Statisticni modeliˇ - regresija -agri.bf.uni-lj.si/Pedag/html/OIS/V3a.Regresija.pdf · · 2013-04-10Linearna regresija. Biometrija 2008/09 2 Vzporedno z x-osjo? Biometrija 2008/09

Statisticni modeli- regresija -

Milena Kovac

12. januar 2009

Biometrija 2008/09 1

Linearna regresija


Vzporedno z x-osjo?


Sestavimo model!

Neodvisna spremenljivka:


Sestavimo model!

Neodvisna spremenljivka: leto preizkušnje(x, kvantitativna in diskretna spremenljivka,regresija)


Sestavimo model!


Odvisna spremenljivka:


Sestavimo model!


Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna spremenljivka,N-porazdelitev)

Model:


Sestavimo model!



Model: yi = µ + b (xi − 80) + ei

Regresijski koeficient:


Sestavimo model!




Regresijski koeficient: b = 0 tock / leto

Ekvivalentni model:


Sestavimo model!




Regresijski koeficient: b = 0 tock / leto

Ekvivalentni model: yi = µ + ei


Linearna regresija


Linearna regresija


Odgovorite

Regresijski koeficient:


Odgovorite

Regresijski koeficient: (142−105)(94−84)

.= 3.7tocke / leto


Odgovorite


.= 3.7tocke / leto

Model:


Odgovorite


.= 3.7tocke / leto



Odgovorite


.= 3.7tocke / leto


Obrazložitev povezave:


Odgovorite


.= 3.7tocke / leto


Obrazložitev povezave:Indeks PV narašca za 3.7 tock na leto. V 10 letih se jetako indeks PV povecal za 37 tock.


Odgovorite


.= 3.7tocke / leto



Popravek? Ali smo povezavo dovolj dobro opisali?


Odgovorite


.= 3.7tocke / leto



Popravek? Ali smo povezavo dovolj dobro opisali?Povezava je dokaj dobro opisana, a lahko bi bilobolje ...


Polinom druge stopnje


Polinom druge stopnje

yi = µ + bI (xi − 80) + bII (xi − 80)2 + ei


Polinom tretje stopnje

Napišimo enacbo modela!



yi =µ+bI (xi − 80)+bII (xi − 80)2+bIII (xi − 80)3+ei

Linearni clen · · · + bI (xi − 80)1 +





Kvadratni clen + bII (xi − 80)2 +





Kvadratni clen + bII (xi − 80)2 +

Kubni clen + bIII (xi − 80)3 + · · ·


Zamolcana resnica o podatkihNa grafu prikazujemo indeks PV pri treh pasmah!


Vgnezdene regresijske enacbe


Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke:


Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke: pasma ( kvalitativna s.)leto preizkušnje (x, kvantitativna in diskretna s.,regresija)


Sestavimo model!




Sestavimo model!


Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna s., normalna porazdelitev)


Sestavimo model!



Model:


Sestavimo model!



Model: yij = µ + Pi + bi (xij − 80) + eij


Sestavimo model!




Ekvivalentni model:


Sestavimo model!




Ekvivalentni model: yij = µi + bi (xij − 80) + eij

Pomnimo: regresija je vgnezdena znotraj vpliva pasmevsaka pasma ima svojo regresijsko premico


Vgnezdene premice: ocene

µ1 = 78.5 tock b1 = 4.6 tock / leto

µ2 = 94.4 tock b2 = 3.1 tock / leto

µ3 = 109.5 tock b3 = 2.5 tock / leto

Presecišca z y-osjo so izvrednotena za leto 1980!

Ekstrapolacija ni dovoljena!


... še nekaj ocen ...

yij = µi + bi (xij − 80) + eij

A B CP xij yij P xij yij P xij yij

1 80 2 80 3 801 85 2 85 3 851 90 2 90 3 901 100 2 100 3 100

(Letom bi morali prišteti 1900, vendar pa smo rajeostali pri manjših vrednostih!)



yij = µi + bi (xij − 80)





1 80 78.5 2 80 94.4 3 80 109.51 85 101.5 2 85 109.9 3 85 122.01 90 124.5 2 90 125.4 3 90 134.51 100 170.5 2 100 156.4 3 100 159.5





1 80 78.5 2 80 94.4 3 80 109.51 85 101.5 2 85 109.9 3 85 122.01 90 124.5 2 90 125.4 3 90 134.51 100 170.5 2 100 156.4 3 100 159.5

Ekstrapolacija ni dovoljena!


Vgnezdeni polinomi

Krivulje rišemo samo na intervalu, na katerem imamopodatke.


Vgnezdeni polinomi: ocene

yij = µ + Pi + bIi (xij − 80) + bIIi (xij − 80)2 +bIIIi (xij − 80)3 + eij

Enote tock / leto tock / leto2 tock / leto3

bI1 = 1357.4 bII1 = −15.41 bIII1 = 0.0584

bI2 = 1022.1 bII2 = −11.74 bIII2 = 0.0450

bI3 = 888.0 bII3 = −10.22 bIII3 = 0.0392


Dogovor pri polinomih!

• regresijske koeficiente oznacujemo z malo crko b

• neodvisno spremenljivko oznacimo z x

• pri polin. višje stopnje dodamo indeks za stopnjopolin.

• praviloma rimsko, izjemoma arabsko številko

• potenca pri neodvisni spremenljivki je enakaindeksu pri regresijskem koeficientu

• pri dolocanju stopnje polinoma pomagamo si lahkotudi z grafom


Dnevni poraba krme in subjektivna ocena

(podatki so simulirani in ne prikazujejo dejanske povezave!)


Sestavimo model!

Vplivi:


Sestavimo model!

Vplivi: skupina


Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),


Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),dnevna poraba krme


Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),dnevna poraba krme (x, kvantit. vpliv, 3 premice)

Neodvisna sprem.:


Sestavimo model!


Neodvisna sprem.: dnevna poraba krme ( regresija)

Odvisna sprem.:


Sestavimo model!



Odvisna sprem.: subjektivna ocena


Sestavimo model!



Odvisna sprem.: subjektivna ocena (y, N-porazd.)

Model:


Sestavimo model!




Model: yij = µ + Si + bixij + eij

Ekvivalentni model:


Sestavimo model!





Ekvivalentni model: yij = µi + bixij + eij


Parametri

Regresijski koeficienti:


Parametri

Regresijski koeficienti: b1, b2, b3

Presecišca z y-osjo:


Parametri


Presecišca z y-osjo: S1, S2, S3 ali µ1, µ2, µ3

Parametri:


Parametri



Parametri: µ, S1, S2, S3, b1, b2, b3

Število parametrov:


Parametri




Število parametrov: 1 + 3 + 3 = 7

Število stopinj prostosti:


Parametri




Število parametrov: 1 + 3 + 3 = 7

Število stopinj prostosti: 1 + (3− 1) + 3 = 6

Komentar:


Dnevni poraba krme in subjektivna ocena


Komentar

Subjektivne ocene (SO) so odvisne od dnevne porabekrme (DPK). Ko DPK narašca, se v modri in crniskupini tudi SO povecujejo. V crni skupini sovrednosti na opazovanem intervalu nižje kot v modriskupini, se pa povecujejo hitreje. SO v rdeci skupinipa z narašcanjem DPK padajo. ... dodamo diskusijo,primerjavo z literaturo, zakaj odstopanja ...

Ali smo povezavo dovolj dobro opisali?


Komentar

Subjektivne ocene (SO) so odvisne od dnevne porabekrme (DPK). Ko DPK narašca, se v modri in crniskupini tudi SO povecujejo. V crni skupini sovrednosti na opazovanem intervalu nižje kot v modriskupini, se pa povecujejo hitreje. SO v rdeci skupinipa z narašcanjem DPK padajo. ... dodamo diskusijo,primerjavo z literaturo, zakaj odstopanja ...

Ali smo povezavo dovolj dobro opisali? Da.


Subjektivne ocene

• subjektivne ocene imajo praviloma le nekaj ocen

• skala 1 - 3, samo celo vrednosti• skala 1 - 10, samo cele vrednosti• skala 1 - 5, dovoljene tudi vmesne ocene (korak 0.5)• porazdelitev ni zvezna, zato ni normalna• ce je razporeditev ocen simetricna in v skladu z

normalno porazdelitvijo, lahko pri obdelavipredostavimo normalno porazdelitev

• kondicijo smo ocenjevali zvezno (izjema), podatkesmo simulirali s pomocjo normalne porazdelitve,zato lahko privzamemo, da je porazdelitev normalna


Stopinje prostosti

• število ocenljivih parametrov

• koliko parametrov moram oceniti, da vem vse ovplivu?

• parameter µ:


Stopinje prostosti



• parameter µ: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S1:


Stopinje prostosti



• parameter µ: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S2:


Stopinje prostosti



• parameter µ: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S2: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S3:


Stopinje prostosti



• parameter µ: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S2: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S3: izracunamo, ne ocenjujemo iz

podatkov, 0 s.p.

µ = 13 (S1 + S2 + S3) ⇒ S3 = 3µ− (S1 + S2)


Stopinje prostosti

• regresija

• parameter b1:


Stopinje prostosti

• regresija

• parameter b1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b2:


Stopinje prostosti

• regresija

• parameter b1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b2: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b3:


Stopinje prostosti

• regresija

• parameter b1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b2: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b3: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.

• oceniti moramo vsak regresijski koeficient, skupaj 3

• tako imamo 3 stopinje prostosti


Stopinje prostosti - povzetek

Parameter Številopa-ram.

Število sto-pinj prosto-sti

Pojasnilo

µ 1 1Glavni vpliviz nivoji p p− 1 µ = 1

p

∑Si

Regresije p p

Vgnezdenivplivi

∑pi qi

∑(qi − 1) Ai =

∑qij Bij

Interakcije∑

pq∑

(p− 1) (q − 1)Ai =

∑qj ABij


Rojstna masa in prirast

(podatki so simulirani in ne prikazujejo dejanske povezave!)


Sestavimo model!

Vplivi:


Sestavimo model!

Vplivi: skupina


Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),


Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),rojstna masa


Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),rojstna masa (x, kvantitativni vpliv)



Sestavimo model!


Neodvisna spremenljivka: rojstna masa (3 premice)



Sestavimo model!



Odvisna spremenljivka: prirast


Sestavimo model!



Odvisna spremenljivka: prirast (y, N-porazdelitev)

Model:


Sestavimo model!





Ekvivalentni model:


Sestavimo model!





Ekvivalentni model: yij = µi + bixij + eij


Parametri

Regresijski koeficienti:


Parametri


Presecišca z y-osjo:


Parametri


Presecišca z y-osjo: S1= S2= S3 ali µ1= µ2= µ3vse tri premice imajo isto presecišce z y-osjo


Sestavimo model! (nadalj.)

Primeren model:



Primeren model: yij = µ + bixij + eij

Komentar: ... poskusimo, ceprav so zakljuckineuporabni ...




Komentar: ... poskusimo, ceprav so zakljuckineuporabni ... Primer prikazuje izjemo, ko smemoizpustiti vpliv, ki ima vgnezdeno regresijo ...

Ali smo povezavo dobro opisali?




Komentar: ... poskusimo, ceprav so zakljuckineuporabni ... Primer prikazuje izjemo, ko smemoizpustiti vpliv, ki ima vgnezdeno regresijo ...

Ali smo povezavo dobro opisali? Da.

Dolocite število parametrov v vseh treh modelih!

Dolocite število stopinj prostosti!

Dolocite število opazovanj v vseh treh modelih!(Število živali v skupinah je razlicno.)


Primerjava modelov

Število opazovanj v poskusu: n = n1 + n2 + n3

yij = µ + Si + bixij + eij µ Si bi model ostanekŠtevilo parametrov 1 3 3 7 —Število stopinj prostosti 1 2 3 6 n− 6yij = µi + bixij + eij µi bi model ostanekŠtevilo parametrov 3 3 6 —Število stopinj prostosti 3 3 6 n− 6yij = µ + bixij + eij µ bi model ostanekŠtevilo parametrov 1 3 4 —Število stopinj prostosti 1 3 4 n− 4


Ekvivalentni modeliModeli so ekvivalentni:

• ce imajo isto število ocenljivih parametrov

• ce ocenljivi parametri zagotavljajo iste zakljucke

• opisujejo podatke precej podobno (isti vplivi, samodruga oblika)

Prva dva modela na zadnji tabeli sta ekvivalentna:

• v prvem modelu parameterS3 ni ocenljiv,

• v drugem nismo vkljucili skupne srednje vrednosti(µ), ampak srednje vrednosti za posamezne skupine(µi)


Debelina hrbtne slanine

4 DHS se pri prašicih z maso med 90 in 110 kgpovecuje za nekako 0.10 mm/kg. Ce vemo, da se jemasa spremenila za 10 kg, pricakujemo lahko za1 mm debelejšo DHS. Pri 100 kg je npr. povprecnaDHS 13 mm.

1. Odvisna spremenljivka:

2. Neodvisna spremenljivka:

3. Regresijski koeficient:

4. Narišimo graf!


Debelina hrbtne slanine

4 DHS se pri prašicih z maso med 90 in 110 kgpovecuje za nekako 0.10 mm/kg. Ce vemo, da se jemasa spremenila za 10 kg, pricakujemo lahko za1 mm debelejšo DHS. Pri 100 kg je npr. povprecnaDHS 13 mm.

1. Odvisna spremenljivka: Debelina hrbtne slanine

2. Neodvisna spremenljivka: maso

3. Regresijski koeficient: 0.10 mm/kg

4. Narišimo graf!


Ocene debeline hrbtne slanine

• Napišimo enacbo za oceno DHS od 90 do 100 kg!

yi = b0 + b1(xi − 100) =




yi = b0 + b1(xi − 100) = 13.0 + 0.10 ∗ (xi − 100)

• Parametra b0 in b1 sta ocenjeni z ocenama b0 in b1

• Izracunajmo nekaj tock (za premico najmanj dve!)

Masa (kg) 90 94 98 100 102 106 110DHS (mm) 12.0 12.4 12.8 13.0 13.2 13.6 14.0




yi = b0 + b1(xi − 100) = 13.0 + 0.10 ∗ (xi − 100)

• Parametra b0 in b1 sta ocenjeni z ocenama b0 in b1

• Izracunajmo nekaj tock (za premico najmanj dve!)

Masa (kg) 90 94 98 100 102 106 110DHS (mm) 12.0 12.4 12.8 13.0 13.2 13.6 14.0

Kadar se mudi, zadostujeta za premico samo dve tocki!

• Sedaj pa še narišimo graf!


Graf za debelino hrbtne slanine


Pomni!

1. Regresijski koeficient ima vedno sestavljeno enoto:v števcu od odvisne spremenljivke, v imenovalcu paod neodvisne spremenljivke (npr. mm/kg, tock/leto)

2. Za ponazoritev uporabimo GRAF S CRTAMI.Neodvisno spremenljivko nanesemo na os X,odvisno na os Y.

3. Kvantitativne vplive praviloma opišemo z regresijo.Izjeme so izredno redke.

4. Porazdelitev neodvisne sprem. prilagodimoposkusu!


5. Pri regresiji s pomocjo neodvisne (pojasnjevalne)spremenljivke ocenimo, pojasnimo odvisnospremenljivko


Nacrt poskusa pri kvantitativnih vplivih

1. Neodvisna spremenljivka - dolocimo interval

2. Opazovanja enakomerno pozazdelimo na intervalu

3. Vec opazovanj naredimo lahko

(a) pri ekstremnih vrednosti neodvisne spremenljivke(b) kjer pricakujemo zavoje

4. Neodvisna spremenljivka ima lahko

(a) samo nekatere vrednosti (npr. 90, 94, 98, 100 kg...)(b) vse vrednosti na intervalu(c) porazdelitev NI POMEMBNA!


Število živorojenih pujskov


Sestavimo model!

• Vplivi:


Sestavimo model!

• Vplivi: leto, farma

• Odvisna spremenljivka:


Sestavimo model!


• Odvisna spremenljivka: število živorojenih pujskov

• Neodvisna spremenljivka:


Sestavimo model!



• Neodvisna spremenljivka: leto, a ni primernefunkcije

• Oznacimo vplive:


Sestavimo model!



• Neodvisna spremenljivka: leto, a ni primernefunkcije

• Oznacimo vplive: leto (L), farma (F)


• Obrazložitev povezave:


• Obrazložitev povezave:Število živorojenih pujskov se z leti povecuje, apovecevanje ne moremo opisati s funkcijo zaradinepricakovanih sprememb. Ceprav je ugodno, da sevelikost gnezda povecuje, pa nas graf preprica, da zregresijo ne bomo uspešni. Uporabili bomo kar vplivz nivoji - za vsako leto poseben nivo. Med farmamiobstajajo razlike, ki se z leti spreminjajo. Vzroki sorazlicni. Trud, da bi bilo gnezdo povecano, jerazlicno (ne)uspešen.


Vpliv farme

yij = µ + Fi + eij


Vpliv leta

yij = µ + Li + eij


Vpliv farme in leta

yijk = µ +


Vpliv farme in leta

yijk = µ + Fi +


Vpliv farme in leta

yijk = µ + Fi + Lj +


Vpliv farme in leta

yijk = µ + Fi + Lj + eijk


Primerjava model (modro) : podatki (rdece)


Primerjava model (modro) : podatki (rdece)

(V tem primeru regresija za vpliv leta ni primerna!)


Dopolnimo model!

• Ponovno napišimo enacbo modela:yijk = µ +


Dopolnimo model!

• Ponovno napišimo enacbo modela:yijk = µ + Fi +


Dopolnimo model!

• Ponovno napišimo enacbo modela:yijk = µ + Fi + Lj +


Dopolnimo model!

• Ponovno napišimo enacbo modela:yijk = µ + Fi + Lj + eijk

• Ali smo povezavo dovolj dobro opisali?


Dopolnimo model!


• Ali smo povezavo dovolj dobro opisali?Število ŽP se tudi poslabša ali izboljša za nekaj let.Spremembe so neodvisne od preteklih let. Lahko jeizbruhnila bolezen ... Na farmi 8 so letna povprecjaprecej odstopala od splošnega trenda, ki smo gadolocili z vplivoma farma in leto.

• Dodatni vpliv:


Dopolnimo model!


• Ali smo povezavo dovolj dobro opisali?Število ŽP se tudi poslabša ali izboljša za nekaj let.Spremembe so neodvisne od preteklih let. Lahko jeizbruhnila bolezen ... Na farmi 8 so letna povprecjaprecej odstopala od splošnega trenda, ki smo gadolocili z vplivoma farma in leto.

• Dodatni vpliv: omogoca, da ima leto na vsaki farmidrugacen vpliv (FL)


Vpliv farme, leta in interakcija - farma 8

yijk = µ + Fi +



yijk = µ + Fi + Lj +



yijk = µ + Fi + Lj + FLij +



yijk = µ + Fi + Lj + FLij + eijk


Kvalitativni vplivi

1. Farme bi lahko razvrstli na vec nacinov:

(a) po abecedi,(b) po šifrah,(c) na prvo mesto bi dali farmo, ki nas najbolj zanima.

2. Nivoji so loceni in nepovezani, nimajo vrednosti

3. Za ponazoritev praviloma uporabljamo HISTOGRAME

4. Prirejeni kvalitativni vplivi (leto) - izjema


Model s kvalitativnimi vplivi


kjer pomeni:

• yijk- število živorojenih pujskov

• µ- srednja vrednost * eijk- ostanek

• Fi- vpliv farme; i = 1, 2, ... 9

• Lj- vpliv leta; j = 1980, 1981, ... 2003

• FLij- interakcija med farmo in letom


Interakcija med farmo in letom


Interakcija1

Z vplivom leta dobimo splošni (skupaj za vse farme,crna crta na grafu), z interakcijo med farmo in letompa specificni (na farmi, odstopanja posameznih crt odcrne crte) vpliv leta

• bolezen izbruhne samo na eni farmi

• delavec je zaposlen samo na eni farmi

• klima se spreminja po letih in farmah

• hlevi so razlicni in jih adaptirajo ...

• spreminjajo postopke dela1v interakcijo se bomo še poglobili


Oznacitev interakcije


• oznaki vplivov F in L sestavimo v FL

• crke sestavimo po abecednem redu indeksov priglavnih vplivih

• dodamo indekse na koncu oznake

• interakcijo med farmo in letom oznacimo FLij


Nacrt poskusa pri kvalitativnih vplivih

Poskus poteka med 1980 do 2003 na vec farmahprašicev.

Farma 1980 1981 1982 · · · 2003∑

leta

A n11 n12 n13 · · · n1q n1.

B n21 n22 n23 · · · n2q n2.... ... ... ... . . . ... ...E np1 np2 np3 · · · npq np.∑

farme n.1 n.2 n.3 · · · n.q n


Nacrt poskusa pri kvalitativnih vplivih

• vse celice naj bodo zapolnjene

• nacrtujte dovolj opazovanj po celicah

• izenacena velikost skupin (celic)

• najmanj eno opazovanje na celico (premalo za resnerezultate!)

• delajmo skromne, enostavne poskuse ...

• podatki iz prakse (proizvodnje) - komplicirani modeli


Poskus z mladicami


Farma Žival Pasma Mesec Masa DP DHS (mm)1 1 ŠL Jan 102 540 13 131 2 ŠL Jan 98 550 16 141 3 ŠL Feb 105 550 16 161 4 ŠL Feb 102 580 15 121 5 LW Jan 95 520 20 171 6 LW Feb 101 500 24 241 7 LW Feb 101 490 27 251 8 NL Jan 97 560 26 271 9 NL Jan 100 550 22 191 10 NL Feb 97 600 23 251 11 NL Feb 102 610 24 22


Dolocimo vplive (mladice)

4 Z mladicami smo opravili poskus na izbrani farmi stremi pasmi v dveh mesecih. Živalim smo ugotovilistarost in jim stehtali maso. Izracunati želimoplemensko vrednost (vpliv živali) za dnevni prirast(DP) in debelino hrbtne slanine (DHS).

Vplivi:




Vplivi: pasma (P ), mesec (M ), masa, žival (a)






Neodvisna spremenljivka: masa (x)

Lastnosti:





Neodvisna spremenljivka: masa (x)

Lastnosti: dnevni prirast, debelina hrbtne slanine


Sestavimo modela

• za dnevni prirast

yijk = µ + Pi + Mj + aijk + eijk

• za debelino hrbtne slanine

yijkl = µ + Pi + Mj + b(xijk − 100) + aijk + eijkl

• vpliv živali smo oznacili z malo crko (nakljucni vpliv)

• za DHS smo vkljucili regresijo za maso

• pri DHS imamo dve meritvi na žival: vec meritev kotživali


Stopinje prostosti

DP-o. µ Pi Mj aijk model ostanekparam. 1 3 2 — 6 —s.p. 1 2 1 — 4 11-4=7DP-m. µ Pi Mj PMij aijk model ostanekparam. 1 3 2 — 6 —s.p. 1 2 1 — 4 11-4=7DHS-o. µ Pi Mj b aijk model ostanekparam. 1 3 2 1 — 7 —s.p. 1 2 1 1 — 5 11-5=6DHS-m. µ Pi Mj PMij bij aijk model ostanekparam. 1 3 2 6 6 — 18s.p. 1 2 1 2 6 — 12 11-12 = ???


Sistematski vplivi

1. imajo malo nivojev (osebkov, enot, razrede)

2. sorazmeroma veliko opazovanj po nivoju

3. proucujemo samo nivoje v poskusu

4. nivoji med seboj niso sorodni ali pa sorodstvozanemarimo

5. ne posplošujemo rezultatov na druge nivoje


Nakljucni vplivi

1. nivoji vzorceni iz znane porazdelitve

2. imajo vec nivojev (osebkov, enot, razrede)

3. nivoji so med seboj lahko sorodni, zato lahko

4. posplošimo rezultate na druge, sorodne nivoje


Izjeme?

1. Vpliv živali

(a) ocetje so izbrani in imajo veliko potomcev,(b) matere imajo malo potomcev in so lahko celo

nakljucno izbrane(c) potomci imajo lahko tudi samo eno meritev

2. Rejci

(a) reje so zelo razlicnih velikosti (farme s 15 do 5000plemenskih svinj)

Dilema? Ce imamo veliko nivojev, vzamemo nakljucnivpliv.


Indeksi pri neodvisni spremenljivki (pojasnilo)

• x ima vec indeksov kot b, kateremu pripada

• nosi indekse vseh ”nadrejenih” vplivov

• mora biti jasno, pri kateremu b -ju pripada (imaindeks pri b -ju )

• mora biti jasno, s katerimi opazovanji (y) je v parih

• indeks za stopnjo polinoma ni dodan neodvisnispremenljivki

• vec neodvisnih spremenljivk ⇒• dodatni indeks na zacetku (npr. x1... in x2... ).


• dodatne indekse dobijo tudi b -ji.

• z indeksi ne pretiravamo


Primer 1


Primer 1

yi = µ + b (xi − 80) + ei


Primer 2


Primer 2

yij = µ + Pi + bIi (xij − 80) + bIIi (xij − 80)2 +

+bIIIi (xij − 80)3 + eij


Primer 3


Primer 3

yij = µ + bi (xij − 80) + eij

Documents

Statisticni modeliˇ - regresija -agri.bf.uni-lj.si/Pedag/html/OIS/V3a.Regresija.pdf · · 2013-04-10Linearna regresija. Biometrija 2008/09 2 Vzporedno z x-osjo? Biometrija 2008/09