Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI

7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI

1/33

Ocenjivanje aritmetike sredine

2012. Beograd Predavanje 8

Doc. Dr Slaana SpasiE-mail:

[email protected]

Ass. Ana SimieviE-mail:[email protected]

STATISTIKA


2/33

2012. Beograd Predavanje 8 / 1

Statistika je skup naunih metoda koje se koriste za

prikupljanje, prikazivanje, analizu i interpretaciju podataka idonoenje statistikih zakljuaka.

Sada poinjemo da izuavamo deo statistike koja se zove

statistiko zakljuivanje. Statistiko zakljuivanje je definisanokao deo statistike koji nam pomae da donesemo zakljuke okarakteristikama osnovnog skupa na osnovu uzorka.

Najpre emo razmatrati ocenjivanje i to ocenjivanjearitmetieke sredine skupa.

Podseanje!


3/33


Ocenjivanje je dodela numerike vrednosti parametru

osnovnog skupa na osnovu vrednosti odgovarajue statistikeuzorka.

Vrednost koja se dodeljuje parametru osnovnog skupa, a koja

se bazira na vrednosti statistike uzorka naziva se ocenjenavrednost parametra skupa.

Statistika uzorka koja se koristi za ocenu parametra skupa se

naziva ocena.

Ocenjivanje


4/33


* Prost sluajni uzorak je podskup osnovnog skupa takav da svi uzorciiste veliine imaju istu verovatnou da budu izabrani.

Postupak ocenjivanja podrazumeva sledee:

1. Izbor prostog sluajnog uzorka*.

2. Prikupljanje neophodnih informacija iz jedinica uzorka.

3. Izraunavanje vrednosti statistike uzorka.

4. Dodela vrednosti odgovarajuem parametru skupa.

Ocenjivanje


5/33


Takasto i intervalnoocenjivanje

Ocenjivanje moe biti

takastoi intervalno.

Definicija: Takasta ocenjena vrednostje vrednost statistike

uzorka koja se koristi za ocenu parametra osnovnogskupa.

Definicija: Kod intervalnog ocenjivanjakonstruie se

interval oko takaste ocenjene vrednosti i tvrdi se da ovajinterval verovatno sadri odgovarajui parametar skupa.


6/33


Takasto ocenjivanje

Vrednost aritmetike sredine uzorka izraunata na nekom

uzorku je takasta ocenjena vrednost odgovarajuearitmetike sredine osnovnog skupa.

Primer: Pretpostavimo da statistiki zavod uzima uzorak od

10000 beogradskih domainstava i izraunava da suproseni meseni kuni trokovi u ovom uzorku jednaki

25000 din. Koristei kao takastu ocenjenu vrednost za

statistiki zavod bi mogao da tvrdi da su prose

ni mese

nitrokovi za sva domainstva u Beogradu oko 25000 din.

x

xx


7/33


Takasto ocenjivanje

Takasta ocenjena vrednostparametra skupa

x=

= Vrednost odgovarajuestatistike uzorka

Za svaki uzorak uzet iz osnovnog skupa se oekuje da darazliitu vrednost statistike uzorka. Tako vrednost koja je

dodeljena aritmetikoj sredini osnovnog skupa , zasnovanana takastoj oceni, zavisi od uzorka koji je uzet.

Zbog toga, takasta ocenjena vrednost dodeljuje vrednostkoja se gotovo uvek razlikuje od prave vrednosti aritmetike

sredine skupa.


8/33


Intervalno ocenjivanje

Kod intervalnog ocenjivanja umesto pridruivanja jedne

vrednosti parametru osnovnog skupa, konstruie se intervaloko takaste ocenjene vrednosti za koji se veruje da sadriodgovarajui parametar skupa.

Primer: U primeru o mesenim kunim trokovima umesto da kaemo da suproseni meseni trokovi 25000 din statistiki zavod bi mogao da daintervalnu ocenu oduzimanjem nekog broja i dodavanjem nekog broja na25000 din. Onda tvrdimo da ovaj interval sadri aritmetiku sredinu skupa

. Tako npr. moemo rei da se nalazi u intervalu(25000 - 3000, 25000 + 3000) tj. (22000 din,28000 din).

Ovaj postupak se zove intervalno ocenjivanje.


9/33


Intervalno ocenjivanje

Pitanje je koji broj treba da oduzmemo i dodamo na takastuocenjenu vrednost da bi smo dobili intervalnu ocenjenu

vrednost. Taj broj se naziva marginalna greka.

Ona zavisi od standardne

devijacije aritmetike sredineuzorka i nivoa pouzdanosti

koji je pripisan intervalu. =x

=x


10/33


Nivo pouzdanosti i

interval pouzdanostiSvaki interval se konstruie uz zadavanje nivoapouzdanosti i zove se interval poverenja (ili interval

pouzdanosti). Interval poverenja je odreen na sledeinain

Takasta ocenjena vrednost Marginalna greka

Nivo pouzdanosti koji je pridruen intervalu poverenjapokazuje koliko moemo biti sigurni da ovaj interval sadripravu vrednost parametra skupa. Nivo pouzdanosti seoznaava sa (1-)100%, gde je nivo znaajnosti, a broj(1-)se naziva koeficijent pouzdanosti.Za nivo pouzdanosti najee se biraju vrednosti 90%, 95%, 99%, sa

odgovarajuim koeficijentima pouzdanosti 0,90, 0,95 i 0,99.


11/33


Ocenjivanje aritmetike

sredine osnovnog skupa:poznato

Kako konstruisati interval poverenja za aritmetiku sredinu

kada je standardna devijacija poznata. Mogua su tri sluaja.I sluaj.Ispunjeni su sledei uslovi:

1. Standardna devijacija skupa je poznata

2. Veli ina uzorka je mala tj. n


12/33




II sluaj.

Ispunjeni su sledei uslovi:1. Standardna devijacija skupaje poznata

2. Veli ina uzorka je velika tj. n>30

Tada koristimo normalnu raspodelu za odreivanjeintervala poverenja zajer je uzoraka raspodela za

priblino normalna sa aritmetikom sredinom i standardnomdevijacijom

prema centralnoj graninoj teoremi.

x

05,0/jeako = Nnn

X


13/33




III sluaj.Ispunjeni su sledei uslovi:

1. Standardna devijacija skupa je poznata2. Veli ina uzorka je mala tj. n


14/33




je poznato

Osnovni skup imanormalnu raspodelu i

n < 30

Osnovni skup nemanormalnu raspodelu i

n < 30n 30

Koristi se normalna raspodela

za ocenu

Koristi se

neparametarski metod

za ocenu


15/33


Interval poverenja za

i marginalna greka

X

zE=

(1- )100% interval poverenja za u I i II sluaju je:

nzx XX = jegde

Vrednostz se dobija iz tablica standardizovane normalne

raspodele za zadati nivo pouzdanosti.

Marginalna greka ocene zaje vrednost koja jeoduzeta i dodata vrednosti kako bi se dobio interval

poverenja za. Oznaava se sa E.x


16/33


Odreivanjez za

odreeni nivo pouzdanosti

Vrednost z u formuli intervala poverenja se dobija iztablice standardizovane normalne raspodele za zadati nivo

pouzdanosti. Pretpostavimo da elimo da konstruiemo 95% interval

poverenja za. To znai da je povrina ispod normalne krive

za izmeu dve simetrine take z1 i z2 u odnosu na jednaka 0,95. Najpre moramoodrediti povrine oznaeneplavim na slici, levo i desno od

z1 iz2. Zatim nalazimoz vrednostiza ove dve povrine iz tablicenormalne raspodele. One su

jednake po apsolutnoj vrednosti.

x


17/33


Odreivanjez za

odreeni nivo pouzdanostiIzraunavanje povrina ulevo i udesno od z1 i z2. Povrina

izmeu z1 i z2 jednaka je 1-. To znai da je povrina na

krajevima raspodele ooznaena plavim jednaka , jer jepovrina ispod krive jednaka 1. Zbog simetrinosti svaka od

ovih povrina je jednaka /2. U naem primeru je 1- =0,95

Odatle =0,05. Povrina levo odz1je jednaka 0,025Povrina levo odz2 je jednaka0,0250+0,95=0,9750.Iz tablica za normalnu raspodelu

oitavamo vrednosti zaztakve da su povrine levo odz

jednake 0,0250 i 0,9750.To su -1,96 i 1,96 respektivno.

1 22


18/33


Primer: Odreivanje takaste ocene iintervala poverenja za , n


19/33




20/33




21/33


Odreivanje veliineuzorka za ocenjivanje

aritmetike sredine

esto imamo potrebu da znamo koliki nam je uzorak potreban,

da bi smo dobili eljeni rezultat za zadati nivo pouzdanosti izadatu irinu intervala poverenja.

Ako su zadati nivo pouzdanosti i standardna devijacijaosnovnog skupa, veliina uzorka kojom emo dobiti unapred

zadatu marginalnu greku intervalne ocene zaje

.n

zE

n

zEXX

=== slediijeKako

2

22

E

zn

=


22/33



sredine osnovnog skupa:nije poznato

Kako konstruisati interval poverenja za aritmetiku

sredinu kada je standardna devijacija nije poznata?Mogua su tri sluaja.

I sluaj.

Ispunjeni su sledei uslovi:1. Standardna devijacija skupa nije poznata2. Veli ina uzorka je mala tj. n


23/33




II sluaj.Ispunjeni su sledei uslovi:1. Standardna devijacija skupa nije poznata2. Veli ina uzorka je velika tj. n>30

Tada koristimo Studentovu t raspodelu za odreivanje

intervala poverenja za.


24/33




III sluaj.Ispunjeni su sledei uslovi:1. Standardna devijacija skupa nije poznata2. Veli ina uzorka je mala tj. n


25/33




nije poznato

Osnovni skup imanormalnu raspodelu i

n < 30

Osnovni skup nemanormalnu raspodelu i

n < 30n 30

Koristi se Studentovat raspodela za

ocenu

Koristi se

neparametarski metod

za ocenu


26/33


Studentova t raspodela

t raspodelu je formulisao W.S. Gosset 1908. god. i objavioje u radu pod pseudonimom Student.

Studentova t raspodela je simetrina u odnosu naaritmetiku sredinu. Spljotenija je tj. vie rasprena odstandardizovane normalne raspodele. Sa poveanjem uzorka

t raspodela tei standardizovanoj normalnoj raspodeli.t raspodela ima samo jedan parametar koji se naziva broj

stepeni slobode u oznaci df. Svaki broj stepeni slobode

odreuje razliitut raspodelu.

Aritmetika sredinat raspodele je 0,a njena standardna devijacija je )2/( dfdf


27/33


Studentova t raspodela

t raspodela za df=9 i standardizovana normalna raspodela

Broj stepeni slobode je definisan kao broj opservacija koje semogu izabrati proizvoljno.

0=

)29/(9 =sd


28/33



korienjem t raspodele

Kada su ispunjeni uslovi iz sluaja I i II koristimot raspodelu

za konstrukciju intervala poverenja za aritmetiku sredinuskupa.

Kada standardna devijacija skupa nije poznata onda je

zamenjujemo standardnom devijacijom uzorka S, koja jenjena ocena. Tako umesto standardne greke koristimonjenu ocenu

nSSX =


29/33



korienjem t raspodele

XtsE=

(1- )100% interval poverenja za u I i II sluaju kada je

nepoznato je:

n

SStsx XX = jegde

Vrednost tse dobija iz tablicat raspodele zan stepenislobode i za dati nivo pouzdanosti.

Marginalna greka ocene zaje vrednost koja jeoduzeta i dodata vrednosti kako bi se dobio interval

poverenja za. Oznaava se sa E.

x


30/33


Odreivanje intervala poverenja za ,n


31/33


Odreivanje intervala poverenja za ,n


32/33


Odreivanje intervala poverenja za ,

n


33/33

Hvalana panji!

2012. Beograd Predavanje 8

Documents

Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI