojevi 137Zavarivanje iznad glave 138Zastitna sredstva i bezbednost pri radu l38Lemljen]e 139Meko lemljenje 141

4

Tvrdo lemljenje 142Lepljenje 143. . . . . . . . . . . ~ ~ ...~ ~ ~ ~ i ~ : ; ~ ~ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : mP tiovanje 155r .Masinsko pertlovanje 158Prirubnice 159.................................... ~ .

7. LIMARSKI RADOVI NAGRADEVINSKIM OBJEKTIMA 161Pokrivanje krovova limom . 162Pokrivanje krovova poeinkovanim limom .. 163Oluei iolucne odvodne eevi 165Odvodne olucne cevi 168Opsivanje delova zgrade 176Opsi v 'anje venaca 176Opsivanje prozorskih banaka 177Pokrivanje uvala , 177Opsivanje zidne uvale 178

ih i W ih zid 179psivanje kalkanski 1pozarnl Zl ova ...... ......E ~ ~ ~ ~ ~ ? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :Pokrivanje krovova limom od einka .. 184Pokrivanje krova bakarnim limom 185kri . 1 . I' 186Po ivanje 0 ovnun unom ..kri . kr I'" m 188o ivanje ova a urmrujumo .RA'TURA 191LITE .

5


5/97

PREDGOVOR DRUGOM IZDANJU

Drugo izdanje knjige Limarski radovi, kao sto sam naslov govori, odnosi se nalimarske ra dove u oblasti industrije , gradevinarstva, za nata i sarnost alne de latnosti posistemu "uradi sam". Za razl iku od pre thodnog izdanja, i sp ravl j ene su s tampar ske i d rugegreske evident ir ane u prvom izdanj u.

Da bi tema tika predsta vlj ala za okruz enu celi nu prika zani su osnovni materijal iza lima rske radove, a lati i ma sine , kao i te hnologi ja projektovanja, krojenja i monta zepo jedinih s lozen ih e lemena ta . Najvise paznje posveceno je konst rukc ijama i predmet imaod l ima i to n jihovom pro jektovan ju preko izr ade razv ijen ih mreza omotaca , sa pre seeimaibez njih.Ra d na razvija nju mrez a predmeta koji se sre cu u limarskoj praksi pretpost avljaposedovanje bar osnovnih znanja iz geome tr ije, tehnickog c rtanja i naertne geome tr ije.Mada je pozeljno izdvojiti kratka poglavlja iz tih oblasti, ovde to nije uradeno, jerbi trebalo dosta prostora, a pitanje je kolika bi bila prakticna korist. Tek ponegde uzkonkre tno geometri j sko telo i kons truk tivn i pos tupak pokazano je i kako se izvod i i nekaposebna p lanime tri jska konst rukc ija neophodna za real iz ae iju osnovnog postupka (npr,konstrukcija petougla, ovala itd.) .

ledino su iznacrtne geometr ijedati iosnovni pojmovi 0projekeijamai projekcij skimravnima, kao uvod u postupke projektovanjageometrij skih telakao elemenata konstrukcijaizradenih od lima.

Za va rivanje , l emljenje , lepljenje , z akivanje i pe rtlovanje, te hnoloski post upeipovezivanja elemenata od lima obradeni su u obimu koji je potreban i dovoljan zaeventua lne l imar ske radove po s is temu "urad i sam" .

Pokrivanje krovova limom i opsivanja gradevinskih e lemenat a sa c iljem zast iteod a tmosfe rskih ut ic aja poglav lje je koje . Ie namenjeno iprofesionalnim izvodacirna iamaterima.

AutoriBeograd, 2007. godine

7


6/97

KONSTRUISANJE I KROJENJE OBLIKA OD LIMA

Limarski radovi obuhvataju one pozicije koje serealizuju u industr iji iradevinarstvugde je l im osnovni materi ja l od koga se izradu ju pot rebni obl ic i i konst ruke ije i li n jihovikarak te ri st icni de ta lj i. T i obl ie i u praks i ces to su rnan je i ii v ise s lozeni pros torni sklopoviproizasli izmedusobnih zadora osnovnih geometr ijskih tela oblih, rogljastih kao i njihovihmedusobnih kombinacija,

Kocka, p rizma, p ir amida, val jak, kupa, lop ta , torus i mnoga druga telaiobliei kojinasta ju rotiranjem nekog meridijana iii kreta njem izvodni ce po ne koj vodilji koriste sepri konstruisanju i izvodenju zeljenih geometr ijskih oblika u industr ijskim insta lacijamaigradevinskim objektirna.Omotaci tela kao sto su kocka, prizma, piramida i kupa mogu se razviti u ravan.Tu osob inu korist imo pri projek tovanju, k ro jenju u montazi . Moguce je tela konst ru isat ii skrojit i u pravoj ve licini na radnom stolu, a kasnije ih montira ti u konstrukc iji tac no pomerama iz pro jekta. Geome tr ij ske obl ike ie la c ije se povrs ine orno taca ne mogu razvi tiu ravan (lopta, torus i ra zne rotac ione povrsine) ipak se mogu konstruisat i inepravitiz amenom nji hove povrsine se gmentima onih t ela ipovrsi koje se mogu ra zviti (npr.:povrsinu lopte mozemo zameniti vecirn brojern pojaseva koji su delovi kruznog rotacionogkonusa koj i dod iru je lop tu). To su aproks imac ije ko je dovol jno tacno zamenjuju idealnupovrsinu lopte.

Konstruisanje i razvijanje omotaca pomenutih tela vrsi se uz primenu metodanacrtne geometrije.

9


7/97

Ortogonalna i kosa projekcija geometrijskih tela

1.ORTOGONALNA I KOSA PROJEKCIJAGEOMETRIJSKIH TELA

U nacrtnoj geometriji koris te se projekci jske ravni za dobi janje projekcijageometrijskih idrugih figura. Projekcije na ravnirna nastaju pod dejstvom projekcijskihzraka. Oni na projekcijske ravni padaju pod pravim il i kosi rn uglom. Taka nasta jeortogonalna (upravna) ikosa projekcija. Horizontalna projekcijska ravan naziva sehorizontalnica iii prva projekcijska ravan (H) ina njoj nastaje prva projekcija predmetakoji se nalazi iznad iii ispod nje (sl. 1.1). Projekcije tacaka oznacavaju se sa ' (prim).ledna projekcijska ravan nije dovoljna za potpuno odredenje tacke u prostoru. Zbog togase uvodi vertikalna, frontalna ravan koja se naziva vertikalnica (frontalnica) iii drugaprojekcijska ravan (sl. 1.2). Projekcije tacaka idrugih likova ifigura dobijaju oznaku "(sekunda). Iz druge projekcije se dobijaju podaci 0 visinama pojedinih tacaka u prostoru.Na taj nacin su upotpunjeni podaci a trecoj dirnenziji prostora (visini), koja senije rnoglautvrditi iz sarno jedne (prve) projekcije.

o r t o q o n a l n i p r O j e k C i j S k i .1 1 7raCIQ ) k o s i. p ro je k c ijs k i. " Z r a c !polupro stor rz nad A .~ ..... N 0.p r o j e k c i j s . K e ravn i .. -- t1=ts~H k A = 8 '= [ "o

H Ip o lu pr os to r i sp o d t cpro j ek( lj s .Ke r c lv n i T

Sl. 1.1-Model projekcijske ravni irojekcijskih zraka11


8/97

Limarski radoviQ J b J

t, A " P 1 .1 kV Cld ,a n t r------.---/T I ~ 1 'A 7 ." F III ~ - = - l ~ _ izrad-iza I I fi z n ~ ~ ~ ; ; i / ~ ~ I t z I A x ~L ~ ,t ~

/' I ~y I I/H I A' HIkvadrant I Yi spod- iza ! L..... - ': . _ _ JV !kvadrant-----",._.,_-,.s pe d - s pre e

Sf. 1.2 -Model podele prostora projekcijskim ravnima na kvadranteUkoliko se predstava predmeta ne moze jasno formirati samo na osnovu dye

pro jekc ije uvodi seire ca projekci jska ravan - profi ln ica (P), s l. 1 .3 .a) V I oktant b) - y ?

V o ktan t

I V oktant- zSf. 1.3 - Model podele prostora projekcijskim ravnima na oktante

Projekcije geometr ijskih f igura i oblika koje sejavlja ju pod dejstvom projekcijskihzraka predstavljaju u prvoj projekciji "pogled odozgo" u drugoj "pogJed spreda" a utrecoj "pogled sa strane". Sve sto je receno ocigledno je na sl. 1.4 gde je u sklopu trijuprojekcijskih ravni (H, F i P) u tzv. "prvom oktantu" postavljenajedna prava cetvorostranaprizma i konstruisane njene sve tri projekcije.

12

Ortogonalna i kosa projekci/a geometrijskih telaz

Sf. 1.4- Model iprojekcije prave cetvorostrane prizmeSa s like se v id i da t ri p ro jekc ij ske ravni (H, F i P) s to je medusobno u or togonalnom

(upravnorn) polozaju j da se seku po osama x, y i z. Osa "x" je presek horizontalnice ifrontalnice , osa "y"je pre sek hori zont alnice i profilnice , a osa "z" je presek frontalnice ip rof ilnice , Sve t ri ose polaze iz tacke 0 - koordina tnog poce tka.

Na sl. 1.4 prikaz an je model (kosa projekci ja) prvog okta nta sa pravom prizmom,na sl. 1.5 prikazane su sarno tri projekcije na projekcijskim ravnima prvog oktanta(osmina prostora zahvace nog pozitivnim delovima osa x, y i z i deloviina ravni kojise prostiru izmedu njih). Na taj nacin se dobija izgled prave prizme kad se posmatra"odozgo", " spreda", " sa s trane". Osam temena cetvoros tr ane pr izme obe lezeno je vel ik imstampanim slovima Iatinice od A do H. Svako teme pojavljuje se u sve tri projekcije saoznakarna A' ,A" iA'o,.,.

z

x

P F '" E n. G O ' H'"

Hy

Sf. 1.5 - Ortogonalne projekcije prave cetvorostrane prizme na tri projekcijske ravni13


9/97

Limarski radoviNa sl. 1. 5 vidi se da u prvoj proje kc iji prava prizma izgJeda ka o kvadra t (bazis) i

da se prve projekcij e po dve t emene ta cke nalaz e na ist om me s tu - poklapaj u se . To znacida se sve ve rtika lne ivice projektuju kao tac ke (A', E', B' F' ... ). Tre ba uka zati na drugui trec u projekciju ivica prizme: one su u pra voj veli cini, jer 5U paralelne sa frontalnicomi profilnicom, ka o sto su oba bazisa (kvadra ti) u prvoj projekc iji u pravoj velici ni, je r supa ra lelni sa H (horizontalnic om), Iz tog razl oga ravni bazisa su upravne na drugu i tre cuprojekci jsku ravan, pa se t i baz is i p rojek tu ju kao prave l in ije u fron ta ln ic i i p rofi lnici .

Na sl. 1.6 prikazan je model - kosa projekcija prave cetvorostrane piramide saba zisom u obl iku kvadrata u horizontalnici . Konstrui sane su tri projekc ije toga t ela nasve t ri projekci j ske ravni . S obz irom da je baz is u horizontalnici n jegova druga projekci jaje na x osi, a treca na y osi . Prva proj ekcija bazisa je u i st o vreme prva projekci ja celepi ra rn ide . Projekci ja vrha V' je u pre seku dijagona la kvadra ta , s to se vidi iu ortogonalnimprojekci jama pir amide na s l. 1.7. Nevid lj iva izvodnica 0" V" isc rtana je isprek idanomlinijom, a bazis kvadrat u horizontalnici ima drugu projekciju na x osi, jer se ice1ahorizontalnica pro jektuje na os i x i y u drugoj i tre e o j projekciji. Svaka tac ka cija je kotana z osi j edna ka nuli, l ezi na horizontalnic i, nerna vi si ne pa joj je druga proje kc ija na xosi , a treca na y osi.

Sf. 1 .6 - Model irojekcije prave cetvorostrone piramide (levo)Sl. 1.7- Ortogonalne projekcije prave cetvorostrane piramide (desno)

Jvice ornotaca piramide u nagibu su U odnosu na projekcijske ravni, pa su uprojekci jama u skracenju. Da bi zna li p ravu ve licinu pojed inih ivica omotaca po tr ebnoihje doves ti u po loza j pa ra le lan sa projekci jskim ravnima . Toje uc in jeno sa izvodnicomBY: za rotirana je prva projekcija ivic e B'V' do poloz aja pa ra lelnog sa x osom (V'Bo' sax). To znac i da je c ela duz dosla u poloza j paralela n sa frontal nic om. Druga projekcijaV"Bo" je prava velic ina ivice VB. S obzirom da su sve ivic e omota ca prave piramide ist e,ne treba traziti prave velic ine ostalih i vic a je r su one jednake ivi ci VB.

Na s l. l .8 datajekosa projekci ja prave obl ic e c ij ije jedan baz is krug u horizontalnicia drugi je paralela n sa H. Na istom prostornom modelu prikaza ne suive tri ortogonalneprojekcije toga tela . S obzirom da jedan ba zis lez i u H njegova druga i tre ca proj ekcija

14

Ortogonalna ikosa projekq/a geometrijskih telasu na x, odnosno na y osi. Drugi kruzni baz is koji le zi u ra vni para lelnoj sa H u drugoj it re co j p ro jekc ij i je duz jednaka precn iku kruga baz isa.

SL 1 .8 - Model iprojekcije prave obliceU prvoj projekciji (51. 1.9) baz is i k rugova su u pravo j vel ic ini i s topl jenom polozaju

s obzirom da su izvodni ce oblic e upravne na H. One se u prvoj proje kc iji projektuju ka otacke , u drugoj i t re co j pro jekc ij i (AA1,BBp"_), su U pravoj ve licini, je r su parale lne sa FiP.

Na 5 1. 1.10 je prikaz an prostorni model pra ve kupe sa kruz nim bazi som u H. Kao iu prethodnim slucajevima druga ireca projekcija baz isa su na xi y osi. Na s1. 1.11 bazisje u pra voj veli cini. Konture iz vodnice druge i trec e projekci je su u pravoj ve licini pa ihne treba tra ziti, ve e se pri konstrukciji mrez e podaci mogu uzima ti direktno sa druge ilitrece projekcije konturnih izvodnica .

f,' S ;' 0;' C ;'1

P i _ - = B : . . " 4 - . ; : : , . 0 _ ' ~~C

8~8;SL 1.9 - Ortogonalne projekcije prave oblice

15


10/97

Limarski radovi

t"

Sf, 1.10 - Model iprojekcije pravog konusa

Sf. 1.11 - Ortogonalne projekcije pravog konusa

16

2. RAVNIPRESECI I MREZE GEOMETRIJSKIHTELA

U geometriji i tehnickoj praksi susrecemo se sarogljastim i oblim telima. Rogljastatela su kocka, prizma i piramida a obla Sll kupa, valjak i lopta. Ova tela mogu bit i puna isuplja. S obzirom daje problematika ove knjige vezana za izradu konstrukcija instalacijaod lima, smatracemo i oblike koje konstruiserno kao suplja tela.Piramida ikupa imaju pojedan bazis (osnovu) i omotac, dok prizma ivaljak imajupo dva bazisa i omotac.

G

RSf. 2.1


11/97

Limarski radovi

F'" H i l I (' 1 8e I H 'I F il G "I 1. eI B lIB' ' ' /f' ('"

, \\ \, \\ "\'~"

~

['

Sf 2.2 - Ortogonalne projekcije kocke sa obeleijima na stranicamaIsta kocka sa i st im oznakama prikaz ana j e i u tri ortogonalne proj ekcije na sl. 2.2

pri c emu su baz isi kvadrati - donji ABCD a gomji EFGH. I ovde je gornji baz is obele zensa ses t tacaka, a donji jednom tackom.

Na sl. 2.3 vidi se kako nastaje mreza ovoga tela koje se rastavlja po ivicamaomotaca . Stran ice se ispravl ja ju u ravan baz isa VI i na staje obl ik prikazan nas1 . 2 .4 . Tu suu pravo j ve licini , u istoj r avni konst ru isana oba baz isa icetiri kvadrata koja predstavljajuomotac. Stranice ornotaca rasporedene su oko bazisnog kvadrata VI sa ko jim se dodiru juivieama. Bazisni kvadrat I pripojen je uz stranicu omotaca IV sa kojim se dodiruje poiviciA-D.

Mreza koeke kons truise se uzimanjem poda taka (mera ) iz ortogona ln ih pro jekc ijakocke sa s1. 2.2, jer se potrebne ivice vide u pravoj velicini iii u prvoj, drugoj i trecojprojekciji.

Konstrukc ija mrez e kocke odvi ja se ovim redom: prvo se povuce horiz onta inaprava ina njoj odme re duzi BA, AE, EF , FB. Te duzi imaju dimenzije ivice kocke kojajemerl jiva u sve t ri p ro jekc ije, jer se po cet ir i ivice v ide u pravoj vel ic in i u svakoj projekci ji .Iz t emena B podigne se norma la na pra va c A - B ina njoj odmeri ivi ea pri cemu se dobijatacka C. Kroz tu tacku povlaci se paralela C - C sa praveem B - B. Dizanjem nonnalaiz tacaka A, E, FiB do preseka sa paralelom C - C dobijaju se kvadrati bazisa I i VI iomotaca IV iIII. Preostale dye st ranic e omota ca II i V mogu se doertat i na bilo koju odivica onih kvadratasa koj ima se gran ice. Kvadra tII doc rtan je uz ivieu HG, a kvadra tVuzivieu EF. Tako nae rtana rnreza na nekoj r avnoj povrs in i har ti je i ii l ima , i secena iavijenapo ivieama dac e istu koc ku sa ra sporedom ozna ka ka ko je to prikaza no u ortogonalnimprojekcijama.

18

Ravni preseci i mreie geometrijskih tela

SL 2.3 - Model rastavljanja mreie obeleiene kockeKosa projekc ija sluzi kao prostoma viz ue lna predstava zamisljenog predmeta, a

ortogonalne projekcije predstavlja ju njegov plan (projekat), razvijena mreza predstavljan jegovu rea lizaci ju (ostva rivanje) ako su mere bez umanjen ja ilipovecanja (u prirodnojvelic ini ). Crtezi se ka o sasta vni del ovi proj ekta rade u pogodnoj razme ri koja mora bitinaznacena u vidu razlomka (npr. 1 : 1 0; 1 : 50 : 1 : 1 00 .. .) . Razmera predstavlja odnos izrneduduz ina na c rtezu i u pri rodi .

SI. 2.4 - Mreia obeleiene kocke19


12/97

Limarski radoviPreseci imreze rogljastih tela

Ravan presek imreza cetvorostrane prave prizmeNa s1. 2.5 data je kosa projekcija prave cetvorcstrane prizme Cijije donji bazisABCD kvadrat koji lezi u horizontalnici, a gomji je takode horizontalni kvadrat EFGH,Prizma je presecena pomocu ravni T koja je upravna na frontalnicu, Ista prizma sapresecenom ravni dataje i u paru ortogonalnih projekcija. S obzirorn daje prizma prava,cela se u prvoj projekciji .vidi" kao bazni kvadratA'B'C'D', odnosno E'F'G'H', Tackepreseka ravni i piramide I;II;III i IV u drugoj projekciji suna drugom tragu t2, jer se celaravan T projektuje na trag t2,U prvoj projekciji tacke preseka T', IT'HI' i IV' poklapaju sesa projekcijama tacakaA' B' C' j D' tako da i preseceni paralelogram u prvoj projekciji izgleda kao bazisnikvadrat a u drugoj kao duz I" - III" koja se poklapa sa drugim tragom t2,Ako treba nacrtati mrezu prizme sa presekom onda su svi elementi u pravoj veliciniizuzev preseka I, II, III,IV kojije defonnisan i u prvoj i u drugoj projekciji. Da bi dobilipresek u pravoj velicini mora se ravan T oboriti (okrenuti) oko prvog traga da padne uhorizontalnicu, Saoborenom ravni pasce u horizontalnicu i cetiri tacke preseka: oko tacke

Tx sestarom okrenuti tacke I", II", Ill" i IV" do polozaja 10", IIo", I lIo" i IVo" na x osi.Iz t ih tacaka povlace se norrnale na osu x. Iz tacaka I ', II, ' I II ' i IV povlace se paralelesa x osom. U preseku paraJela sa odgovara jucim norrnalama su tacke 10, IIo, IIIo, IVo.Povezivanjem tih tacaka dobija se prava velicina preseka, kao i svi potrebni elementi zacrtanje mreze (sl. 2,6).

Sf. 2.5 -Model iprojekcije prave cetvorostrane prizme presecene pomocu ravni upravne nafrontalnicu F

20

Ravnipreseci imreie geometrijskih telaMreza seradi tako sto se prizma rastavi po ivici AE, Prvo se povuce prava A - Aparalelno x osi. Potom od pocetne tacke A (koju na povucenoj pravoj postavimo tako dase predvidi dovoljno mesta za sve cetiri ivice bazisa) uzimamo ivice bazisa u otvor sestaraiz prve projekcije i nanosimo napravu A -A i tako postavljamo tacke B, C, D iA. Iz njihpovlacimo normale na A - A. Na norrnale nanosimo prave velicine ivica AE, BF, CG iDH. Prave velicine uzimamo iz druge projekcije,jer sute ivice paralelne sa frontalnicom.Tako na mrezi dobijamo tacke E, F, G i H koje senalaze na pravoj E - E paralelnoj saA-A. Tacke preseka I i IV uzimamo takode izdruge projekcije inanosimo na odgovarajuce

ivice namrezi, Spajanjem dobijenih tacaka dobija se razvijeni omotac sastavljen od cetiripravougaonika sa zadrzanim (puna linija) i odbacenim (isprekidana linija) delom (s1.2.7).Donji bazis (kvadrat) ipresek docrtamo nad ivicama koje po volji izaberemo. Mere bazisase uzimaju iz prve projekcije a mere preseka izoborenog polozaja,Savijanjem dobijene povrsine po ivicama rnreze dobijamo tela prikazano na sl.2.5a koje ima bazis ABCD, okrnjeni omotac i poklopac I - IV.

It 1 I~(tl T xIII\ \ ~ l o

I ,.--. . . .y

SI. 2.6 - Ortogonalna projekcija prave cetvorostr ane prizme presecene sa ravni upravne na F

21


13/97

Limarski radovi

Sf. 2.7 -Mreia cetvorostrane prizme sa presekom

Presek inreza kose trostrane prizmeKosa trostrana prizma prikaz ana na sl. 2.8 i2.9 presecena je sa ravni T koja je

upravna na frontalnicu. Bazis prizme A, B, C je trougao u H. Ivice prizme paralelnesu sa frontalnicom, pa su u drugoj projekciji u pravoj velicini. Presek prizme I, II, IIIu drugoj projekciji je na drugom tragu t2 Prve proje kc ije tac aka preseka nala ze se naodgovarajucim ivicama prizme: tacka r na izvodnici A-A1 ' tacka II na B-B1 i tacka lITna iz vodnici C-C1 Pre sek I , IT , III u proje kc ijama nije u pravoj velic ini. Zato ga trebaoboriti zajedno sa ravni T u horizontalnicu oko traga tj i1i u frontalnicu oko traga t2U ovom slucaju presek je oboren u frontalnicu oko traga t2, na taj na cin sto se iz taca kaI", II" i III" povuku norrnale na t2 i na nji h nane su odstoj anja tac aka 1',II'iIII'od x ose.Tako se dobijaju tacke J 0, IToimo. Povezivanjem t ih tacaka J in ijom tacka - c rta dobi ja seprava ve licina pre seka prizme i r avni T.Da bi nac rtal i mrezu ove prizme sapre sekom ima dovoljno e lemena ta . Na izvodniceprizme u drugoj projekci ji ( prava ve licina ) pov lace se normale do mesta gde ima pros to raza razvi janje rnreze. Tu se nac rta ivicaAA] paralelno A"A~'. Stranicu omotaca ABB]A]kons truisemo tako s to pa ra le lu saA"A i z B" pre secemo otvorom ses ta ra A'B' ivica bazisaiz A. Tako se dobija tacka B na mrezi. Iz tako fiksirane tacke B povlaci se ivica BB1paralelno sa AA] do preseka sa normalom iz B; na drugu projekciju ivice B"B~. a istinacin se dobija teme C i C1 i ponovo A i A] . Bazise i presek docrtamo oslanjajuci ih napo vol ji izabrane ivice baz isa, odnosno pre seka .

22

Ravni preseci i mreie geometrijskih tela

A

Sf. 2 .8 - Ortogonalne projekcije kose prizme presecene upravnom ravni na F imreia sapresekom

Deo prizrne iznad ravn i naz iva se odbacenim i c rta se isprek idan im l in ijama . TackeT , II i II I na mrezi se dobijaju prenosenjem ras to janja od temena gornjeg i li donjeg bazisau drugoj projekc ij i do tacaka pre seka ,

Mreza kose prizme se moze dobiti j metodom dijagona la : pored pravih vel ic inaivica ba zisa i ivica pri zme potrebno je na ci pravu ve licinu po jedne dij agonal e u svakomparalelogramu ornotaca. Prava vel ic ina d ijagona le AB] izpa ra le lograma AA1B]B nalaz ise rotacijom te dijagonale A'B~ do poloza ja paralelnog sa fronta lnic om u kom slucajuse ta duz vidi ~ pravoj velicini. Prava velicina dijagonale AB] dobija se nanosenjemprojekcije A B] n a x osu od tacke B] x gde se dobije tacka Ao". Spajanjem tacke B] saAo" dobija se prava velicina dijagonale AB1. Sada se moze kons tru isat i paralelogramAA1B]B kons truisuc i t roug love odkoj ih je sas tavl jen, a c ije su s tr an ice ivice baz isa, iviceomotaca prizme i dijagonala.

Na isti nac in se konstruisu pra ve velic ine dijagonala B1C iB]C neophodnih z akonstrukciju paralelograma BB]C]C iAA1CJC .

23


14/97

Limarski radovi

presek

St. 2.9 - Model koseprizme presecene upravnom ravni na F j mreia sa presekomSavijanjem povrsina sa ra zvijene mreze po ivicama dobij a se zarubljena prizmaizmedu donjeg bazisaABC ipreseka T , I I, I II (sl . 2.9a) .

Mreza zarubljene piramideCetvc rostrana prava piramida sa sl. 2.10 prese cena j e horizontalnom ravni T po

pre seku I, I I, I II iV koji se nalaz e u drugoj proj ekciji na tragu t2iodgovarajucim ivicamaomotaca,

Ordinalama su spustene tac ke pre seka I - IV na prve projekci je ivica piramide,Za crtanje mrez e potrebno .Ie odrediti pravu veli cinu jedne od cet iri ivi ce trouglovaorno taca ABV, BCV, CDV iDAY. U ovom slucaj u roti ranaj e ivica B u prvoj projekc ijido polozaja parale lnog sa x osom. Zarotira na ivic a se "vidi" u drugoj projekci ji u pravojveli cini (Bo"V"). Ta cka Bo" je spojena sa vrhom V". Ta spojnic a je prava veli cina ivicepiramide. S obzi rom da su sve ostal e ivice iste ve licine i tac ke pre se ka T - IV se prenosena pravu velic inu ivice, U ovom slucaju sve cetiri tacke preseka su na istom mestu napravoj velicini izvodnice.

Mreza zarubljene pirarnide sacinjena je od cetir i jednakokraka trougla , kvadratnogbazisa ABCD i kvadratnog preseka I II III i IY. Deo pirarnide iznad preseka smatra seodbace nim, pa je deo mre ze pira rnide izna d z arublje nog de l a izvuce n isprekidanimlinijama. Bazis ipre sek izmreze su doda tno pripojen i na neku od s tranica baz isa i p re sekaprema raspo lozivom pros to ru na crtezu, Te lo koje se dobi je sav ijan je rn povrs ina premaskro jeno j mrezi pr ikazano je na 5 1. 2.10 a.24

Ravni preseci imreie geometrijskih telaV"

Il- v

Sf. 2 .10 - Projekcije prave zarubljene cetvorostrane p iramide sa razvijenom mreiom

Presek i mreza kose petostrane piramideNa sl. 2.11 konstruisan je presek kose piramide sabazisorn pravilnim petougaonikom

i ravni upravne na frontalnicu. Pravilan petougaonik se konstruise ako je poznata:a ) s tr an ica petougaonika i b ) poluprecn ik opisanog kruga oko petougaonika.

a) ako je poznata stranica onda se petougaonik konstruise na sledeci nacin(sl.2.11):

L odredi se sredina stranice AB - t acka 0;2. povuce se normala na AB iz tacke B;3. na normalu se nanese stranica od B do N;4. iz tacke 0 odstojanje ON prenese se na produzeni pravac AB do tacke M. Duzina

AMje dijagonala petougla;5. iz tacke A uzeti u otvor sestara dijagonalu AM i zaseci kruzni luk;6. luk preseci kruznim lukom iz tac ke B Ciji j e ot vor sestara je dna k stranici a .T ako sedobi ja tacka C - jos jedno teme petougaonika;7. tacka 0 se dobija presekom luka iz C sa simetralom duzi AB;8. tacka E se dobija presekom lukova iz 0 iA otvorom sestara jednakim stranici a.

b) ako je poznat poluprecnik opisanog kruga oko pe tougla konstrukcij a se izvodina s ledeci nacin ( sl . 2.11):

1. sa c entrom u S opisan je krug zadat og polupre cnika;2. odre de na je ta cka 0 - sredina polupre cnika;3. tacka E (jedno teme petougla) spusta se lukorn (ciji je poluprecnik OE) na precnik

opisanog kruga k ;25


15/97

Limarski radovi4. spojnica EEl je stranica petougla;5. otvorom sestara EEl pre seca se kruzn ica k i odrede tacke petougla AiD;6. iz tih tacaka istim otvorom sestara odrede se preostale dve tacke BiC.

Kosa petostrana piramida VABCD presecenaje sa ravni T upravnom na frontalnicu,Druge proj ekcije taca ka prese ka I - V na laze se na drugom tra gu t2 ravni T. Njihove prvepro jekc ije odredu ju se spustanjern ordinala iz I" - V" do odgovarajuci h ivic a piramideu prvoj projekciji (npr. I je na ivici A'V' itd.). Povezivanjem tacaka preseka u prvojprojekciji dobija se trazeni presecni poligon.

Radi konstruisanja mreze cele iii okrnj ene piramide potrebno je odrediti pra vevel ic ine svake ivice i p ravu vel ic inu pre seka .

Prava velicina ivica AY, BV itd. odreduje se rotacijom svake od njih oko vrha Vdo polozaja para1elnogsa frontalnicorn. Druga projekcija tako rotiranih ivica predstavljanjihove prave velic ine (sl, 2.11) .

Radi skra cenja postupka dovoljno je uzeti u otvor sesta ra p~ p"roje kc iju sva keivice inanet i ih na x osu od t acke v . , , ~ do Ao' Be itd. Spojnice V Ae; V Be i td, su pravevelic ine ivica kose piramide. Na sva koj od nj ih se nala ze i odgova raj uc e tacke pre seka10, Il, i td . One se dobi ja ju pre sekom hor izon ta la iz I "; II " i td. sa odgovara juc im pravimvelicinama ivica.

Prava velicina preseka I - V se dobija obaranjem ravni T u horizontalnicu iiif rontalnicu zajedno sa tackarna preseka. U ovom slucaju presekje oboren u horizontalnicu.Poligon 10, lIo, m., IVe, Vopreds tavl ja pravu vel ic inu pre seka .

Za konstrukciju mreze kose piramide sa presekom iii bez njega odredeni su svipotrebni elementi.Kons trukc ija mreze poc in je pos tavl janjem tacke V - vrha p iramide ivice po kojoj

smo omotac rastavili u ovom slucaju to je ivica AV. Da bi odredili teme B iz tacke Aotvorom sestara AB (iz prve proje kc ije bazisa koji je u pravoj ve licini) povlac imo luk.Taj luk prese camo lukom ciji j e otvor sestara V"Bo (prava velici na ) iz t acke Y.Tako smoodredi li tacku B na mrezi i c eo t rougao ABV ornotaca p iramide . Ostale tacke i t rougloveomotaca konstruisemo na isti nacin uzirnajuci Uotvor sestara odgovarajuce stranice bazisai prave velic ine ivi ca piramide . Tac ke preseka na nosimo na mrezu odmeravaj uc i ih sapravih vel ic ina ivica od vrha V i ii temenih tacaka, Na ivicama baz is i p re sek docr tavamouz mrezu ornotaca nastav ljajuc i ih uz neku od ivica povucenih na mrezi . Temena pol igonabazisa i p re seka dobijaju se presec ima lukova c ij i otvori ses ta ra zahva ta ju odgova ra jucestranice idijagonale koji kada se preseku daju jednu po jednu temenu tacku bazisa iiipreseka.

Telo koj e se dobij a savija nj em mrez e izvucene punim linijama - z arubljena kosap ir amida prikazano je na s1.2 .11a u koso j pro jekc ij i.

26

Ravni preseci imreie geometrijskih telao

Sf. 2.11 - Projekcije kose petostrane piramide sa mreiom iresekom

Ravni preseci imreze oblih telaPresek imreza valjka

Presek pravog valjka sa ravne T upravne na frontalnicuPre sek pravog val jka (baz is krug u horizontalnici ) i r avni T upravne na fron ta loicu

prikaz an je na sl. 2.12. P rese k sa kara kteri sticnim ta ckama I - VIII u prvoj proje kc iji sepokla pa sa projekc ijom baz isnih krugova . U pravoj ve licini taj prese k je elipsa koja se udrugoj pro jekc ij i pok lapa sa drugim tragom t2 ravo i T, au prvoj pro jekc ij i sa projekci jombazi sa . Velika osa presec ene elipse I" - II" u drugoj proj ekciji je u pra voj velic ini , dok jeu prvo j pro jekc ij i mala osa u pravo j vel ic in i (I II ' - VI I' ).

27


16/97

Limarski radovi

Sf. 2.12 - Projekcije imreia prave oblice presecene pomocu ravni upravne no FPrava velic ina prese cne eli pse dobijena je obara njem ravni T u hori zont alnicu

obrtanjem oko prvog traga. Za konstruisanje mreze omotaca i preseka postoje svie lementi, jer su izvodni ce pravog valj ka u drugoj proj ekciji u pravoj velic ini. Mrez uomotaca va ljka dobicemo na taj nac in s to cemo obim kruga baz isa r azvi ti mnozeci p recn ikbaz isa sa 7r = 3,14 . Tu duz inu uze cemo kao je dnu stra nic u pravouga onika cija je drugastranica jednaka visini valjka, S obz irom da smo obim baz isa valjka pode lili na 8 de lovai razvijena mreza ornotaca treba da bude podeljena na isti broj segmenata. Iz svakogpcdeoka povucena j e po j edna izvodni ca i na njoj odgova ra juc a ta cka prese ka I - VIIT,koja ima istu visinu kako na mrezi ta ko i na drugoj projekcij i valjka.

Spajanjem tacaka I - VIII dobija se razvijena kriva u obliku sinusoide I - VIII.Pre secna e lipsa na mrezi je doc rtana kor iscenjem konst rukc ije e lipse pomocu kruzn icakrivine u ternen ima kao u pravo j vel ic in i r azvi jene mreze .Urazvijenoj rnrezi ucrtanaje it angenta na razvi jenu krivu u prevo jnoj tacki VI I. To je os tvareno koriscen jem dimenz ijapravouglog t roug la VI I' "f'P; ', koj i iz druge projekci je prenos imo na rnrezu .

Uovom sluca ju baz isna kruznica n ije doc rtavana na rnrez i s obz irom da je presecenval jak sup lje telo od l ima sa poklopcem u obl iku e lipt ickog pre seka . Oblik koj i se dobi jesas tavl janjem mreze izvucene punom lin ijorn dat je na s l. 2 .12a .

28

Ravni preseci i mreie geometrijskih telaPresek i mreza kose oblice

Kosa obl ic a na 51.2 .13 ima bazis u obl iku kruznice . lzvodnice obl ic e su para le lnesa front alnicom, pa 5Uu drugoj projekc iji u pravoj velic ini. Pre sek j e ostvaren pomocuravni T upravne na fron ta lnicu . Pre sekje e lipsa Cijupravu vel ic inu mozemo konst ruisa ti ibe z obaranja u neku od projekcij skih ra vni, jer su i ve lika osa 1" VII" imala osa X' - I V'vidl jive u pravo j vel ic in i u drugoj , odnosno prvoj projekci ji .Tacke pre seka I - XI I u drugojproj ekciji su na pre seku drugog tra ga sa odgovarajucim izvodnicama. P rva proje kcijapreseka dobij a se spustanjem prese cnih tac aka iz druge proje kc ije na odgovarajuceizvodnice prve projekcije.

Razvijena mreza omotaca konstruisana je metod om normalnog preseka naiz vodnice , Prilikom ra zvijanja ornotaca kriva normalnog prese ka se pretvara u pravul in iju na koju su izvodnice upravne . Ods tojan ja kra jnj ih tacaka izvodnica odmerava ju 5eod linije normalnog preseka nagore inadole. Uovom slucaju norma ln i p re sek je u obl ikue lipse. Radi razvija nja mreze potrebno je izracunati pribliz no obim elipse primenomkoeficijenata iz tabele 2.1.

Tabela 2.1b b b b b- k - k - k - k - ka a a a a0,00 4,0000 0,20 4,2020 0.40 4,6026 0,60 5,1054 0,80 5,67230.01 4,0011 0,21 4,2186 0,41 4,6258 0,61 5,l324 0,81 5, 70200,02 4,0038 0,22 4.2356 0,42 4,6492 0,62 5,1596 0,82 5, 73170.03 4,0078 0,23 4,2531 0,43 4,6728 0,63 5,1870 0,83 5, 76160.04 4,0131 0,24 4,2710 0,44 4,6966 0,64 5,2145 0,84 5,79150,05 4,0194 0,25 4,2892 0,45 4, 7207 0,65 5,2421 0,85 5, 82150,06 4,0267 0,26 4,3078 0,46 4, 7450 0,66 5,2699 0,86 5,8516

I0,07 4,0348 0,27 4, 3268 0,47 4, 7695 0,67 5,2978 0,87 5,88190,08 4, 0438 0,28 4, 3462 0,48 4, 7942 0,68 5,3259 0,88 5.9122

I 0,09 4,0535 0,29 4,3659 0,49 4,8191 0,69 5,3541 0,89 5, 94260,10 4,0640 0,30 4, 3859 0,50 4, 8442 0,70 5,3824 0,90 5.97230,11 4,0752 0,31 4,4062 0,51 4, 8695 0,71 5,4108 0,91 6,00380,12 4,0870 0,32 4,4269 0,52 4, 8950 0,72 5.4394 0,92 6, 03450,13 4,0994 0,33 4,4479 0,53 4,9207 I 0,73 5,4681 0,93 6.06530,14 4,1125 0,34 4,4692 0,54 4,9466 0,74 5,4969 0,94 6,09620,15 4,1261 0,35 4,4908 0,55 4,9726 0,75 5,5258 0,95 6,12710,16 4,1403 0,36 4,5126 0,56 4,9988 0,76 5,5549 0,96 6,15820,17 4,1550 0,37 4,5347 0,57 5,0252 0,77 5,5841 0,97 6,18930,18 4,1702 0,38 4.5571 0,58 5,0518 0,78 5,6134 0,98 6,22050,19 4,1859 0,39 4,5797 0.59 5,0785 0,79 5,6428 0,99 6,25181,00 6,2832U tabeli su dati koli cnici koji pre dsta vljaju odnos izmedu ma le i veli ke poluose

elipse b/a . Za sto odnosa da ti su koefi cijenti K koji ka d se pornnoze sa duzinorn velikepoluose dobija se priblizna duzinu obima elipse. Uovom slucaju merenjem poluosa elipsenorma lnog pre seka uspostav ljen je odnos b/ a = 19/20 = 0,95 . Za taj odnos koe fici jentK =6 ,1276 . Obim e lipse je 0=a K = 20 x 6,1276 = 122 ,54 . Obim del imo na 12 delova(122,54 : 12 = 10,21) i nanosimo ih na pravu - razvijeni normalni presek. Omotac jera stav ljen po izvodnici 1kojaje od normalnog pre seka nane ta sarno nadole, dok su ostale

29


17/97

Limarski radoviizvodnice delom iznad a delom ispod normalnog preseka. Povezivanjem nanetih tacaka 1,2,3, ...12, dobijaju se krive razvijenih bazisa - sinusoide. Na isti nacin, sa druge projekcijese nanose na izvodnice tacke presecne krive I, II, III,..., XII, I.

Poluprecnici kruznica krivine u temenim tackama IiVII razvijene presecne krivedobij~j~~e iz ortogonalne projekcije elipse na tangencijalnu ravan na valjak, po izvodnicina kojoj Je temena tacka. Ortogonalna projekcija je elipsa eiji je poluprecnik krivine utemenu VII i1u isto vreme i poluprecnik krivine za razvijenu krivu. Poluprecnici krivinarazvijenih krivih bazisa nalaze se na isti nacin - ortogonalnim projektovanjem bazisnihkrugova na tangencijainu ravan na temenim izvodnicama (sl. 2.13a).

Sf. 2.13 - Projekcije imreia kose oblice presecene pomocu ravni upravne naF

30

Ravni preseci imreie geometrijskih telaPresek imreza prave kupe

. Na sl, 2.14 prava kupa presecena je sa ravni T upravnom na frontalnicu po eJipsi.Njen presek se projektuje na drugi trag t2 Velika osa I - VI se podeJisimetralom na dvadela i odredi se njen centar En iE'. Radi odredivanja male ose kroz E" povuku se drugeproj:kcije i.zvod~icana Kojima se nalaze krajnje tacke IV i VIII - temena elipse. Tamogde izvodnice 41 8 seku pravu kroz E' povucenu upravno na x OSU nalaze se temena IVi VIlI preseka.Deljenjem bazisnog kruga na osam delova i odredivanjem prevojnih tacaka PiPna razvijenoj krivoj odredeno je ukupno 12tacaka preseka. Prevojne tacke PiP, ISU n~izvodnicama po Kojimakonus dodiruju tangencijalne ravni koje su upravne ~apresecnuravan T.Tragovi tih ravni dodiruju bazis konusa u tackama 1 ; i T2 Tragovi su povuceniiz prodora PHnormale n izvrha konusa V.

Sf. 2 .14 - Projekcije imreia pravog konusa presecenog pomocu ravni upravne naFZa crtanje rnreze sa presekom i razvijenom presecnom krivom potrebno je imatipravu velicinu izvodnica i na njima odgovarajuce tacke preseka, kao i pravu velicinusamog preseka. Kontume izvodnice 1i 6 u drugoj projekciji su u pravoj velicini. Najednuod njih prebacuju se tacke preseka radi odmeravanja pri nanosenju na mrezu. Mreza se~rta iz usvojene tacke V otvorom sestara za duzinu prave velicine izvodnice 1 po kojojJe omotac rastavljen. Pocevsi od fiksirane izvodnice 1 sa kruga bazisa na luk omotacananose se tacke 1' ,2' ,3' , . .. 10' ,1 i povlace odgovarajuce izvodnice ina nj ima tackepreseka 1,11,..., X; L Radi odredivanja poluprecnika krivine razvijene presecne krive na

31


18/97

Limarski radovimrefi utemenim tackama IiVI treba uraditi sledece: oboriti presecnu elipsu u frontalnicu,konstruisati centre krivine, Q za temena I iV I i Q 1 za temena IV i VIII.

Mreza zarublj enog konusaZarubljeni konus (s1.2.15) ima dva bazisa koji su paralelni sa projekcijskom ravni.Donji bazisni krug podeljen je na 12 delova. Iz t ih delova povucene su odgovarajuceizvodnice. Na njima su tacke preseka I - XII sa horizontal nom ravni gomjeg bazisa.Konturne izvodnice druge projekcije su u pravoj velicini. Sve tacke preseka imaju istoudaljenje od vrha konusa i one se meri po konturnoj izvodnici,Mreza omotaca ovog konusa nastaje kad izusvojene tacke V povucemo lukove cij isu poluprecnici jednaki pravoj velicini izvodnice i odstojanju tacaka preseka do vrha V .Mreza je ras tavljena po izvodnici 1 - I-V. ad pocetne tacke na luku k nanose se delovisa kruga bazisa 1 - 2; 2 - 3 itd . Spajanjem nanetih tacaka sa tackom V dobijaju se tackepreseka I, II, III u preseku salukom k. Donji i gomji bazis se docrtaju uzrazvijeni omotacu zavisnosti od raspolozivog prostora na crtezu,v v

Sf. 2 .15 - Projekcije i mreia zarubljenog pravog konusa

32

Ravni preseci imreie geometrijskih telaPresek imreza kosog konusa

Kod kosog konusa (s1.2.16) izvodnice se razlikuju po duzini, Samo po dve sus irnetr icne u odnosu na ravan E koja pos tavljena kroz vrh deli konus na dva identicnas imetricna dela. U datom slucaju bazis i presek su u pravoj velicini, ani su podeljenina 8 jednakih delova . Izvodnice I i 5 su konturne u drugoj projekci ji i para le lne su safrontalnicom, pa su u pravoj velicini, Preostale izvodnice 2, 3, 4 su rotacijom dovedeneu polozaj paralelan sa F,pa se tako okrenute u drugoj projekcij i vide u pravoj velicini.Spoj nice V"20", V"30", V"40" da ju trazene prave ve lic ine izvodnica. Izvodnici 2identicna je izvodnica 8, izvodnici 3 identicnaje izvodnica 7 itd. Prava velicina izvodnicarnoze se dobit i ada se ne vrs i rotacij a u prvoj projekcij i, vee seu otvor sestara uzme duzV'2' i nanese na x osi od tacke Vx u levu i ii desnu st ranu. Zabelez imo tacku 20 koj a j ena istom mestu kao da smo rotirali i prvu projekciju duzi V'2'.

Sf. 2 .16 - Projekcije imreia kosog zarubljenog konusaMreza se razvija na taj nacin sto izvodnicu po kojoj rastavljamo ornotac ucrtamou pravoj vel ic ini gde mislimo da razvi jemo mrezu i od tacke 5 otvo rom sesta ra 5-4zasecemo luk. Taj luk presecamo drugim lukom iz tacke V uzete u otvor sestara pravevelicine izvodnice 4. Na izvodnicu 5 naneta je tacka V preseka. ad njeje otvorom sestara

33


19/97

Limarski radoviV - IVzasecen luk koji preseca izvodnicu iz4 u tacki IV Takoredom trougao po trougaodok se ponovo ne dode do izvodnice 5. Rasporedene tacke bazisa i preseka obelezenearapskim iimskim ciframa povezuju se krivom uz pornoc krivuljara. Za tacniiu obradu Jrazvijene knve uz pomoc sestara treba naci centre i poluprecnike krivine za tacke I(I) i5(~) na razvijenoj krivoj omotaca, Centri O, i OV nalaze se na preseku vertikala iz 0','i 02 sa izvodnicom V"5", '

Sl. 2.17 - Projekcije imreia zarobljenog konusa sa dalekim vrhom van crteiav U slucaju da su izvodnice konusa jako strme (sl. 2.17) i da je vrh daleko vallcrteza, mreza rnoze da se konstruise metodom dijagonala. Omotac konusa se podeJi na~e.tvoro~gaonesegmente kojima su dye ivice delovi bazisne ipresecne krive, a druge dyeIVl~esu izvodnice konusa. Cetvorougli se potom dele dijagonalama na trougle. S obzirom?a je k?nu~ k?s izvodnice su mu razlicite kao idijagonale. Potrebno je naci prave velicineizvodnica I.dIJ~go~alana nacin ~ao u pretho~nom primeru, pa pocev npr. od izvcdnicel-l .~onst:;llsatl tacku 2.zasecanjern lukova IZI otvorom sestara u koji je uzeta pravaveh.cma dijagonale a. TaJluk se preseca lukom iztacke 1 otvorom sestara l ' -2' uzetog sabazisnog kruga u prvoj projekciji, tako daje dobijena tacka 2 izkoje otvorom sestara sa

34

Ravni preseci i mreie geometrijskih telapravom velicinorn izvodnice b zasecamo luk koji presecarno drugim lukom iz tacke I saotvorom sestara I - II idobijamo tacku II i tako redom do izvodnice I -1. Dobijene tackena razvijenim krivama bazisa i preseka spoje se krivuljarem.

Konusni preseci pO hiperboli iparaboliPo geometrijskoj definiciji hiperbola je ravna kriva cija je razlika odstojanja oddveju utvrdenih tacaka (ziza) uvek ista. Hiperbola ima dye grane na koj ima ima dyebeskonacno daleke tacke, Tangente hiperbole u beskonacno dalekim tackama nazivajuse asimptote i one prolaze kroz centar hiperbole. Ako se konus sece ravnima presek kojinastaje rnoze biti elipsa, hiperbola ili parabola.Presekpo elipsi nastaje akoravan presece sve izvodnice konusa, Presek pohiperbolinasta je ako ravan presece sve izvodnice sem dye sa kojima je paralelna. Asimptotehiperbole su paralelne sate dye izvodnice konusa.Presek po paraboli nastaje kada ravan preseca sve izvodnice konusa sem jednesa kojom je parale lna . Parabola je ravna kriva kojoj je rastojanje bi lo koje tacke odjedne prave (direktrise) i jedne tacke (zize) uvek isto. Parabola ima jednu grant! i jednubeskonacno daleku tacku,Na sl. 2.18 konstruisan je presek ravni T i pravog kruznog konusa. U praksi kupeili konusi uglavnom irnaju deo od bazisa do vrha, dok se druga grana konusa, ona koja binastala da se izvodnice nastavljaju preko vrha, uglavnom zarnislja da postoji.Polovina konusa od kruznog bazisa k do vrha V presecena je sa ravni T upravnomna H i paralelnom sa F i konturnim izvodnicarna konusa (l"V" i TV"). Na taj nacinnastala je grana hiperbole ATB. Druga grana bi nastala ukoliko bi postojao idrugi deokonusa - onaj iznad vrha V.Sve tacke hiperbole u prvoj projekclji su na tragu tl. Teme T je na srediniizmedu pocetnih tacaka hiperbole A i B. Da bi dobili visinu temena T zarotira se T' dokonturne izvodnice V'7' i pronade To" na V"7". Odatle horizontalom nalazimo T" na4"V". Medutacke II, III, V iVI nalazimo kao prodor odgovarajucih izvodnica kroz ravanpreseka u prvoj projekciji i podizerno ih ordinalama u drugu projekciju na izvodnice 2 i3.5 i6. Hiperbolaje u drugoj projekciji u pravoj velicini.Mreza omotaca kupe sa presekom crta se iz tacke V sestarom ciji otvor je duzina

prave velicine izvodnice kupe (1"v" i li 7"V"). Pocevsi od utvrdene izvodnice 10 Vnanosimo na luk podeoke cije su tetive dvanaestine obima bazisa kupe. Od izvodnice10 V ponovo do 10V.Tacke preseka na mrezu se prenose tako sto ih prvo prenesemona pravu velicinu (kontume) izvodnice u drugoj projekciji. Odatle mereci odstojanje odvrha V otvorom sestara nanosimo tacke sa konturne izvodnice na odgovarajuce izvodnicemreze, Dobijene tacke na mrezi spajamo krivuljarem i dobijarno oblik razvijenog presekapo hiperboli.

35


20/97

Limarski radovi

t

4 5SI. 2.18 - Projekcije, mreia i model preseka pravog konusa pd hiperboli

Sam presek ideo bazisa s obzirom da su u pravoj velicini (bazis u prvoj, presek udrugoj projekciji) precr tamo na mrezu koristeci e lemente pravih velic ina iz projekcija.

Oblik koji nasta je sa vij anjem skroje ne mre ze od lima, kao suplje tel o, prikaza n jeu kosoj projekci ji na s l. 2 .18a .

Presek konusa po paraboli ostvaren je (s1. 2.19) pomocu ravni T upravne nafrontalnicu a paralelne sa izvodnicom konusa V"7". Parabola se u drugoj projekcijipokla pa sa drugim tragom ravni tz . U prvoj projekciji ide od pocetne tacke A prekotemena T do zavrsne tac ke B.

Medutacke pre seka I I, I ll , IV . .. X, XI, XI I su prodori izvodnica kroz ravan u drugojprojekciji. Tako odredene tacke preseka spustaju se ordinalarna na odgovarajuce izvodniceu prvoj proje kciji. Dobije na kriva je parabola u iz ve snom skrac enju, Da bi bila u pra vojve licini oba ra se ravan sa pre sekom oko prvog t raga u horizontalnicu . Mreza pre secenogkonusa crta se na isti na cin kao u pre thodnom sluc aju: tacke prese ka u drugoj projekcij iprenose se na kontumu izvodnic u (u pra voj velic ini). Luk omota ca ima istu duzinu kaoobim bazisnog kruga (0:= 2rn) i dobija se prenosenj em tetiva sa obima bazisa na lukornotaca, Na odgovarajuce izvodnice odrne ravanjem od vrha V i li od podnozja nanose sepoje dine ta cke prese ka . P re se cna kriva i povrsina za hva cena njome i t etivom AB kaoideo baz isa docr tava ju se uz mrezu prenosenjem e lemena ta iz prve pro jekc ije i oborenogpolozaja preseka.36

Ravni preseci i mreie geometnjskih tela

Sl. 2 .19 - Projekcije, mreia imodel preseka pravog konusa po paraboli

37


21/97

38

3.MEDUSOBNI PRODORI I MREZEGEOMETRIJSKIH TELA

Prodor dva konusa u pro izvo ljnom polozaju odreduje se pos tavl janjem pomocnihravni koj e oba konusa se ku po izvodnic ama. Da bi ravan se kl a konus po izvodnic ama onamora da prolaz i k roz n jegov vrh . Zbog toga se kao osa pramena pre secn ih ravn i postav ljaprava p kroz oba vrha, Ra vni postavlje ne kroz pramenja ce presec aju po tragovima ravnibazisa konusa . Tragovi pramena ravn i pro laze kroz prodore P,iP2pramenjace. Presecneravni seku konuse po dye izvodnice koje medusobnim presecanjem daju cetiri tackeprodorne krive. Ravan u1 dodiruje bazis k, i konus V]KI' po izvodnici VI ~1, baz isk, preseca u tackama 1-1 konus V2 k, po izvodnicama V2 ~ 1 . S obzirom da sve triizvodnic e Ide u istoj ra vni, pre seca ju se u tac kama L

Ravan 12 presec a ba zis k, u tacki Y2' a konus po izvodnicama VI - 2 k oje semedusobno presecaju utackama IT.Na isti nacin postavljene suravni U3,U4 , i pronadenezaje dnic ke ta cke 1lI, IV i V . Ove tacke medusobno povezane da ju prostornu krivu . Ovajprincip nalazenja prodorne krive dva konusa prikazan je na s1. 3.1 u ortogonalnimprojekci jama i u kosoj projekci ji . Obl ik zajednicke prodorne krive pr ikazanje na s l. 3 .1a .Konus Vj k, prikazan je bez konusa V2 k, a li sa prodornom prostornom krivom I,IlJII.U slucaje vima kad se osovine tela se ku u je dnoj tac ki L primenjuj e se me tod pomocnihlopt i koj i je prikazan na s1. 3 .2.

Tacka Lje centar lopt i r az lici tog poluprecn ika ko je seku oba konusa po krugovima.Krugovi na je dnoj kupi seku se sa krugovima na drugoj kupi. Sva c etiri kruga su na istojlopt i, pa se oni seku u 8 tac aka,

U drugoj projekci ji k rugovi pre seka lop te sakonusima vide sekao prave koje spa ja jumesta pre seka konturne kruzn ice lop te L ' kupe VI k, . Mesta gde se ovi krugovi seku sakrugovima pre seka iste lopte sa drug im konusom, dobi ja ju se tacke prodorne kr ive. Ovajprinc ip pomocnih lop ti pr ikazan je na s l. 3 .2 sarno u ortogonalnim pro jekc ijama.

Medusobni z ador dye oblic e pri ka zan je na sl. 3.3. Dve kruz ne oblic e raz licitihprecnika postavljene S11 jedna prema drugoj pod kosim uglom, a osovine im se seku. Zaodredivanje krive z adora koriste se pomocne ra vni koje se ku oblice po izvodnic ama (s1.3.3). Pornocna ravan U sece manju oblicu po izvodnicama 3 i IS, koje prodiru u vecuobl icu u tac kama III iXv. Cela kriva zadora konstruise se t ako sto se bazisna kruznic amanje oblice u drugoj projekciji zarotira oko precnika 5"-13" za 90 i pod eli na 16jednakih de lova . Ovi delov i su na oborenom krUgU obe lezeni a rapskim bro jevima od 10

39


22/97

Limarski radovido 160. Te tacke su vracene na drugu projekciju bazisa koja se vidi kao duz 5"-13". Iztih taca ka povuc ene su i zvodnice parale lno sa osovinorn oblice u drug oj proje kc iji, Isteizvodnice su prene te u prvu projekci ju nanosenjern odsecaka a ,b,c, sa precnika 1 0 9 0 napre cnik l' 9'. Tako su dobije ne prve projekcije izvodnic a po kojima pomocne ra vni sekuoblicu. S obzirom da je velika oblica prava, cela se projektuje u prvoj projekciji kaokruz nic a. Ta cke u kojima izvodni ce manje obJice presec aju kruznic u - prvu projekci juoblice - prve su proje kcije taca ka prodome krive dveju oblic a. Da bi se odre dila kriva udrugoj projekciji ove tacke treba podici ordinalarna na odgovarajuce izvodnice . Prodornukrivu sac injavaju tacke oznacene r imskim brojev ima I -XVI .

Mreza omotaca oblica razvija se na taj nacin sto se omotac rastavi po jednoj odiz vodnica . U ovom sluc aju po izvodnic i 5iaz vij e se obim ba zisne kruznic e (0 = 2m )od tacke 5 do 5 .Razvi jeni obim se pode li na 16delova i obe lezi odgova ra jucim bro jevimaod 1-16. Iz sva ke obele zene ta cke povlac i se izvodnic a upravno na pra vu 5-5. Duz inasvake izvodnic e nanosi se iz druge proje kcije gde je u pravoj velic ini. Tako se dobija jutacke ikr iva prodora I-XVI na razvi jeno j mrezi manje obl ic e.

Mreza vece, vertikalne oblice dobija se rastavljanjem omotaca po izvodniciA - A] cija je jedna stranajednaka razvijenom obimu 0 = 2m, a druga v is ina ver tika lneobl ic e. Mesta vert ika ln ih izvodnica na razv ijenom obimu prenose se sa prve projekci jeoblice, a visine prodomih tacaka, I -XVI odmerava ju se iz druge pro jekc ije. Tako se dobijazajednicka kr iva zadora na mrezi vece ob lice .

Ako su dye kruzne oblice istog precnika i ako im se osovine seku onda one imajupo dye izvodnic e po kojima ih dodiruju dye zaje dnic ke t ange ncijal ne ravni u ta ckamapreseka tih izvodnica. To su dvostruke tacke prostorne krive prodora. Zbog toga seprostorna kriva prod ora raspada u dye elipse, u ovom slucaju iz vodnice 1Ii9IX oblice Ai i zvodnice BB[ iDDJ oblice B. One ima ju zajednicke dodi rne ravni , a dvost ruke tackeprod orne krive su I i IX. S obz irom da se ra di 0 za doru a ne potpunom prodoru oblica , odraspadnute krive postoje sarno dye poluelipse.

Na ist i nac in kao u pre thodnom primeru do tacaka kr ive zadora dolaz i se secenjemobe oblice ravnima paralelnim sa njihovim osama po izvodnicama. Tacke I i IX sudvostruke tacke krive zadora. One su presecne tacke izvodnica 1j B iiz vodnica 9 iD po kojirna zajednicke dodime ravni dodiruju obe oblice. S obzirom da su ose oblicaparale lne sa frontalnic om i ra vni kojima ih secemo su frontalne. Bazi s oblic e A u drugojproje kc iji je duz 5 - 13, au prvoj proje kc iji j e e lipsa. U drugoj proj ekcije ba zis obaramooko precnika 5 -13 u polozaj para lelno sa F . Vrsi se podela baz isnog kruga na 16jednak ihdelova, obelezavajuci ih brojevima od 10 do 160. Tako dobijene podeoke vracamo izoborenog polozaja u drugu projekciju - na precnik 5" - 13". Iz tih tacaka povlacimoodgovarajuce izvodnice paralelno saOS0111 . Izvodnice 1- 16 povlacirno u prvoj projekciji.Podatke 0 uda ljenos ti p re secne ravn i ovih izvodnica od osa obl ic a uzimamo iz oborenogpolozaja bazisa, oblice A sa precnika 10 - 90 i prenosimo ih na precnik 9' - 1'. Tako sedobijaju izvodnic e od l ' do 16' i konstruise elipsa k'.

40

Medusobni prodori mreie geometrijskih tela

nicarra

SI.1.1 - Odredivanje prodora dva konusa metodom pomocnih ravni kroz vrhove konusa(projekcije i modeli)

41


23/97

Limarski radovi

,' ! 2

SI. 3.2 - Odredivanje prodora dva konusa metodom pomocnih lopti42


II,rIs fI

I

2 R lT ~ - - - -Sl. 33-Zadori i mreia dve oblice razlicitih poluprecnika bazisa

43


24/97

Limarski radoviTacke gde izvodnice od 1 do 16seku prvu projekciju oblice B su prve projekcijetacaka prodome krive. Obelezavamo ih rimskim brojevima I ' - XVI' iprenosimoordinalama na odgovarajuce izvodnice u drugoj projekciji.Razvijanje mreze ornotaca oblica vrsi se na isti nacin kao u prethodnom slucaju,Otvara se omotac oblice A po izvodnici 13, izracunava duzina obirna bazisa 0 = 2R1t inanosi na pravu 13-13. Ona se deli na sesnaest delova, obelezavaju se tacke 1 do 16i unjima povlace nonnale na duz 13-13.S obzi rom da se izvodnice oblice A u drugoj projekci ji vide u pravoj veliciniotvorom sestara prenosimo ih iz druge projekcije na razvijenu mrezu ornotaca i dobijamotacke I - XVI razvijene krive prodora. Tacke I - IX formiraju razvijeni dec jedne elipse.Tacke T , XVI XV, XIV, XIII iX X XI, XII, XIII sudelovi druge elipse.Omotac oblice B sazvija se.izracunavanjem velicine obima kruga bazisa 0 = 2R1tracunski iii graficki, Ako grafickirn putem odredujemo velicinu razvijenog obima, ondakrug bazisa oblice B delimo na 16delova i nanosimo ihod pocetne tacke po kojoj smorastavili bazis. Razvijeni ornotac je pravougaonik kome jejedna stranica obim 0'= 2Rn adruga jejednaka visini oblice B. Tacke prodome krive I - XVI dobijamo tako st o tacke 1-16sa bazisa u prvoj projekciji prenesemo na razvijeni obim. Iz tih tacaka nanosimo visinusvake tacke preseka na odgovarajucoj izvodnici. Tevelicine su prave u drugoj projekciji.Tako dobijamo delove razvijene krive prodora na omotacu oblice B. (sl. 3.4).

44


~~~~~~t=~~~~~1 L X l_1 ~ ~ IIIAl

Sl. 3.4 _Zadori i mreia dve oblice istog precnika bazisa

45


25/97

Limarski radoviMedusobni zador imreza dye elipticne oblice

Konstrukcija zadora dye elipticne oblice cije se osovine ortogonalno mimoilaze iiiseku izvodi se isto kao da suoblice kruzne osnove. Razlika je u tome sto se kruzne osnoveoblica preeizno isertavaju sestarom, dok su konstrukcije elipse manje iIi vise priblizne,Ipak one su za prakticnu primenu pri krojenju oblika od lima dovoljno graficki tacne,Za konstrukeiju elipse najcesce je zadana velika (a) imala (b) poluosa. Osama je

elipsa potpuno odredena (u ovom slucaju a =2 podeoka, b = 1,5 podeok). Ako tacku Eusvojimo za centar elipse onda veliku i malu osu elipse konstruisemo kao duzi upravnej edna na drugu u tacki E. .lize eJipse ( FI .F 2) dobijamo kada otvorom sestara iz temenamale ose, velicinom velike poluose presecemo pravac velike ose. Ako bi u zize F I i F 2poboli eksere i za njihvezali konae ukupne duzine 2a, pa konae nategli vrhom olovkei kretali olovku onako kako joj zategnuti konac dozvoljava dobicemo precizno iscrtanuelipsu. Nepromenljiva duzina konca predstavlja zbir potega rl + r2 za bi lo koju tackuelipse. Elipsa se konstruise pornocu eentara krivine u temenima ( 1 i 2),Na sl. 3.5 prikazana je prva i druga projekcija dye elipticne oblice koje se suticupod pravim uglom. U prvoj projekeiji vidi seobliea Au obliku eJipse, dokje obliea B i uprvoj i u drugoj projekciji u obliku pravougaonika. Zato je uradena ireca projekcija gdese oblica B vidi u obliku elipticne osnove.

U prvoj projekci ji osnovu obliee A del imo na 12 jednakih delova. Tu podeluvrsimo racunski posto prethodno izracunamo obim na osnovu podataka iz tabele 2.1.Prvo izracunamo odnos b/a = 1,5 podeok/2 podeoka = 0,75. Za taj odnos u tablicarnaje dat koefieijent K = 5,5258. Obim elipse je = a k = 2 . 5 ,5258 = 11,0561 podeoka,11,0561112=0,92 podeoka. Sracunatu, duzinu nanosimo na obim elipse i obelezavamobrojevima 1 - 12. Tacke prodome krive 1 - XII i drugu projekei ju nanosimo merecinjihovu visinu iz trece projekcije. Razvijena mreza omotaca oblice konstruise se na baziproracuna obima elipsi i pravih velicina izvodnica za oblieu A, iz druge projekcije, a zaoblicu B izprve ili druge projekeij e.

Prodorna kriva na omotacu B nastaje razvijanjem obima bazisne elipse zajedno saizvodnicama na kojima se nalaze tacke prodora. Prave velicine ovih izvodnica odmeravajuse iz druge projekcije oblice B.Na s1.3.6 datje izgled cvora gde se pod uglom od 120racvaju tri limene cevi istogprecnika cije se ose seku u jednoj tacki i jedan horizontalni umetak radi ublazavanjapreloma. Umetakje deo eevi istog precnika. S obzirom da su cevi istog precnika i ose imse seku, a krive medusobnih prodora su raspadnute u elipse. Ravni preseka su simetraleuglova izmedu osa. Linije preseka izmedu umetka D i obliea B i C odreduju se spajanjempreseka kontumih izvodniea (d) sa konturnim izvodnieama obliea B i C.Bazisne kruznice oborene su ipodeJjene na 16jednakih delova oznacenih brojevima10 -160. Izvodniee koje su povucene iz tacaka ove podele svojim preseeima odredujuprodome krive koje su oznacene sa ab (presek obl ice A i B), ac (presek oblice A i C),bd(presek oblice BiD).Mreza oblica i umetaka konstruise se razvijanjem obima bazisa, prenosenjempodela sa oborenih krugova na razvijeni obim bazisa. Prave velicine izvodnica se nanosena mrezu direktnim odmeravanjem.

46


11

; :

A ,

[

~ ~[O/J~;FJ'(y~B

b )ASL 3.5 -Medusobni prodor imreia dve elipticne oblice

47


26/97

Limarski radovi

16 .

II~-----.--------------~------SL 3.6 - Susret tri cevi sa umetkom radi ublaiavanjo ugla skretanja5

48

Medusobni prodori mreie geometrijskib telaProdori i mreze konusa

Medusobni prodor dva konusa daje prostornu krivu. Medutirn, ako kriva ima dyedvostruke tacke, ona se raspada u dye rayne krive (dve elipse). Ako zelimo da ostvarimotakav s lucaj gde dva konusa od lima prodiru po elipsama, onda dvostruke tacke kriveostvarujemo tako stooba konusa postavljamo da dodiruju istu loptu. KonusiA i B dodirujuloptu po krugovima k, ik, ko ji se na lopti seku u dvema dvost rukim tackama ~ i P 2prodorne krive (sl . 3 .7). Prodorne krive su elipse e] i e2Ukoliko dva konusa ne ostvaruju ceo prodor, vee zadiru jedan IIdrugi, dobija sevise kombinacija njihovih delova koje se srecu u instalacijama. Na s1.3.7a konus Ajelevak, dok vrh konusa B predstavlja odvod iz levka A pod uglom nagiba osovine konusaB. Delovi konusa izvuceni punom linijom su delovi koji sacinjavaju konstrukcij u,a delovikonusa iscrtani isprekidano ne postoje.

Na s1. 3.7b je prikazano ulivanje konusa u konus u vidu levka, a na s1. 3.7ckonstrukcija u instalacijama sastavljena od vrsnih delova oba konusa.Slika 3.7d preds tavlja levkasto s livanje dva konusa sa konstrukcijom odvoda uobliku cevi kruznog preseka. Pravac kruzne cevi se konstruise pomocu polukruzniceopisane nad velikom osom I - II elipticnog preseka, cija mala osa mora da bude jednakaprecniku odvodne kruzne cevi.Polukruznicu nad I - II presecamo lukom r jednakim maloj osi elipse iz I iii Il.Dobijenu tacku spajamo sa II.Povucena spojnica je pravac jedne konturne izvodnice

odvodne cevi. Druga konturna izvodnica paralelna sa prvom povlaci se iz I.

49


27/97

Limarski radovi

//\.\B : X 0 2,./" \- _)---

0)

2

Sf. 3.7- Medusobni prodori dva konusa injihovih de/ova50

Medusobni pradori mreie geometrijskih telaZador rotacione oblice i konusa kad im se osovine seku

U opstern slucaju kriva prodora rotacione (prave) oblice i rotacionog (kruznog)konusa je prostoma kriva. Medut im, ako zelimo da prodorna kriva bude ravna ondaoblicu i konus treba konstruisati taka da im se osovine seku i da dodiruju istu loptu Lkojuoblica dodiruje po kruznici 0, a konus po kruznici k. Kruznice su na lopti L pa se sekuu tackama K] i K2, koje su dvostruke tacke prodome krive. Oblica i konus zadiru podelovima dye elipse koje se na 5 1. 3.8 vide kao duzi IK i VK Radi odredivanja pojedinihtacaka zadora gomji bazis konusa u oborenom polozaju delimo na 12jednakih delova ite tacke vratimo na projekciju bazisa. Spajajuci ave tacke (1-12) sa vrhom V dobijamoodgovarajuce izvodnice.

Prodorne tacke 1iVII nalaze se na preseku konturnih izvodnica oblice ikonusa. Sobzirom da sma oblicu i konus postavili taka datela prodiru po ravnim krivama (elipsama)one seu drugoj projekci ji vide kao duzi I - K iK - VII. Zbog toga i ostale tacke prodoramozerno dobiti direktno presekom izvodnica sa tim duzima.Radi konstrukcije razvijene mreze konusa i oblice tacke prodora prebacujemo napravu velicinu izvodnice konusa (kontume izvodnice).Mreza konusa konstruise se kao na s1.2.14 i s1.2.19, a mreza oblice kao na sl. 3.4.Na sl. 3.9 predstavljen je pray konus presecen po elipsi. Treba konstruisati cev(kruzna oblica) koja se povezuje sa .Jevkorn" po presecnoj elipsi.Kroz centar elipse E" secerno konus horizontalnom ravni po krugu koji se u drugojprojekciji vidi kao precnik. U prvoj projekciji kroz E' povucenje pravac male ose. Presektog pravca sa kruznicorn (tacke III i VII) je presek konusa kroz centar elipse, Precnikodvodne cevi mora da bude jednak maloj osi elipse. Sada treba odrediti ugao nagibaose valjka prema ravni elipse Nad velikom osom elipse opiserno polukrug. lz tacke Vpresecemo polukrug lukom sa otvorom sestara u velicini male ose elipse. Dobijenu tackuspojimo satackom I i dobili sma pravac izvodnice i ose cevi.Drugo resenje dobijamo ako istim otvorom sestara secemo polukrug iznad velikeose elipse iztacke I, pa dobijeni presek spojimo sa tackom VRadi razvijanja mreze konusa i oblice tacke elipse prenosimo na konturnu izvodnicukonusa. Odatle prenosimo na odgovarajuce izvodnice na mrezi omotaca konusa. Mereza mrezu valjka uzimamo sa druge projekcije, jer su izvodnice valjka u toj projekciji upravoj velicini. Slika 3.9a prikazuje kosu projekciju .Jevka" sa odvodnom cevi.Na s1. 3 .10 prava kruzna oblica i kruzni konus sa osovinom nagnutom prema

horizontalnici imaju jednu zajednicku dodirnu ravan po izvodnicama KV na konusu i KNna oblici. Tacka K na taj nacin postaje dvostruka tacka (petlja) prodorne prostome krive.Osovine oblice i konusa se mimoilaze.Prvo postavimo vrh i osovinu konusa u I i II projekciji. U drugoj projekcijipostavimo bazis i konturne izvodnice konusa. lz krajnje tacke konturne izvodnice V16podignemo normalu na V - 16 do preseka sa osom konusa. Dobija se tacka L - centarlopte koja konus dodiruje po bazisnoj kruznici. Horizontala iz L sece bazisnu kruznicuu tacki T". Spajanjem T" sa V" dobijamo i drugu projekciju izvodnice konusa kojaje uprvoj projekciji konturna. Nju u prvoj projekciji dobijamo tako 5tOiz L' opiserno kruznicupoluprecnika lopte L" - 16".Na tom krugu su i tacke T; iT~koje dobijamo spustanjem

51


28/97

Limarski radoviordina le iz T; i T; do preseka sa krugom iz L' u tackama T; j T~. Spajanjern T; i T~saV' dobijamo konturne izvodnice konusa u prvoj projekcij i. Bazisna kruznica se u prvojprojekcij i vidi kao elipsa cijaje velika osa 2 ' - 11' , a mala 6 ' -16 '.

ST. 3.8 - Zador oblice ikonusa po elipsama sa razvijanjem mreie

52

Medusobni prodori mreie geometrijskih tela8 B o 6

9, '. , . :. 8I[V ULI V I

, ,7654

0)

5

E '

A

St. 3.9 - Konusni levak ikruini valjak kao prikljucak53


29/97

Limarski radovi

Sl. 3.10 - Zador konusa ioblice sa osama koje se mimoilaze54

Medusobni prodori mreie geometrijskih telaNa kontumoj izvodnici r'v izaberemo tacku 12'. Iz nje podignerno normalu naizvodnicu ipo njoj odmerimo poluprecnik kruga osnove oblice i iz centra 0' opisemokruznicu. Dobijena kruznica predstavlja prvu projekciju cele oblice. Na kruznici suprodori izvodnica konusa kroz ornotac oblice. Na oborenom bazisu konusa odredimokarakteris ticne tacke i vratimo ih u projekcije . Prodori izvodnica koj i odgovarajuoznacenim tackama kroz omotac valjka u prvoj projekciji daju tacke prodorne krive.Tacke prodora I - XIX ordinalama se prenose iz prve u drugu projekci ju, a odatle nakonturnu izvodnicu konusa kao pravu velicinu.Prava velicina konturne izvodnice konusa sluzi za konstruisanje razvijene rnrezeomotaca. Kruzni luk poluprecnika jednakog kontumoj izvodnici jednak je obimu bazisakonusa. Rastojanja izmedu tacaka 1 i 19 uzimamo sa oborenog bazisnog polukruga.Omotac je rastavljen po izvodnici 6. Na odgovarajuce izvodnice prenete su tacke I - XIXsa prave velicine,Mreza omotaca valjka razvijena je otvaranjem po izvodnici A. Izvodnice prodornekrive na razvijeni obim bazisne kruznice A -A nanosimo iz prve projekcije.Konusni prik ljucak (B) na konusni levak (A) konstruisan je na sl. 3.11. Da biprodorna kr iva bila ravna (elipsa) ose konusa moraju da se seku u tacki L. Tacku Lusvajamo za centar lopte koju dodiruju oba konusa. U tom slucaju prodorna kriva imadye dvostruke tacke (secista krugova po Kojima konusi dodiruju loptu), pa se prostomakriva raspada u dveelipse. S obzirom da izvodnice konusa postoje sarno do prvog zadora,postoji sarnojedna od dye elipse (drugaje sarno tackasto oznacena). Preseci te dye elipse

su stopljene dvostruke tacke krive. Bazisi konusa podeljeni su na 16jednakih delova.Odgovarajuce izvodnice se seku u tackama I - XVI. Svaku od ovih tacaka prebacujemona kontume izvodnice (prave velicine) pomocu kojih crtamo razvijene mreze omotacakonusa zajedno sa razvijenim bazisima i presecnim krivama. Ornotac konusa A crtamouzimajuci u otvor sestara izvodnicu 9 i tim poluprecnikom povlacimo luk 9 - 9 na kojinanosimo podeoke 9, 10, 11... uzete izoborenog polozaja bazisa A.Mreza konusa B konstruisanaje razvijanjem kruznog malog bazisa i prenosenjempodeoka sa oborenog polozaja kruga. Mreza je formirana povlacenjern izvodnica V2 - 9do tacaka prodora V2 - IX koje nanosimo sa prave velicine konturne izvodnice. Zakonstrukciju krive prodora na konusu B mogu posluziti duzine segmenata razvijeneprodorne krive na omotacu konusa A.Na sl. 3.12 prikazana je prava oblica koja seracva sadva konusna reducura u dyeprave oblice. Ovaj visestruki zador oblica i konusa konstruisan je tako da su prodorneprostome krive raspadnute u elipse. Toznaci da se osovine oblica i konusa seku i da su

tacke preseka osovina uzete za centre lopti koje dodiruju oblice i konusi. Precnik loptiodgovara precnicima oblica.Za razvijanje mreza ornotaca oblica i konusa ima dovoljno podataka sarno u jednojprojekciji ove konstrukcije. Dovoljno je oboriti bazise oblica ikonusa radi podele najednake delove razvijenih omotaca, Svaki obim bazisa oblica podeljen je na 16 delova.Prava velicina izvodnica oblica moze se meriti direktno sa izgleda i nanositi na mrezu,kako za oblicu A, tako iza oblice C.Mreza konusa konstruise se pravom velicinom izvodnice V i li XIII, a jednaka jevelicini kontume izvodnice od vrha V do preseka sa ravni bazisa konusa kroz tacku L.Sakontumom izvodnicom konusa u otvoru sestara iztackeV opisujemo luk. Na luk nanosimo

55


30/97

Limarski radovisesnaestine obima bazisa konusa u tacki L. Svaku tacku prod orne krive sa izvodnica u pro-jekc ij i pr ebacujemo na konturnu izvodnicu a oda tle na rnrezu . Povezivanjem nanetih tacakadobi ja se kontura povrs ine koja kad se skroj i, sav ije, uklop i ipoji sa ostaiim elementimadaje kons trukc iju racve sa konusni rn reduc ir ima kao s to je prikazano na s l. 3 .12a .

Na sl. 3.13 konstruisanaje sledecakombinacija: dva razlicita kruznakonusa prodiruse po e lipsama na koje se raspala prostorna kriva zbog dve dvostruke t acke, Dvostruketacke pros torne krive ostva rene su na vee pozna ti nacin: oba konusa tangi ra ju lop tu c ij i jecen ta r u tacki pre seka n jihovih osa .

Sf. 3.11 - Konusni le....ak i konusni prikljucak56


9876543

1 1 21 ,

X VI 16X V 15X IV " ) ( ,

131211109

9B

Sf. 3.12 - Racva sa konusnim reducirima na kruinoj oblici

a)

57


31/97

Limarski radovi

Sf. 3.13 - Konusna reducir racva pod uglom prema kruinoj oblici

58

Medusobni prodori mreie geometrijskih telaNad e lipsom I - IX treba kons truisa ti k ruznu obl icu. Precn ik te ob lice t reba da bude

jednak ma loj osi elipse . Treba odrediti uga o na giba izvodnic a i ose obli ce tako da se njene lipticni prese k poklopi sa prodomom elipsom. Odre di se prvo mala osa e lipse . Ona jejednaka precniku kruga konusa koj i p ro lazi cent rom (E) e lipse. Nad vel ikom osom e lipseopise rno polukrug. I z tacke (I iii IX) otvorom se stara j edna kim duzini mal e ose el ipsepre secamo polukruzn icu nad vel ikom osom. Spojnica tog pre seka sa tackom IX ( ii i I ) dajepravac izvodnica obl ic e ko ja se nadovezu je na e lipsu, a normalni p re sek joj je kruznica .

Ovaj problem ima dva resenja, Drugo re senie je izvuceno isprekidanim l in ijamamre ze omota ca, Elementi koji ulaz e u sa stav ove konstrukc ije raz vij aju se na isti nacinkao na pret hodnim primerima. Na s1. 3.13 raz vij enaje mrez a obi ic e(C) i jednog konusa(A). Konus B razvija se na isti nacin,

Konstrukcije promene oblika preseka kanalaDa pre lazi izmedu glavne cev i i ogranka ne b i b il i ost ri ugraduju se l imeni umec i iii

prikl jucc i, Prikl jucak na s l. 3 .14 c ine delov i dye kose obl ic e koj i su medusobno povezanit rougaoni rn povrs inama. Prikl jucak se pripa ja na kruznu cev. Kriva prodora se konst ru iseu prvoj idrugoj projekciji uz pomoc trece projekcije.

Kruz na ba za zaje dnic ka z a oba de la kosih poluoblic a je obore na u drugoj i trecojprojekci ji ra di podel e omota ca na 16 j ednakih de lova . U sve tri projekcij e iz svake ta ckepodele povlace se odgovarajuce izvodnice. U trecoj projekciji tacka prodora svakeizvodnice tacno je odredena , odakle se tacke prodora prenose u drugu i prvu projekci ju .

Za konstrukciju razvijene mreze prikljucka sluze prave velic ine podeoka na kruznojbazi iiz vodnice u drugoj projekciji. Potrebno je jos pronaci pra ve vel icine di jagona lasegmenata na koje smo podelili omotace poluoblica. To postizerno dovodenjem dijagonalau polozaj paralelan sa f rontalnicom, gde se one v ide u pravo j ve licini . Najvisa tacka svaked ijagonale na lazi se na kruznoj baz i pr ik ljucka . Na tom nivou usvo jimo jednu tacku izkojespust imo vert ikalu. Iz svake najnize tacke di jagona la povucemo horizon ta le . Od pre sekahor izon ta la sa ver tika lom nanos imo duz ine prv ih pro jekc ija svake d ijagona le . Dobijenetacke na horizon ta la rna kad spo jimo sa tackorn N dobijamo prave vel ic ine di jagona la .

Kons trukc iju mreze poc in jemo nanosen jem izvodnice AE. IzA opisujemo lukoveA-I i A -12 (uzeto sa kruga iz prve projekcije). Te lukove presecamo lukovima ciji jepoluprecn ik prava ve licina d ijagonale 1. Iz dobi jenih tacaka 1 i 12 povlaci rno izvodniceparale lno sa AE.lz ta caka 1i12ponovo opisu jemo lukove 1-2 i 12-11 sa o tvorom ses ta rauze ti rn sakruga u prvoj pro jekc ij i. I z tacaka I i XI I pre secamo te lukove ses ta rom u c ijem suzahvatu dijagonale I - 2 iX lI - 11 itd. do trouglova Dfl i BFG idal je do izvodnica CH.

Mreza obl ic e n ije r azvi jena , jer je taj pos tupak izveden nekol iko puta.Jedan kana l pra vougaonog pre seka treba razviti u dva kruz na kanala prec nika 2r

iii obrnuto dva kruzna kanala sliti u jedan pravougaoni. U tom slucaju temena ABCDpravougaonog prese ka sma tramo za vrhove osam konusa u segmentima C ij i su baz isikruz ni pre seci . Osnova i iz gl ed, kosa projekcija i ra zvijena mrez a prel aznog dela overacve pr ikazanaje na s l. 3 .15 .

59


32/97

Limarski radoviPodelom kruznih bazisa na ]6 jednakih delova ispaj an jem tih de lova sacdgovarajucim vrhovima dobijamo konusne, trougaone i petougaone povrsine, koje suornotac za prelaznu konstrukciju. U drugoj projekcij i rimskim brojevima je oznacenmedusobni prador konusnih segmenata.

II'II

Sf. 3.14 - Ublazavanje ostrog prelaza60


Sl 3 .15 - Prelaz iz dva kruina ujedan pravougaoni presek

61


33/97

Limarski radoviZa konst rukc iju mreze ovog pre laznog e lementa pot rebno je ima ti p rave vel ic ine

izvodnica konusn ih segmena ta i prave vel ic ine ivica t rougaonih ipetougaonih ravnihpovrsina, To se postize dovodenjem tih izvodnica ivica u polozaj paralelan safrontalnicom,gde se vide u pra voj ve licini, Taj postupak je vise puta ponovljen: usvoji se pomocnatac ka na visini temena ABCD konusnih segmena ta. Iz nje se spusti normala do nivoabazisnih kruznica k, i k, do preseka sa x osom. Od te tacke na osu x nanose se duzineprvih projekcija izvodnica konusa, ivica trouglova ipetouglova, Kada te tacke spo jimo safiks ir anom tackom A - D dobi j amo prave vel ic ine pot rebn ih ivica i izvodnica .

Pocevsi odtrouglaADE razvijamo mrezu, konstruisuci trougaone segmente konusaAE 1; DE 12; A12; D12; 11 itd. Na s1. 3 .1Sb konstruisa no je sarno poJa mrez e pre laznogobl ika, a druga polov ina je s imet ricna prvoj .

Pre laz sa kvadra tnog na kruzni pre sek konst ru isan je na s1.3 .16 . U prvoj pro jekc ij ik ruzna osnova je pode ljena prvo riace ti ri dela obe lezena saEFGH, a potom t ide lovi najoscet iri . Tacke nove podele oznacene su brojev ima 1 ,2 , 3 , . .. , 10, 11 , 12 .Temena kvadra tneosnove obe lezena su saABCD. Spa janjem tacaka na kruznoj osnovi sa temenirna kvadratadobijamo cetir i trougaone povrsine icetir i dela kosih konusa.

Za raz vi janje mre ze omotac a potrebno je odre dit i prave velici ne ivic a jednog odcet ir i podudarna jednakokraka t roug la j dve izvodni ce konusnog omotac a, metodomdovodenja duzi do polozaja paralelnog sa frontalnicom gde se vide u pravoj vel ic in i

Konstrukcija ra zvijene mrez e omota ca pocinje od trougla ABE. Na stranic e AEi BE dodaju se segmenti BEl iE1 2A. Iz temena E opisemo luk otvorom sestara El izprve projekci je kruzne osnove. Te lukove pre secamo lukom otvora ses ta ra prave ve licineizvodnice 1, odnosno XII. Tako dobijamo tac ke 1; 2; 3 itd . . Mreza je rastavlje na po visinitrougla CDG.

Pre laz sa kruz nog na pravougaoni presek sa osom pod nagibom konstrui sa n je nas l. 3 .17. Kruzna osnova pode ljenaje na 4 dela tackamaABC iD, a temena pravougaonikasu tacke EFG i H. Svaka cetvrtina kruzne osnove podeljena je na jos 4 dela obelezenabrojevima 1,2,3, ... 10, 1I, I2. Temena E, F, G j H su vrhovi kosih konusa Ci ji j e baziskruz ni ca k. Kao i u prehodnom sluca ju omotac pre laznog elementa sastoji se iz 4 trouglai 4 cetvrt ine kos ih konusa.

Za konstrukciju razvijene mreze ornotaca potrebno je vee poznatim nacinomodredi ti p rave ve licine svih izvodnica kos ih konusa i sve s tr an ice t rouglova. S obzi romdaje rnre za sirnetricna, po dye izvodni ce i po dye stranice trouglova su i st e.

Konst rukcija mrez e se razvija od pre thodno postavljenog trougla AEH na koji seuzimanjem dimenzija U otvor sesta ra delova kruzne osnove iz prve projekc ije i pra vi hvelic ina i zvodnica i st ranic a konstruisu je dna po je dna ta cke I, 12,2, II i td. sve do ta ckeC sa jednog i drugog kraja mre ze, j er je omotac rastavlje n po vi si ni C - 1 t rougla CGF.

Na s1. 3.18 v id i se prelaz sa ova lne na kruznu osnovu . Oval predstav lja zatvorenukrivu s licnu e lips i ( ima ve liku i malu osu). Kriva se sas toj i iz cet ir i k ruzna luka. Nj ihovacelovi tos t se s tvara nas tavl janjem lukova c ije su krivine vodene iz4 cen tr a, koj i se nalazena osama . Konstrukcija ova la je sledeca : povuku se dye ortogonalne prave kroz tac kuo iz kcje na nosimo odmeravanjem kraj nje tac ke ma le ose. Iz centra 0 kruznim lukomspustarno tacku D. Spust irno Dna pravac ve l ike ose i dobi jamo razl iku poluosaADo = a- b. Razliku poluosa nanosimo na spojni cu AD ulevo od tacke D. Presecanjem simetraleduzi na spojnici AD sa pravcima osa dobij u se dva centra krivi ne oval a, centa r kruznog62

Metlusobniprodori mreie geometrijskih telaluka kroz teme A do M ientar kruznog luka kroz tac ku Dod M. U ta cki M na stavljajuse mali i veliki kruz ni l uk. M pre nosirno otvorom sesta ra iz D na de snu stra nu, zase camolukove leva i desno od tacke B ist im otvorom ses ta ra . Cen tre 01 i O2 nanosirno simetricnou odnosu na centar 0 ovala i dobijamo 03 i04 iz kojih povuc emo kruzne lukove C iBi potpuno zatvorirno liniju ovala, Obim ovalaje 0 = (At + BD/2) .1[.

A B

St. 3 .16 - Prelaz sa kvadratnog na kruini oblik63


34/97

Limarski radovi

Sf. 3.17 - Prelaz sa kruinog napravougaoni presek sa nagnutom osom

64


SL 3.18 - Prelaz sa ovalne na kruinu osnovu. Konstrukcija ovala

65


35/97

Limarski radoviK ruznu ba zu de lim o prvo n a ce titi a p oto m na 1 6 d elo va g rafick im pute m de le cip rav e u glo ve n a po la p a n a ce tv rtine . Je dna ke d elo ve o bim a o va la do bija mo ra cu nskimp ute m. Izr ac un am o o bim p a g a p od elim o s a 1 6. T u v re dn ost n an os im o p o lu ko vim a o va la .D obije ne ta ck e na krugu o zna cim o rim sk im bro je vim a ( I - X II), a na o va lu ara psk im (I-1 2) . S pa ja nj em o dg ov ar aj uc ih r im sk ih i a ra ps kih c if ar a d ob ij aj u s e i zv od ni ce ornotaca,Z a k on st ru kc ij u r az vij en e- rn re ze o rn ot ac a p ot re bn o j e n ac i p ra ve v el ic in e iz vo dn ic ad ov od en je rn u p olo za j p ar al el an s a f r on ta ln ic om i p r av e v eli ci ne d ij ag on al a. K a d s u n a d en ep ra ve v el ic in e iz vo dn ic a i d ij ag on al a z aj ed nu c et vr tin u o m ot ac a m o gu ca j e k on st ru kc ij a

c el e m re ze , j er s u p re os ta le t ri c et vr ti ne s im e tr ic ne s a p rv om c er vr tin or n.K onstru kciju po cinje mo p ostav lja nje m izv odnice A E. P oto m iz E za se ca mo luko tv o ro r n s es ta ra E, - E l2 . T e luko ve pre se ca mo iz A o tv oro m sesta ra 1 11 6 o bim a o va lai do bija mo ta ck e 1 i 1 2. Iz njih ka o ce nta ra za se cam o o tvo ro m se sta ra jed na kim p ra vo jv elic in i iz vo dn ice 1 1 1 2. T e lu ko ve p re se ca mo 1 Zt ac ke E o tv oro m s esta ra 1 1 1 6 periferi jek ruzne osno ve i dobijam o tacke I i X II itd., do izvodnice CG (sa jedne i druge stranem re ze p o k oj oj s mo o mo ta c r ast av ili) .K ru zn a o blica ka o g la vni ka na l racva se u dv a ka na la pra vo uga ono g pre se ka . N as 1. 3 .1 9 u o sn ov i izg le du b az is na k ru zn ic a o blic e p od elj e na je p rv o n a c et ir i a p oto m n asesnaest de lova , obelezenih slovim a E', F', G ' i H ' ibro jevim a od 1 -1 2. Svako tem eprav ouga ono g pre se ka racvi spo je no je sa po de ocim a ce tvrtine k ru zn ice i ta ko tem enaA BC D p ost aj u v rh ov i o sa m c etv rt in a k osih k on usa . S po jn ic e t aca ka o be le ze nih s lo vim asu stranice trouglo va koji za jedno sa om otacim a ce tvrtina konusa C ine oblik racve ip re la za sa k ru zn og n a d va p ra vo ug ao na k an ala .R ad i k on str uk cije r az vije ne rn re ze o mo ta ca m or aju s e n ac i p ra ve v elic in e str an ic aje dn ak ok ra kih t ro ug lo va i s va ke iz vo dn ice k osih k on usa . S o bz ir om d a p r ela zn i o blik im ady e o se sim etrije do vo ljno je na ci p ra ve ve licine izv odnica za dva k onusna seg me nta -o st a1 i su sa n jim a p od ud ar ni. C etir i g om ja m ed us ob no su p od ud am a k ao s to s u p o du da rn ii do nji se gm enti ko ji se p ro diru p o de lo vim a e lip si E , J, G sa m edutacka ma 4 -9 . Pra vev el ic in e s e d ob ij aj u r ot ir an je m s tr an ic a i zv od nic a d o p ol oz aj a p ar al e1 no g s a F , g d e s e o nd av id e u p ra vo j v eli cin i.K on st ru kc ij a m re ze p oc in je p os ta vlj an je m tr ou gla A BE P oto m se o tv or om s esta raA -I iB -1 2 zasek u luko vi iz ta ca ka A i B . T e luk ove p reseca mo se staro m iz F u ciji o tv oru zim am o t et iv e sa b az is a u p rv oj p ro je kciji F l = 12. T ako redom sve do izvodnice A - E iB - G . P ot om s e n ad ov ez uj u tr ou glo vi A ED i B C G. Z atim se k on str uisu k on usn e p ov rsin eC GH i D ER . S o bziro m da je o mo ta c ra sta vlje n po visini H - I tro ugla C DH , ce la se m rezaz av rs av a p olo vi na m a t ro ug la CDR.K onstru isa na m re za pre dsta vlja sa rno je dnu gran u ra cv e, a d rug a je ide nticna sap rik az an or n g ra n o m .

66


H

IL__ __St. 3 .19 - Racvanje kruinog na dvapravougaona kanala

67


36/97

Limarski radoviProdori oblih i rogljastih tela

Odredivanje prodora prave piramide kvadratne osnove i rotacione oblice prikazanoje na sl, 3.20. Stranice omotaca piramide seku valjak po elipsama. Presek se u prvojprojekciji pokla pa sa projekcijom va ljka, odnosno sa kruznicorn k'. Zbog toga druguprojekci ju ( izgled) prodome kr ive lako odredujemo prenoseci o rd inalama pojed ine tackepreseka sa kruzn ice u prvoj projekci ji na odgovarajuce ivice u drugoj pro jekc ij i. Tako suna jvise tacke prese ka 1,2,3,4 prodori ivica piramide odrede ne podiza njem ta caka 1 i 3zbog precizn ijeg medusobnog preseka ord inal a ivica AViCV. Tacke 2 i4 suna istoj v is in isa tackama 1 i 3, pa su odredene pomocu horizontal a iz 1" i 3". Oba tela su simetricnopostavlje na pa se i na jnize tac ke linije prodora odreduju na isti na cin. Tac ke 13, 14, 15 i16 su najnize ia laze se na prodoru v is ina t rouglovaABV, BCV, CDV iDAVkroz omotacoblice. Ove tacke se sa kruznice k' podizu ordinalama u drugu projekciju na odgovarajucevisine E. Tacke 5, 6, 7, 8, ... , 12, l3, 14 su izmedu najvisih inajnizih i dopunjuju krivu,a uzete su tako da su i one na istim visinama. Nalaze se na pravama koje predstavljajuspojnic e sa vrhom V taca ka na stra ni cama ba zisa piramide, koje su jednako udal jene odtemena ABCD i ove tacke se prenose ordina lama sa kruznice u prvoj projekci ji .

Za konstrukciju mreze potrebno je odrediti pravu velicinu ivica piramide sanajvisim (J "4) tac kama i duzi na Kojima se naJa ze na jnize tac ke (13 "16) i meduta cke 5" 12. Na pra ve velic ine na nose se odgovarajuce t acke, Mrez a sa presece nom li nij om sesastoji od omotaca oblice i omota ca piramide. Svaka od tih rnreza razvije na je posebno.Duzina mre ze ornota ca valjka na st ala je rektifi ka cijom kruzne osnove sa nanose njempodeonih ta caka sa te osnove i njima odgova ra jucih izvodnica. Na iz vodnice su nane teprave vel ic ine v is ina prodomih tacaka koje povezane daju razv ijene delove e lips i (l ini japrod ora p iramide i ob lice ). Sir ina razvi jenog ornotaca odgovara visini obl ic e.

Mreza ornotaca piramide razvija se konstruisanjem je dna kokra kih trouglovaABY, BCV, CDV i DAY. Radi toga nadene su prave velic ine ivica piramide rotac ijomdo polozaja paralelnog sa F i prenosenjem tacaka 1, 2, 3, 4 na pravu velicinu. Isto takona dene su prave velic ine li nij a na Kojima su na jnize tac ke (13 - 16) i medut acke (5 - 12) isve prene to na razvije nu mrezu. Na sl . 3.20c i d date su kose proj ekcije te la koja se mogusas tavi ti od zadrzanih i "odbacen ih" delova mreze .

Osnova, izgled, razvijena mreza i kosa projekcija medusobnog prodora zarubljenogrotacionog konusa i prave kvadratne piramide cije se osovine poklapaju dati su na sl.3.21. Tacke 1 - 4 su prodori ivica AS, BS, CS iDS kroz konus. Tacka 1 d obija se tako 5 10se kroz ivicu AS posta vi vertikalna ra va n (upra vna na H) koj a konus se ce po izvodni ci.Pre sek ivice A"S" i izvodnice konusa v id i se u drugoj projekci ji ( ta cka 1") . Tri p reos ta letacke 2, 3, 4 prodora ivica piramide nalaze se na istoj visini kao tacka 1, pa se sarnohorizontalom iz 1" prenose na odgovarajuce ivice . Najnize tacke prodorne krive na lazese na visinama bocnih s tranica omotaca p iramide . Graf icki se tacni je odrede ako se uvedetrec a projekci jska ravan kroz stranicu baz isa A'B' u kojoj se projektuju ("vide ") konusipiramida . Tacke 16' " iii 14'" se nala ze u prese ku konturnih iz vodnica konusa i tre cihprojekci ja bocnih s tr ana p iramide , odakle se vraca ju u prvuidrugu projekciju.

Medutac ke 5 "12 se dobi jaju istovremenim sece njem vertikalnom ravni kroz vrhkonusa i iramide. Presecene linije piramide ikonusa sa upravnom ravni seku se u drugojprojekciji odakle ih ordinalama spustamo u prvu projekciju.68

Medusobni prodori mreie geometrijskih telaRadi konstruisanja mreze konusa imamo na raspolaganju pravu velic inu izvodnice .

To je kontuma izvodnica druge projekci je toga tela. Na nju t reba t ransfonnisa ti pojed ineta cke preseka. Mrez a sa pre sekom se konst ruise isto kao i u pre thodnim prime rima .

A (

B F , d J

SI. 3.20 "Prodor prave piramide irotacionog valjka69

"' " "


37/97

, i . '

Limarski radovi

cSf, 3,21 - Prodor prave piramide i rotacionog zarubljenog konusa

70

Medusobni prodori mreie geometrijskih telaZarnrezu piramide potrebno je naci pravu velicinujedne ivicepiramide,jedne visinestranice i jedne bilo koje presecnice po stranici na kojoj se nalazi neka od medutacakaprodorne krive 5 - 12,Ivice piramide, visine stranica i duzi nakojima sumedutacke nadenesu rotacijom u pravoj velicini. Na prave velicine prebacene su odgovarajuce tacke, Mrezaomotaca piramide i prodoma kriva konstruisane su kao u prethodnom slucaju.Vertikalna osovina kvadratne prave prizme prolazi kroz centar (S) polulopte (sl,3.22). Stranice omotaca prizme seku loptu po lucima - delovima k ruzn ic a . Po lu p r ec n ikpresecne kruznice jednak je polovini tetive koju odseca vertikalna ravan bocne stranice

omotaca prizme u prvoj projekciji. Prodori 1,2,3,4 ivica prizme kroz poluloptu odredujuse pomocu kruga k' koji opisujemo oko osnove kvadrata A'

Documents

Stevan Krunic - Limarski Radovi