Statystyka opisowa. Wykład VI. · Statystyka opisowa. Wykład VI. Analiza danych jakośiowych Edward Kozłowski e-mail:[email protected] Edward Kozłowski Analiza danych jakośiowych

RangowaniePodstawowe charakterystyki rangWspółczynnik korelacji Spearmana

Statystyka opisowa. Wykład VI.

Analiza danych jakośiowych

Edward Kozłowski

e-mail:[email protected]

Edward Kozłowski Analiza danych jakośiowych


Spis treści

1 Rangowanie

2 Podstawowe charakterystyki rang

3 Współczynnik korelacji Spearmana



Rangowanie

Badaniu statystycznemu czasami podlegają cechy niemierzalne(jakościowe), np. kolor włosów, stopień sympatii, pochodzenie itp.Powstaje problem opisania niemierzalnych atrybutów. W tym celuposłużymy się metodą rangową.

Definition

Ranga – numer kolejny obserwacji statystycznej w próbie pouporządkowaniu obserwacji według wartości jednej ze zmiennych.

Zwykle stosuje się uporządkowanie rosnące i numerowanie od 1.Zastąpienie zmiennej przez wyliczone według niej rangi jest operacjązwaną rangowaniem.



Rangowanie jest zwykle stosowane w celu uniezależnienia się od rozkładuzmiennej niemierzalnej, co pozwala na stosowanie metod statystycznychw odniesieniu do zmiennych porządkowych, a nie tylko przedziałowych iilorazowych.Rangowanie jest też pierwszym krokiem wielu metod statystykinieparametrycznej.Rangi regularne.Rangowanie można zastosować do wielu zmiennych w próbie,porządkując każdą zmienną z osobna, nadając odpowiednie rangi, anastępnie wracając do pierwotnego ustawienia obserwacji.



Rangi wiązane.W przypadku występowania obserwacji o równej wartości rangowanejzmiennej (tzw. rangi wiązane, ang. tied ranks), zwykle wszystkim tymobserwacjom przypisuje się identyczną rangę, równą średniej z ichnumerów kolejnych, stąd rangi mogą mieć wartości niecałkowite. Dlapopulacji n−elementowej tablicę rozdzielczą rang, ni oznacza liczebnośći-tej rangi, ni 1 oraz n1 + n2 + ...+ nk = n, natomiast k− oznaczaliczbę różnych rang.



Przykład 1.Pięciu uczniów w klasie uzyskało następujące wyniki: X1 =dst,X2 =ndst, X3 =ndst, X4 =dst, X5 =db.Po uporządkowaniu mamy: ndst, ndst, dst, dst, dbPrzypisujemy rangi:

Xi ndst dst dbRXi 1.5 3.5 5ni 2 2 1

lubXi ndst ndst dst dst dbRXi 1 2 3 4 5ni 1 1 1 1 1



Rangi ułamkowe i procentoweRangi ułamkowe powstają przez podzielenie rang regularnych przez liczbęobserwacji danej zmiennej (z wyłączeniem brakujących danych), orazrangi procentowe czyli rangi ułamkowe wyrażone w procentach.Zastosowanie rang ułamkowych i procentowych ma sens w przypadkuzbiorów z brakami danych. Wówczas rangi ułamkowe i procentowezapewniają lepszą od rang regularnych porównywalność zmiennych oróżnym udziale brakujących danych.



Podstawowe charakterystyki rang

Dla rang regularnych wartość średnia wynosi

RX =1n

n∑i=1

RXi =1n

n∑i=1

i =1n

(1 + 2 + ...+ n) =1n· n+ 1

2n =n+ 1

2



Wariancja rang regularnych wynosi

V ar (RX) =1n

n∑i=1

(RXi −

n+ 12

)2=

1n

n∑i=1

(i− n+ 1

2

)2=

1n

n∑i=1

(i2 − 2i

n+ 12

+(n+ 1

2

)2)=

1n

n∑i=1

i2 − n+ 1n

n∑i=1

i+(n+ 1

2

)2=

1n· 1

6n (n+ 1) (2n+ 1)− n+ 1

n· n+ 1

2n+

(n+ 1

2

)2=

16

(n+ 1) (2n+ 1)−(n+ 1

2

)2=n2 − 1

12

Wsk. 1 + 22 + ...+ n2 = 16n (n+ 1) (2n+ 1)



Dla rang ważonych

RX =1n

k∑i=1

RXini =n+ 1

2,

natomiast

V ar (RX) =1n

k∑i=1

(RXi −

n+ 12

)2ni =

1n

k∑i=1

RX2i ni −(n+ 1

2

)2=n2 − 1

12− TXn,

gdzie

TX =112

k∑i=1

(n3i − ni

).



Współczynnik korelacji Spearmana

W praktyce współczynnik korelacji rang dla cech X i Y oblicza się napodstawie próby statystycznej. Używane do wyznaczenia współczynnikapowyżej wzory uważamy za estymatory korelacji rang (korelacji istniejącejw populacji statystycznej).

Wartość współczynnika obliczamy w następujący sposób:– Najpierw dla każdej porównywanej zmiennej X i Y dokonywane jestniezależnie rangowanie (czyli: zaobserwowane wartości danej zmiennejporządkowane są rosnąco; każdej wartości Xi przypisywana jest rangaRXirówna pozycji danej wartości w rosnącym porządku (najmniejszauzyskuje rangę 1, kolejna 2 itd.), a każdej wartości Yi przypisywana jestranga RYirówna pozycji danej wartości w rosnącym porządku; wprzypadku gdy dana wartość występuje wielokrotnie, każde z wystąpieńma przypisaną tę samą rangę równą średniej arytmetycznej pozycji wrosnącym porządku (tzw. ranga wiązana lub powiązana, ang. tied rank).tym samym mogą występować rangi ułamkowe, np. ranga 1,5)



– Po powrocie do pierwotnego porządku wartości zmiennych obliczanajest korelacja rangowa ze wzoru

rS =cov (RX,RY )√

V ar (RX)√V ar (RY )

Dla rang regularnych mamy

rS =

1n

n∑i=1

(RXi − n+12

) (RYi − n+12

)√1n

n∑i=1

(RXi − n+12

)2√ 1n

n∑i=1

(RYi − n+12

)2



Wyznaczmy najpierw

n∑i=1

(RXi −RYi)2 =n∑i=1

(RXi −

n+ 12−(RYi −

n+ 12

))2=n∑i=1

(RXi −

n+ 12

)2+n∑i=1

(RYi −

n+ 12

)2− 2

n∑i=1

(RXi −

n+ 12

)(RYi −

n+ 12

)

=n3 − n

12+n3 − n

12− 2

n∑i=1

(RXi −

n+ 12

)(RYi −

n+ 12

)zatem

n∑i=1

(RXi −

n+ 12

)(RYi −

n+ 12

)=n3 − n

12− 1

2

n∑i=1

(RXi −RYi)2



Zatem mamy

rS =

n2−112 −

12n

n∑i=1

(RXi −RYi)2√n2−112

√n2−112

=

n2−112 −

12n

n∑i=1

(RXi −RYi)2

n2−112

.

Ostatecznie wartość współczynnika kerelacji Spearmana rang regularnychjest równa

rS = 1−6n∑i=1

(RXi −RYi)2

n3 − n



Wartość współczynnika korelacji Spearmana dla rang wiązanychwyznaczamy za pomocą wzoru

rS =

16

(n3 − n

)−n∑i=1

(RXi −RYi)2 − TX − TY√16 (n3 − n)− 2TX

√16 (n3 − n)− 2TY



Przykład 2.Oszacować wartość średnia i wariancję rang z przykładu 1.

Przykład 3.Dwóch ekspertów dokonało rangowania 10 przedsiębiorstw odnośnieprognoz dotyczących przyszłych wynikow finansowych.RX = {1, 2, 3, 9, 4, 7, 8, 6, 5, 10}RY = {4, 3, 2, 5, 1, 9, 8, 7, 10, 6}Znaleźć współczynnik korelacji Spearmana pomiędzy wizjami dwóchekspertów.

Przykład 4.Dokonano opisu 10 osób ze względu na znajomość języka angielskiego imatematyki.

osoby 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10j. obcy bdb dst bdb dst bdb db dst bdb bdb dstmatematyka dst bdb bdb db bdb dst dst db dst db

Dokonać rangowania w/w cech oraz oszacować współczynnik korelacjiSpearmana.


Documents

Statystyka opisowa. Wykład VI. · Statystyka opisowa. Wykład VI. Analiza danych jakośiowych Edward Kozłowski e-mail:[email protected] Edward Kozłowski Analiza danych jakośiowych