Доказати математичком индукцијом n-ти степен матрице

1.

За n = 1 је и .

Претпоставимо да је тачно за , тј. да је . Доказујемо да важи и за n +

1.

Тврђење је тачно и за n, па је .

2.

За n = 1 је .

Претпоставимо да је тачно за , тј. да је . Доказујемо да

важи и за n + 1.

.

Тврђење је тачно и за n, па је .

3.

За n = 1 је .

Претпоставимо да је тачно за , тј. да је . Доказујемо да важи

и за n + 1, тј. да ли је

.

.

1.

pA(x) = x2 - 7x + 12pA(A) = A2 – 7A + 12E = 0/·A-1

A – 7E + 12A-1 = 012A-1 = 7E – A

12A-1 =

A-1 =

xn = pA(x)·q(x) + αx + β pA(3) = 0 pA(3)·q(3) = 0

(-1)∙I + II

2.

pA(x) = x2 - 3x + 2pA(A) = A2 – 3A + 2E = 0/·A-1

A – 3E + 2A-1 = 02A-1 = 3E – A

2A-1 =

A-1 =

xn = pA(x)·q(x) + αx + β pA(2) = 0 pA(2)·q(2) = 0

(-1)∙II + IΑ = 1 – β β = 1 – α = 1 – 2n + 1 = 2 – 2n

3.

pA(x) = x2 - 6x + 8pA(A) = A2 – 6A + 8E = 0/·A-1

A – 6E + 8A-1 = 08A-1 = 6E – A

8A-1 =

A-1 =

xn = pA(x)·q(x) + αx + β pA(2) = 0 pA(2)·q(2) = 0

(-1)∙I + II

4.

pA(x) = x2 - 9x + 14pA(A) = A2 – 9A + 14E = 0/·A-1

A – 9E + 14A-1 = 014A-1 = 9E – A

14A-1 =

A-1 =

xn = pA(x)·q(x) + αx + β pA(7) = 0 pA(7)·q(7) = 0

(-1)∙II + I

5.

pA(x) = x2 - 8x + 15pA(A) = A2 – 8A + 15E = 0/·A-1

A – 8E + 15A-1 = 015A-1 = 8E – A

15A-1 =

A-1 =

xn = pA(x)·q(x) + αx + β pA(5) = 0 pA(5)·q(5) = 0

(-1)∙II + I

n

.

6.

pA(x) = x2 - 8x + 15pA(A) = A2 – 8A + 15E = 0/·A-1

A – 8E + 15A-1 = 015A-1 = 8E – A

15A-1 =

A-1 =

xn = pA(x)·q(x) + αx + β pA(5) = 0 pA(5)·q(5) = 0

(-1)∙II + I

.

. 7.

Ако полином има двоструку нулу, онда и његов изводни полином има исту нулу.

8.

9.

КРОНЕКЕР-КАПЕЛИЈЕВА ТЕОРЕМА

Решити и дискутовати систем линеарних једначина у зависности од параметра а

x - 2y + 3z – 4t = 4 y - z + t = - 3 x + 3y – 3t = 1 7y - 3z – t = a x + y + z – 3t = 1Решење.

1. a – 3 ≠ 0 a ≠ 3 систем нема решења

2. a = 3 броју непознатих систем има бесконачно много решења t = α R

z – 2t = 6 z = 2t + 6

y – z + t = - 3 y - 2α – 6 + α = - 3 y = α + 3 x – 2y + 3z – 4t = 4 x = 2y – 3z + 4t + 4 x = - 8

2. 2x - y + 3z = 1 - x + 4y + z = 0 ax + 3y + 4z = a 7y + 5z = 1

1. a = 1 броју непознатих систем има бесконачно много решења

z = α 7y + 5z = 1

y =

- x + 4y + z = 0 x = 4y + z

x =

x =

2. a ≠ 1 броју непознатих систем има јединствено решење

7y = 1 – 5z

- x + 4y + z = 0 x = 4y + z x = 1

3. x + y + z = 1 ax - y + 3z = 3 3x + 2az = 4 x - 2y + 2z = a

1. a = 2 броју непоѕнатих систем има бесконачно много решења - 3y + z = 1 z = α

- 3y = 1 – α y =

x + y + z = 1 x = 1 - α -

2. 4a + 13 = 0

броју непознатих систем има јединствено решење

x + y + z = 1

- 3y - z = 1

x + y + z = 1

- 3y - z = 1

- 3y - (- 8) = 1

- 3y + 76 = 1 - 3y = -75 y = 25 x + 25 – 8 = 1 x = - 16

3. a ≠ 2 a ≠ -

систем нема решења

4. a = - 3 систем нема решења

4. 2x + 3y + z + 2u = 3 4x + 6y + 3z + 4u = 5 6x + 9y + 5z + 6u = 7 8x + 12y + 7z + au = 9

1. a – 8 ≠ 0 броју непознатих систем има бесконачно много решења (a - 8)u = 0 u = 0 z = - 1 x = α 2x + 3y + z + 2u = 3 3y = 3 - 2α + 1

y =

2. a = - 8 броју непознатих систем има бесконачно много решења x = α y = β 2z = - 2 z = - 1 2x + 3y + z + 2u = 3 2u = 3 - 2x - 3y - z

u =

u =

u = 2 – α - β

5. 3x1 + x2 - x3 - x4 = 2 x1 - x2 + x3 - x4 = 0 x1 + 3x2 - 3x3 + x4 = 2 x1 - 5x2 + 5x3 - 3x4 = λ

Минор реда 2:

Сви минори реда 2+1=3, матрице A који садрже Δ као свој минор гласе:

Сви минори реда 2+1=3, матрице који садрже Δ као свој минор гласе:

1. систем је сагласан = броју непознатих сагласан систем је неодређен 3x1 + x2 = 2 + x3 + x4

x1 - x2 = - x3 + x4

2. систем није сагласан

6. λx1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + λx2 + x3 + x4 = 3 - x2

x1 + x2 + λx3 + x4 = 4 – x3

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

1. λ = 0

систем је несагласан

2. λ = 1 систем је

сагласан

броју непознатих сагласан систем је неодређен

3. систем је сагласан броју непознатих сагласан систем је одређен и има јединствено решење

7. ax + y + z + u = 0 x + ay + z + u = 0 x + y + az + u = 0 x + y + z + au = 0

1. a = 1 броју непознатих систем има бесконачно много решења x + y + z + u = 0 y = α, z = β, u = γ, α, β, γ R x = - α – β - γ

2. a = - 3 броју непознатих систем има бесконачно много решења u = α

4z - 4α = 0 z = α 4y - 4α = 0 y = α x - 3α + α + α = 0 x = α

3. a ≠ 1 a ≠ - 3 броју непознатих систем има јединствено решења

8. x + y + 2z = 0 ax + 5y - 6z = 0 2x + (a – 3)y + 18z = 0 5x + 6y - az = 0

1. a ≠ 4 броју непознатих систем има јединствено решење 2(a - 4)z = 0

x = 0 y = 0

z = 0

2. a = 4 броју непознатих систем има бесконачно много решења 0∙z = 0 z = α y - 14α = 0 y = 14α x + y + 2z = 0 x = - y – 2z = - 14α - 2α = - 16α .