Statika 1 - 2. prednáška Prurezové veliciny

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište

Momenty setrvacnosti

Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti

Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Statika 12. prednáška

Prurezové veliciny

Miroslav Voká[email protected]

CVUT v Praze, Fakulta architektury

7. brezna 2016

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Prurez

◮ Prut je konstrukcní prvek, u kterého je délka L mnohemvetší než šírka b i výška h.

◮ Prutem je napr. trám, sloup, pruvlak nebo prvekpríhradové soustavy.

◮ Pru rez je tvar prícného rezu prutu.

h

b

L

D

L

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Plocha prurezuZákladní jednotka: m2

x

y

dA

A =

∫

A

dA

x

y

A1

A2

A3

A =∑

i

Ai

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Statický moment prurezu

Základní jednotka: m3

x

y

dA

t

y

yt

xxt

Sx = A yt =∫

Ay dA

Sy = A xt =∫

Ax dA

x

y

t1

t2

t3

t

xt1 xt2xt3

xt

yt1

yt2

yt3

yt

Sx = A yt =∑

i

Ai yti

Sy = A xt =∑

i

Ai xti

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Težište prurezu

x

y

t1

t2

t3

t

xt1 xt2xt3

xt

yt1

yt2

yt3

ytx

y Poloha t ežišt e seu složeného pru rezuvypo cte:

xt =Sy

A =∑

Ai xti∑Ai

yt =SxA =

∑Ai yti∑

Ai

Do težište umist’ujeme pocátektežišt’ového systémusou radnic xy .

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Težište prurezu

◮ Statický moment k težišt’ové ose je nulový.◮ Pokud má prurez 1 osu symetrie, leží težište na této ose.◮ Pokud má prurez 2 a více os symetrie, leží težište

v prusecíku techto os.◮ U prurezu stredove symetrického leží težište ve stredu

symetrie.

tt

t

t t

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Momenty setrvacnosti prurezuZákladní jednotka: m4

dA

t

y

x

y

x

Momenty setrvacnosti:Ix =

∫

Ay2 dA

Iy =∫

Ax2 dA

Deviacní moment:Dxy =

∫

Axy dA

◮ Moment setrva cnostiplochy (A > 0)k težišt’ovým osám je vždykladný (Ix ∈ ℜ+, Iy ∈ ℜ+).

◮ Devia cní momentk težišt’ovým osám mužebýt kladný, zápornýi nulový (Dxy ∈ ℜ).

◮ Pro základnígeometrické obrazce(ctverec, obdélník,trojúhelník, kruh, pulkruh,ctvrtkruh, . . . ) jsouintegrály spocítánya tabelovány . Viz odbornáliteratura nebo vizhttp://15122.fa.cvut.cz .

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


Ctverec

x

x

y y

t

xt

a

yt

a

xy

A = a2

xt = yt =12 a

Ix = Iy = 112 a4

Dxy = 0

Pri nato cení pru rezu nebo sou radného systémuxy o 90 ◦ je t reba zam enit výrazy pro Ix a Iy azmenit znaménko výrazu pro Dxy !

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


Obdélník

x

x

y y

t

xt

b

yt

h

A = bhxt =

12 b

yt =12 h

Ix = 112 bh3

Iy = 112 hb3

Dxy = 0


Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


Kruh

tdr x

y

x

y

A = πr2 = 14πd2

Ix = Iy = 14πr4 = 1

64πd4

Dxy = 0


Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


Pravoúhlý trojúhelník

x

x

yy

t

xt

b

yt

h

A = 12 bh

xt =13 b

yt =13 h

Ix = 136 bh3

Iy = 136 hb3

Dxy = − 172 b2h2


Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


Rovnoramenný trojúhelník

x

x

yy

t

xt

b

yt

h

A = 12 bh

xt =12 b

yt =13 h

Ix = 136 bh3

Iy = 148 hb3

Dxy = 0


Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


Pulkruh

x

x

yy

tr

xt

d

yt

r

A = 12πr2

xt =12 d = r

yt =4r3π

Ix = r4(π8 − 89π )

Iy = 18πr4

Dxy = 0


Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


Ctvrtkruh

x

x

yy

t

r

xt

r

yt

r

A = 14πr2

xt = r(1 − 43π )

yt =4r3π

Ix = Iy = 12 r4(π8 − 8

9π )

Dxy = +r4( 49π − 1

8 )


Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


Ocelové válcované prurezy

Pro ocelové válcované pru rezy jsou tabulkys polohou t ežišt e, plochou a momentysetrva cnosti v odpovídajících normách,statických tabulkách nebo ocelá rskýchtabulkách.

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Momenty setrvacnosti prurezuSteinerova veta

Steinerova v eta: Moment setrvacnosti k mimotežišt’ové ose xrovnobežné s težišt’ovou osou x se rovná težišt’ovémumomentu setrvacnosti Ix zvetšenému o soucin plochy Aa ctverce vzdálenosti obou os yt

2.

dA

t

y

x

y

x

x

x

y y

yt

xt

Ix = Ix + Ayt2

Analogicky platí:

Iy = Iy + Axt2

Dx y = Dxy + Axt yt

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Momenty setrvacnosti prurezuSteinerova veta - dukaz

dA

t

y

x

y

x

x

x

y y

yt

xt

Transforma cní vztahy p riposunu sou radných os:x = x + xt

y = y + yt

Dukaz Steinerovy v ety: Ix =∫

Ay2 dA =

∫

A(y + yt)

2 dA =

=∫

Ay2 dA + 2yt

∫

Ay dA + yt

2 ∫

AdA =

= Ix + 2ytSx + Ayt2= Ix + Ayt

2

Podobne lze odvodit: Iy = Iy + Axt2 a Dx y = Dxy + Axt yt

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Momenty setrvacnosti prurezuTežišt’ové momenty setrvacnosti složeného prurezu

t1[xt1, yt1]t2[xt2, yt2]

t3[xt3, yt3]

tx

y

x1

y1 x2

y2

x3

y3Podle Steinerovy vety platí:Ix =

∑

i

(Ixi + Aiyti2)

Iy =∑

i

(Iyi + Aixti2)

Dxy =∑

i

(Dxi yi + Aixtiyti)

Pri výpoctu Dxy pozor na znaménka Dxi yi , xti a yti !

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Hlavní težišt’ové osy prurezu

◮ Težišt’ových souradných systému je nekonecne mnoho.◮ Nejduležitejší jsou težišt’ové osy, ke kterým je moment

setrvacnosti maximální a minimální.◮ Tyto osy nazýváme hlavní t ežišt’ové (centrální) osy

setrva cnosti a budeme je oznacovat xc a yc .◮ Je treba najít úhel natocení težišt’ových os α0, pro který

jsou momenty setrvacnosti maximální, resp. minimální.

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Hlavní težišt’ové osy prurezuTransformace momentu pri natocení težišt’ových os

dA

t

y

x

u

v

x

y

uv+α

S využitím transforma cníchvzorcuu = x cosα+ y sinα

v = y cosα− x sinα

platí: Iu =∫

Av2 dA =

∫

A(y cosα− x sinα)

2 dA =

= cos2 α∫

Ay2 dA − 2 sinα cosα

∫

Axy dA + sin2

α∫

Ax2 dA =

= Ix cos2 α+ Iy sin2α− Dxy sin 2α

Podobne lze odvodit vzorce pro Iv a Duv .

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Hlavní težišt’ové osy prurezuTransformace momentu pri natocení težišt’ových os

dA

t

y

x

u

v

x

y

uv+α

Pro natocené osy u a v platí:

Iu = Ix cos2 α+ Iy sin2α− Dxy sin 2α

Iv = Ix sin2α+ Iy cos2 α+ Dxy sin 2α

Duv = 12 (Ix − Iy ) sin 2α+ Dxy cos 2α

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Hlavní težišt’ové osy prurezuMaximalizace, resp. minimalizace, momentu setrvacnosti Iv

◮ Úhel natocení hlavních centrálních os setrvacnosti α0 seurcí napr. maximalizací, resp. minimalizací,transformacního vztahu pro Iv , který derivujeme podle α

a položíme rovno nule.

Iv = Ix sin2α+ Iy cos2 α+ Dxy sin 2α

I′v (α) = 2Ix sinα cosα− 2Iy cosα sinα+ 2Dxy cos 2α = 0I′v (α) = 2

{

12 (Ix − Iy ) sin 2α+ Dxy cos 2α

}

= 2Duv (α) = 0Rešením této rovnice získáme úhel natocení hlavníchtežišt’ových os setrvacnosti α0.

tg 2α0 =2Dxy

Iy − Ix

Z rovnice I′v (α) = 2Duv (α) = 0 také plyne, že deviacní moment

k hlavním težišt’ovým osám je nulový.

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Hlavní težišt’ové osy a hlavní centrálnímomenty setrvacnosti

tx

y

xc

yc

−α0

Úhel natocení hlavníchcentrálních os setrvacnosti:

tg 2α0 =2Dxy

Iy − Ix

Hlavní centrální momenty setrvacnosti:Ixc = Ix cos2 α0 + Iy sin2

α0 − Dxy sin 2α0

Iyc = Ix sin2α0 + Iy cos2 α0 + Dxy sin 2α0

Dxcyc = 0

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Hlavní težišt’ové osy a momenty setrvacnosti

tx

y

xc

yc

−α0

◮ Pokud platí Ixc ≥ Iyc

a Ix ≥ Iy , potom musí platitIxc ≥ Ix ≥ Iy ≥ Iyc .

◮ Soucet momentusetrvacnosti je invariantnívelicina, proto se otocenímsouradného systému jehohodnota nemení. Musítedy platit Ixc + Iyc = Ix + Iy .

◮ Deviacní momentk hlavním težišt’ovýmosám je nulový (Dxcyc = 0).

◮ Hlavní centrální momenty setrvacnosti lze vypocítati podle vzorce

Ixc ,yc =Ix + Iy

2±

√

(

Ix − Iy2

)2

+ D2xy

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Hlavní težišt’ové osy a momenty setrvacnosti

◮ Pokud má prurez 1 osu symetrie, leží na této ose jednahlavní težišt’ová osa prurezu.

◮ Pokud má prurez 2 osy symetrie, jsou tyto osy také hlavnícentrální osy setrvacnosti.

◮ Pokud má prurez 3 a více os symetrie, je každý težišt’ovýsouradný systém také hlavní centrální.

xc

yc

tt xc

yc

t

xc

yc

xc

yc

t xc

yc

xcyc

txc

yc

xc

yc

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Elipsa setrvacnosti prurezu

◮ Polom er setrva cnosti prurezu ix k težišt’ové ose x jedefinován jako vzdálenost od težište, kde má hmotný bod,do kterého je soustredena veškerá hmota prurezu, stejnýmoment setrvacnosti k ose x jako prurez.

◮ Množina takových bodu pro všechny težišt’ové osyprurezu je nazývána elipsa setrva cnosti .

t

x

ix Ix = Ai2x

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


t

xc

yc

iyc

ixc

◮ Hlavní poloosy elipsysetrvacnosti jsou polomerysetrvacnosti k hlavnímcentrálním osámsetrvacnosti:

ixc =

√

Ixc

A

iyc =

√

Iyc

A

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


Natocení elipsy setrvacnosti odpovídá znaménku deviacníhomomentu Dxy .

Dxy > 0

x

y

x

y

x

y

x

y

Dxy < 0

x

y

x

y

x

y

x

y

Dxy = 0

x

y

x

y

x

y

x ≡ xc

y ≡ yc

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky


◮ Pokud má prurez 3 a více os symetrie, elipsa setrvacnostimá tvar kružnice.

◮ Pokud elipsa setrvacnosti má tvar kružnice, potom každýtežišt’ový systém souradnic je hlavní centrální.

◮ Hlavních centrálních souradných systému souradnic jev takovém prípade nekonecne mnoho.

◮ Príkladem muže být kruhový prurez, ctverec nebopravidelný n-úhelník.

t

xc

yc

xc

yc

t xc

yc

xcyc

txc

yc

xc

yc

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Kontrolní otázkaKterý prurez má vetší moment setrvacnosti Ix?

x

y

t

x

y

t

x

y

t x

y

t

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Urcete, zda pro daný prurez platí:a) Dxy = 0 b) Dxy < 0 c) Dxy > 0

x

y

t x

y

t

x

y

t x

y

t

Statika 1

M. Vokác

Prurez

Plocha

Statický moment

Težište



Elipsa setrvacnosti

Kontrolní otázky

Konec prednášky

Dekuji za pozornost.

Vysázeno systémem LATEX.Obrázky vytvoreny v systému .

Documents

Statika 1 - 2. prednáška Prurezové veliciny