Stefan Geschke 19. Mai 2010 - hcm.uni-bonn.de · PDF fileStefan Geschke 19. Mai 2010 Stefan Geschke Uber das Beweisen Mathematik und Physik seit der Antike Die Cantorsche Mengenlehre

Mathematik und Physik seit der AntikeDie Cantorsche Mengenlehre und die Grundlagenkrise

Das Hilbertsche ProgrammAbschließende Betrachtung

Uber das Beweisen

Stefan Geschke

19. Mai 2010

Stefan Geschke Uber das Beweisen



Die Aristotelische BewegungslehreDie Newtonsche MechanikEinsteins RelativitatstheorieEuklids ElementeDer Satz des PythagorasHeutiger Status der euklidischen GeometriePhysikalische und mathematische Theorien

Mathematik und Physik seit der Antike

Wir vergleichen kurz die Geschichte von Mathematik und Physikseit der Antike. Die Physik steht dabei stellvertretend fur andereNaturwissenschaften.





Aristoteles (384 v. Chr. bis 322 v. Chr.), einer der einflussreichstenPhilosophen der Geschichte





Die Bewegungslehre des AristotelesFur Aristoteles gab es zwei Sorten von Bewegungen:

I Naturliche Bewegungen (leichte Dinge streben nach oben, wiezum Beispiel Luftblasen im Wasser, schwere Dinge strebennach unten, Himmelskorper bewegen sich auf Kreisbahnen)und

I erzwungene Bewegungen (Laufen, Wurf)

Erzwungene Bewegungen bedurfen der ununterbrochenenEinwirkung von Kraft.





Nach Aristoteles sind erzwungene Bewegungen im Vakuumunmoglich. Er begrundete damit die Absurditat desselben.

Die Aristotelische Bewegungslehre grundet auf der Geometrie undwar die vorherrschende Lehrmeinung bis uber das Mittelalterhinaus.

Sie geriet jedoch zunehmend in Kritik (13. und 14. Jahrhundert),weil sie die beobachteten Flugbahnen von geworfendenGegenstanden nicht erklaren konnte.





Flugbahn eines Geschosses nach Avicenna (11. Jahrhundert)





Flugbahn eines Geschosses nach Albert von Rickmersdorf (14.Jahrhundert)





Isaac Newton (1643 bis 1727), englischer Physiker, Mathematiker,Astronom, Alchemist, Philosoph und Verwaltungsbeamter





Die Newtonsche MechanikGalilei (1564 bis 1642) diskutiert Bewegungen unter idealenBedingungen, d.h., ohne Reibung, und formuliert einenTragheitssatz.

Isaac Newton begrundet die klassische Mechanik, formuliert dasGravitationsgesetz und erfindet die Differentialrechnung, auf derenGrundlage sich Bewegungen von Massepunkten unter Einfluss vonKraften beschreiben lassen.

Gemaß der Newtonschen Mechanik bewegen sich Massepunkte umein Massezentrum auf Kegelschnitten (Parabeln, Hyperbeln undEllipsen). Newton lost damit insbesondere das Problem derelliptischen Planetenbahnen.





Albert Einstein (1879 bis 1955), theoretischer Physiker, Begrunderder Relativitatstheorie





Einsteins RelativitatstheorieAnfang des 20. Jahrhunderts entwickelte Albert Einstein diespezielle Relativitatstheorie (1905) und die allgemeineRelativitatstheorie (1915).

Die Grundlage der speziellen Relativitatstheorie ist dieGleichberechtigung samtlicher gleichformig bewegterBezugssysteme sowie die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit indiesen Systemen.

Es ergibt sich, dass sich keine zwei Teilchen mit einerGeschwindigkeit aufeinander zu oder voneinander weg bewegenkonnen, die oberhalb der Lichtgeschwindigkeit liegt. Ein Korper,dessen Geschwindigkeit sich der Lichtgeschwindigkeit annahert,nimmt an Masse zu.





Eine der wichtigsten Folgerungen der speziellen Relativitatstheorieist die Aquivalenz von Masse und Energie gemaß der FormelE = mc2.

Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie ist zusatzlich dieGleichberechtigung aller beschleunigten Bezugssysteme.

Die allgemeine Relativitatstheorie kann als Theorie der Gravitationinterpretiert werden. Nach ihr bestimmt die Masseverteilung imWeltall die Geometrie der vierdimensionalen Raumzeit.

Fur makroskopische Korper liefert die Newtonsche Mechanik imBereich irdischer Geschwindigkeiten Vorhersagen, die sehr nahe andenen der Relativitatstheorie liegen.





Euklid von Alexandria (geb. vermutlich um 360 v. Chr.)





Euklids ElementeEuklid wurde beruhmt durch 13 Lehrbucher, die Elemente, indenen er das damalige Wissen zur Mathematik zusammenfasste.

Die Elemente enthalten Kapitel uber Geometrie und Zahlentheorie.die Bucher waren teilweise bis ins 20. Jahrhundert hineinGrundlage des Geometrieunterrichts.

Euklid erfand den Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung desgroßten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen und zeigte, dasses unendlich viele Primzahlen gibt.





Die Elemente beginnen mit Definitionen der betrachteten Objekte.

I Ein Punkt ist, was keine Teile hat.

I Eine Linie ist eine breitenlose Lange.

I Eine Gerade ist eine Linie, die bezuglich der Punkte auf ihrstets gleich liegt.

I Weitere Definitionen von Begriffen wie Ebene, Winkel und soweiter.





Nach den Definitionen folgen funf Postulate. Es wird gefordert,

I dass man von jedem Punkt zu jedem Punkt eine Streckeziehen konne,

I dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhangendgerade verlangern konne,

I dass man mit jedem Mittelpunkt und jedem Radius einenKreis zeichnen konne,

I dass alle rechten Winkel zueinander gleich seien,

I dass zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb dieserGeraden genau eine Gerade durch den Punkt existieren durfte,die parallel zur ersten Gerade ist (Parallelenpostulat).





An die Postulate schließen sich mehrere logische Axiome an, zumBeispiel folgende:

I Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.

I Wenn Gleichem Gleiches hinzugefugt wird, so sind die Ganzengleich.

I Wenn Gleichem Gleiches weggenommen wird, so sind dieReste gleich.





Hierauf aufbauend behandelt Euklid nun Probleme, wie zumBeispiel

I Uber einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieckerrichten,

und Theoreme, wie zum Beispiel

I Wenn in einem Dreieck zwei Winkel zueinander gleich sind,mussen auch die den Winkeln gegenuber liegenden Seiteneinander gleich sein.

Die Losungen der Probleme und die Theoreme werden dabei ausden Postulaten und Axiomen abgeleitet. Die Schlusse verwendenjedoch notgedrungen einige unausgesprochene Annahmen, da dasAxiomensystem unvollstandig ist.





Beispiel eines Theorems in Euklids Elementen ist der bekannteSatz des Pythagoras.

Satz (Pythagoras)

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate derLangen der Katheten gleich dem Quadrat der Lange derHypothenuse.

Wir fuhren einen geometrischen Beweis des Satzes, der dem erstenvon Euklid angegebenen Beweis recht ahnlich ist.





Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten BC und CAsowie der Hypothenuse AB gegeben.





Wir scheren nun das Quadrat uber der Kathete CA entlag derGeraden durch die Punkte B und C bis auf die Hypothenuse AB.





Dann drehen wir das entstandene Parallelogramm um den Punkt Aund





scheren es bis auf die Basis des Hypothenusenquadrats





Analog verfahren wir mit dem Quadrat uber der Kathete BC.









Die beiden entstandenen Rechtecke schneiden sich nicht und fullenzusammen genau das Quadrat uber der Hypothenuse aus.





Heutiger Status der euklidischen GeometrieDie Euklidische Geometrie hat bis in die heutige Zeit wenig anBedeutung eingebußt und wird immer noch als korrekt anerkannt.

Es war lange Zeit unklar, ob das Parallelenpostulat aus denanderen Postulaten folgt. Anfang des 19. Jahrhunderts fanden manBeipiele sogenannter nichteuklidischer Geometrien, in denen dasParallelenpostulat nicht gilt.

Newton entwickelte im Rahmen seiner Mechanik auch dieDifferentialrechnung.

Eine Kombination von Geometrie und Differentialrechnung, dieDifferentialgeometrie spielt eine wesentliche Rolle in derallgemeinen Relativitatstheorie.





Physikalische und mathematische Theorien

Eine physikalische Theorie ist typischer Weise eine mathematischeModellierung der wirklichen Welt.

Eine solche Theorie sollte Vorhersagen machen, die sich uberprufenlassen.

Sie lasst sich dann experimentell bestatigen oder widerlegen, nichtaber im eigentlichen Sinne beweisen.





Eine mathematische Theorie besteht aus gewissen grundlegendenAnnahmen, den Axiomen (bzw. den Postulaten bei Euklid) undFolgerungen aus diesen Axiomen.

Diese Folgerungen lassen sich im Rahmen des jeweiligenAxiomensystems beweisen.

Eine korrekt bewiesene Folgerung wird sich niemals als falschherausstellen.

Es ist aber moglich, dass sich ein Axiomensystem als unsinnig, alsozum Beispiel als widerspruchlich, herausstellt.




Der Cantorsche MengenbegriffDie GrundlagenkriseWege aus der Krise

Die Cantorsche Mengenlehre und die Grundlagenkrise





Georg Cantor (1845–1918) deutscher Mathematiker, Begrunder derMengenlehre.





Der Cantorsche Mengenbegriff

Cantor fuhrte den folgenden Mengenbegriff ein:

I Eine Menge ist die Zusammenfassung von Objekten unsererAnschauung oder unseres Denkens

Die in der Mathematik betrachteten abstrakten Objekte lassensich, bei geeigneter Definition, alle als Mengen in diesem Sinneauffassen.Heute nennt man die Cantorschen Mengen Klassen und hebt sichden Begriff

”Menge“ fur spezielle Klassen auf.

Frege lieferte eine Axiomatisierung von Cantors Mengenlehre.





Bertrand Russell (1872–1970), britischer Logiker, Philosoph,Schriftsteller und Pazifist.





Die Grundlagenkrise

Satz (Russellsche Antinomie)

Der Cantorsche Mengenbegriff (bzw. Freges Axiomatisierung derMengenlehre) fuhrt zu einem Widerspruch.

Beweis.Im Cantorschen Sinne ist die Klasse V aller Mengen eine Menge.Betrachte die nun Menge

R = {x ∈ V : x 6∈ x}.

Ist R ∈ R, so folgt R 6∈ R, und umgekehrt. Ein Widerspruch.





Wege aus der Krise

Nach dem Bekanntwerden von Widerspruchen wie der RussellschenAntinomie kurz nach 1900 gab es verschiedene Ansatze dieseWiderspruche zu vermeiden:

I Die Russellsche Typentheorie (siehe auch PrincipiaMathematicae von Russell und Whitehead)

I Die Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre, die Grundlage derheutigen Mathematik

I Einige weitere Theorien




Ziel des ProgrammesFormales BeweisenGrenzen des Hilbertschen Programmes

Das Hilbertsche Programm





David Hilbert (1862–1943), einer der bedeutendsten deutschenMathematiker





Ziel des Programmes

”Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand

vertreiben konnen“ (Hilbert)

Ziel des Hilbertschen Programmes ist es, eine Axiomatisierung derMathematik zu finden, deren Widerspruchsfreiheit man zeigenkann und in der sich jeder

”wahre“ mathematische Satz streng

formal beweisen lasst.

Als geeignetes Axiomensystem wird heute allgemein dieZermelo-Fraenkelsche Mengenlehre betrachtet.





Formales BeweisenIm Rahmen des Hilbertschen Programmes wurde der Begriff desformalen Beweises geschaffen. Hilbert selbst war daran maßgeblichbeteiligt.

Ein formaler Beweis einer Aussage ϕ aus einer Menge A vonAxiomen ist eine endliche Folge von Formeln, die mit ϕ endet,wobei jede Formel in dieser endlichen Folge entweder ein Axiom istoder durch Anwendung einer Schlussregel aus den vorher in derendlichen Folge auftretenden Formeln folgt.

Formale Beweise lassen sich mit dem Computer uberprufen undtypischer Weise auch von Computern finden, wobei letzteres aberim Allgemeinen nicht praktikabel ist, da es einfach zu lange dauert.





Beispiel einer Schlussregel:

ϕ→ ψ ϕ

ψ(Modus Ponens)

”Wenn ψ aus ϕ folgt und ϕ gilt, dann gilt auch ψ.“

Beispiel eines Axioms:

∀x∃y(x + y = 0)

Dieses Axiom gilt zum Beispiel fur die reellen Zahlen: fur jedereelle Zahl x existiert eine reelle Zahl y mit x + y = 0. Wahlenamlich y als −x .





Die mathematische Logik ist die Disziplin innerhalb derMathematik, deren Untersuchungsgegenstand (unter anderem) dasBeweisen als solches ist.

Das wichtigste Resultat der mathematischen Logik, in gewisserWeise der Hohepunkt des Hilbertschen Programmes, ist der 1929von Godel bewiesene Vollstandigkeitssatz.

Satz (Vollstandigkeitssatz)

Eine Aussage ϕ lasst sich genau dann aus einem AxiomensystemsA formal beweisen, wenn ϕ in jeder Struktur gilt, die alle Axiomevon A erfullt.





Kurt Godel (1906–1978), der bedeutendste Logiker des 20.Jahrhunderts





Grenzen des Hilbertschen Programmes

Satz (Erster Godelscher Unvollstandigkeitssatz)

Fur jedes sinnvolle Axiomensystem einer Theorie, die mindestensso stark ist wie die Arithmetik, gibt es Aussagen, die sich in demAxiomensystem weder beweisen noch widerlegen lassen.

Satz (Zweiter Godelscher Unvollstandigkeitssatz)

Sei A ein sinnvolles Axiomensystem einer Theorie, in der sichzumindest Arithmetik betreiben lasst. Dann lasst sich in demAxiomensystem A Widerspruchsfreiheit von A ausdrucken, abernicht beweisen.




Abschließende Betrachtung

Das Konzept des Beweises ist es, was die Mathematik sowohl vonden Naturwissenschaften als auch von den Geisteswissenschaftenunterscheidet.

Das Hilbertsche Programm im ursprunglichen Sinne ist wegen derUnvollstandigkeitssatze undurchfuhrbar.




Heute zweifelt jedoch kaum ein Mathematiker ernsthaft an derWiderspruchsfreiheit der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre. Einemathematische Aussage wird als korrekt akzeptiert, wenn sie sichin diesem System formal beweisen lasst.

Es gibt aber von kompetenten Mathematikern vertreteneStromungen, die verschiedene Aspekte der in der Mathematikublichen Schlussweisen ablehnen, zum Beispiel Konstruktivismusund Ultrafinitismus (Brouwer, Troelstra, Esenin-Volpin,Zeilberger).


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