Embed Size (px)
Citation preview
1. NUMERICKI NIZOVI
EDUCANS Akola za poduke iz
matematike, statistike i racunovodstva Sva~ icev trg 13
4828426 0912022483
Z.1. Place zaposlenih u tisucama kuna u poduzecu COMP u mjesecu prosincu 1995. bile su kako slijedi:
11 11 11 12 12 a) Kolika je bila prosjecna placa? Koliko je prosjecno 12 14 14 14 14 odstupanje od prosjeka izrazeno apsolutno i 16 16 18 18 19 relativno? 19 20 21 22 23 b) Odredite raspon varijacije. 23 25 25 26 28 c) Koju vrijednost poprimaju kvartili i medijan? 28 29 30 30 36 d) Nacrtajte B-W dijagram. 38 e) Koliki je interkvartil, a koliki koeficijent kvartilne
31 3 1
LX, = 635, LX, 2 = 14719 devijacije? i_ I j ", l
f) Kolikaje modalna vrijednost? g) Je Ii placa od 38 tisuca kuna "previse" iznad prosjeka? h) Podatke 0 placama zaposlenih prikazite S-L dijagramom. i) Izracunajte vrijednost sedmog decila.
Z.2. Dnevni utrZak jedne vece prodavaonice (u tisucama kuna) za odredeni broj dana prikazan je S-L dijagramom:
21579
311778
4114569
510013345677
61012333
7111129
810056
91112
(a) Koliki je bio prosjecni dnevni utrzak prodavaonice? Odredite vrijednosti standardne devijacije i koeficijenta varijacije. Objasnite znacenje izracunatih veliCina.
(b) Nacrtajte dijagram odstupanja vrijednosti varijable od aritmeticke sredine. (c) Odredite vrijednost raspona varijacije. Koliki su donji i gomji kvartil, interkvartil i
_--"k=oeficijent kvartillle.-Qevijacije? Nacrtajte B - P dijagram. --_ ~ - - - (d) Koliki su deseti i devedeseti percentil? -
(e) Koliki je medijan i mod? (f) Izracunajte proporciju dana s prometom izmedu 50 i 80 tisuca kuna? (g) Moze Ii se dnevni utrzak od 92 tisuce kuna smatrati netipicnim?
Z _3. Analiziraju se trzisne vrijednosti odabranih americkih kompanija u svibnju 2007. godine (u mlrd. $). Podaci su kako slijedi:
12.2 20.0 11.7 5.9 2.8 5.1 13.6 4.3 9.6 17.9 3.2 24.1 27.6 13.1 11.2 31.5 9.7 26.5 18.7 23.1
16.2 5.3 33.1 19.1 35.5 18.3 3.9 24.3 5.6 7.8
30 30
LX, = 460.8, LX; 2 = 9735.52. i=1 i=l
Prvi kvartil za navedeni niz trzisnih vrijednosti je 5.9, a treCi kvarti1 je 23.10. 50% podataka 0 trZisnim vrijednostima kompanija ima vrijednost manju od 13.35$.
a) Kolikaje prosjecna trzisna vrijednost odabranih americkih kompanija u svibnju 2007. godine i koliko je prosjecno odstupanje od tog prosjeka izraZeno u mlrd. $ i u %? Prokomentirajte disperziju podataka i reprezentativnost izracunatog prosjeka.
b) Izracunajte Bowleyevu mjeru asimetrije. Sto zakljucujete 0 simetriji/asimetriji navedenih podataka.
c) Nacrtajte Box-plot dijagram. d) Podaci trzisnih vrijednosti odabranih americkih kompanija u svibnju 2007. godine
(u mlrd $) poredani su prema velicini:
2.8 3.1 .9 4.3 5.1 5.3 5.6 5.9 7.8 9.6 9.7 11.2 11.7 12.2 13.1 13.6 16.2 17.9 18.3 18.7
19.1 20.0 23.1 24.1 24.3 26.5 27.6 31.5 33.1 35.5 ~
Koliki je raspon sredisnjih 80% podataka?
e) Odredite vrijednost modificirane aritmeticke sredine, koju racunajte tako da izostavite prvih i posljednjih deset posto clanova uredenog niza.
Z.4. U jednoj prodavaonici bijele tehnike dana 29. sijecnja 2007. robuje kupilo 15 kupaca. Vrijednosti njihove kupovine u kunama bile su kako slijedi:
249 249 450 505 536 799 852 1250 1299 2303 2670 2899 3207 4230 7540
a) Odredite mod. b) Izracumute prosjecnu vrijednost kupovine po kupcu navedenog dana i prosjecno odstupanje
od tog prosjeka. Na temelju dobivenih rezultata ocijenite reprezentativnost izracunatog prosjeka (apsolutno i relativno izraZenim mjerama disperzije). Pri tome koristite slijedece medurezultate:
15 15
LX, = 29038, L(x; -x/ = 55135592. i- I
EDUCANS ~kola za poduke iz
matematike, statistike i ratunovodstva
Svaticev trg 13
4828426 0912022483
c) Sto se iz navedenog grafikona zakljucuje 0 simetriji odnosno asimetriji podataka vrijednosti prometa po racunu?
I .. + wi + + I + . .. I ·············· ····················· 1
200 1200 2200 3200 4200 5200 6200 7200
d) Moze Ii se kupovina od 249 kn smatrati netipicnom za navedene vrijednosti? Odgovor obrazlozite.
Z.S. Analiziraju se 93 vrijednosti numericke varijable X. Primjenom programske potpore SAS-a dobiveni su medu ostalima i ovi rezuItati :
Varijable = x
N Mean Std Dev Skewness USS CV
Moments 93 Sum Wgts 93
12847702
Sum 34542.69 Variance Kurtosis CSS
-1.31369 17622.41
Quantiles(Def = 5) 100% Max 395.25 99% 395.25
75% --- 386.92 95% 393.85 50% --- 369.43 90% 391.56 25% --- 359.52 10% 355.73 0% Min 351.40 5% 352.79
1% 351.40
(Mean-aritmeticka sredina, Skewness-mjera asimetrije, USS-zbroj kvadrata vrijednosti varijable, Sum-zbroj vrijednosti varijable,Kurtosis-koeficijent zaobljenosti, CSS-zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti varijable od njezine aritmeticke sredine, CV -koeficijent varijacije, Qvantiles-kvantili)
(a) Kolikaje aritmeticka sredina varijable X? Odredite i druge velicine koje nedostaju u ispisu obrade. Obvezatno objasnite njihovo znacenje.
(b) Koliki su raspon varijacije, interkvartil i koeficijent kvartilne devijacije? (c) Odredite standardizirane vrijednosti najmanje i najvece vrijednosti varijable, te kvartila.
Interpretirajte rezultate. Moze Ii se vrijednost 395 .25 smatrati netipicnom (outlinerom).
8200
2. DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA
Z.1. Clanovi poljoprivrednih kucanstava u RH prema navrsenim godinama starosti (01 .06.2002.-31.05.2003.)
Navrsene go dine Broj clanova starosti u tisucama (0)-25 411 25-45 372 45-65 405
65-(95) 297 Ukupno 1485
Izvor. http .llwww.dzs.hr
a) Distribuciju prikazite poligonom frekvencija . b) lzracunajte prosjecnu starost clanova poljoprivrednih kucanstava. Koliko je prosjecno
odstupanje od prosjeka izraz.eno apsolutno i relativno. 4
'fJ;X,' = 3645843.75 i_ I
c) Analiticki i graficki odredite medijalnu starost clanova poljoprivrednih kucanstava u RH u navedenom periodu. lnterpretirajte dobivenu vrijednost.
d) lzracunajte vrijednost donjeg i gomjeg kvartila, te odgovarajucu apsolutnu i relativnu mjeru disperzije.
e) Izracunajte vrijednost Bowleyeve mjere asimetrije za navedenu distribuciju. f) Izracunajte raspon varijacije sredisnjih 80% podataka.
Z.2. Clanovi poljoprivrednih kucanstava u RH prema navrsenim godinama starosti (01 .06.2002.-31.05.2003.)
Navrsene godine Broj clanova starosti u tisucama (0)-25 411 25-45 372 45-65 405
65-(95) 297 Ukupno 1485
lzvor. hup.llwww.dzs.hr
a) Distribuciju prikaz.ite histogramom. b) Analiticki i graficki odredite modalnu starost clanova poljoprivrednih kucanstava u RH u
navedenom periodu. Interpretirajte dobivenu vrijednost. c) Izracunajte vrijednost Pearsonove mjere asimetrije za navedenu distribuciju i interpretirajte
dobiveni rezultat. Pri racunanju koristite podatak da je prosjecna starost clanova poljoprivrednih kucanstava 43,23 godine s prosjecnim odstupanjem od prosjeka 24,22 godine.
d) Ako je za zadanu distribuciju cetvrti moment oko sredine jednak 942 859,8 izracunajte vrijednost koeficijenta zaobljenosti a 4 i interpretirajte dobivenu vrijednost.
EDUCANS skola za poduke iz
matematike, statistike i ratunovodstva
Svaticev trg 13
4828426 0912022483
Z.3. Struktura stanovnistva Republike Hrvatske prema navrsenim godinama starosti (starosne skupine od 15-64) prema popisu stanovnistva 200 I. godine.
Starost Struktura u ~ ~
15-19 10.05 20-24 10.29 25-29 9.92 30-34 9.95 35-49 33.14 50-64 26.65
Izvor: prema MJese~nom statlstltkom izvjelcu DZS broj 11 /2002, 'Ir.14
a) Izracunajte prosjecnu starost stanovnistva u RH, te prosjecno odstupanje od prosjeka izrazeno apsolutno i relativno. Koristite medurezultat
6
~:>'~ (Xi - X)2 i - I 186.86586
100 b) Prikazite distribuciju histogramom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. c) Odredite kolika je bila najcesca starost stanovnistva? NaznaCite polozaj izracunane vrijednosti
na grafikonu. d) Izracunajte vrijednost Pearsonove mjere asimetrije.
Z.4. U "Statistickim informacijama 2007." Drfavnog zavoda za statistiku na strani 65. dani su podaci o broju stanova za koje su izdane gradevinske dozvole u RH 2006. godine, prema broju soba. Podaci su dani u tabeli kako slijedi:
Broisoba I 2 3 4 5 6-8 ukupno Broj stanova 3256 7428 7244 4414 1794 1381 25517
a) Distribuciju stanova prema broju soba prikazite poligonom frekvencija. b) Odredite najcesci broj soba u navedenim stanovima. c) Izracunajte varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. Pri tome koristite sve
ponudene medurezultate. 6
X = 2.98, L!,(xi - x)' = 54131.28
d) Izracunajte Pearsonovu mjeru asimetrije. Sto zakljucujete?
z.s. Struktura posiljki dobavljaca Velmerk prema broju isporucenih neispravnih proizvoda u 2005.
godini
Broj Struktura neispravnih posiljki proizvoda u%
1 16
k
IP;x,' = 874.5 ;=1
2 28 3 34 4 16 5 4
6-7 2 Ukupno 100
a) Za zadanu distribuciju izracunajte kumulativni niz "manje od" i prika7.ite ga graficki. b) Izracunajte medijan te ga odredite i graficki . ProtumaCite znacenje medijana. c) Izracunajte interkvartilni raspon te koeficijent kvartilne devijacije. d) Izracunajte Bowleyevu mjeru asimetrije. Objasnite znacenje dobivenog rezultata. e) Izracunajte raspon varijacije sredisnjih 80% podataka. f) Moze Ii se podatak x = 8 neispravnih proizvoda smatrati netipicnim (outlinerom), ako je
poznato da je za ovu zvonoliku distribuciju aritmeticka sredina jednaka 2.71 neispravnih komada, a standardna devijacija je 1.18 neispravnih proizvoda? Objasnite dobiveni rezultat.
Z.6. lJ priopcenju Drzavnog zavoda za statistiku, broj 9.2.7.12, od 29. studenog 2007. godine, ....nabi1jdeno je krajem lipnja 2007. godine ukupno 1,869.000 neaktivnog stanovnistva. Broj
neaktivnih stanovnika prema godinama starosti bio je kako je dana u tabeli:
Godine Broj Struktura VeliCina Korigirane Kumulativni starosti neaktivnih u razreda frekvencij e lllZ
stanovnika, postocima "manje od" tis
;; 1'; • ij
':1..{ f e., S,
15 - 25 360 19,3 10 360 3(;0 ( L2- )U 218 11,7 /- .... '1..- Y7~J fit 50 - 65 452 '~~ I~ AS" 301,3 1030 65 -(75) 839 4~ ~~ 10 839 ~8'"~ ukupno 1869 100
Izvor. http.llwww.dzs.hr
a) Nadopunite nedostajuce podatke u tabeli. b) izracunajte prvi kvartil. c) Vrijednosti treceg kvartila odredite graficki. d) Izracunajte prosjecnu starost neaktivnog stanovnistva i prosjecno odstupanje od tog prosjeka
(lzrazeno apsolutno i relativno) ako je 4 4
L:J,x, =100095,L:J,x,2 =6056088. i=1 i =!
EDUCANS ~kola za poduke iz
matematlke, statistike i rafunovodstva
Sva6cev trg 13
4828426 0912022483
DOMACA ZADACA
1. NUMERICKI NIZOVI
Z.1. U Financial Timesu od 6-7.1.1996. na stranici 22. navedeni su podaci 0 prinosu dionica u funtama 30 firmi iz podrucja proizvodnje elektronickih uredaja. Prinos dionice je omjer trziline cijene dionice i zarade po dionici. Podaci 0 prinosu zaokruzeni na cijeli broj mjesta prikazani su S - L dijagramom:
oJ4 01899
11002223344
1177888
210333
2177
311144
31S
411
#
I
3
9
S
4
2
4
I
I
a) Odredite vrijednost donjeg i gornjeg kvartila, te medijana.
Nacrtajte B - P dijagram.
b) Koliki je interkvartil i koeficijent kvartilne devijacije?
c) Koliki je prosjecni prinos po dionici za skupinu firmi i
prosjecno odstupanje od prosjeka izrazeno apsolutno i
relativno? Pretpostavite da svaki podatak u skupini ima
isti ponder. Koristite ove medurezultate:
LX, = S74.9 LX/ = 13666.71
d) Je Ii prinos od 40 funti 'atipican'?
e) Izracunaj vrijednost sedmog decila.
Z.2 . Podaci 0 cijenama zlata u zadnjih 12 dana prikazani su S - L dijagramom: #
1010 a) Odredite vrijednost gomjeg i donjeg kvartila, te medijana.
IIIOS 2 b) N acrtajte B - P dijagram.
1210S 2 c) Koliki je interkvartil i koeficijent kvartilne devijacije?
13loS 2 d) Kolika je prosjecna cijena zlata?
1410 I e) Koliko je prosjecno odstupanje od prosjeka izrazeno apsolutno
ISIO i relativno?
171S I f) Da Ii je cijena 220 'atipicna'?
1810 1 g) Izracunaj vrijednost devetog decila.
2010 h) Interpretirajte sve izracunate rezultate.
1010 = 100 Koristite medurezultate: LX, = 1680 LX,' = 24S600
Z.3. Dnevni utrzakjedne prodavaonice (u tis. Kn) u tijeku odabranog period a prikazanje S-L dijagramom:
Steam Leaf # 3 244 3 4 1 358 4 5 02567 5 6 24448 5 7 1 89 3
Multiply Steam.Leafby 10** +1
a) Koliki je broj dana biljezen dnevni utrzak? !spisite svih N podataka. Koliki je bio prosjeeni dnevni utrzak prodavaonice u promatranom razdoblju? Koliko je prosjecno odstupanje od prosjeka izrazeno apsolutno i relativno ako je
N
LX,' = 63931. j",1
b) Da Ii se dnevni utrZak od 80 tisuca kuna moze smatrati netipicnim? c) Koliki je raspon varijacije? Odredite vrijednost medijana! Koliki je interkvartil, a koliki
koeficijent kvartilne devijacije? Nacrtajte B-W dijagram! d) Odredite mod! e) Odredite vrijednost drugog i osmog decila! Kolikije raspon sredisnjih 60% podataka? f) Odredite vrijednost modificirane aritmeticke sredine, koju racunajte tako da izostavite
prvih i posljednjih dvadeset posto clanova uredenog niza.
Z.4. U Financial Timesu od 10.1.2000. navedeni su podaci 0 triisnoj kapitalizaciji banaka (u milijardama funti). Vrijednost trzisne kapitalizacije za 16 izabranih banaka analizirane su pomocu programske potpore SAS (varijabla = banka).
N 16 Sum Std Dev Variance
Mean Kurtosis Skenwness
USS 11059.43 Mode 21.1
Qvantiles 100% Max 65.3
75% Q3 24.45 50% Med 20.3 25% QI 15.35
0% Min 12
prijevod: Std Dev - standardna devijacija Mean - aritrneticka sredina Skewness - mjera asimetrije USS - zbroj kvadrata varijable Sum - zbroj vrijednosti varijable Kurtosis - koeficijent zaobljenosti ess - zbroj kvadrata odstupanja
vrijednosti varijable od njezine aritmeticke sredine
ev - koeficijent varijacije Quantiles - kvantili
ess ev
369.5
7.778141 2526.289
EDUCANS !kola za poduke iz
matematike, statistike i racunovodstva Sva~icev rrg IJ
4828426 0912022483
a) Kolika je bila prosjecna vrijednost trzisne kapitalizacije banaka? Odredite i druge veliCine koje nedostaju u ispisu obrade. Objasnite' njihovo znacenje u konkretnom slucaju.
b) Koliki su raspon varijacije, interkvartil i koeficijent kvartilne devijacije? Interpretirajte dobivene rezultate.
c) Nacrtajte B-P dijagram. d) Moze Ii se kapitalizacija 65.3 mlrd.funti smatrati netipicnom?
z.s. Broj izostanaka radnika zbog bolesti tijekom 18 radnih dana bio je kako je prikazano u slijedecoj tabeli:
x,
9 12 14 11 15 17 17 16 17 18 17 20 22 23 25 30 31 36 350
Mean
Median
Mode
Standard Deviation
Sample Variance 52.50
Kurtosis
Skewness
Range
Minimum
Maximum
Sum
Count
Five-number Summary Minimum 9 First Quartile Median Third Quartile Maximum 36
0.285
0.867
27
9
36
350
18
a) Popunite nedostajuce rezultate u gornjoj tabeli dobivenoj deskriptivnom numerickom analizom pomocu programa Excel te u tablici "Five-number Summery" dobivenoj programom PHStat2.
b) Objasnite znacenje svakog rezultata.
(Prijevod: Mean-aritmeticka sredina; Standard Deviation-standardna devijacija; Sample Variance-varijanca uzorka; Kurtosis-koeficijent zaobljenosti ; Skewness-mjera asimetrije; Range-raspon varijacije; Sum-zbroj podataka; Count-broj podataka; First Quartile-prvi kvartil; Third Quartile-treci kvartil)
Izracunajte koeficijent varijacije i napisite sto zakljucujete 0 reprezentativnosti aritmeticke sredine.
c) Koliki je raspon varijacije sredisnjih 50% podataka? d) Nacrtajte S-L dijagram.
3. NOMINALNI NIZOVI
EDUCANS skola za poduke iz
matematike, statistike i ratunovodstva Sva~iCev Irg 13
4828426 0912022483
Z.1. U "Statistickim informacijama 2007." Drzavnog zavoda za statistiku na strani 65. dani su podaci o broju stanova za koje su izdane gradevinske dozvole u RH i korisna povr~ina stanova u m' . Podaci su dani u tabeli kako slijedi:
Godina
2004. 2005. 2006.
ukupno
Broj stano..va
(~~
69359
Korisna povrsina
po .1fT"') stanll, m~
83,5 84,4 84,3
Izvor. hltp .llwww.dzs.hr
a) Izracunajte prosjecnu korisnu povrsinu za sve stanove za koje su izdane gradevinske dozvole u RH u promatrane tri godine.
b) Kolika je bi1a lIkupna korisna povrsina stanova za koje je izdana gradevinska dozvola 2006. godine.
c) Izracunajte indekse korisne povrsine po stanll za sve tri godine. Za bazu lIzmite prosjek izraclinat u podzadatku a).
d) Konkretno protumaCite indeks u 2004. godini. e) Izracllnate indekse prikazite odgovarajucim grafikonom.
Z.2. Predmet analize je robna razmjena RH s inozemstvom u period1l2007/3 .200~daci 0 0 ) izvozu i lIVOZU (u milijunima €) bili Sll: . ',,,- 't."" Ii' .... "v\'y .... ~ 1> -<:.. o<l q.
+rc, \-\ f<I-"'O '1. ~ <J
Godinalmjesec Izvoz(x-\) Uvoz \: 0 t ~ Sl!."-~ ? 0"'- . uv 17.""'" 1., ~ I.(·
2007/III 605 1134 1..2. A'S ":}:, ez. IV 587 1291 L,f;' . ~) 2L,J" V 780 1531 50. ~5 :BftD VI 584 1368
4'1. . Go ., ?l . (8
VII 703 1506 4(,. ·(" s ~·11·
VIII 645 1534 4'2.05 100. co Ukllpno 3904 8304 55So2. '3 0:2- .
a) Izvoz i lIVOZ graficki usporedite dvostrukim stupcima. b) Izracunajte koeficijent pokrivenosti uvoza izvozom (omjeri pomnozeni sa 100) za navedeno
razdoblje. c) Koeficijent pokrivenosti prikazite graficki. d) Izracunajte kolika je bila prosjecna vrijednost koeficijenta pokrivenosti lIvoza izvozom za
navedeno razdoblje. e) Za navedeno razdoblje izracunajte indekse uvoza RH. Za bazu uzrnite vrijednost uvoza u kolovozu
2007.
f) Interpretirajte vrijednost indeksa za 2007!III. . . g) U navedenom periodu prosjecna vrijednost izvoza iznosilaje 650.67 mil. eura. Odredlte prosjecno
odstupanje od prosjeka u apsolutnom i relativnom iznosu za izvoz RH u navedenom penodu. Interpretirajte dobivene vrijednosti. U racunu koristite podatak da je za vrijednosti izvoza
1 6 2 LX, = 428380.67 . 6 , ,1
Z.3. Ostvarene investicije u novu dugotrajnu imovinu (opremu) u 1999. i postotak uvozne opreme u odabranim gospodarskim djelatnostima Republike Hrvatske
djelatnost ukupna Vrijed~~ postotak opreme CA uvo reme 1, ~C A
u miliiunima ku ('I'{) poljoprivreda, loy i sumarstvo 153 60.78 '32- C?l'3. ~ 4 preradivacka industrija 2840 68.94 gradevinarstvo 290 68.62 hoteli i restorani 239 20.08 promet, skladistenje i veze 2830 67.92
.z.- ~'2... U> C)'I. 5' i&3SL (a) Odredlte prosjecni postotak uvozne opreme za sve djeiatnostJ zajedno. (b) Podatke 0 postotku uvozne opreme prikaZite razdjeljnim stupcima.
ZA. Odnos broja transakcija i udjela transakcija obavljenih putem internetskog bankarstva
Banka Broj transakcija % udio transakcija
u mil. e ~ internetskog bankar~~ r-p, . c; ZBZ 2.4 29 6(l~
PBB 1.2 16 l'7'l... E-banka 3.5 30 AI'S
a) Izracunajte prosjecni postotni udio transakcija obavljenih putem internetskog bankarstva u ukupnom broju transakcija za sve tri banke zajedno.
b) Koliko je transakcija obavljeno putem internetskog bankarstva u E-banci. c) Prosjecna vrijednost obavljenih novcanih transakcija gradana putem internetskog bankarstva
banke BRZ u promatranom petomjesecnom razdobljuje 275 kn. Prosjecno odstupanje od tog prosjekaje 45%. Kolikaje najmanja proporcija transakcija koje su obavljene putem internetskog bankarstva u iznosima koji su izmedu 27.5 i 522.5 kn?
EOUCANS ~kola za poduke iz
matematike, statistike I rat3unovodstva
Svaticev Irg 13
4828426 091 2022483
Z.S. Poslovne jedinice u ugostiteljstvu, prosjecan broj sjedala po poslovnoj jedinici i prosjecan pro met po poslovnoj jedinici u Republici Hrvatskoj 1995.
Vrsta poslovne jedinice Broj Broj sjedala Prosjecan promet po poslovnih po poslovnoj jedinici, jedinica jedinici mil. kuna
Hoteli 306 683 4.69 Klasicne restauracije 328 194 1.10 Restauracije drustvene 149 160 1.34 prehrane 612 48 0.35 Buffeti 142 33 0.25 Bistroi
a) Koliki je bio prosjecni broj sjedala za sve navedene poslovne jedinice zajedno? Izracunajte vrijednost prosjecnog prometa za sve vrste poslovnih jedinica.
b) Pokazatelje 0 ;4 r~ broju sjedala po poslovnoj jedinici prikaZite povrsinskim grafikonom.
"Statistickim informacijama 2007." Drzavnog zavoda za statistiku na strani 39. dani su podaci 0
broju kinematografa u RH, broju posjetitelja (u tisucama) i broju posjetitelja po predstavi (u tisucama). Podaci su dani u tabeli kako slijedi:
Godina Broj Broj Broj posjetitelj
2004. 2005. 2006.
kinematografa posjetitelja, po predstavi, u tis. u tis .
131 2976 52 107 2174 41 87 2666 49
Izvor. http .llwww.dzs.hr
a) Izracunajte prosjecni broj posjetitelja po predstavi u promatrane tri godine. b) Koliko je ukupno posjetitelja bilo 2006. godine? c) Izracunajte prosjecni broj pradstava po kinematografu za sve tri godine zajedno. d) Izracunajte indekse broja predstava po kinematografu. Za bazu uzmite prosjek izracunat
u podzadatku c). f) Konkretno protumaCite indeks u 2005. godini.
5. VJEROJATNOST
" 5.1. SLUCAJNI DOGADAJ
Z.1. Dogadaji A i B su medusobno iskljuCivi s ovim vjerojatnostima nastupa: peA) = 0.3 , PCB) = 0.2
Odredite sljedece vjerojatnosti:
P(4), p(1i), peA u B), p(AIB), p(BIA) .
Rj.
Z.2. Zadane su vjerojatnosti nastupa dogadaja: peA) = 0.3, PCB) = 0.75, peA n B) = 0.25 .
Izracunajte vjerojatnost nastupa ovih dogadaja:
p(;i) , p(ji), peA u B), p(4" u 13\ p(AIB), p(BIA) .
Rj.
EDUCANS tkola za poduke iz
matematlke,statistike i ra~unovodstva Sva~ icev trg 13
4828426 091 2022483
Z.3. Zaposleni, njih 128, rade na normu, a izradeni proizvodi podlozni su kontroli kakvoce.
Rj .
U jednom razdoblju 16 zaposlenih nije ispunj l;lvalo normu, kakvoca proizvoda koje su proizvele 24 radnika bila je ispodprosjecna, a 4 radnika nisu ispunjavala normu i kakvoca proizvoda bila je ispodprosjecna. Zaposleni imaju pravo na premiju u visini 20% place ako u odredenom vremenu ispune normu i ako izrade proizvode prosjecne i iznadprosjecne kakvoce. Kolika je vjerojatnost da se slucajno odabere zaposlena osoba (a) koja nema pravo na premiju (b) koja ima pravo na premiju.
Z.4. Distribucija kucanstava prema broju clanova u naselju Sjever (stanje potkraj listopada 2002.) navedenaje u tabeli :
broj clanova I 2 3 4 5 6 7-9
broj kucanstava 48 121 153 148 56 12 2 \>~ i~ _ D U~ 11-1 _" 1.\.40:1 ~=o.~$" !!.bl =0..lf.1;ol- ~, 1.0"'1\3 fi;, ." ~ . '1-'1-"1-1_ b =0 odt+
V'\H<.?~",-b\O"'t. 5'l.,,, - . 9,,- . Suo ~.
Rj.
, ----.......c ----'--" Ako se slucajno izabere jedno kucanstvo, kolikaje vjeroJatnost da: (a) je cetveroclano (b) je sesteroclano (c) ima tri iii manje clanova.
--
Z.S. Prema podacima Drzavnog statistickog zavoda, struktura kucanstava prema ukupnom godisnjem prihodu po clanu kucanstva najednom podrucju u rujnu 2002. bilaje ovakva:
l\i.
prihod u do 1999 2000 - 2999 3000 - 3999 4000 - 4999 5000 i vise kunama struktura
Pi 0.056 0.196 0.430 0.250 0.068
(a) Kolikaje vjerojatnost da slucajno odabrano kucanstvo ima mjesecni prihod po clanu izmedu 3000 i 3999 kuna?
(b) Kolika je vjerojatnost da prihod po clanu kucanstva iznosi 4000 kuna i vise?
EDUCANS ~kola za poduke iz
matematike, statistike I ra~unovodstva
Svaticev trg \3
4828426 0912022483
Z.6. Prema podacima Statistickog zavoda u Hrvatskoj je ostvareno 2000. godine 239
Rj,
tisuca nocenja turista iz Australije, Japana, Kanade, Novog Zelandai SAD-a i to kako slijedi: iz Australije 24 tisuca, iz Japana 20 tisuca, iz Kanade 41 tisuce, iz Novog Zelanda 7 tisuca i iz ' SAD-a 147 tisuca nocenja, Kolika je vjerojatnost da: (a) je jedno slucajno odabrano nocenje ostvarila osoba iz Australije iIi SAD-a? (b) to nije ostvarila osoba iz Novog Ze1anda? (c)je nocenje ostvarila osoba iz Japana?
Z.7. D bavljaci Trade i Gramat poskrbljuju kupca istim poluproizvodom koji se ugraduje u fi alni proizvod. Ispitivanjem posiljke od 10000 komada poluproizvoda dobiveni su ovi [ zultati:
kvaliteta broj poluproizvoda poluproizvoda ukupno (klasa) dobavljaca dobavlja\a
Tradea Gramata' Pr I 3600 ( 1200 \ 4800
d ~ II 800 400 1200 ( t>. m 1600 2400 4000
ukupno 6000 4000 10000 I
/. . (a) Ako se slucaJno lzabereJedan poluprOlzvod, kohkaJe vJeroJatnost daje od dobavljaca Tradea? Kolikaje vjerojatnost daje od dobavljaca Gramata?
(b) Kolika je vjerojatnost da je slucajno odabrani proizvod: (1) prve klase (2) druge klase (3) trece klase?
(c) Odredite vjerojatnost slucajnog izbora poluproizvoda druge klase dobavljaca Gramata. Kolika je vjerojatnost izbora poluproizvoda dobavljaca Tradea prve klase?
(d) Ako se slucajno izabere jedan poluproizvod, kolikaje vjerojatnost daje od dobavljaca Tradea iIi da je II klase?
(e) Kolika je vjerojatnost daje slucajno odabrani poluproizvod III klase, ako je od dobavljaca Gramata?
Rj.
W:\~~S~ ~ \O\C'tUI'jU
8 ? J Z.S. rayne osobe prema vrstama pravno ustrojbenih oblika i odabranim podrucjima NKD-a
RH, stanje 31.3.2001.
Broj registriranih pravnih osoba Djelatnost Trgovacka Poduzeca i U stanove, tijela,
drustva zadruge udruge, fondovi ukupno BI B2 BJ
Poljoprivreda, lov, surnarstvo Al 1174 2116 14 3304 Ribarstvo
A2 180 339 1 520 Rudarstvo i vadenie AJ 155 86 2 243 Preradivacka industrija ~ 8470 10276 94 18440
ukupno 9979 12817 111 22907
Kolika je vjerojatnost da se slucajno izabere pravna osoba: a) iz djelatnosti ribarstva iii preradivacke industrije b) iz djelatnosti ribarstva iii iz grupe trgovackih drustava c) iz djelatnosti koja nije rudarstvo i vadenje
Rj.
eOUCANS skola za poduke iz
matematlke,statistike i racunovodstva
Svaticev trg 13
4828426 0912022483
~tri hote1a iste kategorije i istog vlasnika analiziranje stupanj zadovoljstva turist a
Rj .
k mpletnom hotelskom ponudom. Hotel ispunjenje ocekivanja
u potpunosti i vecim diielom nezadovoliavaiuce
Galeb 125 275 Zagreb 234 326 Matrix 107 249
Ukupno 466 850
a) Kolikaje vjerojatnost da slucajno odabrani gost Ijetuje u hote1u Zagreb? b) Kolikaje vjerojatnost daje slucajno odabrani gost u potpunosti i veCim dijelom zadovoljan
ako ljetuje u hotelu Galeb? c) Kolikaje vjerojatnost da slucajno odabrani gost Ijetuje u hotelu Matrix iii je nezadovoljan
hotelskom uslugom?
Hotel iSDunjenie ocekivania BI B2
u potpunosti i veCim nezadovoljavajuce dijelom
A l Galeb 125 275 ~oo
A2 Zagreb 234 326 S(,O
AJ Matrix 107 249 '::> 5'(;.
Ukupno 466 850 ~'::>( ~
5.2. SLUCAJNA VARIJABLA
Z.l Z d . a ana e slje eca [stn UC[ a r d ' d' 'b ..
Rj
Xi 0 1 2 3 4
P(Xi) 0.025 0.245 0.255 0.250 0.225
a) Pokazite daje navedena distribucija, distribucij a vjerojatnosti . b) Odredite njenu ocekivanu vrijednost, varijancu, standardnu devijaciju i koeficij ellt
varijacije. c) Odredite ove vjerojatnosti:
P(x S 3), P(x > 3), P(1 S x S 3), P(l S x < 3).
d) Izracunajte vrijednosti funkcije distribucije.
Xi P(Xi)
0 0.025 1 0.245 2 0.255 3 0.250 4 0.225
Z,2. Dane su slijedece distribucije:
X i P(Xi) X, P(Xi) X i P(Xi) -7 0.02
12 0.32 25 0.45 30 0.38
10 -0.2 0 0.4 10 0.6 15 0.2
100 0.3 105 0.2 106 0.4 107 0.1
Kojaje od njih distribucija vjerojatnosti? Za odabranu distribuciju vjerojatnosti izracunajte ocekivanu vrijednost i vrijednosti fullkcije distribucije vjerojatnosti.
Rj.
X,
100 lOS 106 107
Z.3.
Xi
1 2 3 4 5
Rj.
X , I
2 3 4 5
P(Xi)
0.3 0.2 0.4 0.1
P(Xi)
0.05 0.25
0.12 0.40
p(xD
0.05 0.25
0.12 0.40
EDUCANS skala za poduke iz
matematike. statistike I ra~unovodstva Sva~icev trg 13
4828426 0912022483
a) Kolikaje vjerojatnost da slucajna varijabla X poprimi vrijednost 3, da bi navedena distribucija bila distribucija vjerojatnosti .
b) Izracunajte vrijednosti kumulativne funkcije (funkcije distribucije). c) Odredite vjerojatnosti P(x ~ 2), P(x > 3).
Z.4 D' t 'b .. d' kr tic ' . IS n UCI a IS e ne S u a]ne varlJa e .. bl X d t b r ana]e u a e 1:
X i -2 -I 0 1 2
P(Xi) 0.15 0.30 0.20 0.25
a) Kolikaje vjerojatnost da slucajna varijabla X poprimi vrijednost 0, da bi navedena distribucija bila distribucija vjerojatnosti.
b) Odredite ocekivanu vrijednost varijable X. c) Kolikaje vjerojatnost da ce slucajna varijabla poprimiti vrijednost vecu od ocekivane?
Rj .
x, -2 -I 0 I 2
P(Xi) 0.15 0.30 0.20 0.25
Z.S. Ekspertna grupa procjenjuje U\~inke investicija na rizicnorn pdrucju. Ucinak investicije izraZenje u obliku dobiti, odnosnogubitka za prornasene plasrnane. Distribucija vjerojatnosti ucinaka investicija navedena je u tabeli:
dobitaklgubitak u 000 kn -400 -200 -100 0 100 200 300 400 vjerojatnost 0.05 0.15 0.30 0.10 0.30 0.03 0.04 0.03
(a) Odredite ocekivanu vrijednost i standardnu devijaciju distribucije vjerojatnosti. (b) Kolika je vjerojatnost da ce investicija rezultirati gubitkorn? Kolika je vjetrojat
nost da ce dobit biti izrnedu 100 i 300 tisuca kuna?
Rj. (a) j.J = -400·0.05 - 200·0.15 -100·0.30 + 0·0.10 + 100·0.30 + 200·0.03 + 300·0.04 + 400·0.03 =
CT=~LP(X, )X,' -j.J ' =170.880
(b) vjerojatnost gubitka P( -400 ::; x ::; -100) = 0.05 + 0.15 + 0.30 = 0.5
P(IOO ::; x ::; 300) = 0.30 + 0.03 + 0.04 = 0.37
Z.6. Pracenjern prodaje jednog proizvoda po trornjesecnirn razdobljirna od 1996. do 2002. dobiveni su podaci pornocu kojih je formirana distribucija vjerojatnosti trornjesecne potraznje: potraznja u korn. 1000 1500 2000 2500 vjerojatnost 0.15 0.45 0.30 0.10
Kolika je narudzba dobavljacu na osnovi ocekivane vrijednosti prodaje?
Rj.
EDUCANS ~kola za poduke iz
matematike,statistike i ra~unovodstva
Svatitev trg 13
4828426 0912022483
Z.7. ompanija CCB planira investicijsko ulaganje od 2 milijuna € u novi proizvodni pogon.
Rj .
U investicijskom projektu se navodi da ce, po aktiviranju investicije, potramja za proizvodima iz nove proizvodnje iznositi s jednakim vjerojatnostima 2500, 2750, 3000, 3500 komada. a) Distribuciju vjerojatnosti potraznje zapisite na uobicajen naCin u tabeli. b) Kolika je ocekivana vrijednost i standardna devijacija navedene distribucije vjerojatnosti?
4
L PiX,' = 8765625
c) Kolikaje vjerojatnost da potrafnja bude 3000 komada i manje?
Z.8. Prema evidenciji manje agencije za iznajmljivanje automobi la, od 400 analiziranih dana u 10 dana nije bio iznajmljen nijedan automobil, u 20 dana iznajmljenjejedan, u 50 dana dva, u 100 dana tri, u 180 cetiri, te u 40 dana pet automobila.
Rj.
(a) Kako glasi distribucija vjerojatnosti za opisani slucaj? (b) Koliki je ocekivani broj dnevno iznajmljenih automobila te koliko je prosjecno
odstupanje od ocekivane vrijednosti? Ako je bruto prihod po iznajmljenom automobilu 100 USD, koliki je prihod na osnovi ocekivanog broja iznajmljenih automobila?
a) broj iznajmljenih 0 1 automobila broj dana 10 20 P(Xi) 0.025 0.05
(b) ,u = Lxi P(xi )=3.35
a = ~x/ p(x,)-,u ' = 1.13027
prihod = 335
2 3 4 5
50 100 180 40 0.125 0.25 0.45 0.1
5.3. BINOMNA I POISSONOV A DISTRIBUCIJA
Z.1. Varijabla X ravna se po binomnoj distribucij i 8(5;0.4) . (a) Kako glasi funkcija vjerojatnosti.
Rj .
(b) Kolikaje vjerojatnost da slucajna varijabla poprimi vrijednosti: x = 0, x :5 3, x > 3, x = 5
( c) Odredite ocekivanu vrijednost, varijancu i standardnu devijaciju slucajne varijable X. (d) Odredite koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosti slucajne varijable.
Z.2. 8roj predanih ispravno popunjenih zahtjeva za izdavanje putovnice za djecu mladu od 15 godinaje diskretna slucajna varijabla koja se ravna po zakonu binomne distribucije s parametrima 10 i 0.97. Kolikije ocekivani broj primljenih ispravno popunjenih zahtjeva, te koliko je prosjecno odstupanje od ocekivanog broja zahtjeva? Kolika je vjerojatnost da u uzorku od 10 zahtjeva ne bude neispravno popunjenih?
Rj.
Z.3. Analizom je utvrdeno da je broj ostecenih proizvoda prilikom pakiranja u prvom pogonu binomno distribuirana slucajna varijabla s ocekivanom vrijednosti 2. Ako se slucajno odabere 10 proizvoda, kolikaje vjerojatnost da ce izmedu odabranih proizvoda svi biti ispravni.
Rj .
EDUCANS ~kola za poduke iz
matematike, statistike i racunovodstva
Sva(\icev trg 13
4828426 0912022483
Z.4. 8roj dnevnih prrijava kvarova na sustavu napajanja elektricnom energijom ravna se po teorijskoj distribuciji sIijedeceg analitickog oblika:
Rj.
G)O. W ·0.868-
x
(a) Kojaje to teorijska distribucija vjerojatnosti? (b) Navedite parametre kojima je odredena ova distrbucija? ( c) Izracunajte ocekivanu vrijednost i standardnu devijaciju distribucije. (d) Kolika je vjerojatnost da varijabla X poprimi vrijednost I?
Z.S. Prema evidenciji servisne sIuzbe u garantnom roku 5% kupaca prijavljuje kvar kupljenog proizvoda. Ako je jednog tjedna prodao 10 kucanskih aparata, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan kupac prjaviti kvar? Koliki je ocekivani broj prijave kvarova kupljenih proizvoda u garantnom roku?
Rj.
Z.6. Stroj izraduje proizvod s konstantnim postotkom neispravnih proizvoda od 7%. Pomocu sIucajnog uzorka kontrolira se rad stroja.
Rj .
a) Ako se u uzorak izabere 7 proizvoda odredite vjerojatnost: I) da ce biti vise od dva neispravna proizvoda 2) da nece biti neispravnih proizvoda.
b) Koliki je ocekivani broj te prosjecno odstupanje od ocekivanog broja nespravnih proizvoda u slucajnom uzorku od 45 proizvoda.
Z.7. Nekaje zadana Pissonova distribucija vjerojatnosti s parametrom A = 3.
Rj .
(a) PrikaZite tabelarno dio njezinih vrijednosti (x=O, I ,2,3) kao i pripadajuce vrijednosti funkcije distribucije.
(b) Odredite ocekivanu vrijednost, varijancu i standardnu devijaciju slucajne varijable X. (c) Odredite koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosli slucajne varijable. (d) Kolike su ove vjerojatnosti:
p(x = l),p(x $; 2),p(x ~ 2)?
tf::~ I 0 I I 2 I 3 I
Z.8. Broj prometnih nesreca koje se tijekom mjeseca dogode na kruznom toku prilazne ceste je slucajna varjabla koja ima Poissonovu distribuciju s ocekivanom vrijednosti 2.
Rj .
(a) Kolikaje vjerojatnost da se tijekom mjeseca na kruZnom toku ne dogodi nitijedna prometna nesreca?
(b) Kolika je vjerojatnost da se tijekom mjeseca na kruZnom toku dogodi barem jedna prometna 'nesreca?
EOUCANS skola za poduke iz
matematike, statistike i racunovodstva
Svaticev Irg 13
4828426 091 2022483
Z.9. Prosjecan broj zahtjeva za nadoknadom totalne automobilske stete koji se podnosi osiguravajucem drustvu He iznosi 0.9 dnevno. Ako se pretpostavi daj broj podnesenih zahtjeva dnevno slucajna varjabla koja se ravna prema Poissonovoj distribuciji, odredite kolikaje vjerojatnost da se ujednom slucajno odabranom radnom danu drustvu podnesu: (a) 0 zahtjeva,
Rj.
(b) vi se od 2 zahtj eva, (c) 3 i manje zahtjeva? (d) Kolikije ocekivani najcesci broj zahtjeva?
5.4. NORMALNA DISTRIBUCIJA
Z.1. Kontinuirana slucajna varijavla X ravna se po normalnoj distribuciji sa sredinom 10 i standardnom devijacijom 4. Kolikaje vjerojatnost da ta varijabla poprimi vrijednost iz intervala
Rj .
(a) IOsxsl4.6 (b) 8 sxs i0 (c) 12sxs18.
10-10 14.6-10 (a)P(IOsxs I4.6) = P( <zs )=P(Oszs1.l5) = P(z = 1.l5)-P(z=0)
4 4
=0.3749
8-10 10-10 (b) P(8 s x s 10) = P(--s z s ) = P(-0.5 s z s 0) = P(z =O)-P(z = -0.5)
4 4
= P(z = ·0.5) = 0.1915
12-10 18-10 (c)P(l2sxsI8)= P( szs )=P(0.5szs2) = P(z=2) - P(z=0.5)=
4 4 = 0.4772-0.1915 = 0.2857
Z.2. Caj vrste A pakira se u vrecice nominalne tezine 50 grama. Distribucija vrecica caja prema teZini normalnog je oblika sa sredinom koja je jednaka nominalnoj tetini i standardnom devijacijom od 4 grama. Ako se slucajno izabere vreCica, kolika je vjerojatnost da je njezina tezina: (a) manja od 51 grama (b) veca od 47 grama (c) izmedu 48 i 52 grama (d) izmedu 46 i 53 grama (e) izmedu 48 i 49 grama?
. 51- 50 Rj. (a) P(x s 51) = P(z s ) = P(z s 0.25) = 0.5+ P(z = 0.25) = 0.5987
4 47 -50
(b) P(x <! 47) = P(z <! 4 ) = P(z <! -0.75) = 0.5 - P(z = -0.75) = 0.7734
48-50 52-50 (c)P(48sxs52)= P( 4 szs 4 )=P(-0.5szs0.5) = P(Z =0.5)-P(z =-0.5) =
= 2 P(z = -0.5) = 2·0.1915 = 0.3830 46 -50 53 - 50
(d)P(46sxs53)= P( SZS )=P(-lszs0.75)= P(z = 0.75)-P(z = -I) = 4 4
= 0.2734 + 0.3413 = 0.6147 48-50 49-50
(e)P(48sxs49)= P( 4 SZS 4 )=P(-0.5szs-0.25) = P(z= - 0.25)-P(z=-0.5) =
= -0.0987+0.1915 = 0.0928
EDUCANS skola za poduke iz
matematike, statistike i racunovodstva
Sva6cev !rg 13
4828426 0912022483
Z.3. Disribucija proizvoda prema teZini normalnogje oblika. 15.87% proizvoda ima teZinu manju od 27 grama, a 2.28% proizvoda ima tezinu vecu od 36 grama. (a) Kolikaje aritmeticka sredina,te standardna devijacija distribucije? (b) Kolika je vjerojatnost da je slucajno izabrani proizvod tezak izmedu 25.5 i 31.5 gram a?
Rj. (a) P(x ~ 27) = 0.1587
P(z ~ 27 - fl) = 0.1587 (J'
0.5 + P(z = 27 - Jl) = 0.1587 =:} P(z = 27 - fl) = -0.3413 =:}
(J' (J'
27 - fl =-1 (J'
P(x ~ 36) = 0.0228
P(z ~ 36 - fl) = 0.0228 (J'
0.5 - P(z = 36 - fl) = 0.0228 =:} P(z = 36 - JI) = 0.4772 (J' (J'
36 - fl = 2 (J'
27 - JI - 1 =:} 27 - fl =-(J'
=:} fl = 30,(J' = 3
(b) P(2S .S ~ x ~ 31.5) = p(25.S - 30 ~ z ~ 31.5 - 30) = P(- 1.5 ~ z ~ 0.5) = 3 3
= P(z = 0.5) - P(z = -1.5) = 0.1915+0.4332 = 0.6247
NORMALNA DIS!RIBUCIJA
a-p b-p b-p a-p pea ~x ~b) = P(--~z ~--) = P(z =--) -P(z =--)
a (Y a 0" 1
a-p a-p P(x "? a) = P(z "? --) = 0.5 - P(z = --)
(7 (7
b-p b - p P(x ~b) = P(z ~--) = 0.5+P(z =--)
(7 (7
P(z = -c) = -P(z = c)
TAM.leA -I'OV 12.5' I NIT 15 Po D
No 12. I'ffl-l N. KR.. ,v VL.)f <;ff G<' ,
,02.
STLJDfNTOVA "kr C-l(~ ~lolaode. \) (s,s) '-..J
q t,,; t-f) ;0;1- '1' (1:- >tf-)
v ~tcU-wl(t.: olA , f'v' lo\..' J e.,
'f l t> tt-J (V\.~w.~ ~ A-t lcv~·c.c' S:-fv-lole.u--"v \f"C-
0v.rog ,
P l t-> tt-) S ,s , == \)
r ( t<l'~ ~ t- '" t-~ l}= l' l b tr~) - Pl 1:-> tJ'n)
l' l t--:;> - t-d = t\ - P ( t- > tJ'-)
~ C t-.c::.. t J'-) =) t t)e- lAejO:t.'VCcC\. ,I
5.3. BINOMNA I POISSONOV A DISTRIBUCIJA
A Z.1. Varijabla X ravna se po binomnoj distribuciji B(5;0.4).
(a) Kako glasi funkcija vjerojatnosti. (b) Kolikaje vjerojatnost da slucajna varijabla poprimi vrijednosti:
x = 0, x $ 3, x > 3, x = 5 (c) Odredite ocekivanu vrijednost, varijancu i standardnu devijaciju slucajne varijable X. (d) Odredite koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosti slucajne varijable.
Rj. (a) n = 5,p = O.4,q = 0.6
p(x) = (~Jo.4 x · 0.6'-x
(b) p(O) = (~Jo.40 ·0.6' = 0.07776 p(l) = CJo.41 ·0.6' = 0.2592
p(2) = (~Jo.4' .0.63
= 0.3456 p(3) = (~Jo.43 ·0.6' = 0.2304
p(4) = (~Jo.4' .0.61 = 0.0768 p(5) = GJo.4' .0.6
0 = 0.01024
P(x $ 3) = p(O) + p(l) + p(2) + p(3) = 0.91296 P(x > 3) = p( 4) + p(5) = 1- P(x $ 3) = 0.08704
(c)p=np=2, O"=npq=1.2, 0'=1.09545 , V=O'· IOO =54.77% p
1-2p (d) a 3 = r=:: = 0.18,
"npq
1-6pq a,=3+ =2.73
npq
Z.2. Broj predanih ispravno popunjenih zahtjeva za izdavanje putovnice za djecu mladu od 15 godina je diskretna slucajna varijabla koja se ravna po zakonu binomne distribucije s parametrima 10 i 0.97. Koliki je ocekivani broj primljenih ispravno popunjenih zahtjeva, te koliko je prosjecno odstupanje od ocekivanog broja zahtjeva?
Rj.
Kolika je vjerojatnost da u uzorku od 10 zahtjeva ne bude neispravno popunjenih?
(\ -".. ~o 1~ 0 ,":l~
Z ~ ~ - ~ -; O. 0:;
er.o;. p. ";. f\ -r- ~0' O. ~1'.~~. :t
cs: ~ ~ '{\ '\' 'j. ::- \ ~ () ~ q'1- ,,0 o~
EDUCANS ~kola za poduke iz
matematike, statistike I rafunovodstva
Svaticev Irg 13
4828426 0912022483
Z.7. Kompanija CCB planira investicijsko ulaganje od 2 milijuna € u novi proizvodni pogon.
Rj.
U investicijskom projektu se navodi da ce, po aktiviranju investicije, potraznja za proizvodima iz nove proizvodnje iznositi s jednakim vjerojatnostima 2500, 2750, 3000, 3500 komada. a) Distribuciju vjerojatnosti potraznje zapisite na uobicajen nacin u tabeli. b) Kolikaje ocekivana vrijednost i standardna devijacija navedene distribucije vjerojatnosti?
4
LP,X/ = 8765625
c) Kolikaje vjerojatnost da potraznja bude 3000 komada i manje?
Z.8. Prema evidenciji manje agencije za iznajmljivanje automobila, od400 analiziranih dana u 10 dana nije bio iznajmljen nijedan automobil, u 20 dana iznajmljen je jedan, u 50 dana dva, u 100 dana tri, u 180 cetiri, te u 40 dana pet automobila.
Rj
(a) Kako glasi distribucija vjerojatnosti za opisani slucaj? (b) Koliki je ocekivani broj dnevno iznajmljenih automobila te koliko je prosjecno
odstupanje od ocekivane vrijednosti? Ako je bruto prihod po iznajmljenom automobilu 100 USD, koliki je prihod na osnovi ocekivanog broja iznajmljenih automobila?
. (a) broj iznajmljenih 0 1 automobila broi dana 10 20
I P(Xi) 0.025 0.05
(b) J.l = LX,p(x,) = 3.35
(J" = ~x/ p(x,) - J.l 2 = 1.13027
prihod = 335
2 3 4 5
50 100 180 40 0.125 0.25 0.45 0.1
5.4. NORMALNA DISTRIBUCIJA
Z.1. Kontinuirana slucajna varijavla X ravna se po nonnalnoj distribueiji sa sredinom 10 i standardnom devijaeijom 4. Kolikaje vjerojatnost da ta varijabla poprimi vrijednost iz intervala
Rj.
(a) 10~x~14 .6
(b) 8~x~10 (e) 12~x~18.
10 - 10 14.6-10 (a)P(10~x~14.6)= P( <z~ ) = P(0~z~1.15) = P(z=1.15) - P(z=0)
4 4
=0.3749
8-10 10-10 (b) P(8~x ~10) = P(-- ~ z ~ ) = P(-0 .5 ~ z ~O)= P(z = O)-P(z = - 0.5)
4 4
= P(z = -0.5) = 0.1915
12-10 18-10 (e)P(J2~x~18)= P( Sz~ )=P(0.5~zS2)= P(z=2)-P(z=0.5) =
4 4 = 0.4772-0.1915 = 0.2857
Z.2. Caj vrste A pakira se u vreciee nominalne tdine 50 grama. Distribueija vreCiea caja prema tezini nonnalnog je oblika sa sredinom koja je jednaka nominalnoj tezini i standard nom devijacijom od 4 grama. Ako se slucajno izabere vrecica, kolika je vjerojatnost da je njezina tdina: (a) manja od 5 I grama (b) veca od 47 grama (e) izmedu 48 i 52 grama (d) izmedu 46 i 53 grama (e) izmedu 48 i 49 gram a?
. 51- 50 RJ. (a) P(x S 51) = P(z S 4 ) = P(z S 0.25) = 0.5 + P(z = 0.25) = 0.5987
47-50 (b) P(x ~ 47) = P(z ~ 4 ) = P(z ~ -0.75) = 0.5 - P(z = -0.75) = 0.7734
48-50 52-50 (c)P(48SxS52)= P( 4 ~zS 4 )=P(-0.5SzS0.5) = P(z=0.5)-P(z=-0.5) =
= 2 P(z = -0.5) = 2 · O. I 915 = 0.3830 46 - 50 53 - 50
(d)P(46SxS53)= P( 4 SzS 4 )=P(- ISzS0.75) = P(z=0.75) - P(z =- I) =
= 0.2734 + 0.3413 = 0.6147 48-50 49-50
(e)P(48SxS49)= P( 4 SzS 4 )=P(-0.5SzS-0.25)= P(z =-0.25) - P(z =-0.5) =
= -0.0987+0.1915 = 0.0928
EDUCANS skala za poduke iz
matematike,statistike i racunovodstva
SvaCicev Irg 13
4828426 091 2022483
Z.3. Analizom je utvrdeno da je broj o~tecenih proizvoda prilikom pakiranja u prvom pogonu binomno distribuirana slucajna varijabla s ocekivanom vrijednosti 2. Ako se slucajno odabere 10 proizvoda, kolika je vjerojatnost da ce izmedu odabranih proizvoda svi biti ispravni.
Rj .
Z.4. Broj dnevnih prrijava kvarova na sustavu napajanja elektricnom energijom ravna se po teorijskoj distribueiji slijedeceg analitickog oblika:
Rj.
(:)0. W ·0.86'-'
(a) Kojaje to teorijska distribueija vjerojatnosti? (b) Navedite parametre kojimaje odredena ova distrbueija? (e) Izracunajte ocekivanu vrijednost i standardnu devijaciju distribueije. (d) Kolika je vjerojatnost da varijabla X poprimi vrijednost I?
Z.S. Prema evideneiji servisne sluzbe u garantnom roku 5% kupaea prijavljuje kvar kupljenog proizvoda. Ako je jednog tjedna prodao 10 kucanskih aparata, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan kupae prjaviti kvar? Koliki je ocekivani broj prijave kvarova kupljenih proizvoda u garantnom roku?
Rj .
Z.6. Stroj izraduje proizvod s konstantnim postotkom neispravnih proizvoda od 7%. Pomocu slucajnog uzorka kontrolira se rad stroja. a) Ako se u uzorak izabere 7 proizvoda odredite vjerojatnost:
I) da ce biti vise od dva neispravna proizvoda 2) da nece biti neispravnih proizvoda.
b) Koliki je ocekivani broj te prosjecno odstupanje od ocekivanog broja nespravnih proizvoda u slucajnom uzorku od 45 proizvoda.
Rj . P = 0.07 neispravni, q = 0.93, n = 7, B(7;0.07)
(7) x 7- x a) p(x) = 0.07·0.93 I \ . .0." ' l X -r./ GOIGY"'vy IIl:A.r l".:\C ~V\
I) P(D 2) = 1- P(x < I) = I - (p(O) + p(l» 0 Og 12T V/ ()'S-- D ·oo~G),
p(O) = (~)o.070 .0.937
= 0.60170
p(l) = G)O.07' · 0.93 ' = 0.31703
2) p(O) = 0.60170 b) p = 0.07 , q=0.93, n=45, B(45;0 .07)
Ji = np = 3.15, (J' = ~npq = J.7J16
Z.7. Nekaje zadana Poissonova distribucija vjerojatnosti s parametrom A = 3.
Rj .
(a) Prikazite tabelarno dio njezinih vrijednosti (x=0,1,2,3) kao i pripadajuce vrijednosti funkcije distribucije.
(b) Odredite ocekivanu vrijednost, varijancu i standardnu devijaciju slucajne varijable X. ( c) Odredite koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosti slucajne varijable. (d) Kolike su ove vjerojatnosti:
(a)
p(x = 1), p(x::; 2),p(x 2': 2)?
3" . e-3
p(x)=-x!
Xi 0
p(xi ) 0.04979
F(xi ) 0.04979
1
0.14936
0.19915
30 - 3 ·e p(O) = O! = 0.04979 ,
2 3
0.22404 0.22404
0.42319 0.64723
(I) = 3' . e-3
0.14936 p I!
3' ·e-3 33 e-3
p(2) = = 0.22404, p(3) = = 0.22404 2! 3!
(b) Ji=A=3 , (J" =A=3, (J'=J.732 (c)
1 a, = 3 + - = 3.333
A
(d) p(l)=0.14936
P(x ::; 2) = p(O) + p(l) + p(2) = 0.42318 P(x 2': 2) = 1- P(x < 2) = 1- (p(O) + p(l» = 0.80085
eOUCANS skala za poduke iz
matematlke, statistike I ratunovodstva
Svati cev trg 13
4828426 0912022483
Z.8. Broj prometnih nesreca koje se tijekom mjeseea dogode na kruZnom toku prilazne eeste je slucajna varjabla koja ima Poissonovu distribueiju 5 ocekivanom vrijednosti 2.
Rj.
(a) Kolika je vjerojatnost da se tijekom mjeseea na kruznom toku ne dogodi niti jedna prometna nesreca?
(b) Kolikaje vjerojatnost da se tijekom mjeseea na kruznom toku dogodi baremjedna prometna nesreca?
Z.9. Prosjecan broj zahtjeva za nadoknadom totalne automobilske stete koji se podnosi osiguravajucem drustvu He iznosi 0.9 dnevno. Ako se pretpostavi daj broj podnesenih zahtjeva dnevno slucajna varjabla koja se ravna prema Poissonovoj distribueiji, odredite kolikaje vjerojatnost da se ujednom slucajno odabranom radnom danu drustvu podnesu: (a) 0 zahtjeva, (b) vise od 2 zahtjeva, (e) 3 i manje zahtjeva? (d) Koliki je ocekivani najceSci broj zahtjeva?
Rj. .u = ,.1, = 0.9
0.9' . e-0.9
p(x)=--x!
(a) p(O) = 0.90
• e-0 9
= 0.40657 O!
(b) P(x > 2) = 1- P(x $ 2) = 1- (p(O) + p(l) + p(2)) = 0.06286
0 9' e ..{)·9 p(l) = . ' = 0.36591
l!
p(2) = 0.9 ' ·e-09
= 0.16466 2!
(e) P(x $ 3) = p(O) + p(l) + p(2) + p(3) = 0.98653
p(3) = 0.93
• e-09
= 0.04939 3!
(d) .u =,.1,= 0.9
eOUCANS ~kola za poduke iz
matematike, statistike I ralunovodstva
Svaeicev Irg 13
4828426 0912022483
LORENZOV A KRlVULJA. GINIJEV KOEFICIJENT.
Z.l. Zaposleni u djelatnosti Prijevoz,skladiStenje
i veze u RH stanje potkraj prosinca1997
Djelatnost poslovnih Broj zaposlenih subiekata u 000
Kopneni prijevoz 35.4 Vodeni prij evoz 3.4 Zracni prijevoz 0.7 Pratece djelatnosti 23 .2
Posta i telekomunikacije 22.7 ukupno 85.4
fzyor: Mjesetno statistitko izvjeScc 1198, str.57
a) Koliki je Herfindalhov indeks?
b) Odredite vrijednost koncentracijskog omjera C3.
c) Nacrtaj te Lorenzovu krivulju.
d) Odredite vrijednost Ginijevog koeficijenta koncentracije i interpretiraj gao
voz i uvoz po jedinici izvoza za odabrane industrijske grupacije prema ekonomskoj namjeni u RH 2004., u milijunima USD
Industrijska grupacija Izvoz Pokrivenost izvoza uvozom
Nerasporedeno iz ostalih djelatnosti osim industrije 182 2.7473 Trajni proizvodi za siroku potrosnju 415 2.2771 Energija 908 2.1773 Netrajni proizvodi za siroku potrosnju 1743 1.3523 Kapitalni proizvodi 2082 2.4174 Intermediiarni proizvodi, osim energiie 2694 2.1444
Izvor: hrtp:l/www.dzs hr/ljetopis (14.4 .2006 .)
a) Nacrtajte Lorenzovu krivulju koncentracije izvoza. Posljednje dvije tocke Lorenzove krivulj e imaju koordinate T, (0,833;0,664) i T6 (1;1) .
b) Protumacite znacenje tocke Lorenzove krivulje za T, za i = 5.
c) Izracunajte vrijednost Ginijevog koeficijenta. Protumacite njegovo znacenje. Kolikaje vrijednost normiranog koeficijenta G*?
d) Izracunajte vrijednost koeficijenta koncentracije izvoza C3 • ProtumaCite njegovo znacenje.
e) Koliko je u prosjeku jedinica uvoza dolazilo na svaku jedinicu izvoza za odabrane industrijske grupacije zajedno?
f) Izracunajte indekse uvoza po jedinici izvoza za navedene industrijske grupacije. Za bazu uzmite prosjek izracunat pod e).
jednoj prodavaonici bijele tehnike dana 29. sijecnja 2007. robuje kupilo 15 kupaca. Vrijednosti njihove kupovine, u kunama bile su kako slijedi:
249 249 450 505 536 799 852 1250 1299 2303 2670 2899 3207 4230 7540
a) Izracunajte drugi koncentracijski omjer i konkretno ga protumaCite. Ukupan pro met prodavaonice toga dana bio je 29038 kuna.
b) Na temelju grafa (Lorenzova krivulja) odredite koja od nize navedenih vrijednosti odgovara vrijednsti Ginijevog koeficijenta koncentracije:
0.1 0.2738 0.4965 0.899 1.0
1,-______________ ,
o 1
c) Kolika je varijanca i standardna devijacija navedenih vrijednosti nap late u prodavanici toga 15
dana, ako je poznato daje L (x, - X)2 = 55135592? Sto zakljucujete 0 disperziji podataka? i- I
d) Za navedene podatke je a 3 - 3 = 3.672842 . ProtumaCite konkretno znacenje navedene mjere.
e) Za dva numericka niza izracnate su, pored ostalog, standardne devijacije i koeficijenti varijcije. Koeficijent varijacije prvog nizaje 55,4%, a drugog 67,6% . Sto zakljucujete 0 disperziji podataka obaju nizova? Za koji nizje aritmeticka sredina reprezentativnija?
DOMACA ZADACA
LORENZOV A KRIVULJA. GINlJEV KOEFICIJENT.
Z.l. Izvoz po zemljama CEFTE, uti ' USD d bl" I-X 97. sucama , u raz 0 lJU
zemlja IZVOZ
Ceska 46363 Madarska 48791
Poljska 46759 Rumunjska 15076 Slovacka 22112 Slovenija 529554
a) Koliki je Herfindalhov indeks?
b) Odredite vrijednost koncentracijskog omjera C3.
c) Nacrtajte Lorenzovu krivulju.
d) Odredite vrijednost Ginijevog koeficijenta koncentracije i interpretirajte gao
DOMACA ZADACA
(3 DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA
~ Y'''' 7-0..... .::za..~ct CG
Z.1. U Statistickom Ijetopisu Republike Hrvatske za 2005. na str.126. navedenaje sljedeca distribucija nezaposlenih osoba prijavljenih na zavodima za zaposljavanje (stanje 31.12.2004.):
starost broj osoba u 000
15 -20 19.0 20- 30 101.0 30 - 40 70.2 40 - 50 39.3 50-65 18.1 ukupno 247.6
Izyor: SUB-2005, str. 126.
a) Distribuciju prikazite poligonom frekvencija. b) Izracunajte prosjecnu starost nezaposlenih osoba. Koliko je prosjecno
odstupanje od prosjeka izraZeno apsolutno i relativno. 5
I/;x/ = 294364.375
c) Analiticki i graficki odredite medijalnu starost nezaposlenih osoba. Interpretirajte dobivenu vrij ednost.
d) Izracunajte vrijednost donjeg i gomjeg kvartila, te odgovarajucu apsolutnu i relativnu mjeru disperzije.
e) Izracunajte vrijednost Bowleyeve mjere asimetrije za navedenu distribuciju. f) Izracunajte raspon varijacije sredisnjih 80% podataka.
Z.2. U Statistickom ljetopisu Republike Hrvatske za 2005. na str.126. navedenaje sljedeca distribucija nezaposlenih osoba prijavljenih na zavodima za zaposljavanje (stanje 31.12.2004.):
starost broj osoba u 000
IS - 20 19.0 20 - 30 101.0 30 -40 70.2 40 - 50 39.3 50- 65 18. I ukupno 247.6
Izyor: SUB-2005, Slr.126.
a) Distribuciju prikazite histogramom. b) Analiticki i graficki odredite modalnu starost nezaposlenih osoba. Interpretirajte dobivenu
vrijednost.
EDUCANS ~kola za poduke Iz
matematlke, statlstike I ra~unovodstva
Svaticev trg 13
4828426 0912022483
c) Izracunajte vrijednost Pearsonove mjere asimetrije za navedenu distribuciju i interpretirajte dobiveni rezultat. Pri racunanju koristite podatak da je prosjecna starost nezaposlenih osoba 32,81 godine s prosjecnim odstupanjem od prosjeka 10,60 godine.
Z.3. Osobe prijavljene u zavodima za zaposljavanje 200 I., stanje krajem godine, prema godinama starosti
Godine osobe starosti u% (15) - 18 1,91 19 - 24 34,94 25 - 39 43,95 40 - 49 12,28 50 -(64) 6,92 ukupno 100,00
Izvor: SLlH-02, str.l 03
a) Kolikaje bila najcesca starost osoba prijavljenih u zavodu za zaposljavanje? b) Zadanu distribuciju prikaZite povrsinskim grafikonom. Na grafikonu naznacite polozaj
izracunate srednj e velicine. c) Izracunajte prosjecnu starostosoba prijavljenih u zavodu za zaposljavanje, te prosjecno odstupanje
od prosjeka izrazeno apsolutno i relativno. Koristite medurezultat 5
L~X/ i=1 1116.31388
100 d) Izracunajte vrijednost Pearsonove mjere asimetrije .
. 4. U "Statistickim informacijama 2007." DrZavnog zavoda za statistiku na strani 65. dani su podaci 0 broju stanova za koje su izdane gradevinske dozvole u RH 2006. godine, prema broju soba. Podaci su dani u tabeli kako slijedi:
Broj soba 1 2 3 4 5 6-8 ukupno Broj stanova 3256 7428 7244 4414 1794 1381 25517
Kumulativni niz "manje od" 10684 1728 22342 24136
lzvof. hup .llwww.dzs.hr
a) Za navedenu distribuciju stanova prema broju soba odredite medijan. b) Izracunajte prosjecni broj soba u stanovima za koje su izdane gradevinske dozvole 2006. godine
i ocijenite reprezentativnost izracunatog prosjeka varijacom, standardnom devijacijom i koeficijentom varijacije. Pri tome koristite sve ponudene medurezultate:
6 6
L!'X; = 76137, L !'x,' = 281307 . j .. \ ;=1
c) Koliki je najcesci broj soba u stanovima za koje su izdane gradevinske dozvole u RH 2006. godine.
Z.S. priopcenju Drzavnog zavoda za statistiku, broj 9.2.7.12, od 29. studenog 2007. godine, zabiljezeno je krajem lipnja 2007. godine ukupno 1,609.000 zaposlenih osoba. Broj zaposlenih prema godinama starosti bio je kako je dana u tabeli :
Godine starosti Broj zaposlenih, Velicina Korigirane tis razreda frekvenciie
/, i, / ,., 15 - 25 134 10 134 25 - 50 1003 50 - 65 424 282.7 65 -(75) 48 10 48 ukupno 1609
)zvor: http://www.dzs.hr
a) Distribuciju zaposlenih po godinama starosti prikazite histogramom. b) Izracunajte najcescu zivotnu dob zaposlenih. Odredite je i graficki. c) Izracunajte prosjecnu starost zaposlenih osoba u Hrvatskoj krajem lipnja 2007. godine i
ocijenite reprezentativnost izracunatog prosjeka varijancom, standardnom devijacijom i koeficijentom varijacije. Pri tome koristite sve ponudene medurezultate:
4 4
I/,x, = 68032.5, I/,x,' = 3101119. ;=1 ;=1
\ '\
'1 <? cll.-"'-.O- o?O~
')'\ "<lV-':)'> h Lc- ' /,
ll'n- '6 Vl A
t q -2-'\ :,'-L'3lj
Ls"- :,'3 ~'3.L '10 - 45' ~ l. ,£3.
yo - (COLt) b,:ll
kt),oQ
L( == LS a. "" 3>'i ,'1 4 b ,- ~ "SSe :: n,78 1. .= I S
~
'1'~~. _
AS'- f3
19 - 2." __ 2S.=:!"tD- \1'0 Va.1.-" ,
'10-\0
SO -Gr;-
'0) ~'Jt-o'fv~ ~k \rv..C-\ ~ o')oVe. M- t, so
40
20
10
><; \,; X;
n :, L. ~=+
'L"2. :t<:, ~. C:, 2,
31,S A4L8,)+~
4Y SSl,b s+S ).~+. '2
)~gO.OL"S"
u...&.\~cAC::~ ')~O)T O')~~ ~~i"'v1~~ '-'- '\-&-uoclu... Cd. t....1( 0 ~ JLv '"-'-'-~ e
o -+--"I~Y--- \---I--- ',---
'1~ ~l"'-"O,,-h so IS 4'3 z.s: Ii",
I~" oil.. '. S VII-I -02) ?tv, A-:>O.
"'-~ ~ +L c·1..u.o. nr.. ~ l.Jv-Q
K =- Z"1'i x; ' - ;,~ SO, °u - 3 A, 'C,cx:n.S· ~oo ~CO .
')l--a.u..~ ~ <>le. .... 'c \ <12 u::\ .Q.
<S" = 1\ LI='; )<. ;'- _ x:. L .::0 "0, '2."1''38 ~ lOo -..,..~ __
~~\uil VcQAA.'(~I'e.
\) =- U. lex? = ~2,2::, t, x
0\ ') t'e.-<9uv 10 u..-OUUL ~<!A--U2. oQ....,~ v..-...o..:\-';;' i e.
"
- \-1 S\t.. =- x- '" =0-:;4 cs- ~'-
_~ ===- S"- "-- ~ :::OJ o\.C""~~':L\«- \12 ~LI( IO ~~\i..u----o Q ,.';, ... k."j.Avt2-UA.\l.
~. ~.
\ \ "o~ ",-\-uu....o V<Q...
~ "Y2sf:.
2- =t- '-\ L 2>
3 =t-2l14
'-I '-\'-\ \\..l
'> n S'l
l.". ' . . \ <.SLR u \"A~ , II
"'-'.., "~" ~
bll:b\ ~v!;.c;;,'-1 1"10
~ "=! <:J?. S -- -_._ .. _ ... _. 223'12
LLi~)"
? IH..L~.;"1. \J....Q...
q v o,Q~~ __ ,-~_
o.s ... A, S
I,.S'" 2. 0.
1 .S - ').'" ME<- ~"'1.V, _._ .. _---3.') ... li. 'S
4 , '5 '" S. 5 (, -'2, A:' 2 ~ en s \ =t- [ " ... Q ...
.0 , ,> ... 0:)_ ...... ~ _____ _
'2. S- S- A =t
He.=-l.-+ .b!.. - L of" _'2...~ ___ ,,- ~ '2, =l 9 I'V v::' \... ~o '/. ,,\~U&. ;"~-:z..
~-
-t ~ . ~""-v-i <L oJ c.\ '-. -=t "'i -x>1"...Q) "'- O\''''--Lq ;:- ,,'-L~ =-'2S
L!-1 =- ~o C,5 Y
-+ ,-,-,-<-vl.,:::: 1- L'I 4 "'- :::: t1
b) Qv\: ~ -\-'- CA.u.o_ ~""'-.~ '-"-'-Q
S-o ;,- . u.: -') ~ od. L. i ' j ')0\;--""-.
l( =- L h. x. : 1-G D =t-- ==- '2., '33 :,!$ T +-~ L 'S'" :>~ 4
U"'-- v ':'i~ L-Q
L+ ' ~ 6'--= LX, - , :X" ::::- L , I-z.A'Z. L+-~
')~~v ",,\..ua, alu::> ':.. \ ......... ~ i '-"-G'" =- ~",-- = A, '-1 SIC, '-1 \"" ' ;~L v-- O o~'''-'--\l '''-'-'-i e..
A:V" "" '1::~u ... .o a...rn", ·k-\-u....o ~...::..;. \ \'..L.L -\ v""-'V'-i&.~\e
\J =- (\ ,\ 00 = ';:! 3 ,~ ~ 'I, x ~.., y:::C ,--,--,-=> o0J.0 hS' <;J ... u..\" .0.. \"""'')~~
L'l.'" 0.. 'L CLu:::l ~o'i\.- u u...O
;:::> o-vc ~h...~~ ? v-t...clC\.J...sl. \e.... '1v,<-~e. "'<:.~'l.~j_",)hJl,:;;\L <J~
-'lc" S o
~~~ ~~~. ~u..S> M V 4 Cv "'-UQ
~O?~ .... 000 V'"-1.-v-t.d.Q f.~v-t.LoC:;;~
.:t~ .
:t5:.!~_ . 1-" .-I:'> -1..S D~ hO 0'-1
.•. ---2S-- 50 {co:!> 12.s 1 \ ~OU_ \
f---'--" - - ... --- ---S'O - 0S" 'n.'-\ \~~ \ 2'6l.=t
~s--=tS _._':Li3 __ . "0 -_._ .. _'---~(.O:!
a..) ~l),-\L ~ +v-tLv-L<.A..cL\~
+ c..; ::.. .+..:, \ ',.
t..:..,?'\-o i'~""""" cJv.:..? IV;.. h...... u:.( e ~.
1..Q...\,o~tJ:.1A. A-LOCO L(,O
.... eo ~So
:>co 2.'>0 zco Jro
4~ --.--
\'\0 VI<L 1.-v, -----
1-----
/'
I
~oo
so o tJ~- -----+-~---<--_I______+___r_______\-__!____I__
~~ 2.:5 H Q S'O b" +'S ,,\o~
1t,\JOfL' !....-\.-\;'\': II W"l..'l"",.c!,.'1.~ lw ~o~~
L ~ '::. 2.s-
0... -=:. \:::,~
b ~ 4o". L c.... - "2'r;2.~
1- 1..':\
"'-'<Li <=u; (.Q. "G:..:>oTu....a.. ~'v- '\..~'?=~L.... \L '-\ L 'f <:> cll.\.AI1.
t-) ""-v',~~c::~ ~L<..AQ _ T.\'.;.Y...,· G,'SO:'l.S" -=-4i. .1S .1-')
)(- ~
rt; \Go'3
vo... '-~ i lJ1..-U.- '-"<
CS" '--::.. L ;:.: '>< ,<- - X. <.. = ~ Y'f S 'J <) 1 2.... ~;
?~~ ~~\"-~iUL
cs:- -=- ~ ~ 'L == ~ II . ';:. ~ ~ 1\ ~ "L.L.CA.AD '" c,l..:,~~ e. <o,A \""'''' \C~ J.. \...'-' "'-'L. L.LA..O Q.~':> ~~
~c....::. \Q..L.L"\: 0'~\.s<...e-L i e
\J =-- c;: . IOu =. '?::..+ . '3 y/, \.,.:n\~c..\.A...V oc9--J~S'&,,-,--,\e bel-. \"""'''\~ (..1..."'-'2.. '\:.<:...LuO ",~,-"U ~
~ O~ L "'\·-U ... <..Q.:n ~ ..., ...... ~ \..J...A<2 ,(' "\r<....~ «- v-<...~'~+\2 ... '\ l. V"'-'...,\
, ;t. '. Dnevni utrZakjedne prodavaonice (ll tis. Kn) u tijeku odabranog perioda prikazanje S-L '
dijagramom:
\ a..)
Steam 3 4 5 6 7
Leaf 244 135 8 02567 24448 189
Multiply Steam.Leaf by 10** + I
# 3 4 5 5 3
a) Koliki je broj dana biljeten dnevni utrZak? Ispisite svih N podataka. Koliki je bio prosjeeni dnevni utriak prodavaonice u promatranom razdoblju? Koliko je prosjeeno odstupanje od prosjeka izrazeno apsolutno i relativno ako je
N 2 LXi = 63931. ;= 1
b) Da Ii se dnevni utrzak od 80 tisuca kuna moze smatrati netipienim? c) Kolikije raspon varijacije? Odredite vrijednost medijana! Kolikije interkvartil, a koliki
koeficijent kvartilne devijacije? Nacrtajte B-W dijagram! d) Odredite mod! ~ . ~ e) Odredite vrijednost dJ~to"~clla! It ~t-..:. \G ""'--'V"'''- ~., '-'-\ ~Lt. C;O/. ~o\'....,. ~~ ~
f') t1.oeL:~";"~~ ~~ . ~~ .
Dg
SO S" 2 S$" Sb S+ 6 L G'I b'-\ G etC: 3, -=I ~ :l'l, =!?
Q.':,~-h ~ "-,,,"c..ct.:..c..vs>--
K -=-~ ::. 10:!>3> =: S ~.b ~ W -v:;J
~~e.l...u...a.- ~~i <SLcl:. i.s<.. cr- ==- ,I :ex, "1.. _ x'- = .I"'IS-:>-'3-;'~1--_-S-~-. -,,-S-L- = 1. L . <:i''3 b L
. ~ , \..\ . ~ 1.0
~ c.:... i ~* "~i UJ.-cLi e. \)
(S"'- ~ • :=.. -=- . to().=. ~ '-to .., L. t.
• X.
. ('0\ o-b-u..~~-V.Vo2-l...L.G2. '-'~(~..,\- ~~,-,l.c\...u... u~\cJ..)-U K i:= %0
. 'x.'-~ l 'L.~ = ' -=- A. L "'" ~ -1. 0.') <S' ~
="> ~~ ,u..-h, 'C.a.h. 0""- '&0 *'.? ~\.c.u.. \..L9- ~I?. ";)<2- "'''''-'-d.>.\-v "".\-.: "-L-\-\. ~ C:.- v.5- '-'-<- • :C~v-L~ 'X- -\.~~ __ __ __
\. c.) '" oo;n "0 v... v~ \,Sl. cL \ I?.
1L)( -=- )<... ~'K- - X. v..V-""'-. =-=-:::' dvv.Lu>~ '-'_:\ v '; .... ~
~&..L' Q.Q...L
.l::!.... =- 112. =. \0 _ or '- '- -
\-\0 = ~ lK'o+-y""\":: ~l'SS--\-5b) =S:>.'S" '- L.... 2 _______
=;, 1'~'-'~\'- So 'I . ~~"'- "'--'<:'\.~ ~Lo 'r' v-.'-.J.D..~c.. '.t.lA..- \Oc>... .... '-"'...tI..0 ,;S . S -h..., . l.u.....) Q.. ~ cl... ~ /. v-<.C~ cd <; s .:"- \-\.:> . \v......
'9 0 ", .. + ~hl :> l..\ _ ? .l..A:J ::0 ~ -;;- =- V
\....\ - \..\:
Q:,~ ~ \ x.,,,-+-Y..< rol":: ~tGO", +-c;,"\':=104 L. ~ r---
=:> l'"~,:,,, 7:>,,1. o>v .. '_L<.?~ I..I..-\'V't..a.-~ ""-La 'y=.~e. i.).....::' ~~ (, '-\ -b:.? ~ .
.i \.J--\: e.-v "'-.u a..v ·K Q. , ~ c..-C. \ " .. LA .. '-\- Ivv-o ~ ~ ru....u:", "- v:: \ <;:.
.l..o.... =.. Q." - Q, =.. <0 \J, -L;lo. -::: 7..0
\Ja.. =- Q.,-Q A = D. ~8S 2. -Q.y+Q , -
"-:;, ~::';'-'1 ~L... SO /. ~ .... U_R..'-" u..;:"v.. u..-\v~<>.hQ.. ~ -t-<>..~..,e,. <..A.
v."",?"" ~ =-L 1.0 +V:> . h.u. I O~~ AA ~~ "" v....D'-'-'
.t.~ A& .. S"L'I.
'Q, - w ~\.<Z....~Y-~
Q., b."" G.~ ..
\ YL
~ / /// . / / /
:. ' SS.:5
.. )<.
--/ .. "13
I-----~----+----->\----.\
GOi .'2S ,.~
~'fL e4.uQ.. 2. \-.\ 2. .7.. 0
10 = IO =- ~ :0 V
6~ ~Q..
8L\. _ ~ . lq = AC, ~v \<:;:> . . - 10
""""'\''''' ........ ~;-~<i..L. 100./ .. \,o~ \) ~ - \.)." = GG ...:.,,'-= 2.'-1
- , )<.. -
, . , i
Llo. U FinanciaFTimesu od 10.1.2000. navedeni su podaci 0 trzi§noj kapitalizaciji banaka (u milijardama funti). Vrijednos\ trzisne kapitalizacije za 16 izabranih banaka analizirane su pomocu programske potpore SAS (varijabla =.banka).
N Std Dev
Mean Skenwness
USS Mode
16
11059.43 21.1
Qvantiles
Sum Variance Kurtosis
CSS CV
100% Max 65.3 75% Q3 24.45 50% Med 20.3 25% QI 15.35
0% Min 12
prijevod: Std Dev - standardna devijacija V' Mean - aritmeticka sredina v V Skewness - mjera asimetrije USS - zbroj kvadrata varijable Sum - zbroj vrijednosti varijable Kurtosis - koeficijent zaobljenosti CSS - zbroj kvadrata odstupanja
vrijednosti varijable od njezine aritmeticke sredine
CV - koeficijent varijacije II Quantiles - kvantili
)69.5
7.778141 2526.289
a) Kolika je bila prosjecna vrijednost trzisne kapitalizacije banaka? Odredite i druge velicine koje nedostaju u ispisu obrade. Objasnite njihovo znacenje u konkretnorp slucaju.
b) Koliki su raspon varijacije, interkvartil i koeficijent kvartilne devijacije? Interpretirajte dobivene rezultate.
c) Nacrtajte B-P dijagram. d) Moze Ii se kapitalizacija 65.3 mlrd.funti smatrati netipicnom?
La..) \...I=' ~<O
Q..v-;'~hC\......a.. ~.....a
C =- ~e.'3 _ S- _ r- Ie. -"2" . o~ :;~. <;;
') ~"'Wk __ "'~ c-l.u.o~ (U2. wi <.SL
" = .1 z .... )< ;'-_ x- "\ ~'-\-~-O-s-"'-"-.... --------'-" ~ = " . ~ --' - 2.".0"1 :'"1 S '- = ~ L % "5 S- S-Ic;,
v ~ i.,;u...o.c..a. \f"'- = ~;;- =l . % ':r~O 8 S" "'?
~~c.LI<!...-<....L", V~\OL~\~ \) - () - x: . '00 =:: _S~ . '-1 ~ /.
• \"'"'" ~\LR-Vo-O ocl-A"--'-i><>-..... i<' 0 < \"'" ?\~ ':,_ v",-~~ "'-?" e<-~\._u:
"-'-\ 0.- a..- ~ CA.A.J>--h ( ~ re...~",ol..J.....V(J~
O , LL
1.'0 \ "'<.1>-'>'(0'-<. u~ i"'-u.': \ e.
\L )< =. X "-'-"'- >< - ')< ~'-'- =: G, 'i;' . ~ -- A L =. ~
=::> """,,, \ ~,,~ ~ "'~';UAl ~ ,,'. ~'1.AQ. c..:. \ e.. ~ k\-a...~ ~ ?"- "-"- v-00\?ov...v... \; 0>. ~ ~u.. \&-vck. \-............::'.,;"
;., ",,: \- """ \tv.- <.J2.-v K l \ ~ ~ ~ i e.,........ -\- """"-' "-v \-:. \.........".. .9-........,;:, \~ \ e..
.1.",-"'- Q,,-Q, ::. 2 Lt.ltS- -'lS'. ~S"= '3.1\
""-"-'" V"'....... ~0v.\'J....., ~q/. ~.;;.:\~')\;, "" ;.-:..;-~ ~\,~.~.."L:--"\..<.Q.. u:.. \ <2. .l.A:' " ,0 n, .;:2 ~"" \ e.. '3 , ~ ~ v 0\. , .g. ",_,,,,Jc":') "'~ ~ -LA. ~ K '-" u...O ""-'- -C V-'-O """"" ool l.. '1. . 'i!. CO i' ,
<0 S', '3
~--__ ~ ________ ~ ____ -4 ______ ~~
\0,3'. ?
\ci.) ,,~~ cJ-C.-V: v "'-' " 2 ..., "'- \ ~\- \.oO..A..L '-<..oJ....A-C:-lu..... '-' ~ \~ ')<. ~ ~ G, S . '3>
.., 0 ..
~L -
~") t.c..a.,?~~'Wl-c.l.\1S2- oel. Co '\. C, ........L..,cA. , 't~~ ~v,.......Q,.\v",- .,<:" \..UL.\-c, ;'C:u..oL,u ~~\"""'L~ "€'. -\;~:. __
-t..o '5'0 Broj izostanaka radnika zbog bolesti tijekom 18 radnih dana bio je kako je prikazano u slijede60j tabeli :
X; ' Mean
"9 {.2 Median
14 --I=r Mode
t5 H- Standard Deviation
t'1 I{i Sample Variance 52~50
B-18 ~
20 22 23 25 30 31 36 350
Kurtosis
Skewness
Range
Minimum
Maximum
Sum
Count
Five-number Summary Minimum 9 First Quartile Median Third Quartile Maximum 36
0.285
0.867
27
9
36
350
18
a) Popunite nedostajuce rezultate u gomjoj tabeli dobivenoj deskriptivnom numerickom analizom pomo6u programa Excel te u tablici "Five-number Summery" dobivenoj programom PHStat2.
b) Objasnite znacenje svakog rezuItata.
(Prijevod: Mean-aritmeticka sredina; Standard Deviation-standardna devijacija; Sample Variance-varijanca uzorka; Kurtosis-koeficijent zaobljenosti; Skewness-mjera asimetrije; Range-raspon varijas:ije; Sum-zbroj podataka; Count-broj podataka; First Quartile-prvi kvartil; Third Quartile-tre6i kvartil)
izracunajte koeficijent varijacije i napi§ite §to zakljucujete 0 reprezentativnosti aritmeticke sredine.
c) Koliki je raspon varijacije sredi§njih 50% podataka? d) Nacrtajte S-L dijagram.
(0)
\c.)
let )
, r
\..\. =- ~ 3 Z:-x ~ =- :,S-O ,
)( '~"- == :s ' )< '-"-'-"-)<.. =. ~b
_ -i:x~ x =- -- = ~-:l'." 't w
-'~~. ~~(~u.i""
u = f()~ = =I , '2. CIS"'l-~-.
LA..U:>cL \"10 =- ,Fl· =
\""" " i e. ~ ocR-o -T-v...\, "'-'-'-i.~. '" ~ ~"i QJ .. ~ ":"vV"'-'['U.A..O ..... \.> ,~I.;.<..o,",",
"'-'-<-c9...:.. \ c2..'-I...
~ =- <j'.::. V "e.'=' ~ (Xg-\-K,o)= .;.... (1'1-+1'1) = Fl· ,,\,V,,:..'-<. <;0/, o/vQ.~ ~,
;.. .... o,~ ~o i"'- ~'-'\~ ...:.~ \<.~ t"tl 0... ~,k \0/. d..o • , <"1. ""-(...c oct ~ ~~ ,
clo,,\ ~ \""~"'-L\-Ll ~ ::: y.. 'S" ,,~S; Q. • "- X.s-~ \ S" '-\
I''''V~lo... ... "'/. ~ t.",;, < 1...0 ,-\u.... ••. ., II"", ~ ~a '-"·Q"t~.:k \~ <S'
'1°" '-'-1;:' I.v- "'-', k e. ~ '= I:>.:S v"'-\lI
l..\
Di.. ~ -:::. O. '8. (; =t
-2.. = <>< == L -') :!>
0<.." 0 , L8.5'"..::..::>
~"v~\....... -=t:S- '/.. '~ ~ \ L'\.O ?-\-.... u..u;..lu:!.
"'"'- v • I •• 9 I U, ~ ~ \ •. ~ .. l..-. 'Z.. ~
~oot..s>.u. ~ ~e. \,o~-Ku......o CM":'~\v.:.o:v...:
:') \,0 oL-...."":' """- ~o ~ Q.A.4 \. ~ oct. u....o v ",-,-",-l~ .c. ,,,,,,,-~~\ e
\2..)L - '2.."+ ~"' ~"l..O ..,+,0 ., ",\. Q... ~ ""-,D ...,~ u.. " ...... ~ ="- '"Lot- cl.-a.'-"-"L
, ~~""-'--1;' ua.u\..\~ \I!!. \l =- - . ~oo =- ">1- .. L:j..-/.
x. ' ~ ..,\ec..v......o ~~\>~e CC9- ,?YO"'\~ l.t.v"'-'i. .... L.<..O ~\ .. ~ ~
=J ""~"'- ""'-?~""-\CL ;"'LO)\-uz...~ VO~~
"- v... ~!'.N \..v..J '"-c -\-C <l
-la...=-Q,-Q~ ==- 2::'- A~= ';$ ~'::> "LA-? \,<0 <.A..- ~;'u..\~l<. SO;/.. ,~~ ,~ Cs
S - L ~ 'I U1...<\, v U>.-U.A.
0\ 'J A \ ~ 2 l< ,. G =t +=} "+ ~
L.. \ 0 1- :, S'"
~ \ o ~ C
.:;.) s 'i?<:: -= 0\' ~y
-\ c. 0 "'"""'-\-C S':J
V\. = "\.. _._ _ ho\-
'r -'0 Or=~ 1 L
~ ~li -= ::J t ":J' 2'1-rY">-<YY'(l-I' ~-~ -'\ .~ d->-;" ~
j1.1" "\C ·..t:OO/-l; ~lS ·."liOl\~ \ CJS 011 O~\,j 01 S I
,--~--t-~-t-..--~-o 0,
01.
OC;:
0;'
ili' Q:')
at 0'ti Of,
ao~ CXlG yo{
o tI -O>-')OLO
~"41" C> \T1~:'+C.~ -y<Y"i!P.I\J,~c.:---t \"""0
I jth"Z.
-to· LV S. \ i . v . ~, S"'-OS ~ -be;. , , Ot i c;:. b c;: 0-"-a+, c.-Ot 0\ L'Ot Ol)-0(.
----- '/)'L1P-'\°4 o'tCn Or O'IOr 0<;.-0"(. -
~e;. .s;: OSi O<'-.5.y
------'-0 J: ~"\ COo -yy
-"tr'-'\ G>C 0 I. cvvo 01. • "C
3-v'I C"'(O <> ~ I) t. . -t:. -z. tJo -yyy"\ otlC--1l' -" ...,..., d<" "I""-t-""I '1~.."y.OU","l.""'" '/.00 'l~.I-n~:""P">-I-.'" ¥-"'~c
0, -= "\. <;: 'b~ -=-. -n-)o t (."0& v -=-'1:::z.
0" = ~,
. ?T)"t
v£·81-.-:: 1.. ,.., +~l-o: bCl, \ +-:::l. -- C N c;:.
0\ Q\
h '2> ."z. "2."2. == 0)' t.)...,? . b -= N b
)-;>'00 ~
h-t:.-t-z. ='cS01-vo;:81, 'CJ._bQ
i.s 'm -= 1..,
o·v -= '" O'~OV ': 'J"l"l"t
O'hY "" "-;\:7. 0(. ::: r I
""I'T '-J h +. \ -= J CL :z -rr
~t'~G-::: Cl\ _~ =r-l:.l-" -N
"C:''fl ~ Gl~
~ -'" ) <1 -,\; G. ~ 1:"
h \ ~()\o--\~~~ ('(\~~.' ~ 0=(;,0(1
L~-'LO ""- = :, 2, b _ ~O~ . O
c.... - ~. c.
" =- AO
'-'v.9~\ C-U' ~'a ,,) 1Q..v 071 lAL C($L ?o-,k,"': ~ -t.~\..sL.. \e.. 2.G 1'" c4:u-<.Q.
c..) \" G;..avv "<::> v....-o.::> v -.9 ~ '-.Ar UL <>L-~ \.V&. \:v; \ 12.
)( =-:, L_ ~ 1} ~ = A 0 . c"O
.::::- O.S+
d\
e.)
wo
o L-~-+-+--~~4-~~~-41-----
3p 40 m c:,S' ..,~,,\-ts- 10 \~VOQ.·, - _ _
"I:.
2''-1"'1- ,I;;, =- c;:, A q
4 J:,L -"27' Q .::. L -t" +~
I ~
~ ""''''V ,
L ~ ==- '2-0 Lf, :::c A1,O
-+"'c~""V'. "'" AOA,O , = ~O
, L . -'-."t era v ..... \;:. Y\..V """"" v
'OW _ :'-'2\{+,C::> _
L I - ::>0
T+, - A20.0
-t h... "-". =:. ':\o.L ~ = W
,\,vv ~ "'- ?':s: '1'. v...L w>-~o ?Q~ \,., "?CJ \,-..z>_ t.: \..0 i~ ~c,.t<e... vel '1.'-1 ~od,.,A..v-..Q..
TV v;:,~ =t ")'.f. ""-'--""",\,o ~ \..... ~Q. I.h-\..:, (Q.. <.L,~<J.e.. 0""- ;, "1 '" ..,c' ... ...uq
L ...... t ~ \-...u"'-V-I:;"~ J ""'-\.? ..... ~ c:.. \ e.., ...... -.\ Ivu.. "",cc\-~ t.<.<.e J..Lu 'v\ ~ \ e ..1. Q. =- Q~ -Q, =. AS". A t\
~\ ,
:> tuu--o:>-t O?oV-<::L "'-~ ~: 'l<.L ""- 000
LS;- - 7..-0 ~'5' . O n.s 3-:?2.S ---- -"--"--'" -- .. ---- -,'-'--"'"
,. __ . -----_.-.'. -----'"1.0 - >0 --"" ---.-=--t-)O~,.Q '2.s- "2S1.S _ ... -.. _-------- .. __ .. __ ... -'Qo -40 :J-O :z.. - 'JS" 1-.--- 2'1::'.3 __
---_._._----~o - !'Q ~S' . ::, 4S I\"163.s
so -lOS A8 .11 S't-s ~\Q40::fS-
2..1I1-·G ~"2 ).i·S
""-) ?o..~i°U- :t-v-d.o..v-<:J....Lc..L\Q.. ~I
0'0""'-- II 0 "'- ax? ~a?
9D <;:0 ~o
bo
so L\O
~o
1.0
\0
~Q~Wu..:.. v...:.~ ocl +, ---_._--_._-
~'j'.O ------------.---.- .. ._-
no,o --------- ---- --
~'30.'2. \'1 .-_ .. _------ ._._ .. __ .-_.--_ .•. _-_.'-_._---_._~L~·_:S -.. ... -- . _.
2Y+.G:, --.
o ...,I--l·- I-·- t----..-f-~-_4 _ _____t' ! I I:> l.o :'0 40 sO ,,1> ')\-.ll..uo:>-t
I<-"o~ ~ SL11-1-l..OO1'""tr . n _G.
\::, \ CLv~ ~-t\.~ ~c..U.uAl.
x..:::.. L~'¥..: ==-- 817..;'.71:> =- 0'2.'.30'3'3 '2..~. 2..Cj~.G:, .
'J~ ~ c4u'.. i&.u. \ "'-()::=. ,\'2:: t x;'l.. _ -X"" =- J'-2-.:r-,,-)<;-lj-·---:'-1--S--_---:'-2-.-'2,-0-'j'-S-;:;: AO C.OQg
~ L:: -~, V 2-'.-\ ':j- .c, ~~ __
L.oW c..L.\ o:...u... --\- V'-'2-Y:L \.s>.- u. i ~ \j =- ~ . ~a::J = :''2. ";) A I.
x.
lV'<> '\e..e..'-LAO a:L-:rk'i'~'e "'C-\ \",-",,7\fu.a.. ~'t-V\a. 'L,,-u...O Q",,,,,,,t...ch,,.-O
~?)c!--u..o CJci.,-Jl..'-_V"'--v...~e. ool ~ ~~ J- l..-v'-"'. <"~u.o ~ .. ,-,,-,l'\._ '" Vo.A;J
." v--c..c.lL:L.c.,&.\,,- ""'VL~ "- 'H..\"",-l .. R ............. '1<Lh.: u ~ ... :;> ",,-vi.. ~--h. c\ .. t...:L
I.U...LclL \.Jl..A..L. .hi. _ 2'--11-.(" 2....- 2-
he-=- L~+
L ~ =';'0 2: -\'- , = ALO +- ~:=- =1-0.7..
~ = ~o
1'< ,,;-:\..0... so r. '-"'-: \.Q...\,O?~ I... O'l\9\ro... t-i.,to '\"-- ~C-\-L oJ. 2:0 ~ ..... ,,Q.. ~'\"I.-<.. so /. .J\-<Q..v;:' II<. <>0\. . '2! 0 ."" <Dol:': ........sl..
l r.-'"
DOMACA ZADACA
Z.1. Zaposleni u trgovini u RH,stanje potkraj studenog 97. I . I i prosjecna neto placa po zapos enom
vrsta trgovine broj zaposlenih prosjecna placa u tisucama ukunama
trgovina na malo 63 .8 1988 trgovina na veliko 44.0 2739
robna razmjena s inozemstvom 5.9 2754 Izvor: MJesecno stat. lzvJesce br. 1/98, str.38. 148.
a) Kolika je bila prosjecna mjesecna placa u trgovini kao cjelini? b) Izracunajte indekse prosjecnih placa za svaku od navedenih vrsta trgovina.
Za osnovu indeksa uzmite velicinu izracunatu pod a). c) Dobivene indekse prikaZite odgovarajucim grafikonom.
Z.2. Prema posljednjim podacima turistickih agencija raste broj nauticara koji se informiraju i obavljaju uplatu iskljucivoputem interneta. Podaci za 2007. godinu su:
Broj nauticara Postotni udio nauticara Turisticko odrediste koji se infonniraju koji se informiraju i
internetom placaju internetom Sjeverna obala 750 29 Srednji dio 925 16 Juzna obala 1050 30
a) Izracunajte prosjecni postotni udio nauticara koji se informiraju i placanje obavljaju internetom za sva lri turisticka odredista zajedno.
b) Izracunajte indekse postotnih udela nauticara koji se infonniraju i placanje obavljaju internetom. Za bazu uzmite prosjek izracunat pod a).
c) Prosjecna cijena dionica portfolia zabiljeiena najednoj burzi u tijeku 25 dana bilaje 127 centi s prosjecnim odstupanjem od prosjeka 4.08 centi. Pretpostavlja se da je kretanje tecaja normalno distribuirano. Jedan broker procjenjuje da ce u vremenu predvidenom za prodaju cijena iznositi 149 centi, a drugi broker procjenjuje da bi ta cijena mogla biti 123 centa. Koji se broker izlaze vecem riziku donosenja pogresne odluke u poslovnoj prodaji?
Ylj.o
'Vo~~ ".::t"L~~1..J..A.2... ""I .... ~I..."'-v?\::'-'C>~
x..==-L 1-\; );-,
· ICO _
[c. ) \V-UL-P:~ ~~ t
~7...0
~;\O ~ / / /
//~
30 ~ .~
.// ." .' / / / / / // / / / .. ,
,. , / f "
./ / /
/ / .-
'/ //~
"""I.-.....a. 'V",""1.~ eu..::.. ? A.-~-\:vO ...............
'5v~ve..u~ o~ -=tSD '2-'3
'S-.-..cLu.:\ ~ ~o 'J2..S IG 64. O~
J '-'-~ '-'-"'-c\r ... ~ \ os.-O :'0
. 1<.::>0 -
"" __ Y. ; -3<: c -
CS
.6 , := S. -::, '3 If [-211--\ :c '" = - o,';j '8 G, t-'- \ '-l '\''''"''C 0e._ ~~v .i.~-u:.. \'~ \k.t.~ V~'-L~
~~.....:Q:~ ~e... T,,"'-A.~':
z.s. Ostvarene investicije u novu dugotrajnu imovinu (oprcmu) u 1999. i postolak uvozne opreme u odabranim gospodarskim djclatnostima Rcpublikc Hrvatske
djclalnost ukupna vrijednost opreme postotak u miliiunima leuna uvoznc opremc ,
) poljoprivreda, lov i ~umarstvo 153 60.78 preradivatka industrija 2840 t8.94 I gradevinarsrvo 290 68.62 hoteli i restorani 239 20.08
I promct skladi~tenjc i vezc 2830 67.92 I 'II. !
(a) Odreditc prosj~ni postotd. uvoznc oprea;e za sve ~jelatnosti zajedno. (b) Podatke 0 postbtku UVOzrlc:l opreme pHkiEte razdjeljnim stupcima.
!
I
\ I I
I
1." So c,
~.A...-~~T ~v..s. ~ v-1uM...o>'\ ~
1'" ~o".,,~ ~~
u... ~\4.\~ "'--'- ~
~~"""- ,W"" .,~.,\-vo
r-.~~"'-~ J..i "'-"-"-'..oot-
q~Q,.""'~"\v0
/--Jt~':' . ..........,, \-o ... ~
r---o ' ......... ~ .. .'I;-,~c.h~~ C'-'<-",-
t.l.-)
,.I2- IT I-H:'\[iC ....
l' = Z'?;C rc. ~
AS-:=> 60 . ,>g
"'1.B40 ""'. "4
1. -3 0 '" ~ . ., 2.
z." 5 2.0 .00
'Z.8~0 (;1-.'32
Go '" S-Z
C;I2.Fo t ~ A- f ,oSTbTI"I t: It
"- ~1.'l.OO"S ' .::G,".;4 :6 3S'"~ . .;
, 1'.Ci
'\' ~ (~
'32-3'3.,4
A~ s"B~ . <o,
.-jg<;l'3 . %
4'1 '33.''-
,-,> 12';'. <;
Y,-"<OOA,
POo~1O c..l \ ?o~T\7TNE"
b) ""'-~<-li ~ ",,",-\'...;. <:I S'Nov t r:E""
""~AOO HASLo'll; _ - -
g o
'!,o
TV
,,0 -'0
~o
~o
20
." o
"'\"'--'" '-.="'"
~ ""'--=.. ~ 0 ........ U'":\:.
\'[ C\ ve s4-\ 1e\o.h0~
Z.6. Paslovne jedinice u ugostiteljstvu. prosjetan broj sjedala po poslovnoj jedinici i prosJetan promet po pos ovnoj jedinic! u Republic! HrvatskoJ 199),
Vrsta poslovne jedinice Broj poslovnih Broj sjedala po Prosjetan promet po jedinica jedinici poslovnoj jedinici,
mil. kuna Hote!i 306 683 4.69 KJasicne res13uracije 328 194 110 Restauracije dru~tvene prehrane 149 160 1.34 ButTeti 612 48 0.35 Bistroi 142 33 0.25
a) Koliki je bio prosje6n1 broj sjed~la za sve navedcne posldvne jedinice zajedno? Izracunajte vrijednost prosjecnog prometa zis :sve vrste Posiovnih jediDica.
b) Pokazaleije 0 p . t m broju sjcdaJa po poslovnoj jedinici prikafite povrsinskim grafikonom.
!
i i , ;
.2. 0 G,.
...'-'"') \u.l'O :A . ....o"'........c..
\l.v.....:.........: l...I!-
\.-'.." \- aJ,..:..
"S:) 1.\., 'Q; 'J.,
"--, k.>i ~?\~;:a....... ",,?I<>v~ ' i'~ ~\- .yo .. , II Q, '1>. W, ::- , . ~ . "-,u.L: .' O?G.,;.~, \ f' J.;.. ....... c.... , ~~ i"=' ...... 1.C.. ""'.:~ _ _ •• _ _ ,
3 0 10 (,&'3> 4,(,'3 2O~'33& ~\.;:''5 ~~
\ LL.9--,: cw V'V)~V ..l...c..L. ~ C. 32..2, A '3 u A . ~ () " ) G, 3"L )\,0 IS
1Lo.,~v.a. v:.i.~ ~~ ~~
i>~ ~ ~.\.;
~~:>-\V 0 ~
I Y S'
ceIL
, '1 '-
A 5';'4-
'<0 0
"8
"'~
, 'Q 4 2:0 g 40 '~" . bb
0_ c,S- 25 :;~(, ! '-'4 ." , !
O . ,S-y ~~30 -~-S ' .,
,,05'3< l1.4:S::'
Q.) A.12..1I" Mt'TI'€'CIt; "Rtf) J I-I.~ Re-lAll\/1-.11H t.Ro..)E' VA:-
R - 2:\1...; I) . - ' ZD ~ -
-;"'0 s 3 '
~~ -, 'I : 2..". 5
Al< \rMfn"Cl:::A S:f ~ D r NI't ..... R\T Mt1'l"[IC. I+-I !>R€'C ! t.! ~
'I-
b) ,~ ~'"
1""- . ,~
TW ; ),:,
:z:: I-.l; '" '-24S' .3
I.. S"3'"=\ = A. lt" ~
i"'~;; c~ "v.:. -v:-+l.-.. N""Sl.Ov · . ""-. - - - - . .
to:) , . CoCO
. , I
.'
,-00
4 00
;00
UX>
I
1""""\<<,,,,,,, <>-... \ '\'~~ "'1...a.. ~ ~ \~,-L~--. UI-
~~ ~_ Af2. r;He--n'tt:::'" seeD/I..!'" v S ~L.~ N1' - ~~O) ::>El>IH I ~ v <; KU PLJ
~""y.- (..,Q..u.. ~ .............. -\ ~.>'\..It ~..4 .. .&...-. ~...l...:::> .. .-L \ . ... \...;.. .............. c.....c
'00 " ~
I -/ /~>~ I r"1 T?--,---,
, /,~) ,
MOTE ~ I' j£L. ... ,,( t-I ~ Q.E"~r"""'VR . e. t.I ~fTI·
R~C.""1J1i! . Dtt.u.i)v.cN[ P'Rf .... R.ANe'
iz .Jr.,£ ;
e"STI'.D1
o ,,":)~
1'" ' \., " -<; .. c.C ~ ....... <:.t.
tu::r!e.
LueJ aJ
. , / .. f(
("/ CL(
~---
1. Broj zaposlcnih, ukupni prihod po zaposlenom i dobit nakon uporcz ivanja II nckim 'od naj"ccih poduzcCa 1I Hn 'atskoj 2003. g<>d inc
, Poduzec'e Broj Uku pniprifi'oUJl9; Dobit hakon
zaposlcnih zaposlcnom ' oporezivanja AKDD.O.O. 259 62747 17829448 Elektromctal D.O. 334 46815 I 260035 Valalta 0 .0 .0. 278 54687 11 sao 599 PEKO-DAL 0.0.0. 228 64769 5731365
Izvor: Privredni vjesnik, Godina LI. Broj 3355, 9.1ipnja 2004. str. 25
a) Odredite vrijcdnost prosjecnog ukupnog prihoda po zaposlenom za sva cetiri poduzeca zajedno.
b) Odredite indekse ukupnog prihoda po zaposlenom, a za osnovicu uzmitc prosjek izracunan pod a).
e) Indekse prikazite graficki . d) Odredite do bit po zaposlenom za svako navedeno poduzece.
-' ~ . de-8 .. .t 71wc ' . !Uu,t; .... ," ' !J ou'-{- !1 1I{LOk..
2c!',,'.sfe 'v' k. t)l ~t:,)O/ / PI '8,' 1
~orU(. ·vet.u;'e... f)f} 7C(f7tJ/ (flI Pr.,.v1
1) 0 'Ctr~.1.''? ·u£ i..l.1..
I I 1i in d~' 16 2.J1 ff 3 111,
;/0 Gn- It r Is, It
3?J~ 1fg I[ 1 2GO Oj. ,(' 1.i't 2 rNo
2::;? .rt./ G! f- A -, ... - .'"'Ie ,r::; t '7r202q!~ ;}:J- I It.
22;7 Glt ?G :J 5 ' r.~ 1 : .. G..r 1'1 1-61-332- "" <J < f
t.nu G u'i~7?, T57--JJ,-J' .3 T 'f.-2 . :)-~-").? <.0
'J1 J 1-136!J. 06f'l-J-
';;~G :I N-o ~k G
- .. .~~ ~
z::: 4P'!'H} G Hit rFf 1 --_._j_ .... _ -
" )
11 \ J)
!/h'VftC~At ..,..<.,( C.t,.~i~fl>'t l ' fIl tl.~O~ / Jo ? C(IJ()q1r &u::> (./~
~ =- --;;~ Pt'~ i. .=. G1G 'r 1-.1 -! 1 .::: S-0 0 f) 4 ,:2. 60;; 3 7C 0,- 1o')ft
T, ' ::: p,- .100
'8 T1 _ G 2 ?-l(i--
rG tJ~JLr , 2.iOz.]
0'tr lG3 S'b O~)!( , UlJ2.J
100 = 11S- , trb1~
I·v,lle(,
I At.ufO" d ? r'.r( e u () IA-<..
2C<.! 0" Ie tcOU-~ doh,'r--/10
us
". I@ tOr , I
0, q, rr
2. if"D ff,.k""'''.1 Val,all" l'/',.tkf i:h/!>r : r,;v-i'€.:iAU.- 'J ;~ .. :.t.' :'1 . () O ~,' ~ l.A il -' - .
f){..) "Co/, 11- 10 rio/a, f
IX} zey0{:(el<ow '"
8 flf2.ftltlt,f'
~7 ' 1i)~ feu" '.'t...
= 6N~~ro .. rr-
, © fwd.. . -rvtJ IUc- (""01,4",'
0oolN\w , t..vol f,o "v<1<Nc,. ~Vi?..v 411'11t ,'wttJIP*, A,.t.,yq~",-
(j 13~ 7,- ~f- 8; .r .. .--4 L :, 4- 5" ~
~!+ 12.:; 1 Irrr-r S-J'l-01,1""r i 4,1 " tv V no 1J?J1 S"O, ')S" ":{! 00'r,'r4- Qg,3o
VI !itlr 13G£ 42,65 4"bGSoO tCJ.1e VII 10'; ;/flJb IrG. (,! 'fv ,,00,0J' '3 2 ,1'{-
Viii ~~s ;fD4 ~2, oj 64JOQ,/- AOO
"Z 'f-!JJ.o Lron11
, 'ft-. fu, 'e.: 'Me.. plc,.,·lje l1.~"tA.· I(. (Wa..cu../o{ ,({ "a!"",-
Lo&f"c< J ~-d e.. l'~pr i) 1'- 1:1" c'Cl-l /{%Ct~ je tv"4;Ju1C.t1.1..- V1-t:Jd,~~ u.~c(, ':1 tZ-1I"€ oleM rc:ru!o6 4 e. ,
17.ror.tto'(j,te.. ?~kat:. ,.<M-OUi.
e ) /
).."t kO'&f/o~ ~o:t-,
J>v/ur*Yoth' (J'eoCwl
P-I-! I
KoEFtcJEf.lr. _ I?:[/o't- ,1100 10 Kf!..lv(iMoSn () lip 2: (j vo't""I- 1 :Wotol-f
1<.1 = ,I?- ,1 0<t> .= I.f ~ 't1-11"11
hr'.s-I9pttM-<- k.fv,'6"'-~ C. N/l-sr!JrI : ?ok,.;ve , .. * ;<-<-1/0.2. ...
{""o'f'o.rf ioo [!c(." ,cJC~.,r~ ~o
,(;.vo.t Cc eo il · ... ..., .. ' ')0
G, J1)
~D
~o
~o
fO
IV
,-
v VI Vlf
/
h fOle4y1. Ie. /fI ~oo z. , '
11/'7";
c) cw)'h·"" .. k c-t..c...- a-I'W,,",-~ rre1ovtVi'Vt 'f,,_ ~(/"'A.; R ;;=. z-lo:iB,,' _ If: o! 3 "1 _
""2C i3> I' r !d. 0
=: S- b, LI{. r-~
o[) /'V(. o/e, tlJ<' y/CJ""",,"It,,,,,·/!t ... , t..... .-1A..-1 '/-0(/ "'-
T e': ~ -100 b
B.::. 1,)3 If (f o/avo"/.. 7009')
I1 =- 12"11 100 - J' 4 {f, 1.rYt· -,
3. NOMINALNI NIZOVI
Z.l Proizvuc.lnja hmdje. u nCDm zamlj~ E\.U"opt i
a) lzracunajte prosjecni prirod hmelja za sve cetiri zemlje zajedno.
b) Izracunajte indekse priroda hmeJja po hcktaru. Za bazu koristite prosjek izracunat pod a).
e) Indckse prikafite odgovarajucim grafikonom. Vz grafikon navedite potrebne omake.
"') f,a:~c< ~(o.:t:VccAl..- ¥o..- I'~'t. 1:a-oIClM.<> --;> hc<'I. et..
a"e. pov (5"""- M.t.."" . . p,,'ro"/ u- =- j?(""wo~'t .... ~ •. t _) rovr~~","'- ==
f: jA",- rov" ':~C\.,(A -b',. kcv ,M. -j,G."'"
? ro;-wocV.j'" '" -/),s. t P' ; 1'001 <A f::'(VtQ..
~" G'I-.r ,A-lA.!..f'.t.ic.... fO .... r"t~v...q AG32,2.G30 .= ~ . :>.. C'S4 @S l'O\)T01,4U .
b.)
c-j
. . :z proi'2.(I. pi Ir~r (.( pOolrr''"C\ ..: Ri ~ .. 0 f"i'U~A. T.: ,
v.. Doot" • In" ..u oco hDl,... . "'" 00 ~ ... ~cu:"
"t >\06: S - ~AO;?t~ : ' .n, "632.'2.G:!>O ~ o''''.r-
F :H';;G.r T .• 1f- n~(."H ,!>,fi,GJ !j>, 2(; '
S H, ""'.l c ,o 2 23.,0, r "'6 ~~''''r,- 14,02.. G~
N :l't~r r , 't~ .,,2e. 'T?~~ 34~og 'iJ'·~t
Z 2.'2A 'l2.3 ® 39-~Z2. ""~, '2.71~n3
'i:' = ~. :=. 2.2 \ '32.3 = 5 .92CG ~8; 3"+48~,~H6
1·",,<>ew.: Wo..Uvu.':k 7<.../ Tc'=~, {c o . Gr4 ~
A<A'~I"- :t~ = -'- . 100 = ~10.~blg v .>.9206
t'''f'c-W' J'fMLO~:
~,,,,
A" tor
~Oo
~" qo
jV"G.o.z. n'Mol-c.tc,,,-
~ cl d,l~: r < 0 d" ""'" e~' ~ (tv" i,.. e (...+0 I V-
IlA ",tv'-.......... ~ ~C:i0u.-4.",- .j bA J. f c..
\{ 0 f "'" 1, t\.
""-
A..Wcj'" (:I"""""'{. ... J ~;cc . .,..L'c,
i"" 01; & ''''("",\...0 i y.."~ (,.-, C ·. I!(l'::' r r ! t, , C ~ I " . ! '" '.
Z.2. l%vO% Rq1Ublike Hrv,Lske U pcriorJu
",0'1>,
I-X _. 11'~ , UO!lGbranC%c:m.Ict:;u
zemlja Izvoz u mil. USS
Austrija 165.3 Francuska 95.0 ltalij. 894.1 Njema~ka 844.9 Nizozemska 69.9 Velika Britaniia 47.6
lzvur. MSI, 111'9', iItr. "9
........Jl.;G\..
H~'M. i~ 1=''v~
')~i"-
\-li~<L...2 \.J.~l..;:>
v.t:w. e , . .h..:,""
a) Prikazite niz polo:ienim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne amake.
b) Ornjco uvoza i izvoza po zemljama kako su navedene u tabeli hili su: 2.8, 1.6. 1.5, 1.5,2.1. 7.S dolara. Koliko je u prosjeku dolara uvoza dolazilo na svaki delar izvoza u navedenom periodu u vanjskotrgovinskoj razmjeni Republike Hrvatske i navedenih zemaJja EU?
"': ~" ~..,...,...Oy o'"'-\t.v .
......... ~t.U5D ........... .;)"\..4,... ...
\l.~"~ ............ ~ .HeS, '3 '1. .. '<> '-''''.'1 ... 4 ~ ... O \. " .,<- , Sg~ . • ~ . 5' ",,,A . '3 !',,,,, . ~ !.S' A, '" "I . 3S
6:1 . 5' 2. . ~ AyC, .Tf
'<"I ." "' . S' "'* '1."'" 'b ~"'~ . 'c,
-ci) '\'0.\...., ~ . .h..1' c..:. )....,~'-
",00 t.:o =00 l.teV S'tX:I '"co ~ sao ~o..:> No........;;t <...ro
1=\""'?~ \0-- Y% ~"~
~+-01;.. .('.:2
Wle.~"\.......a. /
/7 L.l~""",,,,,""''''\J .. <Q. I /
Vc!;..\.u,... 'b v·~'l. VI
OJ Q Z:\2.~ i):
2:'1:> ;
///, /// /7//0 '/, '. / ./,///// / .
, . .1 ! .. / .... ! .. ' ,
1 / . / / /~·,7'/ . : ,~~ / . I // /11. __ 1 ' /',/' / ' / ( '//_ ' /
C> :11.1-. A":,
2. "c... . So ~ .1-(,
2.3. Stopa (postotak) ueelCa vlastiti.h sred.stllva u isplatama za investicije u prendivar!koj industriji iznosilaje u 1998. 76.77%. u gradevinskoj 52.53°/., u djelatnosti prijevoza 65,6S·;' , Ulcupne investicije odnose se kao 5: 1 :4, KoUka je bila prosjetna stopa isplata za investicije iz vlastitih izvora za sve tn djelatnosni zajedno?
;!o3o
\i'~ , j , ,. c::"
"'1..t.z. -h...:>?\-; / .""''''' ~v;~ I «>-0-;> I "'"'7"''''\i.. '.~'-'Q. ............. '?~ \\ C ~ '-'"- ........ ~ k'f.± \ ~ .... "'==Y'Y" "" c,...",. t 3-
~",..t\.,,~ .i...~T...:..\Q
~~~"""'-"""""t......:t.. ;"' .. ct..<.Av,\~
<l\~?+; r\tt. ..... .::>"-"<.
'+6 ."~
SL ."~
GS- ."S"
0..) (W\ +W:(.iitt.~ ~I<o.-~ =- :z:? ~ C = ' ~'33.. S's, =
z: C; ~O
-p., - pc .yh> c..: CL - ros.tot'\.lC- C"I<.(A'·Cc:.
s- ~8:'. 'as-
, 52 . S'"3
4 '2.'32."
~o i 1;,58.,:\';',
~ c..\-ot-aAlf;..,
b 5,"'? ~ IS
'tc..k~ gloIo.l- ~"ic.. ~ -:(. "'-~
" .~
~.~
n>: ,.'~ .~.
'f'Il\.O •• S"Go,G !f.1.
H, ~"G,8 ({",'t . " A·'r,a ..... ~f OS., A. C
:z .. M......ovo.~o....
,,~~. ...... ,"' ... ....,. 'P;C;
c: '\>'T .n~3 SO:OfoO,Ool3 J.o!):1., ~1t11 3 t, SQ, 0001-
n", ~S'H ~~ It t5,iI2't 6.2010 • .2. S e~30
M~ • . OgG A09{4'Z1,"f'rr-
a.) J """cu~h!. :r"je c 'U< "'J~..r o~tq." dPo;"', , ... : ~~ ",~ .... u.e ZC\.
~\IQ.. C't..+:n' ~leCa. ~
Ir) Ko(..~ . i~ ""'j"""""''' ~e.- .: .... ov.'«e,4.<.. 1>I.~V\. ""'>
.:.) J'l.i'ctcu.~t-e.. NoL",,-e w. ... !ekle oc:;L.......".;;;: clch.''''' I ~C ~~e ~",' ...... e M.. /'. .e..ol.a.. .,;wLdtl'\t je. M~ "'l-I~c ..... ~eo:t fad !a.) . I
.J.) 'J~te. rl.. .. •,k <ri';": 0.) '~'~ J& ,'l.i • .JJ..,...rlAt. 'loV.-o!,o\"'e s.o. ,
, t= :I.:.L CD CD e'+<; .
).J..6r""'o.. '1(V..).1)",'Vo.Q..,
CD ,,60 ,6 ·\(>0 = ~'rH , "'~' (0-'{6)
11l,2.
100
~=~ r
«~'~d;:~ ~"""'- 1"'_ 0.""-1> >::;"' T't'\'C 1' =l!o"!H't~H.8H:= e It '3 3'1-
"'I:c..' A41.r~T,OI?G
Pr) c)
~ov...... A·~V.:f"v. ~ .u.. l>..t...: ,.,.: 0...)
f\:.......J elt..... v...<l~IAet.t.......:k.. ~O<.X<...
" c' T '::- ;n; . "(Oo:::: _'_, ~ 00 'B ,.... '-?~""'-?lH
) It.~
I~ (tlLIV~ = -- ''''00 '::; 402 , 3~2. '1 ' , It~H·
I2. (tf'r)-=--~ .\00 =""2 ,2i2.e' ~ . ~~,)r
r3 (rb) :; ~ .100 =- ,g, H'S ~ , It~n
I:, (HPJ .!:£. ' ~ , Lt~n .. ' .Oo $- ,-Ib, g,,- 33>
( Od.....o!;' ol&:.'f-' " ~""(' ,M..-o""ve!"( ~ .. ,.,; j'( ,)..~ 302.. H2.I.f.. 1I'tc!: 0'; ri'e.I..Q)
('tc:, G.2.,2.U"ll) .. rre.':'(,pol M'du)
(, ... ' ,S31' """"4"'· .d r'i"t;)
oL) '1-;-0.1..: .:k "",' V.O,_ ~ '",- 01<1.., 'V . .
r~~+(J ~S4?V: 6R. ... F-tc.K-1 PItIICA~ 'NDEK..S+ OD"lo.r4 DoSI,r I V\l:.UPN& 11'1011. ~e:
Cz."" .. ... .. "'''''t' 00 1""+1<""-)
.... ;00
" /.
1,... I' [ll7J ILl I })I '00 ,. " ~ " " ;. J.
" " "I, ... ' ....... 11. 18 ~p
,;u.;or : ""er0CM.¢
(9) i I~ ... oza 28 odabrane Industrtjske grupaclje prema ekonomskoj
, 0 •
Zil ~lrOKU ~O~~l:~,U .. Droi,vc,dl Zil ~froku potrO~nJt!
2.7473 2;277l 2.1773 1.3523 2 .4174
Ukupa,~ ~ iIV~Z:' .U 'od~bmn~ indu~t~JS:~~ grupaclJe iz RH~I~R~~!Je a624 milijuna USD.
(iI) ~a,crt;aj te lorenzovu krlvuIJu '. koncentr~Cije f'lyaz". ,: POsIJednje clvlje tocke lorenzove knvulJe fmaju koordlna~e T~?,;'~~~~ ,0,664) i t6(~'f;~1~~f::' ','" '; , ,", .
(
-1 (P), ·protumatlte zna~enje to&e.'l~ll!nzove krivulje . ~ij i'tJ ia ,I-S.
~ (~) ' Iz.raluna.Jte vrijednost GlniJeyog ko.efiCljent.a. 'protum_at';te njegovo zna/!enje. KoUka je ,vti,ednost norfTliranog kqefldjenta G"':,? '
2J~) ,tiratu'1l1jte v~Jednost ; kQefl~lJen,IJ.I.\, ,kWl'~e,n.~r.a£ve,, ,I~v~za CJ• Protu'matlte njegovo ,;, ,iZ~,atenJe. ." .
'OtKollko ,Je u prosjeku J,edlQica -'Uva:ta' ,,'dolatHo net $V8ku jed~nicu ilvola za odabrane Indt.is~ftjske grup~cIJi! ' zaJ(!:r;an~? . ' ~"i "
(f) Izratunajte Indekse uvoia po jedlnlci :Ilvo~a za navedehe Irtdustrljske grupacije. Za b~zt.i in'CfeksCl uzmite prosjek izraeunat pad (e) . .
Zaposleni u djel.lnosti Prijevoz,skladi~lenje
i vez u RH stanje potkraj prosinca1997 c . Djelatnost poslovnih Broj zaposlenih
subjekata uOOO
Kopneni prijevoz 35.44 Vodeni prijevoz 3.4 2-Zracni prijevoz O.7 ~ Pratece djelatnosti 23.2 ~
Posta i telekomunikaciie 22.7 ukupno 85.4
a) Koliki je Herfindalhov indeks?
b) Odredite vrijednost koncentracijskog omjera C3.
c) Nacrtajte Lorenzovu krivulju.
d) Odredite vrijednost Ginijevog koeficijenta koncentracije i interpretiraj gao
LORENZOV A KRIVULJA. GINIJEV KOEFICIJENT.
Z.1. Izvoz po zemljama CEFTE, uti' USD d bl" -x 97, sucama , u raz 0 ,Jlu I
zemlja lZVOZ
Ceska 46363 Madarska 48791
Poljska 46759 Rumunjska 15076 Slovacka 22112 Slovenija 529554
a) Koliki je Herfindalhov indeks?
b) Odredite vrijednost koncentracijskog omjera C3.
c) Nacrtajte Lorenzovu krivulju.
d) Odredite vrijednost Ginije'{og koeficijenta koncentracije i interpretirajte gao
• .i
(6) U jednoj prodavaonicl bijele tehnike danaJ9.. sljefnja 2007. rabu je kupiJo 15 kupaca. Vrijednosti njlhove kupovine, u kunama bile su kako slijedi:
249 249450 505 536 799 852 1250 1299 2303 2670 2899 32074230 7540
a) lzracunajte drug; koncentracijski omjer I konkretno ga protumalite. Ukupan promet prodavaonice toga dana bla je 29038 kuna .
lorenzov8 krivu~&
"I-------:r'-fi " 1--------,,"-------jL.j
•. , l----.,.L-----;I-----j
0": ~.' ~" 0 ..
b) Na temelju grafa (Lorenzova kruvulja) odredlte kOja od nlie navedenih vrijednosti odgovara ,vrijednosti Ginijevog koeflcijenta koncentraclje:
0.1 0.2738 0.4965 0.899 1.0
c) Kolika je varljanca i standardna devijacija navedenih vrijednosti naplate u prodavaonici
" toga dana, aka je poznato da je L (x /-xl = 55135592 ? Sto zakljui':ujete 0 disperziji ,., podataka? d) Za navedene podatke pozna to j e a. - 3 = 3.672842. Protumai':ite konkretno znai':enje
navedene mjere. e) Za dva numericka niza izracunate su, pored ostalog, standardne devijacije i koeficiJenti varijacije. Koeficijent varijacije prvog niza je 55.4%, a drugog 67,6%. Sto
zakljui':ujete 0 disperzlji podataka obaju nizova? Za koji nlz je aritmeticka sredina reprezentativnija?
)(,., ;( 2- .,. • • . 1-x' or-
7:;<l'
C '2.- := --:;-4";-0..j.. it 2. "0 ;;. 003g
-/ , ~ X:2.~ • ,.:;;. x...,... )
;. 0, 4-of~
)
s-s- n.rS"J 2... = 3blrtOG ,1\33, 1fS-
"
'"
(4)
Slul!ajna vartjabla f ravna se po Studentovoj distribuciji vjerojatnosti 5 10 stupnjeva slobode. Odredite vjerojatnostl :
,Nkr'jtAA'
a) da je varijabla t manja iii jednaka 1.372, b) da varijabla t poprimi vrtjednost Izme(Ju -1.812 i1.81 2 . c) Odredite vrijednost variJable t kOja se ravna po Studemovoj distribuciji 5 9
stupnjeva slobode take da vriJedi da Je vjerojatnost da variJabla t bude manja cd tra!ene vriJednosti varijable, jednaka 0,025.
c S. s ,)
tl- l' It >td-')
, , \
0-.) 'P(t-!:A,'3=!-Z-)
=
~ - r ( C-:::> A. 3+2.) A - O. ~OO
-p l t~ t t"') ==
Vf\oI. i e.~' ~deMe....
~+VCC! euJo.,e. ,.yty.08,
\' Ct-7 -tr-} ,k2 ~ /\A. ~~ J,Gr,..' \, u '-j 'e... 5e
_ 0 , '2>00
( ' 'I - 1)lL7_~ . gI2.\-l'lt;>1'.8\'l.) 1> \. -1,llt( -\; ~ A. 8 12./ - r C -;
SIS ·
2.262-
== ~_ o.oro _ 0, orO
~ 0,0
0,02.
t 1 400
10
t , •• O
~ ,S
~o 'l "gl2..
'P l1:: ;> -+<\' ) ~ 1 - ? (t-;> t,r)' ? l t- £: t-o) =) t-oJ'e.- '
lA"-.'J ~"
" ~, "
.': -.
" " o
'-./
t;
~ '
t ('
t <-
?
1'1
~ v> 1S\
,. "' 0 ~
" ~ -.-'" -+< I\"'
"" " ~ t> c J" c :l>
'G
~ '" ~ 0 t ';l 1 J ~, ~ IJ' -S, <j> -r LO
~' ~::~,..
.... t>-
(i'I ~ .... ", ~ ~ .. "" ... ~ ~ ~ ~ r. p "l I-' '" 2'
OO'+.J"U) t' '" .. .r _ -"~~~
t' v' -t' /''''
'>"<5> .. .,.
I -.- .. u ," ~ ~ ~ 41 ... '" "1' , "
... ... ~~ .~~ S.l"V_C.~MAc .... 'lITRI:J A-l>\...A--
D"n~ JC tut\J(dj~ :
P (",) . ( ~("."'l) )(,-1-1..2,3
ta ~ ~t1l<ldnocu
(.) Odred1t. mledno~ ko ..... n •• a take a.. Iunkc\le po IQ~ . ' 1(0/11«1 Je pt1p.d.Ju~. o~eldV'N vt1j.dno.t ~,,,,,~, , ?;, ~~:"""",,_
, '. ' .. '. " ' ''~'''''''''' '''''Jf>:' ''''''." (b) pre"", rupoloHvim pod.~ ~':'~ ,. , ',·~:M'f .. . " " ~ .. , , .• C' , . "
Z.3. Pracenjem prodajc jednog proizvoda po tromjesetnim razdobljima ad 1996. do 2002. dobiveni su podaci pomoc:u koj ihje rormirana dislribuc ija vjerojalnosli !romj ese~ ne
tra:tnie: ' X.Z tratn'a u korn. 1000 250'
. pl'0~ r; v' ero' "noSl 0,15 . 0,10
(8) Kolika[e narudfba dobavlja~u na osnovi o~ ekivane vrijednosti prodaje?
uhtljevo """11. oroavanja <kpozlto. AIa> .. ~J n~vlsno , po &at1~ u r.dnom VAme.Qu .. ~_~ funkd~ ~1na.t17 Ocfradltallf1J~~ lIjerolatnost-<fa .. prtd laiterom :ra a~"''".='''~ ''
!i;1iuo:,*,- ,
~uta l
(b) Trgovac zaraduje 1000 k.n po prodanom komadu. Koliki jt dobilak (odnosno oponunitemi gubitak) aka potratnja prema~i mogucnost koju prut~ isporuka iZTa~unata pod (8)1
(c) Tro!kovi dopreme i drug; zavisni tro!ko,¥:i u tromj ese~j u iznose 200 kn po komadu.
.-~-, ..... C"-)p",)& i '.
Q,( .(,"'+1), ~4: ~i'C 1,1.13
o ""' d""::l~ ""'J~
,_>< .:r- ._ '" Se ! , J
I
Aka je tromjeseena prodaja 1200 komada, kakav ce biti tro~kovni/profi tni ueinak odluke vezane za narudtbu odredenu pod (a)? '- J ~
d) ~ 't"J:.jrt ~"" wj<40~. r ...... r...J- "",de .....-J--. oe.w'.--.
+ 2 roo , o. -1 0!=i~ 1'S
DV Cl jt.. D.,.. .. ~e.t-~ ~A.A4.. vouj'o..b-<~ <Y A.U. ~. ft,t"" 0 oJ.rc.ct~t..'
0.) , -. ex. L i"r (x, ) :: '(000 , O,A1"'" ..froo ' o,~ .r+-;tooo . o , l o
!-) bOB, r,., K. - ~ R.0J PtOtl h l'l U·j tc:O ,""I< l)A • ,!.) ~ N " '0 ItOHIo-D U
t' .,~o.. ,:.t... 3 . (XI.' , Jl1."2 1 ,t~-!, )
p"lt~_')':' 0.( " .. "f ) ~ ..le\..
?~(t>-=-~ ) . 0'(' «) : 3,,
?l(Xl=3) ~a (3tI ) c ~"-
~ 1',: ~ ) .l.0!+3Q + 401.. -= '1
~o.. . " ".~
o t <-tv.:"""",,- ~ <.dN-<> .,t
~ ~
.t ~
Z
(1-- ) !:~,-F<- f= (Jzr; x..' = ~o/'; ~,;'ll'--
1.=/=' ,
1: ,~ .... .... 1 ..
'Po.:. s .'""'''''- .... ,f,,, A.. ';J '<v
,f<"-"'j''\. n~~ 1'<.<)= e~.+.< "'!
k., ,,,I.J<..-'~,,
- oit kAv Cltt.l "-
~ ( )<) • e-=.:5' "-, 04:.,... l.u ':' i <.
O'~ F"'c:t~"'-='!J If"- - t-.. =- 5
p. ¥,
'" 1/, 1
- V"(j' ...... t"--
~~~~ ,(~=.J.. =- L = O ,~~!L..
f, 'It .. :
'f' 'I. '2ft
'0(, I
)('::-° 1"'1 ..•
-~.~::; 'P(' ,~n- \ -
o fi.. fS" 4~A' ..l",,,,, '3+t ~ ~ ... ~= 3 .2."
1'(".0 ) •• e-~,s· '1-~ = ~-O, CXl3'l' '''tG ~O,~~32'lO.r.3 o .
c)
D (2000) .. (lO OO _A'- ... ') . -1000 _ ;1S" 000 1> (.1500)" C2 ,,"oo -A&'t'1"' )· Jooo -;, t: 2S000 '
C 1''::l~ /" 20 0. .;. ~."o kov.<>-J ... ,....... f °;" o i "j'<- "",', od o<'< k,,: '~"'-
T~O .$.,tOI/~ i/ 'PItOF l rN ; = '& lI? ) P ,:tOO h Nl fi ' CU e- t.I ,<r Po - (otl'K tv"'I' .. Vr - U o o ~ . ~":O"" V(' NA. K,. F/to r'l.\IOI>A Io<O I4 .... DU " ~~~ O NO~T /
'"Pc = Al OO • AOO d _ ( ~&~.r-~ 2 00) 'Z..-OO ::" Ij,,"o ,r ooo
d...) f ( X<i! ~fD~'6' ) = l' ( IC _\OOO)+ p ( X=-.ot :rO O) = O. I ~ r O , 'S-~O . Go
. j
~
~: .. ,~
~..t""". v'N.Vn~rr 1 '{V\ ~""-~-"n 11\., ...... ' "~Jn.
2. Prodava~ u docovoru I proizvo~a~em daje jednocodilnJu c:uanclJu aa bpravao.t nih dljelon DVD .uredaja. prcma pod_elm a kojl se odnOle aa rsnije rszdoblJe 1'·/. kuplea pojavljuJe Ie u servlsu rsdl uklanjanja levaron u caraDtnom roku . Ak.o je JcdnOC dana prodano 6 DVD - urti1aja kolika je vjerojatnost da Ie U popravak u ·caran.tnom roku bude prfJavljeno a) vile od 4 uredaJa t b) manje od 2 ure~aja.
9.""fo". ,' •• O. i,<
",-""C;
b(~,I")' 51&,0,'.)
) (") , ,. , r ("' :teo "J. r ~ r " D , ' ,. ·· .....
r{y ) " (~)O , f't , O , fIf'-' I ho °r " "
0) P(».) = PlX=S') d (X .G ) 1..) r(x<z). f ( /o ol d ( f" )
(e) • H (') " . , ( ' ) , "' 1') , ,., r 0,4' 0. 14 ., (1,1' .£),'+ "'" " 0. 1' ·O, H f" ~ , O. 4' · O , t ~
• 0,ooonS2S'9 = 0,' n "1'"
2. Proizvod B pakiran je u kutije koje sadrie 20 komada. Broj neispravnih proizvoda u kutiji slu~ajna je vanjabla s o~ekivanom vrijednosti 2.
a) Kako glasi analiti~ki izraz zadane bi.\lomne distribucije? b) Kollka je standardna devijacija zadane distribucije.
i;;:~uno~od~~~mi slutba poduzeca utvrdifaje da zbog visoice'Wiaclje40% ~ Ine placa ra~un na vrijeme. Ako se na slu~ajan na~in iz skupa izabere njih sest, kolik 'e vjerojatnost: (1) da su svi kupci podmirili ra~une na vrijeme (2) da je vi§e od tri ~etvrtine kupaca podmirilo ra~une (3) cia 50% kupaca ra~une nije platilo na vrijeme?
. r.~') p"o ,'t l>("" rr ) = 1>(';0,") 'O{ ) _ ("') K k-" 1 1 - "r 1. I ~ =-<>,', .. ,-
1=-1-1"= 0.' )
A ,.><: • , PC,,) =- (;. .... ·0.6 I )(:-0,'"'1
. 0.) l'U~o)-= (no.~·.o.,6-o =0.0 .. ,,,5'10 6-) "f(;(~i) - l'(X;<l)+P(X,"~ d,O~'6n; -I- U)o.~I'O . b'·i; O.:l?>32,8
c) rCx", 3) = (;)0. 4 )'0.".) == 0,"1-''1'11
• "
c) Kolika je vjerojatnost da u odabranoj kutiji svi proizvodi budu ispnivni?,
4\ m = 20 '7 cXt)'-:=2... I EX :~"p=) 20p=2.
t'= ~ :0,1
N""r) '" B(Ro1o'A) 20
pGt) ~ (~) r(;z .-X, )(:0,',2 .. ,"'-
7,= ~-r=O" PClC);. (~)o.~(."l." ,x=o,<, " I'"
c) 'PC;00) = (':)0,1'.0 ,,···°= \A.e.~ . _~Cpfo.H""~ 20
: A'~ · O.~
= O . ~l~'
6-) ~~Vkf'~
0= ~'I'." ~" A.3~lb
.)
~ S-.?-.~\"'OH.~~_~_~~\?50~~v~ . 'b\C;Tp-.l~~CI~~ U jednoj telefonskoj centrali prosje(\an je broj pOZlva 2.5 u minuti. Odredite kolika je vjerojatnost la broj poziva u nekoj minuti iznosi: tri, najmanje dva, barePl jedan.
) e.-" 11. ( .
,u=2.5=-1. '"P(l( = . ) )(:0,1,2. •.. . 'fO'S50NOVA D . X!
2.5' e-2.5
p(x)=---x!
2 53 -os p(3) = . e . = 0.2138
3! 2 50 -25
p(O) = . e . = 0.0821 O!
25' -25
(1) . e . = 0.2052 P 1!
P(x;=: 2) = 1- p(O) - pel) = 0.7127
P(x_;=:_l) _=-1:-_E<Q2.=~.9179
.Prema raspoloZivim podacima kontrole proizvodnjena liruji malih kucanskih aparata prosjecno se po radnoj smjeni pojavljuju tri neispravna proizvoda. Neka je X broj neispravnih proizvoda koje je u radnoj smjeni ustanovila kontrola. Kako glasi distribucija vjerojatnosti slucajne varijabe X? Kolikaje vjerojatnost da ujednoj smjeni nece biti neispravnih proizvo-da1-Kclika~s:_ YkmiaIDg~. 9~ .c!<.ih .biti'yjse od pet? . ______ . _ _____ . ____ _ _
{=3 ,it<=l='3 rOI~SQ~IOIiIt-D
1 ()(.\ = e.. -fl . i. l( X".-O I •• .
x:: ! ' I
'l>ClC)", e-)'3~
"- : 1 0
? (.( =0) ::::c e- . 3 "" o,o'rg::rno6~. o ~
~ (US") = ~ {PlX ~o) + P l~d) H(X.~2.) -I- Hx. <» + P(,(. =~ )+ }>(,( "'"sjJ _ -Ce -~ )~ e-3. 1' e-)· 31. e-~» -,.,. -)? _ ~ ---;"1- _.\- _ + _ + e .~ +~
o . ~! z.! '3! ~: ~:
_ q _ ~ _:> (" .. :!. t" 1 +!i -+- ~ +- l~)) .l. b zit ho
= o · ~3>.2.~1In·
r 2.Keksi "Mira" prodaju se u kutijama nominalne tezine 500 grama. Pretpostavlja se da je distribucija tezine 'keksa normalno distribuirana s o/!ekivanom vrijednosti jednakoj nominalnoj te!ini i standardnoj devijaciji od 2 grama. 'Kolika je vjerojatnost da slu~ajno odabrana kutija bude: a) lalda od 496 grama b) izmec1u 498 I 504 grama. c) Ako u po~i1jci Ima 5000 kutija koliko ce kutija imati te!inu koja ne odstupa od o/!ekivane vrijednosti viJe od":!:1.65 standard nih devijacija.
Ex. == j -=- .roo
u~~ ~ a.) p (X ~ I( ,,,) ~ 7'{?: £ 1tf16 -:'-00) "" 7'fl-~ -J..) := o.s- + p(r = -.2') = o,.j-P('t-~.2)
= O',J- 0, H}-.t:: O.022,.1f
)--) l' ( If ~U; X ~ SO't) = 'f ( +H'-.,fpo .e:.. ~, ..rytt -.rPoJ ; r (-1 ~ c!!:~) J...~ -I _)
=- pr'C-='.l..) _ 7> (r =' -1) =- N'r::; L) t P (~- 1 'C,
_ f) , H~~ -+- ,.3H3 = O'<!"~.r
c) I'l ~ $ -OO} r- ± A.GS- ')
1 (-t,,,, ~ c- ~A,'1
'Y f1.'~ ~ c--~ A~ .>: 'PC r--- ~ ,GS') - '? (-r :;o:!ll, GS-) -~p. p(r: = !,GS)
"'" ;2.0,4S"'o.5= o,~o.o
7 (../,~f-l ~ A,~S)' N = 0, ~OW. 5"000 ==- 4-!;OS- b . .A- ~.~
./' VJE'<!'OJI'ii<OS'- (No<tl-("I.NA (lISTRIS",{)") ,-,
OpseS predmelJ je slu~jna varijlbla k.oja pripada norm.looj dislribuciji s o¢ckivanom vrijcdnosti 5000 kom. i drugi moment oko sreditc 160 000. Prodajna cijena po jedinici proizvoda je 6 000 Kn. Fiksni lrolkovj su II 600 000 kn, I va'rijabilni tro!kovi po jedinici 35 00- kn. .
a) Odrcditc: mnvu to¢ku promctl. twiny. toek. javlja se kad. su tron.:uv j .1cdn<l.k. prihodu. Kolil.:<l jc vjcrovainosl d~ cltpnxJaja bili ... cea 00 vrijednosli ulvrdcnc. (>pel ap
0.) I14ft.;« +O~C>. j"-ce;t,,,--- ¢=/
u '=pl'.i ~:;tu,"'"' = + t.....,.c~ +.-c~-'m · = p"L,ed "d ~d~ iv-o~ ' -t va.u~·e.....-.' i.':>;cu,;,;
.J po J<!cM."-u.'c..:
j>',twd cd t"d ~ <- =0 J"'j' '["cd",,"CdA 1"'c"v<dc.
1 - fou.t.C.:j" "~'\.v.· L' -}e~,,i' - fuu.~~'\. 'J""kCol'l od rJ'::ie. 11."-' Iv", ,-f="t. "'
'*' T - t'
~a.i"': "i €4':-1'0 Jub:' ........ u
x ·-~· rw=" f"O' ",ad"
~\ 000000 + -'S 00 ' " x. = 4b~O
= bOoo x. ,-,
,b.) i\<.u--tv "- +0 ~ " K
Ex= f.;sooo f1..:;1IS'"~4GOOOC
'i): !tOO
• T'(),,~ .. f'" ']"'><; ~ oel ~ 6 ~o k.ou.a.o('I..-
IT"
1'( '7 i!GlfO) = 1'[;; 7~G4';,{:) =·1'(;;:.?~G'K>:::OO )='P (;;~-o,~ = 0,5'- P ( ~=-O,~) = o,~ .... 1'(i-=O,,,)-=
=-0 ,5+ 0' ''' 1$"5-:. 0 ,8155
---- ~ -.. - - .----.---- --.. _., _ .. _- -_.-
'J<~".w.,,: ~-<-. r:.a..: ~, .. (t.. ~(j,J.... :%1<- ,.,-..,t.w "";1WCl>
r',,,",,,,,,",/v.. ...... or ro, . T~,M- <J _ l.
,<- ~/~. r"'r-'~-- Jo' ~...... ~t:::l:T-t.'cI2 ,:a........ -tH. or 4..... r-f'c;;....--... #<I~"":1~""- H . 33 #"" fo t ~'oI-;t Ir.~r: ~H'+''' I ~fo ~ ~'.. "".', ' • #,(J~ ~,,/¢'( ~ -;( == 'T1- .or ", '=- :I.:_x _ .2)4_10 ,or '" ~.l1i'f- 'l' {-.I.,2]
~ - 'H . 33 .= 33 .33 ~ )(<,=-.:<31 ).I.ro~1v k., ... <.~.:d .... f«. d't.. a.~/"tou..<. 0 ~
'!"""";( ~ i.:. ... ....r M~ (,~ r rxI.JY-- D.
".,.~c..a. d ilIA ; . ~,a f .rI-~~";"" 1,... de>1;/''(j4)
J""it '--- r.'.... A ,M~ ' ~. 1.-.(' ...... '0: /J~ 3300, 't1 h /
A.... ,~~ rxI A~ od 4-(:" " ... ' ~_.4' d L ,.Jw."'W;(f" u~ t; ..... ' r,a.~'-. oJ :Uoo ,). ....... • t.:.!.-.:......l.o<~""<-~' (j;. ... ~ ? '- If"- ~,J...~ V~ t:Q.~ '\fOol,tJ,. 31", I j!..... ,L j(.-r..,..afr- r~ e""' .............. ,.h,'
~. /1M- 7'" tlc&<-;""'..-lc ,
;;z. .", )4'-(.; .J~.o _3300 . 1,1 =-1,20 € [_2.,:1] x = 3300 4-f .. = 1,1+ XI ' ~ .J"oo
~ H~
1-D it"" . O'~" ... ~ """'ft. , ~ ... t;.,;""""""<""" / tf ~ .. ,s... tl/"""" .
1'(x~l...):= 'P(n g,.-p )-o,.r- p(~},..t')
(. , .... , '_3'lOO,<d) )...~ ~;C»'d / .= ~'" J>.: ~1.o,R
"P ()( ~ 3100. I ) ~ 0 l .r - 'P i-= 't\ ~
:0,._ 'P(~.I,.;o) .:: O.,f"- O,l&"',
::: 0, -4~ 5"-1
_.----- - --.--
/
